2019-2020学年浙江省温州市高二上学期期末考试数学试题(解析版)
温州市2019-2020学年数学高二第二学期期末综合测试试题含解析
温州市2019-2020学年数学高二第二学期期末综合测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆22124x y+=，则以点()1,1M为中点的弦所在直线方程为（）A．230x y+-=B．4590x y-+=C．5490x y-+=D．230x y--=【答案】A【解析】【分析】利用点差法求出直线AB的斜率，再利用点斜式即可求出直线方程．【详解】解：设以点()1,1M为中点的弦与椭圆22124x y+=交于点1(A x，1)y，2(B x，2)y，则122x x+=，122y y+=，分别把点A，B的坐标代入椭圆方程得：22112222124124x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：12121212()()()()24x x x x y y y y+-+-+=，∴1212()02y yx x--+=，∴直线AB的斜率12122y ykx x-==--，∴以点(1,1)M为中点的弦所在直线方程为：12(1)y x-=--，即230x y+-=，故选：A．【点睛】本题主要考查了点差法解决中点弦问题，属于中档题．2．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相独立的，灯亮的概率为（）A．316B．34C．1316D．14【答案】C【解析】【分析】灯泡不亮包括四个开关都开，或下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，根据概率公式得到结果．【详解】由题意知，本题是一个相互独立事件同时发生的概率，灯泡不亮包括四个开关都开，或下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，∴灯泡不亮的概率是111111111322222222216111222⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⨯， 灯亮和灯不亮是两个对立事件，∴灯亮的概率是31311616-=， 故选：C ．【点睛】 本题结合物理的电路考查了有关概率的知识，考查对立事件的概率和项和对立事件的概率，本题解题的关键是看出事件之间的关系，灯亮的情况比较多，需要从反面来考虑，属于中档题．3．已如集合{}20A x x =->，{}3B x =≤，则A B =（ ） A ．(]2,3B ．[)2,3C ．()2,3D ．[]2,3 【答案】A【解析】【分析】求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．【详解】 由题意，集合{}{}{}20,333A x x B x B x =->=≤==-≤≤，∴集合(2,3]A B =．故选：A ．【点睛】本题主要考查了描述法、区间表示集合的定义，绝对值不等式的解法，以及交集的运算，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．以下四个命题中是真命题的是 ( )A ．对分类变量x 与y 的随机变量2k 观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大B ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0C ．若数据123,,,...n x x x x 的方差为1，则1232,2,2,...2n x x x x 的方差为2D ．在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好【答案】D【解析】【分析】依据线性相关及相关指数的有关知识可以推断，即可得到答案.【详解】依据线性相关及相关指数的有关知识可以推断，选项D 是正确的．【点睛】本题主要考查了线性相指数的知识及其应用，其中解答中熟记相关指数的概念和相关指数与相关性之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5．已知曲线()ln a f x x x =+在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为3π4，则a 的值为（ ） A ．2-B ．0C ．1D ．2 【答案】D【解析】【分析】利用导数求出()1f '，由()31tan14f π'==可求出a 的值． 【详解】 ()ln a f x x x =+，()21a f x x x'∴=-， 由题意可得()311tan 14f a π'=-==-，因此，2a =，故选D ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查导数的运算、直线的倾斜角和斜率之间的关系，意在考查函数的切线斜率与导数之间的关系，考查计算能力，属于中等题．6．设()f x 在定义在R 上的偶函数，且()()2f x f x =-，若()f x 在区间[]2,3单调递减，则（） A ．()f x 在区间[]3,2--单调递减B ．()f x 在区间[]2,1--单调递增 C ．()f x 在区间[]3,4单调递减D ．()f x 在区间[]1,2单调递增 【答案】D【解析】【分析】根据题设条件得到函数()f x 是以2为周期的周期函数，同时关于1x =对称的偶函数，根据对称性和周期性，即可求解．【详解】由函数()f x 满足()()2f x f x =-，所以()f x 是周期为2的周期函数，由函数()f x 在区间[]2,3单调递减，可得[]0,1,[2,1]--单调递减，所以B 不正确；由函数()f x 在定义在R 上的偶函数，在区间[]2,3单调递减，可得在区间[]3,2--单调递增，所以A 不正确；又由函数()f x 在定义在R 上的偶函数，则()()f x f x -=-，即()()2f x f x -=+，所以函数()f x 的图象关于1x =对称，可得()f x 在区间[]3,4单调递增，在在区间[]1,2单调递增，所以C 不正确，D 正确，故选D ．【点睛】本题主要考查了函数的单调性与对称性的应用，以及函数的周期性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=。
浙江省金华市十校2022-2023学年高二上学期期末调研考试数学试题 Word版含解析
浙江省金华十校2018-2019学年第一学期期末调研考试高二数学试题一，选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地．1.在空间直角坐标系中,点与点（）A. 有关平面对称B. 有关平面对称C. 有关平面对称D. 有关轴对称【结果】C【思路】【思路】利用“有关哪个对称,哪个坐标就相同”,得出正确选项.【详解】两个点和,两个坐标相同,坐标相反,故有关平面对称,故选C.【点睛】本小题主要考查空间点对称关系,考查理解和记忆能力,属于基础题.2.圆与圆地位置关系是（）A. 相交B. 内切C. 外切D. 相离【结果】A【思路】【思路】计算两个圆地圆心距以及,比较大小后得出正确选项.【详解】两个圆地圆心分别为,圆心距,两个圆半径均为,故,所以两个圆相交.故选A.【点睛】本小题主要考查圆与圆地位置关系,考查圆地圆心和半径以及圆心距地计算,属于基础题.3.“”是“”地（）A. 充分不必要款件B. 必要不充分款件C. 充要款件D. 既不充分也不必要款件【结果】B【思路】【思路】将两个款件相互推导,依据能否推导地情况选出正确选项.【详解】当“”时,如,,故不能推出“” .当“”时,必然有“”.故“”是“”地必要不充分款件.【点睛】本小题主要考查充分，必要款件地判断,考查含有绝对值地不等式,属于基础题.4.给定①②两个命题：①为“若,则”地逆否命题。
②为“若,则”地否命题,则以下判断正确地是（）A. ①为真命题,②为真命题B. ①为假命题,②为假命题C. ①为真命题,②为假命题D. ①为假命题,②为真命题【结果】C【思路】【思路】判断①原命题地真假性,得出其逆否命题地真假性.写出②地否命题,并判断真假性.由此得出正确选项.【详解】对于①原命题显然为真命题,故其逆否命题也为真命题.对②其否命题是“若,则”,由于时,,故否命题是假命题.所以①为真命题,②为假命题,故选C.【点睛】本小题主要考查四种命题及其相互关系,考查命题真假性地判断,属于基础题.5.设是两款异面直线,下面命题中正确地是（）A. 存在与都垂直地直线,存在与都平行地平面B. 存在与都垂直地直线,不存在与都平行地平面C. 不存在与都垂直地直线,存在与都平行地平面D. 不存在与都垂直地直线,不存在与都平行地平面【结果】A【思路】【思路】画出一个正方体,依据正方体地结构特征,结合线，面平行和垂直地定理,判断出正确选项.【详解】画出一个正方体如下图所示,分别是地中点.由图可知,,平面,平面.由此判断A选项正确,本题选A.【点睛】本小题主要考查空间异面直线地位置关系,考查线面平行等知识,属于基础题.6.已知,则（）A. B. C. D.【结果】D【思路】【思路】先求得函数地导数,然后令求出正确选项.【详解】依题意有,故,所以选D.【点睛】本小题主要考查基本初等函数地导数,考查复合函数地导数计算,考查函数除法地导数计算,属于中档题.7.如图,在空间四边形中,,,,,则异面直线与所成角地大小是（）A. B. C. D.【结果】B【思路】【思路】通过计算出地数量积,然后利用夹角公式计算出与所成角地余弦值,进而得出所成角地大小.【详解】依题意可知,.设直线与所成角为,则,故.所以本小题选B.【点睛】本小题主要考查利用空间向量地数量积,计算空间两款异面直线所成角地大小,考查化归与转化地数学思想方式,考查数形结合地数学思想方式,属于中档题.要求两款异面直线所成地角,可以通过向量地方式,通过向量地夹角公式先计算出夹角地余弦值,再由此得出所成角地大小.8.经过坐标原点地直线与曲线相切于点.若,则A. B. C. D.【结果】D【思路】【思路】先求得函数在上地表达式,利用导数求得切线地斜率,写出切线方程,利用切线方程过原点求出切点地坐标满足地等式,由此得出正确选项.【详解】当时,故,.所以切点为,切线地斜率为,由点斜式得,将原点坐标代入得,即,故选D.【点睛】本小题主要考查经过某点地曲线切线方程地求解方式,考查含有绝对值地函数地思路式,考查利用导数求曲线地切线方程,考查同角三角函数地基本关系式,属于中档题.本题地关键点有两个：一个是函数在上地表达式,另一个是设出切点,求出切线方程后,将原点坐标代入化简.9.已知椭圆地右焦点是,为坐标原点,若椭圆上存在一点,使是等腰直角三角形,则椭圆地离心率不可能为（）A. B. C. D.【结果】C【思路】【思路】分别依据为直角时,椭圆地离心率,由此得出正确地选项.【详解】当时,代入椭圆方程并化简得,解得.当时,,,故.当时,,即,,,解得.综上所述,C选项不可能,故选C.【点睛】本小题主要考查等腰直角三角形地性质,考查椭圆离心率地求解方式,属于中档题.10.在正方体中,分别为线段，上地动点,设直线与平面，平面所成角分别是,则（）A. B.C. D.【结果】B【思路】【思路】在图中分别作出直线与平面，平面所成地角,依据边长判断出,求出地表达式,并依据表达式求得地最小值,也即是地最大值.【详解】设正方体边长为.过作,而,故平面,故.同理过作,得到.由于,故,所以,即.而,当得到最小值时,得到最小值为,即得到最大值为.故选B.【点睛】本小题主要考查直线和平面所成地角,考查三角函数最值地判断与求解,属于中档题.二，填空题（每题4分,满分20分,将结果填在答题纸上）11.已知直线：,若地倾斜角为,则实数_______。
浙江省温州市2020-2021学年高一上学期期末教学质量统一检测数学试题(B卷) (解析版)
2020-2021学年浙江省温州市高一（上）期末数学试卷（B卷）一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则A∪B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{1，2，3}D．{1，2，3，4}2．下列函数既不是奇函数也不是偶函数的是（）A．y＝x3B．y＝x2C．y＝x D．3．已知函数，则f（x2）的定义域为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（0，1）4．在平面直角坐标系中,角α的顶点与原点重合,终边与单位圆的交点为,则sin(π-α)＝( ) A．B．C．D．5．已知a＝e0.3，b＝ln0.3，c＝0.3e，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a6．已知a，b，c是实数，且a≠0，则“∀x∈R，ax2+bx+c＜0”是“b2﹣4ac＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．已知a＞0，b＞0，a+b＝1，则下列等式可能成立的是（）A．a2+b2＝1B．ab＝1C．a2+b2＝D．a2﹣b2＝8．某工厂有如图1所示的三种钢板，其中长方形钢板共有100张，正方形钢板共有60张，正三角形钢板共有80张．用这些钢板制作如图2所示的甲、乙两种模型的产品，要求正方形钢板全部用完，则制成的甲模型的个数最少有（）A．10个B．15个C．20个D．25个二、多项选择题（共4小题）.9．已知函数y＝x2﹣2x+2的值域是[1，2]，则其定义域可能是（）A．[0，1]B．[1，2]C．[]D．[﹣1，1]10．已知，且tanθ＝m，则下列正确的有（）A．B．tan（π﹣θ）＝m C．D．11．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象过两点，则ω的可能取值为（）A．1B．2C．3D．412．在同一直角坐标系中，函数f（x）＝log a（x﹣b），g（x）＝b x﹣a的图象可能是（）A B C D三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年浙江省温州市高二上学期期末数学试题及答案解析版
2019-2020学年浙江省温州市高二上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题1．下列直线中与直线210x y -+=垂直的一条是（ ） A ．210x y ++= B ．2420x y -+= C ．2410x y ++=D ．2410x y -+=【答案】A【解析】由题意利用两条直线垂直的判断方法，得出结论. 【详解】解：已知直线210x y -+=的斜率为12，而直线210x y ++=的斜率为2-，它与已知直线的斜率之积等于1-，故它和已知直线垂直，故满足条件，故A 满足条件； 而直线2420x y -+=的斜率为12，它与已知直线的斜率之积不等于1-，故它和已知直线不垂直，故不满足条件，故B 不满足条件；而直线2410x y ++=的斜率为12-，它与已知直线的斜率之积不等于1-，故它和已知直线不垂直，故不满足条件，故C 不满足条件；而直线2410x y ++=的斜率为12，它与已知直线的斜率之积不等于1-，故它和已知直线不垂直，故不满足条件，故D 不满足条件， 故选：A.【点睛】本题考查两直线的垂直的判定，属于基础题.2．双曲线22154x y -=的焦点坐标是（）A ．()1,0±B ．()3,0±C ．()0,1±D ．()0,3±【答案】B【解析】直接利用双曲线方程求解焦点坐标即可. 【详解】 解：双曲线22154x y -=，焦点在x轴上，3c ==， 所以双曲线的焦点坐标为()3,0±. 故选：B . 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.3．已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-【答案】B【解析】试题分析：圆22220x y x y a ++-+=化为标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，所以圆心为（-1,1），半径r =心距为d ==．因为圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦长为4，所以222,4a a +=-∴=-．故选B ．4．已知实数x ，y 满足不等式组123y xx x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩，则x y +的取值范围为（ ）A ．[]2,0-B ．[]22-,C ．[]2,4D ．[]2,4-【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用平移法进行求解即可 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）. 令z x y =+得y x z =-+， 平移直线y x z =-+，由图象可知当直线y x z =-+经过点()1,5A -时，直线y x z =-+的截距最大， 此时z 最大. 即max 154z =-+=.当直线y x z =-+经过点()1,1B --时，直线y x z =-+的截距最小， 此时z 最小. 即min 112z =--=-. 故选：D.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于基础题.5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“2n S pn qn =+（p 、q 是常数）”是“{}n a 成等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也比不要条件【答案】C【解析】2n S pn qn =+（p 、q 是常数），2n ≥时，1n n n a S S -=-.1n =时，11a S p q ==+，可得2n a pn p q =-+.利用等差数列的通项公式及其性质即可判断出结论. 【详解】解：2n S pn qn =+（p 、q 是常数），2n ≥时，()()221112n n n a S S pn qn p n q n pn p q -⎡⎤=-=+--+-=-+⎣⎦. 1n =时，11a S p q ==+，对于上式也成立.∴2n a pn p q =-+.∴{}n a 成等差数列，反之也成立.∴“2n S pn qn =+（p 、q 是常数）”是“{}n a 成等差数列”的充要条件. 故选：C . 【点睛】本题考查了等差数列的定义、通项公式及求和公式及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 【答案】B【解析】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 【考点】空间点线面位置关系．7．已知AB 、CD 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的短轴和长轴，点E 是椭圆弧CBD 上异于B 的任意一点，将坐标平面沿x 轴折叠成大小为α（02πα<<）的二面角，记AOE ϕ∠=，则（ ） A ．αϕ≥ B ．αϕ> C ．αϕ<D ．αϕ≤【答案】C【解析】由题意画出图形，利用直线与平面所成角是直线与平面内所有直线所成角的最小角得答案. 【详解】 解：如图，折叠后，,OA OB 都与x 轴垂直，AOB α∠=OA 看作是椭圆弧CBD 所在平面的一条斜线，其射影为OB ，则α为平面CBD 的一条斜线OA 与平面CBD 所成角， 而OE 为平面CBD 内的一条与OB 不重合也不平行的直线，ϕ为OA 与OE 所成角，根据直线与平面所成角是直线与平面内所有直线所成角的最小角，可知αϕ<. 