质点运动和刚体定轴转动之比较

大物第六七节习题册答案

由机械能守恒定律
E0 Ex
解出
k mg sin 2 Ek Ek 0 ( x ) 2 k
6 设想有两个自由质点，其质量分别为m1和m2，它们之间的相互作用符
合万有引力定律。开始时，两质点间的距离为l，它们都处于静止状态
试求当它们的距离变为1/2 l时，两质点的速度各为多少？
• 解:两自由质点组成的系统在自身的引力场中运动时，系统的动量和机械能均守恒。设两质点的间距变为L/2

2
1
1 2 Md ( J ) = 2
1 1 2 J 2 J 12 2 2
合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。
１）质点对固定点的角动量 L r mv
角动量是矢量，角动量L的方向垂直于r和mv 所组成的平面，其指向可用右手螺旋法则确定。
v v v
2 x
2 y

答案：B
2
1
1 1 2 2 F .d r mv2 mv1 2 2
• 2 一质点在几个外力同时作用下运动时，下述哪种说法正确？（）（A）质点的动量改变时，质点的动能一定改变。（B）质点的动能不变时，质点的动量也一定不变。（C）外力的冲量是零，外力的功一定为零。（D）外力的功为零，外力的冲量一定为零。解析：结果为C
时，它们的速度分别为v1及v2则有
m1v1 m2v2 0
（1）
- Gm1m2 1 1 2Gm1m2 2 m1v12 m2v2 l 2 2 l 联立（1）（2）解得：
（2）
v1 m2
2G l (m1 m2 )
v2 m1
2G l (m1 m2 )

刚体定轴转动概述

m
已知： m , m1 , m2 , r , 0 0
r
求： t ?
m2
m1
思路：质点平动与刚体定轴转动关联问题，隔离法，分别列方程，先求角加速度, 再
23
N
β
r
解：在地面参考系中，分别以 m1 , m2 , m 为研究对象，用隔离法，分别以牛顿第二定律和转动定律建立方程。对于 m 1
3 、物理意义：转动惯性的量度 .
I 大转动惯性大
4、转动惯量的计算
若质量离散分布若质量连续分布
I＝ mi ri
i
2
I r dm
2
O m2
例：如图m1 ，m2绕OO′转动，
它们距轴的距离分别为
2 1 l l 3 、 3
m1
2 l 3 1 l 3
则，系统的转动惯量为
2 1 I = m1 l m2 l 3 3
dm 2rdr l
l
3
R
O
r
dr
dI r dm 2lr dr
2
I
dI

R
0
m 1 2 I mR R 2l 2
1 4 2lr dr R l 2
3
可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是mR2/2。
m1 g T1 m1a1 (1)
T2 m2 g m2 a2 (2)
2
T2 mg
T1
对于 m 2
对于滑轮 m T r T r I 1 mr 2 (3) 1 2
T2
a2
T1
m2 g
思考：

第三章-刚体力学基础

薄板对Z轴的转动惯量 J Z ＝
对X轴的转动惯量 J X
对Y轴的转动惯量 JY
Z
垂直轴定理
JZ JX JY
O
yi
Y
xi
ri
X
JZ miri2 mi xi2 mi yi2 Jx J y
五刚体定轴转动的转动定律的应用
例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定
滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
分析：由每分钟150转可知
0
t
2 150
60
5
rad
/ s
而已知 r=0.2m t=30s ω=0
可由公式求相应的物理量
解: (1) 0 0 5 (rad / s2 )
t
30
6
负号表示角加速度方向与角速度方向相反
（飞轮做匀减速转动）
2 02 2
(5 )2 2 ( )
末位置：
Ek
1 2
J 2
l
由刚体定轴转动的动能定理
1 mgl sin 1 J 2 0
2
2
mgl sin 3g sin
J
l
M
1 mgl cos
2
3g cos
J
1 ml2
2l
3
dm dl
gdm
（用机械能守恒定律解）假设棒在水平位置时的重力势能为零势能
0 1 J2 (mg l sin ) O
动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的
角加速度和角速度。（分别用动能定理和机械能守
恒定律求解）
解：（用动能定理解）
重力对轴的力矩为
M 1 mgl cos（M
O

