矩阵及逆矩阵的求法
求逆矩阵的四种方法
求逆矩阵的四种方法逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵，也是线性代数中的重要概念之一。
但是，在实际应用中，需要对矩阵求逆的情况并不多，因为矩阵求逆的时间复杂度很高。
下面介绍四种求逆矩阵的方法：1. 初等变换法：采用列主元消去法（高斯-约旦消元法）进行初等变换，即将一个矩阵通过行变换，转化为一个行阶梯矩阵，其中行阶梯矩阵的左下方的元素均为零。
而这样一个变换后得到的矩阵实际上就是原矩阵的逆矩阵。
2. 伴随矩阵法：如果一个矩阵 A 可逆，则求它的逆矩阵等价于求它的伴随矩阵 AT 的结果除以 A 的行列式。
伴随矩阵的计算式为：adj(A)= COF(A)T，其中 COF(A) 为 A 的代数余子式组成的矩阵，它的每个元素满足 COF(A)ij = (-1)^(i+j) det(Aij)，其中 det(Aij) 表示将第 i 行和第 j 列去掉后得到的子矩阵的行列式。
3. LU 分解法：LU 分解法是将矩阵分解为一个下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U 的乘积，即 A = LU，其中 L 的对角线元素均为 1。
当矩阵 A 可逆时，可用 LU 分解求解其逆矩阵。
假设 L 和 U 都是方阵，则A 的逆矩阵为：A^(-1) = (LU)^(-1) = U^(-1)L^(-1)。
4. 奇异值分解（SVD）方法：当矩阵 A 是非方阵时可以采用奇异值分解法，将矩阵 A 分解为A = UΣV^T，其中 U 为一个m×m 的正交矩阵，V 为一个n×n 的正交矩阵，Σ 为一个m×n 的矩形对角矩阵，若r 是 A 的秩，则Σ左上角的 r 个元素不为 0，其余元素为 0，即Σ有 r 个非零奇异值。
当A 可逆时，Σ 中的非零元素都存在逆元，逆矩阵为：A^(-1) = VΣ^(-1)U^T。
综上所述，求逆矩阵的四种方法各有特点，应根据实际情况选择合适的方法进行求解。
初等变换法适合较小规模的矩阵，伴随矩阵法适用于计算代数余子式较容易的矩阵，LU 分解法适合较大规模的矩阵，而SVD 方法则适用于非方阵或奇异矩阵的情况。
2.6 矩阵的逆和求法
第二章
矩阵逆及其求法
一、逆矩阵的概念
二、方阵可逆的判别定理
三、逆矩阵的基本性质
四、用矩阵的初等变换求逆矩阵
1
线性方程组的矩阵表示法
设 A (aij )mn X (xi )n1 B (bi )m1
a11x1 a12x2 a1n xn b1
n 元线性方程组 a21x1 a22x2 a2n xn b2
8
( A E)1 1 ( A2 A E) 8
31
例14若 A3 A 2E 0 ，判别 A 及 ( A 2E) 可逆，
并求其逆。
解 (1)
A( A2 E) 2E ,
A2 E
A
E,
A 可逆 且 A1 1 (E A2 ) 2
2
(2) A2 ( A 2E) 2A( A 2E) 3( A 2E) 8E 0
1 2
4 1
2 1
n
1 0
0 2n
An 11
2 4
1 0
0 2n
1 2
4 1
2 1
2 2n 2 2n1
22nn111
21
二、逆矩阵求解方法二——初等变换法 初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，为了
充分发挥其作用，有必要对它进一步探讨。
定理3 A可逆 A 行 E Pm P2P1A E
Pm P2P1E A1 E 行 A1
0 2 8 3 0 1 0 0 12 7 2 1
23
1 ~ 0
0
0 1 0
1 2 12
1 2 7
0 1 2
0 0 1
~
1 0 0
0 1 0
1 2 1
1
2 7
12
0
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
返回
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
返回
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
返回
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
对调I的两行
对调I的两列
返回
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
非零数乘以I的行
非零数乘以I的列
返回
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
返回
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
返回
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
定义 对换矩阵的两行（或两列）；
记为
2. 以任意数
乘以矩阵的某一行（或列）每个元；
记为
3. 某一行（或列）的每个元乘以同一常数加到另一行 （或列）的对应元上去.
记为
矩阵A经过初等变换化为矩阵B表示为A→B。
返回
根据逆矩阵的定义，容易验证以上各式。
同时，上面等式表明：初等矩阵的逆仍然是初等矩阵。
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
※定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆. ※用初等矩阵左乘某矩阵，相当于对该矩阵进行相应
的初等行变换；用初等矩阵右乘矩阵，相当于对该 矩阵进行相应的初等列变换；反之亦然。 ※若矩阵B是矩阵A经过有限次初等变换得到的，那么 可以记为B＝PAQ，其中P、Q为初等矩阵的乘积 ※定理1.3 可逆矩阵经过有限次初等变换仍可逆. ※定理1.4 可逆矩阵经过有限次初等行变换可以化为单 位矩阵. ※定理1.5 方阵P为可逆矩阵的充要条件是P可以表示 为有限个初等矩阵的乘积。
1.7（2）（5）
1.10
12矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
线性方程组的初等变换有三种： 1. 互换两个方程的位置； 2. 把某个方程两边同乘以一个非零常数； 3. 将某个方程加上另一个方程的k倍.