故选：C . 【点睛】本题考查椭圆的性质，考查空间中直线与直线、直线与平面所成角的关系，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．8．在平面直角坐标系内，已知()1,0A -，()2,0B ，动点M 满足12MA MB =，且M 在直线20ax y a --=上.若满足条件的点M是唯一的，则a =（ ）A．3±B．CD【答案】A【解析】先求出动点M 的轨迹方程为圆，结合题意利用直线和圆相切，求出a 即可. 【详解】解：设动点(),M x y12=， 化简可得：()2224x y ++=，∴动点M 的轨迹方程为()2224x y ++=.曲线C 是以()2,0-为圆心，2为半径的圆， 且M 在直线20ax y a --=上，故直线与圆相切，且切点为M ， 2=，得231a =，∴3a =±，故选：A. 【点睛】本题考查动点的轨迹方程以及直线与圆相切求参数的值，属于中档题.9．正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，下列结论：①AD 与BC 所成的角为60︒：②AC 与BD 所成的角为90︒：③BC 与面ACD 所成角的正弦值为3：④二面角A BC D --的：其中正确结论的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】取BD 中点O ，连结AO ，CO ，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法和空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判断四个命题得结论. 【详解】解：取BD 中点O ，连结AO ，CO ， ∵正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，∴以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，设1OC =，则()0,0,1A ，()0,1,0B -，()1,0,0C ，()0,1,0D ，()0,1,1AD =-，()1,1,0BC =，1cos 22AD BC AD BC AD BC⋅⋅===⋅， ∴异面直线AB 与CD 所成的角为60︒，故①正确：()1,0,1AC =-，()0,2,0BD =，∵0AC BD ⋅=，∴AC BD ⊥，故②正确： 设平面ACD 的一个法向量为(),,t x y z =，由00t AC x z t AD y z ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩，取1z =，得()1,1,1t =，()1,1,0BC =， 设BC 与面ACD 所成角为θ，则sin cos ,33BC t BC t BC tθ⋅====⋅，故③正确： 平面BCD 的法向量()0,0,1n =，()0,1,1BA =，()1,1,0BC =，设平面ABC 的法向量(),,m x y z =，则00m BA y z m BC x y ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，取1x =，得()1,1,1m =-， cos ,3m n m n m n⋅<>==⋅，∴6sin ,m n <>=. ∴二面角A BC D --的平面角正切值是：2，故④正确.故选：A.【点睛】本题考查利用空间向量法解决立体几何中的问题，属于综合题.10．设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F .若左焦点1F 关于其中一条渐近线的对称点位于双曲线上，则该双曲线的离心率e 的值为（ ） A 3B ．3C 5D ．5【答案】C【解析】设左焦点()1,0F c -，渐近线方程为by x a=，对称点为(),F m n '，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为1-，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值. 【详解】解：设()1,0F c -，渐近线方程为by x a =，对称点为(),F m n '，即有n a m c b =-+，且()1122b m c n a-⋅=⋅， 解得22b a m c-=，2abn c=-， 将222,b a ab F c c ⎛⎫-'- ⎪⎝⎭，即2222,c a ab c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入双曲线的方程可得()222222222241c a a b c a c b--=， 化简可得2241c a -=，即有25e =，解得e =故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为1-，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题11．经过两点A (2,3)，B (1,4)的直线的斜率为________，倾斜角为________．【答案】－1 135°【解析】由斜率定义式得k ＝－1，再结合斜率与倾斜角关系得倾斜角． 【详解】由斜率定义得k ＝4312--=－1，设倾斜角为α,α[0.π∈）,则tan α1,=-故3πα4=，即135°故答案为－1 ； 135° 【点睛】本题考查直线的斜率及倾斜角，熟记斜率与倾斜角关系是关键，是基础题 12．已知椭圆C ：221169y x +=，则该椭圆的长轴长为______：焦点坐标为______.【答案】8(0,【解析】利用椭圆方程求解a ，b ，c ，推出结果即可. 【详解】 解：椭圆C ：221169y x +=，可得4a =，3b =，且焦点在y 轴上，则该椭圆的长轴长：8，c ==(0,故答案为：8；(0,.【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，属于基础题.13．某几何体的三视图如图所示（单位：cm )，则该几何体最长的一条棱的长度是__________cm ；体积为__________3cm .【答案】43643【解析】【详解】几何体为一个四棱锥P-ABCD ，如图，最长的一条棱的是P Ｃ,长度22244443++= ,体积为21644433⨯⨯= 14．如图所示，AC ，BD 分别在平面α和平面β内，在α与β的交线l 上取线段1AB =，AC l ⊥，BD l ⊥，1AC =，1BD =，2CD =，则AB 与CD 所成的角为______：二面角l αβ--的大小为______.【答案】60︒ 120︒【解析】作出图形，由异面直线所成角及二面角的定义直接可以得解.【详解】解：如图，在平面β内过点A 作//AE BD ，且AE BD =，又AB BD ⊥，则ABDE 为矩形，连接CE ，DE ，∵AB AC ⊥， ∴ED AC ⊥， 又ED AB ⊥，ABAC A =，AB平面ACE ，AC ⊂平面ACE ，∴ED ⊥平面ACE ， ∴ED EC ⊥， ∴3CE =，1cos 2CDE ∠=，即60CDE ︒∠=，则AB 与CD 所成的角为60︒：又BD l ⊥，则AE l ⊥，又AC l ⊥，CAE ∠为二面角l αβ--的平面角， 又1131cos 2112CAE +-∠==-⨯⨯，则120CAE ∠=︒. 故答案为：60︒；120︒.【点睛】本题考查二面角的计算，属于中档题.15．在平面区域2100260270x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩内含有一个圆，当圆的面积最大时圆记为M ，则M 的方程为______.【答案】()()22345x y -+-=【解析】先画出该平面区域，明确区域所围成的平面图形的形状，再由面积最大的圆则为该平面图形的内切圆.再由圆的相关条件求圆的方程. 【详解】解：画出该区域得三角形ABC ，顶点坐标分别为()2,4A -，()4,1B ，()8,9C ，且为直角三角形，三边长分别为35，45，55，由于面积最大，故圆M 是ABC 内切圆，5R =：设(),M a b ，则21026275555a b a b a b -++---===：解得3a =，4b =：所以圆M 的方程为()()22345x y -+-=.故答案为：()()22345x y -+-=.【点睛】本题主要考查平面区域的画法，三角形的内切圆的几何性质以及圆的切线的应用．还考查了数形结合的思想方法，属于中档题． 16．已知过椭圆C ：2212x y +=的左焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，若2AF BF k +≥恒成立，则k 的最大值为______.【答案】321+【解析】由题意画出图形，再由2AF BF AF BF BF AB BF+=++=+，结合椭圆上的点右端点到左焦点的距离最大求解. 【详解】 解：如图，由椭圆C ：2212x y +=，得2a =1b =，1c =.2AF BF AF BF BF AB BF+=++=+，∵AB 的最大值为22BF 21，∴2321AF BF +≥，又2AF BFk +≥恒成立，则k 的最大值为321.故答案为：321.【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查数学转化思想方法，属于基础题．17．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()4,0A -，()0,4B ，从直线AB 上一点P 向圆224x y +=引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最小值为______.【答案】【解析】根据题意，求出直线AB 的方程，设()00,P x y ，分析可得点C 、D 在以OP 为直径的圆上，求出以OP 为直径的圆的方程，分析可得CD 所在直线方程为：004x x y y +=，又由直线OM 的方程，联立3个方程可得点M 的轨迹方程，结合点与圆的位置关系分析可得答案. 【详解】解：根据题意，()4,0A -，()0,4B ，则直线AB 的方程为40x y -+=，设()00,P x y ，则004y x =+，①，如图：又由OD DP ⊥，OC CP ⊥，则点C 、D 在以OP 为直径的圆上，又由OP 的中点即该圆圆心为00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭，其半径为1122OP = 则以OP 为直径的圆的方程为22000x y x x y y +--=，联立两圆的方程22220040x y x y x x y y ⎧+=⎨+--=⎩，可得CD 所在直线方程为：004x x y y +=，又由线段CD 的中点为M ，则直线OM ：000x y y x -=，③ 联立①②③消去0x ，0y ，可得M 的轨迹方程为22111222x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其圆心为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭，半径22r ：又由()4,0A -，则AM 的最大值为14923244++=： 故答案为：32【点睛】本题考查轨迹方程的计算以及应用，涉及直线与圆的位置关系，关键是分析点M 的轨迹，属于综合题．三、解答题18．已知直线:1l y kx =+，圆22:(1)(1)12C x y -++=.（1）试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点；（2）求直线l 被圆C 截得的最短弦长. 【答案】（1）见解析；（2）7【解析】试题解析：（1）因为不论k 为何实数，直线l 总过点A （1,0），而523AC R <=,所以点A 在圆C 的内部，即不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点 （2）由几何性质过点A （1,0）的弦只有和AC 垂直时最短，而此时点A （1，0）为弦的中点，由勾股定理，弦长为212527-=【考点】本题考查直线与圆的位置关系点评：解决本题的关键是利用圆的几何性质解题19．如图，PA⊥正方形ABCD所在平面，M是PC的中点，二面角P DC A--的大小为45︒.（1）设l是平面PAB与平面PCD的交线，证明CD l∥；（2）在棱AB是否存在一点N，使M DN C--为60︒的二面角.若不存在，说明理由：若存在，求AN长.【答案】（1）见解析（2）存在，35AN=【解析】（1）先证明//CD平面PAB，再利用线面平行的性质即得证；（2）易知二面角P DC A--的平面角，由此建立空间直角坐标系，并求出各点的坐标，设()N x，求出平面的法向量，,0,0根据M DN C--的二面角为60︒，建立方程，解出即可得出结论.【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴//CD AB，又AB在平面PAB内，CD不在平面PAB内，∴//CD平面PAB，又平面PCD过直线CD，且平面PAB⋂平面PCD l=，∴//CD l ：（2）∵PA ⊥正方形ABCD 所在平面，∴易知二面角P DC A --的平面角即为45PDA ∠=︒， 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为2，则()0,2,0D ，()002P ,,，()2,2,0C ，()1,1,1M ，设(),0,0N x ， 易得平面DNC 的一个法向量为()0,0,1m =，设平面MDN 的一个法向量为(),,n a b c =，又()1,1,1MD =--，()1,1,1NM x =-，则()010n MD a b c n NM x a b c ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，则可取1,,122x x n ⎛⎫=-⎪⎝⎭， ∴22112cos ,cos 6021142xm n m n m nx x -⋅===︒=⎛⎫++- ⎪⎝⎭，解得35x =-，故存在存在一点N ，使M DN C --为60︒的二面角，且35AN =-.【点睛】本题考查线面平行的性质，及利用空间向量求解二面角问题，考查运算能力及逻辑推理能力，属于中档题． 20．已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点.（1）若直线l 的倾斜角为45︒，求MN 的长；（2）设M 在准线上的射影为A ，求证：A ，O ，N 三点共线（O 为坐标原点）. 【答案】（1）8；（2）见解析【解析】（1）由题意知直线l 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长MN ：（2）设直线l 的方程与抛物线联立求出两根之积，得出纵坐标之间的关系，求出AO ，ON 的斜率，值相等，结合两直线有公共点O 可得三点共线. 【详解】解：（1）由题意知抛物线的焦点()1,0F ，直线l 的倾斜角为45︒，则直线的斜率为1，所以直线l 的方程：1x y =+，设(),M x y ，(),N x y ''，联立直线与抛物线的方程整理得：2440y y --=， 所以4y y '+=，4yy '=-，所以弦长8MN===，所以MN 的长为8；（2）显然直线l 的斜率不为0，设直线方程为：1x my =+，设(),M x y ，(),N x y ''，由题意知()1,A y -，联立直线与抛物线的方程整理为：2440y my --=，4y y m '+=，4 yy'=-，4 yy =-'因为41OAyk yy==-='-，244ONyy ykx y'''===''∴OA ONk k=，AO，ON又有公共点O，所以A，O，N三点共线.【点睛】考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题．21．如图，设矩形ABCD所在平面与梯形ACEF所在平面相交于AC.若1AB=，3BC=，1AF FE EC===.（1）求证：AC DE⊥；（2）若1DE=，求BE与面ACEF所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）12【解析】（1）连结AC、BD，交于点O，连结OE，1OE CE AF===，2==AC BD，从而CDO∆是边长为1的正三角形，取OC中点G，连结DG，EG，连结DG，EG，从而EG AC⊥，DG AC⊥，由此能求出AC⊥平面DEG，由此能证明AC DE⊥. （2）过B作BH AO⊥，交AO于点H，连结FH，以H为原点，HB为x轴，HC为y轴，过H作平面ABCD的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BE与面ACEF 所成角的正弦值.【详解】解：（1）证明：连结AC 、BD ，交于点O ，连结OE ， ∵矩形ABCD 所在平面与梯形ACEF 所在平面相交于AC .1AB =，BC =，1AF FE EC ===.∴1OE CE AF ===，2AC BD ===，∴CDO ∆是边长为1的正三角形，取OC 中点G ，连结DG ，EG ，连结DG ，EG ， ∴EG AC ⊥，DG AC ⊥， ∵DGEG G =，DG ⊂平面DEG ，EG ⊂平面DEG ，∴AC ⊥平面DEG ， ∵DE ⊂平面DEG ， ∴AC DE ⊥.（2）解：∵1DE =，∴三棱锥E CDO -和三棱锥E ABO -都是棱长为1的正四面体，过B 作BH AO ⊥，交AO 于点H ，连结FH ，∴1BF EF HG ===，2FH BH EG ====，12CG =，30BCA ∠=︒，∴BG ===，∴以H 为原点，HB 为x 轴，HC 为y 轴，过H 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，2B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，263E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2,1,33BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 平面ACEF 的法向量()0,0,1n =，设BE与面ACEF所成角为θ，则21 3sin2169BE nBE nθ⋅===⋅，∴BE与面ACEF所成角的正弦值为12.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．22．如图，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为32，点()2,1M-是椭圆内一点，过点M作两条斜率存在且互相垂直的动直线12,l l，设1l与椭圆C相交于点,A B，2l 与椭圆C相交于点,D E．当点M恰好为线段AB的中点时，10AB．（1）求椭圆C的方程；（2）求AD EB⋅的最小值．【答案】（1）221123x y +=；（2）165.【解析】分析：（Ⅰ3|AB|=10列一个方程组，解方程组即得a,b,c 的值，即得椭圆的方程. （Ⅱ）先求出AD EB ⋅的表达式()()()2222201144k AD EB k k +⋅=++，再求函数的最小值即得AD EB ⋅的最小值．详解：（Ⅰ）由题意设224a b =，即椭圆2222:14x y C b b +=，设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y由22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩作差得，()()()()1212121240x x x x y y y y -++-+=又∵()2,1M -,即12124,2x x y y +=-+=， ∴AB斜率121212y y k x x -==-．由222214122x y b b y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩． 消x 得，224820x x b ++-=． 则()221211116482104AB k x b =+-=+--=解得23b =，于是椭圆C 的方程为：221123x y +=．（Ⅱ）设直线():21AB y k x =++,由()22112321x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=++⎩消x 得， ()()()22214821421120k xk k x k +++++-=． 于是()()212122282142112,1414k k k x x x x kk-++-+=⋅=++．()()AD EB AM MD EM MB AM MB EM MD ⋅=+⋅+=⋅+⋅()()()()112244332,12,12,12,1x y x y x y x y =---⋅+-+---⋅+-∵()()()()()21122122,12,1122x y x y k x x ---⋅+-=-+++()()()22121224114214k k x x x x k +⎡⎤=-++++=⎣⎦+．同理可得()()()244332412,12,14k x y x y k +---⋅+-=+． ∴()()()()22222222011141144144k AD EB k kk k k +⎛⎫⋅=++= ⎪++++⎝⎭，()222222011651442k k k +≥=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭,当1k =±时取等号．综上，AD EB ⋅的最小值为165．点睛：本题的难点在求得()()()2222201144kAD EB k k +⋅=++之后，如何求该函数的最小值.这里可以利用导数，也可以换元，但是最好的方法是利用基本不等式，()()()()2222222222012011651441442k k k k k k ++≥=++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，所以解题时要注意观察式子的特点，灵活选择方法解答,提高解题效率.。
