高中数学《平面向量》章末复习

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平面向量复习基本知识点及经典结论总结

平面向量复习基本知识点及经典结论总结平面向量是数学中常见的概念，它是一种具有大小和方向的量。

本文将对平面向量的基本知识点及经典结论进行总结，以帮助读者复习和理解。

一、基本知识点1.定义：平面向量是具有大小和方向的量，可用有向线段来表示。

通常用字母a、b、c等表示向量，用小写字母表示有向线段的长度，用大写字母表示向量的大小。

2.向量的表示方法：在平面直角坐标系中，可以用坐标表示一个向量。

设平面向量a的起点为原点O(0,0)，终点为点A(x,y)，则向量a的表示为a=(x,y)。

3.向量的加法：设有两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则向量a+b可以表示为(a,b)=(x1+x2,y1+y2)。

4.向量的数量积：设有两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则向量a和b的数量积为a·b=x1×x2+y1×y25.向量的模长：向量a的模长表示为，a，可通过勾股定理求得，即，a，=√(x^2+y^2)。

二、经典结论1.平面向量共线：如果有两个向量a和b，且b与a同方向或反方向，那么向量a和b共线；如果b与a不同方向，那么向量a和b不共线。

2. 平面向量定比分点：如果有两个向量a = (x1,y1)和b = (x2,y2)，且存在一个实数k，使得x2 = kx1，y2 = ky1，则向量a和b的终点共线，并且b在a的延长线上（如k>1）或b在a的连线上（如0<k<1）。

3.向量共线定理：如果有三个向量a，b，c，且c=λa+μb，则向量c与向量a和b共线。

4.平面向量的线性运算：设有三个向量a，b，c，和两个实数λ、μ，那么有以下性质成立：(1)a+b=b+a（交换律）(2)(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）(3)λ(μa)=(λμ)a=μ(λa)=λ(μa)（乘法结合律）(4)λ(a+b)=λa+λb（分配律）(5)(λ+μ)a=λa+μa（分配律）5.向量共线的判定方法：(1)数量积：如果两个向量a和b的数量积a·b=0，则向量a和b垂直；如果a·b>0，则向量a和b夹角小于90°；如果a·b<0，则向量a和b夹角大于90°。

平面向量章末复习方案

在点 O，那么从向量 b 的终点 B 指向被减向量 a 的终点 A，得到
的向量 BA 就是 a－b.
(5)一般地，实数λ与向量λa的积是一个向量，记作λa，所以它既有大小又有方向． ①大小(长度)：|λa|＝|λ|· |a|.
②方向：当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0，方向任意． (6)实数与向量的积的运算满足： ①结合律：λ(μa)＝(λμ)a.
[答案] 1 1
[借题发挥]
平面向量的数量积是向量的核心内容，
利用向量的数量积可以证明两向量垂直、平行，求两向量的夹角，计算向量的长度等．
2 3．已知 c＝ma＋nb，c＝(－2 3，2)，a⊥c，b 与 c 的夹角为 π， 3 b· c＝－4，|a|＝2 2，求实数 m，n 的值及 a 与 b 的夹角 θ.
4 OE .
证明：因为 E 是对角线 AC 和 BD 的交点，
所以 AE ＝ EC ＝－ CE ， BE ＝ ED ＝－ DE . 在△OAE 中， OA ＋ AE ＝ OE ，同理， OB ＋ BE ＝ OE ， OC ＋ CE ＝ OE ， OD ＋ DE ＝ OE .
(3)向量的加法满足交换律与结合律，即 a＋b＝b＋a(交换律)； (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(结合律)．
OB (4)求两个向量差的运算叫作向量的减法，作向量 OA ＝a，
＝b，则 a－b＝ OA － OB ＝ BA ，即：如果把向量 a 与 b 的起点放
(2)若 OE ＝λ OA ，求实数 λ 的值．
[解]

平面向量知识点总结-2025届高三数学一轮复习

知识点总结4 平面向量一．平面向量向量的线性运算向量运算加法减法数乘几何表示首尾相接指向终点起点重合指向对顶点起点重合指向被减向量(1)|λa |＝|λ||a |，(2)当λ＞0时，λa 与a 方向相同；当λ＜0时，λa 与a 方向相反；当λ＝0时，λa ＝0一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 2．平面向量基本定理e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 是平面内两个不共线向量，那么对这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a =λ1e 1⃗⃗⃗ +λ2e 2⃗⃗⃗ . 我们把不共线的向量e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 叫做表示这一平面的一组基底. 3．“爪”子定理形式1：在△ABC 中，D 是BC 上的点，如果|BD |＝m ，|DC |＝n ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n m+nAB⃗⃗⃗⃗⃗ +m m+nAC⃗⃗⃗⃗⃗ ，特别地，若D 为线段BC 的中点，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．形式2：在△ABC 中，D 是BC 上的点，且BD →＝λBC →，则AD →＝λAC →＋(1－λ)AB →，特别地，若D 为线段BC 的中点，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．二．平面向量的坐标运算1.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2.向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.3.向量加法、减法、数乘运算及向量的模：设坐标表示 a =(x 1,y 1),b⃗ =(x 2,y 2)，则 a +b ⃗ =(x 1+x 2,y 1+y 2)， a −b ⃗ =(x 1−x 2,y 1−y 2)， λa =(λx 1,λy 1)， |a |＝x 21＋y 21.三．平面向量的数量积 1.向量a 与b⃗ 的夹角已知两个非零向量a 和b ⃗ .作OA ＝a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ⃗ ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b ⃗ 的夹角. 当θ＝0°时，a 与b ⃗ 同向；当θ＝180°时，a 与b⃗ 反向. 如果a 与b ⃗ 的夹角是90°，我们说a 与b ⃗ 垂直，记作a ⊥b ⃗ . 2.平面向量的数量积(1)若a ，b ⃗ 为非零向量，夹角为θ，则a ∙b ⃗ =|a |∙|b ⃗ |cosθ. (2)设a =(x 1,y 1),b ⃗ =(x 2,y 2)，则a ∙b ⃗ =x 1x 2+y 1y 2. 3.平面向量数量积的运算律 (1)a ∙b ⃗ =b ⃗ ∙a (交换律)；(2)λa ∙b ⃗ ＝λ(a ∙b ⃗ )＝a ∙(λb ⃗ ) (结合律)； (3)(a +b ⃗ )∙c =a ∙c +b ⃗ ∙c (分配律)． 4.平面向量数量积运算的常用公式 (1) (a +b ⃗ )∙(a −b ⃗ )=(a )2−(b⃗ )2． (2)(a +b ⃗ )2=(a )2+(b ⃗ )2+2a ∙b ⃗ =|a |2+|b ⃗ |2+2a ∙b ⃗ ． (3)(a −b ⃗ )2=(a )2+(b ⃗ )2−2a ∙b ⃗ =|a |2+|b ⃗ |2−2a ∙b ⃗ ． (4)极化恒等式：a ∙b ⃗ =14[(a +b ⃗ )2−(a −b ⃗ )2]； (平行四边形模式)a ∙b⃗ =14[|AC |2−|DB |2] 5.利用数量积求长度(1)若a =(x,y)，则|a |=√(a )2=√a ∙a =√x 2+y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：|AB |=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2.6.利用数量积求夹角：设a ，b ⃗ 为非零向量，若a =(x 1,y 1),b ⃗ =(x 2,y 2)，θ为a ，b ⃗ 的夹角，则cosθ=a⃗ ∙b ⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |=1212√x 1+y 1∙√x 2+y 27.向量的投影向量a 在向量b ⃗ 上的投影为:|a |cosθ=a⃗ ∙b ⃗|b ⃗ |．向量a 在向量b ⃗ 上的的投影向量为：|a |cosθ∙b ⃗|a ⃗ |=a ⃗ ∙b ⃗|b⃗ |∙b ⃗|b ⃗ |. 四．平面向量的平行与垂直1.两个非零向量平行、垂直的充要条件若a =(x 1,y 1),b⃗ =(x 2,y 2)，则 (1)a ∥b ⃗ ⇔a ＝λb ⃗ (b ⃗ ≠0⃗ )⇔x 1x 2＝y 1y 2⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)a ⊥b ⃗ ⇔a ·b ⃗ ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (3)与a 同方向的单位向量为：a⃗ |a ⃗ |=√x 2+y2y)=(√x 2+y2√x 2+y 2),与a 共线的单位向量为：±a ⃗ |a ⃗ |=√x 2+y 2y)=√x 2+y 2√x 2+y 2).2.三点共线的充要条件的三种形式(1)A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB (λ≠0)(2)A ，P ，B 三点共线⇔OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )(3)A ，P ，B 三点共线⇔OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．五．奔驰定理与三角形“四心”1.奔驰定理:如图，已知P 为ABC 内一点，则有0PBCPACPABSPA SPB SPC ++=.2.奔驰定理的推论及四心问题推论O 是ABC 内的一点,且0x OA y OB z OC ⋅+⋅+⋅=,则::::BOCCOAAOBS SSx y z =已知点O 在ABC 内部，有以下四个推论： ①若O 为ABC 的重心，则0OA OB OC ++=；①若O 为ABC 的外心，则sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=；或OA OB OC == ①若O 为ABC 的内心，则0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=；备注：若O 为ABC 的内心，则sin sin sin 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=也对.①若O 为ABC 的垂心，则tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=，或OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅。