刚体的转动

第三章刚体的转动出发点：牛顿质点运动定律刚体的运动分为：平动，定轴转动，定点转动，平面平行运动，一般运动。

§3-1 刚体的平动，转动和定轴转动一刚体的定义：在无论多大力作用下物体形状和大小均保持不变。

（理想模型）二平动：在运动过程中，若刚体上任意一条直线在各个时刻的位置始终彼此平行，则这种运动叫做平动。

特征：1 平动时刚体中各质点的位移，速度，加速度相等。

2 动力学特征：将刚体看成是一个各质点间距离保持不变的质点组。

受力：内力和外力对每一个质元：满足牛顿运动定律+=Mi i 对刚体而言：∑(+fi )=∑Mi i⇒∑+∑=∑Mi i显然∑=0 ⇒∑=∑Mi I=∑Mi故：∑F ==M a即：刚体做平动时，其运动规律和一质点相当，该质点的质量与刚体的质量相等，所受的力等于刚体所受外力的矢量和。

三转动和定轴转动定轴转动的运动学特征：用角位移、角速度、角加速度加以描述，且刚体中各质点的角位移、角速度、角加速度相等。

ω=dt d θ, α=dtd ω对匀速、匀变速转动可参阅P210表4-2 角量与线量的关系：v=R ωa t=R αa n=ω2R更一般的形式：角速度矢量的定义：=ωγ⨯ ， =dtd 显然，定轴转动的运动学问题与质点的圆周运动相同。

例：一飞轮在时间t 内转过角度θ=t b at 3+-c t 4,式中abc 都是常量。

求它的角加速度。

解：飞轮上某点的角位置可用θ表示为θ=t b at 3+-c t 4,将此式对t 求导数，即得飞轮角速度的表达式为ω＝(dtdt b at 3+-c t 4）＝a+3b t 2-4c t 3角加速度是角速度对t 导数，因此得α =dt d ω=d td ( a+3b t 2-4c t 3)=6bt-12c t 2由此可见，飞轮作的是变加速转动。

§3-2 力距刚体定轴转动定律一力矩：设在转动平面内，=⨯是矢量，对绕固定轴转动，只有两种可能的方向，用正负即可表示，按代数求和（对多个力）。

质点与刚体的运动规律

质点与刚体的运动规律运动是物质存在的基本属性之一，是所有物质都具有的普遍特征。

在物理学中，质点和刚体是两种常见的研究对象，它们分别具有不同的运动规律。

我们将分别探讨质点和刚体的运动规律，并比较它们之间的区别和联系。

一、质点的运动规律质点是指没有大小和形状的物体，质点的运动通常是指质点在空间中的位置随时间的变化过程。

在研究质点的运动规律时，我们通常关注质点的位移、速度和加速度等物理量。

1. 位移：质点的位移是指质点从出发点到达终点所经过的路径长度。

通常用矢量表示，可分为直线位移和曲线位移。

2. 速度：质点的速度是指质点在单位时间内所经过的位移。

速度的大小为每单位时间内的位移的大小，方向与位移方向相同。

速度的矢量表示为速度矢量，即速度大小和速度方向。

3. 加速度：质点的加速度是指质点的速度在单位时间内的变化率。

加速度的大小为每单位时间内的速度的变化量的大小，方向与速度变化的方向相同。

加速度的矢量表示为加速度矢量。

根据牛顿第二定律F=ma，质点的加速度与作用在其上的合外力成正比，与质点的质量成反比。

即a=F/m，其中a为加速度，F为合外力，m为质点的质量。

二、刚体的运动规律刚体是指形状不变的物体，刚体的运动通常是指刚体在空间中的位置和形态随时间的变化过程。

在研究刚体的运动规律时，我们通常关注刚体的位移、角位移、线速度、角速度和角加速度等物理量。

1. 位移：刚体的位移是指整个刚体在空间中的位置的变化。

通常用矢量表示，可分为直线位移和曲线位移。

2. 角位移：刚体的角位移是指刚体绕某个轴心转动的角度的变化。

通常用标量表示，常用弧度作为单位。

3. 线速度：刚体的线速度是指刚体上任意一点的速度大小。

线速度的大小为该点所在的切线上单位时间内的位移的大小，方向与该切线方向相同。

4. 角速度：刚体的角速度是指刚体绕某个轴心转动的角度在单位时间内的变化率。

角速度的大小为单位时间内角位移的大小，方向与转动方向相同。

根据刚体运动的特点，刚体上各点的线速度和角速度大小相等，方向相同。

《大学物理1》内容提要(PDF)

