单极倒立摆系统的极点配置与状态观测器设计报告

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任务1-一级倒立摆系统的状态反馈极点配置设计

西安建筑科技大学课程设计（论文）任务书专业班级：学生姓名：指导教师（签名）：一、课程设计（论文）题目一级倒立摆系统的状态反馈极点配置设计二、本次课程设计（论文）应达到的目的（1）复习、巩固和加深所学专业基础课和专业课的理论知识，综合运用经典控制理论与现代控制理论的知识，弄清楚其相互关系，使理论知识系统化、实用化。

（2）增强学生的工程意识，联系实际问题设计，使理论与实践相结合。

（3）掌握基于状态空间分析法进行控制系统分析与综合的方法。

（4）训练利用计算机进行控制系统辅助分析与仿真的能力。

（5）掌握参数变化对系统性能影响的规律，培养灵活运用所学理论解决控制系统中各种实际问题的能力。

（6）培养分析问题、解决问题的独立工作能力，学习实验数据的分析与处理方法，学习撰写设计说明书。

三、本次课程设计（论文）任务的主要内容和要求（包括原始数据、技术参数、设计要求等）系统参数：本课程设计的被控对象采用固高公司生产的GIP-100-L型一阶倒立摆系统，系统内部各相关参数为：小车质量0.5 Kg ；摆杆质量0.2 Kg ；小车摩擦系数0.1 N/m/sec ；摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3 m ；摆杆惯量0.006 kg*m*m ；采样时间0.005秒。

设计要求：设计状态反馈控制器，使得当在小车上施加1N的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为：（1）稳定时间小于5秒（2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1 弧度设计主要内容：（1）参照相关资料，推导出系统的传递函数和状态空间方程。