高考数学压轴专题新备战高考《平面向量》知识点总复习

新数学《平面向量》期末复习知识要点一、选择题1．已知菱形ABCD 的边长为4，60ABC ∠=︒，E 是BC 的中点2DF AF =-u u u r u u u r，则AE BF ⋅=u u u r u u u r（）A ．24B ．7-C ．10-D ．12-【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量的基本定理,将AE BF ⋅u u u r u u u r用基底,AB AD u u u r u u u r 表达,再根据平面向量的数量积公式求解即可. 【详解】由已知得13AF AD =u u u r u u u r ,12BE BC =u u u r u u u r ,AD BC =u u u r u u u r,所以1122AE AB BC AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,13BF AF AB AD AB =-=-u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r .因为在菱形ABCD 中,60ABC ∠=︒,所以120BAD ∠=︒.又因为菱形ABCD 的边长为4,所以1||||cos1204482AB AD AB AD ⎛⎫⋅=⋅︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以1123AE BF AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r221111||||16(8)16126666AB AB AD AD --⋅+=--⨯-+⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r .故选：D 【点睛】本题考查平面向量的线性运算及向量的数量积,考查推理论证能力以及数形结合思想.2．已知点M 在以1(,2)C a a -为圆心，以1为半径的圆上，距离为23,P Q 在圆222:8120C x y y +-+=上，则MP MQ ⋅u u u r u u u u r的最小值为（）A ．18122-B ．19122-C ．18122+D ．19122+【答案】B 【解析】【分析】设PQ 中点D ，得到,MP MD DP MQ MD DQ =+=+u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r，求得23MP MQ MD ⋅=-u u u r u u u u r u u u u r ，再利用圆与圆的位置关系，即可求解故()23223MP MQ ⋅≥--u u u r u u u u r ，得到答案.【详解】依题意，设PQ 中点D ，则,MP MD DP MQ MD DQ =+=+u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r ，所以23MP MQ MD ⋅=-u u u r u u u u r u u u u r ，22222()12PQ C D QC =-=Q ，D ∴在以1为半径，以2C 为圆心的圆上， 22221[(2)4]2(3)1832C C a a a =+--=-+≥Q ，1221min min MD C C C D MC ∴=--故()2322319122MP MQ ⋅≥--=-u u u r u u u u r.【点睛】本题主要考查了圆的方程，圆与圆的位置关系的应用，以及平面向量的数量积的应用，着重考查了推理论证能力以及数形结合思想，转化与化归思想.3．在ABC V 中，312AB AC ==，D 是AC 的中点，BD u u u r 在AC u u ur 方向上的投影为4-，则向量BA u u u r 与AC u u ur 的夹角为（） A ．45° B ．60° C ．120° D ．150°【答案】C 【解析】【分析】设BDC α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r 的夹角为θ，BD u u u r 在AC u u u r方向上的投影为cos =4BD α-u u u r，利用线性代换并结合向量夹角公式即可求出夹角．【详解】312AB AC ==，D 是AC 的中点，则4AC =，2AD DC ==，向量BD u u u r 在AC u u u r方向上的投影为4-，设BDA α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r的夹角为θ，则cos =4BD α-u u u r，∴()cos ===BD DA AC BA AC BD AC DA ACBA AC BA AC BA AC θ+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()cos cos180444211===1242BD AC DA AC AB ACα⋅+⋅⨯+-⨯-⨯︒⨯⋅-u u u u u r u u u r u u u u r u u u ru ur r u，故夹角为120°，故选：C . 【点睛】本题考查向量的投影，利用数量积求两个向量的夹角，属于中等题.4．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ，2AE EB =u u u r u u u r，AB AC λ=u u u r u u u r ，若9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则实数λ=( )A ．3B ．2C ．3D ．2【答案】D 【解析】【分析】将AO u u u r 、EC uuu r 用AB u u u r 、AC u u u r 表示，再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r中计算即可. 【详解】由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，知O 为ABC ∆的重心，所以211()323AO AB AC =⨯+=u u u r u u u r u u u r ()AB AC +u u u r u u u r ，又2AE EB =u u u r u u u r ，所以23EC AC AE AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，93()AO EC AB AC ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 2()3AC AB -u u ur u u u r2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2223AB AC =u u u r u u u r，||||AB AC λ===u u u ru u ur . 故选：D 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.5．在ABC ∆中，已知8AB =，4BC =，6CA =，则AB BC ⋅u u u v u u u v的值为（）A ．22B ．19C ．-19D ．-22【答案】D 【解析】由余弦定理可得22211cos 216AB BC AC B AB BC +-==⋅，又()11cos 482216AB BC AB BC B π⎛⎫⋅=⋅⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v ，故选D.【思路点睛】本题主要考查平面向量数量积公式以、余弦定理解三角形，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.6．在平行四边形OABC 中，2OA =，OC =6AOC π∠=，动点P 在以点B 为圆心且与AC 相切的圆上，若OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则43λμ+的最大值为（）A．2+B．3+C．5+D．7+【答案】D 【解析】【分析】先通过计算证明圆B 与AC 相切于点A ，再求出43OB OA BP OA λμ+=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，再求出7OB OA ⋅=u u u r u u u r ，BP OA ⋅u u u r u u u r的最大值为.【详解】如图所示，由2OA =，6AOC π∠=，由余弦定理得24+3221,1AC AC =-⨯=∴=， ∴90OCA BAC ∠=∠=o , ∴圆B 与AC 相切于点A ，又OP OA OC λμ=+u u u r u u u r u u u r，∴243OP OA OA OC OA λμλμ⋅=+⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r；∴()43OP OA OB BP OA OB OA BP OA λμ+=⋅=+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ；如图，过点B 作,BD OA ⊥连接,OB 由题得6BAD π∠=,所以3,,222AD DB OB ===∴==,所以7cos BOA ∠==,所以1327213OB OA ⋅=⨯⨯=u u u r u u u r，因为BP OA ⋅u u u r u u u r的最大值为32cos023⨯⨯=o ， ∴43λμ+的最大值是723+. 故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数和余弦定理解三角形，考查平面向量的数量积运算和范围的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．