高中数学常见函数讲义
高中数学讲义 第二章 函数A (超级详细)
分析:运用配方法,逆求法,换元法等方法求函数值域.
(1) 解: y x2 4x 2 (x 2)2 2 , x [0,3) ,函数的值域为[2, 2] ;
(2)
解法一:由
y
x2 x2 1
1
x
1 2
1
,
0
1 x2 1
1 ,则 1
1 x2 1
0
, 0
y
1,故函
数值域为[0,1) .
解法二:由
求函数的值域应注意新元的取值范围.
第 3页 【辅导专用】共 16页
【反馈演练】
1.函数 f(x)= 1 2 x 的定义域是__(____,_0_]___.
2.函数
f
(x)
1 log 2 (x 2
4x
3)
的定义域为___(_1_, _2_)___(_2_, _3_)___.
3.
函数
y
1 1 x2
它的值域也就确定,故判断两个函数是否为同一函数,只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可.
例 2.求下列函数的定义域:① y 1 x 2 1 ; 2 x
② f (x)
x
;
log 1 (2 x)
2
解:(1)①
2 由题意得:
x
0, 解得 x 1且 x
2 或 x
1且 x
2,
x2 1 0,
1.设有函数组:① y x ,y
x2 ;② y x ,y 3 x3 ;③ y
x ,y
x x
;④
y
1 1
(x 0),
,
(x 0),
y x ;⑤ y lg x 1 , y lg x .其中表示同一个函数的有___②④⑤___.
高中数学函数完美归纳讲解
第一章函数概念导入1、集合〔子集,真子集、空集、补集、全集等表示和关系〕2、映射〔定义,一一映射〕3、增函数、减函数4、轴对称5、单调性定义设x和y是两个变量,D是实数集的某个子集,若对于D中的每个值x,变量y按照一定的法则有一个确定的值y 与之对应,称变量y为变量x的函数,记作y=f<x>.自变量x、因变量y映射角度函数定义:定义在非空数集之间的映射称为函数要点1、对应法则和定义域是函数的两个要素2、函数是一种关系3、函数两组元素一一对应的规则〔这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个集合里的唯一元素;第一组中的每个元素在第二组中只有唯一的对应量〕1、复合函数:y是u的函数,y=ψ〔u〕,u是x的函数,u =f〔x〕,y通过中间变量u构成了x的x→u→y,注意定义域. y=lgsinx2、反函数:x→y, y→x,性质:1、一一映射2、单调函数分类:一次函数y=kx+b★二次函数y=ax2+bx+c〔a,b,c为常数,a≠0>反比例函数y=k/x <k为常数且k≠0>指数函数y=a x<a>0,a≠1>对数函数y=logax〔a>0〕幂函数y=x a★三角函数<正弦,余弦,正切,余切,正割,余割>常用方法:待定系数法平移变换法数形结合法注:注意自定义〔抽象〕函数等学习应用,培养逻辑思维.第一节函数的一般化应用解析1-1-1函数的值域方法:1、巧用定理,整体变换.〔1〕函数3cos 3sin 2+--=x x y 的 最小值;〔2〕已知:αβαsin 5sin 2sin 322=+,α、βR ∈,求βα22cos cos +=u X 围.2、借题发挥,分式转化双曲线.()bc ad ,0c dcx b ax y ≠≠++=型求值域和画图的一般化应用. 〔1〕作函数1231+-=x x y 的图象 〔2〕求函数4235+-=x x y 的值域 1-1-2函数的奇偶性要 点判断函数的奇偶性前提是:函数的定义域必须关于原点对称. 〔1〕若为偶函数函数为奇)()()()()()(x f y x f x f x f y x f x f =⇔=-=⇔-=-〔2〕奇函数;0)0()(=⇒=f x y 在原点处有意义〔3〕任一个定义域关于原点对称的函数)(x f 一定可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和即 偶奇2)()()(2)()()(x f x f x f x f x f -++--=例 题:〔1〕定义在),(+∞-∞上的函数)(x f 可以表示成奇函数g<x>与偶函数h<x>之和,若)110lg()(+=x x f ,那么〔 〕A 、)21010lg()(,)(++==-x x x h x x gB 、])110[lg(21)(],)110[lg(21)(x x h x x g x x -+=++=C 、2)110lg()(,2)(x x h x x g x -+==D 、2)110lg()(,2)(x x h xx g x ++=-= 1-1-3函数的单调性★常见于证明类问题,单调性证明一定要用定义.定 义区间D 上任意两个值21,x x ,若21x x <时有)()(21x f x f <,称)(x f 为D 上增函数,若21x x <时有)()(21x f x f >,称)(x f 为D 上减函数.性 质奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同;偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.证明办法:作差法:若x1<x2,f<x1>-f<x2>>0 单调递减若x1<x2,f<x1>-f<x2><0 单调递增作商法:若x1<x2,f<x1>/f<x2>>0单调递减若x1<x2,f<x1>/f<x2>>0单调递增讨 论复合函数的增减问题ψ<x>为增函数,f<x>为增函数,y 为增函数ψ<x>为增函数,f<x>为减函数,y 为减函数))x ((f y ϕ=ψ<x>为减函数,f<x>为增函数,y 为减函数 ψ<x>为减函数,f<x>为减函数,y 为增函数〔1〕 设)(x f 为奇函数,且在区间[a,b] <0<a<b>上单调减,证明)(x f 在[-b,-a]上单调减.〔2〕)3(log )(221a ax x x f +-=在),2[+∞上减函数,则a 的X 围:〔-4,4] 1-1-4函数的平移和伸缩平移规则:左加右减)()()(a x f y a x f y x f y a a -=−−−−→−+=−−−−→−-=个单位右移个单位左移 上加右减b x f y x f b y bx f y x f b y x f y b b -=→=+−−−−→−+=→=-−−−−→−-=)()()()()(个单位下移个单位上移伸缩规则: 横向变倒数)0()()(1,>=−−−−−−−−−→−=ωωωx f y x f y 倍横坐标变为原来的纵坐标不变 纵向成倍数1-1-5函数的对称性中心对称轴对称若)(x f y =对R x ∈满足)()(x b f x a f -=+,则)(x f y =关于直线2b a x +=对称;〔由2)()(x b x a x -++=求得〕 函数)()(x b f y x a f y -=+=与关于直线2a b x -=对称. 〔由x b x a -=+解得〕例题解析1、函数22,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩ 的反函数是〔 〕 A.,020x x y x ⎧≥⎪=< B.2,00x x y x ≥⎧⎪=< C.,020x x y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩D.2,00x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩ 2、函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=,若()15,f =-则()()5f f =__________. 3、设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1),其反函数的图像过点(2,8),则a b +等于〔 C 〕〔A 〕3 〔B 〕4 〔C 〕5 〔D 〕6 4、的值域求函数x x y -+-=535、221223x x y x x -+=-+求函数的值域6、231223y x x =-+-求函数的值域7、给出四个函数,分别满足①f<x+y>= f<x>+ f<y>②g<x+y>= g<x> g<y>③h<xy>= h<x>+ h<y>④t<xy>= t<x> t<y>,又给出四个函数图象正确的匹配方案是〔 〕〔A 〕①—丁②—乙③—丙④—甲〔B 〕①—乙②—丙③—甲④—丁 〔C 〕①—丙②—甲③—乙④—丁〔D 〕①—丁②—甲③—乙④—丙8.若)(x f y =对R x ∈满足)2()2(x f x f -=+,则)(x f y =的对称轴为函数)2()2(x f y x f y -=+=与的对称轴为 9.f<x>为定义在)0,(-∞ ),0(+∞上的偶函数,且在),0(+∞上为减,①求证f<x>在)0,(-∞上为增函数;10.已知4254)(,252-+-=≥x x x x f x 则有 A .最大值45 B .最小值45 C .最大值1 D .最小值111.设函数))((R x x f ∈为奇函数,),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+= 则=)5(fA .0B .1C .25D .512.)(x f 为定义在R 上的偶函数,且)3()5(x f x f -=+对R x ∈恒成立,则 )(x f y =的一个周期为:13.设)12(+=x f y 为偶函数,则)2(x f y =的一条对称轴为第二节二次函数定义,解析式,条件,定义域,值域.一般地,自变量x 和因变量y 之间存在如下关系: y=ax 2+bx+c则称y 为x 的二次函数.判定公式,求根公式,韦达定理等回顾掌握.表达式类型:1、一般式:y=ax 2+bx+c 〔a,b,c 为常数,a ≠0〕2、顶点式:y=a<x-h>2+k [抛物线的顶点P 〔h,k 〕] 对于二次函数y=ax 2+bx+c 其顶点坐标为 <-b/2a,<4a c-b 2>/4a>3、交点式:y=a<x-x ₁><x-x ₂> [仅限于与x 轴有交点A 〔x ₁ ,0〕和 B 〔x ₂,0〕的抛物线]性质关系:1、a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下.IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大2、图像为抛物线,是轴对称图形,对称轴为直线x = -b/2a3、2.抛物线有一个顶点P,坐标为P < -b/2a ,<4ac-b2>/4a >4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.当a与b同号时〔即ab>0〕,对称轴在y轴左;当a与b异号时〔即ab<0〕,对称轴在y轴右. 5.常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于〔0,c〕6.抛物线与x轴交点个数Δ= b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点.Δ= b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点.Δ= b2-4ac<0时,抛物线与x轴有0个交点7、当a>0时,函数在x= -b/2a处取得最小值f<-b/2a>=4ac-b2/4,在{x|x<-b/2a}上是减函数,在{x|x>-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}.相反亦然.例题应用解析:1.如图13-28所示,二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B 两点,交y轴于点C,则△ABC的面积为< >A、6B、4C、3D、12.心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x<单位:分>之间满足函数关系:y=-0.1x2+2.6x+43<0<x <30>.y值越大,表示接受能力越强.<1>x在什么X围内,学生的接受能力逐步增强?x在什么X 围内,学生的接受能力逐步降低?<2>第10分时,学生的接受能力是什么?<3>第几分时,学生的接受能力最强?3.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品.据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克;销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克.针对这种水产品的销售情况,请解答以下问题:<1>当销售单价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润;<2>设销售单价为每千克x元,月销售利润为y元,求y与x 的函数关系式<不必写出x的取值X围>;<3>商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?4.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销量〔件〕与每件的销售价〔元〕满足一次函数:〔1〕写出商场卖这种商品每天的销售利润与每件的销售价间的函数关系式.〔2〕如果商场要想每天获得最大的销售利润,每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利润为多少?5.如图,一边靠学校院墙,其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃,设矩形的边米,面积为平方米.〔1〕求:与之间的函数关系式,并求当米时,的值;〔2〕设矩形的边米,如果满足关系式即矩形成黄金矩形,求此黄金矩形的长和宽.第三节三角函数知识点回顾角①角的静态定义:具有公共点的两条射线组成的图形叫做角.这个公共端点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的两条边.角的大小与边的长短没有关系;角的大小决定于角的两条边X开的程度,角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角这五种.锐角:小于90°的角叫做锐角直角:等于90°的角叫做直角钝角:大于90°而小于180°的角叫做钝角平角:等于180°的角叫做平角周角:等于360°的角叫做周角②角的动态定义:一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角.所旋转射线的端点叫做角的顶点,开始位置的射线叫做角的始边,终止位置的射线叫做角的终边.角的X 围可扩大到实数R.A=a+2k π<k ∈Z>角的度量弧度与角度在数学中,弧度和角度是角的量度单位.定义:弧长等于圆半径的弧所对的圆心角为1弧度. 弧长公式:)n (180rn )(L 为角度π弧长 弧度和角度变化公式〔r=1〕.1-3-1三角函数的初等基本表示正弦余弦正切余切正割余割在平面直角坐标系xOy 中,从点O 引出一条射线OP ,设旋转角为θ,设OP=r,P 点的坐标为〔x,y 〕有 正弦函数 sin θ=y/r 余弦函数 cos θ=x/r 正切函数 tan θ=y/x 余切函数 cot θ=x/y 正割函数 sec θ=r/x 余割函数 csc θ=r/y〔斜边为r,对边为y,邻边为x.〕1-3-2三角函数的数值符号与特殊值特殊角的三角函数值例题函数名称 第一象限第二象限第三象限第四象限正 弦 + + - - 余 弦 + - - + 正 切 + - + - 余 切 + - + - 正 割 + - 1 + 余 割 ++--函数名称 030456090正 弦21 22 23 1余 弦123 22 21 0正 切0 33 13----余 切---- 3133正 割1332 22-----余 割------22332 11. sin<-619π>的值是< > A.21 B. -21C. 23D. -232. 若sin θcos θ>0,则θ在< >A. 第一,二象限B. 第一, 三象限C. 第一, 四象限D. 第二, 四象限5.设tan α=71,tan β=31,α、β均为锐角,则α+2β的值是 < > A.4πB. 43πC.45πD. 434或ππ 2.当x ≠2πk <k ∈Z >时,xx xx cot cos tan sin ++的值是 < > A.恒正B.恒负 C.非负D.无法确定6.如果角θ满足条件sin θ>0,cos θ<0,则θ是 < > A.第二象限角B.第二或第四象限角 C.第四象限角D.第一或第三角限角 7.若cot θ=3,则cos 2θ-21sin 2θ的值是 < > A.-65B.-54C.53D.54 1-3-2三角函数公式1.诱导公式sin<-a>=-sin<a>sin<π/2-a>=cos<a>cos<-a>=cos<a> cos<π/2-a>=sin<a> sin<π/2+a>=cos<a> sin<π-a>=sin<a> cos<π/2+a>=-sin<a> cos<π-a>=-cos<a> sin<π+a>=-sin<a> cos<π+a>=-cos<a> 2.两角和与差的三角函数sin<a+b>=sin<a>cos<b>+cos<α>sin<b>sin<a-b>=sin<a>cos<b>-cos<a>sin<b>cos<a+b>=cos<a>cos<b>-sin<a>sin<b>cos<a-b>=cos<a>cos<b>+sin<a>sin<b>tan<a+b>=<tana+tanb>/<1-tanatanb>tan<a-b>=<tana-tanb> /〔1+tanatanb〕3.和差化积公式sinA+sinB=2sin[<A+B>/2]cos[<A-B>/2]cosA+cosB=2cos[<A+B>/2]cos[<A-B>/2]tanA+tanB=sin<A+B>/cosAcosBtanA-tanB=sin<A-B>/cosAcosB4.积化和差公式2sinAcosB=sin<A+B>+sin<A-B>2cosAsinB=sin<A+B>-sin<A-B>2cosAcosB=cos<A+B>+cos< A-B>2sinAsinB=-cos<A+B>cos<A-B>5.二倍角公式sin<2a>=2sin<a>cos<a>cos<2a>=cos2 <a>-sin2<a>=2cos2<a>-1=1-2sin2<a>6.半角公式7.万能公式8.辅助角公式9.降幂公式10.推导公式tanAtanBtan<A+B>+tanA+tanB-tan<A+B>=0例题1、sin15°sin30°sin75°的值等于< > A.43 B. 83 C. 81 D. 41 2、 已知θ∈﹝0,3π﹞,则315sin θ+35cos θ的取值X 围< > A. ﹝ -35,35﹞ B. ﹝ 0,65﹞ C. ﹝ 35,65﹞ D. ﹝ 0,35﹞ 3、tan300°+cot405°的值为< > A.1+3 B. 1-3C.