第三章 热平衡时非简并半导体载流子浓度

2
电子态数变化dZ(E)：
2V dV 2V 2 dZ 4k dk 3 3 (2 ) (2 )
2mn 3 / 2 1/ 2 dZ ( E ) 4V ( 2 ) E (k ) Ec dE h
导带底附近单位能量间隔的电子态数— 量子态（状态）密度为：
*
2mn 3 / 2 dZ 1/ 2 gc (E) 4V ( 2 ) E (k ) Ec dE h
称mdn导带电子的状态密度有效质量
由此可知：
状态密度gC（E）和gV（E）
与能量E
有抛物线关系，
还与有效质量有关，
有效质量大的能带中的状态
密度大。
§3.4 热平衡时非简并半导体的 载流子浓度no和po
一、导带电子浓度no和价带空穴浓度po
1. 电子浓度 no
在能量 E→E+dE 间隔内的电子数 dN 为：
(2)f(E)与 EF 有关
EF↑，f(E)↑，能带中的电子占有几率增加
EF
EF EF EA EF EF
Ec
Ei
EV
（a）
（b ）
（c）
（d）
（e）
强p型
p型
本征
n型
强n型
费米能级位置标志着电子填充能级水平的高低。
EF 的意义:
EF 的位置比较直观地反映了 电子占据电子态的情况。即标志 了电子填充能级的水平。 EF 越高，说明有较多的能量较高 的电子态上有电子占据。
c
式中 Ec 为导带顶的能量
若晶体的体积为 V，那么电子的浓度为：
Ec '
N n V
Ec
f ( E ) g ( E )dE
c
V
空穴占据能量 E 的几率为：1－f(E) 空穴的浓度 p 为：
EV
p
＇
EV '
1 f ( E )g
V
V
( E )dE
式中 Ev 为价带底的能量
gV(E)为价带中单位能量间隔含有的状
●电子是按什么规律分布在这些能 量状态的？
假设：导带中单位能量间隔含有 的状态数为 gc(E)—导带的状 态密度
能量为 E 的每个状态被电子占 有的几率为 f(E)
则在能量 dE 内的状态具有 的电子数为：f(E)gc(E)dE
整个导带的电子数 N 为：
N
＇
Ec '
Ec
f ( E ) g ( E )dE
1 f (E) e
1
E EF kT

1
1 e
EF E kT
1
E kT
当 EF－E＞＞kT 时，
1 f (E) e
EF E kT
Be
E↑，空穴占有几率增加；EF↑，空穴占
有几率下降，即电子填充水平增高。
服从Boltzmann分布的电子系统
相应的半导体
非简并系统 非简并半导体
1 f (E) e
1
E EF kT
1
—空穴的费米分布函数
2.在杂质能级 EA 和 ED
杂质能级最多只容纳一个某个自旋方向的电子。
电子占据 ED 的几率： f ( ED ) 空穴占据 EA 的几率：
1 1 e 2
ED EF kT
1
f p (EA )
1 1 e 2
E A EF kT
电子的一个允许能量状态的代表点
· · · · -4/L -2/L 0 2/L
· 4/L
k
2. 三维晶体
设晶体的边长为L，L=N×a， 体积为V=L3
K空间中的状态分布
kz
电子的一 个允许能 量状态的 代表点
kx
• • •
• • • • • • • • • • • • •• •• • • • • • • • • • • • •
二、玻尔兹曼分布
1.电子的玻氏分布
E EF 当 E－EF＞＞kT 时， kT ＞＞1
e
f (E) e
1
E EF kT
≈
1
e
E EF ( ) kT
Ae
E ( ) kT
f B (E)
—玻尔兹曼分布
例如：E－EF=5kT 时，
f (E) e 1
E EF kT
1
1 5 0.006693 e 1
∴ 电子浓度no：
3/ 2
e