已知,a r b r 是平面向量，满足||4a =r ，||1b ≤r 且|3|2b a -≤r r ，则cos ,a b 〈〉rr 的最小值是（） A ．1116B ．78C 15D 315【答案】B 【解析】【分析】设OA a =u u u r r ，3OB b =u u u r r，利用几何意义知B 既在以O 为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，又在以A 为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，结合图象即可得到答案. 【详解】设OA a =u u u r r ，3OB b =u u u r r，由题意，知B 在以O 为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，由|3|2b a -≤r r，知B 在以A 为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，如图所示则B 只能在阴影部分区域，要cos ,a b 〈〉rr 最小，则,a b <>r r 应最大，此时()222222min4327cos ,cos 22438OA OB AB a b BOA OA OB +-+-〈〉=∠===⋅⨯⨯rr .故选：B. 【点睛】本题考查向量夹角的最值问题，本题采用数形结合的办法处理，更直观，是一道中档题.8．已知向量a r 与向量b r 满足||2a =r ，||2b =r ||||5a b a b +⋅-=r r r r ，则向量a r与向量b r的夹角为( )A ．4π或34π B ．6π或56πC ．3π或23πD ．2π 【答案】A 【解析】【分析】设向量a r ，b r的夹角为θ，则2||1282a b θ+=+r r ，2||1282a b θ-=-r r ，即可求出2cos θ，从而得到向量的夹角；【详解】解：设向量a r ，b r的夹角为θ，222||||||2||||cos 4882a b a b a b θθ+=++=++r r r r r r1282θ=+，222||||||2||||cos 48821282a b a b a b θθθ-=+-=+-=-r r r r r r，所以2222||||144128cos (45)80a b a b θ+⋅-=-==r r r r ，21cos 2θ∴=，因为[0,)θπ∈，故4πθ=或34π，故选：A. 【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算律，及夹角的计算，属于中档题.9．已知正ABC ∆的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC⋅u u u r u u u r的值为（）A ．83- B ．1- C ．1 D ．3【答案】B 【解析】【分析】由二倍角公式得求得tan ∠BED ，即可求得cos ∠BEC ，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可．【详解】由已知可得：7 ，又23tan BED 3BD ED ∠===所以221tan 1cos 1tan 7BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB EC BEC ⎛⎫⋅=∠=-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B ．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题．10．已知6a =r 2b =r ，且()(2)b a a b -⊥+r rr r ，则向量a r 在向量b r 方向上的投影为（） A ．-4 B ．-2C ．2D ．4【答案】D 【解析】【分析】根据向量垂直，数量积为0，求出a b r r g ，即求向量a r 在向量b r方向上的投影a b b ⋅r r r .【详解】()(2),()(2)0b a a b b a a b -⊥+∴-+=r r r r r r r r Q g ，即2220b a a b -+=r r r r g .6,2,8ab a b ==∴=r r r r Q g ，所以a r 在b r方向上的投影为4a b b⋅=r r r .故选：D . 【点睛】本题考查向量的投影，属于基础题.11．已知P 为边长为2的正方形ABCD 所在平面内一点，则PC uuu r ()PB PD +⋅u u ur u u u r 的最小值为（） A ．1- B ．3-C ．12-D ．32-【答案】A 【解析】【分析】建立坐标系，写出各点坐标，表示出对应的向量坐标，代入数量积整理后即可求解．【详解】建立如图所示坐标系，设(,)P x y ，则(0,0),(2,0),(2,2),(0,2)A B C D ，所以(2,2),(2,)(,2)(22,22)PC x y PB PD x y x y x y =--+=--+--=--u u u r u u u r u u u r，故223131()(2)(22)(2)(22)222222PC PB PD x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⋅+=--+--=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r223322122x y ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当32x y ==时，PC uuu r ()PB PD +⋅u u u r u u u r 的最小值为1-.故选：A ．【点睛】本题考查利用坐标法求向量数量积的最值问题，涉及到向量的坐标运算，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.12．已知点1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，过原点O 且倾斜角为60°的直线l 与椭圆C 的一个交点为M ，且1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r，则椭圆C的离心率为（） A ．31- B ．23-C ．12D ．2 【答案】A 【解析】【分析】由1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r两边平方，得120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，在12Rt MF F V 中，求出2MF ，1MF ，,a c 的关系，求出离心率可得选项. 【详解】将1212||||MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r两边平方，得120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，即12121||2MF MF OM F F c ⊥==，. 又60MOF ∠=︒，∴2MF c =，13MF c =，∴23a c c =+，∴31ce a==-. 故选:A. 【点睛】考查了向量的数量积,椭圆的定义，离心率的求法,关键在于得出关于,a c 的关系，属于中档题.13．已知ABC V 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=u u u r u u u r（）A ．1B ．2-C ．12D ．12-【答案】C 【解析】【分析】以,BA BC u u u r u u u r为基底，将,AD BE u u u r u u u r 用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.【详解】222,,33BD DC BD BC AD BD BA BC BA===-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,11,22AE EC BE BC BA =∴=+u u u r u u u r u u u r,211()()322AD BE BC BA BC BA ⋅=-⋅+u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r22111362BC BC BA BA =-⋅-u u ur u u u r u u u r u u u r 111123622=-⨯⨯⨯=.故选:C. 【点睛】本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.14．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=u u u r u u u r（）A ．134-B ．54C ．5D ．154【答案】B 【解析】【分析】据题意以菱形对角线交点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出,DE DF u u u r u u u r，再根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果. 【详解】设AC 与BD 交于点O ，以O 为原点，BD u u u r 的方向为x 轴，CA u u u r的方向为y 轴，建立直角坐标系，则1,12E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,12F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(1,0)D ，3,12DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，3,12DF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，所以95144DE DF ⋅=-=u u u r u u u r . 