-1-3 D.-1+3 4.设a=sin14°+cos14°,b=sin16°+cos16°,c=26.则a,b,c 的大小关系是< > A. a <b <c B. a <c <b C. b <c <a D. b <a <c 5.︒-︒+75tan 175tan 1的值为< >A.3 B. -3 C.33 D. -336.设f<sin α+cos α>=sin αcos α ,则f<cos 6π>的值为< > A.83 B.81 C.-81D.-837.sin7°cos37°-sin83°cos53°=________. 8.tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=_________.9.sin<2π-α>=53,cos2α=__________.10.已知tan α=3,ααααcos sin 2cos sin 3-+=___________.11、化简:<1> sin50°〔1+3tan10°〕 <2>)5sin()cos()6cos()2sin()2tan(αππααπαπαπ------12、已知sin α=32,α∈<2π,π> ,cos β=-43,β∈<π,23π> 求sin<α-β>, cos<α+β>, tan<α+β>. 13、已知2π<β<α<43π,cos<α-β>=1312,sin<α+β>=-53.求sin2α1-3-3 正弦函数定义对于任意一个实数x 都有唯一确定的值sinx 与它对应,按照这个对应法则所建立的函数,表示为y=sinx,叫做正弦函数.正弦型函数解析式:y=Asin<ωx+φ>+b图像定义域与值域 X ∈R, y ∈[-1,1] 最值和零点①最大值:当x=2k π+<π/2> ,k ∈Z 时,y max =1 ②最小值:当x=2k π+<3π/2>,k ∈Z 时,y min =-1 零值点: <k π,0> ,k ∈Z 对称性:1>对称轴:关于直线x=<π/2>+k π,k ∈Z 对称 2>中心对称:关于点<k π,0>,k ∈Z 对称 周期性最小正周期:2π 奇偶性: 奇函数 单调性:在[-<π/2>+2k π,<π/2>+2k π],k ∈Z 上是增函数 在[<π/2>+2k π,<3π/2>+2k π],k ∈Z 上是减函数 正弦型函数与其性质根据正弦型函数解析式:y=Asin<ωx+φ>+bφ:决定波形与X 轴位置关系或横向移动距离〔左加右减〕 ω:决定周期〔最小正周期T=2π/∣ω∣〕 A :决定峰值〔即纵向拉伸压缩的倍数〕b :表示波形在Y 轴的位置关系或纵向移动距离〔上加下减〕 正弦函数的作图"五点作图法〞即取当X 分别取0,π/2,π,3π/2,2π时y 的值.例题1、函数y=2sinxcosx 的最小正周期是< > A. 2π B. π C.2π D. 4π2、函数f<x>=cos 4x-sin 4x 是< > A. 奇函数 B. 偶函数C.非奇非偶函数D. 既是奇函数又是偶函数3.函数y=cos<3x+4π>的图象是由y=cos3x 的图象怎样平移而来的< > A.向左平移4π个单位 B.向右平移4π个单位C.向左平移12π个单位D.向右平移12π个单位4.下列各区间中,函数y=sin<x+4π>的单调增区间是< >A. ﹝2π,π﹞B. ﹝0, 4π﹞C. ﹝4π,2π﹞ D. ﹝-π,0﹞5.<12分>用五点作图法作出函数y=3sin2χ-cos 2χ的图象,并指出这个函数的振幅,周期,频率,相位与最值.6. 右图为)sin(ϕω+=x A y 的图象的一段,求其解析式.7设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x .〔Ⅰ〕求ϕ;〔Ⅱ〕求函数)(x f y =的单调增区间;〔Ⅲ〕画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像.8. 设函数x c x b a x f sin cos )(++=的图象经过两点〔0,1〕,〔1,2π〕,且在2|)(|20≤≤≤x f x 内π,##数a 的的取值X 围.9. 若函数)4sin(sin )2sin(22cos 1)(2ππ+++-+=x a x x x x f 的最大值为32+,试确定常数a 的值.1-3-4正弦定理与余弦定理1-3-4-1正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.即2R sinCcsinB b sinA a ===〔2R 在同一个三角形中是恒量,是此三角形外接圆的半径的两倍〕1-3-4-1-1 正弦定理的推广与应用一、三角形面积公式: 1.典型公式 2.海伦公式假设有一个三角形,边长分别为a 、b 、c,三角形的面积S 可由以下公式求得: ())c -P )(b -P )(a -P (P S c b a 21P =++=三角形设而公式里的p 为半周长 二. 正弦定理的变形公式<1> a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; <2> sinA : sinB : sinC = a : b : c;<3>相关结论:1-3-4-1余弦定理对于任意三角形 三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质1-3-5三角函数题型演练1. 试判断方程sinx=π100x实数解的个数. 2. 已知函数.3cos 33cos 3sin )(2xx x x f +=〔Ⅰ〕将f<x>写成)sin(φω+x A 的形式,并求其图象对称中心的横坐标与对称轴方程〔Ⅱ〕如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足b 2=ac,且边b 所对的角为x,试求x 的X 围与此时函数f<x>的值域.3. 已知△ABC 三内角A 、B 、C 所对的边a ,b ,c ,且.2222222ca cc b a b c a -=-+-+ 〔1〕求∠B 的大小; 〔2〕若△ABC 的面积为433,求b 取最小值时的三角形形状. 4. 求函数y=)32cot()32sin(ππ--x x 的值域.5. 求函数y=1sec tan 1sec tan +--+x x x x 的单调区间.6. 已知ctgxx x x f ++-=112cos 2sin )(①化简f<x>;②若53)4sin(=π+x ,且π<<π434x ,求f<x>的值;7. 已知ΔABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列,且A<B<C,tgA ·tgC 32+=,①求角A 、B 、C 的大小;②如果BC 边的长等于34,求ΔABC 的边AC 的长与三角形的面积.8. 已知21)(),,2(,53sin =β-πππ∈α=αtg ,求tg<α-2β>.9. 已知函数x x x x f cos sin sin 3)(2+-=〔I 〕求函数)(x f 的最小正周期; 〔II 〕求函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0)(πx x f 在的值域.10. 在⊿ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且10103cos ,21tan ==B A 〔1〕求tanC 的值; 〔2〕若⊿ABC 最长的边为1,求b.11. 如图,△ACD 是等边三角形,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BD 交AC 于E,AB=2.〔1〕求cos ∠CBE 的值;〔2〕求AE. 12. 在ABC ∆中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且c a bC B +-=2cos cos .〔1〕求角B 的大小;〔2〕若4,13=+=c a b ,求a 的值.13.已知S △ABC =103,一个角为60°,这个角的两边之比为5∶2,求三角形内切圆的半径.14.已知△ABC 中,Ab B ac c b a c b a cos cos ,2222==-+-+且,试判断△ABC 的形状.15.求值:16.在△ABC 中,a =6,b =2,c=3+1,求A 、B 、C 与S △.17.已知:k 是整数,钝角△ABC 的三内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c〔1〕若方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+)1(32722k y kx k y x 有实数解,求k 的值.〔2〕对于〔1〕中的k 值,若,2sin k C =且有关系式C c B b A b c 222sin sin sin )(=+-,试求A 、B 、C 的度数. 第四节 指数函数1-4-1知识点回顾1-4-1-1幂函数形如y=x a <a 为常数〕的函数,称为幂函数.性质:〔1〕所有的图形都通过〔1,1〕这点.<a ≠0>〔2〕当a 大于0时,幂函数为单调递增的,而a 小于0时,幂函数为单调递减函数.〔3〕当a 大于1时,幂函数图形下凸;当a 小于1大于0时,幂函数图形上凸.〔4〕当a 小于0时,a 越小,图形倾斜程度越大.〔5〕显然幂函数无界限.〔6〕a=0,该函数为偶函数{x|x≠0}.1-4-1-1反比例函数幂函数中,a=-1时,为双曲线.画图,研究渐进线.重温习本章1-1-1中的第二题.1-4-1-2指数函数定义与性质指数函数的一般形式为y=a x<a>0,a≠1>性质:〔2〕指数函数的值域为大于0的实数集合.〔3〕函数图形都是下凹的.〔4〕a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减的.〔5〕函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交.〔6〕函数总是通过〔0,1〕点〔8〕显然指数函数无界.〔9〕指数函数既不是奇函数也不是偶函数.〔10〕当两个指数函数中的a互为倒数时,两个函数关于y 轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性.1-4-1-3指数函数的应用比较大小1、同幂不同底以y轴为分界线分情况讨论2、同底不同幂方法1、比〔差〕商法2、函数单调性应用法3、中值法第五节 对数函数1-5-1对数定义与性质定义:一般地,如果a 〔a 大于0,且a 不等于1〕的b 次幂等于N,那么数b 叫做以a 为底N 的对数,记作b N log a =,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.底数a 则要大于0且不为1对数的运算性质当a>0且a ≠1时,M>0,N>0,那么:〔1〕N log M log MN log a a a +=〔2〕N log M log NM log a a a -= 〔3〕M nlog M log a n a =〔n ∈R 〕〔4〕换底公式:alog M log M M log b b a =<b>0且b ≠1〕 〔5〕a b b alog 1log = 〔6〕M a M a =log〔7〕N Na a log 1log -=〔8〕M rM a a r log 1log = 〔9〕M rs M a s a r log log = 对数与指数之间的关系 当a>0且a ≠1时,N log x N a a x =→=对数函数的常用简略表达方式:〔1〕常用对数:b log lgb 10=〔2〕自然对数:b log lnbe = e=2.718281828... 通常情况下只取e=2.71828 对数函数的定义.1-5-2对数函数定义与性质对数函数的一般形式为 y=㏒<a>x,它实际上就是指数函数的反函数<图象关于直线y=x 对称的两函数互为反函数〕,可表示为x=a y .因此指数函数里对于a 的规定〔a>0且a ≠1〕,同样适用于对数函数. 性质定义域:〔0,+∞〕值域:实数集R定点:函数图像恒过定点〔1,0〕.单调性:a>1时,在定义域上为单调增函数,并且上凸; 0<a<1时,在定义域上为单调减函数,并且下凹.奇偶性:非奇非偶函数,或者称没有奇偶性.周期性:不是周期函数零点:x=1例题1.3log 9log 28的值是 〔 〕 A .32 B .1 C .23 D .2 2.若log 2)](log [log log )](log [log log )](log [log 55153313221z y x ===0,则x 、y 、z 的大小关系是〔 〕A .z <x <yB .x <y <zC .y <z <xD .z <y <x 3. 已知x 1是方程3lg =⨯x x 的一个根, 2x 是方程310=⨯x x 的一个根, 那么21x x +的值是 < >A. 6B. 3C. 2D. 14. ,0z log log log y log log log x log log log 324243432===则z y x ++的值为 < >A. 50B. 58C. 89D. 1115. 当1a >时, 在同一坐标系中, 函数x a y -=与=y x log a 的图象是图中的 < >6.设5.1344.029.01)21(,8,4-===y y y ,则〔 〕A .y 3>y 1>y 2B .y 2>y 1>y 3C .y 1>y 2>y 3D .y 1>y 3>y 27.在下列图象中,二次函数y =ax 2+bx +c 与函数y =<a b>x 的图象可能是 〔 〕8.已知函数f <x >的定义域是<0,1>,那么f <2x >的定义域是〔 〕A .<0,1>B .<21,1> C .<-∞,0> D .<0,+∞>9.若122-=x a ,则x x xx aa a a --++33等于 〔 〕 A .22-1 B .2-22 C .22+1 D . 2+110.设f <x >满足f <x >=f <4-x >,且当x >2 时f <x >是增函数,则a =f <1.10.9>,b = f <0.91.1>,c =)4(log 21f 的大小关系是〔 〕A .a >b >cB .b >a >cC .a >c >bD .c >b >a11. 若函数)x (f 与=)x (g x ) 21 (的图象关于直线x y =对称, 则)x 4(f 2-的单调递增区间是< >A. ]2 ,2(-B. ) ,0[∞+C. )2 ,0[D. ]0 ,(-∞二. 填空题12. 已知522x x =+-, 则=+-x x 88.13. 若函数=y 2x log 2+的反函数定义域为),3(∞+ , 则此函数的定义域为.14. 已知=y )ax 3(log a -在]2 ,0[上是x 的减函数, 则a 的取值X 围是.15.函数=)x (f )1a ,0a (a x ≠>在]2 ,1[上的最大值比最小值大2a , 则a 的值为.16. 已知函数12x )x (f -=的反函数为)x (f 1-, )1x 3(log )x (g 4+=.<1> 若≤-)x (f 1)x (g ,求x 的取值X 围D;<2> 设函数)x (f 21)x (g )x (H 1--=,当∈x D 时, 求函数)x (H 的值域.17. 已知常数1a >, 变数x 、y 有关系3y log x log a log 3x a x =-+.<1>若t a x =)0t ( ≠, 试以a 、t 表示y ;<2>若t 在) ,1[∞+内变化时, y 有最小值8, 求此时a 和x 的值各为多少?18. 已知函数=)x (f ,329x x ⋅-判断f <x>是否有反函数? 若有, 求出反函数; 若没有, 怎么改变定义域后就有反函数了?19.设0≤x ≤2,求函数y =1224221++⋅--a a xx 的最大值和最小值. 第六节 函数与方程1-6-1理论思想1、函数与方程的思想方法是高中数学思想方法的主线,函数思想是指在解决某些问题时,用联系和变化的观点提出数学对象,抽象出变量间的函数系,再利用函数的有关性质,使问题得以解决.2、方程思想是指将研究的变量设为未知数,根据题意布列方程,通过对方程的研究,使问题得以解决.方程与函数是两个不同的概念,但它们有着密切的联系.对于同一个问题,可以用不同的观点去分析,从而引出不同的方法.3、重要关系A 、方程()()f x g x =的解是两函数()y f x =和y=g(x)图象交点的横坐标;B 、不等式()()x g x f 的解集是函数()y f x =的图象在函数y=g(x)的图象上方的取值集合;C 、不等式()()()f x g x ><的解集的区间端点值要么是函数()y f x =和y=g(x)的公共定义域的区间端点值,要么是相应方程()()f x g x =的解.5. 数形结合是重要的数学思想方法,借助函数的图象,再结合分析、推理来解决与函数有关的问题.6. 函数的思想方法贯穿于高中数学理论和应用的各个侧面,解题时,一般据题意先建立目标函数,而后通过对函数性质的研究加以解决. 7. 解复杂的方程或不等式时,注意换元化归,分类讨论.例题解析函数问题方程化1、已知函数18log )(223+++=x n x mx x f 的定义域为R,值域为[0,2],##数m 、n .设08)(8)1(,91,1822222=-+--++=+≤≤+++=n t x x m t n x mx x t t x nx mx t 得又由则方程问题函数化1、方程lgx+x=3的解所在区间为. 〔〕A .<0,1>B .<1,2>C .<2,3>D .<3,+∞> 2.如果关于的方程有一个根小于-1,另一个根大于1,##数的取值X 围.方程的实根即是的图象与轴交点的横坐标.原方程有一个根小于-1,另一个根大于1的充要条件是函数y=f<x>的图象与轴有两个交点分别在区间<-∞,-1>与〔1,+∞〕上.由于y=f<x>的图象是开口向上的抛物线,因此以上条件等价于即解得3、若关于x的方程lg〔x2+20x〕-lg〔8x-6a-3〕=0有惟一的实根,##数a的取值X围.原方程等价于x2+20x>0,x2+20x=8x-6a-3,即:x<-20或x>0,①x2+12x+6a+3=0. ②令f〔x〕=x2+12x+6a+3.〔1〕若抛物线y=f〔x〕与x轴相切,有Δ=144-4〔6a+3〕=0,即a=〔11/2〕.将a=〔11/2〕代入②,得x=-6,不满足①.∴a≠〔11/2〕.〔2〕若抛物线y=f〔x〕与x轴相交〔如图2-12〕,注意到其对称轴为x=-6,故交点的横坐标有且仅有一个满足①的充要条件为图2-12f〔-20〕≥0,解得-〔163/6〕≤a<-〔1/2〕.f〔0〕<0,∴当-〔163/6〕≤a<-〔1/2〕时,原方程有惟一解.数型结合思想上面方程可以等价于x2+20x=8x-6a-3〔x<-20或x>0〕. ③问题转化为:##数a的取值X围,使直线y=8x-6a-3与抛物线y=x2+20x〔x<-20或x>0〕有且仅有一个公共点.虽然这两个函数的图象都很明确,但在什么情况下它们有且仅有一个公共点,却并不明显.如果把方程③稍作变形,如x2+12x+3=-6a〔x<-20或x>0〕.再在同一直角坐标系中分别作出抛物线y=x2+12x+3〔x<-20或x>0〕和直线y=-6a,如图2-13所示.当且仅当3<-6a≤163,即-〔163/6〕≤a<-〔1/2〕时,直线与抛物线仅有一个公共点.∴当-〔163/6〕≤a<-〔1/2〕时,原方程有惟一的实根.第七节函数与不等式1-7-1理论思想1、不等式的性质与均值定理等重要不等式,是求解函数定义域、值域、判断函数单调性以与求解函数最值问题的有力工具2、利用函数的单调性,是求解比较大小问题或进行某些不等式证明的重要途径3、函数的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想以与函数、方程、不等式之间的相互转化,是灵活处理函数与不等式问题的基本的思想和方法.例题解析1、解关于x的不等式分析一:这是解无理不等式,一般思路是化无理不等式为有理不等式解一:原不等式1. 当a>0时:I>II>∴a>0时原不等式的解集为[-a,0]2. a<0时I>II>∴a<0时,原不等式的解集为3.a=0时,原不等式化为此时解集为分析二:用数形结合解不等式解二:在同一直角坐标系XOY中作曲线C:,作直线l: y=2x+a由得∴如图〔3〕得a>0时,原不等式的解集为[-a,0]如图〔4〕得,a<0时,原不等式的解集为当a=0时,解法同解法一〔略〕例3.若对于任意实数x,不等式恒成立,求a的取值X围.分析一:系数较繁,但有联系,先换元,化简不等式.令t=,则原不等式化为:<3+t>x2-2tx+2t>0 令f<x>=<3+t>x2-2tx+2t考察二次函数f<x>的图象知:得t>0∴>0 得0<a<1,即a的取值X围为0<a<1.凸函数的概念:[定义]如果函数f<x>满足对定义域上任意两个数x1,x2都有<f<x1>+f<x2>>/2>=f<<x1+x2>/2>,那么f<x>为凹函数,或下凸函数.[定义]如果函数f<x>满足对定义域上任意两个数x1,x2都有<f<x1>+f<x2>>/2<=f<<x1+x2>/2>,那么f<x>为凸函数,或上凸函数.同样,如果不等式中等号只有x1=x2时才成立,我们分别称它们为严格的凹凸函数。
