第三版实变函数论课后答案

1. 证明:()B A A B -=的充要条件就是A B ⊂、

证明:若()

B A A B -=,则()A B A A B ⊂-⊂,故A B ⊂成立、

反之,若A B ⊂,则()()B A A B A B B -⊂-⊂,又x B ∀∈,若x A ∈,则

()x B A A ∈-,若x A ∉,则()x B A B A A ∈-⊂-、总有

()

x B A A ∈-、故

()B B A A ⊂-,从而有()

B A A B -=。 证毕

2. 证明c A B A

B -=、

证明:x A B ∀∈-,从而,x A x B ∈∉,故,c

x A x B ∈∈,从而x A B ∀∈-, 所以c

A B A B -⊂、

另一方面,c x A B ∀∈,必有,c x A x B ∈∈,故,x A x B ∈∉,从而x A B ∈-,

所以 c A

B A B ⊂-、

综合上两个包含式得c

A B A

B -=、 证毕

3. 证明定理4中的(3)(4),定理6(De Morgan 公式)中的第二式与定理9、 证明:定理4中的(3):若A B λλ⊂(λ∈∧),则A B λλλλ∈∧

∈∧

⊂

、

证:若x A λλ∈∧

∈

,则对任意的λ∈∧,有x A λ∈,所以A B λλ⊂(∀λ∈∧)成立

知x A B λλ∈⊂,故x B λλ∈∧

∈,这说明

A B λλλλ∈∧

∈∧

⊂

、

定理4中的(4):

()(

)(

)A B A B λλλλλλλ∈∧

∈∧

∈∧

=、 证:若()x A B λ

λλ∈∧

∈

,则有'λ∈∧,使 ''()(

)(

)x A B A B λλλλλλ∈∧

∈∧

∈⊂、

反过来,若()(

)x A B λλλλ∈∧

∈∧

∈则x A λλ∈∧

∈

或者x B λλ∈∧

∈、

不妨设x A λλ∈∧

∈,则有'λ∈∧使''

'()x A A B A B λλλλλλ∈∧

∈⊂⊂

、

故(

)()()A B A B λλλ

λλλλ∈∧

∈∧

∈∧

⊂

、

综上所述有

()(

)(

)A B A B λ

λλλλλλ∈∧

∈∧

∈∧

=、

定理6中第二式(

)c c A A λλλλ∈∧

∈∧

=

、

证:(

)c x A λλ∈∧

∀∈,则x A λλ∈∧

∉

,故存在'λ∈∧ ,'x A λ∉所以

'c c x A A λλλ∈∧

∉⊂

从而有(

)c c A A λλλλ∈∧

∈∧

⊂

、

反过来,若c x A λλ∈∧

∈

,则'λ∃∈∧使'c x A λ∉,故'x A λ∉,

x A λλ∈∧

∴∉

,从而(

)c x A λλ∈∧

∈

(

)c c A A λλλλ∈∧

∈∧

∴⊃

、 证毕

定理9:若集合序列12,,,,

n A A A 单调上升,即1n n A A +⊂(相应地1n n A A +⊃)

对一切n 都成立,则 1

lim n n n A ∞→∞

==

(相应地)1

lim n n n A ∞→∞==

、

证明:若1n n A A +⊂对n N ∀∈成立,则i m i m

A A ∞==、故从定理8知

11liminf n i m n m i m

m A A A ∞∞

∞→∞

====

=

另一方面,m n ∀,令m i i m

S A ∞

==

,从1m m A A +⊂对m N ∀∈成立知

1

11

1

1

(

)(

)m i m

i m i i m i m

i m i m i m S A A A A A A S ∞∞∞∞++==+=+=+=

=⊂=

=、故定理8表

明

111

1limsup liminf n i m m n n n m i m

m m A A S S A A ∞

∞

∞

∞→∞

→∞

=====

=

==

=

故1

lim limsup liminf n n n m n n n m A A A A ∞→∞

→∞

→∞

====

、

4、 证明()()A B B A B B -=-的充要条件就是B =∅、

证

:

充

分

性

若

B =∅

,则

()()A B B A A A A A -=-∅∅=-∅==∅=∅-∅

必要性 若()()A B B A B B -=-,而B ≠∅则存在x B ∈、

所以()()x A B B A B B ∈-=-即所以,x A B x B ∈∉这与x B ∈矛盾,

所以x B ∈、 4. 设

{}{}{}{}1,2,3,4,1,2,3,4S A ==,求

()F A 、又如果

1

;1,2,3,

,S n n

⎧⎫

==⎨⎬⎩⎭

01;A n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭为奇数,{}1111,,

,,321A i ⎧⎫

⎧⎫

⎧⎫=⎨⎨⎬⎨⎬⎬-⎩⎭⎩⎭⎩

⎭

,问()()01,F A F A 就是什么、

解:若{}{}{}{}

1,2,3,4,1,2,3,4S A ==,则

(){}{}{}{},1,2,3,4,1,2,3,4F A =∅、

若011111

;1,2,3,

,;1,,,,35

21

S n A n n i ⎧⎫⎧⎫⎧⎫====⎨⎬⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭⎩⎭

为奇数, 则从1111111,,,

,,,,3521242c

i i ⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭

, 易知()111111,,1,,,

,,,,,3521242F A S i i ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=∅⎨⎨⎬⎨⎬⎬-⎩⎭⎩⎭⎩⎭

、 {}1111,,

,,321A i ⎧⎫

⎧⎫⎧⎫=⎨⎨⎬⎨⎬⎬-⎩⎭⎩⎭⎩

⎭

、 令1

1

;1,2,,;1,2,21

2B i C i i i

⎧⎫⎧⎫

====⎨

⎬⎨⎬-⎩⎭⎩⎭

、 {}{}

{}

1,F A S A

K A B K C K A =∅==∅

为的子集，或、

证明: 因为{}111,,

,,,321A B i ⎧⎫⎧⎫∈⎨⎬⎨⎬-⎩⎭

⎩⎭

的任何子集()1F A 、

所以有()1B F A ∈,而c

B C =,故()1C F A ∈,又()1F A ∅∈、 任取B 的一子集A ,()1A A F A ∅=∈,且()1A

C F A ∈、

显S A ∈,故只用证A 的确就是一个σ-域、

(1) ,c c

S S A ∅==∅∈,且B ∀的子集A ,若K =∅,则

,c K

A A A C ∅==