（2）定量、定性分析系统的性能。

（3）设计状态反馈控制器，使得当在小车上施加1N的脉冲信号时，闭环系统的响应满足性能指标要求。

（4）对设计的系统进行仿真研究、校验与分析。

（5）设计状态观测器，讨论带有状态观测器的状态反馈系统的性能。

成果要求：书写课程设计说明书一份（6000－10000字）。

内容应包括数学模型建立，控制器设计，系统仿真过程、结果分析及结论。

电气系统综合设计实验报告直线一级倒立摆控制系统设计

电气控制系统设计——直线一级倒立摆控制系统设计学院轮机工程学院班级电气1111姓名李杰学号 36姓名韩学建学号 35成绩指导老师肖龙海2014 年 12 月 25 日小组成员与分工：韩学建主要任务：二阶系统建模与性能分析,二阶控制器的设计,二阶系统的数字仿真与调试,二阶系统的实物仿真与调试;二阶状态观测器的数字仿真与调试,二阶状态观测器的实物仿真与调试;李杰主要任务：四阶系统建模与性能分析,四阶控制器的设计,四阶系统的数字仿真与调试,四阶系统的实物仿真与调试;四阶状态观测器的数字仿真与调试,四阶状态观测器的实物仿真与调试;前言倒立摆系统是非线性、强耦合、多变量和自然不稳定的系统,倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合,其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统,可以作为一个典型的控制对象对其进行研究;倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段,为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台,以用来检验某种控制理论或方法的典型方案,促进了控制系统新理论、新思想的发展;本报告通过设计二阶、四阶两种倒立摆控制器来加深对实际系统进行建模方法的了解和掌握随动控制系统设计的一般步骤及方法;熟悉倒立摆系统的组成及基本结构并利用MATLAB对系统模型进行仿真,利用学习的控制理论对系统进行控制器的设计,并对系统进行实际控制实验,对实验结果进行观察和分析,研究调节器参数对系统动态性能的影响,非常直观的了解控制器的控制作用;目录第一章设计的目的、任务及要求倒立摆系统的基本结构 (4)设计的目的 (4)设计的基本任务 (4)设计的要求 (4)设计的步骤 (5)第二章一级倒立摆建模及性能分析微分方程的推导 (5)系统的稳定性和能控能观性分析 (11)二阶的能观性、能控性分析 (13)四阶的能观性、能控性分析 (18)第三章倒立摆系统二阶控制器、状态观测器的设计与调试设计的要求 (22)极点配置 (22)控制器仿真设计与调试 (23)状态观测器仿真设计与调试 (28)第四章倒立摆系统四阶控制器、状态观测器的设计与调试设计的要求 (26)极点配置 (26)控制器仿真设计与调试 (27)状态观测器仿真设计与调试 (28)心得体会 (31)参考文献 (31)第一章设计的目的、任务及要求倒立摆系统的基本结构与工作原理图倒立摆系统硬件框图图倒立摆系统工作原理框图倒立摆系统通过计算机、I/O卡、伺服系统、倒立摆本体和光电码盘反馈测量元件组成一个闭环系统;以直线一级倒立摆为例,其工作原理框图如图所示;图中光电码盘1由伺服电机自带,小车的位移可以根据该码盘的反馈通过换算获得,速度信号可以通过对位移的差分得到;各个摆杆的角度由光电码盘2测量并直接反馈到I/O卡,而角速度信号可以通过对角度的差分得到;计算机从I/O卡实时读取数据,确定控制决策电机的输出力矩,并发给I/O卡;I/O卡经过电控箱内部电路产生相应的控制量,驱动电机转动,使小车按控制要求进行运动,以达到控制目的;实验过程中需要了解倒立摆装置基本结构;了解编码盘、行程开关等的基本工作原理;进行行程开关、编码盘和电机基本测试;设计的目的本设计要求我们针对设计要求,利用课堂所学知识及实验室实测来的系统数据采用工程设计法进行一级直线倒立摆控制系统设计;绘制原理图,同时在实验室进行实验检验设计结果,分析数据,编写设计报告;目的是使学生掌握随动控制系统设计的一般步骤及方法;设计的基本任务本课程设计的被控对象采用固高科技生产的GLIP2001一级直线倒立摆;通过设计与调试使学生能够：1熟悉倒立摆系统的组成及其基本结构；2掌握通过解析法建立系统数学模型及进行工作点附近线性化的方法；3掌握系统性能的计算机辅助分析；4掌握系统控制器的设计与仿真；5研究调节器参数对系统动态性能的影响;设计的要求1.熟悉倒立摆系统结构,熟悉倒立摆装置的基本使用方法；2.建立系统的数学模型,并在工作点附近线性化；3.分析系统的稳定性、频域性能、能控性与能观性；4.采用状态空间的极点配置法设计控制器,要求系统调节时间ts<=3s,阻尼比ξ>= and ξ<=1;实验步骤1.倒立摆系统基本结构分析2.对象的建模3..系统性能分析4.控制器设计与调试5.设计报告的撰写第二章一级倒立摆建模及性能分析系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模;实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号,激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出, 应用数学手段建立起系统的输入－输出关系;这里面包括输入信号的设计选取,输出信号的精确检测,数学算法的研究等等内容;机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上,通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系;对于倒立摆系统,由于其本身是自不稳定的系统,实验建模存在一定的困难;但是忽略掉一些次要的因素后,倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统,可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程;下面采用牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型;微分方程的推导在忽略了空气阻力和各种摩擦之后,可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统,如图所示;我们不妨做以下假设：M 小车质量m 摆杆质量b 小车摩擦系数l 摆杆转动轴心到杆质心的长度I 摆杆惯量 F 加在小车上的力x 小车位置φ摆杆与垂直向上方向的夹角θ摆杆与垂直向下方向的夹角考虑到摆杆初始位置为竖直向下图是系统中小车和摆杆的受力分析图;其中,N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量;注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定,因而矢量方向定义如图所示,图示方向为矢量正方向;分析小车水平方向所受的合力,可以得到以下方程：①由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：②即：③把这个等式代入①式中,就得到系统的第一个运动方程④为了推出系统的第二个运动方程,对摆杆垂直方向上的合力进行分析,可以得到下面方程：⑤⑥力矩平衡方程如下：⑦注意：此方程中力矩的方向,由于θ= π+φ,cosφ= -cosθ,sinφ= -sinθ,故等式前面有负号; 合并这两个方程,约去P 和N ,得到第二个运动方程：⑧设θ=π+φφ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角,假设φ与1单位是弧度相比很小,即φ<<1,则可以进行近似处理：用u 来代表被控对象的输入力F ,线性化后两个运动方程如下：⑨对式3-9进行拉普拉斯变换,得到⑩注意：推导传递函数时假设初始条件为0;由于输出为角度φ,求解方程组的第一个方程,可以得到：⑾⑿如果令则有⒀把上式代入方程组的第二个方程,得到：⒁整理后得到传递函数：⒂其中,该系统状态空间方程为：⒃方程组对解代数方程,得到解如下：⒄整理后得到系统状态空间方程：⒅由9的第一个方程为对于质量均匀分布的摆杆有：于是可以得到：化简得到：⒆⒇以小车加速度为输入的系统状态空间方程：稳定性分析P=polyA;r=rootsP;ii=findrealr>0;n=lengthii;ifn>0disp'不稳定';elsedisp'稳定';end不稳定由此得到系统在未加控制器之前是发散的,不稳定的能控能观性分析A= 0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0;B= 0 1 0 3';C= 1 0 0 0;0 0 1 0;D= 0 0 ';>> n=4;Uc=ctrbA,B;Vo=obsvA,C;>> ifrankUc==nifrankVo==ndisp'系统状态即能控又能观'else disp'系统状态即能控,但不能观'endelse ifrankVo==ndisp'系统状态能观,但不能控'else disp'系统状态不能控,但也不能观' endend系统状态即能控又能观二阶的能观性、能控性分析>> A=0 1; 0;>> B=0 3';>> C=0 0 ;1 0;>> D=0;二阶能控性分析：>> M=ctrbA,BM =0 33 0>> rankMans =2说明系统是能控的二阶能观性分析：>> N=obsvA,CN =0 11 0>> rankNans =2说明系统是能观的四阶的能观性、能控性>> A=0 1 0 0; 0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0;;>> B=0 1 0 3';>> C= 1 0 0 0;0 0 1 0;>> D=0 0';四阶能控性分析:>> M=ctrbA,BM =0 0 00 0 00 00 0>> rankMans =4说明系统是能控的四阶能观性分析：>> N=obsvA,CN =0 0 00 0 00 0 00 0 00 0 0 00 0 00 0 0 00 0 0>> rankNans =4说明系统是能观的第三章倒立摆系统二阶控制器的设计设计的要求建立以X’’为输入,Φ与Φ’为状态变量,y为输出的模型分析系统的稳定性,能控能观性设计状态反馈控制器进行极点配置,是系统ξ>= ts<=3s极点配置取ξ=,Ts=；则Wn=,极点为±利用MATLAB进行计算:clear;T=input'T=';zeta=input'zeta=';Wn=4/Tzeta;A=0 1; 0;B=0;3;S1=-zetaWn-Wnsqrtzeta^2-1;S2=-zetaWn+Wnsqrtzeta^2-1;P=S1,S2;K=placeA,B,P则：K0=,K1=;控制器的仿真测试与调试图二阶系统结构图以小车加速度为输入,摆杆偏移角度和角速度为状态变量的模型,K值为反馈矩阵,输出为角度的波形图仿真波形图：取 &= 极点为：Wn=则 K0= K1= 图仿真结果波形图有次图可得加入控制器之后系统可以稳定,可见控制器的设计是合理的硬件调试硬件调试结构图以小车加速度为输入,摆杆偏移角度和角速度为状态变量的模型,加入Л模块纠正反馈角度符号通过调试K值,当K取的时候,可使仿真结果较稳定;从摆杆的角度可以看出,角度可以稳定下来,施加一干扰后,摆杆可以很快恢复稳定;状态观测器的仿真测试与调试图二阶状态观测器数字仿真图以小车加速度为输入,摆杆偏移角度和角速度为状态变量的模型,K值为反馈矩阵,输出为角度的波形图仿真波形图：取 &= 极点为：Wn=则 K0= K1= 图仿真结果波形图反馈矩阵G的求法T=input'T=';zeta=input'zeta=';Wn=4/Tzeta;A=0 1; 0;B=0;3;C=1 0;S1=-zetaWn-Wnsqrtzeta^2-1;S2=-zetaWn+Wnsqrtzeta^2-1;P=S1,S2;OP=5P;G=placeA',C',OPG=实物调试由图可知,施加扰动后摆杆能很快恢复,符合系统要求;第四章倒立摆系统四阶控制器的设计设计要求根据设计要求,确定系统闭环极点,设计状态反馈控制器,并进行仿真、调试验证;极点配置取 &= T= Wn= 极点为：±；-20±利用MATLAB进行计算:T=input'T=';zeta=input'zeta=';Wn=4/Tzeta;A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0;B=0;1;0;3;S1=-zetaWn-Wnsqrtzeta^2-1;S2=-zetaWn+Wnsqrtzeta^2-1;P=,-20+,S1,S2;K=placeA,B,Pk0=,k1=,k2= ,k3=;则K=控制器的仿真测试与调试图四阶系统仿真结构图以小车加速度为输入,摆杆角度、角速度、小车位移、加速度为状态变量,上半部分为位移输出,下半部分为角度输出仿真结果：位移：角度：实物调试：图硬件调试结构图将K1、K2、K3、K4合并后反馈作用系统,系统为单输入双输出四阶一级倒立摆状态空间极点配置实时控制结果平衡时上为位移,下位角度直线一级倒立摆状态空间极点配置实时控制结果施加干扰上为位移,下位角度状态观测器仿真设计与调试图四阶状态观测器数字仿真图四阶系统仿真结构图以小车加速度为输入,摆杆角度、角速度、小车位移、加速度为状态变量,上半部分为位移输出,下半部分为角度输出反馈矩阵G的求法T=input'T=';zeta=input'zeta=';Wn=4/Tzeta;A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0;B=0;1;0;3;C=1 0 0 0;0 0 1 0;S1=-zetaWn-Wnsqrtzeta^2-1;S2=-zetaWn+Wnsqrtzeta^2-1;P=,-10+,S1,S2;OP=3P;G=placeA',C',OP'G =实物调试反馈矩阵G和增益矩阵K分别调用matlab程序即可实物仿真与结果心得体会通过此次课程设计,使我更加扎实的掌握了有关MATLAB方面的知识,在设计过程中虽然遇到了一些问题,但经过一次又一次的思考,一遍又一遍的检查终于找出了原因所在,也暴露出了前期我在这方面的知识欠缺和经验不足;实践出真知,通过亲自动手制作,使我们掌握的知识不再是纸上谈兵;课程设计诚然是一门专业课,给我很多专业知识以及专业技能上的提升,同时又是一门讲道课,一门辩思课,给了我许多道,给了我很多思,给了我莫大的空间;同时,设计让我感触很深;使我对抽象的理论有了具体的认识;通过这次课程设计,我掌握了倒立摆装置的识别和测试；熟悉了控制系统的设计原理；了解了现代控制理论的设计方法；以及如何提高倒立摆系统的性能等等,掌握了MATLAB、simulink的使用方法和技术,通过查询资料,对所学知识有了很多新的认识;自己写主要参考文献：1.夏德玲、翁贻方,自动控制理论．北京,北京工业大学出版社,2006年1月2.刘豹、唐万生,现代控制理论．北京,机械工业出版社,2006年6月3.李国勇、谢克明,计算机仿真技术与CAD．北京,电子工业出版社,2009年1月4.Googol Technology直线倒立摆系统GLIP系列安装与使用手册固高科技。