矩阵逆矩阵的求法
矩阵逆矩阵的求法One 、矩阵的逆的定义矩阵的逆，又叫做逆矩阵，是指一个方阵在乘积中具有反作用的转换矩阵，它被定义为：存在一个转换矩阵A，使得它和定矩阵相乘等于单位矩阵I，且称A为定矩阵的逆，标记为A⁻¹。
其定义如下：ªA⁻¹A=AA⁻¹=I了解到矩阵逆的定义后，很容易想到，如果有一种新的矩阵，它可以被乘以一个矩阵就得到一个单位矩阵的话，那么这个新的矩阵就是这个矩阵的逆，这个新的矩阵称为全逆矩阵。
全逆矩阵的求法是将单位矩阵放入原始矩阵的右边，然后将单位矩阵的列进行相应的变换，直到变换出等价行阶梯型矩阵。
最后，再将此行阶梯型矩阵变换回与原始矩阵有相同行列数的矩阵，这就是原始矩阵的逆矩阵了。
2、矩阵的逆求法：使用秩当矩阵的行数和列数不相等时，使用全逆矩阵求解矩阵逆比较困难，通常可以使用矩阵的秩来求解矩阵逆。
准确地说，该方法是求解方程Ax=b求解矩阵A的逆矩阵A⁻¹。
方法是，先求出该方程的秩r，如果r=m，m指的是A的行数，则A为可逆矩阵，否则A为不可逆矩阵，而其逆矩阵为不存在状态。
此后可采用Gauss-Jordan方法来求出A的逆矩阵A⁻¹。
三、矩阵的逆的求解实例下面通过一个实例来详细地介绍矩阵逆的求解方法：我们现在考虑如下矩阵A：A =\begin{pmatrix}2 & -1 & 3\\1 & -1 & 0\\1 & 4 & 2\end{pmatrix}首先，我们应求出A的逆A⁻¹：来证明A的矩阵逆的求解结果的正确性，我们将A和A⁻¹相乘：从结果可以看出，A和A⁻¹相乘得到结果是单位矩阵，说明经过求解，A的矩阵是正确的。
矩阵和逆矩阵的关系公式
矩阵和逆矩阵的关系公式
摘要：
1.矩阵和逆矩阵的定义
2.矩阵和逆矩阵的关系公式
3.逆矩阵的求法
4.矩阵和逆矩阵在线性方程组中的应用
正文：
矩阵和逆矩阵是线性代数中的重要概念。
矩阵是一个二维数组，可以用来表示线性方程组、线性变换等。
逆矩阵是指对于一个矩阵A，若存在一个矩阵B，使得AB=BA=I（单位矩阵），则称矩阵B 是矩阵A 的逆矩阵。
矩阵和逆矩阵的关系公式可以表述为：A 的逆矩阵是B，当且仅当
AB=BA=I。
根据这个公式，我们可以推出求逆矩阵的一种方法：将矩阵A 和单位矩阵I 组成一个新的矩阵，然后进行行列式运算，求出新矩阵的逆矩阵，这个逆矩阵就是原矩阵A 的逆矩阵。
逆矩阵的求法主要有两种：一种是通过关系公式，将矩阵A 和单位矩阵I 组成一个新的矩阵，然后进行行列式运算，求出新矩阵的逆矩阵，这个逆矩阵就是原矩阵A 的逆矩阵；另一种是通过高斯消元法，将矩阵A 化为阶梯形矩阵，然后从最后一行开始，将阶梯形矩阵转化为单位矩阵，这个过程就是求逆矩阵的过程。
矩阵和逆矩阵在线性方程组中有广泛的应用。
线性方程组可以表示为一个矩阵方程，而求解这个矩阵方程，就等价于求解线性方程组。
通过矩阵的逆矩
阵，我们可以将矩阵方程转化为一个易求解的形式，从而求解线性方程组。
总的来说，矩阵和逆矩阵是线性代数中的基础概念，它们在解决实际问题中有着重要的作用。
逆矩阵及其求法-PPT
4
15 1
15 2
15
1 2 3
1 0 0
x1 1
x2
0
x3
0
A22
An
2
A2n
Ann
| A | 0 0
1 0 0
|
1 A
|Leabharlann 0 | A| 0
|
1 A
|
|
A
|
0
1
0
0
0 | A |
0
0
1
=E
同样 ( 1 A* )A 1 | A | E E
| A|
| A|
由逆阵得定义有: A1 1 A* | A|
注: AA*=A*A=|A|E
1 2 3 x1 1
其中A 2
2
5, X
x2
,
B
2
3 5 1 x3 3
∵|A|=150
A可逆
求得 A1 112353
13
15 8
4
15 1
,
15 15 15
4 15
1 15
2 15
X=A1B
X
x1
x
2
x3
112353 15 4
15
13
15 8
15 1
15
0 1 5 2 1 1
例3 设方阵A满足A2A2E=0,证明:A, A+2E 都可逆,并求它们得逆阵、
[证] A2A2E=0 A(AE)=2E
A A E E 2
A A E 1 2
|A|0 A可逆, A1 1 ( A E )
2
A2A2E=0 (A+2E)(A3E)+4E=0 ( A 2E)[ 1 ( A 3E)] E 4 A 2E 1 (A 3E) 1 4
矩阵的乘法及求逆运算 最终版
(1)
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3
记
a11
A
a21 a31
a12 a22 a32
a13
a23 a33
,
x1
x
x2 x3
,
b1
b
b2 b3
则方程组(1)可表示为 Ax b.
二.矩阵的求逆
一、逆矩阵的概念 二、方阵可逆的判别定理 三、逆矩阵的基本性质 四、用矩阵的初等变换求逆矩阵
0
1
5
逆矩阵求解方法七——恒等变形
有些计算命题表面上与求逆矩阵无关，但实质上只有求出其
逆矩阵之后，才能解决问题。而求其逆矩阵常对所给矩阵进行恒 等变形，且常变为两矩阵乘积等于单位矩阵的等式。
1
3
例 . 已知 A6 I，求 A11，其中 A 2
2
3 1
x1i
Xi
x2i
x3i
解得：
（i 1, 2,3）
1 3 2
A1
X
3
3
5
2
2
0 11 1
逆矩阵求解方法六——准对角矩阵
A11 0 L
定义：形如A
0
A22 L
L L L
0
0L
A称为准对角矩阵
0
0
0
1
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0
0
0
1
初等矩阵与逆矩阵的求法
阵。于是存在优先多个初等矩阵P1 Pr，Q1 Qt
使得 P1 Pr AQ1 Qt =E,从而
A=（ P1
Pr）-1E（Q1
Q
）-1
t
=Pr-1
P1-1 • Qt-1
Q1-1 .