2024-2025学年高一上学期期中模拟考试数学试题01(人教A版2019必修第一册)含解析
2024-2025学年高一数学上学期期中模拟卷01
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版2019必修第一册第一章~第三章。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
或C或D
由图知：()040f x x >⇒-<<.故选D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
四、解答题：本题共5小题，共77分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
的取值范围为．
16．（15分）
17．（15分）
18．（17分）
19．（17分）。
2019-2020学年浙江省温州市高二第一学期期末数学试卷(A卷) 含解析
2019-2020学年高二第一学期期末数学试卷（A卷）一、选择题1．命题“若x＞0，则x2＞0”的否命题是（）A．若x＞0，则x2≤0 B．若x2＞0，则x＞0C．若x≤0，则x2≤0 D．若x2≤0，则x≤02．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（）A．一个圆台、两个圆锥B．一个圆柱、两个圆锥C．两个圆台、一个圆柱D．两个圆台、一个圆锥3．已知l1：2x+m2y+2m＝0与l2：y＝﹣3x+，若两直线平行，则实数m的值为（）A．B．C．或D．或4．设α，β，γ为三个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β．有如下的两个命题：①若l∥β，m∥α，则α∥β；②若l⊥γ，m⊥γ，则α∥β．那么（）A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①②都是真命题D．①②都是假命题5．已知双曲线过点P（2，2），其渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．6．已知函数f（x）＝x3+3ax2+bx+a2（a，b∈R）在x＝﹣1时处取得极值0，则a+b＝（）A．4 B．11 C．4或11 D．3或107．已知P是椭圆上在第一象限内的点，F1，F2分别是椭圆的左右焦点，若存在点P使得点F2在线段PF1的中垂线上，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．8．如图，正四面体ABCD中，E是AC的中点，F是CD边上的动点，记二面角B﹣EF﹣D的平面角为α，则F从C运动到D的过程中（不含端点D）（）A．α增大B．α减小C．α先增大后减小D．α先减小后增大9．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）的可导函数，f'（x）为其导函数，当x＞0且x≠1时，，若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率为﹣1，则f（1）＝（）A．B．0 C．D．110．已知点A，B分别是互不垂直的两条异面直线a，b上的点，且直线AB与a，b均垂直，P∈a，Q∈b，若直线PQ与AB所成锐角θ为定值，则PQ的中点M的轨迹是（）A．椭圆B．抛物线C．圆D．线段二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为，圆柱的表面积与球的表面积之比为．12．已知函数f（x）＝x﹣e x，则f'（1）＝；函数f（x）的值域为．13．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是cm3；表面积是cm2．14．已知集合A＝{（x，y）||x|+|y|≤1}，集合B＝{（x，y）|x2+y2≤a2，a＞0}，若“x ∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是；若“x∈A”是“x ∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是．15．如图，已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，点A，B是抛物线上不同的两点，满足|FA|：|FB|＝1：3，且∠AFB＝90°，则直线AB的斜率为．16．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝2，，对角线BD＝3，E是线段CD上除端点外的任一点，将△ABD沿BD翻折成△A'BD，使二面角A'﹣BD﹣C为120°，设异面直线A'D和BE所成的角为α，则sinα的最小值是．17．已知斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于A，B两点，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，满足k1+k2＝8k，则△OAB面积的取值范围是．三、解答题：5小题，共74分18．如图，已知圆M的圆心在第一象限，与x轴相切于点，与直线相切于点B．（1）求圆M的方程；（2）圆M和圆x2+y2＝1相交于P，Q两点，求线段PQ的长度．19．已知函数f（x）＝x+alnx，（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＝1时，如果函数在定义域内单调递增，求实数t的取值范围．20．如图，三棱柱ABC﹣A'B'C'中，BC＝BB'＝B'C＝4，，AC⊥AA'，二面角B﹣AB'﹣C是直二面角，E，F分别是A'B'，CC'的中点．（1）求证：EF∥平面AB'C；（2）求EF与平面ABB'A'所成角的正弦值．21．如图，F是抛物线x2＝4y的焦点，过F的直线交抛物线于A，B两点，抛物线在A，B 两点处的切线相交于点M．（1）求证：点M在抛物线的准线上；（2）已知过抛物线上的点C作抛物线的切线分别交直线AM，BM于点P，Q，求△FPQ面积的最小值．22．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+bx，曲线f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y＝2x ﹣1．（1）求实数a，b的值；（2）如果不等式恒成立，求整数k的最大值．参考答案一、选择题：每小题4分，共40分1．命题“若x＞0，则x2＞0”的否命题是（）A．若x＞0，则x2≤0 B．若x2＞0，则x＞0C．若x≤0，则x2≤0 D．若x2≤0，则x≤0【分析】命题的否命题是否定题设又否定结论，从而得到答案．解：命题“若x＞0，则x2＞0”的否命题是：若x≤0，则x2≤0，故选：C．2．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（）A．一个圆台、两个圆锥B．一个圆柱、两个圆锥C．两个圆台、一个圆柱D．两个圆台、一个圆锥【分析】画出等腰梯形，考虑较长的底边，旋转可得形状．解：设等腰梯形ABCD，较长的底边为CD，则绕着底边CD旋转一周可得一个圆柱和两个圆锥，（如右轴截面图）故选：B．3．已知l1：2x+m2y+2m＝0与l2：y＝﹣3x+，若两直线平行，则实数m的值为（）A．B．C．或D．或【分析】直线l2的方程化为3x+y﹣＝0，根据两直线平行列方程求出m的值，再排除两直线重合情况．解：直线l2：y＝﹣3x+可化为3x+y﹣＝0，由直线l1：2x+m2y+2m＝0与l2平行，则3m2﹣2×1＝0，解得m＝±；当m＝时，l1的方程为3x+y+＝0，两直线平行；当m＝﹣时，l1的方程为3x+y﹣＝0，两直线重合；综上知，m的值为．故选：B．4．设α，β，γ为三个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β．有如下的两个命题：①若l∥β，m∥α，则α∥β；②若l⊥γ，m⊥γ，则α∥β．那么（）A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①②都是真命题D．①②都是假命题【分析】直接利用线面和面面之间的平行和垂直的判定的应用求出结果．解：对于两个命题：①若l∥β，m∥α，则α∥β；错误，由于直线和平面之间没有传递性．②若l⊥γ，m⊥γ，则α∥β．错误，可能α和β相交．故选：D．5．已知双曲线过点P（2，2），其渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【分析】设以为渐近线的双曲线方程为（λ≠0），把P的坐标代入求得λ，则答案可求．解：设以为渐近线的双曲线方程为（λ≠0），∵双曲线过点P（2，2），∴，即λ＝﹣3．∴双曲线的标准方程为．故选：D．6．已知函数f（x）＝x3+3ax2+bx+a2（a，b∈R）在x＝﹣1时处取得极值0，则a+b＝（）A．4 B．11 C．4或11 D．3或10【分析】由题意可得，f（﹣1）＝0，f′（﹣1）＝0，代入即可求解．解：∵f（x）＝x3+3ax2+bx+a2在x＝﹣1时处取得极值0，∴f′（x）＝3x2+6ax+b，∴，解可得，或当时，f′（x）＝3x2+6x+3＝3（x+1）2≥0恒成立，函数单调递增，没有极值，不合题意，则a+b＝11．故选：B．7．已知P是椭圆上在第一象限内的点，F1，F2分别是椭圆的左右焦点，若存在点P使得点F2在线段PF1的中垂线上，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】利用已知条件转化列出a、c关系式，然后求解离心率的范围．解：F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，可得|PF2|＝2c，即以F2为圆心，2c为半径的圆与椭圆有交点，所以2c＞a﹣c．可得e ＞，P是椭圆上在第一象限内的点，a＞2c，可得e椭圆C的离心率的取值范围是：（，）．故选：C．8．如图，正四面体ABCD中，E是AC的中点，F是CD边上的动点，记二面角B﹣EF﹣D的平面角为α，则F从C运动到D的过程中（不含端点D）（）A．α增大B．α减小C．α先增大后减小D．α先减小后增大【分析】作图，先求得二面角B﹣EF﹣D的平面角，再在直角三角形中求得tanα的值，通过OG的变化，得到tanα的变化情况，进而得解．解：由题意得，BO⊥平面ACD，其中O为△ADC的中心，过O作OG⊥EF交于点G，连接BG，由三垂线定理可得，BG⊥EF，∠BGO为二面角B﹣EF﹣D的平面角α，易知，在Rt△BOG 中，，由图可得，F从C运动到D的过程中OG减小，而BO为定值，故tanα增大，则α增大，故选：A．9．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）的可导函数，f'（x）为其导函数，当x＞0且x≠1时，，若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率为﹣1，则f（1）＝（）A．B．0 C．D．1【分析】令g（x）＝x2f（x），讨论x＞1，0＜x＜1时，g（x）的单调区间和极值点，可得g′（1）＝0，即有2f（1）+f′（1）＝0，由f′（1）＝﹣1，即可得出．解：当x＞0且x≠1时，，可得x＞1时，2f（x）+xf′（x）＞0；0＜x＜1时，2f（x）+xf′（x）＜0．令g（x）＝x2f（x），x∈（0，+∞），∴g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）＝x[2f（x）+xf′（x）]．可得：x＞1时，g′（x）＞0；0＜x＜1时，g′（x）＜0．可得函数g（x）在x＝1处取得极值，∴g′（1）＝2f（1）+f′（1）＝0，由f′（1）＝﹣1，可得f（1）＝，故选：C．10．已知点A，B分别是互不垂直的两条异面直线a，b上的点，且直线AB与a，b均垂直，P∈a，Q∈b，若直线PQ与AB所成锐角θ为定值，则PQ的中点M的轨迹是（）A．椭圆B．抛物线C．圆D．线段【分析】画出图象，根据动点轨迹锐角θ为定值，故以AB为轴，夹角为θ，PQ为母线画圆锥，由P，Q分别在a，b上移动，故相当于圆锥在移动，画出中点M随椭圆的变化位置，因为AB长度为定值，故可投影为平面问题，建立坐标系，求出M的轨迹为椭圆．解：如图，直线AB与两条异面直线a，b垂直，将b从BB'移动到AA'，与a相交于A 点，故直线AB与底面APA'垂直，且AB与PQ所成的锐角θ为定值，故以AB为轴，夹角为θ，PQ为母线画圆锥，由P，Q分别在a，b上移动，故相当于圆锥在移动，画出中点M随椭圆的变化位置，因为AB长度为定值，故可投影为平面问题，如下图，以直线a，b交点为原点，角平分线为x轴建立如图直角坐标系，为了方便计算不妨设a，b的夹角θ＝60°，直线x轴与a，b夹角为30°，令定值|P'Q'|＝|AB|tanθ＝6，则设动点Q'（a，a），设M（x，y），M为P'Q'中点，故P'（2x﹣a，2y﹣a）可得tan（﹣30°）＝，得3a＝x+3y，由|P'Q'|＝（2x﹣2+（2y﹣2a）2＝36，联立解得，故选：A．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为，圆柱的表面积与球的表面积之比为．【分析】本题先找出圆柱底面和高分别与内切球的半径的关系，然后根据公式进行推理运算即可得到结果．解：由题意，圆柱底面半径r＝球的半径R，圆柱的高h＝2R，则V球＝πR3，V柱＝πr2h＝π•R2•2R＝2πR3．∴＝＝．S球＝4πR2，S柱＝2πr2+2πrh＝2πR2+2πR•2R＝6πR2．∴＝＝．故答案为：；．12．已知函数f（x）＝x﹣e x，则f'（1）＝1﹣e；函数f（x）的值域为（﹣∞，﹣1] ．【分析】对函数求导，判断单调性和最值，代入即可．解：f（x）＝x﹣e x，所以f'（x）＝1﹣e x，f'（1）＝1﹣e，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）递增；当x∈（0，+∞）时，f（x）递减，故f（x）有最大值f（0）＝﹣1，故f（x）的值域为（﹣∞，﹣1]，故答案为：1﹣e；（﹣∞，﹣1]．13．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是8+cm3；表面积是20+4cm2．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积和表面积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为上面为正式棱锥体，下面为正方体的组合体，故＝8+．S＝＝20+4．故答案为：；20+4．14．已知集合A＝{（x，y）||x|+|y|≤1}，集合B＝{（x，y）|x2+y2≤a2，a＞0}，若“x ∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是[1，+∞）；若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（0，] ．【分析】根据题意，分析集合A、B的几何意义，进而结合集合与充分必要条件的定义分析可得答案．解：根据题意，集合A＝{（x，y）||x|+|y|≤1}，其几何意义为如图正方形ABCD及其内部区域，集合B＝{（x，y）|x2+y2≤a2，a＞0}，其几何意义为圆x2+y2＝a2的圆周及其内部区域，而圆x2+y2＝a2的圆心为（0，0），半径r＝a，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则正方形ABCD在圆x2+y2＝a2的内部，必有a ≥1，此时a的取值范围为[1，+∞）；若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则圆x2+y2＝a2在正方形ABCD的内部，必有a ≤，此时a的取值范围为（0，]；故答案为：[1，+∞）；（0，]．15．如图，已知点F是抛物线y2＝4x的焦点，点A，B是抛物线上不同的两点，满足|FA|：|FB|＝1：3，且∠AFB＝90°，则直线AB的斜率为．【分析】由题意得A，B横坐标的关系，再由∠AFB＝90°知，△AA'F∽△FB'B，所以得坐标的关系，代入抛物线中得A，B的坐标，进而求出斜率．解：由题意知，焦点F（1，0），准线方程：x＝﹣1，A（x，y），B（x'，y'）过A，B分别做AA'，BB'垂直于x轴，则由∠AFB＝90°，△AA'F∽△FB'B，∴，|FA|：|FB|＝1：3，所以3AA'＝B'F，∴3y＝x'﹣1①，由3（x+1）＝x'+1，∴x'＝3x+2②由①②y＝2+，x'＝7+2，y'＝2+2，x＝，所以k AB＝＝＝＝＝；故答案为：．16．