布洛赫定理 近自由电子近似-山东大学固体物理

(3) Tˆ (Rn)eikRn
设 T ˆ(R n)对 应 的(本 R n)， 征 则 值 有 为
T ˆ ( R n )( r )
根据平移特点
T ˆ ( R n ) T ˆ ( n 1 a 1 n 2 a 2 n 3 a 3 ) T ˆ ( n 1 a 1 ) T ˆ ( n 2 a 2 ) T ˆ ( n 3 a 3 )
a ib j 2πij
,
(Rn)eikRn
(r R n ) e ik R n (r ) ---布洛赫定理
再证明布洛赫波函数具有如下形式：
k r eik r u k r
u k r u k r R n
可以看出平面波 eikr能满足上式。因此矢量 k具有波矢的
a (k K h )iK e h r h
h
则上式化为
k (r )eik r uk (r )
u k (r R n ) u k (r )
即晶体中电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波。
(r R n ) e ik R n (r ) k (r R n)2k (r )2
(a 1 )、 (a 2 )、 (a 3 ) ?
设 a 1 、 晶 a 2 、 a 3 方 体 N 1 向 、 N 在 2 、 N 3 个 各 , 原 有
由周期性边界条件
(r) (r N 1a1 )
(r) (r N 2a2 )
(r)
(r
N
3 a3
)
根据上式可得到
T ˆ N 1 a 1 ( r ) ( a 1 ) N 1( r ) ( r N 1 a 1 ) ( r )
(3) Tˆ (Rn)eikRn
(1)平移对称算符 T(Rn)
T ( R n )f( r ) f( r R n ) T 2 ( R n ) f ( r ) T ( R n ) f ( r R n ) f ( r 2 R n ) T l( R n ) f ( r ) f ( r l R n )
根据布洛赫定理波函数写成如下形式：
(a 1)、 (a 2)、 (a 3) ? u k r u k r R n
在晶格周期性势场中运动的电子的波函数是按晶格周期调
幅的平面波。具有此形式的波函数称为布洛赫波函数。
3.证明布洛赫定理
(1)引入平移对称算符 T(Rn)
(2)说明: [Tˆ,Hˆ ]0
电子在一个具有晶格周期性的势场中运动
V r Vr R n
其中 Rn为任意格点的位矢。
2m 2 2VrE
2. 布洛赫定理
当势场具有晶格周期性时，波动方程的解具有如下性质：
(r R n) e ik R n (r ),
其中 k为电子波矢，
R n n 1a 1 n 2a 2 n 3a 3是格矢。
k (r) k (r N2a2 )
T ˆ(a 1 )n 1T ˆ(a 2 )n 2T ˆ(a 3 )n 3
可得到
T ˆ ( R n ) ( r ) ( R n ) ( r ) ( a 1 ) n 1 ( a 2 ) n 2 ( a 3 ) n 3 ( r )
即 ( R n ) ( a 1 ) n 1 ( a 2 ) n 2 ( a 3 ) n 3
意义。当波矢增加一个倒格矢 Kh，平面波 ei(kKh)r 也满足上式。
因此电子的波函数一般是这些平面波的线性叠加
k ( r ) a ( k K h )i ( k e K h ) r e i k r a ( k K h )i K h r e
h
设 u k (r )
第一节 布洛赫定理
本节主要内容: 5.1.1 布洛赫定理 5.1.2 波矢的取值和范围 5.1.3 布里渊区
§5.1 布洛赫定理
5.1.1 布洛赫定理
1.晶格的周期性势场 (1)在晶体中每点势能为各个原子实在该点所产生的势能 之和； (2)每一点势能主要决定于与核较近的几个原子实(因为势 能与距离成反比)； (3)理想晶体中原子排列具有周期性，晶体内部的势场具 有周期性； (4)电子的影响：电子均匀分布于晶体中，其作用相当于在 晶格势场中附加了一个均匀的势场，而不影响晶体势场的周期性。
T ˆ ( R n ) H ˆ ( r )( r ) H ˆ ( r R n )( r R n ) H ˆ(r )T ˆ(R n)(r )
[Tˆ,Hˆ ]0
平移对称操作算符与哈密顿算符是对易的。
由于对易的算符有共同的本征函数，所以如果波函数 (r)
是 Hˆ的本征函数，那么 (r) 也一定是算符 Tˆ(Rn) 的本征函数。
可以认为电子在整个晶体中自由运动。布洛赫函数的平面
波因子描述晶体中电子的共有化运动，而周期函数的因子描述
电子在原胞中运动，这取决于原胞中电子的势场。
5.1.2 k的取值和范围
设a 晶 1 、 a 2 、 a 3 体 方N 在 向 1 、 N 2 、 N 各 3 个有 原
由周期性边界条件
k (r) k (r N1a1 )
(a1)N1 1
(a1)
i2π l1
e N1
同理可得：
(a2)
i2π l2
e N2
,
(a3)
i
e
2π
l3 N3
这样 Tˆ(Rn) 的本征值取下列形式
i2π(n1l1n2l2n3l3) N1 N2 N3
(R)e n
引入矢量 kl1b1l2b2l3b3
N1 N2 N3
式中
b1、b2、b3为晶格三个倒格基矢，由于
f(r)可V 以 (r)， 是 (r)， H ˆ(r)
(2) [Tˆ,Hˆ ]0
H ˆ 2 2 V(r) 2m
V (r )V (r R n),
在直角坐标系中：
2(r ) x22 y22 z2 2 2(r R n)
2
2
2
(xn 1a1)2(yn 2a2)2(zn 3a3)2
晶体中单电子哈密顿量 Hˆ 具有晶格周期性。