推论1方阵A可逆旳充分必要条件是存在有 限个初等方阵 P1, P2 ,, Pl ,使A P1P2 Pl .
19
推论2 方阵A可逆旳充分必要条件是A可经过有限屡 次初等行变换化为单位阵E.
等 矩阵 P(i(k))
1
P(i(k))
1 k 1
第 i 行
1
6
(3)以数 k 0 乘某行(列)加到另一行(列)上去
以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 (ri krj )
或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 (c j kci )
得到初等矩阵 P(i, j(k))
20
5、利用初等行变换求逆阵旳措施：
当 A 0时，由 A P1P2 Pl，有
Pl1Pl11P11 A E, 及 Pl1Pl11P11E A1,
Pl1Pl11 P11 A , E Pl1Pl11 P11 A , Pl1Pl11 P11E E , A1
即对 n 2n 矩阵 ( A , E) 施行初等行变换 ,
P(i, j)1 P(i, j)
P(i(k ))1 P(i( 1 )) k
P(i, j(k))1 P(i, j(k))
9
初等矩阵旳应用
定理1 设 A 是一种 m n 矩阵 , 对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 旳 左边乘以相应旳 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换 , 相当于在 A 旳 右边乘以相应旳 n 阶初等矩阵.
矩阵的行列式和逆矩阵的求法及其应用
矩阵的行列式和逆矩阵的求法及其应用矩阵是线性代数的重要概念，其最基本的性质之一就是行列式和逆矩阵。
本文将介绍矩阵的行列式和逆矩阵的求法及其应用。
一、行列式的定义和计算行列式是一个方阵所代表的一个数，其分为一阶、二阶、三阶…… n 阶等多种。
对于 n 阶行列式而言，其可以根据下面的公式计算：$ |A|=\sum_{\sigma \in S_{n}} (-1)^{\epsilon(\sigma)} a_{1\sigma_{1}} a_{2 \sigma_{2}} \cdots a_{n \sigma_{n}} $其中，$a_{i j}$ 表示矩阵 A 中第 i 行第 j 列的元素，$S_{n}$ 表示 n 个元素的置换集合，$\sigma$ 为其中一个置换，$\sigma_{i}$ 为其对应置换的第 i 个元素，$\epsilon(\sigma)$ 表示置换 $\sigma$ 的逆序对数的奇偶性。
例如，对于以下的 3 阶行列式来说：& a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right]$其行列式可以这样计算：$|A|=\left|\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right|=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23}a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}-a_{13} a_{22} a_{31}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}$二、逆矩阵的定义和计算逆矩阵是指与矩阵 A 相乘可以得到单位矩阵的矩阵 B，即 $A B = B A = I$，其中 I 表示单位矩阵。
求矩阵逆矩阵的常用方法
求矩阵逆矩阵的常用方法矩阵逆矩阵是一个非常重要的概念，在许多数学和工程应用中都有广泛的应用。
下面介绍了三种求矩阵逆矩阵的常见方法，以及它们的拓展。
方法一：行列式求解法行列式求解法是最常用的方法之一，它基于矩阵逆矩阵的定义，即矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵与原矩阵相乘的行列式。
具体步骤如下:1. 计算矩阵 A 的行列式;2. 将行列式乘以矩阵 A 的列向量，得到矩阵 A 的逆矩阵。
方法二：高斯 - 约旦消元法高斯 - 约旦消元法是一种用于求解矩阵逆矩阵的线性代数算法，它基于矩阵乘法的可逆性。
具体步骤如下:1. 将矩阵 A 分解成阶梯形矩阵;2. 对阶梯形矩阵的每一列进行高斯 - 约旦消元，得到一个新的矩阵;3. 将新的矩阵与原矩阵 A 相乘，得到矩阵 A 的逆矩阵。
方法三：奇异值分解法奇异值分解法是一种用于求解矩阵逆矩阵的非常规方法，它基于矩阵的奇异值分解。
具体步骤如下:1. 将矩阵 A 分解成奇异值分解;2. 对分解后的矩阵分别进行逆矩阵运算，得到矩阵 A 的逆矩阵。
拓展：矩阵逆矩阵的应用矩阵逆矩阵在许多数学和工程应用中都有广泛的应用，下面列举了其中的几个应用领域:1. 信号处理：矩阵逆矩阵在数字信号处理中被用来求解信号的逆变换，即信号的逆变换。
2. 量子力学：矩阵逆矩阵在量子力学中被用作求解系统的能级和波函数。
3. 控制理论：矩阵逆矩阵在控制理论中被用作求解系统的控制器，即控制器的逆矩阵。
4. 统计学：矩阵逆矩阵在统计学中被用于求解协方差矩阵的逆矩阵，即协方差矩阵的逆矩阵。
5. 计算机科学：矩阵逆矩阵在计算机科学中被用于求解矩阵的逆矩阵，即矩阵的逆矩阵。
矩阵逆矩阵是一种非常重要的数学概念，在许多数学和工程应用中都有广泛的应用。
了解不同方法求解矩阵逆矩阵的原理和过程，有助于更好地理解和应用矩阵逆矩阵的概念。
矩阵的逆及其求法
第二章
矩阵逆及其求法
一、逆矩阵的概念
二、方阵可逆的判别定理
三、逆矩阵的基本性质
四、用矩阵的初等变换求逆矩阵
1
线性方程组的矩阵表示法
设 A (aij )mn X (xi )n1 B (bi )m1
a11x1 a12x2 a1n xn b1
n 元线性方程组
a21x1
a22 x2
A A1 E 1 0, 因此 A 0 .