Ec E F kT
2k Tmdn no N / V 2 2 h
3/ 2
e
Ec E F kT
电子占据导带底Ec 的几率
令：
2k Tmdn Nc 2 2 h
3/ 2
—— 导带的有效状态密度
Ec EF kT
在室温时：
Nc(cm-3) Si Ge GaAs 2.8×1019 1.04×1019 4.7×1017 Nv(cm-3) 1.2×1019 6.1×1018 7×1018
no N c e
po NV e
Ec EF kT
EF EV kT
二、影响no 和po 的因素
1. mdn 和 mdp 的影响 — 材料的影响 2. 温度的影响
● NC 、 NV ～ T ● f(EC) 、 f(EV) ～T
●
●
ED
Ec
产生
复合
Ev
○ ○
在一定温度 T 下，载流子的产生过程 与复合过程之间处于动态 的平衡， 这种状态就叫热平衡状态。
二、热平衡时载流子浓度
处于热平衡状态的载流子n0和p0称为热平衡 载流子。数值保持一定，其浓度决定于：
●允许电子存在的量子态是如何按能 量分布的，或者说每一个能量 E 有多 少允许电子存在的量子态？
导带底附近的状态密度为：
2 dZ gc (E) 4VS dE
3/ 2
( mx m y mz ) h3
*
*
* 1/ 2
E (k ) Ec1/ 2
式中S为导带极小值的个数 Si：S=6，Ge：S=4
令：
mdn S
2/3
( mx m y mz )
*
*
* 1/ 3
2mdn 3 / 2 1/ 2 g c ( E ) 4V ( 2 ) E (k ) Ec h
no N c e
导带中的电子浓度是 Nc 中有电子占据的 量子态数。
2. 空穴浓度po
价带中的空穴浓度为：
EF EV kT
po NV e
其中
2k Tmdp NV 2 h2
3/ 2
—— 价带的有效状态密度
价带中的空穴浓度等于 Nv 中有空穴占据的 量子态数。
第三章 热平衡态下半导体 载流子的统计分布
●热平衡 ●热平衡时非简并半导体载流子浓度的计算 ●本征半导体载流子浓度的计算 ●杂质半导体载流子浓度的计算 ●简并半导体载流子浓度的计算
§3.1 热平衡状态
一、热平衡
在一定的温度下，存在：
产生载流子过程—电子从价带或杂质 能级向导带跃迁
复合过程—电子从导带回到价带或 杂质能级上
3/ 2
EV E
*
1/ 2
4V (
4V
2
3/ 2
(m
h
p
2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
)
3/ 2
EV E
1/ 2
*
)h
3/ 2
(m p )l
3/ 2
h
3
E
V
E
1/ 2
令：
mdp (m p ) h
gV ( E ) 4V (

