七年级数学竞赛讲座：第五讲 方程组的解法
二元一次方程组的解法-代入消元法(课件)七年级数学下册(人教版)
把y=20代入③，得 x=28
所以这个方程组的解是
x 28
y 20
答：篮球队有28支、排球队有20支参赛.
=1−
1.用代入法解方程组
时，代入正确的是(
)
− 2 = 4
C
A.x-2-x=4
B.x-2-2x=4
2.用代入法解方程组
2
A.3x=2×
3
所以原方程组的解是
y 105
转化
x+(x+10)=200
x=95
y=105
求方程组解的过程叫做解方程组.
将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想方法，叫做消元思想.
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一未知数的式子表示出
来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.
这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：
第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未
知数用含有另一个未知数的式子表示出来；
第二步：把此式子代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程；
第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值；
第四步：回代求出另一个未知数的值；
y 3x 1 0
解：由② ，得 y=3x+1
①
②
③
把③代入①，得 2x+3x+1=0
解这个方程，得 x=1
把x=1代入③，得 y=4
x 1
所以这个方程组的解是
y 4
本题还有其它
做法吗？
例2.用代入法解方程组
[精华]1.未知数比方程个数多的方程组解法
![[精华]1.未知数比方程个数多的方程组解法](https://img.taocdn.com/s3/m/7f841e5dc950ad02de80d4d8d15abe23482f036d.png)
初中数学竞赛专题选讲(1)未知数比方程个数多的方程组解法一、内容提要在一般情况下，解方程或方程组，未知数的个数总是与方程的个数相同的，但也有一些方程或方程组，所含的未知数的个数多于方程的个数，包括在列方程解应用题时，引入的辅助未知数.解这类方程或方程组，一般有两种情况：一是依题意只求其特殊解，如整数解，或几个未知数的和(积)等，无需求出所有的解；二是在实数范围内，可运用其性质，增加方程或不等式的个数. 例如，利用取值范围，非负数的性质等.二、例题例1. 在实数范围内，解下列方程或方程组：①0211122=++--+-y x x x ； ②x 2+xy+y 2－3x －3y+3=0；③⎩⎨⎧=-=++4222z xy z y x解：① 根据在实数范围内，二次根式被开方数是非负数，分母不等于零.得不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧≠-≥-≥-01010122x x x解得x 2=1而x ≠1, ∴⎩⎨⎧-=-=21y x② 整理为关于x 的二次方程，利用方程有实数根，则判别式 △≥0.x 2+(y －3)x+(y 2－3y+3)=0.∵x 是实数， ∴△≥0.即( y －3)2－4(y 2－3y+3)≥0 .解得 (y －1)2≤0 .而(y －1)2≥0. ∴y=1.∴⎩⎨⎧==11y x 是原方程的解.③消去一元后，利用实数平方是非负数性质.由①得z=2－x －y .代入②得2xy －(2－x －y)2－4=0.整理配方，得(x －2)2+(y －2)2=0.∵相加得0的两个数，只有是互为相反数.而 x, y 是实数，∴(x －2)2≥0，(y －2)2≥0.∴满足等式的条件只能是：⎩⎨⎧=-=-0202y x .∴方程组的解是 ⎪⎩⎪⎨⎧-===222z y x本题在消去z 后，也可以仿②，写成关于 x 的二次方程，用判别式求解.例2. 一个自然数除以4余1，除以5余2，除以11余4，求适合条件的最小自然数.分析：本题有多种解法：①交集法， ②设三元，消去一元，用二元一次方程求整数解，③设二元，求二元一次方程的整数解.解法一：除以4余1的自然数集合：{1，5，9，13，17，21，…37…}；除以5余2的自然数集合：{2，7，12，17，…37…}；除以11余4的自然数集合：{4，15，26，37，…}.三个集合的公共元素中最小的自然数是37.解法二：设所求的自然数 为4a+1或5b+2 或11c+4 (a,b,c 都是自然数).得方程组 ⎩⎨⎧+=++=+)2(41114)1(2514c a b a由(1)得 a=41415++=+b b b .设k b =+41(k 为正整数)， 那么 b=4k －1， a=5k －1. 由(2)得 c=117911720113)15(41134-+=-=--=-k k k k a .