流体力学第六章 相似原理与量纲分析

• 相似准则： 相似准则：
粘性相似准则：保证两现象的雷诺数相等 粘性相似准则：
重力相似准则：保证两现象的弗劳德数相等 重力相似准则：
压差力相似，即欧拉数相等往往是两现象动力相似的结果 压差力相似，
本章小结
1.两液流流动相似必须满足： 1.两液流流动相似必须满足： 两液流流动相似必须满足 （1）几何相似——原形和模型两个流场的几何形状相似； （2）运动相似——原形和模型两个流场的速度场相似； （3）动力相似——原形和模型两个流场中各相应质点 所受的同名方向相同，大小成一固定比例； （4）初始条件和边界条件相似； 2.相似准则 相似准则： 相似准则、 相似准则、 2.相似准则：Re相似准则、 Fr相似准则、 Eu相似准则
式中： ——流体声速 ——弹性模量
当弹性力起主要作用时，如水击，空气动力学中的亚音速或 超音速运动等，动力相似有： （6-20） 6.斯特哈罗数（时间准则） 6.斯特哈罗数（时间准则） 斯特哈罗数 斯特哈罗数：非恒定流体流动中，当地加速度 ，这个 加速度所产生的惯性作用与迁移加速度的惯性作用之比。 （6-21） f——振动频率 对非恒定流，表明有变力作用，动力相似有： （6-22）
2.雷利法 . 雷利法是量纲和谐原理的直接应用， 雷利法的计算步骤： 1. 确定与所研究的物理现象有关的n 个物理 量； 2. 写出各物理量之间的指数乘积的形式，如： FD=kDx Uyρz µa 3. 根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应 该相同，确定物理量的指数x,y,z,a ，代入指 数方程式即得各物理量之间的关系式。 应用范围：一般情况下，要求相关变量未知 数n小于等于4~5个.
第10 章因次分析与模型试验
对于复杂的实际工程问题，直接应用 基本方程求解，在数学上极其困难，因此 需有赖于实验研究来解决。本章主要阐述 有关实验研究的基本理论和方法，包括流 动相似原理，相似准则，量纲和谐原理及 量纲分析方法等。
第一节 因次(量纲)分析 因次(量纲)
一、量纲和单位 单位（unit）：量度各种物理量数值大小的标准量，称单位。如长度单位 为m或cm等。——“量”的表征。 量纲（dimension）：是指撇开单位的大小后，表征物理量的性质和类别。 如长度量纲为[L]。 ——“质”的表征。 基本量纲（fundamental dimension）：具有独立性的不 能由其他量 量纲 纲推导出来的量纲叫做基本量纲。一般取长度、时间、质量，即[L-M-T] 诱导量纲（derived dimension）:是指由基本量纲导出的量纲。 量纲公式: 几何学量纲：α≠0,β=0,γ=0， 分类 运动学量纲：α≠0，β≠0，γ=0 动力学量纲：α≠0，β≠0，γ≠0 无量纲数（纯数，如相似准数）：α=0,β=0,γ=0，即[x]=[1]。 特点：（1）无量纲单位，它的大小与所选单位无关； （2）具有客观性； （3）在超越函数（对数、指数、三角函数）运算中，均应用无量纲数.
弗汝德（重力） 2.弗汝德（重力）准则 （6-11） 一般取 （6-12） 当重力起主要作用时，动力相似有： （6-13） 适用范围：凡有自由水面并且允许水面上下自由变的 各种流动（重力起主要作用的流动），如堰坝溢流、孔口 出流、明槽流动、紊流阻力平方区的有压管流与隧洞流动 等。
.欧拉准则
流体流动以动水总压力为主要作用力的情况： （6-14） 当压力起主要作用时，动力相似有： （6-15）
（4）确定无量纲π参数：由量纲和谐原理解联立指数方程，求出 各π项的指数x，y，z，从而定出各无量纲π参数. （5）写出描述现象的关系式 或显解一个π参数，如： 或求得一个因变量的表达式
选择基本量时的注意原则： 1）基本变量与基本量纲相对应。即若基本量纲（M，L，T）为 三个，那么基本变量也选择三个；倘若基本量纲只出现两个，则基 本变量同样只须选择两个。 2）选择基本变量时，应选择重要的变量。换句话说，不要选择 次要的变量作为基本变量，否则次要的变量在大多数项中出现，往 往使问题复杂化，甚至要重新求解。 3）不能有任何两个基本变量的因次是完全一样的，换言之，基 本变量应在每组量纲中只能选择一个。
1. Π 定理
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物理过程涉及 n 个物理量，其中有 m 个物理量的量纲是互 个物理量， 相独立的，选这些量纲为基本量纲， 个无量纲量， 相独立的，选这些量纲为基本量纲，可组成 n-m 个无量纲量， 个无量纲量的关系式描述。 物理过程则可由这 n-m 个无量纲量的关系式描述。否则就违反 了量纲和谐原理。 了量纲和谐原理。
二、量纲和谐原理 量纲和谐原理（theory of dimensionalhomogeneity） ： 凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲 必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能 成立。这称为量纲和谐原理。 量纲和谐原理的重要性： a.一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验 经验公式的 正确性和完整性。 b.量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。 c.可用来建立物理方程式的结构形式。