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝2，，对角线BD＝3，E是线段CD上除端点外的任一点，将△ABD沿BD翻折成△A'BD，使二面角A'﹣BD﹣C为120°，设异面直线A'D和BE所成的角为α，则sinα的最小值是．【分析】抓住点E的任意性，“最小角定理”得到的线面角不超过线线角，由此能求出sinα的最小值．解：设A′O⊥平面BCD，过O作OH⊥BD于H，连结A′H，由题意得∠A′HO＝60°，由等面积法得A′H＝，∴＝＝，由最小角定理得直线A′D与平面BCD所成角是异面直线A'D和BE所成的角的最小角，∴（sinα）min＝＝＝．故答案为：．17．已知斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于A，B两点，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，满足k1+k2＝8k，则△OAB面积的取值范围是．【分析】设直线l的方程，与椭圆联立，求出两根之和两根之积，进而求直线OA，OB 的斜率，再由斜率之和为8k，求出参数的关系，代入面积公式均值不等式求出面积的取值范围．解：设直线AB的方程：y＝kx+t，设A（x'，y'），B（x''，y''），联立与椭圆的方程整理得：（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣12＝0，△＝64k2t2﹣4（3+4k2）（4t2﹣12）＞0，即t2＜3+4k2，x'+x''＝﹣，x'x''＝，∴k1＝k OA＝，k2＝k OB＝，由题意得：＝8k，∴＝8k，8k＝2k+t，∴4t2＝9，∴t2＝；∴，原点O到直线的距离d＝，AB＝＝＝4＝2，∴S△OAB＝•AB•d＝•＝＝＜，∴△OAB面积的取值范围是：（0，）．故答案为：（0，）．三、解答题：5小题，共74分18．如图，已知圆M的圆心在第一象限，与x轴相切于点，与直线相切于点B．（1）求圆M的方程；（2）圆M和圆x2+y2＝1相交于P，Q两点，求线段PQ的长度．【分析】（1）设圆心M（，b），b＞0，则圆M的方程为+（y﹣b）2＝b2，再根据圆和直线相切的性质可得＝b，由此求得b＝1，可得圆的标准方程．（2）由题意利用两个圆相交的性质，利用弦长公式求出线段PQ的长度．解：（1）已知圆M的圆心在第一象限，与x轴相切于点，设圆心M（，b），b＞0，则圆M的方程为+（y﹣b）2＝b2，由于该圆M与直线相切于点B，故有＝b，求得b＝1，故圆M的方程为+（x﹣1）2＝1．（2）∵圆M和圆x2+y2＝1相交于P，Q两点，把两个圆的方程相减，可得PQ的方程为2x+2y﹣3＝0．由于点O到直线PQ的距离为d＝＝，故弦长PQ＝2＝2×＝1．19．已知函数f（x）＝x+alnx，（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＝1时，如果函数在定义域内单调递增，求实数t的取值范围．【分析】（1）对函数f（x）求导，对a进行讨论，判断单调性；（2）函数在定义域内单调递增，g'（x）＝≥0，分离参数求出t的范围．解：（1）已知函数f（x）＝x+alnx，（a∈R），x＞0，f'（x）＝1+，当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增；当a＜0时，x∈（0，﹣a），f'（x）＜0，f（x）递减；x∈（﹣a，+∞），f'（x）＞0，f（x）递增；（2）当a＝1时，g（x）＝x+lnx+，x＞0，g'（x）＝≥0，即x2+（t+1）x+1≥0在x＞0恒成立，分离参数t+1≥，由x+，x＞0，故t+1≥﹣2，即t≥﹣3．20．如图，三棱柱ABC﹣A'B'C'中，BC＝BB'＝B'C＝4，，AC⊥AA'，二面角B﹣AB'﹣C是直二面角，E，F分别是A'B'，CC'的中点．（1）求证：EF∥平面AB'C；（2）求EF与平面ABB'A'所成角的正弦值．【分析】（1）取AB′的中点G，连结GE，GC，推导出四边形GCFE为平行四边形，EF∥CG，由此能证明EF∥平面AB′C．（2）由CG∥EF，得EF与平面ABB′A′所成的角等于CG于平面ABB′A′所成角，作BH ⊥B′A，H是垂足，推导出∠CGA是CG与平面ABB′A′所成角，由此能求出EF与平面ABB'A'所成角的正弦值．解：（1）证明：取AB′的中点G，连结GE，GC，∵E，F分别是AB′，CC′的中点，∴GE∥AA′，且GE＝，∵CF∥AA′，且CF＝，∴GE∥CF，且GE＝CF，∴四边形GCFE为平行四边形，∴EF∥CG，又CG⊂平面AB′C，EF⊄平面AB′C，∴EF∥平面AB′C．（2）解：∵CG∥EF，∴EF与平面ABB′A′所成的角等于CG于平面ABB′A′所成角，作BH⊥B′A，H是垂足，由面BAB′⊥面AB′C，得BH⊥面AB′C，∴BH⊥AC，又AC⊥AA′，BH和AA′是相交直线，∴AC⊥平面ABB′A′，∴∠CGA是CG与平面ABB′A′所成角，AC＝3，AG＝，CG＝，∴EF与平面ABB'A'所成角的正弦值为sin∠CGA＝＝．21．如图，F是抛物线x2＝4y的焦点，过F的直线交抛物线于A，B两点，抛物线在A，B 两点处的切线相交于点M．（1）求证：点M在抛物线的准线上；（2）已知过抛物线上的点C作抛物线的切线分别交直线AM，BM于点P，Q，求△FPQ面积的最小值．【分析】（1）求得抛物线的焦点F的坐标，设出A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝kx+1，联立抛物线方程，运用韦达定理，求得y＝x2的导数，可得切线的斜率和方程，求得交点M的坐标，即可得证；（2）设C（x3，y3），求得切线的方程，运用点到直线的距离公式，求得P，Q的坐标，和距离|PQ|，再由三角形的面积公式和基本不等式，即可点到所求最小值．解：（1）证明：抛物线x2＝4y的焦点F（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则x12＝4y1，x22＝4y2，直线AB的方程为y＝kx+1，联立抛物线方程可得x2﹣4kx﹣4＝0，可得x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，由y＝x2的导数为y′＝x，可得A处的切线的方程为y﹣y1＝x1（x﹣x1），即为y＝x1x﹣x12，同理可得B处切线的方程为y＝x2x﹣x22，解方程可得M（，），即M（2k，﹣1），即点M在抛物线的准线y＝﹣1上；（2）设C（x3，y3），可得C处的切线PQ的方程为y＝x3x﹣x32，则点F到直线PQ的距离为d＝，由（1）可得P（，），Q（，），可得|PQ|＝，则S△FPQ＝d|PQ|＝（1+x32）≥＝＝≥＝1，当且仅当x1＝﹣2，x2＝2，x3＝0时取得等号．则△FPQ面积的最小值为1．22．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+bx，曲线f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y＝2x ﹣1．（1）求实数a，b的值；（2）如果不等式恒成立，求整数k的最大值．【分析】（1）由已知结合导数的几何意义可得，，代入即可求解a，b，（2）由已知可得，k，转化为求g（x）＝的最小值，结合导数即可求解．解：（1）∵f（x）＝lnx﹣ax2+bx，∴f′（x）＝﹣2x+b，由题意可得，，解可得，a＝0，b＝1，（2）由（I）可得f（x）＝lnx+x，f′（x）＝+1，由恒成立可得，k，令g（x）＝，则g′（x）＝，令h（x）＝x﹣ln（x+1），则h′（x）＝＞0，∴h（x）单调递增，而h（2）＜0，h（3）＞0，所以h（x）有唯一的实数根x0∈（2，3），且0＝x0﹣ln（x0+1），∴g（x）min＝g（x0）＝[1+ln（1+x0）]＝1+x0∈（3，4），∴k≤3，k∈z，故k的最大值3．。
2019-2020年高二下学期期末数学试卷(文科)含解析
2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。
2019-2020学年浙江省温州市高二(上)期末数学试卷(b卷)
2019-2020学年浙江省温州市高二（上）期末数学试卷（B 卷）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）双曲线221916x y -=的实轴长为( )A ．3B ．4C ．6D ．82．（4分）与直线:2310l x y -+=关于y 轴对称的直线的方程为( ) A ．2310x y ++=B ．2310x y +-=C ．3210x y -+=D ．3210x y ++=3．（4分）若直线0x y -=与圆22(1)(1)x y m -++=相离，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，2]B ．(1，2]C ．(0,2)D ．(1,2)4．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：)cm ，则该几何体的体积（单位：3)cm 是()A ．6B ．2C ．12D ．35．（4分）一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是( ) A ．底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形B ．各个面都是正三角形C ．三个侧面是全等的等腰三角形D ．顶点在底面上的射影为重心6．（4分）如图，已知三棱锥V ABC -，点P 是VA 的中点，且2AC =，4VB =，过点P 作一个截面，使截面平行于VB 和AC ，则截面的周长为( )A ．12B ．10C ．8D ．67．（4分）已知直线1:l y kx =和2:20l x ky +-=相交于点P ，则点P 的轨迹方程为( ) A ．221x y += B ．22(1)1x y -+= C ．221(0)x y x +=≠D ．22(1)1(0)x y x -+=≠8．（4分）已知双曲线224x y -=，若过点P 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点，则点P 的坐标可能是( ) A ．(1,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(2,2)9．（4分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，且12||4||PF PF =，则此椭圆的离心率e 的最小值为( )A ．35B ．45C ．14D ．3410．（4分）在平面直角坐标系中，已知点(2,0)A ，(0,2)B ，圆22:()1C x a y -+=，若圆C 上存在点M ，使得22||||12MA MB +=，则实数a 的取值范围为( ) A ．[1,12]+B ．[12,122]-+C ．[1,122]+D ．[12,12]+二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．（6分）已知直线2:(1)210(l m x y m +-+=为常数），若直线l 的斜率为12，则m = ，若1m =-，直线l 的倾斜角为 ．12．（6分）在平面直角坐标系中，点(1,2)A -关于x 轴的对称点为(1,2)A '--，那么，在空间直角坐标系中，(1B -，2，3)关于x 轴的对称轴点B '坐标为 ，若点(1C ，1-，2)关于xOy 平面的对称点为点C '，则||B C ''= ．13．（6分）已知圆221:1C x y +=和圆2222:(4)(3)(0)C x y r r -+-=>外切，则r 的值为 ，若点0(A x ，0)y 在圆1C 上，则220004x y x +-的最大值为 ． 14．（6分）已知直线1y x =-与抛物线22(0)y px p =>交于A ，B 两点；若直线过抛物线的焦点，则抛物线的准线方程为 ，若OA OB ⊥，则p 的值为 ．15．（4分）某学习合作小组学习了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．利用祖暅原理研究椭圆22221(0)x y a b a b+=>>绕y 轴旋转一周所得到的椭球体的体积，方法如下：取一个底面圆半径为a 高为b 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体和半椭球体放在同一平面α上，那么这两个几何体也就夹在两个平行平面之间了，现在用一平行于平面α的任意一个平面β去截这两个几何体，则截面分别是圆面和圆环面，经研究，圆面面积和圆环面面积相等，由此得到椭球体的体积是 ．16．（4分）如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，2AB AD DC ===，4BC =，E 为BC 上一点，且1BE =，P 为DC 的中点．沿AE 将梯形折成大小为θ的二面角B AE C --，若ABE ∆内（含边界）存在一点Q ，使得PQ ⊥平面ABE ，则cos θ的取值范围是 ．17．（4分）设抛物线24x y =，点F 是抛物线的焦点，点(0,)M m 在y 轴正半轴上（异于F 点），动点N 在抛物线上，若FNM ∠是锐角，则m 的范围为 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（14分）已知圆心C 在直线：220x y --=上的圆经过点(1,2)A -和(3,2)B -，且过点(3,1)P -的直线l 与圆C 相交于不同的两点M ，N ．（Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）若90MCN ∠=︒，求直线l 的方程．19．（14分）如图，CD αβ=I ，EF αγ=I ，AB βγ=I ，//AB CD ． （Ⅰ）求证：//CD EF ；（Ⅱ）若几何体ACE BDF -是三棱柱，ACE ∆是边长为2的正三角形，AB 与面ACE 所成角的余弦值为15，2AB =，求三棱柱ACE BDF -的体积．20．（14分）已知点A ，B 的坐标分别是(1,0)-，(1,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且直线BM 的斜率与直线AM 的斜率的差是2． （Ⅰ）求点M 的轨迹方程C ；（Ⅱ）若直线:0l x y -=与曲线C 交于P ，Q 两点，求APQ ∆的面积．21．（16分）如图，在三棱锥A BCD -中，且AD DC ⊥，AC CB ⊥，面ABD ⊥面BCD ，AD CD BC ==，E 为AC 中点，H 为BD 中点．（Ⅰ）求证：AD BC ⊥；（Ⅱ）在直线CH 上确定一点F ，使得//AF 面BDE ，求AF 与面BCD 所成角．22．（16分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，直线l 过椭圆的右焦点F ，与椭圆交于点M 、N ；若l 垂直于x 轴，则||3MN =． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）椭圆的左右顶点分别为1A 、2A ，直线1A M 与直线2A N 交于点P ．求证：点P 在定直线上．2019-2020学年浙江省温州市高二（上）期末数学试卷（B 卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）双曲线221916x y -=的实轴长为( )A ．3B ．4C ．6D ．8【解答】解：双曲线221916x y -=的实轴长为：2236a =⨯=．故选：C ．2．（4分）与直线:2310l x y -+=关于y 轴对称的直线的方程为( ) A ．2310x y ++=B ．2310x y +-=C ．3210x y -+=D ．3210x y ++=【解答】解：设(,)P x y 为要求直线上的任意一点，则点P 关于y 轴对称的点为(,)x y -，代入直线l 的方程可得：2310x y --+=， 化为：2310x y +-=， 故选：B ．3．（4分）若直线0x y -=与圆22(1)(1)x y m -++=相离，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，2]B ．(1，2]C ．(0,2)D ．(1,2)【解答】解：若直线0x y -=与圆22(1)(1)x y m -++=相离， 则圆心到直线的距离d r >，>0m >，解得02m <<， 故选：C ．4．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：)cm ，则该几何体的体积（单位：3)cm 是()A．6B．2C．12D．3【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：所以，1(12)2262V=⨯+⨯⨯=，故选：A．5．（4分）一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是()A．底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形B．各个面都是正三角形C．三个侧面是全等的等腰三角形D．顶点在底面上的射影为重心【解答】解：对于A，若一个三棱锥是正三棱锥，则底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形，反之，若一个三棱锥底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形，则三棱锥为正三棱锥，故A正确；对于B，正三棱锥的侧面不一定是正三角形，故B错误；对于C，如图，三棱锥A BCD-满足2AB AC BD CD====，3AD BC==，满足三个侧面是全等的等腰三角形，但三棱锥不是正三棱锥，故C错误；对于D，一个三棱锥顶点在底面上的射影为重心，三棱锥不一定是正三棱锥，故D错误．故选：A．6．（4分）如图，已知三棱锥V ABC-，点P是VA的中点，且2AC=，4VB=，过点P作一个截面，使截面平行于VB和AC，则截面的周长为()A．12B．10C．8D．6【解答】解：如图所示，过点P作//PF AC，交VC于点F，过点F作//FE VB交BC于点E，过点E作//EQ AC，交AB于点Q；由作图可知：//EQ PF，所以四边形EFPQ是平行四边形；可得122EF PQ VB===，112EQ PF AC===；所以截面四边形EFPQ的周长为2(21)6⨯+=．故选：D．7．（4分）已知直线1:l y kx =和2:20l x ky +-=相交于点P ，则点P 的轨迹方程为( ) A ．221x y += B ．22(1)1x y -+= C ．221(0)x y x +=≠D ．22(1)1(0)x y x -+=≠【解答】解：设(,)P x y ，直线1:l y kx =和2:20l x ky +-=相交于点P ， 可得20yx y x+-=g ，0x ≠，即2220x x y -+=，0x ≠，可得22(1)1(0)x y x -+=≠． 故选：D ．8．（4分）已知双曲线224x y -=，若过点P 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点，则点P 的坐标可能是( ) A ．(1,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(2,2)【解答】解：双曲线224x y -=，双曲线的渐近线方程为：y x =±，若过点P 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点，(1,1)，(2,2)在双曲线的渐近线上，所以A 、D ，不成立．