教学中有价值的问题探究

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教学中有价值的问题探究

教学中有价值的问题探究 ------一道高考题的探究2019 年江苏高考数学试题总体上比较平稳，大部分试题都比较容易上手，学生考完后自我感觉也不错。

但是这样的试卷要拿高分也是不容易的，更何况对于我们学校普通班的学生而言，能拿到基本分就已经很不错了。

下面本人就 2019 年江苏高考数学试题第 10 题的问题展开探究，之所以选择这道题目是因为本题虽然看似简单，但是涉及的数学思想方法和思维量都相当好，加之班级学生的得分又不高，所以觉得有必要探究一下。

题目：

已知函数2( )f x1xmx=+ ，若对于任意的[],1xm m+都有 ( )0f x ，则实数m的取值范围为。

探究 1：

本题中对题意的理解比较关键：

对任意的 x 的含义是什么？任意的含义凡是学过数学的学生基本都明白，关键是怎样将它所隐含的字面意思转化为数学关系式；其二，对于任意的[],1xm m+都有 ( )0f x ，怎样体现( )f x 0？或者说怎样的条件才能保证 ( )0f x 呢？探究 2：纵观问题所求为实数m 的取值范围，那么我们应该寻求关于m 的不等关系式，只要找到这个不等关系式就可以解出实数m 的取值

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范围。

为此我们的目标就是要建立这样的不等关系式，从哪里入手呢？探究 3：

再次读题，我们首先来关注一下函数的类型，本题的函数类型是不是我们平时学过的基本初等函数呢？显然可以发现本题的函数类型为我们熟悉的二次函数，二次函数在给定区间上的函数值始终要小于零，大家能否从根分布的角度考虑呢？可以发现这是一个根分布问题，只不过难点在于区间并不是一个特定的数值，而是与实数m 相关的一个区间，在这里我们可以将区间当作已知量来处理吗？答案显然是可以的。

只要同学们能够认识到根分布问题，那就迎刃而解了。

由于图像恒过定点() 1 -0，，在给定区间[] 1+mm，函数值始终要小于零，则意味着它的图像始终要在 x 轴的下方，利用数形结合思想，画出二次函数图像的草图，显然我们只需保证

1(0)(mfmf就可以求解出来了，这是比较简捷的一种解法。

探究 4：

上述方法体现了怎样的数学思想呢？显然是数形结合思想的体现。

事实上，我们可以发现探究 1 中对任意的理解，是否可以转化？任意的[],1xm m+都有 ( )0f x ，我们是否可以直接从字面的意思将符合 ( )0f x 的所有 x 都找出来呢？显然二次函数中所有小于零的自变量 x 的取值集合是很容易求解的，即是一个一元二次

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 不等式问题。

那么所有满足( )f x 0的 x 构成的集合与题中给定的区间[] 1,+mm之间有怎样的关系呢？如果能够搞清楚这两者之间的关系，那么问题就变得简单多了。

首先，我们可以先求得 ( )0f x 的解集，不妨将所对应的区间记为=I[] ba,，那么这个区间应该是使得0)(xf的所有的 x 的取值，而[] 1+mm，也是使得 ( )0f x 的 x 的取值，正因为区间I 所包含的 x 是最大的取值区间，所以它应该包含区间[] 1+mm，，从而就能找到关于m 的不等关系式了。

这是从代数的角度来研究的，接下来求解含有根式的二次不等式却是不容易的一件事情。

刚才几个探究的过程均是从本题的函数类型角度考查的，也就是说因为函数的类型是我们熟悉的二次函数，而二次函数的函数值问题是可以从求根或者利用数形结合的思想来解决的。

换句话说，如果函数的类型不是二次函数，那么此题就不那么容易求解了。

是否还有其他解决的方案呢？探究 5：

我们是否可以将此题的条件格式化归到一般情形？形如这样的格式：

对任意的什么都要怎么样？这种类型的问题是我们学习过的什么问题呢？这是一个恒成立问题。

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那么，我们就可以用恒成立问题的思路解决。

对于恒成立问题，它的常规解决方法是什么呢？一般有两种方法，一种是参变分离，另一种则是直接转化为函数的最值问题来解决。

如果直接用参变分离的思想，那么需要将实数m 与变量 x 分离，显然很好分离，但是需要对变量 x 的符号进行判定，也就需要对实数m 进行分类讨论；如果直接从函数的角度考虑，那么就转化为二次函数在给定区间的最小值问题了。

由于函数的对称轴和区间的位置关系没有确定，同样需要我们用到分类讨论的思想。

综上对本题的几种探究思路，我们可以发现，解决一个问题的重要途径无非是从两方面入手，一种是从题干条件出发，寻找有利的保证条件，另一种则是从所求的结论出发，寻找使得结论成立的种种条件。

本题虽然是常规题型，但是它能够从多角度入手，不同的思考途径显然有不同的思维效果。

显然，能够既快又好的完成题目是我们共同追求的目标，所以好题是可以激发人的思维的！所以我们在平时的教学中要善于激发学生的思维，拓宽思路，这样才能更加有效地提高学生的思维能力。

下面是本题探究的几种方法的详细解答，请专家老师指导，谢谢！法一：

由题可知，要使函数值在区间[] 1,+mm始终要小于零，则只

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5 /

6 要保证

，解得， 从而得到

。 法 二 ：

先 解 出0)(xf 得++24,2422mmmmx ，由 于 对 任 意

的[] 1.+mmx 都要满足0)(xf ，

从而可得

2 ( 124) 1 (......2422mmmmmm 先解（1） 变形得到

或

或， 从而可得22m 。

再解（2） 变形得到

或或

或从而由（1）（2） 可得 022m 。

法三：

由（1） 当0m 时， 由于[],1xm m+， 所以0x ， 故而有xxxxm=112， 由于xx1在区间[] 1,+mm 上是单调递减函数， 所以xx1的最小值为111+mm ， 所以m111+mm 解得023m ， 又0m ， 所以无解 ； （2） 当01 +m 时， 即1m 时， 由于[],1xm m+， 所以0x ， xxxxm=112 同（1） 得， 又1m ， 所以无解； （3） 当10+mm 时， 即01m 时， （ⅰ ） 当[] 0 ,mx 时，xxxxm=112， 从而可得， 又01m ， 所以022m ； （ⅱ ） 当[, 0] 1+mx 时，xxxxm=112， 从而可得m111+mm 解得023m ， 又01m ， 所以01m ； 由于21xmx 对任意的[] 1,+mmx 都要成立， 上