二重积分的换元法

x0 uv 0
y0 v0
D
x
y
e( x y)2 d
y
D
f
(u,v) |
J
| dudv
1
u
du
v
eu2 dv
0 0u
1 u eu2du
02
1 (e 1). 4
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
8 a 3 cos 3
3
2
d
16a 3 3
02 cos 3
d
2
16a 3 3
02 cos 2
d sin
32 a3 9
例 3 计 算 ( x 2 y 2 ) dxdy ， 其 D 为 由 圆
D
x2 y2 2 y ， x2 y2 4 y 及 直 线 x 3y 0 ，
y 3x 0 所 围 成 的 平 面 闭 区 域 .
D
o
f (r cos ,r sin ) r dr d
D
d
r2 ( )
r1 ( )
f (r cos ,r sin ) r dr
（2）极点 O 在区域 D 的边界上
r r( )
D
:
0 r r( )
D
f (r cos ,r sin ) r dr d
D
o
d
r(
0
)
f
(r
cos
解 x 3y 0
6
y 3x 0
3
x2 y2 2 y r 2sin
y
x2 y2 4y y
x2 y2 2y
3x 0
x 3y 0
x2 y2 4 y r 4sin o
x
( x2 y2 )dxdy
3 d
r 4sin 2 rdr 15(
3).
D
D
D
定理 设 f ( x, y) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续，变换 T : x x(u,v), y y(u,v) 将 uov 平面上的闭区域 D 变为 xoy 平面上的 D， 且满足 (1) x(u,v), y(u,v) 在 D 上具有一阶连续偏导数；
(2) 在 D 上雅可比式 J (u,v) ( x, y) 0; (u, v )
(3) 变换 T : D D 是一对一的，则有
f ( x, y)dxdy f [ x(u,v), y(u,v)]J (u,v)dudv.
D
D
二重积分化为二次积分时，根据积分区域 D 的特征，可分为以下三种情况：
（1）极点 O 在区域 D 的外部
r r2( )
D
:
r1
(
)
r
r2
(
)
r r1( )
y2 b2
1 所围成的闭区域．
解
作广义极坐标变换
x y
ar br
cos , sin ,
其中a 0, b 0, r 0, 0 2.
在这变换下 D D {(r, ) 0 r 1 , 0 2},
J ( x, y) abr.
(r, ) J 在 D内仅当 r 0 处为零， 故换元公式仍成立，
o
x
v
v2
u v D u v
o
u
J
(x, y) (u, v )
1 2 1
1
2 1
1, 2
22
故
y x
e y xdxdy
e
u v
1
dudv
D
D
2
1
2
2
dv
0
u v
e v du
1
v
2
2(e e1 )vdv
0
e e1.
例2
计算
D
1
x2 a2
y2 b2
dxdy,
其中
D
为
椭圆 x2 a2
解
由直角坐标化 x r cos
极坐标公式
y
r
sin
o
x
1
圆的极坐标方程为 r 1
故
D
:
0 0
r
1
2
(1 x2 y2 )dxdy (1 r 2 )rdrd
D
D
02 d 01(1 r 2 )rdr 02 d 01(r r 3 )dr
02
[1 2
r
2
1 4
r
4
]10
d
02
1 4
1 (u, v )
.
(x, y)
思考题
计算
D
x
y
e( x y)2 d
y
，其中
D： x
y
1，
x 0和 y 0所围成.
思考题解答
y
令u
v
x
y
y
x
y
Leabharlann Baidu
u
v
v ,
x y1
D
o
x
雅可比行列式J ( x, y) 1, (u, v )
v
uv
变换后区域为
D
o
u
D：x y 1 u 1
(r 2 )
1 2
02
e r 2
a
d
0
(1 ea2 ).
例2 计算 x2 y2d
D
其中积分区域D为( x a)2 y2 a 2 .
解 ( x a)2 y2 a 2 r 2a cos
y
故
D
:
0
2
r 2a
cos
2
o
x
D
x2
y 2 d
2
d
2a cos
0
r 2dr
2
,r
sin
)r
dr
（3）极点 O 在区域 D 的内部
r r( )
D
:
0 r r( )
0 2
D
o
f (r cos ,r sin )r dr d
D
02 d
r( )
0
f (r cos ,r sin ) rdr
例1 计算 (1 x2 y2 )dxdy
y
D
其中积分区域D为x 2 y2 1.
