东南大学高等数学实验二 一元函数图形及其性态
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实验二
一元函数图形及其性态
In[10]:=
Plot f' x , x, - 3, 3 , GridLines ® Automatic, Frame ® True, PlotStyle ® RGBColor 1, 0, 0 , PlotLabel ® "A Graph of f' x " ; Plot f'' x , x, - 3, 3 , GridLines ® Automatic, Frame ® True, PlotStyle ® RGBColor 1, 0, 0 , PlotLabel ® "A Graph of f'' x " ;
Solve f' x Š 0, x Solve f'' x Š 0, x 4 x ® -2 , x ® , x® 1 , x® 1 5 x® 1 , x® 1 - 8- 3 10 6 , x® 1 -8 + 3 10 6
15
从运行结果可以得到原函数极值点和拐点的具体值。 从运行结果可以得到原函数极值点和拐点的具体值。
@8 @D < @@D D D @@8 < D @ @D D D
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实验二
一元函数图形及其性态
)的一阶导函数和二阶导函数的图形（ 运行后， 运行后，绘出了 f(x 的一阶导函数和二阶导函数的图形（如下
)有三个零点， ) ，从图中可以分别观察出， 图） 从图中可以分别观察出， f′(x 有三个零点，且均为 f(x 的 ，从图中可以分别观察出
PlotStyle
作图风格， 作图风格，主要是指选择显示图形的颜色和线
型，格式主要有： PlotStyle→RGBColor[a,b,c] 格式主要有： →
为介于[0， 之间的数 之间的数， 选择[1,0,0]、 其中 a,b,c 为介于 ，1]之间的数，若 a,b,c 选择 、 [0,1,0]、[0,0,1]，则分别表示的是三元色：红、绿、蓝。 、 ，则分别表示的是三元色：
入下令 输如命：
In[8]:=
f x_ := - 4 + 8 x - x2 - 5 x3 + x4 + x5 Plot f x , x, - 3, 3 , GridLines ® Automatic, Frame ® True, PlotStyle ® RGBColor 1, 0, 0
DD @@8 < @ D @D
1
@@8 < 8< D 8 < D
p
此命令输出了 6 幅图， 幅图，参数 p 是从 1 到 3 以 2为步长的选择，从这 为步长的选择，
= 的影响。 些图中可以很明显地看出在第一象限参数 p 对函数 y=x 的影响。
为了图形演示更加生动，我们可以对这些图形进行动画演示。 （ 为了图形演示更加生动，我们可以对这些图形进行动画演示。 选 中图后， 中图后，用“Ctrl”+“Y”键） ” “ ”
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实验二
一元函数图形及其性态
Ticks 用于给坐标轴加上刻度或给坐标轴上的点加标记， 用于给坐标轴加上刻度或给坐标轴上的点加标记，
格式为： 格式为：Ticks→Automatic → 自动加刻度； 自动加刻度；
Ticks→{{x1,x2,…},{y1,y2,…}}； → … … ； Ticks→{{{x1,”字符串 1”},{x2,”字符串 2”},…}, → 字符串 字符串 … {{y1,”字符串 1”}，{y2,”字符串 2”},…}}。 字符串 ， 字符串 … 。
1.0
0.5
Out[6]=
-2
-1 - 0.5
1
2
- 1.0
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例 2
实验二
作 数= 制 函 y=x 的 形 画 并 察 数 对 数 形 图 动 ， 观 参 p对 图 函 影。 的响
一元函数图形及其性态 p
：入令下 解输命如：
In[7]:=
Do Plot x^p, x, 0, 3 , PlotRange ® 0, 10 , p, 1, 3, 1 2
14
了体出些值和点下我可利解程命 为具求这极点拐，面们以用方的 “ v” 求 f ) f ′ ) 实 ， 入 令 ： 令 S l e 来 解′(x 和 ′(x 的 根 输 命 为 o
In[12]:=
实验二
一元函数图形及其性态
Out[12]=
Out[13]=
@D D @@ D @9 = < < D 8 8= 9< 8 9 < I M9 I M 89 = =
)的拐点。 极值点； ′ )有三个零点， 极值点； f′(x 有三个零点，且均为 f(x 的拐点。
A Graph of f' x
@D
A Graph of f'' x
300
@D
200
200 100 0
150
100
- 100
50
- 200 - 300
-3 -2 -1
0 1 2 3
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