要使1179-k 为整数，k 取最小正整数2.这时c=3 (也可求得b=7, a=9), 所求自然数 是37.解法三：设所求的自然数为x, 则41-x ，52-x ， 114-x 都是自然数.∵41-x >52-x >114-x .∴41-x +114-x －52-x 也是自然数.设y=41-x +114-x －52-x .去分母，得 200y=31x －47.x=31163173147200+++=+y y y .y 取最小正整数5，能使31163+y 为整数.∴x=37, 即最小的自然数是37.例3. 有甲，乙，丙三种货物.若购买甲3件，乙7件，丙1件共需3.15元；若购买甲4件，乙10件，丙1件共需4.20元.问购买甲、乙、 丙各1件共需几元？(1985年全国初中数学联赛题)解：设甲，乙，丙每件分别为x, y, z 元.根据题意，得⎩⎨⎧=++=++)2(20.4104)1(15.373z y x z y x ( 依题意只要求出x+y+z 的值)(1)×3－(2)×2：x+y+z=1.05（元）.答：买甲、乙、 丙各1件共需1.05元.例4. 甲、乙两车分别从A 、B 两站同时出发，相向而行，当甲车走完全程的一半时，乙车距A 站24公里；当乙车走完全程的一半时，甲车距B 站15公里.求A 、B 两站的距离.解：设A 、B 两站的距离为x 公里，并引入辅助未知数V 甲，V 乙分别表示甲、乙两车的速度. 根据题意，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=)2(215)1(242乙甲乙甲V x V x V x V x( 这方程组可同时消去两个辅助未知数.)∵ 方程(2)左、右不等于零 ∴(1)÷(2)得224152x x x x-=-.解得， x=40；或 x=12 (不合题意 舍去).答：A 、B 两站的距离为40公里.三、练习1. 甲，乙，丙，丁，戊做一件工程，甲，乙，丙合作需7.5小时，甲，丙戊合作需5小时，甲，丙，丁合作需6小时，乙，丁，戊合作需4小时.问五人合作需几小时？2. 服装厂向百货商店购买甲、乙两种布，共付42.9元，售货员收款时发现甲、乙两种布单价对调了，退给厂方1.6元，厂方把这1.6元又买 了甲、乙两种布各1尺.问服装厂共买布几尺？3. 两只船分别从河的两岸同时对开，速度保持不变，第一次相遇时，距河的一岸700米，继续前进到达对岸后立即返回，第二次相遇时，距河的另一岸400米，求河的宽.4. 游泳运动员自闽江逆流而上，在解放大桥把水壶丢失，继续前游20分钟才发现，于是返回追寻，在闽江大桥处追到，已知两桥相距1000米，求水流的速度.5. 已知长方形的长和宽均为整数，且周长的数值与面积的数值相等.问这长方形的长和宽各是多少？6. 有一队士兵，若排成3列纵队，则最后一行只有1人；若排成5列纵队，则最后一行只有7. 人；排成7列纵队，则最后一行只有6人.问这队士兵最少是几人？7. 求下列方程的实数解：①311221=++-+-y x x② 5x 2+6xy+2y 2－14x －8y+10=0③ (x 2+1)(y 2+4)=8xy④ 052312=+-+-+y x y x8. 一件工程，如果甲单独完成所需的时间是乙，丙合做，完成这件工程所需时间的a 倍；如果乙单独完成所需的时间是甲，丙合做，完成这件工程所需时间的b 倍.(其中b>a>1),那么丙单独完成所需的时间是甲，乙合做，完成这件工程所需时间的多少倍？(1990年泉州市初二数学双基赛题 )9. 甲，乙两车从东站，丙，丁两车从西站，同时相向而行.甲车行120公里遇丙车，再行20公里遇丁车；乙车在离西站126公里处遇丙车，在中途遇丁车.求东西两站的距离.10. 三辆车A ，B ，C 从甲到乙.B 比C 迟开5分钟，出发后20分钟追上C ；A 比B 迟开10分钟，出发后50分钟追上C.求A 出发后追上B 的时间.11. 学生若干人住宿，如果每间4人，有20人没房住；如果每间8人，则有一间不满也不空.求学生人数.12.一只船从甲码头顺水航行到乙码头用5小时，由乙码头逆水航行到甲码头需7小时。
人教版七年级数学下册《三元一次方程组的解法》PPT (2)
题型 1 消元法在解三元一次方程组中的应用
1．解下列方程组：
x－2y＋z=0 ①
(1)
3x＋y－2z=0 ② 7x＋6y＋7z=100 ③
x＋z－3=0 ① (2) 2x－y＋2z=2 ②
x－y－z=－3 ③
解：(1)①＋②×2，得7x－3z＝0.④
①×3＋③，得10x＋10z＝100，
即x＋z＝10.⑤
2．在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－2时，y＝－1；当 x＝0时，y＝2；当x＝2时，y＝0.求a，b，c的值.
解：把x＝－2，y＝－1；x＝0，y＝2；
x＝2，y＝0分别代入等式y＝ax2＋bx＋c，
得
4a－2b＋c＝－1
c＝2
解得
4a＋2b＋c＝0
a＝－5
b＝
1 4
8
c＝2
即a，b，c的值分别为－5 ，1，2.