因为(2,1)是第一象限，在双曲线外与x 轴与y x =所围成的区域内，不可能满足：过点P 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点， 所以只有选项B 满足条件， 故选：B ．9．（4分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，且12||4||PF PF =，则此椭圆的离心率e 的最小值为( )A ．35B ．45C ．14D ．34【解答】解：椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，且12||4||PF PF =，可得12||||2PF PF a +=，所以22||5a PF =，18||5aPF =， 222212121212178cos 4||||2||||cos 4()25F PF c PF PF PF PF F PF a -∠=+-∠=当且仅当12cos 1F PF ∠=时，2294425c a ⨯…，所以35e …．故选：A ．10．（4分）在平面直角坐标系中，已知点(2,0)A ，(0,2)B ，圆22:()1C x a y -+=，若圆C 上存在点M ，使得22||||12MA MB +=，则实数a 的取值范围为( )A ．[1,1+B ．[1-+C ．[1,1+D ．[1+【解答】解：设(,)M x y ，22||||12MA MB +=Q2222(2)(2)12x y x y ∴-+++-=， 22(1)(1)4x y ∴-+-=，Q 圆C 上存在点M ，满足22||||12MA MB +=∴两圆相交或相切，13∴，即|1|a -„，11a ∴-+ 故选：B ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11．（6分）已知直线2:(1)210(l m x y m +-+=为常数），若直线l 的斜率为12，则m = 0 ，若1m =-，直线l 的倾斜角为 ．【解答】解：Q 直线2:(1)210(l m x y m +-+=为常数），直线l 的斜率为12，∴21122m +=， 解得0m =，Q 直线2:(1)210(l m x y m +-+=为常数），1m =-，∴直线l 的斜率2(1)112k -+==，∴直线l 的倾斜角为45︒．故答案为：0，45︒．12．（6分）在平面直角坐标系中，点(1,2)A -关于x 轴的对称点为(1,2)A '--，那么，在空间直角坐标系中，(1B -，2，3)关于x 轴的对称轴点B '坐标为 (1-，2-，3)- ，若点(1C ，1-，2)关于xOy 平面的对称点为点C '，则||B C ''= ．【解答】解：在空间直角坐标系中，(1B -，2，3)关于x 轴的对称轴点B '坐标为(1-，2-，3)-，若点(1C ，1-，2)关于xOy 平面的对称点为点C '， 则(1C '，1-，2)-，||B C ''∴故答案为：(1-，2-，3)-13．（6分）已知圆221:1C x y +=和圆2222:(4)(3)(0)C x y r r -+-=>外切，则r 的值为 4 ，若点0(A x ，0)y 在圆1C 上，则22004x y x +-的最大值为 ．【解答】1r =+，解得4r =；由点0(A x ，0)y 在圆1C 上，所以2201x y +=，且0[1x ∈-，1]， 所以22000414[3x y x x +-=-∈-，5] 所以220004x y x +-的最大值为5， 故答案分别为：4，5．14．（6分）已知直线1y x =-与抛物线22(0)y px p =>交于A ，B 两点；若直线过抛物线的焦点，则抛物线的准线方程为 1x =- ，若OA OB ⊥，则p 的值为 ． 【解答】解：由题意知抛物线的焦点在x 轴，1y x =-，令0y =，1x =，求出直线与x 轴的交点，即为抛物线的焦点(1,0)， 所以抛物线的方程为24y x =， 所以准线方程为：1x =-； 若OA OB ⊥，设(,)A x y ，(,)B x y ''， 直线与抛物线联立：2(22)10x p x -++=， 22x x p '∴+=+，1xx '=， ()12yy xx x x p '''∴=-++=- 若OA OB ⊥，则0OA OB =u u u r u u u rg ，0xx yy ''∴+=，即120p -=，解得12p =； 故答案分别为：1x =-，12． 15．（4分）某学习合作小组学习了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．利用祖暅原理研究椭圆22221(0)x y a b a b+=>>绕y 轴旋转一周所得到的椭球体的体积，方法如下：取一个底面圆半径为a 高为b 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体和半椭球体放在同一平面α上，那么这两个几何体也就夹在两个平行平面之间了，现在用一平行于平面α的任意一个平面β去截这两个几何体，则截面分别是圆面和圆环面，经研究，圆面面积和圆环面面积相等，由此得到椭球体的体积是243a b π ．【解答】解：S S =Q 圆环总成立，∴椭球的体积为：222142()33a b a b a b πππ-=．故答案为：243a b π．16．（4分）如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，2AB AD DC ===，4BC =，E 为BC上一点，且1BE =，P 为DC 的中点．沿AE 将梯形折成大小为θ的二面角B AE C --，若ABE ∆内（含边界）存在一点Q ，使得PQ ⊥平面ABE ，则cos θ的取值范围是 1[0,]5．【解答】解：如图，过点P 作AE 的垂线，垂足为O ，并延长交AB 于点M ，由翻折性质可知，AE ⊥平面OMP ，故平面OMP ⊥平面ABE ，因此点P 在平面ABE 内的射影点Q 必在OM 上：由于点Q 在ABE ∆内（含边界），则点Q 在线段OM 上； 当θ取最小值时，有PM OM ⊥，此时cos θ有最大值OM OP ，又15,22OM OP ==，故1(cos )5max θ=， 显然θ的最大值为2π，故(cos )0min θ=， 综上，cos θ的取值范围是1[0,]5．故答案为：1[0,]5．17．（4分）设抛物线24x y =，点F 是抛物线的焦点，点(0,)M m 在y 轴正半轴上（异于F 点），动点N 在抛物线上，若FNM ∠是锐角，则m 的范围为 (0，1)(1⋃，9) ． 【解答】解：设2(4,4)N t t ，可知(0,1)F ，0m >且1m ≠，所以2(4,14)NF t t =--u u u r ，2(4,4)NM t m t =--u u u u r ， 因为FNM ∠是锐角，所以0NF NM >u u u r u u u u rg ，即22216(14)(4)0t t m t +-->， 整理得4216(124)0t m t m +-+>， 等价于428(62)02mt m t +-+>对任意t R ∈恒成立； 令20x t =…，则2()8(62)02mf x x m x =+-+>对任意[0x ∈，)+∞恒成立； 因为()f x 的对称轴为38mx -=-，故分类讨论如下： （1）308m--„，即03m <„时， ()(0)02min mf x f ==>， 所以03m <„； （2）308m-->，即3m >时， 应有2(62)4802mm =--⨯⨯<V ， 得39m <<；综上所述：(0m ∈，1)(1⋃，9)． 故答案为：(0，1)(1⋃，9)．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（14分）已知圆心C 在直线：220x y --=上的圆经过点(1,2)A -和(3,2)B -，且过点(3,1)P -的直线l 与圆C 相交于不同的两点M ，N ．（Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）若90MCN ∠=︒，求直线l 的方程．【解答】解：（1）法一、Q 易求得AB 的中点为(1,0)，且1AB k =-，AB ∴的中垂线方程为10x y --= 由10220x y x y --=⎧⎨--=⎩，得圆心C 的坐标为(1,0)，∴半径||CA =故圆C 的标准方程为：22(1)8x y -+=， 法二、设圆心(,22)C a a -，则由||||CA CB ==解得：1a =∴圆心(1,0)C ，半径r =， 故圆C 的标准方程为：22(1)8x y -+=．（2）法一、当90MCN ∠=︒时，则圆心C 到直线l 的距离为2， 若直线l 的斜率存在，设直线:1(3)l y k x +=-， 即310kx y k ---=∴圆心(1,0)C 到直线l 的距离2d ==，解得34k =，∴直线l 的方程为34130x y --=， 若直线l 的斜率不存在，则直线:3l x =，符合题意， 综上所述：所求直线l 的方程为：3x =或34130x y --=． 法二、设1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y ，90MCN ∠=︒Q ，||4MN ∴= 若直线l 的斜率不存在， 则直线:3l x =，符合题意， 若直线l 的斜率存在，设:(3)1l y k x =--与圆方程22(1)8x y -+=，联立得：2222(1)2(31)3(322)0k x k k x k k +-++++-=， 由弦长公式得：221212(1)[()4]16k x x x x ++-=， 由韦达定理代入，解得34k =，∴直线l 的方程为34130x y --=， 综上所述：所求直线l 的方程为：3x =或34130x y --=．19．（14分）如图，CD αβ=I ，EF αγ=I ，AB βγ=I ，//AB CD ． （Ⅰ）求证：//CD EF ；（Ⅱ）若几何体ACE BDF -是三棱柱，ACE ∆是边长为2的正三角形，AB 与面ACE 所成角的余弦值为15，2AB =，求三棱柱ACE BDF -的体积．【解答】（Ⅰ）证明：//AB CD Q ，AB α⊂/，CD α⊂，//AB α∴， 又AB γ⊂，EF αγ=I ，//AB EF ∴， 又//AB CD Q ，//CD EF ∴；（Ⅱ）解：122sin 6032ACE S ∆=︒g g g又三棱柱ACE BDF -的高212421()266555h =-=g g∴41236255V Sh ===g． 20．（14分）已知点A ，B 的坐标分别是(1,0)-，(1,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且直线BM 的斜率与直线AM 的斜率的差是2． （Ⅰ）求点M 的轨迹方程C ；（Ⅱ）若直线:0l x y -=与曲线C 交于P ，Q 两点，求APQ ∆的面积． 【解答】解：（Ⅰ）设(,)M x y ， 则1AM y k x =+，1BM y k x =-， 所以211y y x x -=-+， 所以轨迹方程为21(0y x y =-≠或1)x ≠±；（Ⅱ）方法一：设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 联立方程21y x x y ⎧=-⎨-=⎩，得210x x --=，所以121211x x x x +=⎧⎨=-⎩，所以221212||11()410PQ x x x x ++-A 到直线的距离为22211d ==+所以15||2APQ S d PQ ∆==g g方法二：设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 联立方程21y x x y ⎧=-⎨-=⎩，得210x x --=，所以121211x x x x +=⎧⎨=-⎩，212121212111||||||||()4222APQ S AO y y AO x x x x x x ∆=-=-=+-g g g g ，所以5APQ S ∆=． 21．（16分）如图，在三棱锥A BCD -中，且AD DC ⊥，AC CB ⊥，面ABD ⊥面BCD ，AD CD BC ==，E 为AC 中点，H 为BD 中点．（Ⅰ）求证：AD BC ⊥；（Ⅱ）在直线CH 上确定一点F ，使得//AF 面BDE ，求AF 与面BCD 所成角．【解答】（Ⅰ）证明：AD CD BC ==，E 为AC 中点，H 为BD 中点． 所以CH BD ⊥，又面ABD ⊥面BCD ，CH ∴⊥面ABD ，CH AD ∴⊥， 又AD CD ⊥，AD CH ⊥，CD CH C =I ，AD ∴⊥面BCD ， AD BC ∴⊥．（Ⅱ）解：在CH 延长线上取点F ，使FH HC =， 则四边形BCDF 为平行四边形，又//EH AF ，EH ⊂面BDE ，AF ⊂/面BDE ，//AF ∴面BDE ， 又AD ⊥面BCD ，AFD ∴∠即为AF 与面BCD 所成线面角， 又DF BC AD ==，45AFD ∴∠=︒， 即AF 与面BCD 所成线面角为45︒．22．（16分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，直线l 过椭圆的右焦点F ，与椭圆交于点M 、N ；若l 垂直于x 轴，则||3MN =． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）椭圆的左右顶点分别为1A 、2A ，直线1A M 与直线2A N 交于点P ．求证：点P 在定直线上．【解答】解：（Ⅰ）由已知得22312b ac a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以231a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的方程为22143x y +=；（Ⅱ）设1(M x ，1)y ，2(N x ，212)()y y y >，:1MN l x my =+，联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690m y my ++-=， 所以122122634934m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，可得111:(2)2A M y l y x x =++，222:(2)2A N y l y x x =--， 所以12212112212112212121212(2())2(22())2()2()P x y x y y y my y y y y y x x y x y y y y y y y ++-+++-==-++-++，又因为121223()my y y y =+， 所以212121212(4()2())42()P y y y y x y y y y ++-==-++；所以点P 在直线4x =上．。
浙江省温州市乐清市六校理科班2019-2020学年八年级上学期期末考试数学试卷(含答案)
2019-2020学年浙江省温州市乐清市六校理科班八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题有8小题，每小题6分，共48分）1．5个相异自然数的平均数为12，中位数为17，这5个自然数中最大一个的可能值的最大值是（）A．21B．22C．23D．242．已知四边形的四条边的长分别是m、n、p、q，且满足m2+n2+p2+q2＝2mn+2pq．则这个四边形是（）A．平行四边形B．对角线互相垂直的四边形C．平行四边形或一条对角线被另一条对角线垂直平分的四边形D．对角线相等的四边形3．如果x和y是非零实数，使得|x|+y＝3和|x|y+x3＝0，那么x+y的值是（）A．3B．C．D．4﹣4．平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数的图象上整点的个数是（）A．2个B．4个C．6个D．8个5．已知关于x的方程（x+1）2+（x﹣b）2＝2有唯一实数解，且反比例函数y＝的图象，在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝6．如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C 为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论：①D、A、E三点共线；②DC平分∠BDA；③∠E＝∠BAC；④DC＝DB+DA．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．设P是高为h的正三角形内的一点，P到三边的距离分别为x，y，z（x≤y≤z）．若以x，y，z为边可以组成三角形，则z应满足的条件为（）A．h≤z h B．h≤z h C．h≤z h D．8．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离3，试在直线a上找一点C，直线b上找一点D，满足CD⊥a，AC+CD+DB 的长度和最短，且AC+DB＝8．则AB长（）A．3B．3C．2D．2二、填空题（本大题有7小题，每小题6分，共42分）9．把两块含有30°的相同的直角三角尺按如图所示摆放，使点C、B、E在同一直线上，连接CD，若AC＝6cm，则△BCD的面积是cm2．10．设a、b、c都是实数，且满足，ax2+bx+c＝0；则代数式x2+2x+1的值为．11．如图，P是函数y＝（x＞0）图象上一点，直线y＝﹣x+1交x轴于点A，交y轴于点B，PM⊥x轴于M，交AB于E，PN⊥y轴于N，交AB于F，则AF•BE的值为．12．折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB＝AD+2，EH＝1，则AD＝．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM 的最大值是．14．在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），将△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，使点B在直线CD上，连接OD交AB于点M，直线CD的解析式为．15．规定：[x]表示不超过x的最大整数，若实数x满足[x]+[2x]+[3x]＝2019，则[5x]的值为．三、解答题（本大题有4小题，共60分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）已知：x＞0，y＞0且．（1）用含x的代数式来表示y；（2）设t＝2x+y，求t的最小值．17．（15分）阅读探究：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组，消去y化简得：2x2﹣7x+6＝0，∵b2﹣4ac＝49﹣48＞0，∴x1＝，x2＝，∴满足要求的矩形B存在．（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？18．（15分）如图所示，已知双曲线y＝（k＞0，x＞0）上有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），且x1＜x2，分别过P1，P2向x轴作垂线，垂足为B，D，过P1，P2向y轴作垂线，垂足分别为A，C．（1）若记四边形AP1BO和四边形CP2DO的面积分别为S1，S2，试比较S1和S2的大小．