(完整)倒立摆实验报告

专业实验报告摆杆受力和力矩分析θmg VH θX V X H图2 摆杆系统摆杆水平方向受力为：H 摆杆竖直方向受力为：V 由摆杆力矩平衡得方程：cos sin Hl Vl I φφθθπφθφ⎧-=⎪=-⎨⎪=-⎩（1）代入V 、H ，得到摆杆运动方程。

当0φ→时，cos 1θ=，sin φθ=-，线性化运动方程：2()I ml mgl mlx θθ+-=1.2 传递函数模型以小车加速度为输入、摆杆角度为输出，令，进行拉普拉斯变换得到传递函数：22()()mlG s ml I s mgl=+- （2）倒立摆系统参数值：M=1.096 % 小车质量，kg m=0.109 % 摆杆质量，kg0.1β= % 小车摩擦系数g=9.8 % 重力加速度，l=0.25 % 摆杆转动轴心到杆质心的长度，m I= 0.0034 % 摆杆转动惯量，以小车加速度为输入、摆杆角度为输出时，倒立摆系统的传递函数模型为：20.02725()0.01021250.26705G s s =- （3） 1.3 倒立摆系统状态空间模型以小车加速度为输入，摆杆角度、小车位移为输出，选取状态变量：(,,,)x x x θθ= （4）由2()I ml mgl mlx θθ+-=得出状态空间模型001001000000001330044x x x x x g g lμθθθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（5） μθθθ'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001000001 xx x y （6）由倒立摆的参数计算出其状态空间模型表达式：（7）010000001000100029.403x x x x x μθθθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（8）00x μθθ⎤⎥⎡⎤⎥'+⎢⎥⎥⎣⎦⎥⎥⎦作用）增大，系统响应快，对提高稳态精度有益，但过大易作用）对改善动态性能和抑制超调有利，但过强，即校正装Ax B Cx μ+= 1n x ⎥⎥⎥⎦，1n x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1111n n nn a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ， 1n B b ⎥⎥⎥⎦，]n C c =。

