总体参数的假设检验.
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六、总体参数的假设检验
• 如果一个人说他从来没有骂过人。 他能够证明吗？ • 要证明他没有骂过人，他必须出 示他从小到大每一时刻的录音录 像，所有书写的东西等等，还要 证明这些物证是完全的、真实的、 没有间断的。这简直是不可能的。 • 即使他找到一些证人，比如他的 同学、家人和同事，那也只能够 证明在那些证人在场的某些片刻， 他没有被听到骂人。
• 在多数统计教科书中(除理 论探讨外)假设检验都是以 否定原假设为目标。 • 如否定不了，说明证据不足， 无法否定原假设。但不能说 明原假设正确。 • 就像一两次没有听过他骂人 还远不能证明他从来没有骂 过人。
1 假设检验的过程和逻辑
• 先要提出个原假设，比如某正态总体 的均值等于 5(m=5) 。这种原假设也称 为零假设(null hypothesis)，记为H0。 • 与此同时必须提出备选假设(或称为备 择假设， alternative hypothesis) ，比 如总体均值大于5（m>5）。备选假设 记为H1或Ha。形式上，这个关于总体 均值的H0相对于H1的检验记为
• 在统计软件输出 p- 值的位置，有的用“ pvalue”，有的用significant的缩写“Sig”就 是这个道理。 • 根据数据产生的 p- 值来减少 a 的值以展示 结果的精确性总是没有害处的。 • 这好比一个身高 180 厘米的男生，可能愿 意被认为高于或等于 180 厘米，而不愿意 说他高于或等于 155 厘米，虽然这第二种 说法数学上没有丝毫错误。
a 并不一定越小越好，因为这很可能导致 不容易拒绝零假设，使得犯第二类错误的 概率增大。 • 当 p- 值小于或等于 a 时，就拒绝零假设。 所以， a 是所允许的犯第一类错误概率的 最大值。当 p- 值小于或等于 a 时，就说这 个检验是显著的。 • 无论统计学家用多大的 a 作为显著性水平 都不能脱离实际问题的背景。统计显著不 一定等价于实际显著。反过来也一样。
• 实际上，多数计算机软件仅仅给出 p-值， 而不给出a。这有很多方便之处。 • 比 如 a=0.05 ， 而 假 定 所 得 到 的 p- 值 等 于 0.001。这时如果采用p-值作为新的显著性 水平，即新的 a=0.001 ，于是就可以说， 在显著性水平为0.001时，拒绝零假设。 • 这样，拒绝零假设时犯错误的概率实际只 是千分之一而不是旧的 a 所表明的百分之 五。在这个意义上，p-值又称为观测的显 著性水平（observed significant level）。
• • • • • • •
归纳起来，假设检验的逻辑步骤为： 1. 写出零假设和备选假设； 2. 确定检验统计量； 3. 确定显著性水平a； 4. 根据数据计算检验统计量的实现值； 5. 根据这个实现值计算p-值； 6. 进行判断：如果 p-值小于或等于 a ，就 拒绝零假设，这时犯（第一类）错误的概 率最多为a；如果p-值大于a，就不拒绝零 假设，因为证据不足。
• 零假设和备选假设哪一个正确，是确 定性的，没有概率可言。而可能犯错 误的是人。 • 涉及假设检验的犯错误的概率就是犯 第一类错误的概率和犯第二类错误的 概率。 • 负责任的态度是无论做出什么决策， 都应该给出该决策可能犯错误的概率。
• 到底p-值是多小时才能够拒绝零假设呢？ 也就是说，需要有什么是小概率的标准。 • 这要看具体应用的需要。但在一般的统计 书和软件中，使用最多的标准是在零假设 下（或零假设正确时）根据样本所得的数 据来拒绝零假设的概率应小于 0.05，当然 也可能是0.01，0.005，0.001等等。 • 这种事先规定的概率称为显著性水平 (significant level)，用字母a来表示。
• 也就是说把数据代入检验统计量 , 看其值是否落入零假设下的小概 率范畴； • 如果的确是小概率事件，那么就 有可能拒绝零假设，或者说“该 检验显著，” • 否则说“没有足够证据拒绝零假 设”，或者“该检验不显著。”