1.参考系：描述物体运动时用作参考的其它物体和一套同步的钟.2.位矢和位移一运动的描述➢运动方程kt z j t y i t x t r r)()()()(++==➢位移)()(t r t t r r−∆+=∆注意: 一般rr ∆≠∆ 3.速度和速率tsd d =v k t z j dt y i t x t rd d d d d d d ++==v ➢速度➢速率（速度合成）第一章质点运动学3.加速度任意曲线运动都可以视为沿x ，y ，z 轴的三个各自独立的直线运动的叠加（矢量加法）.——运动的独立性原理或运动叠加原理.kj i t r t a z y x tv t v t v v d d d d d d d d d d 22++===二. 匀加速运动=a常矢量初始条件:or v ,0ta +=0v v 2021ta t r++=0v r➢匀加速直线运动at+=0v v 2021att x ++=0v x ax22=−20v v ➢抛体运动0=x a ga y −=θcos 0x v v =gty −=θsin 0vv t⋅=θcos 0v x 221sin gtt −⋅=θ0vy 三. 圆周运动➢角速度Rt v ==d d θω➢角加速度td d ωβ=➢速度tt t d d e r e e ts ω===v vnn t t e a e a a +=➢圆周运动加速度22nt a a a +=切向加速度22t d d d d ts r t a ===αv 法向加速度rr a 22n v v ===ωω（指向圆心）（沿切线方向）➢力学的相对性原理:动力学定律在一切惯性系中都具有相同的数学形式.四. 相对运动➢伽利略速度变换u+='v v第二章牛顿定律一牛顿运动定律第一定律：惯性和力的概念，惯性系的定义.第二定律：tp F d d =vm p =当时，写作c <<v a m F=第三定律2112F F−=力的叠加原理+++=321F F F F 二国际单位制力学基本单位m 、kg 、s量纲：表示导出量是如何由基本量组成的关系式.t mma F xx x d d v ==tmma F yy y d d v ===直角坐标表达形式自然坐标表达形式d d t t F ma mt ==vn n F ma mρ==2v牛顿第二定律的数学表达式am t p F ==d d 一般的表达形式nn t t y x e F e F j F i F F +=+=（1）万有引力r221e r m m G F−=重力gm P =三几种常见的力(3）摩擦力滑动摩擦力静摩擦力Nf F F μ=N0f0m 0f F F F μ=≤（2）弹性力：弹簧弹力（张力、正压力和支持力）kxF−=四应用牛顿定律解题的基本思路1）确定研究对象，几个物体连在一起需作隔离体，把内力视为外力；2）受力分析：画受力图；3）建立坐标系，列方程求解；(用分量式)4）先用文字符号求解，后代入数据计算结果.第三章动量守恒定律和能量守恒定律一动量、冲量、动量定理vm p =——机械运动的量度质点的动量力的冲量——力对时间的累计⎰=21d t tt F I1221d v v m m t F t t −=⎰质点的动量定理：质点所受合外力的冲量等于质点在此时间内动量的增量。

刚体的定轴转动定律

物体2这边的张力为
T2、 T2’(T2’= T2)
T1
T2
T1
T2
am
a
1
a
m
m1
m1g 2
m2
m2g
因m2>m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以
顺时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方
程
T1 G1 m1a
G2 T2 m2a
T2r T1r M J
式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮
t 0
方向:
t dt
右手螺旋方向
z (t)
x
参考平面
参考轴
刚体定轴转动（一
维转动）的转动方向可
以用角速度的正负来表
示.
角加速度
d
dt
定轴转动的特点
z
>0
z
<0
1） 2）
每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
任一质点运动
,
,
均相同，但
v,
a不同；
3）运动描述仅需一个坐标 .
三、匀变速转动公式
轴的力矩 Mzk
r
F
z
F
k
O rFz
F
M z rF sin
z
Байду номын сангаас
F
M
O
r P
d
五. 定轴转动刚体的转动定律：
Fit
Fi
fit
•
ri
fi
mi• fin
Fin
O
•
j
d
fij
fji
i
Fit ri (miri2 )
I miri2
i