84
题型 3 构建三元一次方程组模型在非负数中的应用
3．已知|x－8y|＋2(4y－1)2＋3|8z－3x|＝0，求x＋y＋z的 值.
x－8y=0
解： 由题意得 4y－1=0 x=2 8z－3x=0
解得
1
y= 4
z= 3 故x＋y＋z4＝2＋ 1＋ 3＝3.
44
题型 4 三元一次方程组的解在求字母值中的应用
知识点 2 三元一次方程组的解法
4．解三元一次方程组的基本思路是：通过“__代__入____” 或“__加__减__”进行消元，把“三元”转化为“__二__元___”， 使解三元一次方程组转化为解__二__元__一__次__方__程__组__， 进而再转化为解___一__元__一__次__方__程___.
请同学们以《我……》为题目写下你的想法。
初一数学方程与不等式解法总结解决方程的技巧分享
初一数学方程与不等式解法总结解决方程的技巧分享数学中的方程与不等式是我们初中数学学习中的重要内容，通过解方程与不等式可以帮助我们解决各种实际问题。
然而，对于初一学生而言，方程与不等式的解题可能会比较困难。
因此，本文将总结初一数学中解决方程与不等式的技巧，以帮助同学们更好地理解与掌握这一知识点。
一、方程解法总结1. 一元一次方程的解法一元一次方程是最简单的方程类型，形如ax + b = 0。
解一元一次方程的基本步骤如下：- 将方程变形为ax = -b的形式；- 通过移项将x的系数化为1；- 利用等式两边相等的性质，解得x = -b/a的结果，即为方程的解。
2. 一元一次方程的应用一元一次方程在日常生活中有很多应用，如解决购物价格折扣、人物行走速度等问题。
在应用题中，我们需要：- 定义未知数及其含义；- 根据题目中给出的信息列出方程；- 解方程求得未知数的值；- 根据问题进行解释与回答。
3. 一元二次方程的解法一元二次方程形如ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
解一元二次方程的步骤如下：- 利用配方法，将方程变形为(a·x + b/2a)^2 = (b^2 - 4ac)/4a^2的形式；- 开方并使用平方根的正负解得两个方程；- 通过解两个方程，得出方程的两个根。
4. 一元二次方程的判别式与解的情况一元二次方程的判别式D = b^2 - 4ac可以用来判断方程根的性质：- 若D > 0，方程有两个不相等的实数根；- 若D = 0，方程有两个相等的实数根；- 若D < 0，方程无实数根。
二、不等式解法总结1. 一元一次不等式的解法一元一次不等式是最简单的不等式类型，形如ax + b > c或ax + b < c。
解一元一次不等式的基本步骤如下：- 将不等式变形为ax > c - b或ax < c - b的形式；- 通过移项将x的系数化为1；- 根据不等式的方向确定解的范围。
8.4 三元一次方程组的解法(课件)七年级数学下册(人教版)
所以x=9，y=12，z=15.
=2
因此，这个方程组的解为 = 4
= 10
=9
因此，这个方程组的解为 = 12
= 15
考点解析
重点
例5.在等式y=ax2+bx+c中，当x=-1时，y=1；当x=2时，y=22；当x=3和x=5时，
y的值相等.求a，b，c的值.
(2)在(1)的情况下，运费最少是_____元.
解：(1)设甲型车有x辆，乙型车有y辆，
丙型车有z辆.
+ + = 16
根据题意，得
5 + 8 + 10 = 120
5
消去z，得5x+2y=40.所以x=8- y.
2
考点解析
重点
(1)为了节约运费，可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，每辆车均满载，
8 + = 0
③与④组成方程组
+ =7
= −1
解这个方程组，得
=8
把a=-1，b=8代入①，得-1-8+c=1，解得c=10.
所以a，b，c的值分别为-1，8，10.
迁移应用
1.已知 − +
1
2
− +(x+2)2=20，则x+y+z=_____.
-5
2.已知单项式-8a3x+y+zb12cx+y+z与-2a42b2x-yc4x是同类项，求x，y，z的值.
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小明手头有12张面额分别为10元、20元、50元的纸币，共计220元，其中10
元纸币的数量是20元纸币数量的4倍.求10元、20元、50元纸币各多少张.