直线一级倒立摆系统的状态空间极点配置控制设计详细实验报告

一、直线一级倒立摆建模根据自控原理实验书上相关资料，直线一级倒立摆在建模时,一般忽略掉系统中的一些次要因素.例如空气阻力、伺服电机的静摩擦力、系统连接处的松弛程度等，之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示：倒立摆系统是典型的机电一体化系统,其机械部分遵循牛顿的力学定律,其电气部分遵守电磁学的基本定理.因此,可以通过机理建模方法得到较为准确的系统数学模型,通过实际测量和实验来获取系统模型参数.无论哪种类型的倒立摆系统,都具有3个特性,即:不确定性、耦合性、开环不稳定性. 直线型倒立摆系统,是由沿直线导轨运动的小车以及一端固定于小车上的匀质长杆组成的系统. 小车可以通过传动装置由交流伺服电机驱动. 小车导轨一般有固定的行程,因而小车的运动范围是受到限制的。

虽然倒立摆的形式和结构各异，但所有的倒立摆都具有以下的特性:1) 非线性倒立摆是一个典型的非线性复杂系统，实际中可以通过线性化得到系统的近似模型，线性化处理后再进行控制。

也可以利用非线性控制理论对其进行控制。

倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点。

2) 不确定性主要是模型误差以及机械传动间隙，各种阻力等，实际控制中一般通过减少各种误差来降低不确定性，如通过施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定因素。

3) 耦合性倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略一些次要的耦合量。

4) 开环不稳定性倒立摆的平衡状态只有两个，即在垂直向上的状态和垂直向下的状态，其中垂直向上为绝对不稳定的平衡点，垂直向下为稳定的平衡点。

由于机构的限制，如运动模块行程限制，电机力矩限制等。

为了制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机功率都尽量要求最小，行程限制对倒立摆的摆起影响尤为突出，容易出现小车的撞边现象。

由此，约束限制直线型一级倒立摆系统的实际控制要求可归结为3点:(1)倒立摆小车控制过程的最大位移量不能超过小车轨道的长度;(2)为保证倒立摆能顺利起立,要求初始偏角小于20°;(3)为保证倒立摆保持倒立的平衡态,要求控制系统响应速度足够快。

倒立摆状态空间极点配置控制实验实验报告

倒立摆状态空间极点配置控制实验实验报告《现代控制理论》实验报告状态空间极点配置控制实验一、实验原理经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统，控制器设计时一般需要有关被控对象的较精确模型，现代控制理论主要是依据现代数学工具，将经典控制理论的概念扩展到多输入多输出系统。

极点配置法通过设计状态反馈控制器将多变量系统的闭环系统极点配置在期望的位置上，从而使系统满足瞬态和稳态性能指标。

１．状态空间分析对于控制系统X = AX + Bu选择控制信号为：u = ?KX式中：X 为状态向量（ n 维）u 控制向量（纯量）A n × n维常数矩阵B n ×1维常数矩阵求解上式，得到 x(t) = (A ? BK)x(t)方程的解为： x(t) = e( A?BK )t x(0)状态反馈闭环控制原理图如下所示：从图中可以看出，如果系统状态完全可控，K 选择适当，对于任意的初始状态，当t趋于无穷时，都可以使x(t)趋于0。

２．极点配置的设计步骤1) 检验系统的可控性条件。

2) 从矩阵 A 的特征多项式来确定a1, a2,……,an的值。

3) 确定使状态方程变为可控标准型的变换矩阵 T：T = MW其中 M 为可控性矩阵，4) 利用所期望的特征值，写出期望的多项式5) 需要的状态反馈增益矩阵 K 由以下方程确定：二、实验内容针对直线型一级倒立摆系统应用极点配置法设计控制器，进行极点配置并用Matlab进行仿真实验。

三、实验步骤及结果1.根据直线一级倒立摆的状态空间模型，以小车加速度作为输入的系统状态方程为：可以取1l 。

则得到系统的状态方程为：于是有：直线一级倒立摆的极点配置转化为：对于如上所述的系统，设计控制器，要求系统具有较短的调整时间（约 3 秒）和合适的阻尼（阻尼比? = 0.5）。

2.采用四种不同的方法计算反馈矩阵 K。

方法一：按极点配置步骤进行计算。

1) 检验系统可控性，由系统可控性分析可以得到，系统的状态完全可控性矩阵的秩等于系统的状态维数(4)，系统的输出完全可控性矩阵的秩等于系统输出向量y 的维数(2)，所以系统可控。

直线一级倒立摆系统实验报告

直线一级倒立摆系统实验报告1. 实验目的：通过对直线一级倒立摆系统进行分析，掌握系统的基本原理、参数设置和控制策略；提高学生实际动手能力和科学实验能力。

2. 实验内容：（1）搭建直线一级倒立摆系统实验平台；（2）设置系统的动力学模型，采集系统的状态变量；（3）根据系统的特性设计控制策略，实现系统的稳定控制；（4）记录实验数据，并进行数据处理和分析。