充分性．设 A 0 , 由定理 2.1 知
AA A A A E.
故有 A( 1 A* ) ( 1 A* )A E .
A
A
10
由逆矩阵定义知，A 可逆，且其逆为
A1 1 A* . A
定理 2.2 不仅给出了判断矩阵可逆的方法， 还给出了求解逆矩阵的一种方法 .
A21 a12 ,
所以
A*
a22 a12
a21
a11
8
定理2.1 AA A A A E.
a11
证明：AA*
an1
a1n A11
ann A1n
An1
Ann
a11 A11
an1 A11
a1n A1n ann A1n
a11 An1 an1 An1
2 , 2
于是
2 6 4
A1
1 A
A
1 2
3 2
6 2
5 2
,
2 6 4 2 9
x
1 2
3 2
6 2
5 2
1 4
10 3
.
3 4 ,
1
16
利用方阵的逆矩阵及矩阵的乘法给出了求解变量 个数等于方程个数的一种方法 ( 第一章给出了行列式 法 ) ，但对于 n 较大时，两种方法都不适用 .我们将 在余下的章节讨论第三种方法 .
1.2矩阵的初等变换与逆矩阵的求法
本节内容
1. 线性方程组的同解变换； 2. 矩阵的初等变换； 3. 初等矩阵； 4. 用初等行变换求逆矩阵.
线性方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ组的同解变换
同解变换，就是变换后的线性方程组与原线性方程组 同解。
初等变换就是线性方程组的同解变换。 定理：设方程组经过某一初等变换后变为另一个方程
非零数乘以I的列
返回
某行（或列）的若干倍加到另一行（或列）
返回
初等矩阵左乘相当于行变换 初等矩阵右乘相当于列变换
返回
矩阵的初等变换
定义：以下三种变换称为矩阵的初等变换：
1. 对换矩阵的两行（或两列）；
记为
2. 以任意数
乘以矩阵的某一行（或列）每个元；
记为
3. 某一行（或列）的每个元乘以同一常数加到另一行 （或列）的对应元上去.
根据逆矩阵的定义，容易验证以上各式。
同时，上面等式表明：初等矩阵的逆仍然是初等矩阵。
初等矩阵的性质
※定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆. ※用初等矩阵左乘某矩阵，相当于对该矩阵进行相应
的初等行变换；用初等矩阵右乘矩阵，相当于对该 矩阵进行相应的初等列变换；反之亦然。 ※若矩阵B是矩阵A经过有限次初等变换得到的，那么 可以记为B＝PAQ，其中P、Q为初等矩阵的乘积 ※定理1.3 可逆矩阵经过有限次初等变换仍可逆. ※定理1.4 可逆矩阵经过有限次初等行变换可以化为单 位矩阵. ※定理1.5 方阵P为可逆矩阵的充要条件是P可以表示 为有限个初等矩阵的乘积。
记为 矩阵A经过初ri等变r换j (c化i 为c矩j )阵B表示为A→B。 习惯上在箭头的上面写出行变换，下面写出列变换。
消元法解线性方程组
第四讲矩阵的运算与逆矩阵
§2.2 矩阵的运算1.矩阵的加法定义：设有两个n m ⨯矩阵)(),(ij ij b B a A ==,那么矩阵A 与B 的和记作A +B ,规定为n m ij ij b a B A ⨯+=+)(设矩阵)(),(ij ij a A a A -=-=记,A -称为矩阵A 的负矩阵.显然有 0)(=-+A A . 规定矩阵的减法为)(B A B A -+=-.2.数与矩阵相乘定义:数λ与矩阵)(ij a A =的乘积记作A λ，规定为n m ij a A ⨯=)(λλ 由数λ与矩阵A 的每一个元素相乘。
数乘矩阵满足下列运算规律（设B A ,为同型矩阵，μλ,为数）： )(i )()(A A μλλμ=)(ii A A A μλμλ+=+)()(iii B A B A λλλ+=+)(3.矩阵与矩阵相乘定义:设)(ij a A =是一个s m ⨯矩阵,)(ij b B =是一个n s ⨯矩 那么规定矩阵A 与矩阵B 的乘积是一个n m ⨯矩阵)(ij c C =,其中),,2,1;,,2,1(,12211n j m i b a b a b a b a c kj sk ik sj is j i j i ij ===+++=∑=并把此乘积记作AB C =，两矩阵相乘，要求左边距阵的列等于右边矩阵的行，乘积的矩阵的行与左边的行相同，列与右边的列相同。
例3：求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=043211,012301B A 的乘积BA AB 及. 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1204638311,50113BA AB 从本例可以看出AB 不一定等于BA ,即矩阵乘法不满足交换律 注:若有两个矩阵B A 、满足0=AB ,不能得出00==B A 或的结论,即矩阵乘法不满足消去律.矩阵的乘法满足下列结合律与分配律)(i )()(BC A C AB =)(ii 为数）其中λλλλ(),()()(B A B A AB == )(iii CA BA A C B AC AB C B A +=++=+)(,)(对单位矩阵E ,易知n m n n m n m n m m A E A A A E ⨯⨯⨯⨯=⋅=,可简记为 A AE EA ==4.