3立体几何综合大题讲义
第30讲立体几何的综合问题(讲义)
第30讲 立体几何的综合问题一、高考要求立体几何在高考中的题型与题量较为稳定，分值约占30分左右．高考中的立体几何立足点放在空间图形上，突出对空间观念和空间想象力的考查，其基础是对点、线、面各种位置关系的讨论和研究进而讨论几何体． 二、两点解读重点：(1）直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系的考查； （2）空间的角与距离计算（兼顾表面积和体积）；（3）在计算与证明中的化归思想（降维思想）的运用． 难点：二面角的求法与距离的计算． 三、课前训练1．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD ＝a ，则三棱锥D —ABC 的体积为 （ D ）（A ）63a （B ）123a （C ）3123a （D ）3122a2．在正方形ABCD 中，F E ,分别是边BC AB ,的中点，沿EF DF DE ,,把这个正方形折成一个四面体，使C B A ,,三点重合，重合后的点记为P ，那么在四面体DEF P -中DF 与平面PEF 所成的角的余弦值为 （ C ）（A ）0 （B ）23（C ）55 （D ）552 3．已知m 、n 是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：①若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α或n ⊥β； ②若α∥β，α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，则m ∥n ；③若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线； ④若α∩β＝m ，n ∥m 且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α且n ∥β． 其中正确的命题序号是②④（注：把你认为正确的命题的序号都．填上）． 4．如图，O 是半径为l 的球心，点A 、B 、C 在球面上， OA 、OB 、OC 两两垂直，E 、F 分别是大圆弧AB 与AC的中点，则点E 、F 在该球面上的球面距离是3π四、典型例题例1如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都是2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 的长是5例2．如图，已知DA ⊥平面ABE ，四边形ABCD 是边长为2的正方形， 在△ABE 中，AE=1，BE=3（1）证明：平面ADE ⊥平面BCE ； （2）求二面角B —AC —E 的余弦值。
立体几何专题讲义
3．设正六棱锥的底面边长为 1，侧棱长为 5 ，那么它的体积为_______________.
4．正棱锥的高和底面边长都缩小原来的 1 ，则它的体积是原来的______________. 2
5．已知圆锥的母线长为 8,底面周长为 6π,则它的体积是
.
6。平行六面体 AC1 的体积为 30，则四面体 AB1CD1 的体积等于
锥。
3．球 球的性质： ①球心与截面圆心的连线垂直于截面；
★② r R2 d 2 （其中，球心到截面的距离
d、球的半径为 R、截面的半径为 r)
球心
轴
★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与
方体,球与正方体等的内接与外切。
O
D'
C'
A'
C'
A'
B'
O
O
A
R r
d O1
球面 为 半径
长
B
D
C
A
B
A
3
8
立体几何专题讲义
27. 一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为_________。
考点四 平行与垂直的证明
1. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 ， AA1=2 ,E 为棱 CC1 的中点． （Ⅰ） 求证: B1D1 AE ； （Ⅱ） 求证： AC // 平面 B1DE ; （Ⅲ）求三棱锥 A-BDE 的体积．
c
注:球的有关问题转化为圆的问题解决。
1
球面积、体积公式：
S球
4
R2 ,V球
4 3
R3 （其中
R
为球的半径）
平行垂直基础知识网络★★★
立体几何的综合问题 经典课件(最新)
高中数学课件
(3)证明：如图 7 连结 DE 交 FC 于 Q，连结 QG，因为 G，Q，M 分别是 FD，FC， AB 的中点，所以 GQ 綊12CD，AM 綊12CD，所以，AM 綊 GQ，四边形 AMQG 是平行四 边形，AG∥MQ，AG⊄面 FMC，MQ⊂面 FMC，所以 AG∥平面 FMC..
高中数学课件
[强化训练 2.1] (2015 年高考·浙江卷)如图 10，在三棱锥 A－BCD 中，AB＝AC＝ BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点 M，N 分别为 AD，BC 的中点，则异面直线 AN，CM 所 成的角的余弦值是________．
图 10
解析：
高中数学课件
图 11 连结 DN，取 DN 的中点为 E，再连结 EM，EC.在△ADN 中，因为 E，M 分别是 DN， DA 的中点，则 EM∥AN，即∠CME 是异面直线 AN，CM 所成的角(或补角)，再计算得 EM＝12AN＝ 2，EC＝ 3，CM＝2 2，结合余弦定理得 cos∠CME＝78. .答案：78
图3
1.0，π2 2.0，π2 3.[0，π]
答案
高中数学课件
高频ห้องสมุดไป่ตู้点透析
高中数学课件
高频考点 1 先证明平行与垂直，然后求面积或体积 【例 1.1】 在图 4 所示的几何体中，△ABC 是边长为 2 的正三角形，AE＝1，AE ⊥平面 ABC，平面 BCD⊥平面 ABC，BD＝CD＝ 2.