3. 实验原理：直线一级倒立摆系统是一种经典的非线性控制系统，其原理和稳定性分析可以使用动力学建模方法来描述。

系统由直线弹簧、质量块、直线导轨和质量块的摆杆组成。

当摆杆处于垂直状态时，系统处于平衡状态；当摆杆被扰动后，系统进入不稳定状态，需要通过控制策略来实现其稳定控制。

在实验中，我们选取了单摆系统作为直线一级倒立摆系统的原形。

单摆系统由一个质点和一个线性弹簧组成，其状态变量为质点的位置和速度。

当质点处于平衡位置时，系统拥有稳定状态；当质点被扰动后，系统进入不稳定状态，需要通过控制策略来实现其稳定控制。

因此，我们可以使用单摆系统来研究直线一级倒立摆系统的控制策略。

4. 实验步骤：（1）搭建实验平台：搭建直线一级倒立摆系统实验平台，包括直线导轨、摆杆、质点、力传感器、位移传感器和控制电路等。

将质点放置在导轨上，并用摆杆将其固定在弹簧上。

使用力传感器和位移传感器来测量系统的状态变量。

（2）设置系统模型：对实验平台的动力学模型进行建模，将系统的状态变量与控制策略联系起来。

（3）设计控制策略：根据系统的特性设计相应的控制策略，使系统保持稳定状态。

常用的控制策略包括模型预测控制、PID控制、滑模控制等。

（4）记录实验数据：实验过程中需要记录系统的状态变量和控制参数，并进行数据处理和分析，得到实验结论。

5. 实验结果分析：通过对直线一级倒立摆系统的实验研究，我们发现系统的稳定控制需要根据其特性和实际情况来确定相应的控制策略。

在实验中，我们采用了模型预测控制策略，通过对系统的状态变量进行预测和调节，成功实现了系统的稳定控制。

倒立摆系统__实验设计报告

倒立摆系统__实验设计报告一、实验目的本实验旨在通过对倒立摆系统的研究与实验，探讨倒立摆的运动规律，并分析其特点和影响因素。

二、实验原理与方法1.实验原理倒立摆是指在重力作用下，轴心静止在上方的直立摆。

倒立摆具有自然的稳定性，能够保持在平衡位置附近，且对微小干扰具有一定的抵抗能力。

其本质是控制系统的一个重要研究对象，在自动控制、机器人控制等领域有广泛的应用。

2.实验方法（1）搭建倒立摆系统：倒立摆由摆杆、轴心和电机组成，摆杆在轴心上下运动，电机用于控制倒立摆的运动。

（2）调节电机控制参数：根据实验需要，调节电机的参数，如转速、力矩等，控制倒立摆的运动状态。

（3）记录数据：通过相机或传感器等手段，记录倒立摆的位置、速度、加速度等相关数据，用于后续分析。

（4）分析数据：根据记录的数据，分析倒立摆的运动规律、特点和影响因素，在此基础上进行讨论和总结。

三、实验步骤1.搭建倒立摆系统：根据实验需要，选取合适的材料和设备，搭建倒立摆系统。

2.调节电机参数：根据实验目的，调节电机的转速、力矩、控制信号等参数，使倒立摆能够在一定范围内保持平衡。

3.记录数据：利用相机或传感器等设备，记录倒立摆的位置、速度、加速度等相关数据。

4.分析数据：通过对记录的数据进行分析，研究倒立摆的运动规律和特点，并探讨影响因素。

5.总结讨论：根据实验结果，进行总结和讨论，对倒立摆的运动规律、特点和影响因素进行深入理解和探究。

四、实验设备与器材1.倒立摆系统搭建材料：包括摆杆、轴心、电机等。

2.记录数据设备：相机、传感器等。

五、实验结果与分析通过实验记录的数据，分析倒立摆的运动规律和特点，找出影响因素，并进行讨论和总结。

六、实验结论根据实验结果和分析，得出倒立摆的运动规律和特点，并总结影响因素。

倒立摆具有一定的稳定性和抵抗干扰的能力，在控制系统中具有重要的应用价值。

七、实验感想通过参与倒立摆系统的搭建和实验，深入了解了倒立摆的运动规律和特点，对控制系统有了更深刻的理解。

倒立摆系统实验设计报告

倒立摆系统实验设计报告实验设计报告：倒立摆系统摘要：本实验旨在研究倒立摆系统的控制问题，通过进行动力学建模、控制器设计和实验验证，探究不同控制策略对倒立摆系统的稳定性和控制性能的影响。

