总体参数的假设检验.
总体参数P的假设检验
在实际问题中，经常会遇到要对（0-1）总 体中参数 p 进行检验的问题。这时，一般是抽取 大容量（n>30）的样本，利用中心极限定理，对 参数 p 进行假设检验.
下面先用此方法对双边检验进行假设检验， 然后推广到单边检 p0
近似
~ N(0， 1）
p(1 p)
n
例1. 某药厂在广告上声称该药品对某种疾病的治愈率
为80%，一家医院对这种药品临床使用120例，治愈 85人，问该药品的广告是否真实(α=0.02)？
解： 由于n=120为大样本，设随机变量X为
1 抽查一位服用病该人药发品现的疾病 X0 抽查一位服用病该人药发品现的疾病未
则X~（0-1）分布.
若有诀窍，则 猜中的概率 p 应大于1/2.
x 600.61
100
2
原假设
H0
:
p
1， 2
备择假设
1 H1 : p 2
检验统计量为U Xp0
p0(1 p0)/n
拒绝域： W{Uzα}
α=0.05，
zα z0.051.645
W{Uzα}{U1.64}5
u xp0
0.6 0.5 2 1.645
则X~（0-1）分布.
原假设 H0 :p80%，备择假设 H1:p8% 0
检验统计量为U Xp0
p0(1 p0)/n
拒绝域：W{Uzα/2}
α=0.02， zα/2z0.012.33
W{Uzα/2} {U2.33}
x 85 0.7083 120
| u| | x p0 | | 0.70830.8| 2.51132.33
p0(1 p0)/ n
0.5 0.5
总体参数的假设检验
社会学研究数据分析
要点一
总结词
社会学研究中的假设检验主要用于探究社会现象、行为和 社会关系等。
要点二
详细描述
在社会学研究中，假设检验被广泛应用于社会调查、实验 研究和准实验研究中。研究者通过收集和分析数据，检验 关于社会现象、行为和社会关系的假设。例如，可以检验 教育程度与收入水平的关系、政策实施对居民生活的影响 等假设。这有助于深入了解社会现象，为政策制定和社会 发展提供科学依据。
P值是假设检验中的重要指标，表示观察到的数据或更极端情况出现的 概率。P值越小，表明观察到的数据越不可能发生，从而支持拒绝原假 设。
P值的解读
在解读P值时，应注意其与临界值的关系。通常，当P值小于显著性水 平（如0.05）时，我们拒绝原假设。
03
决策与P值
虽然P值提供了一定的决策依据，但不应过分依赖P值进行决策。在某
两个总体参数的假设检验
两个总体参数的假设检验的定义
对两个总体的参数提出假设，并利用样本数据对该假设进 行检验，以判断两个参数之间是否存在显著差异。
提出假设
根据研究目的或问题，提出关于两个总体参数的假设。
选择检验统计量
根据总体分布和假设，选择适当的统计量进行检验。
确定临界值
根据统计量的性质和显著性水平，确定临界值。
选择检验统计量
根据总体分布和假设，选择适当的统计量进行检验。
确定临界值
根据统计量的性质和显著性水平，确定临界值。
计算检验统计量的值
根据样本数据计算检验统计量的值。
做出决策
将计算出的检验统计量的值与临界值进行比较，做出接受 或拒绝假设的决策。
非参数假设检验
03
符号检验
总结词
参数的假设检验
目录
• 参数假设检验的基本概念 • 参数假设检验的类型 • 参数假设检验的实例 • 参数假设检验的注意事项 • 参数假设检验的应用领域 • 参数假设检验的发展趋势与展望
01
参数假设检验的基本概 念
参数假设检验的定义
参数假设检验是在统计推断中，根据 样本数据对总体参数是否符合某种假 设进行检验的方法。
总结词
正态性检验是检验数据是否符合正态分 布的统计方法。
VS
详细描述
正态分布的参数检验包括峰度系数、偏度 系数、直方图和P-P图等，通过这些方法 可以判断数据是否符合正态分布，从而为 后续统计分析提供依据。
方差分析的参数检验
总结词
方差分析是检验不同组别之间是否存在显著差异的统计方法 。
详细描述
方差分析通过比较不同组别之间的方差，判断它们是否具有 统计学上的显著差异。这种方法广泛应用于实验设计和数据 分析中，用于比较不同处理或不同条件下的结果差异。
做出推断
根据检验统计量的值和临界值，做出关于 假设的推断。
选择检验统计量
根据假设和数据特征，选择合适的统计量 进行检验。
计算检验统计量的值
根据样本数据和选择的统计量，计算检验 统计量的值。
确定临界值
根据统计量的性质和误差概率，确定临界 值。
02
参数假设检验的类型
单侧假设检验
总结词
只考虑参数大于或小于某个值的情况。
详细描述
在单侧假设检验中，我们只考虑参数大于或小于某个值的情况，而不需要同时考虑两个方向。例如， 在检验某药物是否有效时，我们只关心该药物是否比对照组效果好，而不关心它是否比对照组差。
双侧假设检验
总结词
同时考虑参数大于和小于某个值的情况。
假设检验关于总体参数的假设提出与验证
假设检验关于总体参数的假设提出与验证假设检验是统计学中一种常用的方法，用于对总体参数的假设提出与验证。