立体几何中的综合问题课件高三数学一轮复习
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5. （多选）如图，在棱长为1的正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1中， M ， N 分别为 BD 1， B 1 C 1的中点，点 P 在正方体的表面上运动，且满足 MP ⊥ CN . 下列说法中正确的是（ ） A. 点 P 可以是棱 BB 1的中点
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考向1 轨迹问题
动态问题
A. π C. 4π
B. 2π
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（2）（多选）如图，已知正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1的棱长 为4， M 为 DD 1的中点， N 为 ABCD 所在平面内一动 点，则下列命题正确的是（ ）
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（2024·厦门质检）在三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1中，四边形 AA 1 B 1 B 是 菱形， AB ⊥ AC ，平面 AA 1 B 1 B ⊥平面 ABC ，平面 A 1 B 1 C 1与平面 AB 1 C 的交线为 l .
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（1）证明： A 1 B ⊥ B 1 C .
解：证明：因为四边形 AA 1 B 1 B 为菱形，所以 A 1 B ⊥ AB 1. 因为平面 AA 1 B 1 B ⊥平面 ABC ，平面 AA 1 B 1 B ∩平面 ABC ＝ AB ， AC ⊂平面 ABC ， AC ⊥ AB ， 所以 AC ⊥平面 AA 1 B 1 B . 又 A 1 B ⊂平面 AA 1 B 1 B ，所以 AC ⊥ A 1 B . 又因为 AB 1∩ AC ＝ A ， 所以 A 1 B ⊥平面 AB 1 C . 又 B 1 C ⊂平面 AB 1 C ，所以 A 1 B ⊥ B 1 C .
高考数学《立体几何的综合问题》复习课件
课堂考点探究
探究点二 探索性问题中的平行与垂直关系
例 3 [2018·山东、湖北部分重点中学模拟] 如 图 7-43-4 所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 ABB1A1 是矩形,∠BAC=90°,AA1⊥ BC,AA1=AC=2AB=4,且 BC1⊥ A1C. (1)求证:平面 ABC1⊥平面 A1ACC1. (2)设 D 是 A1C1 的中点,判断并 证明在线段 BB1 上是否存在点 E,使得 DE∥平 面 ABC1?若存在,请说明理由并求点 E 到平面 ABC1 的距离.
课堂考点探究
方法二:当 E 为 BB1 的中点时,连接 DE,如图 2,设 A1C 交 AC1 于点 G,连接 BG,DG. ∵DG 12CC1,BE 12CC1,∴BE∥DG 且 BE=DG,∴四边形 DEBG 为平行四边形,则 DE∥BG, 又 DE⊄平面 ABC1,BG⊂平面 ABC1,∴DE∥平面 ABC1.求距离同方法一.
课堂考点探究
例 2 [2018·烟台二模] 如图 7-43-2 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,四边形 ABCD 是矩形,E,F 分别为 BC,AP 的中点. (1)求证:EF∥平面 PCD; (2)若平面 PAB⊥平面 ABCD,AD=AP=1,AB=2,∠ PAB=45°,求三棱锥 P-DEF 的体积.
[思路点拨] (1)欲证 PE⊥BC,只需证明 PE⊥AD 即可;(2)证明 PD⊥平面 PAB,从 而可得平面 PAB⊥平面 PCD;(3)取 PC 的 中点 G,连接 FG,DG,证明 EF∥DG,则 EF ∥平面 PCD.
