灰色预测理论

2
计算残差的均方差： 计算方差比C： 计算小残差概率： 令S0=0.6745S1 ,即P=P{ei<S0}。

1
2
C
S1 S2
P P{ ( 0 ) (i ) 0.6745 S1}
下表为后验差检验判别参照表.
P
>0.95 >0.80 >0.70 <0.70
养猪
养兔
10
3
15
2
16
12
24
10
38
22
40
18
50
20
问题：对该地区总收入影响较直接的是养猪还是养兔？
步骤1：计算差序列
年度
总收入 养猪 养兔 第二级最小差
1977
—— 8 15 5
1978
—— 5 18
1979
—— 6 10
1980
—— 16 30
1981
—— 6 22
1982
—— 8 30
准备知识 一阶微分方程模型 dx/dt+ax=b dx x ( t t ) x ( t ) 导数的定义 lim
dt
t 0
t
当Δt很小并取很小的单位1时 x(t+1)-x(t)=Δx/Δt 则离散形式可写为 Δx/Δt=x(1)(k+1)-x(1)(k)=x(0)(k+1) 由dx/dt——Δx/Δt——x(1)(k+1)-x(1)(k)，在[x(1)(k)，x(1)(k+1)]范围内，由于 很短时间内背景值（即x值）不会发生突变，则取均值 z(1)(k+1)=o.5 x(1)(k)+0.5 x(1)(k+1)作为x的值。 则得到灰微分方程为 x(0)(k+1)+a z(1)(k)=b 则可得矩阵方程 x(0)(k+1)=-a z(1)(k)+b Yn=B&
dx (1) ax (1) b dt (0) 为灰色微分方程x (k)+az(1)(k)=b的白化方程，也叫影子方程。
称
将上面所求参数代入白化方程，求得其离散解为 b b x (1) (k 1) ( x (1) (1) )e ak a a 还原到原始数据
x (0) (k 1) x (1) (k 1) x(k )
灰色系统分析法、数理统计法及模糊法对比
灰色系统 内涵 依据 手段 特点 要求 目标 信息准则 小样本不确定 信息覆盖 生成 少数据 允许任意分布 现实规律 最少信息 数理统计方法 大样本不确定 概率统计 统计 多数据 要求典型分布 历史统计规律 无限信息 模糊法 界限不确定 隶属度函数 边界取值 经验（数据） 函数 认知表达 经验信息
由此可见，关联分析实质上是一种曲线间几何形状的分析比较， 即几何形状越接近，则发展变化趋势越接近，关联程度越大；反之亦 然。
关联度分析步骤： 设原始数列为 X(0)=(x(0)(1), x(0)(2),……,x(0)(n)) 比较数列为 X(i)=(x(i)(1), x(i)(2),……,x(i)(n)) 关联系数的定义
GM（1,1）模型
模型符号含义 GM(1，1) Grey Model(1阶方程，1个变量) GM(1，1)建模过程 令X（0）为GM(1，1)为原始建模序列： X(0)=(x(0)(1), x(0)(2),……,x(0)(n)) X（1） 为X（0）累加生成序列 X(1)=(x(1)(1), x(1)(2),……,x(1)(n))
计算原始序列的均方差：
n x ( 0 ) (i ) x ( 0 ) S1 i 1 n 1