在实际应用中，我们常常需要对某个总体进行推断，通过假设检验可以帮助我们判断某种观测结果是否支持或者反驳对总体参数的某种假设。
1. 假设的提出在进行假设检验之前，我们首先需要明确假设的提出。
根据研究的问题和目标，我们可以提出两类假设：原假设（H0）和备择假设（H1）。
原假设是指对总体参数的某种特定值或关系的假设，通常我们将其视为默认假设；备择假设则是与原假设相对立的假设。
2. 假设的验证假设的验证是通过收集样本数据进行统计分析来进行的。
首先，我们需要明确一个检验统计量，它是根据样本数据与原假设的偏离程度计算出来的一个统计量。
常用的检验统计量包括Z统计量和t统计量等。
我们可以根据假设的情况选择适当的检验统计量。
接下来，我们需要确定显著性水平（α），它表示在原假设成立的情况下，观测到的结果与原假设相差较大的概率。
通常情况下，我们选择显著性水平为0.05或0.01，表示在5%或1%的水平上进行显著性检验。
然后，我们计算出检验统计量的观测值，并根据观测值和显著性水平对其进行比较。
这一比较可以通过查找相应的分布表或使用统计软件进行计算得出。
最后，我们根据比较的结果得出结论。
如果观测值小于临界值，则我们无法拒绝原假设，即数据支持原假设；如果观测值大于临界值，则我们可以拒绝原假设，即数据不支持原假设，而支持备择假设。
3. 假设检验的错误在进行假设检验时，我们需要注意两种错误的可能性：第一类错误（α错误）和第二类错误（β错误）。
第一类错误是指在原假设为真的情况下，我们错误地拒绝了原假设；第二类错误是指在备择假设为真的情况下，我们错误地接受了原假设。
减小第一类错误的概率会增加第二类错误的概率，反之亦然。
在设计假设检验时，我们需要根据实际情况和问题的重要性来平衡两类错误的概率。
4. 常见的假设检验假设检验方法有很多，以下是一些常见的假设检验方法：- 单样本均值检验：用于检验一个总体均值是否等于某个特定值。
两个正态总体参数的假设检验 推导
两个正态总体参数的假设检验推导一、引言假设检验是统计学中常用的方法，用于检验两个正态总体参数是否具有显著差异。
本文将介绍两个正态总体参数的假设检验的推导过程，主要包括以下步骤：假设提出、样本收集、样本检验、推断结论、结果解释和误差分析。
二、假设提出假设检验的基本思想是通过样本数据对总体参数进行推断。
在这个过程中，首先需要提出假设，即对两个正态总体参数的关系做出假设。
通常，假设检验中包含两个假设：零假设（H0）和备择假设（H1）。
零假设通常表示两个总体参数无显著差异，备择假设则是与零假设相对的假设。
例如，我们可以在零假设中设定两个总体均数相等，备择假设则是均数不等。
三、样本收集在提出假设后，需要收集样本数据以进行检验。
样本收集应遵循随机抽样的原则，以确保样本的代表性。
在收集样本时，还需要注意样本量的大小，以保证推断结论的准确性。
四、样本检验样本检验是假设检验的核心步骤，包括计算样本统计量、确定临界值和做出推断结论等步骤。
样本统计量是根据样本数据计算出的量，用于推断总体参数。
临界值是用于判断样本统计量是否达到显著差异的标准。
在做出推断结论时，需要根据样本统计量和临界值进行比较，以确定零假设是否被拒绝。
五、推断结论根据样本检验的结果，可以做出推断结论。
如果样本统计量超过了临界值，则可以拒绝零假设，接受备择假设；否则，不能拒绝零假设。
推断结论是假设检验的关键步骤之一，要求谨慎和客观地做出判断。
六、结果解释推断结论做出后，需要对结果进行解释。
解释结果时需要关注以下几点：一是理解推断结论的含义，二是明确结果对于实践的意义，三是注意结果的局限性，即样本量和误差范围等因素对结果的影响。
结果解释要求清晰明了地传达结果的含义和应用范围。
七、误差分析误差分析是假设检验中不可或缺的一环。
误差分为两类：一类是随机误差，由随机抽样造成；另一类是系统误差，由样本设计和处理等环节造成。
误差分析的目的是评估结果的可靠性和精确性，从而确定结果在实际应用中的可信度。
两个总体参数的假设检验
Part
03
假设检验的注意事项
样本量
样本量过小
01
如果样本量过小，会导致检验结果不稳定，无法准确
推断总体参数。
样本量过大
两个总体参数的假设 检验
• 假设检验的基本概念 • 两个总体参数的假设检验 • 假设检验的注意事项 • 假设检验的实例分析 • 总结与展望
目录
Part
01
假设检验的基本概念
定义
01
假设检验是一种统计推断方法 ，通过对样本数据的分析，对 总体参数做出假设，并通过检 验假设是否成立来得出结论。
02
在假设检验中，通常会先提出 一个关于总体参数的假设，然 后通过样本数据对该假设进行 验证。
03
假设检验的目的是根据样本数 据对总体参数做出合理的推断 ，并尽可能减少因错误判断而 导致的误差。
目的
判断总体参数是否符合预期
通过假设检验，可以判断总体参数是否符合预 期，从而为进一步的研究或决策提供依据。
两个总体比例的比较
总结词
Fisher's exact test
详细描述