故选：B.【点睛】本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解.15．在ABC V 中，AD AB ⊥，3,BC BD =u u u r u u u r ||1AD =u u u r ，则AC AD ⋅u u u r u u u r 的值为（） A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】【分析】由题意转化(3)AC AD AB BD AD ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，利用数量积的分配律即得解.【详解】AD AB ⊥Q ，3,BC BD =u u u r u u u r ||1AD =u u u r， ()(3)AC AD AB BC AD AB BD AD ∴⋅=+⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2333AB AD BD AD AD =⋅+⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选：C【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量数量积综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.16．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，3BAC π∠=，若23BD BC =u u u v u u u v ，则AD BD ⋅=u u u v u u u v （） A ．229 B ．229- C ．169 D ．89- 【答案】A【解析】【分析】本题主要是找到两个基底向量AB u u u v ，AC u u u v ，然后用两个基底向量表示AD u u u v ，BD u u u v，再通过向量的运算即可得出结果．【详解】解：由题意，画图如下：则：()22223333BD BC AC AB AB AC ==-=-+u u u v uu u v u u u v u u u v u u u v u u u v ， 2233AD AB BD AB AB AC =+=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 1233AB AC =+u u u v u u u v . ∴12223333AD BD AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 22242999AB AC AB AC =-⋅+⋅-⋅⋅u u u v u u u v u u u v u u u v 24249cos 999AB AC BAC =-⋅+⋅-⋅⋅⋅∠u u u v u u u v 82423cos 993π=-+-⋅⋅⋅ 229=. 故选A ．【点睛】本题主要考查基底向量的建立以及用两个基底向量表示别的向量，考查平面向量的数量积的计算．本题属基础题．17．如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO uuu v ·BC uuu v的值是A ．－8B ．－1C ．1D ．8【答案】D【解析】【分析】【详解】因为AO AC CO AB BO =+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，所以1()2AO AC BO AB CO =+++u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，而BC AC AB BO CO =-=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，所以1()2BC AC AB BO CO =-+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则1()()4AO BC AC AB CO BO AC AB BO CO ⋅=+++-+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v uu u v u u u v1()()()()()()4AC AB AC AB AC AB BO CO CO BO AC AB =+-++-++-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v uu u v u u u v u u u v u u u v u u u v()()CO BO BO CO ++-u u u v u u u v u u u v u u u v221(||4AC AB AC BO AC CO AB BO AB CO =-+⋅-⋅+⋅-⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v22||)CO AC CO AB BO AC BO AB BO CO +⋅-⋅+⋅-⋅+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v2211(||)()42AC AB AC BO AB CO =-+⋅-⋅u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v2211(||)[()]42AC AB AB BC BO AB CO =-++⋅-⋅u u u v u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v2211(||)()42AC AB AB BC BC BO =-+⋅+⋅u u u v u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v2211(||)42AC AB AO BC =-+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v所以221(||)82AO BC AC AB ⋅=-=u u u v u u u v u uu v u u u v ，故选D18．在ABC ∆中，若点D 满足3CD DB =u u u r u u u r ，点M 为线段AC 中点，则MD =u u u u r （）A ．3144AB AC -uu u r u u u r B ．1136AB AC -u u u r u u u rC ．2133AB AC -u u u r u u u rD ．3144AB AC +uu u r u u u r【答案】A【解析】【分析】根据MD MA AB BD =++u u u r u u u u u u r u r u u u r ，化简得到答案.【详解】()11312444MD MA AB BD AC AB AC AB AB AC =++=-++-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u u u u r r u u u r.故选：A .【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.19．下列命题为真命题的个数是（） ①{x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数；②若0a b ⋅=r r ，则0a =r r 或0b =r r；③命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”的逆否命题为真命题； ④函数()x xe ef x x--=是偶函数. A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【分析】利用特殊值法可判断①的正误；利用平面向量垂直的等价条件可判断②的正误；判断原命题的真假，利用逆否命题与原命题的真假性一致的原则可判断③的正误；利用函数奇偶性的定义可判断④的正误.综合可得出结论.【详解】对于①中，当x =时，22x =为有理数，故①错误；对于②中，若0a b ⋅=r ，可以有a b ⊥r r ，不一定要0a =r r 或0b =r r ，故②错误；对于③中，命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”为真命题，其逆否命题为真命题，故③正确；对于④中，()()x x x xe e e ef x f x x x-----===-，且函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，定义域关于原点对称，所以函数()x xe ef x x--=是偶函数，故④正确. 综上，真命题的个数是2.故选：B.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力，属于中等题.20．在四边形ABCD 中,若12DC AB =u u u r u u u r ,且|AD u u u r |=|BC uuu r |,则这个四边形是( ) A ．平行四边形 B ．矩形C ．等腰梯形D ．菱形【答案】C【解析】由12DC ABu u u r u u u r知DC∥AB,且|DC|=12|AB|,因此四边形ABCD是梯形.又因为|ADu u u r|=|BCuuu r|,所以四边形ABCD是等腰梯形.选C。