高一数学基础知识讲义函数及其性质
第二讲 函数及其性质函数及其相关概念 ⑴映射:设,A B 是两个非空集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A 中的任何一个元素,在集合B 中都有唯一的元素与它对应,这样的对应关系叫做从集合A 到集合B 的映射。
记作::f A B →。
⑵象与原象:给定一个集合A 到集合B 的映射,且,a A b B ∈∈,如果,a b 对应那么元素b 叫做元素a 的象,元素a 叫做元素b 的原象。
⑶一一映射:设,A B 是两个非空集合,:f A B →是集合A 到集合B 的映射,并且对于集合B 中的任意一个元素,在集合A 中都有且只有一个原象,把这个映射叫做从集合A 到集合B 的一一映射。
⑷函数:设集合A 是一个非空数集,对A 中的任意数x ,按照确定的法则f,都有唯一确定的数y 与它对应,则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数,记作:(),y f x x A =∈这里x 叫自变量,自变量的取值范围叫做这个函数的定义域,所有函数值构成的集合,叫做这个函数的值域。
这里可以看出一旦一个函数的定义域与对应法则确定,则函数的值域也被确定,所以决定一个函数的两个条件是:定义域和对应法则。
⑸函数的表示方法:解析法、图像法、列表法。
⑹区间:定 义名 称 符 号{}x a x b ≤≤ 闭区间 [],a b {}x a x b << 开区间 (),a b{}x a x b ≤< 半开半闭区间 [),a b {}x a x b <≤半开半闭区间(],a b闭区间是包括端点,开区间不包括端点。
实数集R 可以表示为(),-∞+∞,“∞”读作“无穷大”,例如:“3x ≥”可以表示为[)3,+∞,“4x <-”可以表示为(),4-∞-。
高考要求:了解映射的概念,理解函数的有关概念,掌握对应法则图像等性质,能够熟练求解函数的定义域、值域。
例题讲解: 夯实基础一、判断下列关系哪些是映射。
1),,:A Z B Z f ==平方; 2),,:A R B R f +==平方;3){}11,,:A x x B R f =-≤<=求倒数;4){},0,1,:A N B f ==当n 为奇数时,1n →;当n 为偶数时,0n →;5){},Z A C Z B -==正奇数,:21,f n m n →=-其中,n A m B ∈∈; 二、已知()23,1x f x x +=-求()(),2f t f x +。
高中数学—函数的基本性质—完整版课件
• 当 > 时, − < ,则
• − = −
− = − = − ().
• 综上,对 ∈ (−∞,) ∪ (,+∞),
• ∴ ()为奇函数.
都有 − = − ().
奇偶性判定
• 【解析】 (4) =
−
−
• 定义域为 −, 关于原点对称
• ③一个奇函数,一个偶函数的积是 奇函数 .
函数的奇偶性
• 判断函数的奇偶性
• 1、首先分析函数的定义域,在分析时,不要把函数化简,而要根据
原来的结构去求解定义域,如果定义域不关于原点对称,则一定是非
奇非偶函数.
• 2、如果满足定义域对称,则计算(−),看与()是否有相等或互为
相反数的关系.
−
−−
+
++
−+
• 即
= 恒成立,
• 则2(+)2+2=0对任意的实数恒成立.
• ∴ ==0.
函数的单调性
+
•
(2)∵ =
∈ 是奇函数, 只需研究(, +∞)上()的单调区间即可.
•
任取, ∈ (,+∞),且 < ,则
应值,故函数取得最值时,一定有相应的x的值.
抽象函数的单调性
• 函数()对任意的、 ∈ ,都有 + = + − ,并且当
> 时,() > .
• (1)求证:()是上的增函数;
• (2)若()=,解不等式( − − ) < .
抽象函数的单调性
• ∴ ()=, ∴原不等式可化为( − − ) < (),
• ∵ ()是上的增函数,
第四讲 函数常考知识复习讲义(学生版)
第四讲函数常考知识复习讲义I本章知识思维导图 2 II典型例题 3题型一:求具体函数与抽象函数的定义域 3题型二:求函数的解析式 4题型三:求函数的值域 5题型四:函数的单调性 6题型五:函数的奇偶性 8题型六:函数性质的综合应用 10题型七:幂函数 12题型八:函数的实际应用 14 III数学思想方法 19①分类讨论思想 19②转化与化归思想 19③数形结合思想 20I本章知识思维导图II典型例题题型一:求具体函数与抽象函数的定义域【例1】(2024·广东深圳·高一校考期中)函数y=9-x2x的定义域是.【例2】(2024·上海松江·高一校考期末)函数y=xx2-1的定义域为(用区间表示).【例3】(2024·河南新乡·高一校联考期末)函数f x =8x2-x2-1的定义域为.【例4】(2024·新疆乌鲁木齐·高一校考期中)若函数f x 的定义域为-1,2,则函数f3+2x的定义域是.【例5】(2024·高一课时练习)已知函数f(x+1)的定义域是[-2,2],则函数f(x)的定义域是.【例6】(2024·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考阶段练习)已知函数f x 的定义域为0,+∞,则函数F x =f x+2+3-x的定义域为.【例7】(2024·全国·高一专题练习)已知函数f x+1的定义域为1,2,则f2x的定义域为.【例8】(2024·全国·高一专题练习)已知函数f x 的定义域为-1,1则y=f x+1x2-2x-3的定义域为【例9】(2024·全国·高一专题练习)已知函数f2x的定义域为12,2,则函数f x2的定义域为.【例10】(2024·全国·高一专题练习)函数f3x+1的定义域为1,7,则函数f x 的定义域是.【例11】(2024·河南郑州·高一校考阶段练习)已知函数f(x)是一次函数且f(f(x))+2f(x)=-x-2,则函数f(x)的解析式为.【例12】(2024·全国·高一专题练习)已知f x 是二次函数.且f x+1+f x-1=2x2-4x.则f x =.【例13】(2024·四川眉山·高一校考阶段练习)已知f x+1=2x2+3,则f x =.【例14】(2024·高一课时练习)已知函数f x+1=x,则函数f x 的解析式是.【例15】(2024·全国·高一专题练习)已知f1x=x1-x2,则f x =.【例16】(2024·江苏盐城·高一统考期中)已知函数f(x)满足f3-2x=x2-x,则f(x)=.【例17】(2024·全国·高一专题练习)已知f1+1 x=1x-1,则f x =.【例18】(2024·上海·高一专题练习)已知函数f x 满足2fx-1x+f x+1x=1+x,其中x∈R且x≠0,则函数f x 的解析式为【例19】(2024·高一课时练习)已知函数y=f(x)满足f(x)=2f1x+x,则f(x)的解析式为.【例20】(2024·全国·高一专题练习)求下列函数的值域.(1)f x =2x+41-x;(2)f x =5x+4x-2;(3)f x =x2-2x-3,x∈-1,4(4)y=x2+x+1x【例21】(2024·高一课时练习)求下列函数的值域.(1)y=5x+4x-1;(2)y=x-1-2x;(3)y=2--x2+4x.【例22】(2024·高一课时练习)求下列函数的值域.(1)y=16-x2;(2)y=x2-4x+61≤x≤5;(3)y=xx+1;(4)y=2x+41-x.【例23】(2024·全国·高一课堂例题)求下列函数的值域:(1)y=x+1,x∈1,2,3,4,5;(2)y=x2-2x+3,x∈0,3;(3)y=2x+1x-3x>4;(4)y=2x-x-1;(5)y=x2-2x+4x-2x>2;(6)y=2xx2+3x+4x<0;(7)y=2x2+2x+5x2+x+1.【例24】(2024·高一校考课时练习)求下列函数的值域:(1)y =2x +1x -3,(2)y =x +4xx >0 ,(3)y =-2x 2+x +3,(4)y =x +41-x题型四:函数的单调性【例25】(2024·高一课时练习)定义域为(-2,0)∪(0,2)的函数f (x )在区间(-2,0)上是增函数,在区间(0,2)上是减函数,则:(1)函数y =-f (x )的单调递增区间是;单调递减区间是;(2)函数y =-f (x +1)的单调递增区间是;单调递减区间是.【例26】(2024·山东·高一山东省实验中学校考阶段练习)函数y =7+6x -x 2的单调递增区间为.【例27】(2024·全国·高一专题练习)已知函数f x =x +1x -52x >0 ,则f x 的递减区间是.【例28】(2024·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中)函数f x =xx -1,x ≤0-x 2-a +1 x +2a ,x >0在R 上单调递减,则实数a 的取值范围是.【例29】(2024·全国·高一课堂例题)已知函数f x 在0,+∞ 上单调递减,对任意x ∈0,+∞ ,均有f x ⋅f f x +2x =13,记g x =f x +4x 2,x ∈0,+∞ ,则函数g x 的最小值为.【例30】(2024·安徽安庆·高一安庆市第七中学校考期中)若f x =x 2-ax +2a 在区间1,+∞ 上是增函数,则实数a 的取值范围是.【例31】(2024·全国·高一专题练习)设函数f x =x +1,x <a a x -2 2,x ≥a,若f x 存在最大值,则实数a 的取值范围为.【例32】(2024·全国·高一专题练习)函数f (x )=x +1x-a +a 在区间[1,2]上的最大值为5,则a =.【例33】(2024·湖北武汉·高一校联考期中)函数f x 是定义在0,+∞ 上的增函数,若对于任意正实数x ,y ,恒有f xy =f x +f y ,且f 3 =1,则不等式f x +f x -8 <2的解集是.【例34】(2024·全国·高一专题练习)已知函数y =f x 的定义域为R ,对任意的x 1、x 2,且x 1≠x 2都有f x 1 -f x 2 x 1-x 2 >0成立,若f x 2+1 >f t 2-t -1 对任意x ∈R 恒成立,则实数t 的取值范围是.【例35】(2024·全国·高一假期作业)定义在R 上的函数f (x )的图象关于直线x =2对称,且f (x )在(-∞,2)上是增函数,则f (-1)与f (3)的大小关系是.【例36】(2024·全国·高一课堂例题)证明函数f x =x +1xx >0 在区间0,1 上递减,在区间1,+∞ 上递增,并指出函数在区间0,+∞ 上的最值点和最值.【例37】(2024·全国·高一专题练习)已知函数f (x )对任意的实数x 、y 都有f (x +y )=f (x )+f (y )-1,且当x>0时,f (x )>1.求证:函数f (x )在R 上是增函数.【例38】(2024·河北邯郸·高一校考期末)已知定义在(0,+∞)上的函数f (x )满足:①对任意的x ,y ∈(0,+∞),都有f (xy )=f (x )+f (y );②当且仅当x >1时,f (x )<0成立.(1)求f (1);(2)用定义证明f (x )的单调性;【例39】(2024·天津·高一统考期中)已知函数f(x)=x2+a2ax+b是奇函数,且f1 =2.(1)求f x 的解析式;(2)判断f x 在区间0,1上的单调性并说明理由.题型五:函数的奇偶性【例40】(2024·新疆巴音郭楞·高一八一中学校考期中)已知f x =11+x(x∈R,且x≠-1),g x =x2+2x∈R.(1)求f g2的值;(2)判断函数g x =x2+2x∈R的奇偶性;(3)证明函数g x =x2+2在0,+∞上是增函数.【例41】(2024·湖南株洲·高一株洲二中校考阶段练习)已知定义在-1,1上的奇函数f x =ax-bx2+1,且f-12=-25.(1)求函数f x 的解析式;(2)判断f x 的单调性(并用单调性定义证明);(3)解不等式f(3t)+f(2t-1)<0.【例42】(2024·全国·高一随堂练习)判断下列函数是否具有奇偶性:(1)f(x)=5x+3;(2)f(x)=5x;(3)f(x)=2x2+1;(4)f(x)=x2+6x+9;(5)f(x)=1x2+2x4;(6)f(x)=x+1x3.【例43】(2024·全国·高一期中)已知函数f(x)=2x-ax,且f(2)=92.(1)求实数a的值;(2)判断该函数的奇偶性;(3)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并证明.【例44】(2024·甘肃白银·高一校考期中)已知函数f x =x2-ax+4,g x =x+b ax2+2.(1)若f x+1在b-1,b+1上为偶函数,求a,b的值;(2)设g x 的定义域为-1,1,在(1)的条件下:①判断函数g x 在定义域上的单调性并证明;②若g t-1+g2t<0,求实数t的取值范围.【例45】(2024·全国·高一期中)已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足:①∀x,y∈(-∞,0)∪(0, +∞),f(x⋅y)=f(x)+f(y);②当x>1时,f(x)>0,且f2 =1.(1)试判断函数f x 的奇偶性;(2)判断函数f x 在0,+∞上的单调性;(3)求函数f x 在区间[-4,0)∪(0,4]上的最大值;(4)求不等式f(3x-2)+f(x)≥4的解集.【例46】(2024·江西南昌·高一南昌市八一中学校考阶段练习)已知函数y=f x 是定义在R上的奇函数,当x>0时,f x =x2-ax,其中a∈R(1)求函数y=f x 的解析式;(2)若函数y=f x 在区间0,+∞不单调,求出实数a的取值范围.【例47】(2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第二高级中学校考期末)设函数f x 是增函数,对于任意x,y∈R都有f x+y=f x +f y .(1)写一个满足条件的f x 并证明;(2)证明f x 是奇函数;(3)解不等式12f x2-f x >12f3x.题型六:函数性质的综合应用【例48】(多选题)(2024·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中)函数f(x)=x+1,g(x)=(x+1)2,用M(x)表示f(x),g(x)中的较大者,记为M(x)=max{f(x),g(x)},则下列说法正确的是()A.M(2)=3B.∀x≥1,M(x)≥4C.M(x)有最大值D.M(x)最小值为0【例49】(多选题)(2024·江苏南通·高一统考期末)奇函数f x 与偶函数g x 的定义域均为R,在区间a,ba<b上都是增函数,则()A.0∉a,bB.f x 在区间-b,-a上是增函数,g x 在区间-b,-a上是减函数C.f x g x 是奇函数,且在区间a,b上是增函数D.f x -g x 不具有奇偶性,且在区间a,b上的单调性不确定【例50】(多选题)(2024·福建福州·高一校联考期中)已知连续函数f x 对任意实数x恒有f(x+y)=f(x)+ f(y)-1,当x>0时,f x >1,f1 =2,则()A.f0 =1B.f x 在-4,4上的最大值是4C.f x 图像关于-1,0中心对称D.不等式f3x2-2f x <f3x-2的解集为0,5 3【例51】(多选题)(2024·江西赣州·高一统考期中)世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯,其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数y=x ,x 表示不超过x的最大整数,例如1,1=1,-1,1=-2.已知函数f x =x-x ,则()A.f x 在R上是增函数B.f-3 2=12C.f x 为奇函数D.f x 的值域为0,1【例52】(多选题)(2024·全国·高一专题练习)已知定义域为R的函数f x 满足:∀x,y∈R,f x+y+f x-y=f x f y ,且f1 =1,则下列结论成立的是()A.f0 =2B.f x 为偶函数C.f x 为奇函数D.f2 =-1【例53】(多选题)(2024·全国·高一专题练习)设函数f x 是定义在0,+∞上的函数,并且满足下面三个条件:①对正数x,y都有f xy=f x +f y ;②当x>1时,f x >0;③f8 =3.则下列说法不正确的是()A.f1 =1B.f14=-2C.不等式f x +f x-3<2的解集为x|-1<x<4D.若关于x的不等式f kx+f3-x≤2恒成立,则k的取值范围是0,16 9【例54】(多选题)(2024·重庆长寿·高一统考期末)若函数f x 在定义域内D内的某区间M是增函数,且f xx在M上是减函数,则称f x 在M上是“弱增函数”,则下列说法正确的是()A.