矩阵的转置的定义：把矩阵A 的行列交换得到一个新矩阵,叫做A 的转置矩阵,记作T A矩阵的转置运算满足下述运算规律(假设运算都是可行的) )(i A A T T =)()(ii T T T B A B A +=+)()(iii T T A A λλ=)()(iv T T T A B AB =)(5.对称矩阵与反对称矩阵的定义：设A 是n 阶方阵,如果满足A A T =,即),,2,1,(,n j i a a ji ij ==则称A 是对称矩阵.对称矩阵的特点是:它的元素以对角线为对称轴对应相等. 如果满足A A T-=,即⎩⎨⎧=≠-=0)(ii ji ij a j i a a 则称A 是反对称矩阵.反对称矩阵的特点是:它的元素以对角线为对称轴对应相反6.方阵的行列式：由n 阶矩阵A 的元素构成的行列式（各元素位置不变），称为矩阵A 的行列式，记作A 或A det设A ，B 为n 阶方阵，λ为数，则有下列等式成立：B A AB A A A A n T ===;;λλ例4：设A 是n 阶反对称矩阵，B 是n 阶对称矩阵，证明：BA AB +是n 阶反对称矩阵证明：)()()()()()(,BA AB B A A B B A A B BA AB BA AB BB A A T T T T T T T T T +-=-+-=+=+=+∴=-=所以结论成立例5：设A 是n 阶方阵，满足E AA T =,且1-=A ，求E A + 解：由于A E A E A E A A E A AA A E A T T T T +-=+-=+=+=+=+)( 所以02=+E A ，即E A +=0§2.3矩阵的逆7.逆矩阵：对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ，使E BA AB ==，则称矩阵A 是可逆的，并把B 称为A 的逆矩阵。
矩阵的行列式与逆矩阵
矩阵的行列式与逆矩阵矩阵是线性代数中的一种基本概念，它是由数个数按照矩形排列而成的有限集合。
而矩阵的行列式与逆矩阵是矩阵运算中非常重要的概念与方法。
本文将详细介绍矩阵的行列式以及逆矩阵的定义、性质和计算方法。
1. 矩阵的行列式矩阵的行列式是一个标量，它与矩阵的元素及其排列有关。
对于n 阶方阵A=[a_ij]，其中a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素，行列式的定义如下：det(A) = ∑[(-1)^(i+j) * a_ij * det(A_ij)]其中A_ij表示将矩阵A的第i行和第j列剔除后的(n-1)阶矩阵，det(A_ij)表示该(n-1)阶矩阵的行列式。
该定义可以通过递推公式简化计算。
行列式具有很多重要的性质，比如：- 行列式的转置等于行列式本身的值：det(A) = det(A^T)- 行列式相等的矩阵具有相同的行列式：如果A=B，则det(A) = det(B)- 互换矩阵的两行（或两列）会改变行列式的符号：如果B是通过交换A的两行得到的，则det(B) = -det(A)行列式的计算方法包括拉普拉斯展开和三角形展开等，根据矩阵的性质选择最合适的方法进行计算。
2. 逆矩阵对于n阶矩阵A，如果存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为n阶单位矩阵，则称矩阵A为可逆矩阵，矩阵B为矩阵A的逆矩阵，记作A^(-1)。
可逆矩阵一定是方阵。
逆矩阵是矩阵运算中的重要工具，具有以下性质：- 若A为可逆矩阵，则A^(-1)也是可逆矩阵，(A^(-1))^(-1) = A- 若A、B都是可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，(AB)^(-1) = B^(-1)A^(-1)- 若A是可逆矩阵，则det(A)不等于0，且det(A^(-1)) = 1/det(A)逆矩阵的计算方法一般有初等变换法、伴随矩阵法和矩阵的分块法等。
其中初等变换法是最常用的方法，通过对矩阵A施行一系列初等行变换或初等列变换，将其化为阶梯形矩阵，再通过代换求解出逆矩阵。
矩阵的逆及其求法
充分性．设 A 0 , 由定理 2.1 知
AA A A A E.
故有 A( 1 A* ) ( 1 A* )A E .
A
A
10
由逆矩阵定义知，A 可逆，且其逆为
A1 1 A* . A
定理 2.2 不仅给出了判断矩阵可逆的方法， 还给出了求解逆矩阵的一种方法 .
•A是满秩矩阵 A是非奇异矩阵 A可逆 A 0
11
逆矩阵的求法一：伴随矩阵法
例 2.15 设
1 2
A
3
4
,
判断 A 是否可逆，如果可逆，求出其逆矩阵 .
解
因为
1 A
2 4 6 2 0 , 故 A 可逆，且
34
A1
1
2 3 2
1
1 2
.
12
推论 若方阵 A、B 有 AB = E，则 A、B 均可逆. 证明 因为
逆矩阵的问题。
代数方程 a x b 的解 x a1b
问矩阵方程 AX B 的解是否为 X A1B ? 若可以，那么 A1 的含义是什么呢？
3
一、逆矩阵的概念
定义1 设 A 为 n 阶方阵，如有 n 阶方阵 B ，使 AB = BA = E .
则称 A 为可逆阵，B 为 A 的逆阵，记作B A1 .
17
2 1 1
例 2.18
设
A
2
6
4
,
AB
A B ,
求
A+B
.
2 1 3
解 由于 AB = A + B ，于是 ( A – E ) B = A ,
所以逆矩阵唯一.