2

1
2
计算残差的均值：

1 n ( 0) (i ) n i 1
n ( 0 ) (i ) S 2 i 1 n 1
灰色预测模型
关联度分析 灰色生成 GM(1,1)建模机理
关联度分析
关联度分析 根据因素之间发展态势的相似或相异程度来衡量因素间 关联的程度，其揭示了事物动态关联的特征与程度。关联分析是灰色 系统分析和预测的基础。
x
A B
C
D t
将曲线A与B、C、D的关联程度分 别记为rAB，rAC，rAD，则它们之间 有如下排序关系：rAB，rAC，rAD， 相应的序列｛rAB，rAC，rAD｝称为 关联序。
灰色预测 通过鉴别系统因素之间发展趋势的相似或相异程度，即进 行关联度分析，并通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。 生成数据序列有较强的规律性，可以用它来建立相应的微分方程模型， 从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。 灰色预测的类型 时间序列预测。用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数 量（如产量、销量、人口数量、存款数量、利率等）构造灰色预 测模型，预测未来某一时刻的特征量，或者达到某特征量的时间。 畸变预测（灾变预测）。通过模型预测异常值出现的时刻，预测 异常值什么时候出现在特定时区内。 波形预测，或称为拓扑预测，它是通过灰色模型预测事物未来变 动的轨迹。 系统预测，是对系统行为特征指标建立一族相互关联的灰色预测 理论模型，在预测系统整体变化的同时，预测系统各个环节的变 化。
(0) x x(1)(k)= (i ) i 1 k
k=1,2,…,n
令Z（1）为X（1）的紧邻均值生成序列 Z（1）=（ z(1)(1 ), z(1)(2),…… z(1)(k )） z(1)(k)=o.5 x(1)(k)+0.5 x(1)(k-1) GM(1，1)的灰微分方程模型为 x(0)(k+1)+a z(1)(k)=b 式中称为a发展系数，b为灰色作用量。
b x ( 0 )(k 1 ) ( 1 e a )[x ( 1 )( 1 ) ]e ak a
GM（1,1）模型检验
GM(1,1)模型的检验分为三个方面：残差检验；关联度检验；后验差检 验。 残差检验 即对模型值和实际值的残差进行逐点检验。 首先按模型 ( 0) ˆ (1) (i 1)，将 x ˆ (0) (i) 计算 x 累减生成 x ，最后计 算原始序列 x (i) ˆ (1) (i 1) ˆ ( 0) (i) 的绝对残差序列 与x
灰色预测法
汇报人：吴威
赵耀华
主要内容
灰色预测的理论基础 灰色预测模型 GM（1，1）的检验 灰色预测的应用实例
灰色预测的理论基础
灰色系统是指“部分信息已知,部分信息未知”的“小样本”,“贫信 息”的不确定性系统。 信息不完全包含： 1、系统因素不完全明确； 2、因素关系不完全清楚； 3、系统结构不完全知道； 4、系统作用原理不完全明了。 白色系统、灰色系统、黑色系统 白色系统 一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全 充分的。如：存取款系统，存款金额明确，利息固定则最终取款金额 就已知。 灰色系统 一个系统的内部特征是不完全已知的系统。人体是一个系 统，人的身高、体温、血压等都是已知的，可是，人体内部在结构及 部位功能上还有许多问题尚未可知。 黑色系统 一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过 它与外界的联系来加以观测研究。如：观测到的星体。
1983
—— 10 40
步骤2：计算第级最小差、最大差
第二级最大差 40
步骤3：计算灰色关联值
养猪 养兔 0.7634 0.6025
可见，养猪所得收入与总收入的关联程度更大
灰色生成
数的生成 通过对数列中的数据进行处理，产生新的数列，以此来挖 掘和寻找数的规律性的方法。对灰色数的处理是利用数据处理的办法 去寻找数据间的规律。数的生成方式主要有累加生成、累减生成、均 值生成。 累加生成 通过数列间时刻各数据的依个累加以得到新的数据与数 列，累加所得的新数列叫做累加生成数列。 具体地， 记原始数列为 X(0)=(x(0)(1), x(0)(2),…,x(1)(n)) 累加生成序列 X(i)=(x(i)(1), x(i)(2),…,x(i)(n)) 一次累加生成关系
x (k ) x (0) (i ) x (1) (k 1) x (0) (k )
(1) i 0
k
累加生成的作用 通过累加生成可以看出灰量积累过程的发展态势,使 离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律加以显化。
累减生成 对数列求相邻两数值的差，是累加生成的逆运算。 记原始序列为 X(1)=(x(1)(1), x(1)…(2),…),x(1)(n)) 一次累减生成序列为 X(0)=(x(0)(1), x(0)(2),…,x(0)(n)) 其中，x(0)(k)=x(1)(k)—x(1)(k-1) 累减生成的作用 累减生成可将累加生成还原为非生成数列,在建模方 程用来获得增量信息。 均值生成 设原始序列为X(0）={x(0)(1), x(0)(2),……,x(0)(n)} ，x(0)(k-1)与x(0)(k) 为数列X(0)的一对（紧）邻值，则称x(0)(k-1)为前值，x(0)(k)称为 后值。 对于常数α∈(0,1) 则称 z(0)(k)=αx(0)(k) + (1-α)x(0)(k −1) 为由数列x(0)的邻值在生成系数（权）α下的邻值生成数。 特别地，当生成系数为0.5时，则称 z(0)(k) = 0.5x(0)(k) + 0.5x(0)(k −1) 为（紧）邻均值生成数，即等权邻值生成数。
C
<0.35 <0.5 <0.65 >0.65
模型精度 优 合格 勉强合格 不合格
指标C和P是后验差检验的两个重要指标，C越小越好，C越小表 示S1大而S2小。S1大表示原始数据方差大即原始数据离散程度大， S2小表示残方差小即离散程度小，C小则表示尽管原始数据很离 散，而模型所得计算值与实际值之差并不太离散。P指标越大越 好，P值越大，表明残差与残差平均值之差小于定值0.6745的点 较多，即拟合值分布比较均匀，按C、P两个指标，可综合评定 预测模型的精度。
(0) {(0) (i), i 1,2,..., n}
ˆ (0) (i ) (0) (i ) x (0) (i ) x
(0) (i ) 及相对误差序列 {i , i 1,2,..., n} i (0) x (i ) 1 n 并计算平均相对残差 i n i 1 给定α，当 且 n 成立时，称模型为残差合格模型。
设&为待估参数向量，即&=（a,b）T，则灰微分方程的最小二乘估计 参数列满足 &=(BTB)TBTYn
其中，
z (1) (2) 1 (1) z (3) 1 B= ... ... (1) z (n) 1
x (0) (2) (0) x (3) Y n= ... (0) x (n)
ri
(k ) n
k 1 i
关联系数只表示了各个时刻参考序列和比较序列之间的关联程度，为 了从总体上了解序列之间的关联程度，必须求出它们的时间平均值， 即关联度。
例：某地区1977-1983年总收入与养猪、养兔收入资料见表
1977 总收入 18 1978 20 1979 22 1980 40 1981 44 1982 48 1983 60
i (k )
min min x0 (l ) x j (l ) P max max x0 (l ) x j (l )
j l j l
x0 ( k ) xi ( k ) P max max x0 (l ) x j (l )
j l
Baidu Nhomakorabea
其中P称为分辨率，0<P<1，一般采用P=0.5。对单位不一，初值不同 的序列，在计算关联系数之前应首先进行初值化，即将该序列的所有 数据分别除以第一数据，将变量化为无单位的相对数值。 关联度的计算公式： 1 n
关联度检验 即通过考察模型值曲线和建模序列曲线的相似程度 ˆ (0) (i)与原始序 进行检验。按前面所述的关联度计算方法，计算出x 列 x(0) (i) 的关联系数，然后算出关联度，根据经验，关联度大于 0.6便是满意的。
后验差检验 即对残差分布的统计特性进行检验。 1 n ( 0) x x ( 0 ) (i ) 计算出原始序列的平均值： n i 1