高中数学新教材高一下期末复习第一讲平面向量及其应用(解析版)

平面向量及其应用单元复习一知识结构图二.学法指导1.向量线性运算的基本原则和求解策略(1)基本原则：向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量．因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．(2)求解策略：向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧．2. 向量数量积的求解策略(1)利用数量积的定义、运算律求解．在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛，即(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，上述两公式以及(a＋b)·(a－b)＝a2－b2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用．(2)借助零向量．即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理地进行向量的移项以及平方等变形，求解数量积．(3)借助平行向量与垂直向量．即借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积，借助a⊥b，则a·b ＝0等解决问题．(4)建立坐标系，利用坐标运算求解数量积． 3.解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A ，B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a ，b .(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a ，b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π，求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a ，b ，c ，可应用余弦定理求A ，B ，C .三.知识点贯通知识点1 平面向量的线性运算首尾相接用加法的三角形法则，如AB →＋BC →＝AC →；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如OB →－OA →＝AB →.例题1.如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DCAB ＝k ，设AD →＝e 1，AB →＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC →，BC →，MN →.【答案】DC →=k e 2.BC →=e 1＋(k －1)e 2. MN →=＝k ＋12e 2.【解析】∵AB →＝e 2，且DCAB＝k ，∴DC →＝kAB →＝k e 2.∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，∴BC →＝－AB →－CD →－D A →＝－AB →＋DC →＋AD →＝e 1＋(k －1)e 2.又∵MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0，且NB →＝－12BC →，AM →＝12AD →，∴MN →＝－AM →－BA →－NB →＝－12AD →＋AB →＋12BC →＝k ＋12e 2.知识点二平面向量数量积的运算2121cos ||||y y x x b a b a +==⋅θ例题2：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，AM →＝2MD →.若AC →·BM →＝－3，则AB →·AD →＝ .【答案】32【解析】因为AC →·BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－AB →＋23AD →＝－2－23AB →·AD →＝－3，所以AB →·AD →＝32.知识点三平面向量的坐标运算若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则①a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2)； ②a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2)； ③λa ＝(λa 1，λa 2)； ④a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2； ⑤a ∥b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2(λ∈R )，或a 1b 1＝a 2b 2(b 1≠0，b 2≠0)；⑥a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0； ⑦|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22；⑧若θ为a 与b 的夹角，则 cos θ＝a ·b |a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22.例题3 .设a ＝(2,0)，b ＝(1，3)．①若(λa －b )⊥b ，求λ的值；②若m ＝λa ＋μb ，且|m |＝23，〈m ，b 〉＝π6，求λ，μ的值．【答案】①λ＝2.②λ＝1，μ＝1或λ＝－1，μ＝2.【解析】 ①因为a ＝(2,0)，b ＝(1，3)，所以λa －b ＝(2λ，0)－(1，3)＝(2λ－1，－3)．又(λa －b )⊥b ，所以(λa －b )·b ＝0，即(2λ－1，－3)·(1，3)＝0，所以2λ－1－3＝0.所以λ＝2.②因为a ＝(2,0)，b ＝(1，3)，m ＝λa ＋μb ＝λ(2,0)＋μ(1，3)＝(2λ＋μ，3μ)．因为|m |＝23，〈m ，b 〉＝π6，所以⎩⎪⎨⎪⎧(2λ＋μ)2＋(3μ)2＝(23)2，cos π6＝(2λ＋μ，3μ)·(1，3)23×2，即⎩⎪⎨⎪⎧ λ2＋λμ＋μ2＝3，λ＋2μ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，μ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，所以λ＝1，μ＝1或λ＝－1，μ＝2. 知识点四平面向量的平行与垂直问题 1．证明共线问题常用的方法(1)向量a ，b (a ≠0)共线⇔存在唯一实数λ，使b ＝λa . (2)向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (3)向量a 与b 共线⇔|a ·b |＝|a ||b |.(4)向量a 与b 共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0. 2．证明平面向量垂直问题的常用方法a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．例题4． (1)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1(2)设A ，B ，C ，D 为平面内的四点，且A (1,3)，B (2，－2)，C (4,1)． ①若AB →＝CD →，求D 点的坐标．②设向量a ＝AB →，b ＝BC →，若k a －b 与a ＋3b 平行，求实数k 的值．（1）【答案】B【解析】因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，且(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝－2λ－3－3＝0，解得λ＝－3.故选B 。

高一数学必修四第二章平面向量章末总结

高一数学必修四第二章平面向量章末总结平面向量是高中数学必修四中的一章内容，主要介绍了平面向量的定义、平面向量的加法、减法、数乘、数量积、向量积等基本运算，以及平面向量的共线、垂直、平行、四边形法则、平面向量的投影等相关概念和定理。

在学习这一章节的过程中，我深刻体会到平面向量的重要性和应用，对于解决实际问题有着很大的帮助。

下面我将对这一章内容进行总结。

第一节平面向量的定义平面向量是一个有大小和方向的量。

平面向量的表示可以用有向线段表示，其中线段代表向量的大小，箭头代表了向量的方向。

平面向量的起点和终点分别叫做向量的始点和终点。

平面向量常用大写字母表示，例如：AB、AC。

平面向量也可以用坐标表示，例如：向量AB的坐标为(3,4)，表示向量的起点在原点，终点在坐标点(3,4)处。

平面向量的大小叫做向量的模，用|AB|表示。

第二节平面向量的加法平面向量的加法满足三个定律：1. 交换律：AB + BC = BC + AB.2. 结合律：(AB + BC) + CD = AB + (BC + CD).3. 加法逆元：对于任意的向量AB, 存在向量BA, 使得AB +BA = 0, BA + AB = 0.第三节平面向量的数乘平面向量的数乘即将向量与一个实数进行乘法运算。

加法和数乘的运算统称为线性运算。

数乘满足两个定律：1. 结合律：a(bAB) = (ab)AB.2. 分配律：(a+b)AB = aAB + bAB.第四节平面向量的减法平面向量的减法可以转化为加法和数乘的运算：AB - AC = AB + (-1)AC第五节平面向量的数量积数量积又称为点积，记为AB·CD, 定义为AB·CD = |AB| |CD| cosθ, 其中θ为两个向量的夹角。

第六节平面向量的向量积向量积的结果是一个向量，记为AB×CD，用它来表示与它们夹角θ所在平面的法向量，其大小等于两个向量的模的乘积与夹角θ的正弦值，方向遵循右手螺旋法则。

高二必修4数学第二章平面向量复习要点梳理

高二必修4数学第二章平面向量复习要点梳理数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学。

小编准备了高二必修4数学第二章平面向量复习要点，希望你喜欢。

1.向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：字母表示(注：印刷体是粗体字母，书写体是字母上面加个) 坐标表示法a=xi+yj=(x，y)注：i、j是单位向量。

(3)向量的长度：即向量的大小，记作|a|.(4)特殊的向量：零向量a=0|a|=0.单位向量aO为单位向量|aO|=1.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(x1，y1)=(x2，y2)(6)相反向量：a=-bb=-aa+b=0(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a//b.平行向量也称为共线向量.(8)两个非零向量夹角的概念：已知非零向量a与b，作OA=a，OB=b，则AOB=(0≦≦)叫a与b的夹角说明：①当=0时，a与b同向;②当时，a与b反向;③当/2时，a与b垂直，记a规定零向量和任意向量都垂直。

④注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0q(9)向量的投影：定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影，投影也是一个数量，不是向量;观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。