实验使用MATLAB/Simulink软件进行系统建模和控制器设计，并通过实际硬件平台进行实验验证。

实验结果表明，PID控制器在稳定性和控制精度方面表现出较好的性能。

本实验为进一步研究倒立摆系统控制提供了参考。

引言：倒立摆系统是控制理论中一个经典且具有挑战性的问题，具有广泛的应用背景。

倒立摆系统的研究对于制造可倒立行进的机器人、电梯调节、飞行器控制等领域具有重要意义。

本实验旨在通过对倒立摆系统进行动力学建模和控制器设计，研究不同控制策略对其稳定性和控制性能的影响。

方法与材料：1.实验平台：本实验使用一台倒立摆硬件平台，包括一个竖直支架、一个带电机和减速器的转动摆杆以及一个测量角度的传感器。

2. 软件工具：本实验使用MATLAB/Simulink进行倒立摆系统的建模和控制器设计。

并使用Simulink中的实时仿真模块进行实验验证。

实验步骤：1. 动力学建模：根据倒立摆系统的动力学方程，使用MATLAB/Simulink建立系统的状态空间模型。

2.控制器设计：设计不同控制策略的控制器，包括PID控制器、模糊控制器等。

3. 系统仿真：在Simulink中进行系统仿真，分析不同控制策略下的系统响应情况，比较其稳定性和控制性能。

5.数据分析：通过对实验数据进行分析，比较不同控制策略的实际控制效果。

结果与讨论：经过对倒立摆系统进行动力学建模和控制器设计，我们设计了PID控制器和模糊控制器两种控制策略，并在Simulink中进行了系统仿真。

仿真结果显示，PID控制器能够有效地控制倒立摆系统，在较短的时间内将摆杆恢复到竖直位置，并保持稳定。

而模糊控制器的控制性能相对较差，系统响应时间较长且存在一定的震荡。

实验验证结果表明，PID控制器在实际硬件平台上也能够较好地控制倒立摆系统。

一阶倒立摆系统模型分析状态反馈与观测器设计

一阶倒立摆系统模型分析状态反馈与观测器设计一阶倒立摆系统是控制工程中常见的一个具有非线性特点的系统，它由一个摆杆和一个质点组成，质点在摆杆上下移动，而摆杆会受到重力的作用而产生摆动，需要通过控制来实现倒立的功能。

以下是一阶倒立摆系统的模型分析、状态反馈与观测器设计的详细介绍。

一、系统模型分析:一阶倒立摆系统是一个非线性动力学系统，可以通过线性化的方式来进行模型分析。

在进行线性化之前，首先需要确定系统的状态变量和输入变量。

对于一阶倒立摆系统，可以将摆杆角度和质点位置作为状态变量，将水平推力作为输入变量。

在对系统进行线性化之后，可以得到系统的状态空间表达式:x_dot = A*x + B*uy=C*x+D*u其中，x是状态向量，u是输入向量，y是输出向量。

A、B、C和D是系统的矩阵参数。

二、状态反馈设计:状态反馈是一种常用的控制方法，通过测量系统状态的反馈信号，计算出控制输入信号。

在设计状态反馈控制器之前，首先需要确定系统的可控性。

对于一阶倒立摆系统，可以通过可控性矩阵的秩来判断系统是否是可控的。

如果可控性矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是可控的。

在确定系统可控性之后，可以通过状态反馈控制器来实现控制。

状态反馈控制器的设计可以通过选择适当的反馈增益矩阵K来实现。

具体的设计方法是，根据系统的状态空间表达式，将状态反馈控制器加入到系统模型中。

状态反馈控制器的输入是状态变量，输出是控制输入变量。

然后，通过调节反馈增益矩阵K的值，可以实现对系统的控制。

三、观测器设计:观测器是一种常用的状态估计方法，通过测量系统的输出信号，估计系统的状态。

在设计观测器之前，首先需要确定系统的可观性。

对于一阶倒立摆系统，可以通过可观性矩阵的秩来判断系统是否是可观的。

如果可观性矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是可观的。

在确定系统可观性之后，可以通过观测器来实现状态估计。

观测器的设计可以通过选择适当的观测增益矩阵L来实现。

具体的设计方法是，根据系统的状态空间表达式，将观测器加入到系统模型中。

单级倒立摆系统的分析与设计

单级倒立摆系统的分析与设计小组成员：武锦张东瀛杨姣李邦志胡友辉一．倒立摆系统简介倒立摆系统是一个典型的高阶次、多变量、不稳定和强耦合的非线性系统。

由于它的行为与火箭飞行以及两足机器人行走有很大的相似性，因而对其研究具有重大的理论和实践意义。

由于倒立摆系统本身所具有的上述特点，使它成为人们深入学习、研究和证实各种控制理论有效性的实验系统。

单级倒立摆系统（Simple Inverted Pendulum System）是一种广泛应用的物理模型，其结构和飞机着陆、火箭飞行及机器人的关节运动等有很多相似之处，因而对倒立摆系统平衡的控制方法在航空及机器人等领域有着广泛的用途，倒立摆控制理论产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器入技术、导弹拦截控制系统、航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利用前景。

倒立摆仿真或实物控制实验是控制领域中用来检验某种控制理论或方法的典型方案。

最初研究开始于二十世纪50年代，单级倒立摆可以看作是一个火箭模型，相比之下二阶倒立摆就复杂得多。

1972年，Sturgen等采用线性模拟电路实现了对二级倒立摆的控制。

目前，一级倒立摆控制的仿真或实物系统已广泛用于教学。

二．系统建模1．单级倒立摆系统的物理模型图1：单级倒立摆系统的物理模型单级倒立摆系统是如下的物理模型：在惯性参考系下的光滑水平平面上，放置一个可以在平行于纸面方向左右自由移动的小车（cart ），一根刚性的摆杆（pendulum leg ）通过其末端的一个不计摩擦的固定连接点（flex Joint ）与小车相连构成一个倒立摆。

倒立摆和小车共同构成了单级倒立摆系统。

倒立摆可以在平行于纸面180°的范围内自由摆动。

倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的摄动下摆杆仍然保持竖直向上状态。

在小车静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆受到微小的摄动时就会发生不可逆转的破坏而使倒立摆无法复位，这时必须使小车在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。

现代控制理论单倒立摆综合报告

在仿真的过程中也遇到了一些问题，比如在定量时，不知道如何处理 r kx u ，在r存在时，如何保持输入 u仍然为阶跃信号，依然未能解决。但可以分析在两倍
干扰下观察角度的波形，间接地分析输出的稳定性。
在给定一个窄脉冲信号，模拟外部干扰的情况下，摆杆能迅速回到平衡也充分验证了系统的鲁棒性。

g
y= 0
0
1
0

x
g x
g
X AX BU
Y CX
x1
y= 0
0
1
0

x2

x3 x4

系统稳定性能控性及能观测性分析
由matlab程序语言可得：
>> a=[0 1 0 0;15.76 0 0 0;0 0 0 1;-7.164 0 0 0];

x

15.76
0
107.0544
0

x
1.462
u

107.0544
y
0 0 9 1 0 9
7.164 0 46.76 0

0.907

46.76

框图及仿真
原系统框图
加入状态反馈及状态观测器之后系统的框图
和输出位移x 曲线
系统在阶跃函数下输出函数的响应曲线如图
图5 原系统阶跃输入响应曲线图6 反馈系统阶跃输入响应曲线
总结
通过对单倒立摆系统综合前后的仿真实验可知，在系统成功引入状态反馈后系统的稳定性明显增强，这在加入干扰信号仿真测试下可以清楚地看到；这次综合设计，能很好的锻炼理论与实践相结合的能力，以及怎样构建实际的数学模型运用自己的所学来解决实际问题。