Fisher's exact test用于比较两个总体的分类比例是否存在显著差异，特别是当样本量较小时。它基于 Fisher's exact probability distribution，通过计算概率值来评估实际观测频数与期望频数之间的差异是 否具有统计学显著性。
两个总体方差的比较
01 总结词
Levene's test
总体参数P的假设检验
04
在挑战方面，数据量的增加和数据复杂性的提高对统 计分析方法提出了更高的要求，需要发展更加高效、 准确的统计方法和技术。
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假设检验的分类
单侧检验与双侧检验
根据是否考虑参数的方向性，假设检验可分为 单侧检验和双侧检验。
参数检验与非参数检验
根据总体参数的性质，假设检验可分为参数检 验和非参数检验。
独立样本与配对样本检验
根据样本数据是否独立，假设检验可分为独立样本检验和配对样本检验。
02
总体参数p的假设检验方法
单侧检验
目的
判断总体参数是否符合预期或是否有 显著差异，为决策提供依据。
假设检验的基本步骤
提出假设
根据研究目的或问题，提出关于总体参数 的假设。
选择检验统计量
根据样本数据和假设，选择合适的统计量 进行计算。
确定临界值
根据统计量的性质和显著性水平，确定临 界值。
作出推断
根据计算出的统计量和临界值，作出关于 假设的推断。
诊断试验评价
在评价诊断试验的准确性时，参数p的假设检验可以用于比 较不同诊断方法的优劣，从而选择最佳的诊断方案。
在质量控制中的应用
过程控制
在生产过程中，参数p的假设检验可以用 于监测生产过程的稳定性，通过分析生 产过程中数据的分布情况，判断生产过 程是否处于受控状态。
VS
产品检验
在产品检验中，参数p的假设检验可以用 于评估产品的合格率或不合格率，从而判 断产品质量是否符合标准要求。
对样本的依赖
假设检验的结果依赖于样本的质 量和代表性，如果样本不具有代 表性或存在偏差，会影响检验结 果的准确性。
对参数先验信息的
单个正态总体参数的假设检验
单个正态总体参数的假设检验1.提出假设：首先，我们需要提出关于总体参数的假设。
在单个正态总体参数的情况下，我们通常对总体的均值（μ）或标准差（σ）进行假设。
2.确定显著性水平：显著性水平（α）是一个事先设定的临界值。
根据显著性水平，我们可以决定接受还是拒绝原假设。
3.构建统计量：接下来，我们需要构建一个适当的统计量来判断总体参数的假设。
在单个正态总体参数的情况下，通常使用t统计量或z统计量。
4.计算统计量的值：根据样本数据，计算所选统计量的值。
如果使用t统计量，则需要计算样本均值和标准差；如果使用z统计量，则只需计算样本均值。
5.确定拒绝域：拒绝域是根据显著性水平和统计量的分布确定的。
根据统计量的值和拒绝域的临界值，我们可以决定是否拒绝原假设。
6.做出决策：根据统计量的值和拒绝域，我们可以做出决策：接受原假设或拒绝原假设。
下面以一个具体的例子来说明单个正态总体参数的假设检验。
假设我们要检验一些公司员工的平均工资是否等于5000元。
我们从公司中随机抽取了50个员工的工资数据，假设工资数据服从正态分布。
现在我们要进行假设检验。
1.假设提出：原假设（H0）：员工的平均工资等于5000元；备择假设（H1）：员工的平均工资不等于5000元。
2.显著性水平：我们设定显著性水平为0.053.构建统计量：由于样本量较大（n=50），我们可以使用z统计量。
z统计量的计算方法为（样本均值-总体均值）/（总体标准差/根号n）。
4.计算统计量的值：假设我们计算出样本均值为4950元，总体标准差为100元。
5.确定拒绝域：由于显著性水平为0.05，我们需要找出z值对应的临界值。
在标准正态分布表中查找z=1.96对应的值，并根据原假设的双侧检验找出拒绝域的范围。
6.做出决策：根据统计量的值和拒绝域的范围，我们可以判断是否拒绝原假设。
如果统计量的值落在拒绝域之外，我们将拒绝原假设，即认为员工的平均工资不等于5000元。
统计学之总体参数的假设检验(ppt 69页)
当然多半是相信数据，拒绝零假设。
§6.1 假设检验的过程和逻辑
但小概率并不能说明不会发生，仅 仅发生的概率很小罢了。拒绝正确 零假设的错误常被称为第一类错误 （type I error）。
在备选假设正确时反而说零假设正 确 的 错 误 ， 称 为 第 二 类 错 误 （ type II error）。在本书的假设检验问题 中，由于备选假设不是一个点，所 以无法算出犯第二类错误的概率。
因检验统计量的分布是从零假设导出 的，因此，如果发生矛盾，就对零假 设不利了。
不发生矛盾也不能说明零假设没有问 题。
§6.1 假设检验的过程和逻辑
在零假设下，检验统计量取其实现值 及（沿着备选假设的方向）更加极端 值的概率称为p-值（p-value）。
如果得到很小的p-值，就意味着在零 假设下小概率事件发生了。