七年级数学—二元一次方程组的解法
根据市场调查，某种消毒液的大瓶装 （500g）和小瓶装（250g），两种产品的销 2:5 售数量（按瓶计算）的比为 某厂每天 生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分 装大、小瓶两种产品各多少瓶？
解：设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶。 ① 5 x 2 y 根据题意可 ② 列方程组： 500 x 250 y 22500000 5 由 ① 得： y x ③ 2 5 500 x 250 x 22500000 把 ③ 代入 ② 得： 2 x 20000 解得：x=20000
x+4y=13 x=13 - 4y
② ③
把y=2代入① 或②可以吗？
把③代入① ，得 2（13 - 4y）+3y=16 26 –8y +3y =16 -5y= -10 y=2 把y=2代入③ ，得 x=5 ∴原方程组的解是 x=5 y=2
把求出的解 代入原方程 组，可以知 道你解得对 不对。
例2 学以致用
七年级数学下册（人教版）
8.2消元—二元一次方程组的解法
（第1课时）
不如好之者，
好之者不如乐之者。
本节学习目标 ：
1、会用代入法解二元一次方程组。 2、初步体会解二元一次方程组的基本思 想——“消元”。 3、通过对方程中未知数特点的观察和分析， 明确解二元一次方程组的主要思路是 “消元”，从而促成未知向已知的转化， 培养观察能力和体会化归的思想。
y 22 x 由①我们可以得到：
再将②中的y换为 22 x 就得到了③ ③是一元一次方程，相信大家都会解。那么 根据上面的提示，你会解这个方程组吗？
比较一下上面的 方程组与方程有 什么关系？
二元一次方程组中有两个未知数， 如果消去其中一个未知数，将二元一 次方程组转化为我们熟悉的一元一次 方程，我们就可以先解出一个未知数， 然后再设法求另一未知数.这种将未知 数的个数由多化少、逐一解决的思想， 叫做消元思想.
七年级数学二元一次方程组解法
（2）若要使车间每天所获利润不低于24000元，你认
为至少要派多少名工人去制造乙种零件才合适？
课本P34 习题11.8 1，2
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是好奇这是什么地方，心想会不会是还在做梦，于是捏了自己一把，发现是有痛觉的，但我又担心自己像盗梦空间那样，做梦 做得有真实的感受，于是开始抱着头摇来摇去的。小男孩见我不太正常，于是大喊着“玉儿姐姐”什么的。刚过没多久，门外 又进来一个人，是个女子，但在我眼中看来，年纪撑死就是个高中生。那女生穿着确实简朴，或者我从这木屋就该猜到，他们 并不是有钱人。我稍微从不可思议的穿越中（尽管我不确定是不是穿越）缓过一些神来，才开始有心思打量了一下这一男一女。 这小正太确实长得好可爱，又不缺乏秀气，长大之后肯定是高富帅；这女生长相略显平凡，但是也透漏出一种秀气，我想，大 概是她现在是素颜，没有任何打扮的模样吧。小男孩的衣服稍微比较鲜艳一点，也显得他比较活泼。他见他的姐姐来了，就跑 过去冲着她的耳朵说了些什么。这女生听后，把目光转向我，开口说道：“公子，身体可好了？”我这么一听，倒是听到了一 口流利的普通话，这让我有点小吃惊。这是，我略显慌张，抚了抚自己的喉咙，张口说道：“应该七七八八了吧？”“应该七 七八八？那是何解？”女子一脸疑惑的看着我。我又吃了一小惊，忙改口道：“就是说，我的身体好很多了。”“是这样啊。” 女子像完成了什么事情一样，说完舒了一口气。我一边纳闷这突如其来的改变，一边组织好想问的问题去问这女生。由于知道 我们语言并没什么阻碍，能正常交流，再加上我知道我的谈吐应该更文绉绉一点才会让她听懂，于是我便问道：“姑娘，能问 你几个问题吗？”“嗯。”我索性翻下床来，站到她身旁问起来，“你知道这是哪吗？这是什么年代？这是由皇帝来统治的 吗？”蓦地，又觉得自己问出一连串好夸张的问题，于是又感觉自己有点小失礼了。这时，这女生脸显现一片通红，我这才有 意识到，我刚才问问题的时候靠得她太近了。那也不能怪我，向来问别人问题，就应该靠近点好让对方挺清楚不是吗？“这是 南国，年代是吕王八年。”女子羞涩地回答道。我见状，先有礼貌的向这女生道个歉，说道：“姑娘，刚才失礼了，我只是还 没习惯说话却不靠近别人说啊。”话一讲完，又发现自己说了一些莫名其妙的话，这使我觉得，用这种方式谈吐，真突出一个 烦字啊。女子蓦地转过脸去，脸部抽搐了几下，想必是在偷笑吧。那也难怪，这样的言行是挺让这时代的人感到奇怪搞笑的 第001章 天不收地不留“我的妻，你在哪里？“恍惚间，一个磁性的男声不断在耳畔重复着如此
七年级数学二元一次方程组解法教案优秀7篇
七年级数学二元一次方程组解法教案优秀7篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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如何有效解决初中数学中的方程组问题
如何有效解决初中数学中的方程组问题方程组问题是初中数学学习中较为重要的一个内容，对于学生来说，掌握解决方程组问题的方法，不仅能够提高解决数学问题的能力，还能够培养逻辑思维能力和数学建模能力。
本文将介绍如何有效解决初中数学中的方程组问题，帮助学生更好地掌握和运用解决方程组的方法。