单级倒立摆系统

x1 x y = [1 0 0 0] 2 x3 x4
首先，使用首先，使用MATLAB，判断系统的能控性矩阵是否为满秩。，判断系统的能控性矩阵是否为满秩。输入以下程序计算结果为
根据判别系统能控性的定理，该系统的能控性矩阵满秩，根据判别系统能控性的定理，该系统的能控性矩阵满秩，所以该系统是能控的。因为系统是能控的，所以，可以通过状态反馈来该系统是能控的。因为系统是能控的，所以，任意配置极点。任意配置极点。不失一般性，不妨将极点配置在不失一般性， s1 = −6 s 2 = −6.5 s3 = −7 在MATLAB中输入命令中输入命令
3. 状态观测器实现状态反馈极点配置及其仿真首先，使用首先，使用MATLAB，判断系统的能观性矩阵是否为满秩。输，判断系统的能观性矩阵是否为满秩。入以下程序
计算结果为因为该系统的能观测性矩阵满秩，所以该系统是能观测的。因为该系统的能观测性矩阵满秩，所以该系统是能观测的。因为系统是能观测的，所以，可以设计状态观测器。为系统是能观测的，所以，可以设计状态观测器。而系统又是能控因此可以通过状态观测器实现状态反馈。的，因此可以通过状态观测器实现状态反馈。
求解得：求解得：
&& = − y
& & & x x & 选择状态变量 x1 = y ， 2 = x1 = y ， 3 = θ ，x4 = x3 = θ
u
& x1 0 x 0 & 2 = x3 0 & & x4 0
状态图为
为系统输入，为系统输入， y 为系统输出
设计状态观测器矩阵，使的特征值的实部均为负，设计状态观测器矩阵，使的特征值的实部均为负，且其绝对值要大于状态反馈所配置极点的绝对值。通过仿真发现，要大于状态反馈所配置极点的绝对值。通过仿真发现，这样才能保证状态观测器有足够快的收敛速度，证状态观测器有足够快的收敛速度，才能够保证使用状态观测器所观测到的状态与原系统的状态充分接近。观测到的状态与原系统的状态充分接近。不妨取状态观测器的特征 s3 = −22 s4 = −23 值为：值为： s1 = −20 s2 = −21 输入以下命令计算结果为

倒立摆系统课程设计报告

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摘
要
倒立摆系统最初的研究分析起始于二十世纪五十年代，是一个比较复杂的、不稳定、带有非线性和强耦合特性的机械系统，是稳定控制的控制理论中非常典型的范例。由于其系统参数的不确定性以及不确定的外界干扰过多，因此对它的研究不仅能解决理论上的控制问题，还将控制理论与其他涉及的相关学科联系起来，成为了控制论从理论走向实践的桥梁。不仅如此，对倒立摆系统的研究还能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。倒立摆的镇定控制是控制理论与应用学科的一类典型问题，引起了控制理论及应用界的广泛关注。本文主要是介绍直线式单级倒立摆数学模型的建立，并用传统的 PID 控制算法结合其他相关知识，通过调整参数来使倒立摆系统处于稳定状态的整个过程。
倒立摆系统课程设计设计报告
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目
录
摘要....................................................................................................................................... 3 一、倒立摆系统的组成及性质 ...........................................................................................

单级倒立摆系统的极点配置与状态观测器设计

单级倒立摆系统的极点配置与状态观测器设计14122156杨郁佳(1)倒立摆的运动方程并将其线性化选取小车白^位移 z ,及其速度 z 、摆的角位置及其角速度作为状态变量，即g T 则系统的状态空间模型为2 2，2设M=2kg ，m =0.2kg, g=9.81m/s ,则单级倒立摆系统的状态方程为x1x4x1x2 0 x3 x4 (2)状态反馈系统的极点配置。

首先，使用MATLAB,判断系统的能控性矩阵是否为满秩。

A=[0 1 0 0; 0 0 -1 0; 0 0 0 1; 0 0 11 0];B=[0; 0.5; 0; -0.5];C=[1 0 0 0];0 0 0 mg 0 1 M x M 0 1 0 (M m)g 11u 0MlMl x1x1x2 x3x3 0.5 u 011 x4 0.5D=0;rct=rank(ctrb(A,B)) [z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D)MATLAB程序执行结果如下:»上二。

100：00-]C'：0[)01. 0DIL01.B=[0; a. 5; t -0.o]c-ti D 0 Qi ；D=Crct-r Mr; nrt ।；j■ 1 0 Q 0 fl -] C, C T Q 1 0 D 11 0]Mo； o,«； a -0.5：C-[l 0 0 Q]:D-0rct-Yfln)! ctib Ll, E )let> r,z. p, k]-Ts2 sp CA, B- C. D'63. 3班-3.31S?系统能控，系统的极点为1=0 2=0 3=3.3166 4 =-3.3166可以通过状态反馈来任意配置极点，将极点配置在MATLAB程序如下：A=[0 1 0 0; 0 0 -1 0; 0 0 0 1; 0 0 11 0];B=[0; 0.5; 0; -0.5];P=[-3 -4 -5 -6];K=place(A,B,P)MATLAB程序执行结果如下：»A=[Q 1 0 D; 0 0 -1 0; 0 0 0 1; 0 Q H C：;B-[0l- O.a 0 -0-5：：-4 -a -6];E=place (A. P)E --72. 0000 -691 4000 332. 0000 -104. 4000因此，求出状态反馈矩阵为K=[-72.0 -68.4 -332.0 -104.4]采用MATLAB/Simulink构造单级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型。