刚体的定轴转动和转动定律

受力： F Ft Fn
力矩：M r (Ft Fn )
r Ft rFt k
M F r ma r
z
M
Ft F
O r m
Fn
mr2
at r
即: M mr 2
3 – 2 力矩转动定律转动惯量
2、刚体转动定律
质元 m j 受力为：
右手螺旋定则
第三章刚体的转动

3– 1 刚体的定轴转动
4、角加速度（矢量）
第三章刚体的转动
大小： d
dt
方向：若 2 > 1 则与角速度同向，若 2 < 1 则与角速度反向。
3– 1 刚体的定轴转动
第三章刚体的转动
二、匀变速转动公式
匀变速转动：转动的角加速度为恒量的运动。
J R 2π r3dr π R4 所以 J 1 mR2
0
2
2
3 – 2 力矩转动定律转动惯量
第三章刚体的转动
例3 ：质量为m、高为h、半径为r的均匀圆柱体，求其对圆柱中心的转动轴的转动惯量？
解：dm dV 2 r h dr
其中：

m V
3 – 2 力矩转动定律转动惯量
第三章刚体的转动
三转动惯量 J mjrj2 , J r 2dm
1、物理意义：
j
描述刚体转动过程中转动惯性大小的物理量.（转动
惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置 .）
2、转动惯量的计算方法：
1）质量离散分布刚体的转动惯量：
J mjrj2 m1r12 m2r22
对质量面分布的刚体： dm dS