课堂考点探究
证明:(1)∵PA=PD,且 E 为 AD 的中点,∴PE⊥AD. ∵底面 ABCD 为矩形,∴BC∥AD,∴PE⊥BC. (2)∵底面 ABCD 为矩形,∴AB⊥AD.∵平面 PAD⊥平面 ABCD,∴AB⊥平面 PAD,∴AB⊥ PD.又 PA⊥PD,∴PD⊥平面 PAB,∴平面 PAB⊥平面 PCD. (3)如图,取 PC 的中点 G,连接 FG,GD.∵F,G 分别为 PB 和 PC 的中点,∴FG∥BC 且 FG=12BC.∵四边形 ABCD 为矩形,且 E 为 AD 的中点, ∴ED∥BC,ED=12BC,∴ED∥FG 且 ED=FG,∴四边形 EFGD 为平行四边形,∴EF∥GD. 又 EF⊄平面 PCD,GD⊂平面 PCD,∴EF∥平面 PCD.
立体几何综合题讲义
立体几何解答题解题策略高考中，立体几何解答题一般有以下三大方向的考查。
一、考查与垂直，平行有关的线面关系的证明；二、考查空间几何体的体积与表面积；三、考查异面角，线面角，二面角等角度问题。
前两种考查多出现在第1问，第3种考查多出现在第2问；对于角度问题，一般有直接法与空间向量法两种求解方法。
一、高考真题1、【2012高考真题浙江理20】如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为32的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝62，M，N分别为PB，PD的中点．(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．2、【2012高考真题江西理20】（本题满分12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=5，BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O。
（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；（2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值。
ABCOA1B1C13、（2011浙江高考）如图，在三棱锥P-ABC 中，AB=AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2。
（1）证明：AP ⊥BC ；（2）在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A-MC-B 为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。
4、（2010浙江高考）在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，AE=EB=AF=4，FD=6。
沿直线EF 将△AEF 翻折成△A 1EF ，使平面A 1EF ⊥BEF 。
（1）求二面角A 1-FD-C 的余弦值；（2）点M 、N 分别在线段FD 、BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与A 1重合，求线段FM 的长。
PAB CDO二、平行、垂直关系的证明。
高三立体几何讲义
立体几何讲义一、空间几何体 球与正方体的组合体问题(1)正方体的内切球： 球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。
设正方体的棱长为a ，球半径为R 。
如图3，截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2aR =； (2)与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 22=。
(3)正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 231==。
例1．某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是().ABCD例2.（1） 在球面上有四个点P 、A 、B 、C .如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且a PC PB PA ===,那么这个球的表面积是______.(2)正四棱锥S ABCD -，点S 、A 、B 、C 、D 都在同一个球面上，则该球的体积为_________。
二、平行关系例3. 如图,直三棱柱ABC-A'B'C',∠BA点M,N 分别为A'B 和B'C'的中点.图3图4图5证明:MN ∥平面A'ACC';三、垂直关系例4.如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点证明：平面BDC 1⊥平面BDC（2）. 如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,CA=CB,AB=A A 1,∠BA A 1=60°.证明AB ⊥A 1C; 如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,CA=CB,AB=A A 1,∠BA A 1=60°.(Ⅰ)证明AB ⊥A 1C;(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA 1B 1B,AB=CB=2,求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值.B 1CB A DC 1A 1（3）如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.(I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；(II)2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值练习题1. 一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长.2．如图所示是一个几何体的三视图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得该几何体的表面积为________cm 2.3. 如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是(A)43 (B) 83(C) 4 (D) 8 4．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是（ ） A ．23B ．32C ．6D ．65. 如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高．(1)证明：平面PAC ⊥平面PBD ；(2) )若AB ＝6，∠APB ＝∠ADB ＝60°,求面APD 与面BPC 所成二面角的余弦值。