（2）若记四边形AP1BO和四边形CP2DO的周长分别为C1和C2，试比较C1，C2的大小．（3）若P是双曲线y＝（k＞0，x＞0）上一点，分别过P向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M，N．试问当P在何处时四边形PMON的周长最小，最小值为多少？19．（18分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+4分别交x、y轴于B、A两点，将△AOB沿直线l2：y＝2x折叠，点B落在y轴的点C处．（1）点C的坐标为；（2）若点D沿射线BA运动，连接OD，当△CDB与△CDO面积相等时，求直线OD的解析式；（3）在（2）的条件下，当点D在第一象限时，沿x轴平移直线OD，分别交x，y轴于点E，F，在平面直角坐标系中，是否存在点M（m，3）和点P，使四边形EFMP为正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2019-2020学年浙江省温州市乐清市六校理科班八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有8小题，每小题6分，共48分）1．5个相异自然数的平均数为12，中位数为17，这5个自然数中最大一个的可能值的最大值是（）A．21B．22C．23D．24【分析】根据5个相异自然数的平均数为12，得到5个自然数的和，又因为中位数为17，求数据中的最大数，所以可得出这组数据，即可求得这5个自然数中最大一个的值．【解答】解：∵5个相异自然数的平均数为12∴5个相异自然数的和为60；∵中位数为17，∴这5个数中有2个数比17小，有两个数比17大；又∵求这5个数中的最大一个的可能值的最大值，∴设这5个数中两个最小的数为0和1，而比17大的最小的自然数是18，∴剩下的第5个数是：60﹣0﹣1﹣17﹣18＝24，即第5个数是24，∴这5个数为0，1，17，18，24．∴这5个自然数中最大一个的可能值的最大值是24；故选：D．2．已知四边形的四条边的长分别是m、n、p、q，且满足m2+n2+p2+q2＝2mn+2pq．则这个四边形是（）A．平行四边形B．对角线互相垂直的四边形C．平行四边形或一条对角线被另一条对角线垂直平分的四边形D．对角线相等的四边形【分析】对于所给等式m2+n2+p2+q2＝2mn+2pq，先移项，配成两个完全平方式的和为0的形式，即（m﹣n）2+（p﹣q）2＝0，进而可得m＝n，p＝q，分m、n为对边与m，n 为邻边进行讨论，故可判定是平行四边形或对角线互相垂直的四边形．【解答】解：m2+n2+p2+q2＝2mn+2pq，可化简为（m﹣n）2+（p﹣q）2＝0，∴m＝n，p＝q，∵m，n，p，q分别为四边形的四边，当m、n为对边，p、q为对边，∴可确定其为平行四边形，当m，n为邻边时，可以证明有两个顶点在一条对角线的垂直平分线上，∴这个四边形的对角线互相垂直．故选：C．3．如果x和y是非零实数，使得|x|+y＝3和|x|y+x3＝0，那么x+y的值是（）A．3B．C．D．4﹣【分析】根据题意，结合2个式子可得|x|（3﹣|x|）+x3＝0，分x＞0与x＜0两种情况讨论，求出x的值，由y＝3﹣|x|，求出y的值，相加即可得答案．【解答】解：根据题意，|x|+y＝3则y＝3﹣|x|，又由|x|y+x3＝0，则有|x|（3﹣|x|）+x3＝0，分2种情况讨论：①当x＞0时，由|x|（3﹣|x|）+x3＝0得到：x（3﹣x）+x3＝0，变形可得：x2﹣x+3＝0，无解；②当x＜0时，由|x|（3﹣|x|）+x3＝0得到（﹣x）[3﹣（﹣x）]+x3＝0，变形可得：x2﹣x﹣3＝0，解可得：x＝或x＝，（舍）综合可得：x＝，则y＝3﹣|x|＝3+x，x+y＝3+2x＝4﹣；故选：D．4．平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数的图象上整点的个数是（）A．2个B．4个C．6个D．8个【分析】把所给函数解析式化为整式，进而整理为两数积的形式，根据整点的定义判断积的可能的形式，找到整点的个数即可．【解答】解：将函数表达式变形，得2xy﹣y＝x+12，4xy﹣2y﹣2x＝24，2y（2x﹣1）﹣（2x﹣1）＝24+1，（2y﹣1）（2x﹣1）＝25．∵x，y都是整数，∴（2y﹣1），（2x﹣1）也是整数．∴或或或或或．解得：或或或或或．∴解得的整点为：（13，1），（﹣12，0），（1，13），（0，﹣12），（3，3），（﹣2，﹣2）共6个．故选：C．5．已知关于x的方程（x+1）2+（x﹣b）2＝2有唯一实数解，且反比例函数y＝的图象，在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝【分析】关于x的方程（x+1）2+（x﹣b）2＝2有唯一的实数解，则判别式等于0，据此即可求得b的值，然后根据反比例函数y＝的图象，在每个象限内y随x的增大而增大，则比例系数1+b＜0，则b的值可以确定，从而确定函数的解析式．【解答】解：关于x的方程（x+1）2+（x﹣b）2＝2化成一般形式是：2x2+（2﹣2b）x+（b2﹣1）＝0，△＝（2﹣2b）2﹣8（b2﹣1）＝﹣4（b+3）（b﹣1）＝0，解得：b＝﹣3或1．∵反比例函数y＝的图象，在每个象限内y随x的增大而增大，∴1+b＜0∴b＜﹣1，∴b＝﹣3．则反比例函数的解析式是：y＝﹣．故选：B．6．如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C 为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则下列结论：①D、A、E三点共线；②DC平分∠BDA；③∠E＝∠BAC；④DC＝DB+DA．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】（1）设∠1＝x度，把∠2＝（60﹣x）度，∠DBC＝（x+60）度，∠4＝（x+60）度，∠3＝60°加起来等于180度，即可证明D、A、E三点共线；（2）根据△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，判断出△CDE为等边三角形，求出∠BDC＝∠E＝60°，∠CDA＝120°﹣60°＝60°，可知DC平分∠BDA；（3）由②可知，∠BAC＝60°，∠E＝60°，从而得到∠E＝∠BAC．（4）由旋转可知AE＝BD，又∠DAE＝180°，DE＝AE+AD．而△CDE为等边三角形，DC＝DE＝DB+BA．【解答】解：如图，①设∠1＝x度，则∠2＝（60﹣x）度，∠DBC＝（x+60）度，故∠4＝（x+60）度，∴∠2+∠3+∠4＝60﹣x+60+x+60＝180度，∴D、A、E三点共线；故①正确；②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，∴CD＝CE，∠DCE＝60°，∴△CDE为等边三角形，∴∠E＝60°，∴∠BDC＝∠E＝60°，∴∠CDA＝120°﹣60°＝60°，∴DC平分∠BDA；故②正确；③∵∠BAC＝60°，∠E＝60°，∴∠E＝∠BAC．故③正确；④由旋转可知AE＝BD，又∵∠DAE＝180°，∴DE＝AE+AD．∵△CDE为等边三角形，∴DC＝DB+BA．故④正确；故选：A．7．设P是高为h的正三角形内的一点，P到三边的距离分别为x，y，z（x≤y≤z）．若以x，y，z为边可以组成三角形，则z应满足的条件为（）A．h≤z h B．h≤z h C．h≤z h D．【分析】如图，连接AP，BP，CP，先利用S△ABC＝S△APC+S△BPC+S△APB，找出x，y，z 与h的关系，再运用三角形三边关系可得z＜h，由x≤y≤z可得z≥h，即可求出z 应满足的条件．【解答】解：如图，PE＝x，PF＝y，Pq＝Q＝z，连接AP，BP，CP，∵S△ABC＝S△APC+S△BPC+S△APB，∴BC•h＝AC•x+BC•y+AB•z，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∴BC•h＝BC（x+y+z），即x+y+z＝h，∵以x，y，z为边可以组成三角形，∴x+y＞z，∴2z＜h，即z＜h，又∵x≤y≤z，∴z≥（x+y+z），即z≥h，∴h≤z h．故选：B．8．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离3，试在直线a上找一点C，直线b上找一点D，满足CD⊥a，AC+CD+DB 的长度和最短，且AC+DB＝8．则AB长（）A．3B．3C．2D．2【分析】如图，作AE⊥a，使得线段AE＝4，连接EB交直线b于点D，作DC⊥b交直线a于点C，连接AC，作BF⊥AE交AE的延长线于点F．证明四边形AEDC是平行四边形，推出AC＝ED，推出AC+CD+BD＝ED+BD+CD，此时AC+CD+DB的值最小．【解答】解：如图，作AE⊥a，使得线段AE＝4，连接EB交直线b于点D，作DC⊥b 交直线a于点C，连接AC，作BF⊥AE交AE的延长线于点F．∵CD＝AE＝4，CD∥AE，∴四边形AEDC是平行四边形，∴AC＝ED，∴AC+CD+BD＝ED+BD+CD，此时AC+CD+DB的值最小，由题意EF＝2+4+3﹣4＝5，BE＝AC+BD＝8，∴BF＝＝＝，∴AB＝＝＝2，故选：D．二、填空题（本大题有7小题，每小题6分，共42分）9．把两块含有30°的相同的直角三角尺按如图所示摆放，使点C、B、E在同一直线上，连接CD，若AC＝6cm，则△BCD的面积是27cm2．【分析】本题考查直角三角形的性质和勾股定理，利用直角三角形的性质和勾股定理解答．【解答】解：∵两块三角尺是有30°的相同的直角三角尺，∠ABC＝∠EBD＝30°，∴＝，cos∠ABC＝cos30°＝＝，∴AB＝BE＝2AC＝2DE＝2×6＝12，BC＝×AB＝×12＝6，∴BD＝6，过D作DF⊥BE，在Rt△BDF中，∠DBE＝30°，∴＝＝，DF＝3，∴S△BCD＝BC•DF＝×6×3＝27cm2．故答案为：27．10．设a、b、c都是实数，且满足，ax2+bx+c＝0；则代数式x2+2x+1的值为5．【分析】根据非负数的性质列式求出a、b、c的值，然后代入ax2+bx+c＝0并求出x2+2x 的值，再代入代数式进行计算即可求解．【解答】解：根据题意得，2﹣a＝0，a2+b+c＝0，c+8＝0，解得a＝2，b＝4，c＝﹣8，∴ax2+bx+c＝2x2+4x﹣8＝0，即x2+2x﹣4＝0，解得x2+2x＝4，∴x2+2x+1＝4+1＝5．故答案为：5．11．如图，P是函数y＝（x＞0）图象上一点，直线y＝﹣x+1交x轴于点A，交y轴于点B，PM⊥x轴于M，交AB于E，PN⊥y轴于N，交AB于F，则AF•BE的值为1．【分析】由于P的坐标为（a，），且PN⊥OB，PM⊥OA，那么N的坐标和M点的坐标都可以a表示，那么BN、NF的长度也可以用a表示，接着F点、E点的坐标也可以a表示，然后利用勾股定理可以分别用a表示AF，BE，最后即可求出AF•BE．【解答】解：∵P是函数y＝（x＞0）图象上一点，∴P的坐标为（a，），且PN⊥OB，PM⊥OA，∴N的坐标为（0，），M点的坐标为（a，0），∴BN＝1﹣，∵直线y＝﹣x+1交x轴于点A，交y轴于点B，∴A（1，0），B（0，1），∴OA＝OB，∴∠OAB＝OBA＝45°，∴在直角三角形BNF中，∠NBF＝45°，∴NF＝BN＝1﹣，∴F点的坐标为（1﹣，），同理可得出E点的坐标为（a，1﹣a），∴AF2＝（﹣）2+（）2＝，BE2＝（a）2+（﹣a）2＝2a2，∴AF2•BE2＝•2a2＝1，即AF•BE＝1，故答案为1．12．折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB＝AD+2，EH＝1，则AD＝3+2．【分析】设AD＝x，则AB＝x+2，利用折叠的性质得DF＝AD，EA＝EF，∠DFE＝∠A ＝90°，则可判断四边形AEFD为正方形，所以AE＝AD＝x，再根据折叠的性质得DH ＝DC＝x+2，当AH＝AE﹣HE＝x﹣1，然后根据勾股定理得到x2+（x﹣1）2＝（x+2）2，再解方程求出x即可．【解答】解：设AD＝x，则AB＝x+2，∵把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，∴DF＝AD，EA＝EF，∠DFE＝∠A＝90°，∴四边形AEFD为正方形，∴AE＝AD＝x，∵把△CDG翻折，点C落在直线AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，∴DH＝DC＝x+2，∵HE＝1，当AH＝AE﹣HE＝x﹣1，在Rt△ADH中，∵AD2+AH2＝DH2，∴x2+（x﹣1）2＝（x+2）2，整理得x2﹣6x﹣3＝0，解得x1＝3+2，x2＝3﹣2（舍去），即AD的长为3+2．故答案为：3+2．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM 的最大值是3．【分析】连接PC．首先依据直角三角形斜边上中线的性质求出PC＝2，然后再依据三角形的三边关系可得到PM≤PC+CM，故此可得到PM的最大值为PC+CM．【解答】解：如图连接PC．在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝4，根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，∴A′P＝PB′，∴PC＝A′B′＝2，∵CM＝BM＝1，又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．故答案为：3．14．在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），B（0，4），将△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，使点B在直线CD上，连接OD交AB于点M，直线CD的解析式为y＝﹣x+4．【分析】首先证明OD⊥AB，求出直线OD解析式，与直线AB解析式联立求出M坐标，确定出D坐标，设直线CD解析式为y＝mx+n，把B与D坐标代入求出m与n的值，即可确定出解析式．【解答】解：∵△BOA绕点A按顺时针方向旋转得△CDA，∴△BOA≌△CDA，∴AB＝AC，OA＝AD，∵B、D、C共线，AD⊥BC，∴BD＝CD＝OB，∵OA＝AD，BO＝CD＝BD，∴OD⊥AB，设直线AB解析式为y＝kx+b，把A与B坐标代入得：，解得：，∴直线AB解析式为y＝﹣x+4，∴直线OD解析式为y＝x，联立得：，解得：，即M（，），∵M为线段OD的中点，∴D（，），设直线CD解析式为y＝mx+n，把B与D坐标代入得：，解得：m＝﹣，n＝4，则直线CD解析式为y＝﹣x+4．故答案为：y＝﹣．15．规定：[x]表示不超过x的最大整数，若实数x满足[x]+[2x]+[3x]＝2019，则[5x]的值为1713或1714．【分析】设x的整数部分为m，小数部分为n，则x＝m+n，[x]＝m，分情况求出m的值，再分情况，即可得出结论．【解答】解：设x的整数部分为m，小数部分为n，则x＝m+n，[x]＝m，2x＝2（m+n）＝2m+2n，3x＝3（m+n）＝3m+3n，①当n＜时，2n＜1，3n＜1，∴[2x]＝2m，[3x]＝3m，∵[x]+[2x]+[3x]＝2019，∴m+2m+3m＝2019，∴m＝，不是整数，不符合题意；②当≤n＜时，2n＜1，3n≥1，∴[2x]＝2m，[3x]＝3m+1，∴m+2m+3m+1＝2019，∴m＝，不是整数，不符合题意，③当≤n＜时，2n≥1，1＜3n＜2，∴[2x]＝2m+1，[3x]＝3m+1，∴m+2m+1+3m+1＝2019，∴m＝，不是整数，不符合题意，④当n≥时，2n＞1，3n≥2，∴[2x]＝2m+1，[3x]＝3m+2，∴m+2m+1+3m+2＝2019，∴m＝336，符合题意，Ⅰ、当≤n＜时，[5x]＝5m+3＝5×336+3＝1713，Ⅱ、当n＞时，[5x]＝5m+4＝5×336+4＝1714，即满足条件的[5x]的值为1713或1714，故答案为1713或1714．三、解答题（本大题有4小题，共60分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）已知：x＞0，y＞0且．（1）用含x的代数式来表示y；（2）设t＝2x+y，求t的最小值．【分析】（1）将变形为用含x的代数式来表示y即可求解；（2）可得t＝2x+y≥3+2，得到＝时t有最小值．【解答】解：（1），＝1﹣＝，y＝．故用含x的代数式来表示y为y＝；（2）t＝2x+y＝（2x+y）（+）＝3++≥3+2＝3+2，故＝时，t的最小值是3+2．17．（15分）阅读探究：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组，消去y化简得：2x2﹣7x+6＝0，∵b2﹣4ac＝49﹣48＞0，∴x1＝，x2＝2，∴满足要求的矩形B存在．（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？【分析】（1）利用求根公式即可求出方程的两根；（2）仿照（1）找准关于x的一元二次方程，由根的判别式△＝﹣7＜0，可得出方程无解，即不存在满足要求的矩形B；（3）仿照（1）找准关于x的一元二次方程，由根的判别式△≥0，可找出m、n之间的关系．【解答】解：（1）利用求根公式可知：x1＝＝，x2＝＝2．故答案为：；2．（2）设所求矩形的两边分别是x和y，根据题意得：，消去y化简得：2x2﹣3x+2＝0．∵b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×2＝﹣7＜0，∴该方程无解，∴不存在满足要求的矩形B．（3）设所求矩形的两边分别是x和y，根据题意得：，消去y化简得：2x2﹣（m+n）x+mn＝0．∵矩形B存在，∴b2﹣4ac＝[﹣（m+n）]2﹣4×2mn≥0，∴（m﹣n）2≥4mn．故当m、n满足（m﹣n）2≥4mn时，矩形B存在．18．（15分）如图所示，已知双曲线y＝（k＞0，x＞0）上有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），且x1＜x2，分别过P1，P2向x轴作垂线，垂足为B，D，过P1，P2向y轴作垂线，垂足分别为A，C．（1）若记四边形AP1BO和四边形CP2DO的面积分别为S1，S2，试比较S1和S2的大小．（2）若记四边形AP1BO和四边形CP2DO的周长分别为C1和C2，试比较C1，C2的大小．（3）若P是双曲线y＝（k＞0，x＞0）上一点，分别过P向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M，N．试问当P在何处时四边形PMON的周长最小，最小值为多少？【分析】（1）根据反比例函数中系数k的几何意义可直接得到S1＝S2；（2）由于AC、BD的值不能确定，所以应分AC＝BD、AC＜BD、AC＞BD三种情况讨论．（3）根据题意画出图形，设出P点坐标，根据k为定值，则当x＝y时四边形的周长最小．【解答】解：（1）根据反比例函数系数k的几何意义可知S1＝S2＝k；（2）∵C1＝2OB+2AO＝2BO+2CO+2AC，C2＝2CO+2OD＝2CO+2OB+2BD，∴当y1﹣y2＝x2﹣x1，即AC＝BD时，C1＝C2；当y1﹣y2＜x2﹣x1，即AC＜BD时，C1＜C2；当y1﹣y2＞x2﹣x1，即AC＞BD时，C1＞C2．（3）设P（x，y），即（x，），四边形PMON的周长＝2（x+y）＝2（x+），因为面积相等的四边形中正方形的周长最小，所以x＝，即x2＝k，解得x＝，故P点坐标为（，）．∴最小值为4．19．（18分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+4分别交x、y轴于B、A两点，将△AOB沿直线l2：y＝2x折叠，点B落在y轴的点C处．（1）点C的坐标为（0，3）；（2）若点D沿射线BA运动，连接OD，当△CDB与△CDO面积相等时，求直线OD的解析式；（3）在（2）的条件下，当点D在第一象限时，沿x轴平移直线OD，分别交x，y轴于点E，F，在平面直角坐标系中，是否存在点M（m，3）和点P，使四边形EFMP为正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）设直线l2与y轴交于点H（0，﹣），则BH＝＝，则CH ＝BH＝，即可求解；（2）分两种情况进行讨论：①点D在第一象限时，由△CDB与△CDO面积相等，得出CD∥OB，即可求解；②点D在第二象限时，由S△CDB＝S△CDA+S△CAB，以及△CDB与△CDO面积相等，得出点D的横坐标，即可求解；（3）过点M作MN⊥y轴于N，过点P作PQ⊥x轴于Q，证明△MNF≌FOE≌△EQP，根据全等三角形的性质可得点M（m，3）和点P的坐标，即可求解．【解答】解：（1）直线l1：y＝﹣x+4分别交x、y轴于B、A两点，则点A、B的坐标分别为：（0，4）、（6，0），设直线l2与y轴交于点H（0，﹣），则BH＝＝，则CH＝BH＝，则OC＝HC﹣OH＝﹣＝3，故答案为：（0，3）；（2）①点D在第一象限时，∵△CDB与△CDO面积相等，∴CD∥OB，∴点D的纵坐标为3，当y＝3时，﹣x+4＝3，解得：x＝，∴点D的坐标为（，3），∴直线OD的解析式为：y＝2x；②点D在第二象限时，AC＝4﹣3＝1．设点D到y轴的距离为a，则S△CDB＝S△CDA+S△CAB＝×1•a+×1×6＝a+3，∵△CDB与△CDO面积相等，∴a+3＝×3a，解得a＝3，∴点D的横坐标为﹣3，当x＝﹣3时，y＝﹣×（﹣3）+4＝6，∴点D的坐标为（﹣3，6），∴直线OD的解析式为：y＝﹣2x；（3）存在，理由：设直线OD平移后的解析式为y＝2x+b，令y＝0，则2x+b＝0，解得x＝﹣b，令x＝0，则y＝b，所以OE＝﹣b，OF＝b，过点M作MN⊥y轴于N，过点P作PQ⊥x轴于Q，∵四边形EFMP为正方形，∴△MNF≌FOE≌△EQP，∴MN＝OF＝EQ，NF＝OE＝PQ，M（m，3），∴ON＝b+b＝3，解得b＝2∴OE＝1，OF＝2，∴OQ＝OE+QE＝1+2＝3，∴M（﹣2，3），P（﹣3，1）．故存在点M（﹣2，3）和点P（﹣3，1），使四边形EFMP为正方形．当直线在EF经过一，二，三象限时，如图3﹣1中，同法可得M（6，3），P（3，﹣3）．综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣3，1）或（3，﹣3）．。