若f x =x4则不存在区间M使f x 为“弱增函数”B.若f x =x+x-1则存在区间M使f x 为“弱增函数”C.若f x =x5+x3+x则f x 为R上的“弱增函数”D.若f x =x2+4-ax+a在区间0,2上是“弱增函数”,则a=4【例55】(2024·福建漳州·高一校考期中)已知定义在区间0,+∞上的函数f x =t x+4 x-5(t>0).(1)若函数f x 分别在区间0,2,2,+∞上单调,试求t的取值范围;(直接写出答案)(2)当t=1时,在区间1,4上是否存在实数a,b,使得函数f x 在区间a,b上单调,且f x 的取值范围为ma,mb,若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.【例56】(2024·全国·高一期中)已知函数f x =ax2-x+2a-1a>0(1)设f x 在区间1,2的最小值为g a ,求g a 的表达式;(2)设h x =f xx,若函数h x 在区间1,2上是增函数,求实数a的取值范围.【例57】(2024·高一单元测试)已知偶函数f(x)的定义域是{x|x≠0}的一切实数,对定义域内的任意x1,x2都有f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0,f(2)=1.(1)证明:f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数;(2)解不等式f(2x-1)<2.题型七:幂函数【例58】(2024·全国·高一专题练习)已知幂函数f x =x-m2-2m+3-2<m<2,m∈Z满足:①f x 在0,+∞上为增函数,②对∀x∈R,都有f-x-f x =0,求同时满足①②的幂函数f x 的解析式,并求出x∈1,4时,f x 的值域.【例59】(2024·浙江金华·高一校考期中)已知点2,2在幂函数f(x)的图像上.(1)求f(x)的解析式;(2)若函数g(x)=f(x)+ax+3,x∈1,+∞是否存在实数a,使得g(x)最小值为5?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由【例60】(2024·全国·高一假期作业)已知幂函数f x =m2-6m+10x-n2+4n n>1,n∈Z,m∈R的图象关于y轴对称,且在0,+∞上单调递增.(1)求m和n的值;(2)求满足不等式2a+3-m3<a-1-n2的a的取值范围.【例61】(2024·江苏南通·高一海安高级中学校考期中)已知幂函数f x =m 2-5m +7 x m -1为奇函数.(1)求实数m 的值;(2)求函数g x =14f x +1+12-f x -14<x <2 的最小值.【例62】(2024·黑龙江七台河·高一勃利县高级中学校考期中)已知幂函数y =x m 2-2m -3(m ∈N ∗)关于y 轴对称,且在0,+∞ 上单调减函数.(1)求m 的值;(2)解关于a 的不等式a +1 2m3<3-2a 2m3.【例63】(2024·广西柳州·高一柳铁一中校联考阶段练习)已知幂函数f x =k 2+k -1 x 2-k 1+k ,且f 2 <f 3 .(1)求函数f x 的解析式;(2)试判断是否存在正数m ,使得函数g x =1-f x +2mx 在区间0,1 上的最大值为5,若存在,求出m 的值,若不存在,请说明理由.【例64】(2024·广东佛山·高一佛山市顺德区乐从中学校考期中)已知幂函数f x =m 2-2m -2 x m 在0,+∞ 上单调递增.(1)求f x 的解析式;(2)若f x >3x 2+k -1 x 在1,3 上恒成立,求实数k 的取值范围.【例65】(2024·浙江杭州·高一校联考期中)已知幂函数f (x )=x -3n 2+9(n ∈N )为偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递增(1)求函数y =f (x )的解析式;(2)设函数g (x )=3f (x )+2tx +3,求函数y =g (x )在区间[2,6]上的最小值G (t ).【例66】(2024·福建漳州·高一福建省华安县第一中学校考阶段练习)已知幂函数f x =2m2-5m+3x m是定义在R上的偶函数.(1)求f x 的解析式;(2)在区间-1,1上,f x 的图象总在函数y=kx-2图象的上方,求实数k的取值范围.【例67】(2024·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期中)已知幂函数f x =m2-5m+7x m-1,且f x =f-x.(1)求函数f x 的解析式;(2)若g x =f xf x +1,a,b均为正数且g a +g b =1,求f a +f b 的最小值.题型八:函数的实际应用【例68】(2024·全国·高一专题练习)党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革,培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革,从单一产品转为生产A、B两种产品,根据市场调查与市场预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图①;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图②(注:所示图中的横坐标表示投资金额,单位为万元).(1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式;(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A、B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元资金,才能使企业获得最大利润,最大利润是多少?【例69】(2024·全国·高一专题练习)某企业为进一步增加市场竞争力,计划在2024年利用新技术生产某款新手机,通过市场调研发现,生产该产品全年需要投入研发成本250万元,每生产x(千部)手机,需另外投入成本R x 万元,其中R x =10x2+100x+800,0<x<50504x+10000x-2-6450,x≥50,已知每部手机的售价为5000元,且生产的手机当年全部销售完.(1)求2024年该款手机的利润y关于年产量x的函数关系式;(2)当年产量x为多少时,企业所获得的利润最大?最大利润是多少?【例70】(2024·全国·高一专题练习)党的二十大报告提出“积极稳妥推进碳达峰碳中和”,降低能源消耗,建设资源节约型社会.日常生活中我们使用的LED灯具就具有节能环保的作用,它环保不含汞,可回收再利用,功率小,高光效,长寿命,有效降低资源消耗.经过市场调查,可知生产某种LED灯需投入的年固定成本为3万元,每生产x万件该产品,需另投入变动成本W(x)万元,在年产量不足6万件时,W x =12x2+x,在年产量不小于6万件时,W x =7x+81x-37.每件产品售价为6元.假设该产品每年的销量等于当年的产量.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式.(注:年利润=年销售收入-固定成本-变动成本)(2)年产量为多少万件时,年利润最大?最大年利润是多少?【例71】(2024·全国·高一专题练习)某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律,计划利用学校空地建造一间室内面积为900m 2的矩形温室,在温室内划出三块全等的矩形区域,分别种植三种植物,相邻矩形区域之间间隔1m ,三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m 宽的通道,左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m 宽的通道,如图.设矩形温室的室内长为x (单位:m ),三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位:m 2).(1)求S 关于x 的函数关系式;(2)求S 的最大值,并求出此时x 的值.【例72】(2024·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试)党中央、国务院对节能减排高度重视,各地区、各部门认真贯彻党中央、国务院关于“十三五”节能减排的决策部署,把节能减排作为转换发展方式,经济提质增效,建设生态文明的重要抓手,取得重要进展.新能源汽车环保、节能、以电代油,减少排放,既符合我国国情,也代表了汽车产业发展的方向.为了响应国家节能减排的号召,2020年常州某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析:全年需投入固定成本2500万元.每生产x (百辆)新能源汽车,需另投入成本C x 万元,且C x =10x 2+500x ,0<x <40901x +10000x-4300,x ≥40.由市场调研知,每辆车售价9万元,且生产的车辆当年能全部销售完.(1)请写出2020年的利润L x (万元)关于年产量x (百辆)的函数关系式;(利润=销售-成本)(2)当2020年产量为多少百辆时,企业所获利润最大?并求出最大利润.【例73】(2024·浙江衢州·高一校考阶段练习)2020年初,新冠肺炎疫情袭击全国,对人民生命安全和生产生活造成严重影响.为降低疫情影响,某厂家拟尽快加大力度促进生产.已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x),当年产量不足80千件时,C(x)=12x2+20x(万元).当年产量不小于80千件时,C(x)=51x+10000x-600(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?【例74】(2024·高一课时练习)新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺,某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x0≤x≤10(万元)的专项补贴,并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府x(万元)补贴后,防护服产量将增加到t=k⋅6-12 x+4(万件),其中k为工厂工人的复工率(0.5≤k≤1).A公司生产t万件防护服还需投入成本20+9x+50t(万元).(1)将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入);(2)对任意的x∈0,10(万元),当复工率k达到多少时,A公司才能不产生亏损?(精确到0.01).【例75】(2024·山西晋城·高一晋城市第一中学校校考阶段练习)新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺,某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x(x∈[0,10])(万元)的专项补贴,并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.A公司在收到政府x(万元)补贴后,防护服产量将增加到t=k⋅ (万件),其中k为工厂工人的复工率(k∈[0.5,1]).A公司生产t万件防护服还需投入成本6-12x+4(20+9x+50t)(万元).(1)将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入);(2)在复工率为k时,政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大?III 数学思想方法①分类讨论思想【例76】设函数f (x )=x +2,g (x )=x 2-x -1.用M (x )表示f (x ),g (x )中的较大者,记为M (x )=max{f (x ),g (x )},则M (x )的最小值是()A.1B.3C.0D.-54【例77】已知幂函数f (x )=(m 2-2m -2)x 2-m 满足f (2)<f (3),则函数g (x )=2x +m -x -m 的值域为()A.-258,+∞ B.[-3,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)【例78】若定义在R 的奇函数f (x )在0,+∞ 单调递增,且f (-3)=0,则满足xf (x +1)≤0的x 的取值范围是()A.[-2,0]∪[1,4]B.[-4,-1)∪[0,2]C.[-4,-1]∪[0,2]D.[-4,-1]∪[3,+∞)【例79】已知函数f x =x 2-2ax +2,x ≤1x +9x-3a ,x >1的最小值为f 1 ,则a 的取值范围是()A.[1,3]B.3,+∞C.0,3D.-∞,1 ∪3,+∞【例80】已知函数f (x )=|x 2+bx |(b ∈R ),当x ∈[0,1]时,f (x )的最大值为M b ,则M b 的取值范围是()A.[1,+∞)B.[3-22,+∞)C.[4-23,+∞)D.[5-25,+∞)②转化与化归思想【例81】定义在R 上的奇函数f (x )在[0,+∞)上单调递减,且f (-2)=1,则满足-1≤f (x -1)≤1的x 的取值范围是()A.[-2,2]B.[-2,1]C.[-1,3]D.[0,2]【例82】已知函数f x =3x+1,x≤1x2-1,x>1,若n>m,且f(n)=f(m),设t=n-m,则t的最大值为()A. 1B.5-1C.1712 D.43【例83】若定义在R的奇函数f(x)在-∞,0单调递减,且f2 =0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是()A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]【例84】设a=0.40.6,b=0.60.8,c=0.80.4,则()A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c【例85】已知函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值,则实数k的取值范围是()A.[160,+∞)B.(-∞,40]C.(-∞,40]∪[160,+∞)D.(-∞,20]∪[80,+∞)【例86】函数f(x)=3+2x-x2的单调递增区间是()A.(-∞,1]B.[1,+∞)C.[1,3]D.[-1,1]③数形结合思想【例87】已知函数f(x)为奇函数,x>0时为增函数且f2 =0,则{x|f(x-2)>0}=.()A.{x|0<x<2或x>4}B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6}D.{x|x<-2或x>2}【例88】已知定义在R上的偶函数f(x)满足:①对任意的x 1,x2∈0,+∞,且x1≠x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0成立;②f(-2)=0.则不等式f(x)x>0的解集为()A.(-2,0)∪(2,+∞)B.(-∞,-2)∪(0,2)C.(-2,0)∪(0,2)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)21数学是打开科学大门的钥匙//邦达数学高一讲义宝剑锋从磨砺出【例89】已知函数f (x )=-x 2+4x ,x ∈[m ,5]的值域是[-5,4],则实数m 的取值范围是()A.(-∞,-1)B.(-1,2]C.[-1,2]D.[2,5]【例90】奇函数f (x )在-∞,0 上单调递减,且f 2 =0,则不等式f (x )>0的解集是.()A.(-∞,-2)∪(0,2)B.(-∞,0)∪(2,+∞)C.(-2,0)∪(0,2)D.(-2,0)∪(2,+∞)【例91】如图,直线l 和圆C ,当l 从l 0开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转到(转到角不超过90{^°})时,它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数,这个函数的图像大致是()A.B.C.D.【例92】已知函数y =f (x )是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当x <0时,函数的图像如图所示,则不等式xf (x )>0的解集为()22越努力越幸运//邦达数学高一讲义梅花香自苦寒来A.(-2,-1)∪(1,2)B.(-2,-1)∪(0,1)∪(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(-1,0)∪(1,2)D.(-∞,-2)∪(-1,0)∪(0,1)∪(2,+∞)。
高中数学函数知识点总结(精华版)知识分享
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1. 函数的定义和性质
- 定义:函数是一个将各个元素从一个集合映射到另一个集合的规则。
- 函数的性质:单调性、奇偶性、周期性等。
2. 基本函数
- 幂函数:y = x^n,n为常数,图像为直线或曲线。
- 三角函数:包括正弦函数、余弦函数、正切函数等,图像具有周期性。
- 指数函数:y = a^x,a为正常数,图像单调递增或递减。
- 对数函数:y = log_a(x),a为正常数,图像单调递增或递减。
3. 函数的运算与变换
- 四则运算:加法、减法、乘法、除法。
- 复合运算:由两个或多个函数构成一个新的函数。
- 反函数:原函数与定义域互为值域的函数。
- 平移、压缩、翻折等函数的变换。
4. 函数的图像与性质
- 函数图像的绘制和分析方法。
- 函数的最值、零点、极值等特性。
5. 函数的应用
- 函数在物理、经济等领域的应用。
- 函数在数学建模中的应用。
6. 解函数方程
- 求函数方程的解法与步骤。
以上是高中数学函数知识点的精华总结和知识分享。
掌握这些知识能够帮助学生更好地理解和应用函数概念,提升数学能力。
注:本文档内容仅为总结分享,并不保证所有内容的正确性,请酌情参考。
高三总复习数学课件 函数的概念及表示
答案:B
2.已知函数 f(x)的定义域为[-2,1],则函数 f(3x-1)的定义域为
()
A.(-7,2)
B.13,23
C.[-7,2]
D.-13,23
解析:设 3x-1=t,由函数 f(x)的定义域为[-2,1],得函数 f(t)的定义域为[-
2,1],即-2≤t≤1,因此-2≤3x-1≤1,解得-13≤x≤23.
