离散化方法
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D2(z) 两个根分别为：
z1,2 =0.9541 j0.0841=0.95780.0879
均位于单位圆内
稳态增益不变
D(s)
s 0
1
1 D1 ( z) z 1 1 1 2.8 2.8 0.01 D2 ( z) z 1 1 1 2.08 1.09
单位阶跃响应
1 脉冲响应不变法（Z变换法）
1)．设计原理
基本思想：数字滤波器产生的脉冲响应序列近似等于模拟 滤波器的脉冲响应函数的采样值。
D( z ) u (kT )
i 1 n
Ai 1 e
aiT
z
1
D( s)
设模拟控制器的传递函数为
n Ai U ( s) D( s ) E ( s) i 1 s ai
在单位脉冲作用下输出响应为 u (t ) L1 D( s) 其采样值为
ai t A e i i 1
n
u (kT )
ai kT A e i i 1
n
例 已知模拟控制器 D( s) a
sa
，求数字控制器D(z)。
a
解：
D( z ) D( s ) 1 e aT z 1
控制算法为： u(k ) ae(k ) e aT u(k 1)
2)．脉冲响应不变法特点
D(z)与D(s)的脉冲响应相同。 若D(s)稳定，则D(z)也稳定。 D(z)不能保持D(s)的频率响应。 D(z)将 ωs的整数倍频率变换到 Z平面上的同一个点的频率，因而出现了 混叠现象。 其应用范围是：连续控制器 D(s)应具有部分分式结构或能较容易地分解 为并联结构。D(s)具有陡衰减特性，且为有限带宽信号的场合。这时采 样频率足够高，可减少频率混叠影响，从而保证D(z)的频率特性接近原 连续控制器D(s)。
1
z2 1 2.8 z 2.8 z 2
当T=0.1s时，a=2.08，b=1.09， D2 ( z )
百度文库
0.01z 2 1 2.08 z 1.09 z 2
分析所得结果可知： 可以判断，环节稳定性不变。 D(s) 是稳定的；D1(z) 两个根分别为：
z1,2 =0.5000 j0.3273 =0.597580.5796
3.差分变换法
1).一阶向后差分
基本思想：将连续域中的微分用一阶向后差分替换
D( z ) D( s)
1 z 1 T
s
•对于给定
D( s )
U (s) 1 E ( s) s
•其微分方程为 du (t ) / dt e(t ), u (t )
e(t )dt
0
t
•用一阶向后差分代替微分，则 du(t ) / dt {u(kT ) u[(k 1)T ]}/ T
---频率响应特性。
•离散化方法很多
数值积分法（置换法） ---一阶向后差法 ---一阶向前差法 ---双线性变换法 ---修正双线性变换法 零极点匹配法 保持器等价法 z变换法(脉冲响应不变法) •
• • •
注意：不同的离散化方法特性不同. D(z)与D(s)相比，并不能 保持全部特性，并且不同特性的接近程度也不一致。
2
•当=0 （s平面虚轴），s平面虚轴映射到z平面为该小圆的 圆周。 •当> 0（s右半平面），映射到z平面为上述小圆的外部。 •当< 0（s左半平面），映射到z平面为上述小圆的内部。
若D(s)稳定，则D(z)一定稳定。 离散后控制器的时间响应与频率响应，与连续控制器相比有 相当大的畸变。 变换前后，稳态增益不变。 D(s)
1 ( s 2 0.8s 1)
s (1 z 1 )/ T
1 [(1 z 1 )2 / T 2 0.8(1 z 1 ) / T 1] T 2 z2 1 az bz 2 , a 2 0.8T , b 1 0.8T T 2
当T=1s时，a=2.8，b=2.8， D ( z )
1
1 z 1 sT
• 一阶向后差分替换关系是z与s变量关系的一种近似
z e
sT
1 e sT
1 1 sT
1 z 1 s T
主要特性
s平面与z平面映射关系
1 1 1 (1 Ts) z 1 Ts 2 2 (1 Ts)
s j
1 1 (1 T )2 (T )2 z 2 4 (1 T )2 (T )2
2.阶跃响应不变法（加零阶保持器的Z变换法）
基本思想：用零阶保持器与模拟控制器串联，然后再进行 Z变换离散化成数字控制器
1 e Ts D( z ) D( s ) s
若D(s)稳定，则D(z)也稳定。 D(z)不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应。 零阶保持器是假想的，没有物理的零阶保持器。
u (kT ) u[(k 1)T ] Te(kT )
•两边取Z变换得
U ( z) z 1U ( z) TE( z )
D( z) U ( z) / E( z) T /(1 z 1 )
•可以看出，D(z)与D(s)的形式完全相同
s与z之间的变换关系
s (1 z ) / T
s 0
D( z)
z 1
应用
•变换较为方便。 •采样周期较大时，这种变换的映射关系畸变较为 严重，变换精度较低，工程应用受到限制。
例 解
已知 D(s)
1 s 2 0.8s 1
， T=1s、0.1s，试用
一阶向后差分法离散。
D( z ) D( s )
s (1 z 1 )/ T
模拟控制器的离散化方法
模拟控制器离散化成的数字控制器，也可以认为是数字滤波器
离散化法的实质就是求原连续传递函数D(s)的等效离散传递 函数D(z) 。
“等效”是指D(s)与D(z)在下述几种特性方面具有相近性：
---零极点个数；
---系统的频带； ---稳态增益；