一、化简方程组在解决方程组问题时，首先需要将方程组进行化简，即通过代数运算将方程组中的变量进行消去或整理，简化方程组的形式。
化简方程组可以减少计算量，使问题更加清晰明了。
例如，假设我们有一个方程组：2x + 3y = 54x - y = 7我们可以通过倍加、倍减等代数运算来实现方程组的化简。
将第二个方程的系数倍加到第一个方程上，得到：2x + 3y = 58x + 2y = 12经过化简后，原本的方程组被简化成了一个新的方程组，通过这个新的方程组，我们可以更方便地求解方程组的解。
二、代入法求解代入法是常用的解决方程组问题的方法之一。
它的基本思想是将一个方程的解代入另一个方程中，从而得到一个只含有一个未知数的方程，进而求解出这个未知数的值，最后再代入到另一个方程中求得另一个未知数的值。
例如，对于方程组：2x + 3y = 54x - y = 7我们可以先从第二个方程中解出y的值，然后将其代入第一个方程中，得到新的方程：2x + 3(4x - 7) = 5通过代入法，我们得到了只含有一个未知数的新方程。
通过求解这个新方程，可以得到x的值，再代入到原方程组中求得y的值。
三、消元法求解消元法是解决方程组问题的另一种常用方法。
它的基本思想是通过加减等代数运算，将方程组中某些方程中的某个未知数的系数相消，从而得到一个新的方程组，新的方程组中只包含减少了一个未知数的方程。
重复这个过程，逐步消去所有的未知数，最后得到一个只含有一个未知数的方程，从而求得这个未知数的值。
例如，对于方程组：2x + 3y = 5我们可以通过消元法，将第一个方程的2倍加到第二个方程上，得到：2x + 3y = 58x + 2y = 12然后，将第二个方程的4倍减去第一个方程，得到：2x + 3y = 5-2y = 2通过消元法，我们得到了只含有一个未知数的新方程。
七年级数学专题讲解(方程组的解的情况)
金迈思暖冬公益课程
知识解读
一、二元一次方程组的解的三种情况：
1、有唯一解 2、有无数解 3、无解
金迈思暖冬公益课程
知识解读
1、有唯一解
1、53xx
2 6
y y
12 27
① ②
解： ①×3+②，得：
9x+6y+5x-6y=-36-27
14x=-63 x=-4.5
把x=-4.5代入①，得： y=0.75
所以，x的系数关系为5：a=1:2，常数项的关系为7：c=1:2 解得：a=10 c=14 把a=10 c=14代入a2-4ac中，得： a2-4ac=102-4x10x14
=-460
答：a2-4ac的值是-460
能力巩固
金迈思暖冬公益课程
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商水金迈思教育.七年级数学
“暖冬计划”公益课程
金迈思暖冬公益课程
第三周五天课程规划
周一、二元一次方程组的解的三种情况 周二、解二元一次方程组的小技巧 周三、含参问题――同解问题 周四、含参问题――错解问题 周五、含参问题――整数解问题
金迈思暖冬公益课程
二元一次方程组的解的三种情况
学习目标
1、掌握二元一次方程组的解的三种情况 2、运用二元一次方程组的解的特征解题
14x-10y=12 ③
金迈思暖冬公益课程
小技巧 x的两个系数的比值与 y的两个系数的比值相 同，但常数项比值不 同。无解组解的情况。
（1）
（2）
（3）
此方程组有无数解
此方程组无解
此方程组有唯一解
解： 由原方程知：
解：由原方程知：
解：由原方程知：
两个方程x、y的系数及常数项之间 两个方程x、y的系数之间成相同 两个方程x、y的系数不成相
初中七年级数学 一元一次方程组的解法
如何高效、快速地掌握解一元一次方程的方法方法/步骤1.打开干净的草稿纸，和小编老师一起来看看常见几种类型的一元一次方程：题型一：无括号、无分母类型题型二：有括号类型题型三：有分母类型1——(分母为整数)类型题型四：有分母类型2——(分母为小数)类型2.题型一：最简单方程——无括号、无分母类型这一类题目类似小学基础题，是最基本也是最简单的题型。
解题步骤：1.移项(未知数移到等号的左边,数字移到等号的右边,移项之前先变符号)2.合并同类项(俗称"找朋友")3.化未知数系数为1（注意两边同时乘除同一个数以及符号是否需要变化）请仔细看图片中的例题，错解和正解的比较！错解原因：移项：把一项从等式的一边移动到另一边的过程叫做移项移项之前要先变符号，错解中没有变符号所以错了。
3.题型二：有括号类型解题步骤：1.去括号2.移项3.合并同类项4.化未知数系数为1请看图片中的例题，错解和正解的比较！错解原因：去括号最容易犯得两类错误：1、括号前面有倍数的，忘记利用乘法分配律把括号外倍数和括号里面的每一项相乘2、括号前面是负号的，括号里面每一项要改变符号4.题型三：有分母类型1——(分母为整数)类型解题步骤：1.去分母2.去括号3.移项4.合并同类项5.化未知数系数为1请看图片中的例题，错解和正解的比较！错解原因：去分母的核心在于利用“等式基本性质2”：等式两边同时乘以或除以一个不为零的数或式子，等式仍然成立。
本题错解中，在找到分母的最小公倍数后，没有把两边同时乘以6，故犯错了。