三要素
定义域 、对应关系 、值域 是构成函数的三要素
(3)表示函数的常用方法
解析法
一般情况下,必须注明函数的定义域
列表法
选取的自变量要有代表性,能反映定义域的特征
注意定义域对图象的影响:与x轴垂直的直线与函数图象最多有一个 图象法
公共点
2.分段函数
在函数定义域内,对于自变量x取值的不同区间,有着不同的 对应关系 , 定义
[题点全训] 1.函数 y= -lgx(2x++21x)+3的定义域为
()
A.(-1,3]
B.(-1,0)∪(0,3]
C.[-1,3]
D.[-1,0)∪(0,3]
-x2+2x+3≥0, 解析:要使函数有意义,x 需满足x+1>0,
x+1≠1,
解得-1<x<0 或 0<x≤3,
所以函数的定义域为(-1,0)∪(0,3].故选 B.
系 B中都有 唯一 确定的数y和它对应
名称
称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法
_y_=__f_(x_)_,__x_∈__A_
(2)构成函数的三要素
定义域 值域
在函数y=f(x),x∈A中,x叫做 自变量 ,x的取值范围A叫做函 数的 定__义__域__
与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做 函数的__值__域__
高一数学《函数及其表示》知识讲解
高一数学《函数及其表示》知识讲解高一数学《函数及其表示》知识讲解《函数及其表示》是高一数学的一个知识点,下面小编为大家介绍高一数学《函数及其表示》知识讲解,希望能帮到大家!考点一映射的概念1.了解对应大千世界的对应共分四类,分别是:一对一多对一一对多多对多2.映射:设A和B是两个非空集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都存在唯一的一个元素y 与之对应,那么,就称对应f:A→B为集合A到集合B的一个映射(mapping).映射是特殊的对应,简称“对一”的对应。
包括:一对一多对一考点二函数的概念1.函数:设A和B是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都存在唯一确定的数y与之对应,那么,就称对应f:A→B为集合A到集合B的一个函数。
记作y=f(x),xA.其中x叫自变量,x的.取值范围A叫函数的定义域;与x的值相对应的y的值函数值,函数值的集合叫做函数的值域。
函数是特殊的映射,是非空数集A到非空数集B的映射。
2.函数的三要素:定义域、值域、对应关系。
这是判断两个函数是否为同一函数的依据。
3.区间的概念:设a,bR,且a<b.我们规定:①(a,b)={xa<x<b}②[a,b]={xa≤x≤b}③[a,b)={xa≤x<b}④(a,b]= {xa<x≤b}⑤(a,+∞)={xx>a}⑥[a,+∞)={xx≥a}⑦(-∞,b)={xx<b}⑧(-∞,b]={xx≤b}⑨(-∞,+∞)=R考点三函数的表示方法1.函数的三种表示方法列表法图象法解析法2.分段函数:定义域的不同部分,有不同的对应法则的函数。
注意两点:①分段函数是一个函数,不要误认为是几个函数。
②分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集。
能力知识清单考点一求定义域的几种情况①若f(x)是整式,则函数的定义域是实数集R;②若f(x)是分式,则函数的定义域是使分母不等于0的实数集;③若f(x)是二次根式,则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合;④若f(x)是对数函数,真数应大于零。
函数的概念及其表示讲义- 高考一轮复习
§2.1 函数的概念及其表示课标要求 1.了解函数的含义.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数,并会简单的应用.知识梳理1.函数的概念一般地,设A ,B 是________________,如果对于集合A 中的________一个数x ,按照某种确定的对应关系f ,在集合B 中都有__________的数y 和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数,记作y =f (x ),x ∈A .2.函数的三要素(1)函数的三要素:__________、____________、____________.(2)如果两个函数的______________相同,并且____________完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有____________、图象法和____________.4.分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.常用结论1.直线x =a 与函数y =f (x )的图象至多有1个交点.2.在函数的定义中,非空实数集A ,B ,A 即为函数的定义域,值域为B 的子集.3.分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.课前预习1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同,则这两个函数是同一个函数.( )(2)任何一个函数都可以用图象法表示.( )(3)直线y =a 与函数y =f (x )的图象可以有多个交点.( )(4)函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x -1,x ≥0,x 2,x <0的定义域为R .( )高三数学062.(多选)下列图象中,是函数图象的是( )3.(多选)下列选项中,表示的不是同一个函数的是( )A .y =x +33-x 与y =x +33-xB .y =x 2与y =(x -1)2C .y =x 2与y =xD .y =1与y =x 04.已知函数f (x -1)=x 2+4x -5,则f (x )的解析式是________________________. 典例精讲题型一 函数的概念例1 (1)(多选)下列说法中正确的有( )A .f (x )=|x |x 与g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x ≥0,-1,x <0表示同一个函数 B .函数f (x )=x +1-1x的定义域是[-1,0)∪(0,+∞) C .f (x )=x 2-2x +1与g (t )=t 2-2t +1是同一个函数D .若f (x )=|x -1|-x ,则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12=0(2)已知函数f (x )的定义域为[-2,3],则函数f (2x -1)的定义域为____________________.变式训练1 (1)下列各组函数表示同一个函数的是( )A .f (x )=x 2,g (x )=(x )2B .f (x )=1x -1,g (x )=1x -1C .f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x ,x ≥0,-x ,x <0,g (t )=|t | D .f (x )=x +1,g (x )=x 2-1x -1 (2)已知函数f (x )的定义域为[2,8],则函数h (x )=f (2x )+9-x 2的定义域为( )A .[4,16]B .(-∞,1]∪[3,+∞)C .[1,3]D .[3,4]题型二 函数的解析式例2 (1)已知f (x+1)=x ,求f (x )的解析式;(2)已知f ⎝⎛⎭⎫x 2+1x 2=x 4+1x 4,求f (x )的解析式; (3)已知f (x )是一次函数且3f (x +1)-2f (x -1)=2x +17,求f (x )的解析式;(4)若对任意实数x ,均有f (x )-2f (-x )=9x +2,求f (x )的解析式.变式训练2 (1)若f ⎝⎛⎭⎫1x =x 1-x ,则f (x )=________________________.(2)已知f (f (x ))=4x +9,且f (x )为一次函数,则f (x )=_____________________.题型三 分段函数例3 (1)(多选)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,-2≤x <1,-x +2,x ≥1,则下列关于函数f (x )的结论正确的是( ) A .f (x )的定义域为R B .f (x )的值域为(-∞,4]C .若f (x )=2,则x 的值是-2D .f (x )<1的解集为(-1,1)(2)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2-3x +2,x <-1,2x -3,x ≥-1,若f (a )=4,则实数a 的值是________;若f (a )≥2,则实数a 的取值范围是_____________________________________.变式训练3 (1)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2(2-x ),x ≤0,f (x -3),x >0, 则f (2 023)等于( )A .0B .1C .2D .3(2) ※.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,x ≤0,2x ,x >0,则满足f (x )+f ⎝⎛⎭⎫x -12>1的x 的取值范围是________. 课堂小结课后反思函数的概念及其表示限时训练1.函数f (x )=lg(x -2)+1x -3的定义域是( ) A.(2,+∞) B.(2,3) C.(3,+∞) D.(2,3)∪(3,+∞)2.(多选)下列各图中,能表示函数y =f (x )的图象的是( )3.已知函数f (x +2)=x 2-3x +4,则f (1)=( )A.4B.6C.7D.84.(多选)下列函数中,与函数y =x +2是同一个函数的是( )A.y =(x +2)2B.y =3x 3+2C.y =x 2x+2 D.y =t +2 5.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +2,x ≤0,x +1x,x >0,若f (f (a ))=2,则a 等于( ) A.0或1 B.-1或1 C.0或-2 D.-2或-16.已知函数f (x )对任意的x 都有f (x )-2f (-x )=2x ,则f (x )=________.7.(1)已知f (x +1)=2x 2-x +3,求f (x ).(2)已知f (f (x ))=4x +9,且f (x )为一次函数,求f (x ).(3)已知函数f (x )满足2f (x )+f ⎝⎛⎭⎫1x =x ,求f (x ).8. ※已知函数f (x )=lg 1-x 1+x,则函数g (x )=f (x -1)+2x -1的定义域是( ) A.{x |x >2,或x <0} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x <2 C.{x |x >2} D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12 9. ※已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,x >1,x 2-1,x ≤1,则f (x )<f (x +1)的解集为________. 10. ※用max{a ,b }表示a ,b 两个数中的最大值,设函数f (x )=max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫|x |,1x (x >0),若f (x )≥m -1恒成立,则m 的最大值是________。
高中函数知识点总结ppt
高中函数知识点总结ppt1. 函数的定义和性质函数是数学中一种非常重要的概念,它描述了自变量和因变量之间的关系。
函数可以用不同的方式来表示,例如显式表达式、隐式方程、参数方程等。
函数具有以下性质:•定义域和值域:函数的定义域是自变量可能取值的范围,而值域是函数的取值范围。
•奇偶性:函数可以根据奇偶性分为奇函数和偶函数。
奇函数满足f(x)=−f(−x),而偶函数满足f(x)=f(−x)。
•单调性:函数可以是增函数或减函数。
增函数满足当x1<x2时,f(x1)<f(x2),而减函数则相反。
•反函数:如果函数的定义域和值域互换,且满足一一对应的关系,那么函数的反函数存在。
2. 基本函数及其图像2.1. 线性函数线性函数是最简单的一类函数,其表示形式为f(x)=kx+b,其中k和b分别是函数的斜率和截距。
2.2. 幂函数幂函数的形式为f(x)=x a,其中a可以是实数或有理数。
2.3. 指数函数指数函数的形式为f(x)=a x,其中a是一个正实数。
2.4. 对数函数对数函数和指数函数是互为反函数的,对数函数的形式可以表示为$f(x)=\\log_a{x}$。
2.5. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等,它们的图像具有周期性和对称性。
3. 函数的运算与复合3.1. 函数的加减运算两个函数的加减运算可以简单地通过对应的函数值之间进行加减操作得到。
3.2. 函数的乘法运算两个函数的乘法运算需要将函数值进行相乘得到新的函数。
3.3. 函数的复合运算函数的复合运算指的是将一个函数的输出作为另一个函数的输入,得到新的函数。
4. 函数的导数与极限4.1. 导数的定义导数描述了函数在某一点的变化率,可以用极限的概念来定义。
函数f(x)在点x0处的导数可以表示为$f'(x_0)=\\lim_{x\\to x_0}\\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$。
4.2. 导数的计算导数的计算可以通过求函数的极限或应用导数的基本公式和规则来进行。
最全函数知识点总结高中
最全函数知识点总结高中一、函数的基本概念1.1 函数的定义函数是一个非常基本的数学概念。
在数学上,函数是一种对应关系,它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
用数学符号表示就是:对于两个集合A和B,如果存在一个规则f,它使得对于A中的每个元素x,都有一个唯一的y属于B与之对应,那么我们说f是从A到B的一个函数,记作f:A→B。
其中A称为定义域,B称为值域。
1.2 函数的概念在我们的日常生活中,我们可以看到很多函数的例子。
比如,将一个数字加上3,或者乘以2,这就是两个函数的例子。
我们可以看到,函数本质上就是一种输入与输出的关系。
1.3 函数的符号表示函数一般用字母f,g,h等表示,其定义为:y=f(x),表示x是自变量,y是因变量。
1.4 函数的自变量和因变量在函数中,自变量是输入的值,它在定义域中取值;而因变量是输出的值,它在值域中取值。
1.5 函数的图象函数的图象是函数在一个坐标系中的表示,它可以帮助我们更直观地了解函数的性质和规律。
1.6 函数的性质函数有很多的性质,比如奇偶性、单调性、周期性等等。
1.7 函数的分类函数可以分为初等函数和非初等函数。
初等函数包括多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。
非初等函数包括无穷级数、常微分方程等。
1.8 逆函数如果函数f有定义域A和值域B,对于B中的每一个y,存在一个唯一的x属于A与之对应,那么我们称这个函数有逆函数,记作f^(-1)。
1.9 复合函数如果有两个函数f和g,使得f的值域是g的定义域,那么我们可以定义一个新的函数h(x)=f(g(x)),这就是复合函数。
1.10 函数的性质与变化函数有很多的性质和变化规律,比如极值、单调性、周期性、奇偶性等等。
对于这些性质和变化,我们可以通过函数的图象和导数来进行分析。
1.11 函数的运算函数之间可以进行加减乘除的运算,还可以进行求泛函、求复合函数、求逆函数等。
二、函数的表示与运用2.1 函数的表示方法函数可以用方程的形式、图象的形式、表格的形式、文字的形式等来表示。
高一数学必修一函数讲义(谷风教育)
第二章、函数第一节、函数、函数1、函数的定义:设集合A是一个非空的数集,对A中的任意数x,按照确定的法则f,都有唯一确定的数y与它对应,这种对应关系叫做集合A上的一个函数,记作y = /(x), 其中,x 叫做自变量,自变量的取值范围叫做函数的定义域。
所有函数值构成的集合,即{y|y = /(x),A-eA)叫做这个函数的值域。
2、检验两个给定的变量之间是否具有函数关系,需检验:(1)定义域和对应法则是否给出;(2)根据给出的对应法则,自变量x在其定义域中的每一个值,是否都能确定唯一的函数值y。
例2、下列等式中,能表示y是x的函数的是()A. y = ±y/xB. y2 = x + \C. y = \/-l-x23、如何判断函数的定义域:(1)分式的分母不能为零:(2)开偶次方根的被开方数要不小于零:(3)多个函数经过四则运算混合得到的函数定义域是多个定义域的交集:(4)函数d中x不为零。
例3、求下列函数的定义域3-2天3 + (2) /(x) = V2x-1 :(1)/(') =(3) f(x) = (x 2-4)°;(4) /(x) = 7^-4 + -^―x + 2例4、求下列函数值域(1) f(x) = 2x + l,xe{123,4} (2) f(x) =x 2-2x —l,xe[0,3]4、函数的3要素:定义域、值域和对应法则。