6
2sin
2
2. 二重积分的换元法（2）
平面上同一个点，直角坐标与极坐标之
间的关系为
x y
r r
cos , sin .
上式可看成是从直角坐标平面 ro 到直角
坐标平面 xoy 的一种变换，即对于 ro 平
面上的一点 M (r,)，通过上式变换，变
成 xoy 平面上的一点 M ( x, y)，且这种变
第三讲 二重积分的换元法
• 内容提要
1.二重积分的换元积分公式； 2.极坐标系下二重积分的计算。
• 教学要求
1.掌握二重积分的换元积分公式； 2.熟练掌握极坐标系下二重积分的计算。
复习：二重积分在直角坐标系下的计算
1. 在直角坐标系下二重积分
f ( x, y) d f ( x, y)dxdy
D
1
x2 a2
y2 b2
dxdy
D
1 r 2abrdrd 2 ab.
3
小结
一般地，当积分区域为圆形、扇形、环形区域， 而被积函数中含有 x2 y2 的项时，采用极坐标 计算往往比较方便. 二重积分在极坐标下的计算公式
f (r cos ,r sin )rdrd
D
d
r2( ) f (r cos ,r sin )rdr
(3) 变换 T : D D 是一对一的，则有
f ( x, y)dxdy f [ x(u,v), y(u,v)]J (u,v)dudv.
D
D
r r
将区域 D 用从O出发的射线和 以O为圆心的圆弧进行划分.
则 rr
o
于是面积微元 d rdrd
D
r r r
故 f ( x, y)d f ( r cos ,r sin ) r drd
即 l r r r
l
r r
2.曲线的极坐标方程 : r r( )
o
r r( )
x
1.二重积分的换元法(1)
在直角坐标系下计算二重积分时，在某些情况
下非常烦琐，
如积分区域为a2 x2 y2 b2
y
必须化为四个小区域来计算， 相当麻烦。
ox
因此，有必要学习在其他坐标系下 如极坐标系下计算二重积分.这就需要进 行变量代换，有如下定理.
D
D
y
y dy d y
D
2.二重积分在直角坐标系下的计算：
o
x x dx x
f ( x, y)dxdy X 型
b
dx
2( x) f ( x, y)dy
D
a
1( x)
Y
型
cd dy
2( y) 1( y)
f
( x,
y)dx
预备知识：
1. 如图: 扇环的面积 的近似公式：
近似地看成以 l 和 r 为邻边的矩形
d
2
练习 计算 e x2 y2 dxdy
D
其中积分区域D为x 2 y 2 a 2 .
解
由直角坐标化 x r cos
极坐标公式
y
r
sin
圆的极坐标方程为 r a
y a
D
o ax
故
D
:
0 0
r
a
2
ex2 y2dxdy
2
d
a e r2 rdr
0
0
D
1 2
02
d
a er 2 d
0
r1 ( )
d
r ( )
f (r cos ,r sin )rdr
0
2
d
r ( )
f (r cos ,r sin )rdr
0
0
（在积分中注意使用对称性）
1．作什么变换主要取决于积分区域 D 的形状， 同时也兼顾被积函数 f (x, y)的形式．
基本要求:变换后定限简便，求积容易．
2.
J
(x, y) (u, v )
换是一对一的．
y x
例1 计算 e yxdxdy, 其中 D 由 x 轴、y轴和直
D
线 x y 2 所围成的闭区域．y
解 令 u y x, v y x,
则 x vu, y vu.
2
2
D D, 即 x 0 u v;
y 0 u v;
x y 2 v 2.
x y2
D
定理 设 f ( x, y) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上 连续，变换 T : x x(u,v), y y(u,v) 将 uov 平面上的闭区域 D 变为 xoy 平面上的 D， 且满足 (1) x(u,v), y(u,v) 在 D 上具有一阶连续偏导数；
(2) 在 D 上雅可比式 J (u,v) ( x, y) 0; (u, v )