---相位及增益裕度；
---阶跃响应或 脉冲响应形状；
z1,2 =0.9541 j0.0841=0.95780.0879
均位于单位圆内
稳态增益不变
D(s)
s 0
1
1 D1 ( z) z 1 1 1 2.8 2.8 0.01 D2 ( z) z 1 1 1 2.08 1.09
单位阶跃响应
1 脉冲响应不变法（Z变换法）
1)．设计原理
基本思想：数字滤波器产生的脉冲响应序列近似等于模拟 滤波器的脉冲响应函数的采样值。
D( z ) u (kT )
i 1 n
Ai 1 e
aiT
z
1
D( s)
设模拟控制器的传递函数为
n Ai U ( s) D( s ) E ( s) i 1 s ai
在单位脉冲作用下输出响应为 u (t ) L1 D( s) 其采样值为
ai t A e i i 1
n
u (kT )
ai kT A e i i 1
n
例 已知模拟控制器 D( s) a
sa
，求数字控制器D(z)。
a
解：
D( z ) D( s ) 1 e aT z 1
控制算法为： u(k ) ae(k ) e aT u(k 1)
2)．脉冲响应不变法特点
D(z)与D(s)的脉冲响应相同。 若D(s)稳定，则D(z)也稳定。 D(z)不能保持D(s)的频率响应。 D(z)将 ωs的整数倍频率变换到 Z平面上的同一个点的频率，因而出现了 混叠现象。 其应用范围是：连续控制器 D(s)应具有部分分式结构或能较容易地分解 为并联结构。D(s)具有陡衰减特性，且为有限带宽信号的场合。这时采 样频率足够高，可减少频率混叠影响，从而保证D(z)的频率特性接近原 连续控制器D(s)。
1
z2 1 2.8 z 2.8 z 2
当T=0.1s时，a=2.08，b=1.09， D2 ( z )
百度文库
0.01z 2 1 2.08 z 1.09 z 2
分析所得结果可知： 可以判断，环节稳定性不变。 D(s) 是稳定的；D1(z) 两个根分别为：
z1,2 =0.5000 j0.3273 =0.597580.5796
3.差分变换法
1).一阶向后差分
基本思想：将连续域中的微分用一阶向后差分替换
D( z ) D( s)
1 z 1 T
s
•对于给定
D( s )
U (s) 1 E ( s) s
•其微分方程为 du (t ) / dt e(t ), u (t )
e(t )dt
0
t
•用一阶向后差分代替微分，则 du(t ) / dt {u(kT ) u[(k 1)T ]}/ T
---频率响应特性。
•离散化方法很多
数值积分法（置换法） ---一阶向后差法 ---一阶向前差法 ---双线性变换法 ---修正双线性变换法 零极点匹配法 保持器等价法 z变换法(脉冲响应不变法) •
• • •
注意：不同的离散化方法特性不同. D(z)与D(s)相比，并不能 保持全部特性，并且不同特性的接近程度也不一致。
2
•当=0 （s平面虚轴），s平面虚轴映射到z平面为该小圆的 圆周。 •当> 0（s右半平面），映射到z平面为上述小圆的外部。 •当< 0（s左半平面），映射到z平面为上述小圆的内部。
若D(s)稳定，则D(z)一定稳定。 离散后控制器的时间响应与频率响应，与连续控制器相比有 相当大的畸变。 变换前后，稳态增益不变。 D(s)
1 ( s 2 0.8s 1)
s (1 z 1 )/ T
1 [(1 z 1 )2 / T 2 0.8(1 z 1 ) / T 1] T 2 z2 1 az bz 2 , a 2 0.8T , b 1 0.8T T 2
当T=1s时，a=2.8，b=2.8， D ( z )
1
1 z 1 sT
• 一阶向后差分替换关系是z与s变量关系的一种近似
z e
sT
1 e sT
1 1 sT
1 z 1 s T
主要特性
s平面与z平面映射关系
1 1 1 (1 Ts) z 1 Ts 2 2 (1 Ts)
s j
1 1 (1 T )2 (T )2 z 2 4 (1 T )2 (T )2
2.阶跃响应不变法（加零阶保持器的Z变换法）
基本思想：用零阶保持器与模拟控制器串联，然后再进行 Z变换离散化成数字控制器
1 e Ts D( z ) D( s ) s
若D(s)稳定，则D(z)也稳定。 D(z)不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应。 零阶保持器是假想的，没有物理的零阶保持器。
u (kT ) u[(k 1)T ] Te(kT )
•两边取Z变换得
U ( z) z 1U ( z) TE( z )
D( z) U ( z) / E( z) T /(1 z 1 )
•可以看出，D(z)与D(s)的形式完全相同
s与z之间的变换关系
s (1 z ) / T
s 0
D( z)
z 1
应用
•变换较为方便。 •采样周期较大时，这种变换的映射关系畸变较为 严重，变换精度较低，工程应用受到限制。
例 解
已知 D(s)
1 s 2 0.8s 1
， T=1s、0.1s，试用
一阶向后差分法离散。
D( z ) D( s )
s (1 z 1 )/ T
模拟控制器的离散化方法
模拟控制器离散化成的数字控制器，也可以认为是数字滤波器
离散化法的实质就是求原连续传递函数D(s)的等效离散传递 函数D(z) 。
“等效”是指D(s)与D(z)在下述几种特性方面具有相近性：
---零极点个数；
---系统的频带； ---稳态增益；
---相位及增益裕度；
---阶跃响应或 脉冲响应形状；