判断两个函数相同的依据就是函数的三要素完全相同。
注:在函数关系式的表述中,函数的定义域有时可以省略,这时就约定这个函数的定义域就是 使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合。
例5、下列各对函数中,是相同函数的是()R./(x) = G',g(x)=x B. /(x) = J?,g(x) = x C. f(x) = y [^,g(x) = \x\ D. /(X ) = V X ',^(X ) = |A |5、区间:设 a, beR,且 a 〈b,满足aWxWb 的全体实数x 的集合,叫做闭区间,记作[a,b ]: 满足aVx<b 的全体实数x 的集合,叫做开区间,记作(a,b):满足aWxVb 或aVxWb 的全体实数x 的集合,都叫做半开半闭区间,分别记作[a,b )或(a, b ]: 分别满足x 》a, x>a, xWa, xVa 的全体实数的集合分别记作[a, + 8),( a, +8),( -8,a ],( -8,a)。
函数的奇偶性 - 高中数学讲义与经典例题解析版
函数的奇偶性知识讲解一、函数奇偶性的定义1.奇函数:设函数()y f x =的定义域为D ,如果对于D 内的任意一个x ,都有x D -∈,且()()f x f x -=-,则这个函数叫做奇函数.2.偶函数:设函数()y f x =的定义域为D ,如果对于D 内的任意一个x ,都有x D -∈,且()()f x f x -=,则这个函数叫做偶函数.二、奇偶函数的图象特征1.函数()y f x =是偶函数⇔()y f x =的图象关于y 轴对称;2.函数()y f x =是奇函数⇔()y f x =的图象关于原点对称.三、判断函数奇偶性的方法1.定义法:首先判断其定义域是否关于原点中心对称.若不对称,则为非奇非偶函数;若对称,则再判断()()f x f x -=-或()()f x f x -=是否为恒等式.定义的等价形式:()()0f x f x ±-=,()1()f x f x =±-.2.图象法3.性质法:设()f x ,()g x 的定义域分别是12,D D ,那么在它们的公共定义域12D D D = 上:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇⨯奇=偶,偶⨯偶=偶,奇⨯偶=奇;四、奇偶函数的性质1.函数具有奇偶性⇒其定义域关于原点对称;2.函数()y f x =是偶函数⇔()y f x =的图象关于y 轴对称;3.函数()y f x =是奇函数⇔()y f x =的图象关于原点对称.4.奇函数在对称区间上的单调性相同;偶函数在对称区间上的单调性相反.5.若奇函数()y f x =的定义域包含0,则(0)0f =.五、常见函数的奇偶性1.正比例函数(0)y kx k =≠是奇函数;2.反比例函数(0)k y k x=≠是奇函数;3.函数(00)y kx b k b =+≠≠,是非奇非偶函数;4.函数2(0)y ax c a =+≠是偶函数;5.常函数y c =是偶函数;6.对勾函数(0)k y x k x=+≠是奇函数;经典例题一.填空题(共12小题)1.给定四个函数:①y=x3+3;②y=1(x>0);③y=x3+1;④y=2+1.其中是奇函数的有①④(填序号).【解答】解::①函数的定义域为R,则f(﹣x)=﹣(x3+3)=﹣f(x),则函数f(x)是奇函数;②函数的定义域关于原点不对称,则函数f(x)为非奇非偶函数;③函数的定义域为R,f(0)=0+1=1≠0,则函数f(x)为非奇非偶函数;④函数的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),f(﹣x)=2+1−=﹣2+1=﹣f (x),则函数f(x)是奇函数,故答案为:①④2.f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x2﹣3x,则当x>0时,f(x)=﹣x2﹣3x.【解答】解:∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x),若x>0,则﹣x<0,∵x<0时,f(x)=x2﹣3x,∴当﹣x<0时,f(﹣x)=x2+3x=﹣f(x),∴f(x)=﹣x2﹣3x,故答案为:x2﹣3x,3.已知f(x)是R上偶函数,且在[0,+∞)上递减,比较o−34)与f(1+a+a2)的大小关系为f(1+a+a2)≤f(﹣34).【解答】解:根据题意,1+a+a2=(14+a+a2)+34=(a+12)2+34≥34,则又由f (x )在[0,+∞)上递减,则有f (1+a +a 2)≤f (34),又由f (x )是R 上偶函数,则有f (1+a +a 2)≤f (﹣34),故答案为:f (1+a +a 2)≤f (﹣34).4.已知f (x )是定义在(﹣1,1)上的奇函数,且在定义域上为增函数,若f (a ﹣2)<f (4﹣a 2),求a 2).【解答】解:因为f (x )是定义在(﹣1,1)上的奇函数,且在定义域上为增函数.所以f (a ﹣2)<f (4﹣a 2)等价于−1<−2<1−1<4−2<1−2<4−2,化简可得1<<33<2<5−3<<2解可得3<a <2.故答案为(3,2).5.设函数f (x )在R 上是偶函数,在区间(﹣∞,0)上递增,且f (2a 2+a +1)<f (2a 2﹣2a +3),则a 的取值范围=(23,+∞).【解答】解:根据题意,2a 2+a +1=2(a 2+12a +116)+78=2(a +12)2+78≥78,而2a 2﹣2a +3=2(a 2﹣a +14)+52=2(a ﹣12)2+52≥52;由f (x )在R 上是偶函数,在区间(﹣∞,0)上递增,可知f (x )在(0,+∞)上递减.若f (2a 2+a +1)<f (2a 2﹣2a +3),则2a 2+a +1>2a 2﹣2a +3,即3a ﹣2>0,解可得a >23,则a 的取值范围(23,+∞);故答案为:23,+∞).6.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=x2+2x(x≥0),若f(3﹣a2)>f(2a﹣a2),则实数a的取值范围是a<32.【解答】解:∵函数f(x)=x2+2x(x≥0)是增函数,且f(0)=0,f(x)是奇函数∴f(x)是R上的增函数.由f(3﹣a2)>f(2a﹣a2),于是3﹣a2>2a﹣a2,因此,解得a<32.故答案为:a<32.7.若f(x)=ax3+bx+1﹣b是定义在区间[﹣4+a,a]的奇函数,则a+b= 3.【解答】解:∵f(x)=ax3+bx+1﹣b是定义在区间[﹣4+a,a]的奇函数,∴﹣4+a+a=0,f(0)=0.解得a=2,b=1.∴a+b=3.故答案为:3.8.若f(a+b)=f(a)•f(b)且f(1)=2.则o2)o1)+o3)o2)+…+o2012)o2011)=4022.【解答】解:令b=1.∴f(a+1)=f(a)f(1)or1)op=f(1)=2o2)o1)=2.o3)o2)=2. (2012)o2011)=2o2)o1)+o3)o2)+…+o2012)o2011)=2011×2=4022.答案:4022.9.已知函数f(x)满足f(ab)=f(a)+f(b),且f(2)=p,f(3)=q,那么f(72)=3p+2q.【解答】解:由题意可知:f(6)=f(2)+f(3)=p+q∴f(18)=f(6)+f(3)=p+q+q=p+2q∴f(36)=f(18)+f(2)=p+2q+p=2p+2q∴f(72)=f(36)+f(2)=2p+2q+p=3p+2q故答案为:3p+2q.10.已知函数f(x)的定义域D=(0,+∞),且对于任意x1,x2∈D,均有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2)﹣1,且当x>1时,f(x)>1(1)求f(1)的值;(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;(3)若f(16)=3,解不等式f(3x+1)≤2.【解答】解:(1)令x1=x2=1,∴f(1)=f(1)+f(1)﹣1∴f(1)=1,(2):设令0<x1<x2,21>1,当x>1时,f(x)>1∴f(21)>1,∴f(21•x1)=f(x2)=f(21)+f(x1)﹣1>f(x1),∴f(x)在(0,+∞)上是增函数;(3)令x1=x2=4,∴f(16)=f(4)+f(4)﹣1=3∴f(4)=2,∴f(3x+1)≤2=f(4),∵f(x)在(0,+∞)上是增函数;∴3+1>03+1≤4,解得−13<x≤1,故不等式f(3x+1)≤2的解集为(−13,1].11.已知f(x)是定义域在(0,+∞)上的单调递增函数.且满足f(6)=1.f(x)﹣f(y)=f()(x>0,y>0).则不等式f(x+3)<f(12的解集是(0,−3+3172).【解答】解:∵f(x)﹣f(y)=f()(x>0,y>0),令x=36,y=6,得f(36)﹣f(6)=f(6)∴f(36)=2f(6)=2,∵f(x+3)<f(1)+2,∴f(x+3)﹣f(1)=f(x(x+3))<2=f(36),∵f(x)是定义域在(0,+∞)上的单调递增函数,+3>0>0o+3)<36∴0<x−3+3172故不等式f(x+3)<f(1)+2的解集是(0,−3+3172),故答案为:(0−3+3172),12.已知函数f(x),对任意实数x1,x2都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),且当x>0时f(x)>0,f(2)=1.解不等式f(2x2﹣1)<2的解集为[﹣102,102].【解答】解:∵f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),设x1=x2=0,可得f(0)=2f(0),解得f(0)=0,令x1+x2=0,可得f(0)=f(x1)+f(x2),即有f(﹣x)=﹣f(x),即f(x)为奇函数;令x1<x2,即有x2﹣x1>0,f(x2﹣x1)>0,即为f(x2)=f(x1+x2﹣x1)=f(x1)+f(x2﹣x1)>f(x1),即有f(x)在R上为增函数;令x1=x2=2,可得f(4)=2f(2),解得f(4)=2,∵不等式f(2x2﹣1)<2=f(4)∴2x2﹣1<4,102<x<102102,102].102,102].二.解答题(共6小题)13.设函数y=f(x)(x∈R)对任意实数均满足f(x+y)=f(x)+f(y),求证f(x)是奇函数.【解答】证明:定义域关于原点对称,令x=y=0,代入f(x+y)=f(x)+f(y)得f(0)=0,令y=﹣x得:f(0)=f(x)+f(﹣x)=0,∴f(﹣x)=﹣f(x),∴f(x)是奇函数.14.判断并证明下列函数的奇偶性.(Ⅰ)f(x)=|x|+12;(Ⅱ)f(x)=x2+2x;(Ⅲ)f(x)=x+1.【解答】解:(Ⅰ)可得x≠0f(﹣x)=|﹣x|+1(−p2=f(x),故函数为偶函数;(Ⅱ)函数的定义域为R,且f (x )=x 2+2x 的图象为抛物线,对称轴为x=﹣1,不关于y 轴对称,也不关于原点对称,故函数非奇非偶;(Ⅲ)可得x ≠0,f (﹣x )=﹣x ﹣1=﹣f (x ),故函数为奇函数.15.判断下列函数的奇偶性:(1)f (x )=3,x ∈R ;(2)f (x )=5x 4﹣4x 2+7,x ∈[﹣3,3];(3)f (x )=|2x ﹣1|﹣|2x +1|;(4)f (x )=1−2,>00,=02−1,<0.【解答】解:(1)由f (﹣x )=3=f (x ),x ∈R ,可得函数f (x )为偶函数;(2)f (﹣x )=5(﹣x )4﹣4(﹣x )2+7=5x 4﹣4x 2+7=f (x ),x ∈[﹣3,3],可得函数f (x )为偶函数;(3)定义域为R ,f (﹣x )=|﹣2x ﹣1|﹣|﹣2x +1|=|2x +1|﹣|2x ﹣1|=﹣f (x ),可得f (x )为奇函数;(4)f (x )=1−2,>00,=02−1,<0,定义域为R ,当x >0时,﹣x <0,可得f (﹣x )=(﹣x )2﹣1=x 2﹣1=﹣f (x ),当x=0可得f (0)=0;当x <0时,﹣x >0,可得f (﹣x )=1﹣(﹣x )2=1﹣x 2=﹣f (x ),即有f(﹣x)=﹣f(x),可得f(x)为奇函数.16.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=a(a∈R)(2)f(x)=(1+x)3﹣3(1+x2)+2(3)f(x)=o1−p,<0o1+p,>0.【解答】解:(1)由奇偶性定义当a=0时,f(x)=0既是奇函数又是偶函数,当a≠0时,f(x)=f(﹣x)=a,故是偶函数;(2)f(x)=(1+x)3﹣3(1+x2)+2=x3+3x,由于f(x)+f(﹣x)=x3+3x+(﹣x)3+3(﹣x)=0,故f(x)=(1+x)3﹣3(1+x2)+2是奇函数.(3)当x<0时,﹣x>0,f(﹣x)=﹣x(1﹣x)=﹣f(x);当x>0时,﹣x<0,f(﹣x)=﹣x(1+x)=﹣f(x);由上证知,在定义域上总有f(﹣x)=﹣f(x);故函数f(x)=o1−p,<0o1+p,>0是奇函数.17.已知函数op=B2+23r是奇函数,且o2)=53.(1)求实数a,b的值;(2)判断函数f(x)在(﹣∞,﹣1]上的单调性,并加以证明.【解答】解:(1)函数op=B2+23r是奇函数,且o2)=53,可得f(﹣x)=﹣f(x),B2+2−3r=﹣B2+23r,可得﹣3x+b=﹣3x﹣b,解得b=0;4r26=53,解得a=2;(2)函数f(x)=22+23在(﹣∞,﹣1]上单调递增;理由:设x1<x2≤﹣1,则f(x1)﹣f(x2)=23(x1+11)﹣23(x2+12)=23(x1﹣x2)(1﹣112),由x1<x2≤﹣1,可得x1﹣x2<0,x1x2>1,即有1﹣112>0,则f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),则f(x)在(﹣∞,﹣1]上单调递增.18.已知f(x)=1+.(1)求f(x)+f(1)的值;(2)求f(1)+f(2)+…+f(7)+f(1)+f(12)+…+f(17)的值.【解答】解:(1)∵f(x)=1+.∴f(x)+f(1)=1++11+1=1++11+=1,(2)由(1)得:f(1)+f(2)+…+f(7)+f(1)+f(12)+…+f(17)=7.。
高中数学讲义:函数的极值
函数的极值一、基础知识:1、函数极值的概念:(1)极大值:一般地,设函数()f x 在点0x 及其附近有定义,如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x <,就说()0f x 是函数()f x 的一个极大值,记作()0y f x =极大值,其中0x 是极大值点(2)极小值:一般地,设函数()f x 在点0x 及其附近有定义,如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x >,就说()0f x 是函数()f x 的一个极小值,记作()0y f x =极小值,其中0x 是极小值点极大值与极小值统称为极值2、在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值。
请注意以下几点:(1)极值是一个局部概念:由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小(2)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点3、极值点的作用:(1)极值点为单调区间的分界点(2)极值点是函数最值点的候选点4、费马引理:()f x 在0x x =处可导,那么0x x =为()f x 的一个极值点Þ()0'0f x =说明:①前提条件:()f x 在0x x =处可导②单向箭头:在可导的前提下,极值点Þ导数0=,但是导数0=不能推出0x x =为()f x 的一个极值点,例如:3y x =在()0,0处导数值为0,但0x =不是极值点③费马引理告诉我们,判断极值点可以通过导数来进行,但是极值点的定义与导数无关(例如:y x =在()0,0处不可导,但是0x =为函数的极小值点)5、求极值点的步骤:(1)筛选:令()'0f x =求出()'f x 的零点(此时求出的点有可能是极值点)(2)精选:判断函数通过()'f x 的零点时,其单调性是否发生变化,若发生变化,则该点为极值点,否则不是极值点(3)定性:通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点:先增后减→极大值点,先减后增→极小值点6、在综合题分析一个函数时,可致力于求出函数的单调区间,当求出单调区间时,极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来,并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点,换言之,求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。
函数的概念及其表示 课件-2025届高考数学一轮复习
如:= ≥ 与= .