➢单位矩阵的逆为其本身。
逆矩阵的求法及逆矩阵的应用
逆矩阵的求法及逆矩阵的应用1. 前言在矩阵运算中，逆矩阵是一个重要的概念。
一个矩阵的逆矩阵是指，如果一个矩阵A乘上它的逆矩阵A^-1等于单位矩阵I，那么A就有逆矩阵。
逆矩阵经常用于解线性方程组、计算行列式和计算矩阵的特征值等方面。
本文将介绍逆矩阵的求法和逆矩阵的应用。
2. 求逆矩阵的方法要求一个矩阵的逆矩阵，需要满足两个条件：该矩阵是方阵且它的行列式不等于零。
下面介绍两种求逆矩阵的方法。
2.1. 初等变换法采用初等变换法求逆矩阵，需要构造一个n阶矩阵[AB]，其中A 为待求矩阵，B为单位矩阵，即：[AB]=[A I_n]然后，对矩阵[AB]进行初等行变换，一直到[AB]变为[IBA']的形式，其中A'为A的逆矩阵。
由于[AB]=[A I_n]，所以[IBA']=[I_n A^-1]，即A的逆矩阵就构造出来了。
2.2. 公式法另一种求逆矩阵的方法是采用公式法。
设A为一个n阶矩阵，若它的行列式为D，那么它的伴随矩阵记为adj(A)，则逆矩阵为A^-1=(1/D)adj(A)。
其中，adj(A)表示矩阵A的伴随矩阵，它的第i行第j列元素A_ij的代数余子式与(-1)^(i+j)的乘积。
3. 逆矩阵的应用逆矩阵在数学中有多种应用，这里只介绍几个典型的应用。
3.1. 解线性方程组逆矩阵可以用于求解线性方程组，解法如下：假设有n个未知数，n个方程，可将方程组表示为AX=B的形式，其中X为未知数向量，B为常数向量，A为系数矩阵。
如果系数矩阵A有逆矩阵，那么可以将方程组A^-1AX=A^-1B简化为X=A^-1B，即可求得未知数向量X。
3.2. 计算行列式和矩阵的特征值逆矩阵还可以用于计算行列式和矩阵的特征值。
设A为n阶方阵，它的逆矩阵为A^-1，则有：det(A)=det(A^-1)^-1λ是A的特征值，那么A的逆矩阵的特征值就是λ^-1。
3.3. 计算数据的逆矩阵逆矩阵也可以用于计算数据的逆矩阵。
计算矩阵的乘法和逆矩阵
计算矩阵的乘法和逆矩阵矩阵是线性代数中重要的概念之一，在各个领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍矩阵的乘法和逆矩阵的计算方法，以及它们的性质和应用。
一、矩阵的乘法矩阵的乘法是指两个矩阵相乘得到一个新的矩阵的运算。
首先，我们需要明确矩阵的定义。
一个m行n列的矩阵A可以表示为A=（a_ij），其中i表示行标，j表示列标，a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
假设有两个矩阵A和B，A是m行n列的矩阵，B是n行p列的矩阵，它们的乘积C=A×B是一个m行p列的矩阵。
矩阵的乘法规则如下：设A=（a_ij）为m行n列的矩阵，B=（b_ij）为n行p列的矩阵，C=（c_ij）为m行p列的矩阵。
则C的元素c_ij可以表示为：c_ij=a_i1*b_1j + a_i2*b_2j + ... +a_in*b_nj其中，1<=i<=m，1<=j<=p。
矩阵乘法的注意事项：1. 两个矩阵相乘，前一个矩阵的列数必须等于后一个矩阵的行数，才能进行乘法运算；2. 矩阵乘法不满足交换律，即A×B不一定等于B×A；3. 矩阵乘法满足结合律，即(A×B)×C等于A×(B×C)。
二、逆矩阵对于一个方阵A，如果存在一个方阵B，使得A×B=B×A=I（I为单位矩阵），则称A是可逆的，B为A的逆矩阵，记为A^{-1}。
逆矩阵的计算可以通过伴随矩阵和行列式的关系来进行。
设A为一个n阶方阵，其行列式为|A|，若|A|≠0，则A可逆，其逆矩阵可以表示为A^{-1} = (1/|A|) adj(A)，其中adj(A)表示A的伴随矩阵，即将A的元素a_ij的代数余子式a_ij*乘以(-1)^(i+j)，再进行转置得到的矩阵。
逆矩阵的性质：1. 若A可逆，则A的逆矩阵唯一；2. 若A可逆，则|A|≠0，即A的行列式不为零；3. 若A,B均可逆，则AB也可逆，并且(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}；4. 若A可逆，则A^{-1}也可逆，且(A^{-1})^{-1} = A；5. 若A可逆，则A的转置矩阵A^T也可逆，并且(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T。
矩阵的运算与逆矩阵
矩阵的运算与逆矩阵矩阵是线性代数中重要的概念之一，广泛应用于各个领域，包括数学、物理、计算机科学和经济学等。
本文将介绍矩阵的运算以及逆矩阵的概念与计算方法。
一、矩阵的基本概念矩阵是一个按照矩形排列的数或者变量的集合。
矩阵的行数与列数分别称为其维数。
二、矩阵的运算2.1 矩阵的加法将两个矩阵的相应元素进行相加，得到的结果矩阵即为它们的和。
2.2 矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个矩阵的行与另一个矩阵的列进行对应元素相乘再相加的运算。
注意乘法只有当第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等时才能进行。
2.3 矩阵的转置将矩阵的行与列进行交换得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。
转置矩阵的行数与原矩阵的列数相等，列数与原矩阵的行数相等。
三、逆矩阵的定义与性质3.1 逆矩阵的定义对于一个n阶实矩阵A，如果存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。
3.2 逆矩阵的存在性一个n阶矩阵A存在逆矩阵的充要条件是A是一个可逆矩阵，即其行列式不为零。
当A存在逆矩阵时，逆矩阵是唯一的。
3.3 逆矩阵的性质逆矩阵的转置等于逆矩阵的逆矩阵，即(A^-1)^T = (A^T)^-1。
两个矩阵的乘积的逆矩阵等于逆矩阵的乘积，即(AB)^-1 = B^-1 *A^-1。
四、计算逆矩阵的方法4.1 初等行变换法通过初等行变换将矩阵A通过一系列矩阵的乘法变为单位矩阵I，同时对单位矩阵进行相同操作所得的矩阵即为矩阵A的逆矩阵。
4.2 行列式法对于一个n阶矩阵A，如果其行列式不为零，则通过求解伴随矩阵所得的矩阵即为A的逆矩阵。
4.3 元素法通过增广矩阵[A, E]（其中E为n阶单位矩阵）进行行变换将矩阵A变换为单位矩阵I，此时增广矩阵的右半部分即为A的逆矩阵。
五、矩阵与线性方程组利用矩阵与线性方程组的关系可以方便地求解线性方程组。
对于一个n个未知数和m个方程的线性方程组，可以将其写成矩阵形式AX=B，其中A为系数矩阵，X为未知数矩阵，B为常数矩阵。
矩阵的行列式与逆矩阵的求解
矩阵的行列式与逆矩阵的求解矩阵是线性代数中的重要概念，而行列式与逆矩阵是矩阵运算中的两个重要概念。
它们在求解线性方程组、计算特征值与特征向量等问题中起着关键的作用。
本文将详细介绍矩阵的行列式与逆矩阵的求解方法与应用。
一、行列式的定义与性质行列式是一个矩阵与其对应的标量之间的关系。