单级倒立摆

单倒置摆控制系统的状态空间设计摘要：倒置摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，对倒置摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题，倒置摆的最初研究开始于二十世纪50年代，近年来，由于新的控制方法不断出现，人们试图通过倒置摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从加大了对这方面的研究。

本文主要采用状态反馈的控制方法，通过设计降维观测器和全维观测器对状态变量的重构，Matlab仿真进行了研究。

关键词：状态反馈、能控性、能观性、状态观测、极点配置、仿真一、引言倒置摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。

倒置摆的最初研究开始于二十世纪50年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒置摆实验设备。

倒置摆系统稳定效果非常明了，可以通过摆动角度、位移和稳定时间直接度量、控制好坏一目了然。

近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒置摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。

由于单级倒置摆的控制方法在军工,航天和机器人领域有广泛的用途,另外其控制方法和思路在处理一般工业过程中亦有广泛的应用。

机器人行走类似倒置摆系统，而机器人的关键技术至今仍未很好解决，单级倒置摆系统的稳定与空间飞行器控制和各类伺服平台的稳定有很大相似性，也是日常生活中所见到的任何重心在上、支点在下的控制问题的抽象。

因此，单级倒置摆机理的研究具有重要的应用价值，成为控制理论中很重要的研究课题。

二、单级倒置摆系统建模及分析2.1单级倒置摆系统模型单倒置摆系统的原理图，如图1所示。

设摆的长度为L、质量为m，用铰链安装在质量为M的小车上。

小车由一台直流电动机拖动，在水平方向对小车施加控制力u相对参考系产生位移z。

若不给小车施加控制力，则倒置摆会向左或向右倾倒，因此它是一个不稳定系统。

单级倒立摆实验报告

单级倒立摆实验报告1. 单级倒立摆系统的建模单级倒立摆系统的建模可采用受力分析或Lagrange 方程建立得到。

这里采用受力分析方法建模。

如图所示：根据牛顿第二定律：(cos )0Mx m x L u θθ++-= (2-1) cos sin 0mLxI mLg θθθ--= (2-2)以摆杆偏角θ、角速度θ 、小车的位移x 和小车速度x为状态变量，即令： ()TX x x θθ=(2-3)同时假设倒立摆摆杆的垂直倾斜角度θ与1（单位为rad ）相比很小，即1θ 。

则可以近似处理：cos θ≈1，sin 0θ≈，并忽略高阶小量，则可得：2222()()m L g Ix u I m M mML I m M mML θ=+++++ （2-4）22()()()mL m M g mLu I m M mML I m M mMLθθ+=-+++++ （2-5）摆杆系统的状态方程为： 12222122344122()()()()()x x m L g I x x u I m M mML I m M mMLx x mL m M g mL x x u I m M mML I m M mML =⎧⎪⎪=+⎪++++⎨=⎪⎪+=-+⎪++++⎩（2-6）写成向量的形式为：XAX Bu y CX Du ⎧=+⎨=+⎩(2-7)其中0100000A 0001000a b⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 00c B d ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,10000010C ⎛⎫= ⎪⎝⎭,00D ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2-8）参数a 、b 、c 、d 分别为：222()m L gb I m M mML =++ （2-9）2()()mL m M ga I m M mML +=-++（2-10）2()Ic I m M mML =++ （2-11）2()mLd I m M mML =++（2-12）选择摆杆的倾斜角度θ和小车的水平位移x 作为系统的输出，则输出方程为：y CX = (2-13)根据金棒-2型倒立摆系统实验平台的参数，m=0.2kg ，M=0.6kg ，L=0.158m ，I=0.001654kg.m 2 ，g=10N/kg.同时，这里建模时候使用的ｕ是以力作为输入信号的，实际上采用的是以电压作为输入信号，通过电机作了一定的转化，这里我们约定：先暂时以力作为输入信号，最后再统一处理。

5极点配置与观测器的设计

上式中等式右边的矩阵
I

K
0
I

，对任意常值都是非奇异的。
因此对任意的和K，均有
r a n k I A B K B r a n k I A B
说明，状态反馈不改变原系统的能控性
2019/9/14
例系统
：
x 13
2 1
5.1.2 输出反馈
当 D 0 时，输出反馈系统动态方程为
xABHCxBV
yCx
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5.1.3 状态反馈系统的性质
定理5-1 对于任何常值反馈阵K，状态反馈系统能控的充分必要条件是原系统能控。
证明对任意的K阵，均有
IA B K B IAB K I 0 I
x10u
y [1 2]x
完全能控能观，引入反馈 u[3 1]xV
则闭环系统的K 状态空间表达式为

K
：
x

1 0
2 0
x10v
y [1 2]x
不难判断，系统 K 仍然是能控的，但已不再
能观测。
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5.2 系统的极点配置
所谓极点配置，就是通过选择适当的反馈形式和反馈矩阵，使系统的闭环极点恰好配置在所希望的位置上，以获得所希望的动态性能。
u=V-Kx
则闭环系统的结构如图 5-1 所示。
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状态空间表达式为：
x A x B u A x B (V K x ) (A B K )x B V
y C x D u C x D (V K x ) C D K x D V
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