5.题型四：有分母类型2——(分母为小数)类型解题步骤：1.化小数分母为整数分母2.去分母3.去括号4.移项5.合并同类项6.化未知数系数为1请看图片中的例题，错解和正解的比较！错解原因：1、化分母小数为整数的核心思想是利用“通分”：分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数，分数的值不变！错解中把“通分”概念与“约分概念”搞混淆了！一、目标与要求1.通过处理实际问题，让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步;2.初步学会如何寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念;3.培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力。
初一代数方程的解法
初一代数方程的解法代数方程是数学中常见的问题。
初一阶段，我们主要学习一元一次方程的解法。
在解决这类问题时，我们可以采用以下几种方法。
方法一：逐次代入法逐次代入法是最常用的解一元一次方程的方法之一。
它适用于形如ax + b = c 的方程。
首先，我们假设一个解x0。
将它代入原方程，计算出左边和右边的值，若相等则x0为方程的解；若不等，则我们就要调整x0以使等式成立。
通过逐次调整x0，最终可以找到方程的解。
举例来说，我们要解方程3x + 5 = 17。
首先，假设x0 = 3。
将x0代入方程中得到3 * 3 + 5 = 14，与右边的17不相等。
接下来，我们需要调整x0。
通过观察我们可以发现，当x等于4时，方程成立：3 * 4 + 5 = 17。
因此，方程3x + 5 = 17的解为x = 4。
方法二：等式移项法等式移项法适用于方程两侧具有相同项的情况，形如ax + b = cx + d 的方程。
我们可以通过等式两侧的加减法来移项，将未知数的项聚集在一起，从而计算出方程的解。
例如，我们要解方程2x + 3 = 3x - 1。
首先，将3移项到方程右侧，得到2x - 3x = -1 - 3。
化简后得到-x = -4，进一步化简可得x = 4。
所以方程2x + 3 = 3x - 1的解为x = 4。
方法三：加、减法消元法加、减法消元法适用于方程两侧有相同未知数但系数不相同的情况，形如ax + b = cx + d 的方程。
我们可以通过加减法，使得方程两侧的未知数项相互抵消，从而得到方程的解。
举例来说，我们要解方程3x + 2 = 2x + 7。
首先，我们将2x从方程右侧移至左侧，得到3x - 2x = 7 - 2。
化简后得到x = 5。
所以方程3x + 2 = 2x + 7的解为x = 5。
方法四：列式计算法列式计算法适用于复杂的多步方程。
我们需要将每一步的计算过程列式出来，逐渐化简方程，从而得到解。
举例来说，我们要解方程2(x + 5) - 3x = 10。
七年级数学线性方程的解法与应用理论讲解与实际问题
七年级数学线性方程的解法与应用理论讲解与实际问题数学是一门重要且广泛应用于日常生活和各行各业的学科。
线性方程作为数学中最基础的概念之一，其解法与应用理论对于学生的数学学习与实际问题的解决具有重要意义。
本文将对七年级数学中线性方程的解法与应用理论进行讲解，并探讨其在实际问题中的应用。
一、线性方程的概念和解法线性方程是含有未知数的一次方程，可以表示为ax + b = 0，其中a 和b为已知常数，x为未知数。
解线性方程即求出未知数x的值，使得等式成立。
解线性方程有多种方法，以下介绍常用的代入法和消元法。
1. 代入法代入法是一种简便的解线性方程方法。
首先将方程中的一个未知数表达式用另一个未知数表示，然后代入到另一个方程中，从而得到一个只含有一个未知数的方程。
再通过解这个新方程求得未知数的值，最后代入到另一个方程中求解得到另一个未知数的值。
例如，考虑以下线性方程组：2x + 3y = 5 (1)4x - y = 7 (2)首先，我们可以从方程(1)中解出x的表达式：2x = 5 - 3y。
将其代入方程(2)中，得到4(5 - 3y) - y = 7。
化简后得到：-11y = -13。
解出y 的值为y = 13/11。
将y的值代入方程(1)求解x的值，得到x = (5 - 3 * 13/11)/2。
化简后得到x = -4/11。
因此，该线性方程组的解为x = -4/11，y = 13/11。
2. 消元法消元法是另一种常用的解线性方程方法。
该方法要求通过适当的加减运算，将一个线性方程组中的某些未知数相消，从而得到一个只含有一个未知数的新方程。
通过解这个新方程得到一个未知数的值，再代入到其他方程中求解其他未知数的值。
例如，考虑以下线性方程组：2x + 3y = 5 (1)4x - y = 7 (2)我们可以通过对方程(1)的2倍减去方程(2)消去x的项，得到7y = -3。
解出y的值为y = -3/7。
将y的值代入方程(1)或方程(2)中求解x的值，得到x = (5 - 3 * (-3/7))/2。
七年级数学下册7.2二元一次方程组的解法3全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课件
x= 4+ 7y
③
2
将③代入②，得
3（4+ 7y ）－8y－10=0 2
解得 y=－0.8
将y=－0.8代入③，得
x=4+ 7 ×（－0.8 ） 2
x=1.2
｛ 所以
x=1.2
y=－0.8
思索：能够先消 去y吗？
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高兴检测
一、把以下各方程变形为用一个未和数 代数式表示另一个未知数形式.