这样，拒绝零假设时犯错误的概率实际只 是千分之一而不是旧的a所表明的百分之 五。在这个意义上，p-值又称为观测的显 著性水平（observed significant level）。
这要看具体应用的需要。但在一般的统计 书和软件中，使用最多的标准是在零假设 下（或零假设正确时）根据样本所得的数 据来拒绝零假设的概率应小于0.05，当然 也可能是0.01，0.005，0.001等等。
这种事先规定的概率称为显著性水平 (significant level)，用字母a来表示。
§6.1 假设检验的过程和逻辑
§6.1 假设检验的过程和逻辑
零假设和备选假设哪一个正确，是确 定性的，没有概率可言。而可能犯错 误的是人。
涉及假设检验的犯错误的概率就是犯 第一类错误的概率和犯第二类错误的 概率。
单个正态总体参数的假设检验
单个正态总体参数的假设检验一、假设检验的基本概念假设检验是统计推断的一种方法，其基本思想是通过抽样来对总体参数进行推断，并判断总体参数是否满足其中一种假设。
在进行假设检验时，我们首先提出一个原假设（H0），这是一个既定的假设，表示总体参数满足其中一种特定的值或不满足其中一种特定的关系。
同时，我们还提出一个备择假设（H1），表示总体参数不满足原假设。
通过对样本数据的统计推断，我们可以对原假设进行拒绝或不拒绝的判断。
二、假设检验的步骤假设检验一般包括以下步骤：1.提出假设：根据问题的需求和背景条件，提出原假设和备择假设。
2.确定显著性水平：显著性水平（α）是指当原假设成立时，我们愿意犯第一类错误的概率。
一般情况下，我们常使用0.05作为显著性水平。
3.选择检验统计量：根据所需检验的问题，选择适当的检验统计量。
在单个正态总体参数的假设检验中，常用的检验统计量有Z检验和t检验。
4.计算检验统计量的观察值：根据样本数据计算出检验统计量的观察值。
5.根据显著性水平查找拒绝域：根据显著性水平和检验统计量的分布，查找拒绝域的临界值。
6.判断并作出结论：如果检验统计量的观察值落在拒绝域内，则拒绝原假设，否则不拒绝原假设。
三、应用领域1.药物临床试验：在新药物的临床试验中，可以通过对患者进行抽样，检验患者服用药物前后的药效差异是否显著，以判断药物的疗效。
2.市场调研：在市场调研中，可以通过对一定数量的顾客进行问卷调查，检验顾客对其中一种产品的满意度是否显著不同，以了解产品在市场中的竞争力。
3.品质控制：在生产过程中，可以通过抽样检验产品的质量是否符合设定的标准。
例如，食品加工厂可以通过抽样检验产品的营养成分是否达到设定的要求。
4.经济学研究：在经济学研究中，可以通过对一定数量的经济指标进行抽样，检验指标的差异是否显著，以判断宏观经济政策的有效性。
总结：单个正态总体参数的假设检验是统计学中一种重要的方法，通过对样本数据的统计推断，判断总体参数是否满足其中一种假设。
正态总体参数的假设检验
正态总体参数的假设检验 正态总体中有两个参数：正态均值与正态⽅差。
有关这两个参数的假设检验问题经常出现，现逐⼀叙述如下。
(⼀) 正态均值的假设检验 ( 已知情形) 建⽴⼀个检验法则，关键在于前三步l，2，3。
5.判断(同前) 注：这个检验法称为u检验。
(⼆) 正态均值的假设检验 ( 未知情形) 在未知场合，可⽤样本标准差s去替代总体标准差，这样⼀来，u统计量变为t统计量，具体操作如下： 1.关于正态均值常⽤的三对假设为 5.判断 (同前) 注：这个检验法称为t检验。
(三)正态⽅差的假设检验 检验正态⽅差有关命题成⽴与否，⾸先想到要⽤样本⽅差。
在基础上依据抽样分布特点可构造统计量作为检验之⽤。
具体操作如下： 1.关于正态⽅差常⽤的三对假设为 5.判断(同前) 注：这个检验法称为检验。
注：关于正态标准差的假设与上述三对假设等价，不另作讨论。
(四) ⼩结与例⼦ 上述三组有关正态总体参数的假设检验可综合在表1.5-1上，以供⽐较和查阅。
续表 [例1.5-2] 某电⼯器材⼚⽣产⼀种云母带，其厚度在正常⽣产下服从N(0.13，0.0152)。
某⽇在⽣产的产品中抽查了10次，发现平均厚度为0.136，如果标准差不变，试问⽣产是否正常?(取 =0.05)来源:考试通 解：①⽴假设：②由于已知，故选⽤u检验。
③~④根据显著性⽔平 =0.05及备择假设可确定拒绝域为{ >1.96}。
⑤由样本观测值，求得检验统计量： 由于u未落在拒绝域中，所以不能拒绝原假设，可以认为该天⽣产正常。
[例1.5-3] 根据某地环境保护法规定，倾⼊河流的废⽔中⼀种有毒化学物质的平均含量不得超过3ppm。
已知废⽔中该有毒化学物质的含量X服从正态分布。
该地区环保组织对沿河的⼀个⼯⼚进⾏检查，测定每⽇倾⼊河流的废⽔中该物质的含量，15天的记录如下(单位：ppm)3.2，3.2，3.3，2.9，3.5，3.4，2.5，4.3，2.9，3.6，3.2，3.0，2.7，3.5，2.9 试在⽔平上判断该⼚是否符合环保规定? 解：①如果符合环保规定，那么应该不超过3ppm，不符合的话应该⼤于3ppm。
第9讲 一个总体参数的假设检验
2.