一般，两液流的雷诺数相等，欧拉数也相等；两液流的弗劳德数 相等，欧拉数也相等。只有出现负压或存在气蚀情况的液体，才需 考虑欧拉数相等来保证液流相似。 4.韦伯准则 表面张力为主导作用力时的相 4.韦伯准则 似准则： （6-16） 当表面张力起主要作用时，动力相似有： （6-17）
5.马赫数 5.马赫数 弹性力为主导作用力时的相似准则（例水击现象）： 柯西数 （6-18） 令
第三节 相似准则
动力相似准则：在两相似的流动中，各种力之间保持固定 不变的比例关系。 流体运动状态的改变是惯性力和其他各种作用力相互作用 的结果。因此，各种作用力之间的比例关系应以惯性力为一方 来相互比较。
则 根据动力相似有 λF= λI
即 （6-7） 若称 牛顿数，即
（6-8） 所以两个相似流动的牛顿数应相等，这是流动相似 的重要标志和准则，称为牛顿数相似准则。 完全的动力相似，要求惯性力与其他力比值都相等， 但实际上不可能达到，所以常选一个对流动起决定作 用的力给予满足。
1.雷诺（粘滞力） 1.雷诺（粘滞力）准则 雷诺 （6-9） 式中： L——为流场中的特征线性长度。 当粘滞力起主要作用时，动力相似有：
Re——雷诺数
（6-10） 适用范围：主要受水流阻力即粘滞力作用的流体流动，凡是有 压流动，重力不影响流速分布，主要受粘滞力的作用，这类液流相 似要求雷诺数相似。另外，处于水下较深的运动潜体，在不至于使 水面产生波浪的情况下，也是以雷诺数相等保证液流动力相似。如 层流状态下的管道、隧洞中的有压流动和潜体绕流问题等。
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物理过程的有量纲表达形式为 f ( x1 , x2 , ⋯ , xn ) = 0 ，其中 m 个物 理量的量纲被选为基本量纲， 个物理量可各自与这m 理量的量纲被选为基本量纲，余下 n-m 个物理量可各自与这 Π 定理的结论是： 个物理量组合成无量纲量 Π1 , Π 2 ,⋯, Π n − m ，Π定理的结论是：物理 过程的无量纲表达形式为 F (Π1 , Π 2 ,⋯, Π n −m ) = 0
4.初始条件和边界条件的相似 4.初始条件和边界条件的相似 初始条件：适用于非恒定流。 边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。 如固体边界上的法线流速为零，自由液面上的压强为 大气压强等 。 流动相似的含义： 几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定二个液流运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和 动力相似 几何相似 运动相似 动力相似 初始条件和边界条件相似 1.几何相似 1.几何相似 几何相似：指原型和模型两个流场的几何形状相似，即原型和 模型及其流动所有相应的线性变量的比值均相等。 长度比尺： 面积比尺： 体积比尺： （6-1） （6-2） （6-3）
2. 运动相似 运动相似：是指流体运动的速度场相似，也即两流场各相 应点（包括边界上各点）的速度u及加速度a方向相同，且大小 各具有同一比值。 速度比尺： （6-4） 加速度比尺： （6-5） 3.动力相似 3.动力相似 动力相似：是指两流动各相应点上流体质点所受的同名力 方向相同，其大小比值相等。 力的比尺： （6-6）
例
初速为零的自由落体运动位移 s s～g,t g , t 选为基本量纲 三个量只能组成一个无量纲量 s/gt2 初速为零的自由落体运动规律 s/gt2 =C 做一次实验测得 C = 1/2 ，就不用再做类似实验， 就不用再做类似实验， 包括在月球上做实验。 包括在月球上做实验。
π定理的解题步骤： （1）确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确定影响这个 现象的各个物理量及其关系式: （2）确定基本量：从n个物理量中选取所包含的m个基本物理量 作为基 本量纲的代表，一般取m=3。在管流中，一般选d，v，ρ三 个作基本变量，而在明渠流中，则常选用H，v，ρ。 （3）确定π数的个数N（π）=（n-m），并写出其余物理量与基 本物理量组成的π表达式
第二节 相似的基本概念
原型：天然水流和实际建筑物称为原型。 模型：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大） 的代表物，称为模型。 水力学模型试验：是依据相似原理把水工建筑物或其它建筑 物的原型按一定比例缩小制成模型，模拟与天然情况相似的水流 进行观测和分析研究，然后将模型试验的成果换算和应用到原型 中，分析判断原型的情况。 水力学模型试验的目的：利用模型水流来模拟和研究原型水 流问题。 关键问题：模型水流和原型水流保持流动相似。 流动相似：两个流动的相应点上的同名物理量（如速度、压 强、各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这两个流动就 是相似的。
原型和模型中采用同一种流体时，不能同时满足重力 相似和粘滞力相似；所以只要相应点的粘滞力或重力相似 压强会自行相似。 3. 基本量纲——具有独立性的，不能由其他量纲推 导出来的量纲。一般取[L-M-T]。 诱导量纲——由基本量纲导出的量纲。[X]=[Lα，Tβ， Mγ]。 4.量纲和谐原理——凡是正确反映客观物理方程，其各项 的量纲都必须是一致的，即只是方程两边量纲相同，方 程才能成立。 5.量纲分析两种方法 5.量纲分析两种方法 雷利法——直接应用量纲和谐原理来求解，适用于较简 单问题。 π定理——具有普遍性的方法。关键在于正确选择基本 量。