刚体定轴转动与质点直线运动的简单类比

刚体定轴转动与质点直线运动的简单类比刚体定轴转动与质点直线运动可以进行简单的类比来帮助我们更好地理解它们之间的相似和差异。

下面将通过具体的例子和详细的解释来进行说明。

首先，我们来定义和比较刚体定轴转动和质点直线运动的基本概念。

刚体定轴转动是指一个刚体围绕固定轴线进行旋转运动。

在这个运动中，刚体的各个部分保持相对位置不变，且确保了整个刚体旋转的连续性。

质点直线运动是指一个质点在直线上进行运动，其轨迹是一条直线。

在这个运动中，质点的位置发生改变，但不会发生形变。

现在，我们来进行类比。

假设我们有一个均匀的圆盘，可以将其视为一个刚体，并以其中心为轴进行转动。

我们还有一个质点，它在地面上进行直线运动。

首先，我们来看一下它们之间的共同点。

1. 运动路径：在刚体定轴转动和质点直线运动中，物体都有一个特定的运动路径。

对于刚体定轴转动，这个路径是一个圆周；对于质点直线运动，这个路径是一条直线。

2. 运动量守恒：在刚体定轴转动和质点直线运动中，物体都有一个守恒的物理量。

对于刚体定轴转动，这个量就是角动量，它在旋转过程中保持不变；对于质点直线运动，这个量就是动量，它在直线运动过程中保持不变。

接下来，我们来看一下它们之间的区别。

1. 运动类型：刚体定轴转动是一种径向运动，它的旋转轴通常是固定的，并且在旋转过程中刚体的各个部分都发生了位移。

而质点直线运动是一种沿直线进行的运动，质点在直线上移动，但不发生形变。

2. 运动描述：在刚体定轴转动中，我们通常使用角度或角速度来描述旋转的运动状态。

例如，我们使用角度来描述刚体的旋转角度，或使用角速度来描述刚体的旋转速度。

而在质点直线运动中，我们通常使用位移、速度和加速度来描述质点的运动状态。

3. 运动力学：刚体定轴转动和质点直线运动的运动力学规律也有所不同。

在刚体定轴转动中，我们使用转动惯量等物理量来描述刚体旋转的特性和受力情况。

而在质点直线运动中，我们使用质点的质量、力等物理量来描述质点直线运动的特性和受力情况。

第3章刚体的定轴转动

绕通过质心由合外力矩决定（应用
轴的转动
转动定律）
第3章刚体的定轴转动
例3 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，
和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质
量为的圆mC柱形滑轮 C，并系在另一质量为的物mB
体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间的摩
擦力可略去不计. 问：（1）两物体的线加速度为多少？
dt
M
dL
作用于质点的合力对参考点 O 的力矩，等于质点对该点 O 的角
dt 动量随时间的变化率.
第3章刚体的定轴转动
M
dL
dt
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
Mdt
t1
质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受
的冲量矩等于质点角动量的增量.
3 质点的角动量守恒定律
M 0, L 恒矢量
的大小与角速度的平方成正比，比例系数为 k
（ k 为大于零的常数).当 1 30 时，飞轮的角
加速度为
，所经历的时间为
M k2
M J
k 2
J
k
2 0
9J
第3章刚体的定轴转动
M k2
M J J d
k 2 J d
dt
dt
t dt J
1
3
0
1
d
0
k 0 2
2J t
M mr 2
2）刚体
质量元受外力 Fej，内力 Fij
Mej Mij mjrj2
外力矩
内力矩
第3章刚体的定轴转动
z
M
F
F
O

刚体的转动习题

解:细棒从水平位置到竖直位置,机械能守恒.
m2 L
O
m1
v
x
细棒在竖直位置与小物体相碰角动量守恒.
此时轴不受侧向力,水平方向动量守恒.
联立解得:
m2 L
O
m1
v
x
v2C
C
3,一质量为m、长为L的均匀细棒,可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动,已知细棒与桌面的摩擦因素为μ,求棒转动时受到的摩擦力矩的大小． x o dx x 解:如图,距O点为x,长为dx的质元dm的质量其所受阻力矩
教学基本要求
内容提要
刚体力学
角位移
角速度
角加速度
刚体运动学
刚体动力学
转动定律
角动量定理
角动量守恒定律
转动动能定理
内容提要
一、刚体的运动：
1,刚体：
刚体运动时,体内任意两点所连成的直线,始终与其初始位置平行.
2,刚体的运动:
(1),平动：
具有质量和形状大小,但形状大小不发生变化的物体.
位置矢量
角加速度
力矩
转动惯量
角速度
角位移
角位置
质点运动与刚体定轴转动比较
刚体定轴转动
质点运动
角动量守恒定律
角动量定理
角冲量
角动量
转动定律
动量守恒定律
动量定理
冲量
动量
运动定律
质点运动与刚体定轴转动比较
,质量大小
1,表达式:
2,决定因素:
,质量分布
,转轴位置
5,匀加速转动:
3,定理:
(1),平行轴定理:
(2),垂直轴定理:

质点平动与刚体定轴转动规律的比较

质点平动与刚体定轴转动规律的比较张晓丹（北京印刷学院机械二班）摘要：在高中物理中，主要对质点平动的规律进行了学习，在大学物理中，相对于质点，有刚体的概念，相对于平动，有转动的概念，本文从公式形式的角度，对质点平动和刚体定轴转动的规律进行了比较，分析了两者的区别与联系，以便在今后的学习中更熟练的应用。

关键字：质点；平动；刚体；转动；比较质点是指只考虑质量而不考虑其大小形状的一个理想物理模型，再加上平动的运动方式，这就构成了我们打高中物理学；大学我们接触了刚体，刚体是实际固体的理想模型，我们认为他在运动过程中，无论是否受到外力，其形状始终保持不变，物体内任意两点间的距离都不改变，显然这也是个理想物理模型，如果物体本身的形变不影响整个运动过程，那么该物体就可以当作刚体来处理。

刚体力学是质点动力学在实际固体中的推广，是在实际生活中更具价值的研究方法。

由于刚体可以看作是无数个质点的集合，因此刚体运动与质点运动的规律也非常相似：对于刚体平动，若不考虑外形，他的规律与质点的规律相同，因此不再赘述；而对于刚体定轴转动，他与质点平动就有了可比性，以下从三个方面来做两者间的对比。

一运动学表1. 质点平动与刚体定轴转动的运动学公式比较物理量质点平动物理量刚体定轴转动关系位移角位移速度角速度加速度角加速度…………………………如表1所示，在质点平动规律中的位移、速度、加速度等物理量，放在刚体定轴转动中，变成了角位移、角速度、角加速度，相应的字母也换作。

除了名称的变化以外，由于刚体在定轴转动过程中，我们通常采用自然坐标系，所以的方向只有两个，我们通过右手螺旋定则定义：刚体逆时针转动时，与轴方向一致，符号为正，反之则为负，相比质点平动简化了许多，与高中所学的质点圆周运动的规律没有太大差别。