• 注意：在我们所涉及的wenku.baidu.com题中，零假 设和备选假设在假设检验中并不对称。 • 因检验统计量的分布是从零假设导出 的，因此，如果发生矛盾，就对零假 设不利了。 • 不发生矛盾也不能说明零假设没有问 题。
• 反过来，如果要证明这个人 骂过人很容易，只要有一次 被抓住就足够了。 • 看来，企图肯定什么事物很 难，而否定却要相对容易得 多。这就是假设检验背后的 哲学。 • 科学总往往是在否定中发展
• 在假设检验中，一般要设立 一个原假设（上面的“从来 没骂过人”就是一个例子）； • 而设立该假设的动机主要是 企图利用人们掌握的反映现 实世界的数据来找出假设与 现实之间的矛盾，从而否定 这个假设。
H0 : m 5 H1 : m 5
• 备选假设应该按照实际世界所代表的 方向来确定，即它通常是被认为可能 比零假设更符合数据所代表的现实。 • 比如上面的 H1 为 m>5 ；这意味着，至 少样本均值应该大于5； • 至于是否显著，依检验结果而定。 • 检验结果显著 (significant) 意味着有理 由拒绝零假设。因此，假设检验也被 称为显著性检验(significant test)。
• 有了两个假设，就要根据数据来对它 们进行判断。 • 数据的代表是作为其函数的统计量； 它在检验中被称为检验统计量（ test statistic）。 • 根据零假设 （不是备选假设！），可 得到该检验统计量的分布；再看这个 统计量的数据实现值（ realization ） 属不属于小概率事件。
• 在零假设下，检验统计量取其实现值 及（沿着备选假设的方向）更加极端 值的概率称为p-值（p-value）。 • 如果得到很小的 p- 值，就意味着在零 假设下小概率事件发生了。 • 如果小概率事件发生，是相信零假设， 还是相信数据呢？ • 当然多半是相信数据，拒绝零假设。
• 但小概率并不能说明不会发生，仅 仅发生的概率很小罢了。拒绝正确 零假设的错误常被称为第一类错误 （type I error）。 • 在备选假设正确时反而说零假设正 确的错误，称为第二类错误（ type II error）。在本部分的假设检验问 题中，由于备选假设不是一个点， 所以无法算出犯第二类错误的概率。
• 如果一个人说他从来没有骂过人。 他能够证明吗？ • 要证明他没有骂过人，他必须出 示他从小到大每一时刻的录音录 像，所有书写的东西等等，还要 证明这些物证是完全的、真实的、 没有间断的。这简直是不可能的。 • 即使他找到一些证人，比如他的 同学、家人和同事，那也只能够 证明在那些证人在场的某些片刻， 他没有被听到骂人。
• 在多数统计教科书中(除理 论探讨外)假设检验都是以 否定原假设为目标。 • 如否定不了，说明证据不足， 无法否定原假设。但不能说 明原假设正确。 • 就像一两次没有听过他骂人 还远不能证明他从来没有骂 过人。
1 假设检验的过程和逻辑
• 先要提出个原假设，比如某正态总体 的均值等于 5(m=5) 。这种原假设也称 为零假设(null hypothesis)，记为H0。 • 与此同时必须提出备选假设(或称为备 择假设， alternative hypothesis) ，比 如总体均值大于5（m>5）。备选假设 记为H1或Ha。形式上，这个关于总体 均值的H0相对于H1的检验记为
• 在统计软件输出 p- 值的位置，有的用“ pvalue”，有的用significant的缩写“Sig”就 是这个道理。 • 根据数据产生的 p- 值来减少 a 的值以展示 结果的精确性总是没有害处的。 • 这好比一个身高 180 厘米的男生，可能愿 意被认为高于或等于 180 厘米，而不愿意 说他高于或等于 155 厘米，虽然这第二种 说法数学上没有丝毫错误。
a 并不一定越小越好，因为这很可能导致 不容易拒绝零假设，使得犯第二类错误的 概率增大。 • 当 p- 值小于或等于 a 时，就拒绝零假设。 所以， a 是所允许的犯第一类错误概率的 最大值。当 p- 值小于或等于 a 时，就说这 个检验是显著的。 • 无论统计学家用多大的 a 作为显著性水平 都不能脱离实际问题的背景。统计显著不 一定等价于实际显著。反过来也一样。