随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。

我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。

看得清才能说得正确。

在观察过程中指导。

我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。

高中数学必修四平面向量复习完美

F1
G
F2
四、思考
5.在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算.力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论.
探究（一）：平面向量基本定理
思考1：给定平面内任意两个向量e1，e2，如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？
b a
思考3：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量 a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、 j为基底，向量a如何表示？
B a P A
j
O i
思考4：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、 y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得 a＝ xi＋yj.我们把有序数对（x，y）叫做向量a 的坐标，记作a＝(x，y).其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴 y 上的坐标，上式叫做向量 a y 的坐标表示.那么x、y的几何意义如何？ j x O i x
B N O C N B
C
A
M
A
O
M
B
N O
B C N
C
A
M
A
O
M
思考4：在上图中，设 = e1 ， = e2 ， =a，则向量分别与e1，e2的关系如何？从而向量a与e1，e2的关系如何？
思考5：若向量a与e1或e2共线，a还能用 λ1e1＋λ2e2表示吗？ a =0 e1 + λ 2 e2
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

高一下学期平面向量综合复习

高一下学期平面向量综合复习结论１在ABC ∆中AC BC AB =+〔加〕或BC AB AC =-〔减〕称ABC ∆为向量三角形；推广可有013221=+++A A A A A A n ，称121A A A A n 为封闭折线．如：①在平行四边形ABCD 中,a AB =,b AD =,DO DM 31=,OC ON 31=,试用b a ,表示MN = .②如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，假设AB mAM =，AC nAN =，那么m n +的值为．2. 向量共线的条件：结论2 〔平行向量根本定理〕向量a 与)0(≠b 平行〔即共线〕的充要条件是存在唯一实数λ使b a λ=．特别地，三点C B A 、、共线⇔AC AB λ=．3. 轴上向量的坐标及其运算：轴l ，取单位向量e ，对于轴l 上任意向量a 总是存在唯一实数x 使得a xe =，我们称x 为向量a 在轴l 上的坐标〔或数量〕。

设e 是轴l 的一个基向量，向量AB 的坐标为AB ，那么AB ABe =；假设轴l 为x 轴，可设点A 、B 的坐标分别为x 1，x 2，那么向量AB 的坐标AB=21x x -。

4. 向量的分解：结论3〔平面向量根本定理〕设b ,a 是平面上两个不共线向量〔称为一组基底〕，那么对平面上任一向量c ，存在唯一实数μλ,使b a c μλ+=．这里称为向量c 关于基底的分解式。

特别地假设1=+μλ，那么有①⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=CB AC t OB t t OA t OC 111称为定比分点向量式，也称为直线AB 的向量参数方程式；②()OB OA OC +=21称为中点向量式〔C 为AB 中点〕．上述结论提供了证明诸线共点与诸点共线的方法，如：①证明三角形的三条中线交于一点，且这点把三条中线都分成2∶1的两条线段。

②求证ABC ∆三条高C F BE AD 、、相交于一点． 5.平面向量的坐标运算：对于结论3，假设{,}a b 是一组单位正交基底，那么称(,)λμ是向量c 在基底{,}a b 下的坐标，记作(,)c λμ=。

第六章平面向量及其应用章末总结课件(人教版)

2
2
2
由 b=3 及余弦定理 b =a +c -2accos B,
2
2
得 9=a +c -ac.
所以 a= ,c=2 .
规律总结
解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的
过程.三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平
分线、外接圆半径和内切圆半径),解三角形通常是指求未知的元素,有时
∠
=
(-∠)
=
在△ABC 中,BC=5,
2
2
2
2
2

由余弦定理得 AC =AB +BC -2AB·BC·cos B=8 +5 -2×8×5×=49,
所以 AC=7.
=3,
题型四
正、余弦定理的综合应用
[例 4] (2021·山西运城模拟)△ABC 的角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知

所以 tan B= ,又 0<B<π,所以 B=.
[例 3] 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsin A= acos B.
(2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值.

解:(2)由 sin C=2sin A 及=,得 c=2a,
→
→
所以=2,即 D 错误.故选 AB.
→
→
→
(2)如图所示,正方形 ABCD 中,M 是 BC 的中点,若=λ+μ,则λ+μ等于
(
)

(A)

(B)

(C)

→
→
→
(D)2

第二章平面向量及其应用章末总结提升课件高一下学期数学北师大版

去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积
中同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”是指向量,实数看作是向量的系
数.
(2)方程法:向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解方
程的方法求解,同时在运算过程中多注意观察,恰当地运用运算律,简化运
算.
变式训练 1(1)如图所示,在正方形 ABCD 中,M 是 BC 的中点,若
的侵袭.
规律方法
用向量观点解题,关键在于找到好的切入点,如果题中的速度
(既有大小,又有方向)、距离都可以用向量表达.本题可根据台风中心与城
市间的距离不超过台风侵袭的半径来建立向量不等式,再根据模长公式,求
出时间.
变式训练4一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,该船实际航行
方向与水流方向成30°角.求水流速度与船的实际速度.
和抽象思维的协调发展,沟通数学知识之间的联系,从复杂的数量关系中凸
显最本质的特征,它是解决问题时常用的方法.在解决平面向量的实际问题
时,结合题目情景,可将问题抽象出一个几何图形(一般利用三角形、平行
四边形、矩形为主),可以直观形象地反映问题中的元素和量的关系,有助
于提升学生的直观想象的思维能力.
【例3】已知向量a与b不共线,且|a|=|b|≠0,则下列结论一定正确的是( A)

所以 − =λ( − ),又 2 = ,
所以 =(1-λ)+λ=3(1-λ)+λμ =3(1-λ)a+λμb,由于 =
所以
3
1
3(1-λ)=4,λμ=4,解得
3
1
λ=4,μ=3.
3
1
a+4b,