检验统计量
已知： z
2
x 0
n
~ N (0,1)
2 未知：t x 0 ~ t ( n 1) s n
总体均值的检验
(例题分析)
【例】一种汽车配件的平均长度要求为 12cm ，高于
或低于该标准均被认为是不合格的。汽车生产企业在 购进配件时，通常是经过招标，然后对中标的配件提 供商提供的样品进行检验，以决定是否购进。现对一 个配件提供商提供的10个样本进行了检验。假定该供 货商生产的配件长度服从正态分布，在 0.05的显著性 水平下，检验该供货商提供的配件是否符合要求？
决策:
拒绝H0
结论:
0
-2.33
z
新机床加工的零件尺寸的平均误 差与旧机床相比有显著降低
总体均值的检验( 2 未知)
(例题分析)
【 例 】 某 一 小 麦 品 种 的 平 均 产 量 为 5200kg/hm2 。一家研究机构对小麦品
种进行了改良以期提高产量。为检验改 良后的新品种产量是否有显著提高，随 机抽取了36个地块进行试种，得到的样 本平均产量为 5275kg/hm2 ，标准差为 120/hm2 。试检验改良后的新品种产量 是否有显著提高？ (=0.05)
右侧检验
总体均值的检验( 2 未知)
(例题分析)
5200 H1 ： > 5200 = 0.05
H0 ：
检验统计量:
z
5275 5200 120 36
3.75
= 36 临界值(c):
n
决策:
拒绝H0 0.05
拒绝H0 (P = 0.000088 < = 0.05)
5.4,5.5一个正态总体参数的假设检验
提出待检验假设
H 0 : µ = 23. 取α = 0.05
X − 23 X −µ 如果 H 0成立 U0 = 2 ~ N (0,1) U= ~ N (0,1) 2 6 6 X − 23 P > uα = α 2 2 6
X = 20.5, U 0 = 3.06 > 1.96 X − 23 P > 1.96 = 0.05 2 不能接受 " µ = 23" 这一假设 6
判 等 "EX = 23"成 与 ? 断 式 立 否
例 2, 用传统工艺加工的红果 罐头 , 每瓶平均维生素 C 的含量为 19毫克 , 现改进加工工艺，抽查 16 瓶罐头，测得 VC 含量为 现改进加工工艺， 瓶罐头， 23； .5； ； ； ； .5； ； ； ； .5； .8； ； .5； ； ； .(毫克 ) 20 21 22 20 22 19 20 23 20 18 20 19 22 18 23 若假定新工艺的方差 (1)σ 2 = 4为已知 ; ( 2 )σ 2 未知 , 问新工艺下 VC 的含量是否比旧工艺下 含量高 ?
2. H 0 : µ ≤ µ 0
解 .待检验的假设是 H 0 : µ ≤ 19. 设 α = 0 .05 , σ 2 = 4
分析
U= X −µ
σ
~ N(0,1)
U0 =
X − 19
σ
. U 0的分布不能确定
当H 0 成立时
n
U ≥ U0
P {U 0 > uα } ≤ P{U > uα }
X − 19 > uα ≤ α 则P σ n
α
第二类错误 当原假设 H0 不成立时，而样本值却落入了接受域，从而 不成立时，而样本值却落入了接受域， 的结论。也就是说， 作出接受 H0的结论。也就是说，把不符合 H0 的总体当 成符合 H0 的总体加以接受 . “纳伪”的错 纳伪” 误
5.1 总体参数的假设检验
用
, , 表示。
双侧检验和单侧检验 ㈠、双侧检验 双侧检验的原假设与备择假设（以均值检验为例）
H 0 : 0 ; H1 : 0
2
临界值
1
接受域 临界值
2
双侧检验示意图
㈡、单侧检验
单侧检验不仅考虑是否相等，在不等时 还要考虑方向。单侧检验有两种情况。
１．左侧检验 左侧检验的原假设与备择假设（以均值检验为例）
若
t t (n 1) 则拒绝 H 0 ，否则接受 H 0 。而对于左侧检验 H 0 : 0 ; H1 : 0 若 t t (n 1)
则拒绝 H 0 ，否则接受 H 0 。
单样本时总体均数比较总结
1.总体方差 如果已知,可以使用u检验
2
统计量u=
x-
x
，其中 x
,， n 且
n 1 n 1 2 d di , Sd 2 ( d d ) i n i 1 n 1 i 1
４．检验统计量
d d t ~t (df ), Sd / n 其中df 配对总数 1
两个总体均数比较的总结
1.单样本(已知一个总体均数0 ) (a).u检验(已知） (b).t检验( 未知） 2.两独立样本（两总体均数都未知） (a ).t检验(当 ， ， 未知)
n
2.总体方差 2如果未知,可以使用t检验 x- 统计量t= ，其中S x S ,自由度 n-1 n Sx
补充：单样本时的总体方差的假设检验例8
（1）H 0 : 2 0 2 ; H1 : 2 0 2 (双侧检验）
2 （ n-1)S 2 2 ~ (n 1) 2
三、假设检验中的小概率原理*
第二节 正态总体参数的检验
2
9
二、两个正态总体参数的假设检验
2 设 有 两 个 相 互 独 立 的 正 态 总 体 X ~ N ( µ1，σ 1 ) ,
Y ~ N ( µ 2，σ ) , 分别抽取独立的样本 ( X1 , X2 ,⋯, Xn1 ) 和
2
µ 第六章证明, X = ( (− , ) 第六章证明,若 χ 2 ~ Nn−1σS 证明 (2) 检验统计量 2
2 2 H 下 O χ1−α / 2(n−1) 2 0 )， 2 则
x
( n − 1) S
~ χ (n −1) ,
(4) 由样本值算得
χ的值； 的值；
2
则拒绝H 否则 不能 若 χ 2 < λ1 或 χ 2 > λ2 ，则拒绝 0 ； 否则, 拒绝H 拒绝 0 .