二力学在刚体定轴转动的学习之初，是由几个角量引入的，表1列出了运动学中的几个角量，在力学中最先引入了力矩的概念，对于质点，定义力矩，视刚体为无数个质点的集合，那么对于刚体：定义一个新的物理量：转动惯量,则原公式可化为,转动惯量可以看作刚体中每个质点的惯性质量的集合，用来衡量刚体绕定轴转动起来时具有的惯性大小，他与刚体的形状、质量分布等有关。

刚体的定轴转动

F
F
圆盘静止不动
F 圆盘绕圆心转动
F
力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.
一、力矩
刚体绕Oz轴旋转,力 F作用在刚体上点P,且在转动平面内, 由点O 到力的作用点P的径矢为。r
F 对转轴z的力矩
MrF 大小
M F rsin
z
M
Or
d
F
P
Fd
d : 力臂
二、力矩的功
F 力 F 对质元P所做的元功：
角位置： ( t ) 单位：r a d
角速度： d dt
角加速度：
d
dt
d 2
dt2
角量与线量的关系
v a
i it
ri ri
a
in
ri
2
质元
vi
ri mi x
转动平面
固定轴
方向: 右手螺旋方向
刚体定轴转动的转动方向可以用角速度的正负来表示.
z
z
0
0
2 匀变速转动公式当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动.
dW FdrFcosds
cossin
dsrd
d W F r s i n d
又 M F r s in
d W M d
力矩的功 W 2 Md 1
z
d
F dr

rP
y
F
dr
d r
P
o
x
三、转动动能
在刚体上取一质元 p ：i
动能：Eki
1 2
mivi2
1 2
mi
ri22
F 对刚体上所有质元的动能求和：
M F d J 1 t 2 2 F2dJt2 126N

质点直线运动与刚体定轴转动的对比学习

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ａｘｉｓｒｏｔａｔｉｏｎｏｆｒｉｇｉｄｂｏｄｙ；ｔｈｅｌｉｎｅａｒｍｏｔｉｏｎｏｆａｐａｒｔｉｃｌｅ；ｔｈｅｃｏｎｔｒａｓｔｓｔｕｄｙ
Ｊｕ１．
２０ｌ３
文章编号：１００７ — ９８３１（２０１３）０４ — ００８０ — ４０
质点直线运动与刚体定轴转动的对比学习
（ＪＩ１：１１：，幼儿师范高等专科学校，四川广元６２８０００）
摘要：大学物理中的刚体定轴转动知识相对较难，通过对比质点直线运动与刚体定轴转动的定义概念、公式形式和规律性质，以及分析和解决问题的方法步骤等方面，为更有效地降低学生学习难度，提高学生对知识的掌握度，提供有力的帮助．关键词：刚体定轴转动；质点直线运动；对比学习中图分类号：０３１１：Ｇ６４２．０文献标识码：Ａｄｏｉ：１０．３９６９￣．ｉｓｓｎ．１００７－９８３１．２０１３．０４．０２４Ｃｏｎｔｒａｓｔｓｔｕｄｙｏｎｔｈｅｌｉｎｅａｒｍｏｔｉｏｎｏｆａｐａｒｔｉｃｌｅａｎｄａｘｉｓｒｏｔａｔｉｏｎｏｆｒｉｇｉｄｂｏｄｙ
ｈｅｌｐｆｕｌｔｏｅｆｅｃｔｉｖｅｌｙｒｅｄｕｃｅｔｈｅｓｔｕｄｅｎｔｓｌｅａｒｎｉｎｇｄｉｆｉｃｕｌｔｙａｎｄｉｎｃｒｅａｓｅｔｈｅｉｒｕｎｄｅ￣ｔａｎｄｉｎｇｂｙｃｏｎｓｔｒａｓｔｉｎｇｔｈｅ