高三数学第一轮复习：立体几何的综合问题知识精讲
高三数学第一轮复习：立体几何的综合问题【本讲主要内容】立体几何的综合问题立体几何知识的综合应用及立体几何与其它知识点的综合问题【知识掌握】【知识点精析】1. 立体几何的综合问题融直线和平面的位置关系于平面与几何体中，有计算也有论证。
解决这类问题需要系统地掌握线线、线面、面面的位置关系，特别是平行与垂直的判定与性质．深刻理解异面直线所成的角、斜线与平面所成的角、二面角的平面角的概念，理解点到面的距离、异面直线的距离的概念．2. 立体几何横向可与向量、代数、三角、解析几何等综合．3. 应用性问题、探索性问题需综合运用所学知识去分析解决．【解题方法指导】例1.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（）解析：P到直线BC的距离等于P到B的距离，动点P的轨迹满足抛物线定义．故选C.例2.如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥平面ABCD，（Ⅰ）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；（Ⅱ）证明不论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°．（Ⅰ）解：∵PB⊥面ABCD，∴BA是PA在面ABCD上的射影，又DA⊥AB ∴PA⊥DA∴∠PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角∴∠PAB＝60°，PB＝AB·tan60°＝3a ,∴ V 锥＝3233·3·31a a a = （Ⅱ）证明：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD 与PCD 恒为等腰三角形，作AE ⊥PD ，垂足为E ，连结CE ，则△ADE ≌△CDE ，因为AE ＝CE ，∠CED ＝90o，故∠CEA 是面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角． 设AC 与BD 交于点O ，连结EO ，则EO ⊥AC ，所以a AD AE OA a =<<=22，22a AE <， 在△AEC 中，02222cos 222222222<-=-=•-+=∠AE a AE AE a AE EC AE AC EC AE CEA 所以面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90o。
高中数学立体几何综合讲义
结合主视图和左视图即可.并且主视图和侧视图都是直角三角形时候，则顶点 的投影一定在底面图形的端点位置 5.若底面图形有虚线，则该几何体下面肯定被挖去了一部分 5、斜二测画法
空间几何体的直观图都可以采用斜二测画法
(A)1
(B)2
(C)4
(D)8
（2014 全国卷Ⅰ理 12）如图 4 所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三
视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）
(A) 6 2
(B) 6
(C) 4 2
(D) 4
图3
图4
（2013 全国卷Ⅰ理 12）某几何函数的三视图如图 5 所示，则该几何的体积为（ ）
(B)③和①
(C) ④和③
(D)④和②
图5
图6
【名题精选，提升能力】
1、某三棱锥的三视图如图 1 所示，则该三棱锥的体积为（ ）
1 (A)
6
1 (B)
3
1 (C)
2
2、某三棱锥的三视图如图 2 所示，则该三棱锥中最长的棱长为（ ）
(A) 2 3
(B) 2 2
(C) 5
3
(D)1
(D)2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
方向教育讲义
(A)18+8π
(B)8+8π
(C)16+16π
(D)8+16π
（2014 湖北卷理 5）在如图 6 所示的空间直角坐标系 O xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是
0, 0, 2 ，2, 2, 0 ，1, 2,1 ，2, 2, 2 .给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图
立体几何讲义
立体几何讲义一、三种平行关系的相互转化：判定定理 判定定理线线平行 线面平行 面面平行 定义 性质定理例1、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，(1)若P 为11B D 的中点，证明：1||AP BC D 面 (2) 若P 为11B D 的动点，证明：1||AP BC D 面 （3）若面11111BC D A B C D l =面证明：11||l B D2．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A1B1C1D1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC1的中点，P 是侧面BCC1B1内一点，若A1P ∥平面AEF ，则线段A1P 长度的取值范围是（ ） A ．[1，] B ．[，] C ．[，] D ．[，]3、如图,若Ω是长方体1111ABCD-A B C D 被平面EFGH 截去几何体11EFGH B C 后得到的几何体,其中E 为线段11A B 上异于1B 的点，F 为线段1B B 上异于1B 的点，且EH ∥11A D ，则下列结论中不正确的是（ ） A. EH ∥FG B.