− tα / 2 ( n − 1) O
tα / 2 (n − 1)
x
~
(4) 由样本值算得 t 的值； 的值； 则拒绝H 如果 | t |> tα 2 (n − 1) ,则拒绝 0 ； 否则, 不能拒绝H 否则 不能拒绝 0 .
5
两家生产同一类产品， 例2 两家生产同一类产品，其质量指标假定都服从正 态分布，标准规格为均值等于120.现从甲厂抽出5 120.现从甲厂抽出 态分布，标准规格为均值等于120.现从甲厂抽出5件 产品,测得其指标值为119,120,119.2,119.7,119.6; 产品,测得其指标值为119,120,119.2,119.7,119.6; 从乙厂也抽出5件产品,测得其指标值为110.5,106.3, 从乙厂也抽出5件产品,测得其指标值为110.5,106.3, 122.2,113.8,117.2。 122.2,113.8,117.2。试判断这两家厂的产品是否符 合标准. 合标准. (α = 0.05 )
7.2正态总体的参数假设检验
∵ X ~ N(µ,σ )，
2
σ2 ) ∴X ~ N(µ, n
X − µ0
当H0 为真 时， 利用 统计 u = 量 这 种检 验法 称为u 检验 . 法
σ/ n
~ N(0,1)来 确定 绝域 , 拒 的
由于µ的点估计是x ,
当H 0：µ = µ 0 为真时，
当 x − µ 0 ≥ k , 拒绝H 0
10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7 假定切割的长度服从正态分布, 假定切割的长度服从正态分布 且标准差没有变 试问该机工作是否正常? 化, 试问该机工作是否正常 (α = 0.05)
解 依题意 X ~ N ( µ ,σ 2 ), µ ,σ 2均为未知,
要检验假设 H 0 : µ = 10.5, H 1 : µ ≠ 10.5,
一个有用的结论
α , 当显著性水平均为 时
检验问题 H 0 : µ ≤ µ 0 , H 1 : µ > µ 0 和 检验问题 H 0 : µ = µ 0 , H 1 : µ > µ 0
有相同的拒绝域. 有相同的拒绝域
练习：346页6（1）
(3) 假设检验H0 : µ ≥ µ0 , H1 : µ < µ0 .
P( X − µ0 ≤ −k) = P(u = X − µ0
σ/ n
≤
−k
σ/ n
) =α
σx , 当H ：µ ≥ µ 为真时， n 由于µ的点估计是 σ σ uα 则x ≤ µ 0 k+拒绝H = µ 0 − u1−α 当x − µ ≤ − ,
0 0
拒绝域为
−k
= uα 即u ≤ uα
0
0
n
n
正态总体中参数的假设检验
正态总体中参数的假设检验正态总体参数的假设检验是统计推断中的一种方法，用于判断总体参数是否符合我们的假设。
下面将详细介绍正态总体参数的假设检验原理和步骤。
一、假设检验原理正态总体参数的假设检验是通过收集样本数据，计算样本统计量来推断总体参数的方法，其中包括均值和标准差。
在进行正态总体参数的假设检验时，我们首先假设总体参数的值，并设立一个零假设和一个备择假设。
其中零假设（H0）是我们希望证伪的假设，备择假设（H1）是我们希望证明的假设。
然后，我们根据样本数据计算得到样本统计量，比如样本均值和样本标准差，并将其与假设中的总体参数进行比较。
通过计算假设检验统计量的值，我们可以判断是否拒绝零假设，即总体参数是否符合我们的假设。
二、假设检验步骤1.确定假设：我们首先需要确定我们要研究的总体参数是均值还是标准差，并设立零假设和备择假设。
通常情况下，零假设是总体参数等于一些特定值，备择假设可以是总体参数大于、小于或者不等于该特定值。
2.收集样本数据：我们需要从总体中取得一个样本，并记录相应的观测值。
3.计算样本统计量：根据样本数据，我们可以计算得到样本均值和样本标准差。
4.计算假设检验统计量：根据样本数据和零假设中的总体参数值，我们可以计算得到假设检验统计量的值，该值用于判断是否拒绝零假设。
5.设定显著性水平：我们需要设定一个显著性水平，通常为0.05或0.01、显著性水平表示拒绝零假设的程度，如果得到的结果小于显著性水平，则可以拒绝零假设。
6.判断拒绝或接受零假设：根据计算得到的假设检验统计量的值与临界值进行比较，如果假设检验统计量的值小于临界值，则拒绝零假设；如果假设检验统计量的值大于等于临界值，则接受零假设。
7.得出结论：根据拒绝或接受零假设的结果，我们可以得出总体参数是否符合我们的假设。
三、举例说明假设我们要研究厂生产的产品的重量是否符合标准，假设标准重量为500克。
我们收集了一个包含30个产品的样本，并计算得到样本的平均重量为495克，标准差为10克。
单正态总体的参数假设检验
单正态总体的参数假设检验在统计学中，假设检验是一种用于判断总体参数是否符合某种特定假设的方法。
而单正态总体的参数假设检验则是指对一个正态分布总体的参数进行假设检验。
单正态总体的参数假设检验通常涉及两个假设：原假设（H0）和备择假设（H1）。