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x^4 + x^3 + x^2 + x ; x^2 + x + 1 t1 = Plot f x , x, - 2, 2 , PlotStyle ® RGBColor 0, 1, 0 ; t2 = ParametricPlot Cos t Sin 2 t , Sin t Cos 3 t , t, 0, 2 Pi , PlotStyle ® RGBColor 1, 0, 0 ; g x_ := If x ¹ 0, 1 x Sin x^2 , 0 ; t3 = Plot g x , x, - 2, 2 , PlotStyle ® RGBColor 0, 0, 1 Show t1, t2, t3 f x_ :=
实验二
一元函数图形及其性态
xt o i 2 ( )=c stsn t （ y t)=sn c s3 2 ）( i t o t
1 sn 2, x≠0 i x g x =x ( ) （ 3 ） , 0 , x=0
同坐系画以三函的形 在一标下出上个数图。
解输命如： ：入令下
In[1]:=
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实验二
一元函数图形及其性态
作图命令 Plot” “ ” 可带很多选项， 可带很多选项， 现对常用的一些选项介绍如下： 现对常用的一些选项介绍如下：
PlotRange
作图区域，格式为 作图区域，格式为:
PlotRange→{因变量最小值 因变量最大值 ； → 因变量最小值 因变量最大值}； 因变量最小值,因变量最大值 PlotRange→{{自变量最小值 自变量最大值}， 因变量最小值， → 自变量最小值,自变量最大值 ， 因变量最小值， 自变量最小值 自变量最大值 {因变量最小值 因变量最大值}} 因变量最大值 PlotRange→All （表示显示所有点） → 表示显示所有点）
GirdLines
在图形上画横竖线，格式为： 在图形上画横竖线，格式为：
GirdLines→Automatic (表示在每个记号处画线 → 表示在每个记号处画线) 表示在每个记号处画线 GirdLines→{{横轴方向画线处 纵轴方向画线处 → 横轴方向画线处 纵轴方向画线处}} 横轴方向画线处,纵轴方向画线处
Axes→False →
Axes→{True,False}(或{False,True}) 只画一个坐标轴 → 或
AxesLabel
指定坐标轴的名称，格式为： 指定坐标轴的名称，格式为： AxesLabel→{横轴名称 纵轴名称 → 横轴名称 纵轴名称} 横轴名称,纵轴名称
AxesOrigin 用于指定两坐标轴的交点的位置 格式为： 格式为：AxesOrigin→{x,y} →
首先介绍一下平面图形的描绘： 先介绍一下平面图形的描绘 平面图形的描绘：
一元显函数图形的绘制
a ] = ) 在平面直角坐标系中绘制函数 y=f(x 在区间 [ ,b 的图形是函
选项]。 数“Plot” 其调用格式为：Plot[f(x),{x,a,b},选项 。 ” 其调用格式为： ， 选项
同时绘制多个函数的调用格式为： 同时绘制多个函数的调用格式为： Plot[{f1(x),f2(x),…},{x,a,b},选项 。 选项]。 … 选项
Frame
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用于给图形加边框(默认值为 用于给图形加边框 默认值为 False)
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实验二
一元函数图形及其性态
AspectRatio 指 定 图 形显 示的高 与宽 的比 例 ， 格 式为 ： AspectRatio→值； → AspectRatio→Automatic → 表示高宽比由计算机根据图形实际尺寸确定
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实验二
源自文库
一元函数图形及其性态
2 x 例 绘 函 f(x =x +x −5 3 −x +8 −4以 f′(x , f′(x 的 出数 ) 5 4 x 及 ) ′ ) 3
形并出有驻和点 图，找所的点拐。
− ： 先 我 不 将 ) 自 量 示 围 为3 ] 则 解 首 ， 们 妨 f(x 的 变 显 范 定 [− ,3 ，
20
Out[9]=
0
- 20
-3
-2
-1
0
1
2
3
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实验二
一元函数图形及其性态
)图形的“全貌” = 图中的曲线差不多是函数 y= f(x 图形的“全貌” 从图形中 。
2 1 可 以 看 出 x=− ,x= 为 函 数 的 零 点 ， 单 调 性 在
1 , 1 x=− ,x=− .8 x=1 2 0, 附近改变， 附近改变，而且在 x=− ,x=0 x= 附近曲
实验二 一元函数图形及其性态
东南大学 数学系
实验二
一元函数图形及其性态
实 的 的 让 学 悉 学 件 a e ai a所 的 好 具 本 验 目 是 同 熟 数 软 M hmtc 所 有 良 t 作功，通函图来识数运函的形观 的图能并过数形认函，用数图来 和析数有性，立形合思。 察分函的关态建数结的想
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为了利于观察一些特殊点的位置，我们选择了选项 “ GirdLines→Automatic”使图形的坐标平面上出现了网格 → ” 线，而且这时 Mathematica 将自动选择相应的 y 的显示范围为
[ 2 , 0 。输出结果如下图： − 01 ] 输出结果如下图：