质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比

绕棒的一端以角速度0旋转，求：何时棒将静止。
o dx
0
x df gdm
解一：
M J （1） J 1 ml 2
(2)
3
M

dM

df

xgdm＝
l
0
xg
mdx l
1 mgl （3）
2
＝－0 0 （4）
t
t
由（1）、（2）、（3）、（4）得 t 20l 3g
Mdt

Mt

J

J0

Mt

J0
J 1 ml2 3
M 1 mgl
2
t 20l 3g
例5：
J m R r v
已知：v人盘，半径为r, 求：盘转动的
解：m、M M 合外＝0，
且m、M绕同一轴转动系统L守恒
mvr JM 0
R11 R2 2
J1

1 2
m1R12
J2

1 2
m2 R22
关键点：
非同轴
B: T2R2 T1R2 J22 （2）
1 2
R11 R22 （3）
J1

1 2
m1 R12 （4）
1
J2

1 2
m2 R22 （5）
2
（1）
（2）
例：质量为m, 长为l的棒在摩擦系数为的水平面上
质点:根据牛顿第二定律 :
F

ma
2）列方程：刚体 :根据转动定律 : M J
无滑动条件 : a R
3）解方程
例、如图，斜面倾角为α ，质量均为m的两物体A、 B，经细绳联接，绕过一定滑轮。定滑轮转动（视为

物理：力学基础知识

刚体上的各点绕某一直线作圆周运动，叫刚体转动。刚体上的各点绕某一直线作圆周运动，刚体转动。刚体上的各点绕某一固定不动的直线作圆周运动，刚体上的各点绕某一固定不动的直线作圆周运动，刚体的定轴转动。叫刚体的定轴转动。
z
一. 转动的运动学
o
称为角坐标，单位： θ 称为角坐标，单位：rad
ω v r P
I = ∫ λr 2 dr
l 2 l − 2
I = ∫ λr dr = λ ∫ r dr
2 2
l 2 l − 2
l 2 l − 2
1 = λ[ r ] l 3 −2
1 l 3 l 3 = λ ( ) − ( − ) 3 2 2
l 3 2
1 2 = ml 12
均匀细长棒，例一质量为 m 长为 l 的均匀细长棒，求通过棒一端并与棒垂直的轴的转动惯量 . 解设棒的线密度为处的质量元 dm = λdr (同学计算同学计算) 同学计算
外力系统受力内力
非保守内力
保守内力
W外 + W非保内 +W保内= ∆ ΣE k W保内= - ∆ ΣEP
机械能
功能原理 W外 + W非保内 = ∆（ΣE k+ Σ EP）
机械能守恒定律
当W外 + W非保内 0
∑E k+ Σ EP=常量常量
第二节刚体的转动 Rotation of rigid body
第一章力学基础
Chapter One The Fundamental Knowledge of Mechanics
y F x
第一节质点力学 mechanics of point mass
1、位移、速度、加速度位移、速度、 2、牛顿三定律 3、动量定理 4、动量守恒 5 、功动能、 6、动能、动能定理功能原理、 7、功能原理、机械能守恒定律

3-4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律

若 M 0 ，则 L r mv 常数
质点所受外力对某固定点的力矩为零，则质点对该固定点的角动量守恒。这就是质点的角动量守恒定律。
第3章刚体力学基础
3–4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
4
例3.7 在光滑的水平桌面上，放有质量为M的木块，木块与一弹簧相连，弹簧的另一端固定在O点，弹簧的劲度系数为k，设有一质量为m的子弹以初速 v0 垂直于OA射向M并嵌在木块内.弹簧原长 l0 ，子弹击中木块后，木块M运动到B点时刻，弹簧长度变为l，此时OB垂直于OA，求在B点时，木块的运动速度 v2 . 解击中瞬间，在水平面内，子弹与木块组成的系统沿 v0 方向动量守恒，即有
M t d L L L J J M d t d L L L J J M dd t d L L M L d t J d L J L 0 0 0 0 0 0 L0 0 J J 0 t L L
3–4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
24
例3.9 在工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转动．如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上．A轮的转动惯量为JA＝10 kg· m2，B轮的转动惯量为JB＝20 kg· m2，开始时A 轮每分钟的转速为600转，B轮静止．C为摩擦啮合器．求两轮啮合后的转速，在啮合过程中，两轮的机械能有何变化？
第3章刚体力学基础
3–4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
解以飞轮A，B，啮合器C为系统，系统受到轴向的正压力和啮合器之间的切向摩擦力。前者对轴的力矩为零，后者对轴有力矩，但为系统的内力矩，即系统所受合外力矩为零，所以系统的角动量守恒，即

