力学中的数学方法-变分法

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函数
微分：
Δz = f (x + Δx) − f (x)
变分：
泛函
δU = U[y(x) + δy(x)]−U[y(x)]
= A(x)Δx + ωΔx
当Δx→0时，ω →0，则 Δ z 可
用其线性主部表示其微分。即
= L[y(x)]δy + βmax δy L[y(x)] —— U 增量的线性主部
泛函的极值问题．
1. 泛函 变分法研究的对象是泛函，泛函是函数概念的推广．
先看一个例题：
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考虑著名的最速降线落径问题。如图1 所示，
已知A和B为不在同一铅垂线和不同高度的两点，要求 找出A、B间的这样一条曲线，当一质点在重力作用下沿 这条曲线无摩擦地从A滑到B时，所需的时间T最小．
A
x
B(x,y)
的定义域。简单地说，泛函就是函数的函数（不是复合函数
的那种含义）．
所谓泛函不过是更广泛意义下的函数关系罢了！
泛函定义：一般来说，设C是函数的集合，B是实数或复数的集合
J 如果对于C的任一元素 y( x) 在B中都有一个元素 与之对应， 则称 J 为 y(x) 的泛函，记为
J = J[ y(x)]
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泛函通常以积分形式出现，比如上面描述的最速降线 落径问题的式. 更为一般而又典型的泛函定义为
—— 一阶变分为零。
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1.4 泛函的极值
泛函的极值问题，一般来说是比较复杂的．因为它
与泛函包含的自变量个数，未知函数的个数以及函数导 数的阶数等相关．另外，在求泛函极值时，有的还要加 约束条件，且约束条件的类型也有不同，等等．下面我
们首先讨论泛函的极值的必要条件．
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1) 泛函的极值的必要条件――欧拉－拉格朗日方程
∂F − d (∂F ) = 0 ∂yi dx ∂yi′
(i = 1, 2,⋅⋅⋅, n)
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c). 泛函的积分形式中含有高阶导数
∫ J[ y(x)] = b F (x, y, y′, y′′,⋅ ⋅⋅, y(n) )dx a
δ y(a) = δ ′y(a) = ⋅⋅⋅ = δ (n−1) y(a) = 0
∫δ 1( y′2 + λ y2 )dx = 0 0
对应的E-L方程为 y′′ − λ y = 0
其通解为
y = Acos −λ x + B sin −λ x
(λ < 0)
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代入附加条件 y(0) = 0, y(1) = 0. 得到
yn (x) = cn sin(nπx) (n = 1, 2,⋅ ⋅ ⋅)
在极值曲线 y(x) 附近，泛函 J[ y(x)] 的增量，定义为
ΔJ = J[ y(x,ε )] − J[ y(x)]
ε 依照上述约定，当 → 0 时，泛函增量 ΔJ 的线性
主要部分定义为泛函的变分，记为
δ
J
=
∂J
∂ε
|ε =0
dε
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在求一元或多元函数的极值时，微分起了很大的 作用；同样在研究泛函极值问题时，变分起着类似微 分的作用．因此，通常称泛函极值问题为变分问题； 称求泛函极值的方法为变分法．
δ y(b) = δ ′y(b) = ⋅⋅⋅ = δ (n−1) y(b) = 0
与此泛函极值问题相应的E-L方程为
∂F − d ( ∂F ) + d2 ( ∂F ) + ⋅ ⋅ ⋅ + (−1)n dn ( ∂F ) = 0
∂y dx ∂y′ dx2 ∂y′′
dxn ∂y(n)
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1.5 泛函的条件极值问题
若考虑两端固定边界的泛函问题：积分是在区域内通过两点
(x1, y1), (x2 , y2 )
x 的任意曲线进行的，其中 1
=
a, x2
=b
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y 泛函中 为 y(x,ε ) = y(x) + εη(x)
∫ δ J = b (∂F δ y + ∂F δ y′)dx
a ∂y
∂y′
δ y =η(x)dε
J[ y(x) + εη(x)] 取极值． 17
于是原来的泛函极值 问题，就化为一个求普通函数
Φ(ε ) 的极值问题．
由函数取极值的必要条件
dΦ
dε
|ε
=0
=
0
即有
∂J
∂ε
|ε =0 =
0