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实验二
一元函数图形及其性态
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@ @D < @ D D @8 @@ @D@ @D 8 D @D < 8 @ @DD D < @ @D < @ D D @8 @D
7
实验二
一元函数图形及其性态
在 上 面 的 程 序 中 ， 命 令 “ Plot ” 的 选 项 “ PlotStyle→RGBColor[a,b,c] ” 是 指 选 用 颜 色 绘 图 ， 其 中 → a,b,c 为介于 ， 之间的数， a,b,c 选择 介于[0， 之间的数， 1]之间的数 若 选择[1,0,0]、 [0,1,0]、 、 、 [0,0,1]，则分别表示的是三元色：红、绿、蓝。运行后的图形为： ，则分别表示的是三元色： 运行后的图形为：
样 们 用 a e ai a 同 结 函 微 学 知 找 这 我 利 M hmtc 并 时 合 数 分 的 识 t 了些键，而函的形有真全的解 出一关点从对数图就了实面了。
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线凸向似乎有所改变。 线凸向似乎有所改变。
总之，由函数的图形我们只能近似地判断出一些信息， 总之，由函数的图形我们只能近似地判断出一些信息，那么 这些印象是否属实呢？为了证实这些印象， 我们利用下面的 这些印象是否属实呢？为了证实这些印象， Mathematica 语句来加以验证： 语句来加以验证：
PlotStyle→Dashing[{r1,r2,…}] → …
指交替使用数 r1,r2,…作为线段和空白的相对长度画虚线 其中这 …作为线段和空白的相对长度画虚线(其中这 的数) 些数应是远小于 1 的数
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4 3 2 x +x +x +x 例 给 函 （ f(x = x +x+ 1 定数1 ） ) 2 1
PlotPoints 采样点数（默认值为 25） 格式为: 采样点数（ ） 格式为 ，格式为 ， PlotPoints→点数 →
PlotLabel
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用于在图形上方居中加注释
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实验二
一元函数图形及其性态
Axes
用于指定是否显示坐标轴 不画出坐标轴（ 不画出坐标轴（默认为 True） ）
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一元函数图形及其性态
In[10]:=
Plot f' x , x, - 3, 3 , GridLines ® Automatic, Frame ® True, PlotStyle ® RGBColor 1, 0, 0 , PlotLabel ® "A Graph of f' x " ; Plot f'' x , x, - 3, 3 , GridLines ® Automatic, Frame ® True, PlotStyle ® RGBColor 1, 0, 0 , PlotLabel ® "A Graph of f'' x " ;
Solve f' x Š 0, x Solve f'' x Š 0, x 4 x ® -2 , x ® , x® 1 , x® 1 5 x® 1 , x® 1 - 8- 3 10 6 , x® 1 -8 + 3 10 6
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从运行结果可以得到原函数极值点和拐点的具体值。 从运行结果可以得到原函数极值点和拐点的具体值。
@8 @D < @@D D D @@8 < D @ @D D D
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一元函数图形及其性态
)的一阶导函数和二阶导函数的图形（ 运行后， 运行后，绘出了 f(x 的一阶导函数和二阶导函数的图形（如下
)有三个零点， ) ，从图中可以分别观察出， 图） 从图中可以分别观察出， f′(x 有三个零点，且均为 f(x 的 ，从图中可以分别观察出
PlotStyle
作图风格， 作图风格，主要是指选择显示图形的颜色和线
型，格式主要有： PlotStyle→RGBColor[a,b,c] 格式主要有： →
为介于[0， 之间的数 之间的数， 选择[1,0,0]、 其中 a,b,c 为介于 ，1]之间的数，若 a,b,c 选择 、 [0,1,0]、[0,0,1]，则分别表示的是三元色：红、绿、蓝。 、 ，则分别表示的是三元色：
入下令 输如命：
In[8]:=
f x_ := - 4 + 8 x - x2 - 5 x3 + x4 + x5 Plot f x , x, - 3, 3 , GridLines ® Automatic, Frame ® True, PlotStyle ® RGBColor 1, 0, 0
DD @@8 < @ D @D
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@@8 < 8< D 8 < D
p