原假设是我们想要进行检验的假设，而备择假设则是与原假设相反的假设。
在单正态总体的参数假设检验中，我们通常关注的参数有均值（μ）和标准差（σ）。
下面将分别介绍如何进行均值和标准差的参数假设检验。
1. 均值参数假设检验对于均值参数的假设检验，常用的方法有Z检验和T检验。
Z检验适用于总体的标准差已知的情况，而T检验适用于总体的标准差未知的情况。
假设我们要对一个正态分布总体的均值进行假设检验，原假设为均值等于某个特定值（H0: μ = μ0），备择假设为均值不等于特定值（H1: μ ≠ μ0）。
我们需要计算样本的均值（X̄）和标准差（S），然后根据样本量（n）和总体标准差（σ）的已知情况选择对应的检验方法。
如果总体标准差已知，可以使用Z检验。
计算Z统计量的公式为：Z = (X̄ - μ0) / (σ / √n)然后，根据显著性水平（α）选择临界值，比较计算得到的Z统计量与临界值的大小，以判断是否拒绝原假设。
如果Z统计量的绝对值大于临界值，则拒绝原假设；否则，接受原假设。
如果总体标准差未知，可以使用T检验。
计算T统计量的公式为：T = (X̄ - μ0) / (S / √n)同样地，根据显著性水平（α）选择临界值，比较计算得到的T统计量与临界值的大小，以判断是否拒绝原假设。
2. 标准差参数假设检验对于标准差参数的假设检验，常用的方法有卡方检验和F检验。
卡方检验适用于单个总体标准差的假设检验，而F检验适用于两个总体标准差的假设检验。
假设我们要对一个正态分布总体的标准差进行假设检验，原假设为标准差等于某个特定值（H0: σ = σ0），备择假设为标准差不等于特定值（H1: σ ≠ σ0）。
总体参数的假设检验
多元统计分析——假设检验⏹如果一个人说他从来没有骂过人。
他能够证明吗？⏹要证明他没有骂过人，他必须出示他从小到大每一时刻的录音录像，所有书写的东西等等，还要证明这些物证是完全的、真实的、没有间断的。
这简直是不可能的。
⏹即使他找到一些证人，比如他的同学、家人和同事，那也只能够证明在那些证人在场的某些片刻，他没有被听到骂人。
⏹反过来，如果要证明这个人骂过人很容易，只要有一次被抓住就足够了。
⏹看来，企图肯定什么事物很难，而否定却要相对容易得多。
这就是假设检验背后的哲学。
⏹科学总往往是在否定中发展⏹在假设检验中，一般要设立一个原假设（上面的“从来没骂过人”就是一个例子）；⏹而设立该假设的动机主要是企图利用人们掌握的反映现实世界的数据来找出假设与现实之间的矛盾，从而否定这个假设。
⏹在多数统计教科书中(除理论探讨外)假设检验都是以否定原假设为目标。
⏹如否定不了，说明证据不足，无法否定原假设。
但不能说明原假设正确。
⏹就像一两次没有听过他骂人还远不能证明他从来没有骂过人。
假设检验的过程和逻辑⏹先要提出个原假设，比如某正态总体的均值等于5(m=5)。
这种原假设也称为零假设(null hypothesis)，记为H 0。
⏹与此同时必须提出备选假设(或称为备择假设，alternative hypothesis)，比如总体均值大于5（m>5）。
备选假设记为H 1或H a 。
形式上，这个关于总体均值的H 0相对于H 1的检验记为01:5:5H H μμ=⇔>⏹备选假设应该按照实际世界所代表的方向来确定，即它通常是被认为可能比零假设更符合数据所代表的现实。
⏹比如上面的H1为m>5；这意味着，至少样本均值应该大于5；⏹至于是否显著，依检验结果而定。
⏹检验结果显著(significant)意味着有理由拒绝零假设。
因此，假设检验也被称为显著性检验(significant test)。
⏹有了两个假设，就要根据数据来对它们进行判断。
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• 实际上，多数计算机软件仅仅给出 p-值， 而不给出a。这有很多方便之处。 • 比 如 a=0.05 ， 而 假 定 所 得 到 的 p- 值 等 于 0.001。这时如果采用p-值作为新的显著性 水平，即新的 a=0.001 ，于是就可以说， 在显著性水平为0.001时，拒绝零假设。 • 这样，拒绝零假设时犯错误的概率实际只 是千分之一而不是旧的 a 所表明的百分之 五。在这个意义上，p-值又称为观测的显 著性水平（observed significant level）。
• • • • • • •
归纳起来，假设检验的逻辑步骤为： 1. 写出零假设和备选假设； 2. 确定检验统计量； 3. 确定显著性水平a； 4. 根据数据计算检验统计量的实现值； 5. 根据这个实现值计算p-值； 6. 进行判断：如果 p-值小于或等于 a ，就 拒绝零假设，这时犯（第一类）错误的概 率最多为a；如果p-值大于a，就不拒绝零 假设，因为证据不足。
H0 : m 5 H1 : m 5