2019-2020学年浙江省温州市高二上学期期末教学质量统一检测数学(a卷)试题 pdf版
设 A(a, b, c) ，则 a2 b2 c2 7 ， CA (a 2 3, b 2, c) ， CC (0, 4, 0)
在矩形 ACCA 中， CACC 0 即 4( b -2)=0 b 2 a2 c2 3 …………11 分
BA (a, 2,c) ， BB (0, 4, 0) ,设平面 BAB 的法向量为 n1 (x1, y1, z1) ，
作 ' B' E
C'
由面 BAB ' 面AB 'C 得： BH 面AB 'C ……………………………………………10 分
BH AC ，又 AC AA' ， BH和AA'是相交直线
AC 平面 ABB' A' CGA 就是 CG 与平面 ABB' A' 所成的角．…………………………………………13 分
2
2
g(x) x2 (t 1 x) 1…………………………………………………………………9 分 x
所以 g(x) 在定义域内单调递增，即 x2 (t 1)x 1 0 在 (0, ) 恒成立，…………11 分
分离参数可得：
t
1
(x
1) x
，因为
x
1 x
2
，………………………………………14
………………………………………………………10
分
令 h(x) x 1 ln(x 1)
数学试题卷(A)参考答案 第 4 页（共 5 页）
则 h(x) x 0 所以 h(x) x 1 ln(x 1) 为增函数……………………………11 分 x 1
浙江省“温州十校联合体”2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题
2019-2020学年度第一学期“温州十校联合体”期末考试联考高二年级数学学科 试题考生须知：1.本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线0133=+-y x 的倾斜角是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2.抛物线24y x =的焦点是（ ）A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(2,0)D ． (0,2)3.设l ，m 是两条不同的直线，错误！未找到引用源。
是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ． 若,l m m α⊥⊂,则l α⊥ B ． 若,l m αα，则l m C ． 若,l m m α⊂则l α D ． 若l α⊥,m α⊥，则l m 4．“直线b x y +=与圆122=+y x 相交”是“10<<b ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5.圆221:2880C x y x y +++-=与圆222:4410C x y x y +---=的公切线条数为（ ）A ．1B .2C ．3D ．46.双曲线22x 1169y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，在左支上过点1F 的弦AB 的长为5，那么2ABF 的周长是（ ）A ． 12B ． 16C ． 21D ． 267．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 的中点，则直线BE 与平面1BCD 所形成角的余弦值为（ ）A ．10B ．15C ．10D ．358.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与到直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A ． 直线B ． 圆C ． 双曲线D ． 抛物线9.已知点错误！未找到引用源。
浙江省温州市2019_2020学年高二数学上学期期末教学质量统一检测试题(B卷)(PDF)
∴圆心 C(1,0) 到直线 l 的距离 d | 2k 1 | 2 ， k2 1
解得 k 3 ，∴直线 l 的方程为 3x 4 y 13 0 4
…………………………12 分
若直线 l 的斜率不存在，则直线 l： x 3 ，符合题意，
综上所述：所求直线 l 的方程为： x 3 或 3x 4 y 13 0 ………………14 分
20．解析：（1）设 M (x, y) ，则 kAM
x
y
1
，
k
BM
y， x 1
所以
x
y 1
x
y 1
2
，
（若只写出斜率，一个斜率给 1 分。）
所以轨迹方程为 y x2 1 ( y 0 或 x 1) ；
……………3 分 ……………5 分
（限制条件没写，扣 1 分。若斜率写错了，思路都对。给 2 分。）
c 1
……………3 分
所以椭圆的方程为 x2 y2 1 ； 43
（算对 a 、 b 、 c 其中一个给 2 分。） （2）设 M (x1, y1) ， N (x2 , y2 )( y1 y2 ) ， lMN : x my 1 ，
……………5 分
联立Biblioteka x my 1 x2 4
…………………………………………6 分
故圆 C 的标准方程为： (x 1)2 y 2 8 …………………………………7 分
（2）法一、当∠MCN=90o 时，则圆心 C 到直线 l 的距离为 2，………………9 分
若直线 l 的斜率存在，设直线 l： y 1 k (x 3) ，即 kx y 3k 1 0
浙江省温州市2019-2020学年第二学期七年级期末考试数学试卷 解析版
2019-2020学年浙江省温州市七年级（下）期末数学试卷一．选择题（共10小题）1．如图，下列选项中与∠A互为同旁内角的是（）A．∠1B．∠2C．∠3D．∠42．世界上最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，质量只有0.000005克，数0.000005用科学记数法表示为（）A．﹣5×106B．5×10﹣5C．5×10﹣6D．5×10﹣73．计算y2•（﹣2xy）的结果是（）A．﹣2xy3B．2x2y3C．﹣2x2y3D．2xy34．已知是方程2x+y＝5的一个解，则a的值为（）A．a＝﹣1B．a＝1C．a＝D．a＝5．温州6月8日～14日的气温折线统计图如图所示，其中实线表示当日最高气温，虚线表示当日最低气温，由图可知，这一周中温差最大的是（）A．6月9日B．6月11日C．6月12日D．6月14日6．下列运算正确的是（）A．2a（a﹣1）＝2a2﹣a B．a（a+3b）＝a2+3abC．﹣3（a+b）＝﹣3a+3b D．a（﹣a+2b）＝﹣a2﹣2ab7．把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上（如图所示），则下列关于∠1与∠2的等式中一定成立的是（）A．∠1+∠2＝180°B．2∠1＝∠2C．∠2﹣∠1＝45°D．∠2﹣∠1＝90°8．若多项式x2+mx﹣8因式分解的结果为（x+4）（x﹣2），则常数m的值为（）A．﹣2B．2C．﹣6D．69．如图所示，以长方形ABCD的各边为直径向外作半圆，若四个半圆的周长之和为14π，面积之和为29π，则长方形ABCD的面积为（）A．10B．20C．40D．8010．已知甲、乙两人分别从A，B两地同时匀速出发，若相向而行，则经过a分钟后两人相遇；若同向而行，则经过b分钟后甲追上乙．若甲、乙的速度比为10：3，则的值为（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）11．计算：（2+x）（2﹣x）＝．12．因式分解：m2﹣mn＝．13．要使分式的值为0，则x的值为．14．小明对某班级同学参加课外活动内容进行问卷调查后（每人必选且只选一种），绘制成如图所示的统计图，已知参加踢毽子的人数比参加打篮球的人数少6人，则参加“其他”活动的人数为人．15．定义一种新运算：a⊗b＝a b，则5⊗（﹣2）的值为．16．如图是用三角尺和直尺画平行线的示意图，将三角尺ABC沿着直尺PQ平移到三角尺A′B′C′的位置，就可以画出AB的平行线A′B′．若AC′＝9cm，A′C＝2cm，则直线AB平移的距离为cm．17.已知关于x，y的方程组的解互为相反数，则常数a的值为．18.如图1是小圆设计的班徽，其中“Z”字型部分按以下作图方式得到：如图2，在正方形ABCD边AB，CD上分别取点E，F，再在CB和AD的延长线上分别取点G，H，使得BE＝BG＝DF＝DH，连结AG，EG，AF，CE，FH和CH．记△AEG与△CFH的面积之和为S1，四边形AECF的而积为S2，若＝，S1+S2＝20，则正方形ABCD面积为．三.解答题19.化简或计算：（1）（a+1）2﹣a2；（2）（8x2y﹣4x3）÷（2x）．20.解方程（组）：（1）；（2）+1＝．21.先化简，再求值：（1﹣）•，请在﹣1，0，1，2中选一个数代入求值．22.某厂随机抽取一批电灯泡并对其使用寿命进行检测，得到如图的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值），请根据这个直方图回答下列问题．（1）被检测的电灯泡共只．（2）被检测电灯泡的最少使用寿命至少为时．（3）厂家规定使用寿命在1300小时以上（含1300小时）的电灯泡为合格，如果生产了40000只电灯泡，请估计合格的电灯泡有多少只？23.如图，长方形ABCD中，AD∥BC，E为边BC上一点，将长方形沿AE折叠（AE为折痕），使点B与点F重合，EG平分∠CEF交CD于G，过点G作HG⊥EG交AD于点H．（1）求证：HG∥AE．（2）若∠CEG＝20°，求∠DHG的度数．24.目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．某校欲购置规格分别为300ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买2瓶甲和1瓶乙免洗手消毒液需要55元，购买3瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要145元．（1）求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．（2）该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用10ml的免洗手消毒液，若校方采购甲、乙两种免洗手消毒液共花费5000元，则这批消毒液可使用多少天？（3）为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将9.6L的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为300ml和500ml的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗20ml，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量．2019-2020学年浙江省温州市七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，下列选项中与∠A互为同旁内角的是（）A．∠1B．∠2C．∠3D．∠4【分析】根据同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义进行判断即可．【解答】解：A、∠1和∠A是同旁内角，故本选项符合题意；B、∠2和∠A是同位角，不是同旁内角，故本选项不符合题意；C、∠3和∠A不是同旁内角，故本选项不符合题意；D、∠4和∠A是内错角，不是同旁内角，故本选项不符合题意．故选：A．2．世界上最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，质量只有0.000005克，数0.000005用科学记数法表示为（）A．﹣5×106B．5×10﹣5C．5×10﹣6D．5×10﹣7【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000005＝5×10﹣6，故选：C．3．计算y2•（﹣2xy）的结果是（）A．﹣2xy3B．2x2y3C．﹣2x2y3D．2xy3【分析】运用单项式乘单项式的运算法则计算即可．【解答】解：y2•（﹣2xy）＝﹣2x•（y2•y）＝﹣2xy3．故选：A．4．已知是方程2x+y＝5的一个解，则a的值为（）A．a＝﹣1B．a＝1C．a＝D．a＝【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．【解答】解：把代入方程得：4+a＝5，解得：a＝1，故选：B．5．温州6月8日～14日的气温折线统计图如图所示，其中实线表示当日最高气温，虚线表示当日最低气温，由图可知，这一周中温差最大的是（）A．6月9日B．6月11日C．6月12日D．6月14日【分析】通过图形直观可以得出温差最大的日期，即同一天的最高气温与最低气温的差最大．【解答】解：由图形直观可以得出6月14日温差最大，是35﹣25＝10（°C），故选：D．6．下列运算正确的是（）A．2a（a﹣1）＝2a2﹣a B．a（a+3b）＝a2+3abC．﹣3（a+b）＝﹣3a+3b D．a（﹣a+2b）＝﹣a2﹣2ab【分析】分别根据单项式乘单项式与去括号的法则逐一判断即可．【解答】解：A.2a（a﹣1）＝2a2﹣2a，故本选项不合题意；B．a（a+3b）＝a2+3ab，故本选项符合题意；C．﹣3（a+b）＝﹣3a﹣3b，故本选项不合题意；D．a（﹣a+2b）＝﹣a2+2ab，故本选项不合题意．故选：B．7．把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上（如图所示），则下列关于∠1与∠2的等式中一定成立的是（）A．∠1+∠2＝180°B．2∠1＝∠2C．∠2﹣∠1＝45°D．∠2﹣∠1＝90°【分析】根据两条直线平行，同旁内角互补，即可得∠1与∠2的关系．【解答】解：如图，∵直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，∴∠2＝∠3，∠1+∠4＝90°，∵直尺的两边平行，∴∠3+∠4＝180°，∴∠2+90°﹣∠1＝180°，∴∠2﹣∠1＝90°．故选：D．8．若多项式x2+mx﹣8因式分解的结果为（x+4）（x﹣2），则常数m的值为（）A．﹣2B．2C．﹣6D．6【分析】利用十字相乘法的结果特征判断即可求出m的值．【解答】解：∵多项式x2+mx﹣8因式分解的结果为（x+4）（x﹣2），而（x+4）（x﹣2）＝x2+2x﹣8，∴m＝2，故选：B．9．如图所示，以长方形ABCD的各边为直径向外作半圆，若四个半圆的周长之和为14π，面积之和为29π，则长方形ABCD的面积为（）A．10B．20C．40D．80【分析】设长方形的长为a，宽为b，根据四个半圆的周长之和为14π，可得a+b＝14，根据面积之和为29π，可得a2+b2＝116，进而求出ab的值即可．【解答】解：设长方形的长为a，宽为b，由题意得，πa+πb＝14π，即：a+b＝14，π×（）2﹣π×（）2＝29π，即：a2+b2＝116，∴ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝（196﹣116）＝40，故选：C．10．已知甲、乙两人分别从A，B两地同时匀速出发，若相向而行，则经过a分钟后两人相遇；若同向而行，则经过b分钟后甲追上乙．若甲、乙的速度比为10：3，则的值为（）A．B．C．D．【分析】设甲的速度为10x，则乙的速度为3x，设A，B两地相距s，相向而行，等量关系为：甲路程+乙路程＝s；同向而行，等量关系为：甲路程﹣乙路程＝s，则10xa+3xa ＝s，10xb﹣3xb＝s，联立即可求得的值．【解答】解：设甲的速度为10x，则乙的速度为3x，设A，B两地相距s，依题意有10xa+3xa＝s①，10xb﹣3xb＝s②，①﹣②得10xa+3xa﹣（10xb﹣3xb）＝0，13a﹣7b＝0，＝，故选：B．二．填空题（共6小题）11．计算：（2+x）（2﹣x）＝4﹣x2．【分析】利用平方差公式计算即可得到结果．【解答】解：（2+x）（2﹣x）＝22﹣x2＝4﹣x2．故答案为：4﹣x2．12．因式分解：m2﹣mn＝m（m﹣n）．【分析】提取公因式m，即可将此多项式因式分解．【解答】解：m2﹣mn＝m（m﹣n）．故答案为：m（m﹣n）．13．要使分式的值为0，则x的值为1．【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．【解答】解：∵分式的值为0，∴1﹣x＝0且x﹣2≠0，解得x＝1，故答案为：1．14．小明对某班级同学参加课外活动内容进行问卷调查后（每人必选且只选一种），绘制成如图所示的统计图，已知参加踢毽子的人数比参加打篮球的人数少6人，则参加“其他”活动的人数为10人．