四边形EFGH 是矩形 C. Ω是棱柱 D. Ω是棱台4、如图，E 是以AB 为直径的半圆上异于A 、B 的点，矩形ABCD 所在的平面垂直于该半圆所在的平面 （Ⅱ）设平面ECD 与半圆弧的另一个交点为F ． 试证：//EF AB ；思考：平面α过正方体ABCD —A1B1C1D1的顶点A ，11//CB D α平面,ABCD m α=平面，11ABB A n α=平面，则m ，n 所成角的正弦值为（ ）（A ）32 （B ）22（C ）33 （D ）13二、垂直关系：(1)垂直要集中，然后由旧垂推出新垂判定定理 判定定理线线垂直 线面垂直 面面垂直 定义 性质定理注：（1）线面垂直的性质又揭示了平行与垂直之间的转化 （2）转化的思想：⊥⊥⇒⊥⇒⇒线线或利用面面的性质（后者较多）证明（或做出）线面体积高体积例1、如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=，1BC AC ⊥，则1C 在底面ABC 上的射影必在（ ）A.直线AB 上B.直线BC 上C.直线AC 上D.△ABC 内部回顾：如图，棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，P 为线段B A 1上的动点，则下列结论正确的有__________ ①P D DC 11⊥ ②平面⊥P A D 11平面AP A 1C 1B 1A 1CBA D 1C 1B 1A 1③三棱锥11_C PDD 的体积与P 点位置无关④若动点Q 在正方体的表面上运动，且总保持1AQ BD ⊥。
68.立体几何讲义3：求方向向量、求法向量、建系、求点的坐标 课件-2021届高三数学一轮复习
A1
C1
B1
A
D
C
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
题目 5：如图，在等腰梯形 ABCD 中， AB∥CD ， AD DC CB 1,ABC 60 ， CF 平面 ABCD ，且CF 1，建立适当的直角坐标系并确定各点坐标。 F
题目 6：已知四边形 ABCD 满足 AD∥BC,BA AD DC 1 BC a ，E 是 BC 中点， D 2
等边三角形，侧面 ABB1A1 为菱形且BAA1 60o ， E, F 分别为 BB1 和C1B1 的中点，
建立适当的直角坐标系并求向量C1B1 的坐标。
五、怎样设点的坐标
题目 10：已知斜三棱柱 ABC A1B1C1,BCA 90 , AC BC 2, A1 在底面 ABC 上的 射影恰为 AC 的中点 D ，又知BA1 AC1 ，建立如下图所示的坐标系并确定各点坐标。
立体几何讲义3：垂直问题
一、求直线的方向向量和平面的法向量
题目 1：已知点 A2,4,6, B3,0,2 ，求直线AB 的一个方向向量。
题目 2：已知点 A0,0,0, B1, 2,0,C 2,1,3 ，求平面 ABC 的一个法向量。
二、不同建系法的比较
题目 3：如图 1，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， H 是正方形 AA1B1B 的中心，
将 BAE 翻折成 B1AE ，使得平面 B1AE 平面 AECD ， F 为B1D 中点，建立适当的直 A
角坐标系并确定各点坐标。
B'
A
D
F
A
D
B
E
C
E
C
C B
三、求点的坐标
题目 7：已知四棱锥 P ABCD 的底面是菱形，对角线 AC, BD 交于点O,OA 4, OB 3, OP 4 ，且OP 平面 ABCD ，点 M 为 PC 的三等分点（靠近P ），建立适当的直角坐
立体几何复习讲义
期末复习讲义（一）立体几何．基础知识．点、直线、平面之间的位置关系及语言表达;3.8,请同学们自己梳理一下问题(还会吗?)(结合以前做过的题目)(1)和几何体的展开图及展开图还原的相关问题;(2)什么叫截面?如何找几何体的截面及和截面相关的问题;(3)如何利用等积法求三棱锥的体积及点到平面的距离?(4)探索性问题及折叠问题.综合例题讲解(一)类型一：平行垂直的证明例：如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2,AA1=1,D是BC的中点，点P在平面BCC1B1内，PB1=PC1=2.工(1)求证：PA1±BC；(2)求证：PB1〃平面AC1D；(3)求证：B1D，平面ADC1.(二)类型二：求空间中的角/PAB=60。
AB=BC=CA平面例：如图在三棱锥P—ABC中/APB=90。
PAB1平面ABC(I)求直线PC与平面ABC所成角的正切值(II)求二面角B—AP—C的正切值(求异面直线与的夹角的余弦值。
(三)类型三：有关求体积或求距离的综合问题例3:如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD，底面ABCD,侧棱PA=PD=2,底面ABCD为直角梯形，其中BC//AD,AB±AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD的中点.(2)求异面直线PB与CD所成角的正切值的大小;(3)线段AD上是否存在点。
，使得它到'平面PCD的总若不存在,请说明理由．PA(1)求证：PO，平面ABCD；C 0,,,3离为2? 存在，求出QD的值;(四)类型四:有关折叠的综合性问题(探索性问题等)例：如图Z ACB=45。
BC=3过动点作AD1BC垂足在线段上且异于点连接沿AD将^ABD折起使Z BDC=90。
(如图所示)(I)当BD的长为多少时三棱锥A-BCD的体积最大(II)当三棱锥A-BCD的体积最大时设点EM分别为棱BCAC的中点试在棱CD上确定一点N使得EN1BM。
AAMD・.CBE图1图2作业：如图所示，在斜三棱柱A1B1C1-ABC底面是等腰三角形，AB=AC,侧面BB1C1C，底中面ABC.⑴若D是BC的中点，求证：AD±CC/⑵过侧面BB1C1C的对角线BC1的平山上侧面BB1c1C.C.2.如图，正方体的棱长为1,B'C n BC=0,求:(1)A0与A，C'所成角的度数；(2)A0与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面A0B与平面A0C所成角的度数.3..如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E,F分别为DD,,DB的中点.(1)求证：EF〃平面ABC1D1；(2)求证：EF±B1C；(3)求三棱锥B1-EFC的体积.AB1如图直三棱柱ABC—ABC中AC=BC=—AAD是棱AA1的中点DC11BD11121证明DC1BC1求二面角A—BD—C的大小11。