• 备选假设应该按照实际世界所代表的 方向来确定，即它通常是被认为可能 比零假设更符合数据所代表的现实。 • 比如上面的 H1 为 m>5 ；这意味着，至 少样本均值应该大于5； • 至于是否显著，依检验结果而定。 • 检验结果显著 (significant) 意味着有理 由拒绝零假设。因此，假设检验也被 称为显著性检验(significant test)。
六、总体参数的假设检验
• 如果一个人说他从来没有骂过人。 他能够证明吗？ • 要证明他没有骂过人，他必须出 示他从小到大每一时刻的录音录 像，所有书写的东西等等，还要 证明这些物证是完全的、真实的、 没有间断的。这简直是不可能的。 • 即使他找到一些证人，比如他的 同学、家人和同事，那也只能够 证明在那些证人在场的某些片刻， 他没有被听到骂人。
• 在统计软件输出 p- 值的位置，有的用“ pvalue”，有的用significant的缩写“Sig”就 是这个道理。 • 根据数据产生的 p- 值来减少 a 的值以展示 结果的精确性总是没有害处的。 • 这好比一个身高 180 厘米的男生，可能愿 意被认为高于或等于 180 厘米，而不愿意 说他高于或等于 155 厘米，虽然这第二种 说法数学上没有丝毫错误。
• 在零假设下，检验统计量取其实现值 及（沿着备选假设的方向）更加极端 值的概率称为p-值（p-value）。 • 如果得到很小的 p- 值，就意味着在零 假设下小概率事件发生了。 • 如果小概率事件发生，是相信零假设， 还是相信数据呢？ • 当然多半是相信数据，拒绝零假设。
• 但小概率并不能说明不会发生，仅 仅发生的概率很小罢了。拒绝正确 零假设的错误常被称为第一类错误 （type I error）。 • 在备选假设正确时反而说零假设正 确的错误，称为第二类错误（ type II error）。在本部分的假设检验问 题中，由于备选假设不是一个点， 所以无法算出犯第二类错误的概率。
a 并不一定越小越好，因为这很可能导致 不容易拒绝零假设，使得犯第二类错误的 概率增大。 • 当 p- 值小于或等于 a 时，就拒绝零假设。 所以， a 是所允许的犯第一类错误概率的 最大值。当 p- 值小于或等于 a 时，就说这 个检验是显著的。 • 无论统计学家用多大的 a 作为显著性水平 都不能脱离实际问题的背景。统计显著不 一定等价于实际显著。反过来也一样。
• 在多数统计教科书中(除理 论探讨外)假设检验都是以 否定原假设为目标。 • 如否定不了，说明证据不足， 无法否定原假设。但不能说 明原假设正确。 • 就像一两次没有听过他骂人 还远不能证明他从来没有骂 过人。
1 假设检验的过程和逻辑
• 先要提出个原假设，比如某正态总体 的均值等于 5(m=5) 。这种原假设也称 为零假设(null hypothesis)，记为H0。 • 与此同时必须提出备选假设(或称为备 择假设， alternative hypothesis) ，比 如总体均值大于5（m>5）。备选假设 记为H1或Ha。形式上，这个关于总体 均值的H0相对于H1的检验记为
• 有了两个假设，就要根据数据来对它 们进行判断。 • 数据的代表是作为其函数的统计量； 它在检验中被称为检验统计量（ test statistic）。 • 根据零假设 （不是备选假设！），可 得到该检验统计量的分布；再看这个 统计量的数据实现值（ realization ） 属不属于小概率事件。
• 也就是说把数据代入检验统计量 , 看其值是否落入零假设下的小概 率范畴； • 如果的确是小概率事件，那么就 有可能拒绝零假设，或者说“该 检验显著，” • 否则说“没有足够证据拒绝零假 设”，或者“该检验不显著。”
• 注意：在我们所涉及的问题中，零假 设和备选假设在假设检验中并不对称。 • 因检验统计量的分布是从零假设导出 的，因此，如果发生矛盾，就对零假 设不利了。 • 不发生矛盾也不能说明零假设没有问 题。
பைடு நூலகம்
• 反过来，如果要证明这个人 骂过人很容易，只要有一次 被抓住就足够了。 • 看来，企图肯定什么事物很 难，而否定却要相对容易得 多。这就是假设检验背后的 哲学。 • 科学总往往是在否定中发展
• 在假设检验中，一般要设立 一个原假设（上面的“从来 没骂过人”就是一个例子）； • 而设立该假设的动机主要是 企图利用人们掌握的反映现 实世界的数据来找出假设与 现实之间的矛盾，从而否定 这个假设。
• 零假设和备选假设哪一个正确，是确 定性的，没有概率可言。而可能犯错 误的是人。 • 涉及假设检验的犯错误的概率就是犯 第一类错误的概率和犯第二类错误的 概率。 • 负责任的态度是无论做出什么决策， 都应该给出该决策可能犯错误的概率。
• 到底p-值是多小时才能够拒绝零假设呢？ 也就是说，需要有什么是小概率的标准。 • 这要看具体应用的需要。但在一般的统计 书和软件中，使用最多的标准是在零假设 下（或零假设正确时）根据样本所得的数 据来拒绝零假设的概率应小于 0.05，当然 也可能是0.01，0.005，0.001等等。 • 这种事先规定的概率称为显著性水平 (significant level)，用字母a来表示。