2.分段函数
不同
若函数在其定义域的④______子集上,因对应关系不同而分别用几个
不同的式子
⑤____________来表示,这种函数称为分段函数.
分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段
定义域的并集,值域是各段值域的并集.
1.直线 = 与函数 = 的图象至多有1个交点.
若
+ , ≥ ,
−
=____.
解析:由题意得,
所以
= × + = ,
= = + = −,
所以 = −, = − × = −.
−
= −,则实数 =____,
关于分段函数求值问题的解题思路
B.3
C.1
)
D.−
+ + ≥ ,
+ + ≥ ,
解析:选A.由
得
由题知不等式组的解
+ > ,
> −,
集为[, +∞),所以 = 为方程 + + = 的一个根,即
+ + = ,解得 = −.经检验 = −符合题意,故选A.
+
= + ,则 =______.
解析:设 = + ≠ ,则
= + + = + + = + ,
= ,
= ,
故
解得
故 = + .
3.1.1 函数的概念(解析版)高一数学同步讲义(新教材人教A版必修第一册)
10 / 103.1.1 函数的概念一、知识点归纳知识点1. 函数的有关概念 (1)函数的概念(2)同一个函数:如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值相同,那么这两个函数是同一个函数.(3)函数的三要素:定义域、对应关系、值域是函数的三要素,缺一不可. 知识点2.知识点二 区间及相关概念 (1)区间的概念及记法设a ,b 是两个实数,而且a <b ,我们规定:(2)无穷大实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”.(3)特殊区间的表示二、题型分析题型一函数的定义【例1】根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数:(1)A={1,2,3},B={7,8,9},f(1)=f(2)=7,f(3)=8;(2)A={1,2,3},B={4,5,6},对应关系如图所示;(3)A=R,B={y|y>0},f:x→y=|x|;10 / 10(4)A=Z,B={-1,1},n为奇数时,f(n)=-1,n为偶数时,f(n)=1.【答案】见解析【解析】对于集合A中的任意一个值,在集合B中都有唯一的值与之对应,因此(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数.(2)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素,且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应,故所给对应关系不是集合A到集合B的函数.(3)A中的元素0在B中没有对应元素,故所给对应关系不是集合A到集合B的函数.【规律方法总结】(1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法:∈A,B必须都是非空数集;∈A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应.【注意】A中元素无剩余,B中元素允许有剩余.(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x,y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”,而不能是“一对多”.【变式1】. 下列对应或关系式中是A到B的函数的是()A.A=R,B=R,x2+y2=1 B.A={1,2,3,4},B={0,1},对应关系如图:C.A=R,B=R,f:x→y=1 x-2D.A=Z,B=Z,f:x→y=2x-1【答案】B【解析】:A错误,x2+y2=1可化为y=±1-x2,显然对任意x∈A,y值不唯一.B正确,符合函数的定义.C错误,2∈A,在B中找不到与之相对应的数.D错误,-1∈A,在B中找不到与之相对应的数.10 / 1010 / 10题型二 求函数的定义域【例2】求下列函数的定义域.(1)y =3-12x ;(2)y =(x +1)0x +2;(3)y =5-x |x |-3;(4)f (x )=x +1-x 2-3x +4. 【答案】见解析【解析】(1)函数y =3-12x 的定义域为R.(2)由于0的零次幂无意义,故x +1≠0,即x ≠-1. 又x +2>0,即x >-2,所以x >-2且x ≠-1. 所以函数y =(x +1)0x +2的定义域为{x |x >-2且x ≠-1}.(3)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5-x ≥0,|x |-3≠0,解得x ≤5,且x ≠±3,所以函数y =5-x|x |-3的定义域为{x |x ≤5且x ≠±3}. (4)要使函数f (x )有意义,则⎩⎪⎨⎪⎧x +1≥0,-x 2-3x +4>0,即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥-1,(x +4)(x -1)<0,解不等式组得-1≤x <1. 因此函数f (x )的定义域为{x |-1≤x <1}.10 / 10【规律方法总结】求函数定义域的常用方法 (1)若f (x )是分式,则应考虑使分母不为零; (2)若f (x )是偶次根式,则被开方数大于或等于零;(3)若f (x )是指数幂,则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合; (4)若f (x )是由几个式子构成的,则函数的定义域要使各个式子都有意义; (5)若f (x )是实际问题的解析式,则应符合实际问题,使实际问题有意义. 【变式2】.设全集为R ,函数f (x )=2-x 的定义域为M ,则∈R M 为( ) A .(2,+∞) B .(-∞,2) C .(-∞,2] D .[2,+∞)【答案】A【解析】: 由2-x ≥0解得x ≤2,所以M =(-∞,2],所以∈R M =(2,+∞). 【变式3】.函数f (x )=x x -1的定义域为________.【答案】:{x |x ≥0且x ≠1}【解析】:要使x x -1有意义,需满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0,x -1≠0,解得x ≥0且x ≠1,故函数f (x )的定义域为{x |x ≥0且x ≠1}.题型三 同一函数(2)两个注意点:10 / 10题型四 求函数的值、值域问题【例4】(1)f (x )=2x 2+2,g (x )=1x +2,则f (2)=________;g (f (2))=________;g (a )+g (0)(a ≠-2)=________. (2)求下列函数的值域: ∈y =x +1,x ∈{1,2,3,4,5}; ∈y =x 2-2x +3,x ∈[0,3); ∈y =2x +1x -3;∈y =2x -x -1.【答案】:10112 1a +2+12【解析】(1)因为f (x )=2x 2+2, 所以f (2)=2×22+2=10, 又因为g (x )=1x +2,10 / 10所以g (f (2))=g (10)=110+2=112,g (a )+g (0)=1a +2+12(a ≠2).(2)∈观察法:因为x ∈{1,2,3,4,5},分别代入求值,可得函数的值域为{2,3,4,5,6}.∈配方法:y =x 2-2x +3=(x -1)2+2,由x ∈[0,3),再结合函数的图象(如图),可得函数的值域为[2,6). ∈分离常数法:y =2x +1x -3=2(x -3)+7x -3=2+7x -3,显然7x -3≠0,所以y ≠2.故函数的值域为(-∞,2)∈(2,+∞).∈换元法:设t =x -1,则t ≥0且x =t 2+1,所以y =2(t 2+1)-t =2⎝⎛⎭⎫t -142+158,由t ≥0,再结合函数的图象(如图),可得函数的值域为⎣⎡⎭⎫158,+∞. 【规律方法总结】1.函数求值的方法(1)已知f (x )的表达式时,只需用a 替换表达式中的x 即得f (a )的值. (2)求f (g (a ))的值应遵循由里往外的原则. 2.求函数值域常用的4种方法(1)观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到;(2)配方法:当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时,可利用配方法求其值域;(3)分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域;10 / 10(4)换元法:即运用新元代换,将所给函数化成值域易确定的函数,从而求得原函数的值域.对于f (x )=ax +b +cx +d (其中a ,b ,c ,d 为常数,且a ≠0)型的函数常用换元法. 【变式5】求下列函数的值域: (1)y =2x +1+1;(2)y =1-x 21+x 2.【解析】:(1)因为2x +1≥0,所以2x +1+1≥1,即所求函数的值域为[1,+∞). (2)因为y =1-x 21+x 2=-1+21+x 2,又函数的定义域为R ,所以x 2+1≥1, 所以0<21+x 2≤2,则y ∈(-1,1].所以所求函数的值域为(-1,1].三、课堂达标检测1.下列各个图形中,不可能是函数y =f (x )的图象的是( )【答案】:A【解析】:对于1个x 有无数个y 与其对应,故不是y 的函数. 2.已知函数f (x )=-1,则f (2)的值为( ) A .-2 B .-1 C .0 D .不确定 【答案】:B【解析】:因为函数f (x )=-1,4.函数y=1+2-x的定义域为()A.[1,+∞)B.(-∞,1]C.[2,+∞)D.(-∞,2]【答案】D【解析】:要使函数式有意义,需2-x≥0,解得x≤2.5.用区间表示下列数集:(1){x|x≥1}=________;(2){x|2<x≤4}=________;(3){x|x>-1,且x≠2}=________.【答案】:(1)[1,+∞)(2)(2,4](3)(-1,2)∈(2,+∞)6.已知函数f(x)=2x-3,x∈{x∈N|1≤x≤5},则函数f(x)的值域为________.【答案】:{-1,1,3,5,7}【解析】:定义域为{1,2,3,4,5},逐一代入求值可得值域为{-1,1,3,5,7}.10 / 1010 / 107.下列各组函数是同一个函数的是________.(填序号) ∈f (x )=-2x 3与g (x )=x -2x ; ∈f (x )=x 0与g (x )=1x0;∈f (x )=x 2-2x -1与g (t )=t 2-2t -1. 【答案】∈∈【解析】∈f (x )=-x -2x ,g (x )=x -2x ,对应关系不同,故f (x )与g (x )不是同一个函数; ∈f (x )=x 0=1(x ≠0),g (x )=1x 0=1(x ≠0),对应关系与定义域均相同,故是同一个函数;∈f (x )=x 2-2x -1与g (t )=t 2-2t -1,对应关系和定义域均相同,故是同一个函数. 8.若f (x )=1-x1+x (x ≠-1),求f (0),f (1),f (1-a )(a ≠2),f (f (2))的值.【答案】2【解析】:f (0)=1-01+0=1,f (1)=1-11+1=0,f (1-a )=1-(1-a )1+(1-a )=a2-a (a ≠2),f (f (2))=1-f (2)1+f (2)=1-1-21+21+1-21+2=2. 四、课后提升作业一、选择题1.已知f (x )=x 2+1,则f (f (-1))=( ) A .2 B .3 C .4D .510 / 10【答案】D【解析】: 因为f (-1)=(-1)2+1=2,所以f (f (-1))=f (2)=22+1=5.2.已知M ={x |-2≤x ≤2},N ={y |0≤y ≤2},函数f (x )的定义域为M ,值域为N ,则f (x )的图象可以是( )【答案】B【解析】: A 项中函数的定义域为[-2,0],C 项中对任一x 都有两个y 值与之对应,D 项中函数的值域不是[0,2],均不是函数f (x )的图象.故选B. 3.下列各组函数表示相等函数的是( ) A .y =x 2-3x -3与y =x +3(x ≠3)B .y =x 2-1与y =x -1C .y =x 0(x ≠0)与y =1(x ≠0)D .y =2x +1,x ∈Z 与y =2x -1,x ∈Z 【答案】C【解析】: 选项A 、B 及D 中对应关系都不同,故都不是相等函数. 4.函数f (x )=3x 21-x -23x +1的定义域是( )A.⎣⎡⎦⎤-13,1 B.⎝⎛⎭⎫-13,1 C.⎝⎛⎭⎫-13,13 D.⎝⎛⎭⎫-∞,-13 【答案】B【解析】: 由⎩⎪⎨⎪⎧1-x >0,3x +1>0,可得-13<x <1,从而得B 答案.10 / 105.若函数f (x )=ax 2-1,a 为一个正数,且f (f (-1))=-1,那么a 的值是( ) A .1 B .0 C .-1 D .2【答案】A【解析】: ∈f (x )=ax 2-1,∈f (-1)=a -1, f (f (-1))=f (a -1)=a ·(a -1)2-1=-1. ∈a (a -1)2=0. 又∈a 为正数,∈a =1.6.已知函数y =f (x ),则函数与直线x =a 的交点个数有( ) A .1个 B .2个 C .无数个 D .至多一个【答案】D【解析】根据函数的概念,在定义域范围内任意一个自变量x 的值都有唯一的函数值与之对应,因此直线x =a 与函数y =f (x )的图象最多只有一个交点.7.已知等腰三角形ABC 的周长为10,底边长y 关于腰长x 的函数关系式为y =10-2x ,则此函数的定义域为( ) A .RB .{x |x >0}C .{x |0<x <5} D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪52<x <5 【答案】 D【解析】 ∈∈ABC 的底边长显然大于0,即y =10-2x >0,∈x <5.又两边之和大于第三边,∈2x >10-2x ,∈x >52,∈此函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪52<x <5. 8.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式10 / 10为y =x 2,值域为{1,4}的“同族函数”的个数为( )A .6B .9C .12D .16 【答案】B【解析】由题意知,问题的关键在于确定函数定义域的个数.函数解析式为y =x 2,值域为{1,4},当x =±1时,y =1,当x =±2时,y =4,则定义域可以为{1,2},{1,-2},{-1,2},{-1,-2},{1,-1,2},{1,-1,-2},{-1,2,-2},{1,-2,2},{1,-1,2,-2},因此“同族函数”共有9个.二、填空题9.设f (x )=11-x ,则f (f (a ))=________.【答案】:a -1a(a ≠0,且a ≠1)【解析】:f (f (a ))=11-11-a =11-a -11-a =a -1a (a ≠0,且a ≠1).10.函数y =2x +41-x 的值域为________(用区间表示). 【答案】:(-∞,4]【解析】:令t =1-x ,则x =1-t 2(t ≥0), y =2x +41-x =2-2t 2+4t =-2(t -1)2+4. 又∈t ≥0,∈当t =1时,y max =4. 故原函数的值域是(-∞,4].11.设常数a ∈R ,函数f (x )=|x -1|+|x 2-a |,若f (2)=1,则f (1)=________. 【答案】3【解析】由f (2)=1+|22-a |=1,可得a =4,所以f (1)=|1-1|+|1-4|=3.12.若函数y =x 2-3x -4的定义域为[0,m ],值域为⎣⎡⎦⎤-254,-4,则m 的取值范围为________.10 / 10【答案】 ⎣⎡⎦⎤32,3【解析】 ∈当x =0或x =3时,y =-4;当x =32时,y =-254,∈m ∈⎣⎡⎦⎤32,3. 13.已知函数f (x )=2kx 2-4kx +k +3的定义域为R ,则k 的取值范围是________.【答案】 0≤k <1【解析】 由题意可得kx 2-4kx +k +3>0恒成立. ∈当k =0时,3>0恒成立,所以满足题意;∈当k ≠0时,须使⎩⎪⎨⎪⎧k >0,Δ=(4k )2-4k (k +3)<0, 解得0<k <1.综上所得,k 的取值范围为0≤k <1.三、解答题14.试求下列函数的定义域与值域: (1)f (x )=(x -1)2+1,x ∈{-1,0,1,2,3}; (2)f (x )=5x +4x -1; (3)f (x )=x -x +1. 【答案】见解析【解析】:(1)函数的定义域为{-1,0,1,2,3},则f (-1)=[(-1)-1]2+1=5,同理可得f (0)=2,f (1)=1,f (2)=2,f (3)=5,所以函数的值域为{1,2,5}.