刚体定轴转动与质点直线运动的简单类比

刚体定轴转动与质点直线运动的简单类比作者：王栋来源：《科教导刊·电子版》2017年第31期摘要在大学物理中，刚体定轴转动部分的内容，几乎全部物理概念、物理规律及推导过程都可以与质点直线运动进行类比。

文章从运动的描述、动力学方程、做功及动能、冲量矩及角动量四个方面展开类比。

教师通过类比把知识呈现给学生，可以使学生快速而牢固地掌握这部分内容。

关键词定轴转动直线运动类比中图分类号：O311 文献标识码：A在大学物理课程中，刚体的定轴转动部分是一个难点，有些概念是质点力学中从未提及的，又比较抽象，老师讲起来比较困难，学生学起来也比较困难。

即使记住公式，也不知道该怎么代。

实际上，刚体定轴转动是刚体力学的基础，也是最简单的部分，只要掌握一定的方法，就可以达到较好的教学效果。

在物理学中，不论是科学研究过程，还是教学过程，有一个方法必须重视，那就是类比法。

物理教学中的类比法随处可见，在帮助学生理解物理概念和规律方面非常值得推荐。

刚体定轴转动与质点直线运动就有很多可以类比的地方。

本文从以下四个方面进行类比。

1运动的描述质点直线运动是一维的，只在一条直线上运动，因此其位置只用一个坐标就可以确定。

建立一条坐标轴x轴，用坐标x描述质点的位置，速度和加速度也可用标量v和a表示。

从x到v再到a，是求导的关系，而反过来，就是积分的关系。

刚体定轴转动时，虽然各质点均做圆周运动，但整个刚体的转动也是“一维”的，这是因为转轴是固定的。

类似地，其位置用角坐标描述，角坐标的变化快慢用角速度描述，角速度的变化快慢用角加速度描述。

从到再到，是求导的关系，而反过来，就是积分的关系。

关于方向，刚体的转动是用转轴的指向来描述的。

因为转轴固定，所以方向只有两个。

先选定一个正方向，正如质点运动学中的坐标轴一样。

约定：从转轴正方向看过去，刚体逆时针转动为正，即取正值；顺时针转动为负，取负值。

也可以用右手螺旋法则，右手四指绕向刚体转动的方向，拇指的指向若沿转轴正方向，则刚体转动方向为正，反之为负。

质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比

1 2
kx2

mgx
sin
v R

J

1
MR2
2
2mgx sin kx2
v mM /2
a dv dv dx v dv mg sin kx
dt dx dt dx m M / 2
（2）（3）
dv
mg sin
dx xxm 0 xm
一光滑的内表面半径为10 cm的半球形碗，以匀角速度ω绕其对称 OC旋转．已知放在碗内表面上的一个小球P相对于碗静止，其位置高于碗底4 cm，则由此可推知碗旋转的角速度约为
A.10 rad/s B.13 rad/s C.17 rad/s D.18 rad/s
A.(1)、(2)是正确的 B.(2)、(3)是正确的 C.只有(2)是正确的 D.只有(3)是正确的
两木块A、B的质量分别为m1和m2，用一个质量不计、劲度系数为k的弹簧连接起来．把弹簧压缩x0并用线扎住，放在光滑水平面上，A紧靠墙壁，然后烧断扎线．判断下列说法哪个正确
A.由初态恢复为原长的过程中，以A、B、弹簧为系统，动量守恒 B.在上述过程中，系统机械能守恒 C.当A离开墙后，整个系统动量守恒，机械能不守恒 D. A离开墙后，整个系统的总机械能为0.5kx02 ，总动量为零
A.JA＞JB B.JA＜JB C.JA = JB D.不能确定JA、JB哪个大
关于力矩有以下几种说法：
(1)对某个定轴而言，内力矩不会改变刚体的角动量。 (2)作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零。 (3) 质量相等，形状和大小不同的两个刚体，在相同力矩的作用下，它们的角加速度一定相等。
在上述说法中：
一质量为m的匀质细杆AB，A端靠在光滑的竖直墙壁上，B端置于粗糙水平地面上而静止．杆身与竖直方向成θ角，则A端对墙壁的压力大小