（1）4x－y＝-1； （2）5x－10y＋15＝0.
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1、解二元一次方程组基本思绪是什么？
基本思绪: 消元: 二元
一元
2、用代入法解方程步骤是什么？ 一元
主要步骤：
变形
用一个未知数代数式
表示另一个未知数
代入
消去一个元
求解 分别求出两个未知数值
写解
写出原方程组解
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代入法消元
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教学目标：
1．深入了解代人消元法基 本思想和代入法解题普通步骤
x=
4+
7y 2
x=1.2
代入
y=－ 0.8 解得
3（4+ 7y ）－8y－10=0 2
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畅谈收获
• 这节课我们学习了 什么知识?
代入消元法
1、二元一次方程组
一元一次方程
2、代入消元法普通步骤：
变 代 求写
3、变形技巧：选择系数比较简单方程进行
变形。
1
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表示x形式
2
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｛2x－7y=8
例2. 解方程组
①
3x－8y－10=0 ②
思索 这两个方程中未知数系数都不是1，那
初中数学七年级上册 二元一次方程组的解法——加减消元法-“衡水赛”一等奖
3．3 二元一次方程组及其解法教案加减消元法教学目标：1．使学生掌握用加减法解二元一次方程组的步骤．2．能运用加减法解二元一次方程组．教学重难点：重点掌握用加减消元法解二元一次方程组的方法．难点明确用加减法解二元一次方程组的关键是必须使两个方程中同一个未知数的系数的绝对值相等． 教学过程：一、复习旧知，导入新知(1)用代入法解二元一次方程组的基本思想是什么(2)用代入法解问题一中的方程组，并检验所得结果是否正确．上面的方程组中，我们用代入法消去了一个未知数，将“二元”转化为“一元”，从而得到了方程组的解．对于二元一次方程组，是否存在其他方法，也可以消去一个未知数，达到化“二元”为“一元”的目的呢这就是我们这节课将要学习的内容——加减法解二元一次方程组(板书课题)．二、自主合作，感受新知解问题1中的方程组，除代入消元法外，是否还有别的消元法思考：这个方程组中，y 的系数有什么关系利用这种关系你能发现新的消元法吗引导学生用加减法消去y 项，从而得到该方程组的解.得出概念：像这样把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法叫加减消元法，简称加减法。
三、师生互动，理解新知上面例题的两个方程中，未知数y 的系数有什么特点(相等)根据等式的性质，如果把这两个方程的左边与左边相减，右边与右边相减，就可以消掉y ，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解． 解：解：由②−①得 2x-x=60-45这样也得到一个一元一次方程，解方程，得 x=15,把x=15代入①得15+y=45 ∴y=30∴方程组的解为所以⎩⎨⎧==30y 15x 学生活动一：比较用这种方法得到的x ，y 值是否与用代入法得到的相同．(相同)上面方程组的两个方程中，因为y 的系数相等，所以我们把两个方程相减，就消去了y.观察一下，x 的系数有何特点(相等)方程①和方程②经过怎样的变化可以消去x(相减)学生活动二：观察、思考，尝试用①－②消元，解方程组，比较结果是否与用①＋②得到的结果相同．(相同)教师总结：我们将原方程组的两个方程相加或相减，把“二元”化成了“一元”，从而得到了方程组的解．像这种解二元一次方程组的方法叫加减消元法，简称“加减法”．教师提问：①比较上面解二元一次方程组的方法，是用代入法简单，还是用加减法简单(加减法) ②在什么条件下可以用加减法进行消元(某一个未知数的系数相等或互为相反数)③什么条件下用加法、什么条件下用减法(某个未知数的系数互为相反数时用加法，系数相等时用减法) 教学例2：解方程组⎩⎨⎧=+=+30y 3x 814y x 4教师：分析：在这个方程组中，直接将两个方程相加或相减，都不能消去未知数x 或y ，怎么办我们可以对其中一个（或两个）方程进行变形，使得这个方程组中x 或y 的系数相等或互为相反数，再来求解。
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第五讲方程组的解法
二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决．所以，解方程组的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加减消元两种，下面结合例题予以介绍．