对于n阶方阵A=(aij)，其中i 与j分别表示矩阵的行与列，行列式的定义如下：|A| = Σ(± a1jM1j)，其中1 ≤ j ≤ n，±表示正负号，M1j表示元素aij的代数余子式。
行列式具有许多重要的性质，包括：1. 互换行列式的行列可以改变行列式的符号；2. 行列式中的某一行（列）的元素与其对应的代数余子式相乘再求和，等于该行列式的值；3. 行列式如果有两行（列）完全相同，那么该行列式为零；4. 如果行列式中有一行（列）的元素全为0，那么该行列式也为0；5. 行列式如果有两行（列）成比例，那么该行列式也为0。
二、行列式的求解方法根据行列式的定义与性质，可以采用以下方法来求解行列式：1. 余子式法：通过逐一计算每个元素的代数余子式，并根据符号相加求和，得到行列式的值。
这种方法适用于较小的行列式，但对于较大的行列式计算过程较为繁琐。
2. 公式法：通过行列式的定义，利用公式计算行列式的值。
例如，对于二阶行列式来说，行列式的值等于ad-bc，其中a、b、c、d分别表示矩阵中的四个元素。
对于高阶行列式，也可以通过类似的公式推导来计算。
三、逆矩阵的定义与性质逆矩阵是指矩阵A的逆矩阵B，满足以下条件：A *B = B * A = I，其中I为单位矩阵。
逆矩阵存在的前提是矩阵A为非奇异矩阵，即其行列式不等于零。
逆矩阵具有以下性质：1. 矩阵的逆若存在，必定是唯一的；2. 若A、B都是非奇异矩阵，那么AB也是非奇异矩阵，并且(AB)的逆等于B的逆与A的逆的乘积。
四、逆矩阵的求解方法逆矩阵的求解方法主要有以下两种：1. 初等变换法：通过对原矩阵进行初等变换，将其转化为单位矩阵，同时对单位矩阵也进行相同的初等变换，最终得到的结果即为原矩阵的逆矩阵。
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矩阵的可逆性与逆矩阵的求法目录摘要 (1)第1章．矩阵 (2)1.1矩阵的定义 (2)1.2矩阵的运算 (2)第2章．矩阵的可逆性及逆矩阵 (5)2.1矩阵的基本概念 (5)2.2矩阵可逆的判断方法 (6)2.3矩阵可逆性的求法 (10)第3章．逆矩阵的拓展 (17)3.1广义逆矩阵的引入 (17)3.2广义逆矩阵的定义及存在 (17)第4章．总结 (21)参考文献 (22)致谢 (23)附件：论文英文简介矩阵的可逆性与逆矩阵的求法[摘要]：矩阵理论是现代代数学的重要分支理论之一，它也为现代科技及现代经济理论研究提供不可或缺的数学支持。
在线性代数研究中引入矩阵的目的之一就是为了研究线性方程组BAX 求解及更一般的矩阵方程求解提供数学工具，其中矩阵的可逆性及逆矩阵的求法是最主要的内容。
本文从矩阵的基本概念及运算入手，主要探讨和归纳矩阵可逆性的四种判定方法和求逆矩阵的五种方法，并引进Matlab这一数学软件求逆矩阵的程序，同时关注广义逆矩阵意义及求法。
[关键词]：矩阵可逆性逆矩阵广义逆求法矩阵可逆性的判断和可逆矩阵的求法是矩阵理论学习的重点与难点，也是研究矩阵性质及运算中必不可少的一部分。
本文在分析和归纳判断矩阵的可逆性和逆矩阵的求法，给出了四种判断矩阵可逆的方法，其中有初等矩阵的应用，有行列式的应用，还有向量的线性无关和线性方程组的应用。
逆矩阵的求法给出了五种方法：分别是行变换、列变换、伴随矩阵、分块矩阵法以及Matlab 软件的解法，同时也讨论了广义逆矩阵的求法。
对矩阵可逆性的判断与逆矩阵的求法将会给矩阵的学习带来很大的帮助。
第1章 矩 阵1.1矩阵的定义定义1由st 个数ij c 排成一个s 行t 列的表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛st s s t t c c c c c c c c c212222111211 叫作一个s 行t 列（或t s ⨯）矩阵，ij c 叫作这个矩阵的元素。
定义2矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换：)(i 交换矩阵的两行（列）；)(ii 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的元素；)(iii 用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一元素后加到另一行（列）的对应元素上。
矩阵的初等变换在线性方程组求解，求矩阵的秩及求矩阵的逆矩阵方面都有重要的作用。
1.2矩阵运算定义1数域F 的数a 与F 上一个n m ⨯矩阵)(ij a A =的乘积aA 指的是n m ⨯矩阵)(ij aa ，求数与矩阵的乘积的运算叫作数与矩阵的乘法。
定义2两个n m ⨯矩阵)(),(ij ij b B a A ==的和B A +指的是n m ⨯矩阵)(ij ij b a +，求两个矩阵的和的运算叫作矩阵的加法。
要注意，我们只能把行数与列数都对应相同的两个矩阵相加。
由定义1和2，容易推出以下规律：AB B A +=+)()(C B A C B A ++=++ AO B O +=+aB aA B A a +=+)( aB aA A b a +=+)(A ab bA a )()(=这里C B A ,,表示任意n m ⨯矩阵，而a 和b 表示F 中的任意数。
定义3数域F 上n m ⨯矩阵)(ij a A =与p n ⨯矩阵)(ij b B =的乘积AB 指的是一个pm ⨯矩阵，这个矩阵的第i 行第j 列的元素ij c 等于A 的第i 行的元素与B 的第j 列的对应元素的乘积的和：njin j i j i ij b a b a b a c +++= 2211 m i ，，，21=，p j ,,2,1 = 矩阵的乘法的结合律：)()(BC A C AB =矩阵的乘法和加法满足分配律：AC AB C B A +=+)(CABA A C B +=+)(矩阵的乘法和数域矩阵的乘法：)()()(aB A B aA AB a == 特别注意：矩阵的乘法不满足交换律。
一个n 阶方阵A 的r 次方有意义：个r rA AA A =我们再约定I A =0定义4 设n m ⨯矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A212222111211把A 的行变为列所得到的m n ⨯阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn nnm m a a a a a a a a a A212221212111叫作矩阵A 的转置。
矩阵的转置满足以下规律：A A TT=)(TTTBAB A +=+)(TTTA B AB =)(TTaAaA =)(第2章 矩阵的可逆性及逆矩阵2.1矩阵的基本概念定义令A 是数域F 上一个n 阶矩阵。
若是存在F 上n 阶矩阵B ，使得IBA AB ==那么A 叫作一个可逆矩阵（或非奇异矩阵），而B 叫作A 的逆矩阵。