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立体几何【典型例题】题型一、线面平行例1、（2012•山东）如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD，EC⊥BD．（Ⅰ）求证：BE=DE；（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC变式1：（2013•枣庄二模）一多面体的三视图和直观图如图所示，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形（尺寸如图所示）直观图中的平面BEFC水平放置．（1）求证：AE∥平面DCF；变式2：（2013•潍坊一模）如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=2，点E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使平面ABCD⊥平面EFDC，设AD中点为P．（I ）当E为BC中点时，求证：CP∥平面ABEF（Ⅱ）设BE=x，问当x为何值时，三棱锥A-CDF的体积有最大值？并求出这个最大值．例2、（2010•湖南）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．变式：（2013•广州三模）如图，在等腰梯形PDCB中，PB∥CD，PB=3，DC=1，PD=BC=2，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：平面PAD⊥平面PCD．（2）在线段PB上是否存在一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分的体积之比为V PDCMA：V M-AC B=2：1，若存在，确定点M的位置；若不存在，说明理由．（3）在（2）的条件下，判断AM是否平行于平面PCD．练习1、（2013•宁德模拟）如图所示的多面体A1ADD1BCC1中，底面ABCD为正方形，AA1∥BB1∥CC1，AA12AB=2AA1=CC1=DD1=4，且AA1⊥底面ABCD．（Ⅰ）求证：A1B∥平面CDD1C1；（Ⅱ）求多面体A1ADD1BCC1的体积V．2、（2013•聊城一模）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=BC=1，PD=AB=2，E、F分别为线段PD和BC的中点（I）求证：CE∥平面PAF；（Ⅱ）求三棱锥P-AEF的体积．题型二、线面垂直 例3、（2011•辽宁）如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，OA=AB=PD 21. （Ⅰ）证明PQ ⊥平面DCQ ；（Ⅱ）求棱锥Q-ABCD 的体积与棱锥P-DCQ 的体积的比值．变式：如图，P 为△ABC 所在平面外一点，AP=AC ，BP=BC ，D 为PC 中点，直线PC 与平面ABD 垂直吗？为什么？例4、（2012•福建）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=1，AA 1=2，M 为棱DD 1上的一点．（1）求三棱锥A-MCC 1的体积；（2）当A 1M+MC 取得最小值时，求证：B 1M ⊥平面MAC ．变式2：（2011•惠州模拟）如图，己知△BCD 中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB 二60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且)10(<<==λλAD AF AC AE . （1）求证：不论λ为何值，总有EF ⊥平面ABC ：(2)若21=λ，求三棱锥BEF A -的体积.练习1、（2009•广州模拟）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是CD 的中点．（I ）求证：A 1C ∥平面AD 1E ；（II ）在对角线A 1C 上是否存在点P ，使得DP ⊥平面AD 1E ？若存在，求出CP 的长；若不存在，请说明理由．2、如图是长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1被一个平面截去一部分后得到的几何体ABCD-A 1EFD 1，其中EF ∥BC ，且AB=2AA 1=2A 1D 1=2A 1E ．（1）求异面直线CE 与DB 所成的角；（2）若在棱CD 上存在点G ，满足AF ⊥平面D 1EG ，试确定点G 的位置．3、（2013•浙江）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，AB=BC=2，AD=CD=7，PA=3，∠ABC=120°，G 为线段PC 上的点．（Ⅰ）证明：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若G 是PC 的中点，求DG 与PAC 所成的角的正切值；（Ⅲ）若G 满足PC ⊥面BGD ，求GCPG 的值．题型三、面面平行例5、（2013•陕西）如图，四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB=AA 1=2．（Ⅰ） 证明：平面A 1BD ∥平面CD 1B 1；（Ⅱ） 求三棱柱ABD-A 1B 1D 1的体积．变式1：（2013•湛江二模）三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AB=BC=AC=AA 1，CD ⊥AC 1，E 、F 分别是BB 1、CC 1中点．（1）证明：平面DEF ∥平面ABC ；（2）证明：CD ⊥平面AEC 1．变式2：如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．（1）求证：直线MN∥平面EFDB；（2）求证：平面AMN∥平面EFDB．