*
3/ 2
(m )
2
* 3/ 2 2 / 3 p l
f B ( E ) e 0.006739
5
本征 Si:
( EF )本征 Ei ( Ei为禁带中心能级）
Eg 1.12ev
Ec EF Ec Ei 0.56ev
在室温时，kT=0.026eV 0.56/0.026=21.6＞＞5
所以，导带底电子满足玻尔兹曼统计规律。
2.空穴的玻氏分布
任意k空间体积 V V 中所包含的电子态数为： 2VV
1
(2 )
3
波矢k ～ 电子状态的关系 能量E~波矢k
能量E ～ 电子状态的关系
二、半导体导带底附近和价带顶附近的 状态密度
1. 极值点 k0=0，E(k)为球形等能面 (1) 导带底
h 2 2 2 E (k ) Ec (k x k y k z ) * 2mn
E EF kT 满足： 或E F E kT
服从Fermi分布的电子系统
简并系统 相应的半导体 简并半导体
§3.3 状态密度
状态密度 – 能带中能量 E－ E+dE 之间有 dZ 个量子 态，则状态密度为：
dZ g (E) = dE
– 即状态密度是能带中能量 E 附近单位能 量间隔内的量子态数目
态数—价带的状态密度
§3.2 热平衡态时电子在量 子态上的分布几率
一、费米分布函数和费米能级
1.在导带和价带
能带中的能级可容纳自旋相反的两个电子
电子占据能量 E 的量子态的几率 1 f ( E ) E EF —费米分布函数 e kT 1
式中 EF 具有能量量纲，称为费米能级。
没有被电子占有的几率为：
a
x x+L
L=a×N
在 x 和 x+L 处，电子的波函数分别为φ(x) 和 φ(x+L)
φ(x)=φ(x+L)
e ikx u ( x) e ik ( x L )u ( x L) u ( x) u ( x L) e
ikx
e
ik ( x L )
e ikL e ikNa 1 cos k L 1 k L 2n (n 0,1,2 ) 2n k L 2 4 k 0, , L L
1
3.f(E)的特点
(1)f(E)与温度 T 有关
f (E) e 1
E EF kT
f ( ED )
1
1 1 e 2
ED EF kT
1
T=0K
E＞EF： f(E)=0 E＜EF：f(E)=1
∴ EF 在禁带中
T＞0K
f (E)
T=0K
E＞EF： f(E)＜1/2 E＜EF：f(E)＞1/2 E=EF： f(E)=1/2
状态密度的计算
– K 空间的状态密度——k 空间单位体积内 的量子态数
如何计算：
能量间隔 dE 对应的 k 空间体积 能量间隔 dE 对应的量子态数 dZ 计算状态密度 g (E)
一、理想晶体的 k 空间的状态密度
1.一维晶体 设它由 N+1 个原子组成，晶格常数为 a， 晶体的长为 L，起点在 x 处

2mdp h
)
3/ 2
EV E
1/ 2
称mdp为价带空穴的状态密度有效质量
2. 极值点ko≠0
导带底附近：
2 2 2 k k k z k zo h k x k xo y yo E (k ) Ec * * * 2 my mz mx 2
2
球形等能面的半径 k
2mn E (k ) Ec k 2 h
*
1/ 2
球所占的 k 空间的体积为：
4 3 V k 3
设这个球内所包含的电子态数为Z(E)：
Z(E)= 2V/(2)3×V
能量由 E 增加到 E+dE，k 空间体积增加：
dV 4k dk
dN=fB(E)gc(E)dE
整个导带的电子数N为：
N e
Ec
Ec
E EF kT
2mdn 3 / 2 1/ 2 4V ( 2 ) E (k ) Ec dE h
引入：
E Ec x kT

利用积分公式：
x
0
1/ 2 x
e dx

2
2k Tmdn N 2V 2 h
ky
• • • • • • • • • • • • • •
• • • • • •
•
• • • •
ky
小立方的体积为：
2 2 2 (2 ) L L L V
3
一个允许电子存在的状 态在 k 空间所占的体积
单位 k 空间允许的状态数为：
V 3 (2 ) (2 )3 V
单位k空间体积内所含的允许状态数 等于晶体体积 V/(2)3 －－k 空间的量子态（状态）密度 考虑自旋，k空间的电子态密度为：2V/(2)3
*
(2)价带顶
gV ( E ) 4V (
E
2m p h
2
*
)
3/ 2
EV E (k )
1/ 2
1
Ec
Ev
gc(E)
gv(E) 2
状态密度与能量的关系
对Si、Ge、GaAs材料：
gv(E)=gvh(E)+gvl(E)
4V ( 2(m p ) h h * 2(m p )l
2 *
)
1/2
T↑
E＞EF： f(E)↑ E＜EF：f(E)↓
f (E) e 1
E EF kT
T2>T1
T1 T2 E
EF
1
例：量子态的能量 E 比 EF 高或低 5kT
当 E－EF 5 kT 时： f (E) 0.007
当 E－EF －5 kT 时： f (E) 0.993 温度不很高时: 能量大于 EF 的量子态基本没有被电子占据 能量小于 EF 的量子态基本为电子所占据 电子占据 EF 的概率在各种温度下总是 1/2