下面的几个概念有助于对矩阵可逆性及逆矩阵求法理解：（1）设)1(>n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A212222111211以下等式成立：⎩⎨⎧≠==+++;,,,det 2211j i o j i A A a A a A a jn in j i j i 若若⎩⎨⎧≠==+++;,,,det 2211j i o j i A A a A a A a nj ni j i j i 若若这里st A 是行列式A det 中元素st a 的代数余子式。
由此 若是设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn nnn n A A A A A A A A A A212222111211*那么I A A A AA A AA )(det det 000det 000det **=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==我们把矩阵*A 叫作矩阵A 的伴随矩阵。
（2）初等矩阵：对n 阶单位矩阵I 做一次初等变换所得到的矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11111111ij P ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111)(kk D i⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111)(k k T ij 将这三种方阵叫作初等矩阵。
通过验算容易看出初等矩阵都是可逆的，并且它们的逆矩阵仍是初等矩阵。
2.2矩阵可逆性的判断方法依照不同的方式和性质，可以从下列几方面来判断矩阵的可逆性：（1）n 阶矩阵A 可逆当且仅当它可以写成初等矩阵的乘积。
证明：A 可以通过初等变换化为单位矩阵I ，就是说，I 可以通过初等变换化为A ，也就是说，存在初等矩阵t s s E E E E ,,,,,11 +，使ts s t s s E E E E E IE E E A 1111++==这是由初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵的性质推出的。
例1．用初等矩阵表示下面的方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=400222654A 解：根据左行右列的规律：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10001065410010001100010654⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10022265410001065410010012121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛400222654100222654400010001 故矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100100011000106541010014000100012121A （2）若矩阵行列式A det 不为零，则其矩阵A 可逆。
证明：将矩阵A 分解为ts s E E A E E A 101+=其中t s s E E E E ,,,,,11 +是初等矩阵，由初等矩阵的性质可以知道，0det ≠i E 及矩阵乘积的行列式等于其各自行列式的乘积 及得0)det()det()det()det()det()det(101≠=+t s s E E A E E A ，所以矩阵行列式A det 不为零时，其矩阵A 可逆。
综上所述：行列式A det 不为零，则其矩阵A 可逆。
例2．判断下列矩阵是否可逆。
（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5131A（2） ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000320321B 解：（1） 02355131det ≠=-==A ，所以A 可逆。
（2） 00000000320321det =---++==B ，所以B 不可逆。
（3）含有n 个坐标的n 个向量组成的方阵A ，若这n 个向量线性无关，则这个方阵A 是可逆。
证明：设n 个向量分别是1α，2α，…，n α 且 ()()nnn n n n a a a a a a21112111,,==αα，则 这n 个向量构成了一个n 阶方阵，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A212222111211将矩阵A 化为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100000000100001若其中有一个或者一个以上的0，则向量n ααα,,,21 ，可以化为 ++=2211αααk k kn n a k +即n ααα,,,21 向量是线性相关的一个矩阵。
与条件相矛盾。
即矩阵A 可以化为单位矩阵，所以方阵可逆。
例3． 令F 是任意的一个数域。
3F 中判断向量()()()8,0,0,0,4,0,3,2,1321===ααα的相关性，由此判断其构成的矩阵A 的可逆性。
解：设存在F c b a ∈,,，使得()0,0,0321=++αααc b a即 ()()()()0,0,08,0,00,4,03,2,1=++c b a因而有0,0,0===c b a ，则321,,ααα线性无关。
则表明321,,ααα中得任意一个都不能被另外两个表示。
则其构成的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100000000100001通过化简后每一行或列都含有一个数，及其行列式不为零。
（4）设一个齐次线性方程组的系数矩阵A 是一个方阵，若此齐次线性方程组仅有零解，则我们可以判定这个方阵A 可逆。
证明：矩阵来表示n 个n 元齐次方程组： 0=AX因为齐次线性方程组的变换中只有行变换，故不改变系数矩阵的可逆性。
而只有零解使其行列式的秩等于其行数和列数。
一个方阵构成的线性方程组若只有零解，则这个矩阵A 可逆；若其有非零解，则矩阵A 不可逆。
例4． 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=900840632A 是一个齐次线性方程组系数矩阵，证明矩阵A 可逆。
证明：构造齐次线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧==+=++090840632332321x x x x x x 化简后得，⎪⎩⎪⎨⎧===000321x x x 即此齐次方程组只有零解，故矩阵A 可逆。
我们常常用方阵来解线性方程组，这种转换的方式可以使我们更好的理解矩阵的实质。
（5）设A 与B 都是n 阶矩阵，证明：若AB 可逆，则A 和B 都可逆；反之也对。