此命令输出了 6 幅图， 幅图，参数 p 是从 1 到 3 以 2为步长的选择，从这 为步长的选择，
= 的影响。 些图中可以很明显地看出在第一象限参数 p 对函数 y=x 的影响。
为了图形演示更加生动，我们可以对这些图形进行动画演示。 （ 为了图形演示更加生动，我们可以对这些图形进行动画演示。 选 中图后， 中图后，用“Ctrl”+“Y”键） ” “ ”
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Ticks 用于给坐标轴加上刻度或给坐标轴上的点加标记， 用于给坐标轴加上刻度或给坐标轴上的点加标记，
格式为： 格式为：Ticks→Automatic → 自动加刻度； 自动加刻度；
Ticks→{{x1,x2,…},{y1,y2,…}}； → … … ； Ticks→{{{x1,”字符串 1”},{x2,”字符串 2”},…}, → 字符串 字符串 … {{y1,”字符串 1”}，{y2,”字符串 2”},…}}。 字符串 ， 字符串 … 。
1.0
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Out[6]=
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例 2
实验二
作 数= 制 函 y=x 的 形 画 并 察 数 对 数 形 图 动 ， 观 参 p对 图 函 影。 的响
一元函数图形及其性态 p
：入令下 解输命如：
In[7]:=
Do Plot x^p, x, 0, 3 , PlotRange ® 0, 10 , p, 1, 3, 1 2
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了体出些值和点下我可利解程命 为具求这极点拐，面们以用方的 “ v” 求 f ) f ′ ) 实 ， 入 令 ： 令 S l e 来 解′(x 和 ′(x 的 根 输 命 为 o
In[12]:=
实验二
一元函数图形及其性态
Out[12]=
Out[13]=
@D D @@ D @9 = < < D 8 8= 9< 8 9 < I M9 I M 89 = =
)的拐点。 极值点； ′ )有三个零点， 极值点； f′(x 有三个零点，且均为 f(x 的拐点。
A Graph of f' x
@D
A Graph of f'' x
300
@D
200
200 100 0
150
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- 100
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-3 -2 -1
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x^4 + x^3 + x^2 + x ; x^2 + x + 1 t1 = Plot f x , x, - 2, 2 , PlotStyle ® RGBColor 0, 1, 0 ; t2 = ParametricPlot Cos t Sin 2 t , Sin t Cos 3 t , t, 0, 2 Pi , PlotStyle ® RGBColor 1, 0, 0 ; g x_ := If x ¹ 0, 1 x Sin x^2 , 0 ; t3 = Plot g x , x, - 2, 2 , PlotStyle ® RGBColor 0, 0, 1 Show t1, t2, t3 f x_ :=
实验二
一元函数图形及其性态
xt o i 2 ( )=c stsn t （ y t)=sn c s3 2 ）( i t o t
1 sn 2, x≠0 i x g x =x ( ) （ 3 ） , 0 , x=0
同坐系画以三函的形 在一标下出上个数图。
解输命如： ：入令下
In[1]:=
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一元函数图形及其性态
作图命令 Plot” “ ” 可带很多选项， 可带很多选项， 现对常用的一些选项介绍如下： 现对常用的一些选项介绍如下：
PlotRange
作图区域，格式为 作图区域，格式为:
PlotRange→{因变量最小值 因变量最大值 ； → 因变量最小值 因变量最大值}； 因变量最小值,因变量最大值 PlotRange→{{自变量最小值 自变量最大值}， 因变量最小值， → 自变量最小值,自变量最大值 ， 因变量最小值， 自变量最小值 自变量最大值 {因变量最小值 因变量最大值}} 因变量最大值 PlotRange→All （表示显示所有点） → 表示显示所有点）
GirdLines
在图形上画横竖线，格式为： 在图形上画横竖线，格式为：
GirdLines→Automatic (表示在每个记号处画线 → 表示在每个记号处画线) 表示在每个记号处画线 GirdLines→{{横轴方向画线处 纵轴方向画线处 → 横轴方向画线处 纵轴方向画线处}} 横轴方向画线处,纵轴方向画线处
Axes→False →
Axes→{True,False}(或{False,True}) 只画一个坐标轴 → 或
AxesLabel
指定坐标轴的名称，格式为： 指定坐标轴的名称，格式为： AxesLabel→{横轴名称 纵轴名称 → 横轴名称 纵轴名称} 横轴名称,纵轴名称
AxesOrigin 用于指定两坐标轴的交点的位置 格式为： 格式为：AxesOrigin→{x,y} →