2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》平面向量基本定理及坐标表示

2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》§5.2平面向量基本定理及坐标表示最新考纲 1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.概念方法微思考1．若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？提示不一样．因为向量有方向，而直线不考虑方向．当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同．当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样．2．平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？提示不一定．当两个向量共线时，这两个向量就不能表示，即两向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．(×)(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(√)(3)在等边三角形ABC 中，向量AB →与BC →的夹角为60°.(×)(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.(×)(5)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(√)(6)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(√)题组二教材改编2．已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________．答案(1,5)解析设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，＝5－x ，＝6－y ，＝1，＝5.3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn ＝________.答案－12解析由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12.题组三易错自纠4．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________.答案5．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝________.答案(－7，－4)解析根据题意得AB →＝(3,1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．6．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.答案－6解析因为a ∥b ，所以(－2)×m －4×3＝0，解得m ＝－6.题型一平面向量基本定理的应用例1如图，已知△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB →分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b.(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解(1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →，所以OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由题意知，EC →∥DC →，故设EC →＝xDC →.因为EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b .所以(2－λ)a －b ＝2a －53b.因为a 与b 不共线，由平面向量基本定理，2－λ＝2x ，－1＝－53x ，x ＝35，λ＝45.故λ＝45.思维升华应用平面向量基本定理的注意事项(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．(3)强化共线向量定理的应用．跟踪训练1在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则t 的值为________．答案34解析∵CP →＝23CA →＋13CB →，∴3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →，∴2AP →＝PB →，即P 为AB的一个三等分点，如图所示．∵A ，M ，Q 三点共线，∴CM →＝xCQ →＋(1－x )CA →＝x 2CB →＋(x －1)AC →，而CB →＝AB →－AC →，∴CM →＝x 2AB →.又CP →＝CA →－PA →＝－AC →＋13AB →，由已知CM →＝tCP →，可得x 2AB →＝AC →＋13AB 又AB →，AC →不共线，＝t 3，1＝－t，解得t ＝34.题型二平面向量的坐标运算例2(1)已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为()A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)答案A解析设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，∴x ＝2，y ＝0.(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，a ＝m b ＋n c (m ，n ∈R )，则m ＋n ＝________.答案－2解析由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，m ＝－1，n ＝－1.∴m ＋n ＝－2.思维升华平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．跟踪训练2线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC →|＝2|BC →|，则x ＋y ＝________.答案－2或6解析由已知得AC →＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(3,1－y )．由|AC →|＝2|BC →|，可得AC →＝±2BC →，则当AC →＝2BC →1－x ＝6，－4＝2－2y ，x ＝－5，y ＝3，此时x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →1－x ＝－6，－4＝－2＋2y ，x ＝7，y ＝－1，此时x ＋y ＝6.综上可知，x ＋y ＝－2或6.题型三向量共线的坐标表示命题点1利用向量共线求向量或点的坐标例3已知O 为坐标原点，点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．答案(3,3)解析方法一由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．命题点2利用向量共线求参数例4(2018·洛阳模拟)已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,1)，c ＝(－5,1)，若(a ＋k b )∥c ，则实数k 的值为()A ．－114 B.12C ．2D.114答案B解析因为a ＝(2，－1)，b ＝(1,1)，所以a ＋k b ＝(2＋k ，－1＋k )，又c ＝(－5,1)，由(a ＋k b )∥c得(2＋k )×1＝－5×(k －1)，解得k ＝12，故选B.思维升华平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”．(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )．跟踪训练3(1)(2018·济南模拟)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与3a －b 平行，则实数x 的值是__________________．答案2解析∵a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，∴a ＋b ＝(3，x ＋1)，3a －b ＝(1,3－x )，∵a ＋b 与3a －b 平行，∴3(3－x )－(x ＋1)＝0，解得x ＝2.(2)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值是________．答案－23解析AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →，AC →共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.1．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP →＝12MN →，则P 点的坐标为()A ．(－8,1)1D ．(8，－1)答案B解析设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)．而12MN →＝12(－8,1)4－3＝－4，＋2＝12，＝－1，＝－32，∴1故选B.2．(2019·山西榆社中学诊断)若向量AB →＝DC →＝(2,0)，AD →＝(1,1)，则AC →＋BC →等于()A ．(3,1)B ．(4,2)C ．(5,3)D ．(4,3)答案B解析AC →＝AD →＋DC →＝(3,1)，又BD →＝AD →－AB →＝(－1,1)，则BC →＝BD →＋DC →＝(1,1)，所以AC →＋BC →＝(4,2)．故选B.3．(2018·海南联考)设向量a ＝(x ，－4)，b ＝(1，－x )，若向量a 与b 同向，则x 等于()A ．－2B ．2C ．±2D ．0答案B解析由向量a 与b 共线得－x 2＝－4，所以x ＝±2.又向量a 与b 同向，所以x ＝2.故选B.4．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m ，3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则实数m 的取值范围是()A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)答案D解析由题意知向量a ，b 不共线，故2m ≠3m －2，即m ≠2.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点，∠AOC ＝π4，且|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ等于()A ．22 B.2C ．2D ．42答案A解析因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.6．(2019·蚌埠期中)已知向量m A n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角，则角A 的大小为()A.π6B.π4C.π3D.π2答案C 解析∵m ∥n ，∴sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，∴2sin 2A ＋23sin A cos A ＝3，∴1－cos 2A ＋3sin 2A ＝3，∴A 1，∵A ∈(0，π)，∴2A －π6∈－π6，因此2A －π6＝π2，解得A ＝π3，故选C.7．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．答案－54解析AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，根据题意知AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54.8．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．答案(－4，－2)解析∵b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，∴设a ＝(2λ，λ)(λ<0)．∵|a |＝25，∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2.∴a ＝(－4，－2)．9．(2018·全国Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.答案12解析由题意得2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.10．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．答案k ≠1解析若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →不共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.11．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，(1)当k为何值时，k a－b与a＋2b共线；(2)若AB→＝2a＋3b，BC→＝a＋m b且A，B，C三点共线，求m的值．解(1)k a－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－1 2 .(2)方法一∵A，B，C三点共线，∴AB→＝λBC→，即2a＋3b＝λ(a＋m b)，＝λ，＝mλ，解得m＝32.方法二AB→＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC→＝a＋m b＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，∵A，B，C三点共线，∴AB→∥BC→，∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，∴m＝32.12.如图，已知平面内有三个向量OA→，OB→，OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23.若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．解方法一如图，作平行四边形OB1CA1，则OC→＝OB1→＋OA1→，因为OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|OC→|＝23，所以|OB1→|＝2，|B1C→|＝4，所以|OA1→|＝|B1C→|＝4，所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，－12，C (3，3)．由OC →＝λOA →＋μOB →，λ－12μ，＝32μ，＝4，＝2.所以λ＋μ＝6.13.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD ，若点P 为CD 的中点，且AP →＝λAB →＋μAE →，则λ＋μ等于()A ．3B.52C ．2D ．1答案B 解析由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，则B (1,0)，E (－1,1)，∴AB →＝(1,0)，AE →＝(－1,1)，∵AP →＝λAB →＋μAE →＝(λ－μ，μ)，又∵P 为CD 的中点，∴AP →－μ＝12，＝1，∴λ＝32，μ＝1，∴λ＋μ＝52.14．(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为()A ．3B ．22 C.5D．2答案A 解析建立如图所示的平面直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD .∵CD ＝1，BC ＝2，∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)0＝2＋255cos θ，0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤sin φ＝55，cos φ当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.故选A.15.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为AB ，BC的中点，以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P (如图所示)，若AP →＝λED →＋μAF →，则2λ－μ的值是________．答案0解析建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，C (2,2)，D (0,2)，E (2,0)，F (3,1)，所以ED →＝(－2,2)，AF →＝(3,1)，则AP →＝λED →＋μAF →＝(－2λ＋3μ，2λ＋μ)，又因为以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P ，所以点P 的坐标为(2，2)，AP →＝(2，2)，所以－2λ＋3μ＝2，2λ＋μ＝2，所以λ＝24，μ＝22，所以2λ－μ＝0.16.如图，在同一个平面内，三个单位向量OA →，OB →，OC →满足条件：OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，求m ＋n 的值．解建立如图所示的平面直角坐标系，由tan α＝7知α为锐角，且sin α＝7210，cos α＝210，故cos(α＋45°)＝－35，sin(α＋45°)＝45.∴点B ，C －35，∴OB →－35，OC →又OC →＝mOA →＋nOB →，m (1,0)＋－35，－35n ＝210，＝7210，＝528，＝728，∴m ＋n ＝528＋728＝322.。