例1解方程组
解将原方程组改写为
由方程②得x=6+4y，代入①化简得
11y－4z=－19．④
由③得
2y+3z=4．⑤
④×3+⑤×4得
33y+8y=－57+16，
所以y=－1．
将y=－1代入⑤，得z=2．将y=－1代入②，得x=2．所以
为原方程组的解．
说明本题解法中，由①，②消x时，采用了代入消元法；解④，⑤组成的方程组时，若用代入法消元，无论消y，还是消z，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中z的系数是一正一负，且系数的绝对值较小，采用加减消元法较简单．
解方程组消元时，是使用代入消元，还是使用加减消元，要根据方程的具体特点而定，灵活地采用各种方法与技巧，使解法简捷明快．
例2解方程组
解法1由①，④消x得
由⑥，⑦消元，得
解之得
将y=2代入①得x=1．将z=3代入③得u=4．所以
解法2由原方程组得
所以
x=5－2y=5－2(8－2z)
=－11+4z=－11+4(11－2u)
=33－8u=33－8(6－2x)
=－15+16x，
即x=－15+16x，解之得x=1．将x=1代入⑧得u=4．将u=4代入⑦得z=3．将z=3代入⑥得y=2．所以
为原方程组的解．
解法3①+②+③+④得
x+y+z+u=10，⑤
由⑤－(①+③)得
y+u=6，⑥
由①×2－④得
4y－u=4，⑦
⑥+⑦得y=2．以下略．
说明解法2很好地利用了本题方程组的特点，解法简捷、流畅．
例3解方程组
分析与解注意到各方程中同一未知数系数的关系，可以先得到下面四个二元方程：
①+②得
x+u=3，⑥
②+③得
y+v=5，⑦
③+④得
z+x=7，⑧
④+⑤得
u+y=9．⑨
又①+②+③+④+⑤得
x+y+z+u+v=15．⑩
⑩－⑥－⑦得z=7，把z=7代入⑧得x=0，把x=0代入⑥得u=3，把u=3代入⑨得y=6，把y=6代入⑦得v=－1．所以
为原方程组的解．
例4解方程组
解法1①×2+②得
由③得
代入④得
为原方程组的解．
为原方程组的解．
说明解法1称为整体处理法，即从整体上进行加减消元或代入消
为换元法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”，从而简化方程组的求解过程．
例5已知
分析与解一般想法是利用方程组求出x，y，z的值之后，代入所求的代数式计算．但本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的，因此无法求出x，y，z的确定有限解，但我们可以利用加减消元法将原方程组变形．
①－②消去x得
①×3+②消去y得
①×5+②×3消去z得
例6已知关于x，y的方程组
分别求出当a为何值时，方程组(1)有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解．分析与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结为一元一次方程ax=b的形式进行讨论．但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零．解由①得
2y=(1+a)－ax，③
将③代入②得
(a－2)(a+1)x=(a－2)(a+2)．④
(1)当(a－2)(a+1)≠0，即a≠2且a≠－1时，方程④有
因而原方程组有唯一一组解．
(2)当(a－2)(a+1)=0且(a－2)(a+2)≠0时，即a=－1时，方程④无解，因此原
方程组无解．
(3)当(a－2)(a+1)=0且(a－2)(a+2)=0时，即a=2时，方程④有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解．
例7已知关于x，y的二元一次方程
(a－1)x+(a+2)y+5－2a=0，
当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．
解法1根据题意，可分别令a=1，a=－2代入原方程得到一个方程组
将x=3，y=－1代入原方程得
(a－1)·3+(a+2)·(－1)+5－2a=0．
所以对任何a值
都是原方程的解．
说明取a=1为的是使方程中(a－1)x=0，方程无x项，可直接求出y值；取a=－2的道理类似．
解法2可将原方程变形为
a(x+y－2)－(x－2y－5)=0．
由于公共解与a无关，故有
例8甲、乙两人解方程组
原方程的解．
分析与解因为甲只看错了方程①中的a，所以甲所得到的解
4×(－3)－b×(－1)=－2．③
a×5+5×4=13．④
解由③，④联立的方程组得
所以原方程组应为
练习五
1．解方程组
2．若x1，x2，x3，x4，x5满足方程组
试确定3x4+2x5的值．
3．将式子3x2+2x－5写成a(x+1)2+b(x+1)+c的形式，试求
4．k为何值时，方程组
有唯一一组解；无解；无穷多解？
5．若方程组
的解满足x+y=0，试求m的值．。