(2)函数的定义域是{x |x ≠1},y =5x +4x -1=5+9x -1,所以函数的值域为{y |y ≠5}.(3)要使函数式有意义,需x +1≥0,即x ≥-1,故函数的定义域是{x |x ≥-1}.设t =x +1,则x =t 2-1(t ≥0),10 / 10于是f (t )=t 2-1-t =⎝⎛⎭⎫t -122-54.又t ≥0,故f (t )≥-54.所以函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ≥-54. 15.(1)已知函数f (x )的定义域为[-1,5],求函数f (x -5)的定义域; (2)已知函数f (x -1)的定义域是[0,3],求函数f (x )的定义域; (3)若f (x )的定义域为[-3,5],求φ(x )=f (-x )+f (x )的定义域. 【答案】见解析【解析】 (1)由-1≤x -5≤5,得4≤x ≤10,所以函数f (x -5)的定义域是[4,10]. (2)由0≤x ≤3,得-1≤x -1≤2,所以函数f (x )的定义域是[-1,2].(3)已知f (x )的定义域为[-3,5],则φ(x )的定义域需满足⎩⎪⎨⎪⎧ -3≤-x ≤5,-3≤x ≤5,即⎩⎪⎨⎪⎧-5≤x ≤3,-3≤x ≤5,解得-3≤x ≤3.所以函数φ(x )的定义域为[-3,3]. 16.已知函数f (x )=x 21+x 2.(1)求f (2)+⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ,f (3)+⎪⎭⎫ ⎝⎛31f 的值;(2)由(1)中求得的结果,你发现f (x )与⎪⎭⎫⎝⎛x 1f 有什么关系?并证明你的结论; (3)求f (2)+⎪⎭⎫⎝⎛21f +f (3)+⎪⎭⎫ ⎝⎛31f +…+f (2 019)+f ⎪⎭⎫⎝⎛20191f 的值. 【答案】见解析【解析】:(1)∈f (x )=x 21+x 2,∈f (2)+f ⎝⎛⎭⎫12=221+22+⎝⎛⎭⎫1221+⎝⎛⎭⎫122=1,10 / 10f (3)+f ⎝⎛⎭⎫13=321+32+⎝⎛⎭⎫1321+⎝⎛⎭⎫132=1. (2)由(1)可发现f (x )+f ⎝⎛⎭⎫1x =1.证明:f (x )+f ⎝⎛⎭⎫1x =x 21+x 2+⎝⎛⎭⎫1x 21+⎝⎛⎭⎫1x 2=x 21+x 2+1x 2+1=x 2+1x 2+1=1. (3)由(2)知f (x )+f ⎝⎛⎭⎫1x =1,∈f (2)+f ⎝⎛⎭⎫12=1,f (3)+f ⎝⎛⎭⎫13=1,f (4)+f ⎝⎛⎭⎫14=1,…,f (2 019)+f ⎝⎛⎭⎫12 019=1. ∈f (2)+f ⎝⎛⎭⎫12+f (3)+f ⎝⎛⎭⎫13+…+f (2 019)+f ⎝⎛⎭⎫12 019=2 018.。
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高中数学常见函数研究 讲义一、一次函数和常函数:(一) 、一次函数 (二)、常函数 定义域:(- ∞,+ ∞) 定义域: (- ∞,+ ∞) 值 域:(- ∞,+ ∞) 正 k=0 反 值 域:{ b }解析式:y = kx + b ( k ≠ 0 ) 解析式:y = b ( b 为常数)图 像:一条与x 轴、y 轴相交的直线 图 像:一条与x 轴平行或重合的直线b>0 b=0 b<0 K > 0 k < 0单调性: k > 0 ,在(- ∞,+ ∞)↑ 单调性:在(- ∞,+ ∞)上不单调 k < 0 ,在(- ∞,+ ∞)↓奇偶性:奇函数⇔=0b 奇偶性: 偶函数 非奇非偶⇔≠0b周期性: 非周期函数 周期性:周期函数,周期为任意非零实数 反函数:在(- ∞,+ ∞)上有反函数 反函数:在(- ∞,+ ∞)上没有反函数 反函数仍是一次函数例题:二、二次函数1、定义域:(- ∞,+ ∞)2、值 域: ),44[,02+∞-∈>ab ac y a]44,(,02ab ac y a --∞∈<3、解析式:)0(2≠++=a c bx ax y4、图 像:一条开口向上或向下的抛物线开口向下,开口向上;正负:增大,开口缩小绝对值:随着,00<>a a a a正半轴相交与负半轴相交与y c y c c,0,0><对称轴:ab x 2-=对称轴: ;)44,2(2ab ac ab --顶点: 轴交点个数图像与x ac b →-=∆42:与x 轴交点的个数。
两个交点,0>∆一个交点,0=∆无交点,0<∆5、单调性:↑+∞-↓--∞>),2[]2,(,0ab ab a↓+∞-↑--∞<),2[]2,(,0ab ab a6、奇偶性:偶函数⇔=0b7、周期性:非周期函数8、反函数:在(- ∞,+ ∞)上无反函数,上及其子集上有反函数或在),2[]2,(+∞---∞ab ab例题:三、反比例函数和重要的分式函数(一)、反比例函数 (二)、分式函数bax dcx y ++= 定义域:(- ∞,0)∪(0,+ ∞) 定义域:),(),(+∞---∞aba b 值 域:(- ∞,0)∪(0,+ ∞) 值 域: ),(),(+∞-∞a c a c解析式:)0()(≠=k xk x f 解析式:)(a bx b ax d cx y -≠++=图 像:以x 轴、y 轴为渐进线的双曲线 图 像:以a b x -=和acy =为渐近线的双曲线单调性: k>0,(- ∞,0)↓,(0,+ ∞)↓ 单调性:在),(a b --∞和),(+∞-ab上 k<0,(- ∞,0)↑,(0,+ ∞)↑ 单调性相同 奇偶性:奇函数 奇偶性:非奇非偶 对称性:关于原点对称 对称性:关于点),(aca b -成中心对称 周期性:非周期函数 周期性:非周期函数反函数:在定义域上有反函数, 反函数:在定义域有反函数, 反函数是其本身。
反函数是)(acx c ax d bx y ≠-+-=(三)、)0()(>+=k x kx x f (四)、)0()(>-=k xk x x f 定义域:(- ∞,0)∪(0,+ ∞) 定义域:(- ∞,0)∪(0,+ ∞) 值 域:),2()2,(+∞--∞k k 值 域:(- ∞,+ ∞)图 像: 图 像:单调性:↑+∞↓↓-↑--∞),(,),0()0,(,),(k k k k 单调性:(- ∞,0)↑(0,+ ∞)↑奇偶性:奇函数 奇偶性:奇函数 对称性:关于原点对称 对称性:关于原点对称 四、指数函数、对数函数和幂函数 (一)、指数和对数运算及性质: 1、根式又因为(b a )n 可看作a n ·b -n,所以(b a )n =n n ba 可以归入性质(3).现在我们来研究如何用幂表示底数。
(1)、n 次方根的定义:若x n =a (n >1且n ∈N *),则x 叫a 的n 次方根. 问题:x 如何用a 表示呢?【平方根】偶次方根有下列性质:在实数范围内,正数的偶次方根有两个且互为相反数,负数没有偶次方根; 【立方根】奇次方根有下列性质:在实数范围内,正数的奇次方根是正数,负数的奇次方根是负数. (2)、n 次方根的性质:)(2,12,*N k kn a k n a x n n ∈⎪⎩⎪⎨⎧=±+==,其中n a 叫根式,n 叫根指数,a 叫被开方数.(3)、根式的运算性质①(a a n n =)()② ⎩⎨⎧=为偶数为奇数n a n a a n n |,|,(1)33)8(- (2)2)10(- (3)44)3(π-(4)2)(b a -(a >b )解:(1) 33)8(-=-8 (2) 2)10(-=|-10|(3) 44)3(π-=|3-π|=π-3 (4) 2)(b a -=|a -b |=a -b (a >b ) 例2、求值:63125.132)2(;246347625)1(⨯⨯---++分析:(1)题需把各项被开方数变为完全平方形式,然后再利用根式运算性质; 解:负去掉绝对值符号。
上绝对值,然后根据正注意:此题开方后先带22)22(3223|22||32||23|)22()32())23(()2(2222)3(3222)2(232)3(246347625)1(222222222=---++=----++=---++=+⨯--+⨯-++∙+=---++632322332322332322332125.132)2(62223626226362363=⨯⋅⋅⋅⨯⋅⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯====2、分数指数幂(1).正数的正分数指数幂的意义)1*,,0(>∈>=n N n m a a a n mnm 、 (2).规定: (1) )1*,,0(1>∈>=-n N n m a aanm nm 、(2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义.规定了分数指数幂的意义以后,指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a >0时,整数指数幂的运算性质,对于有理指数幂也同样适用. 若a >0,p 是一个无理数,则a p 表示一个确定的实数,上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用,有关概念和证明在本书从略.即对于任意实数r,s,均有下面的运算性质. 3.幂的运算性质 (1) ),0(R n m a a a a n m n m ∈>=⋅+、 (2) ),0()(R n m a a a nm n m ∈>=⋅、(3) ),0,0()(R m b a b a b a mm m ∈>>⋅=⋅例:求下列各式的值:(1)2523(2)2732(3)(4936)23(4)(425)23-(5)432981⨯(6)23×35.1×612解:(1)23223)5(25==53=125 (2)233323323)3(27⨯===32=9(3)34321676)76()76(])76[()4936(33323223223=====⨯(4)125852)52()25()25(])25[()425(333323223223======-⨯--(5)41324432442123244213224432)33(3333])3[(3981⨯=⨯=⨯=⨯=⨯⨯⨯=66141324143333)3()3(=⨯=⨯(6)23×35.1×612=2×321×(23)31×(3×22)61=2×321×331×231×361×231=(2×231-×231)×(321×331×361)=231311+-×3613121++=2×3=63、对数运算及运算性质:引例:假设1995年我国的国民生产总值为 a 亿元,如每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是1995年的2倍?设:经过x 年国民生产总值是1995年的2倍 则有 a (1+8%)x =2a 1.08x =2 用计算器或计算机作出函数图像,计算出x 值这是已知底数和幂的值,求指数的问题。
即指数式 a b =N 中,已知a 和N 求b 的问题。
(这里 a >0且a ≠1) (1).定义:一般地,如果 a (a >0且a ≠1)的b 次幂等于N, 就是 a b =N ,那么数 b 叫做 a 为底 N 的对数,记作 log a N =b ,a 叫做对数的底数,N 叫做真数。
(2)、指数式和对数式的互换:a b =N + - log a N =b例如:42=16 log 416=2 ; 102=100 log 10100=2421=2 log 42=12 ; 10-2=0.01 log 100.01=-2(3)、对数的性质①、负数与零没有对数 ← 在指数式中 N > 0 ②、)1,0(1log ,01log ≠>==a a a a a∵对任意 a >0且a ≠1, 都有 a 0=1 ∴log a 1=0 同样易知: log a a =1③、对数恒等式:1,0(log ≠>=a a N a N a如果把 a b =N 中的 b 写成 log a N, 则有 a N a log =N ④、指数恒等式:)1,0(log ≠>=a a b a b a ⑤、常用对数我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。
为了简便,N 的常用对数N N lg ,log 10简记为例如:log 105简记作lg 5 log 103.5简记作lg3.5. ⑥、自然对数在科学技术中常常使用以无理数e =2.71828……为底的对数,以e 为底的对数叫自然对数,为了简便,N 的自然对数N N e ln ,log 简记为。
例如:log e 3简记作ln3 log e 10简记作ln10 (4).运算性质:若a >0,a ≠1,M >0,N >0,则(1) N M N M a a a log log log +=⋅; (2) N M NMa a alog log log -=; (3) )(log log R n Mn M a n a ∈=【现在我们来证明运算性质,为了利用已知的幂的运算性质,应将对数形式根据对数的定义转化为指数形式,因此需要引进中间变量,起一定的过渡作用】.证明:(1)设log a M =p ,log a N =q由对数的定义得:M =a p ,N =a q ∴MN =a p ·a q =a p+q 再由对数定义得log a MN =p +q ,即证得log a MN =log a M +log a N (2)设log a M =p ,log a N =q 由对数的定义可以得 M =a p ,N =a q , ∴ MN =a pa q =a p -q ,再由对数的定义得 log a MN =p -q即证得log a MN =log a M -log a N(3)设log a M =p 由对数定义得M =a p ∴M n =(a p )n =a np 再由对数定义得 log a M n =np 即证得log a M n =nlog a M例:计算:(1)lg14-2lg 73 +lg 7-lg18 (2)lg243lg9 (3)lg 27 +lg8-3lg 10 lg1.2【解析】(1)、解法一:lg14-2lg 73+lg 7-lg18=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(32×2)=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0解法二:lg14-2lg 73 +lg7-lg18=lg14-lg (73)2+lg7-lg18=lg14×7(73)2×18 =lg1=0(2)lg243lg9 =lg35lg32 =5lg32lg3 =52(3)lg 27 +lg8-3lg 10 lg1.2 =lg (33)21+lg23-3lg (10)21lg 3×2210=32 (lg3+2lg2-1)lg3+2lg2-1 =32(5).对数换底公式:)0,10,10(log log log >≠>≠>=N m m a a aNN m m a 且且证明:设log a N =x , 则 a x =N两边取以m 为底的对数:log m a x =log m N ⇒x log m a =log m N 从而得:x =log m N log m a ∴ log a N =log m Nlog m a−→−两个常用的推论:① 1log log =⋅a b b a ② )且均不为、10(log log >=b a b mnb a na m 证:①log ab ·log b a =lg b lg a lg alg b =1②logma b n=lg b nlg a m =nlg b mlg a =nmlog a b 例:设 x 、y 、z ∈(0,+∞)且3x =4y =6z1︒ 求证 1x +12y =1z ; 2︒ 比较3x ,4y ,6z 的大小证明1︒:设3x =4y =6z =k ∵x 、y 、z ∈(0,+∞) ∴k >1 取对数得:x =lg k lg 3 , y =lg k lg4 , z =lg klg 6∴1x +12y =lg 3lg k +lg 42lg k =2lg 3+lg42lg k =2lg 3+2lg22lg k =lg 6lg k =1z2︒ 3x -4y =(3lg 3 -4lg 4 )lg k =lg64-lg81lg 3lg4 lg k =lg k ·lg6481 lg 3lg4<0∴3x <4y又4y -6z =(4lg 4 -6lg 6 )lgk =lg36-lg64lg 2lg6 lgk =lgk ·lg916 lg 2lg6<0∴4y <6z ∴3x <4y <6z(二)、指数函数、对数函数和幂函数已知N a b=,我们从函数的角度分别研究这三者之间的关系:关系一:N 如何随着b 的变化而变化→以指数为自变量、以幂为因变量的函数→指数函数; 关系二:N 如何随着a 的变化而变化→以底数为自变量、以幂为因变量的函数→幂函数; 关系三:a 如何随着b 的变化而变化→bbN N a 1==(指数为自变量、幂为因变量)→指数函数;+ —关系四:b 如何随着N 的变化而变化→N b a log =(以真数为自变量、以对数为因变量) →对数函数;关系五:a 如何随着N 的变化而变化→bb N N a 1==(以底数为自变量、幂为因变量) →指数函数关系六:b 如何随着a 的变化而变化→N b a log =; 定义:函数)1,0(≠>=a a a y x叫做指数函数,其中x 是自变量。