a) 泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数的积分形式
∫ J[ y(x)] = b F (x, y, y′ )dx a
代入归一化条件得到
∫1 0
cn2
sin
2
(nπx)dx
=
1
于是得到 cn = ± 2，故原极值问题的解为
yn = ± 2 sin(nπx)
∫ 而题中要求的泛函 1( y′)2dx 的极值为 0 29
∫12n2π2 cos2 (nπx)dx = n2π2 0
y,
y′)]dx
=
0
a
于是问题转化为不带条件的由上式所表示的变分问题．
其对应的E-L方程为
∂F
+λ
∂G
−
d
∂F (
+λ
∂G ) =
0
∂y ∂y dx ∂y′ ∂y′
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a 这是通过 和 b 两点的 y( x) 在附加条件
之下使泛函取极值的必要条件．它实际上是一个关于 y( x)
λ 的二阶常微分方程．其通解中含有三个参数，即 和两个积分
∫ J[ y(x)] = b F (x, y, y′)dx a
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1.2 变分法 变分法：所谓的变分法就是求泛函极值的方法．
对于不同的自变量函数 y( x) ，与此相应的泛函 J[ y(x)] 也有不同的数值．找出一个确定的自变量函数 y( x) ，使泛函
J[ y(x)] 具有极值（极小或极大），这种泛函的极小值与极大
在许多泛函的极值问题中，变量函数还受到一些附加条件 的限制，其中最常见和重要的一种是以积分形式表示的限制 条件 即所谓的等周问题：
⎧
∫ ⎪
⎨
∫ ⎪⎩
J
[
y
b a
(x)] = G(x, y,
b
F(x, y,
a
y′)dx = l
y′)dx,
y(a) = y0 , y(b) = y1
（注：这种问题之所以称为等周问题，是因为在历史上起源
于求一条通过两点，长度固定为的曲线 y( x), 使面积
b
∫ S = y(x)dx 取极大值） a 25
其中 l, y0 , y1 为常数．此类问题可以仿照普通函数的
条件极值问题的拉格朗日乘子法．即将附加条件乘以
参数，求其变分后，加到泛函取极值的必要条件中得到
∫δ
b
[F (x;
y,
y′)
+
λG ( x;
题的，只要解出E-L方程，就可以得到泛函的极值．
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b). 泛函表示为多个函数的积分形式
∫ J[ y(x)] =
b a
F
(
x,
y1
,
y1′,y2
,
y2′
,
⋅
⋅
⋅
yn
,
yn′
)dx
δ yi |x=a = 0,
δ yi |x=b =0
(i = 1, 2,⋅⋅⋅, n)
则与此泛函极值问题相应的E-L方程为
dz = f ′(x)dx
当 max|δy|→0时，βmax →0，则 δ U 可用其线性主部表示, 即
极值：
δU = L[y(x)]δy
极值：
若 z = f (x) 在 x0 处有极值，
则有：
f ′(x) x=0 = 0
若 U[y(x)] 在 y0(x) 处有极值，
条件： δU [y(x)] = 0
y
图
4
此时质点的速度是
ds = 2gy dt
从 A滑到B所需的时间为
∫ ∫ ∫ T = tB dt
B
=
ds
B 1+y′2
=
dx
tA
A 2gy
A 2gy
B 1+y′2
T[ y(x)] = ∫A
dx 2gy
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x 式中 y′ 代表对 求一阶导数． 我们称上述的 T 为
y(x) 的泛函，而称 y(x) 为可取的函数类，为泛函 T[ y(x)]
和 y1(x) 的微差δ y 。y δ y 是x 的函数。
y1=y1(x) δy
y=y(x)
Δy dy
o
x
△x=dx
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2） 泛函的变分
∫ 对于泛函 J[ y(x)] = b F (x, y, y′ )dx a
泛函的变分定义为
∫ δ J = b ( ∂F δ y + ∂F δ y′)dx
a ∂y
∂y′
y
=
∂
∂ε
y(x,ε )dε
|ε =0 = η(x)dε
δ y′ = η′(x)dε
x 这里 y′,η′ 代表对 求一阶导数．
δ y′ = d δ y
dx
即变分和微分可以交换次序．
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dy和δy的区别
dy : 是针对一条曲线 y =y(x) ，当△x= dx 时 函数
值增量的线性主部是 dy 。
δy：是在x不变时，针对两条接近的函数曲线 y(x)
=
0
欧拉（Euler）－拉格朗 日（Lagrange）方程，简 称为E-L方程．
J 此即泛函取极值的必要条件．即泛函 的极值函数 y( x)
δ J 必须是满足泛函的变分 = 0 的函数类 y(x) ．因此，