• 实际上，多数计算机软件仅仅给出 p-值， 而不给出a。这有很多方便之处。 • 比 如 a=0.05 ， 而 假 定 所 得 到 的 p- 值 等 于 0.001。这时如果采用p-值作为新的显著性 水平，即新的 a=0.001 ，于是就可以说， 在显著性水平为0.001时，拒绝零假设。 • 这样，拒绝零假设时犯错误的概率实际只 是千分之一而不是旧的 a 所表明的百分之 五。在这个意义上，p-值又称为观测的显 著性水平（observed significant level）。
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归纳起来，假设检验的逻辑步骤为： 1. 写出零假设和备选假设； 2. 确定检验统计量； 3. 确定显著性水平a； 4. 根据数据计算检验统计量的实现值； 5. 根据这个实现值计算p-值； 6. 进行判断：如果 p-值小于或等于 a ，就 拒绝零假设，这时犯（第一类）错误的概 率最多为a；如果p-值大于a，就不拒绝零 假设，因为证据不足。
• 零假设和备选假设哪一个正确，是确 定性的，没有概率可言。而可能犯错 误的是人。 • 涉及假设检验的犯错误的概率就是犯 第一类错误的概率和犯第二类错误的 概率。 • 负责任的态度是无论做出什么决策， 都应该给出该决策可能犯错误的概率。
• 到底p-值是多小时才能够拒绝零假设呢？ 也就是说，需要有什么是小概率的标准。 • 这要看具体应用的需要。但在一般的统计 书和软件中，使用最多的标准是在零假设 下（或零假设正确时）根据样本所得的数 据来拒绝零假设的概率应小于 0.05，当然 也可能是0.01，0.005，0.001等等。 • 这种事先规定的概率称为显著性水平 (significant level)，用字母a来表示。
• 也就是说把数据代入检验统计量 , 看其值是否落入零假设下的小概 率范畴； • 如果的确是小概率事件，那么就 有可能拒绝零假设，或者说“该 检验显著，” • 否则说“没有足够证据拒绝零假 设”，或者“该检验不显著。”
• 注意：在我们所涉及的wenku.baidu.com题中，零假 设和备选假设在假设检验中并不对称。 • 因检验统计量的分布是从零假设导出 的，因此，如果发生矛盾，就对零假 设不利了。 • 不发生矛盾也不能说明零假设没有问 题。
• 反过来，如果要证明这个人 骂过人很容易，只要有一次 被抓住就足够了。 • 看来，企图肯定什么事物很 难，而否定却要相对容易得 多。这就是假设检验背后的 哲学。 • 科学总往往是在否定中发展
• 在假设检验中，一般要设立 一个原假设（上面的“从来 没骂过人”就是一个例子）； • 而设立该假设的动机主要是 企图利用人们掌握的反映现 实世界的数据来找出假设与 现实之间的矛盾，从而否定 这个假设。
H0 : m 5 H1 : m 5
• 备选假设应该按照实际世界所代表的 方向来确定，即它通常是被认为可能 比零假设更符合数据所代表的现实。 • 比如上面的 H1 为 m>5 ；这意味着，至 少样本均值应该大于5； • 至于是否显著，依检验结果而定。 • 检验结果显著 (significant) 意味着有理 由拒绝零假设。因此，假设检验也被 称为显著性检验(significant test)。
• 有了两个假设，就要根据数据来对它 们进行判断。 • 数据的代表是作为其函数的统计量； 它在检验中被称为检验统计量（ test statistic）。 • 根据零假设 （不是备选假设！），可 得到该检验统计量的分布；再看这个 统计量的数据实现值（ realization ） 属不属于小概率事件。
• 在零假设下，检验统计量取其实现值 及（沿着备选假设的方向）更加极端 值的概率称为p-值（p-value）。 • 如果得到很小的 p- 值，就意味着在零 假设下小概率事件发生了。 • 如果小概率事件发生，是相信零假设， 还是相信数据呢？ • 当然多半是相信数据，拒绝零假设。
• 但小概率并不能说明不会发生，仅 仅发生的概率很小罢了。拒绝正确 零假设的错误常被称为第一类错误 （type I error）。 • 在备选假设正确时反而说零假设正 确的错误，称为第二类错误（ type II error）。在本部分的假设检验问 题中，由于备选假设不是一个点， 所以无法算出犯第二类错误的概率。