首先介绍一下平面图形的描绘： 先介绍一下平面图形的描绘 平面图形的描绘：
一元显函数图形的绘制
a ] = ) 在平面直角坐标系中绘制函数 y=f(x 在区间 [ ,b 的图形是函
选项]。 数“Plot” 其调用格式为：Plot[f(x),{x,a,b},选项 。 ” 其调用格式为： ， 选项
同时绘制多个函数的调用格式为： 同时绘制多个函数的调用格式为： Plot[{f1(x),f2(x),…},{x,a,b},选项 。 选项]。 … 选项
Frame
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用于给图形加边框(默认值为 用于给图形加边框 默认值为 False)
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AspectRatio 指 定 图 形显 示的高 与宽 的比 例 ， 格 式为 ： AspectRatio→值； → AspectRatio→Automatic → 表示高宽比由计算机根据图形实际尺寸确定
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一元函数图形及其性态
2 x 例 绘 函 f(x =x +x −5 3 −x +8 −4以 f′(x , f′(x 的 出数 ) 5 4 x 及 ) ′ ) 3
形并出有驻和点 图，找所的点拐。
− ： 先 我 不 将 ) 自 量 示 围 为3 ] 则 解 首 ， 们 妨 f(x 的 变 显 范 定 [− ,3 ，
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Out[9]=
0
- 20
-3
-2
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一元函数图形及其性态
)图形的“全貌” = 图中的曲线差不多是函数 y= f(x 图形的“全貌” 从图形中 。
2 1 可 以 看 出 x=− ,x= 为 函 数 的 零 点 ， 单 调 性 在
1 , 1 x=− ,x=− .8 x=1 2 0, 附近改变， 附近改变，而且在 x=− ,x=0 x= 附近曲
实验二 一元函数图形及其性态
东南大学 数学系
实验二
一元函数图形及其性态
实 的 的 让 学 悉 学 件 a e ai a所 的 好 具 本 验 目 是 同 熟 数 软 M hmtc 所 有 良 t 作功，通函图来识数运函的形观 的图能并过数形认函，用数图来 和析数有性，立形合思。 察分函的关态建数结的想
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为了利于观察一些特殊点的位置，我们选择了选项 “ GirdLines→Automatic”使图形的坐标平面上出现了网格 → ” 线，而且这时 Mathematica 将自动选择相应的 y 的显示范围为
[ 2 , 0 。输出结果如下图： − 01 ] 输出结果如下图：
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一元函数图形及其性态
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一元函数图形及其性态
在 上 面 的 程 序 中 ， 命 令 “ Plot ” 的 选 项 “ PlotStyle→RGBColor[a,b,c] ” 是 指 选 用 颜 色 绘 图 ， 其 中 → a,b,c 为介于 ， 之间的数， a,b,c 选择 介于[0， 之间的数， 1]之间的数 若 选择[1,0,0]、 [0,1,0]、 、 、 [0,0,1]，则分别表示的是三元色：红、绿、蓝。运行后的图形为： ，则分别表示的是三元色： 运行后的图形为：
样 们 用 a e ai a 同 结 函 微 学 知 找 这 我 利 M hmtc 并 时 合 数 分 的 识 t 了些键，而函的形有真全的解 出一关点从对数图就了实面了。
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线凸向似乎有所改变。 线凸向似乎有所改变。
总之，由函数的图形我们只能近似地判断出一些信息， 总之，由函数的图形我们只能近似地判断出一些信息，那么 这些印象是否属实呢？为了证实这些印象， 我们利用下面的 这些印象是否属实呢？为了证实这些印象， Mathematica 语句来加以验证： 语句来加以验证：
PlotStyle→Dashing[{r1,r2,…}] → …
指交替使用数 r1,r2,…作为线段和空白的相对长度画虚线 其中这 …作为线段和空白的相对长度画虚线(其中这 的数) 些数应是远小于 1 的数
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PlotPoints 采样点数（默认值为 25） 格式为: 采样点数（ ） 格式为 ，格式为 ， PlotPoints→点数 →
PlotLabel
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用于在图形上方居中加注释
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一元函数图形及其性态
Axes
用于指定是否显示坐标轴 不画出坐标轴（ 不画出坐标轴（默认为 True） ）