例6、（2013•海淀区二模）如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，BA=BC 把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，如图2所示，点E，F分别为线段PC，CD的中点．（I）求证：平面OEF∥平面APD；（II）求直线CD⊥与平面POF（III）在棱PC上是否存在一点M，使得M到点P，O，C，F四点的距离相等？请说明理由．变式：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？练习1、如图，棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为菱形，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ．（1）证明：BD ⊥AA 1；（2）证明：平面AB 1C ∥平面DA 1C 1（3）在直线CC 1上是否存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由．2、如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，BC ⊥BC 1，AB=BC 1，E ，F 分别为线段AC 1，A 1C 1的中点．（1）求证：EF ∥面BCC 1B 1；（2）求证：BE ⊥面AB 1C 1；（3）在线段BC 1上是否存在一点G ，使平面EFG ∥平面ABB 1A 1，证明你的结论．题型四、面面垂直例7、（2012•黑龙江）如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=121AA ，D 是棱AA 1的中点．（I ） 证明：平面BDC 1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．变式1：（2009•湖南）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4，D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E．（1）证明：平面A1DE⊥平面ACC1A1；（2）求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值．例8、（2011•陕西）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AD是高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°．（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；（Ⅱ）设E为BC的中点，求AE与DB夹角的余弦值.变式1：（2013•宜宾二模）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D、E分别是AC、AB上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图2．（Ⅰ）求证：平面A1BC⊥平面A1DC；（Ⅱ）若CD=2，求BE与平面A1BC所成角的余弦值；（Ⅲ）当D点在何处时，A1B的长度最小，并求出最小值．变式2：（2013•日照二模）如图是一直三棱柱（侧棱CD⊥底面ABC）被削去上底后的直观图与三视图的侧（左）视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，N是BC的重点，侧（左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．（Ⅰ）求该几何体的体积；（Ⅱ）求证：AN∥平面CEM；（Ⅲ）求证：平面BDE⊥平面BCD．练习1、（2010•沈阳一模）已知某几何体的直观图（图1）与它的三视图（图2），其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形．（Ⅰ）求出该几何体的体积；（Ⅱ）D是棱A1C1上的一点，若使直线BC1∥平面AB1D，试确定点D的位置，并证明你的结论；（Ⅲ）在（Ⅱ）成立的条件下，求证：平面AB1D⊥平面AA1D．题型五、二倍角变式2：正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角A-BD-C 1的大小为 .变式3：如图5，在椎体P ABCD -中，ABCD 是便常委边长为1的棱形，且060DAB ∠=,PA PD ==,2,PB =,E F 分别是,BC PC 的中点.（1） 证明：AD DEF ⊥平面；（2）求二面角P AD B --的余弦值。
练习1、如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，找出二面角B －AC －B 1的平面角并求出它的度数。
2、边长为a 的菱形ABCD ，∠ACB=600，现沿对角线BD 将其折成才600的二面角，则A 、C 之间的距离为 。
（菱形两条对角线互相垂直，对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线，则所成的角是二面角的平面角）B AA 1B 1C C 1 DD 13、正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长是4，过BC的一个平面与AA1交于D，若AD=3，求二面角D―BC―A证：BC⊥PC，(2)平面MAC与平面ABC所成的二面角的正切。
变式2：如图4，平面⊥平面β，∩β=l，A∈，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为变式：空间的点P 到二面角βα--l 的面α、β及棱l 的距离分别为4、3、3392，求二面角βα--l 的大二面角的大小。
变式2：如图，在三棱锥111C B A ABC -中，各条棱长都相等，E 为1BB 的中点，求截面EC A 1与平面111C B A 所成二面角（锐角）的度数.变式3：如图，斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600角，侧面BCC 1B 1⊥面ABC ，求平面与底面ABC 所成的二面角的大小。