高中数学必修四《平面向量单元复习》

平面向量单元复习一、知识梳理1．向量的有关概念(1)a(2)(的相反向量－与(1)|λa|＝|λ||a|；3.向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.4．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 5．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 6．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a 、b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 7．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 8．平面向量的数量积9.设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |. 特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (4)cos θ＝a ·b|a ||b |.(5)|a ·b |≤|a ||b |.10．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .11．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 二、知识应用1.已知向量)2,3(),4,(==b m a，且b a //，则m= 。

平面向量专题复习知识梳理

高一数学期末复习六命题人：一、知识要点梳理：相反向量、平行向量（共线向量）、数乘向量；基线、单位向量、基向量、基底、正交基底：；向量a 在轴l 上的正射影、向量a在轴l 方向上的数量：；向量的模（或向量的长度）：；（二）向量的基本运算： 1.向量的线性运算：（加、减法及数乘运算）（1）向量加法的三角形法则：；（2）向量加法的平行四边形法则：；（3）向量减法法则：；（4）数乘定义：实数λ和a的乘积是一个，记作；其长为；其方向为：；数乘向量的几何意义是：；向量加法满足下列运算律：（1）加法交换律： ;(2)加法结合律：；数乘向量满足下列运算律：（1）（2）（3）。

2.平行向量基本定理：向量与)0(≠b 平行（即共线）的充要条件是存在唯一实数λ使λ=．.特别地，三点C B A 、、共线⇔AC AB λ=．零向量与任何向量，与任何向量； 3.平面向量基本定理: 设,是平面上两个不共线向量（称为一组基底），则对平面上任一向量，存在唯一实数μλ,使μλ+=．特别地，①当O,A,B 不共线时，若OC OA OB λμ=+，1=+μλ，则；②12OC OA OB =+（）称为中点向量式（C 为AB 中点）．4.平面向量的坐标运算：若{,}a b 是一组单位正交基底，则称(,)λμ是向量在基底{,}a b 下的坐标，记作(,)c λμ=。

（在平面直角坐标系下）用坐标表示下列结论：设1212(,),(,)a a a b b b ==，则有： a b += ；a b -= ；a λ=； //(0)a b b a λ≠⇔=⇔；5.基本结论：①若()()1122,,,A x y B x y ，则AB 中点的坐标为：；②若()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则 ABC 重心坐标为。

二.典型例题：例1.在平行四边形ABCD 中,已知=,=,DM 31=,ON 31=,试用,表示MN =.例2.如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM = ，AC nAN =，则m n +的值为．例3.ABC ∆中，21=，31=,BQ 与CR 交于点D ，AD 的延长线交BC 于P 。

平面向量最新最全的章末知识点总结

a· b＝0 __________
x1x2＋y1y2＝0 ____________
[思考辨析判断正误] 1.平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( × ) 提示平面内不共线的两个向量才可以作为一组基底. → → 2.若向量AB和向量CD共线，则 A，B，C，D 四点在同一直线上.( × )
由|ka＋b|＝ 3|a－kb|，
(1)用k表示数量积a· b；得(ka＋b)2＝3(a－kb)2， ∴k2a2＋2ka· b＋b2＝3a2－6ka· b＋3k2b2. ∴(k2－3)a2＋8ka· b＋(1－3k2)b2＝0.
∵|a|＝ cos2α＋sin2α＝1，|b|＝ cos2β＋sin2β＝1，
第二章平面向量
章末复习
学习目标
1.回顾梳理向量的有关概念，进一步体会向量的有关概念的特征. 2.系统整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性质. 3.体会应用向量解决问题的基本思想和基本方法. 4.进一步理解向量的“工具”性作用.
内容索引
知识梳理
题型探究
达标检测
知识梳理
1.向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
∴k2－3＋8ka· b＋1－3k2＝0，
2k2＋2 k2＋1 ∴a· b＝ 8k ＝ 4k (k>0).
解答
(2)求a· b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小.
解
k2＋1 1 1 k ＋ a· b＝ 4k ＝4 k .
1 1 由对勾函数的单调性可知，f(k)＝4k＋ k 在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞) 上单调递增，
面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝ λ1e1＋λ2e2 .

平面向量复习高中数学会考复习课件及教案

总结词
平面向量的向量混合积
了解向量混合积的定义，掌握其基本性质。
向量混合积是平面向量的一种重要运算，定义为三个向量的点乘和叉乘的组合。它具有分配律、结合律和数乘性质等基本性质，这些性质在解决实际问题中具有广泛的应用。
总结词
详细描述
总结词
掌握向量混合积的坐标运算方法。
详细描述
通过坐标运算，可以将向量混合积的计算过程转化为代数运算，从而简化计算过程。具体方法包括利用向量的坐标表示、点乘和叉乘的定义以及向量的基本运算性质进行计算。同时，需要注意坐标的正负号和顺序对结果的影响。
运算律
坐标运算
在平面直角坐标系中，两个向量的坐标形式为(x1,y1)和(x2,y2)，它们的数量积为x1x2+y1y2。
坐标运算的应用
通过坐标运算可以方便地计算向量的数量积，并且可以将其应用于解决实际问题，如物理中的力矩、速度和加速度等。
平面向握向量积的性质。
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平面向量的应用
平面向量可以表示几何中的平行和垂直关系，如向量共线、向量垂直等。
平行与垂直
角度与距离
面积与体积
平面向量可以用来计算几何图形中的角度和距离，如向量的夹角、向量的模等。
平面向量可以用来计算几何图形的面积和体积，如向量的外积、向量的混合积等。
03
02
01
平面向量可以用来表示物理中的力，通过力的合成与分解解决物理问题。
详细描述
向量积是平面向量的一种基本运算，定义为向量A和向量B的模的乘积乘以两向量夹角的正弦值。向量积具有一些重要的性质，如反交换律、分配律等。了解这些性质对于理解和应用向量积非常重要。
VS
理解向量积的几何意义，掌握向量积的运算律。