【分析】先由扇形统计图得出参加踢毽子与打篮球的人数所占的百分比，结合参加踢毽子的人数比参加打篮球的人数少6人，求出参加课外活动一共的人数，进一步可求参加“其他”活动的人数．【解答】解：6÷（30%﹣15%）＝40（人），40×25%＝10（人）．答：参加“其他”活动的人数为10人．故答案为：10．15．定义一种新运算：a⊗b＝a b，则5⊗（﹣2）的值为．【分析】根据运算的定义即可直接求解【解答】解：5⊗（﹣2）＝5﹣2＝．故答案为：．16．如图是用三角尺和直尺画平行线的示意图，将三角尺ABC沿着直尺PQ平移到三角尺A′B′C′的位置，就可以画出AB的平行线A′B′．若AC′＝9cm，A′C＝2cm，则直线AB平移的距离为 5.5cm．【分析】根据线段的和差关系可求AC+A′C′的长度，除以2可求A′C′的长度，再根据线段的和差关系可求CC′的长度，即为直线AB平移的距离．【解答】解：AC+A′C′＝AC′﹣A′C＝9﹣2＝7（cm），A′C′＝7÷2＝3.5（cm），CC′＝A′C+A′C′＝2+3.5＝5.5（cm）．故直线AB平移的距离为5.5cm．故答案为：5.5．17.已知关于x，y的方程组的解互为相反数，则常数a的值为15．【考点】97：二元一次方程组的解．【专题】521：一次方程（组）及应用；66：运算能力．【分析】②﹣①求出2x+2y＝a﹣15，根据已知得出a﹣15＝0，求出即可．【解答】解：∵②﹣①得：2x+2y＝a﹣15，∵关于x，y的方程组的解互为相反数，∴x+y＝0，即2x+2y＝0，∴a﹣15＝0，∴a＝15，故答案为15．18.如图1是小圆设计的班徽，其中“Z”字型部分按以下作图方式得到：如图2，在正方形ABCD边AB，CD上分别取点E，F，再在CB和AD的延长线上分别取点G，H，使得BE＝BG＝DF＝DH，连结AG，EG，AF，CE，FH和CH．记△AEG与△CFH的面积之和为S1，四边形AECF的而积为S2，若＝，S1+S2＝20，则正方形ABCD面积为．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；N4：作图—应用与设计作图．【专题】13：作图题；69：应用意识．【分析】设BE＝BG＝DF＝DH＝x，AE＝CF＝y．想办法构建方程组求出x，y即可解决问题．【解答】解：设BE＝BG＝DF＝DH＝x，AE＝CF＝y．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝x+y，∠ABC＝∠ABG＝90°，∠ADF＝∠CDH＝90°，∵BE＝BG＝DF＝DH，∴△BGE≌△DFH（SAS），∠BEG＝∠DFH＝45°，∴EG＝FH，∠AEG＝∠CFH＝135°，∵EA＝FC，∴△AEG≌△CFH（SAS），∴S△AEG＝S△CFH，∴xy+y（x+y）＝20 ①，＝②，由①②可得，∴正方形的面积＝（2+）2＝．故答案为．三.解答题19.化简或计算：（1）（a+1）2﹣a2；（2）（8x2y﹣4x3）÷（2x）．【考点】4C：完全平方公式；4H：整式的除法．【专题】512：整式；66：运算能力．【分析】（1）根据完全平方公式展开后，再合并同类项即可；（2）根据大学生除以单项式的运算法则计算即可．【解答】解：（1）原式＝a2+2a+1﹣a2＝2a+1；（2）原式＝（8x2y）÷（2x）﹣（4x3）÷（2x）＝4xy﹣2x2．20.解方程（组）：（1）；（2）+1＝．【考点】98：解二元一次方程组；B3：解分式方程．【专题】524：一元一次不等式(组)及应用；66：运算能力．【分析】（1）利用加减消元法解方程组；（2）去分母得到整式方程﹣2x+x﹣1＝1，然后解整式方程后进行检验确定原方程的解．【解答】解：（1），①+②×2得3x+2x＝9+16，解得x＝5，把x＝5代入②得5﹣y＝8，解得y＝﹣3，所以方程组的解为；（2）去分母得﹣2x+x﹣1＝1，解得x＝2，经检验，原方程的解为x＝﹣2．21.先化简，再求值：（1﹣）•，请在﹣1，0，1，2中选一个数代入求值．【考点】6D：分式的化简求值．【专题】513：分式；66：运算能力．【分析】先按照分式的混合运算法则进行化简，再代入使原式有意义的值进行计算．【解答】解：原式＝＝，∵m＝±1或0时，原式无意义，∴取m＝2时，原式＝．22.某厂随机抽取一批电灯泡并对其使用寿命进行检测，得到如图的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值），请根据这个直方图回答下列问题．（1）被检测的电灯泡共200只．（2）被检测电灯泡的最少使用寿命至少为1100时．（3）厂家规定使用寿命在1300小时以上（含1300小时）的电灯泡为合格，如果生产了40000只电灯泡，请估计合格的电灯泡有多少只？【考点】V5：用样本估计总体；V8：频数（率）分布直方图．【专题】54：统计与概率；65：数据分析观念．【分析】（1）根据直方图中的数据，可以得到被检测的灯泡一共多少只；（2）根据直方图中的数据，可以得到被检测电灯泡的最少使用寿命至少为多少时；（3）根据统计图中的数据，可以计算出合格的电灯泡有多少只．【解答】解：（1）被检测的电灯泡共10+80+70+40＝200（只），故答案为：200；（2）被检测电灯泡的最少使用寿命至少为1100时，故答案为：1100；（3）40000×＝38000（只），即合格的电灯泡有38000只．23.如图，长方形ABCD中，AD∥BC，E为边BC上一点，将长方形沿AE折叠（AE为折痕），使点B与点F重合，EG平分∠CEF交CD于G，过点G作HG⊥EG交AD于点H．（1）求证：HG∥AE．（2）若∠CEG＝20°，求∠DHG的度数．【考点】JB：平行线的判定与性质．【专题】551：线段、角、相交线与平行线；556：矩形菱形正方形；558：平移、旋转与对称；67：推理能力．【分析】（1）由折叠的性质得出∠AEB＝∠AEF，证出AE⊥EG，进而得出结论；（2）求出∠AEB＝70°，由平行线的性质进而得出答案．【解答】（1）证明：由折叠知∠AEB＝∠AEF，∵EG平分∠CEF，∴∠FEG＝∠CEG，∵∠AEB+∠AEF+∠FEG+∠CEG＝180°，∴∠AEG＝∠AEF+∠FEG＝90°，∴AE⊥EG，∵HG⊥EG，∴HG∥AE；（2）解：∵∠CEG＝20°，∠AEG＝90°，∴∠AEB＝70°，∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝70°，∵HG∥AE，∴∠DHG＝∠DAE＝70°．24.目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．某校欲购置规格分别为300ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买2瓶甲和1瓶乙免洗手消毒液需要55元，购买3瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要145元．（1）求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．（2）该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用10ml的免洗手消毒液，若校方采购甲、乙两种免洗手消毒液共花费5000元，则这批消毒液可使用多少天？（3）为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将9.6L的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为300ml和500ml的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗20ml，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量．【考点】95：二元一次方程的应用；9A：二元一次方程组的应用．【专题】521：一次方程（组）及应用；69：应用意识．【分析】（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，根据“购买2瓶甲和1瓶乙免洗手消毒液需要55元，购买3瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要145元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进甲种免洗手消毒液a瓶，乙种免洗手消毒液b瓶，根据总价＝单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，再结合可使用时间＝免洗手消毒液总体积÷每天需消耗的体积，即可求出结论；（3）设分装300ml的免洗手消毒液m瓶，500ml的免洗手消毒液n瓶，根据需将9.6L 的免洗手消毒液进行分装且分装时平均每瓶需损耗20ml，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数即可得出各分装方案，选择（m+n）最小的方案即可得出结论．【解答】解：（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，依题意，得：，解得：．答：甲种免洗手消毒液的单价为15元，乙种免洗手消毒液的单价为25元．（2）设购进甲种免洗手消毒液a瓶，乙种免洗手消毒液b瓶，依题意，得：15a+25b＝5000，∴＝＝＝10．答：这批消毒液可使用10天．（3）设分装300ml的免洗手消毒液m瓶，500ml的免洗手消毒液n瓶，依题意，得：300m+500n+20（m+n）＝9600，∴m＝30﹣n．∵m，n均为正整数，∴和．∵要使分装时总损耗20（m+n）最小，∴，即分装时需300ml的空瓶4瓶，500ml的空瓶16瓶，才能使总损耗最小．。
2019-2020年高二下学期期末数学试卷(理科) 含解析
2019-2020年高二下学期期末数学试卷（理科）含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．23．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=45．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．46．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．38．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是．16．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x＞0）和y=x3（x＞0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），直线l过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C的普通方程及直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C交于A，B两点，求弦|AB|的长．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82822．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}故选D．2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：===i，则，解得：a=1．故选：C．3．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出直角坐标．【解答】解：点M的极坐标（4，）化成直角坐标为，即．故选：B．4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=4【考点】伸缩变换．【分析】把伸缩变换的式子变为用x′，y′表示x，y，再代入原方程即可求出．【解答】解：由得，代入直线x﹣2y=2得，即2x′﹣y′=4．故选B．5．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．4【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用积分的几何意义即可得到结论．【解答】解：由题意，S===4﹣=，故选：C．6．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】根据题意，易得在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品，由概率计算公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品；则第二次抽到次品的概率为故选：C．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据逆否命题的定义进行判断②根据充分条件和必要条件的定义进行判断，③根据集合关系进行判断．【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”正确，故①正确，②由|x|＞1得x＞1或x＜﹣1，则“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；故②正确，③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，当a=0时，B=∅，也满足B⊆A，当a≠0时，B={}，由=1，得a=1，则实数a的所有可能取值构成的集合为{0，1}．故③错误，故正确的是①②，故选：C8．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率，若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，由相互独立事件的概率计算可得答案．【解答】解：根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率；若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，则P（ε=3）=（）2×（）；故选C．9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数，由此能求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．【解答】解：∵在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，基本事件总数n==120，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数m==22，∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率p===．故选：C．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用在切点处的导数值是切线的斜率，令f′（x）=2有解；利用有解问题即求函数的值域问题，求出值域即a的范围．【解答】解：f′（x）=﹣e﹣x+a据题意知﹣e﹣x+a=2有解即a=e﹣x+2有解∵e﹣x+2＞2∴a＞2故选C11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．【考点】抽象函数及其应用．【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、D两个选项，再看此函数的最值情况，即可作出正确的判断．【解答】解：由于f（x）=e sinx，∴f（﹣x）=e sin（﹣x）=e﹣sinx∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A，D；又当x=时，y=e sinx取得最大值，排除B；故选：C．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，一方面0＜1+ln（x2﹣m）≤，．利用lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．可得1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，可得m≥x﹣e x﹣e，利用导数求其最大值即可得出．【解答】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，∴0＜1+ln（x2﹣m）≤，∴．∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，化为m≥x﹣e x﹣e，x＞m+．令f（x）=x﹣e x﹣e，则f′（x）=1﹣e x﹣e，可得x=e时，f（x）取得最大值．∴m≥e﹣1．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为0.3．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P （X＜0）．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，o2），∴正态曲线的对称轴是x=2∵P（X＞4）=0.3，∴P（X＜0）=P（X＞4）=0.3．故答案为：0.3．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，得到f′（1）=0，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣alnx，x＞0，∴f′（x）=2x﹣=，若函数f（x）在x=1处取极值，则f′（1）=2﹣a=0，解得：a=2，经检验，a=2符合题意，故答案为：2．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是46．【考点】归纳推理．【分析】由三角形阵可知，上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，利用累加法可求．【解答】解：设第一行的第二个数为a 1=1，由此可得上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，即a 2﹣a 1=1，a 3﹣a 2=2，a 4﹣a 3=3，…a n ﹣1﹣a n ﹣2=n ﹣2，a n ﹣a n ﹣1=n ﹣1， ∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 4﹣a 3）+（a 3﹣a 2）+（a 2﹣a 1）+a 1 =（n ﹣1）+（n ﹣2）+…+3+2+1+1 =+1=，∴a 10==46．故答案为：46．16．在平面直角坐标系xOy 中，直线1与曲线y=x 2（x ＞0）和y=x 3（x ＞0）均相切，切点分别为A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），则的值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出导数得出切线方程，即可得出结论．【解答】解：由y=x 2，得y ′=2x ，切线方程为y ﹣x 12=2x 1（x ﹣x 1），即y=2x 1x ﹣x 12， 由y=x 3，得y ′=3x 2，切线方程为y ﹣x 23=3x 22（x ﹣x 2），即y=3x 22x ﹣2x 23， ∴2x 1=3x 22，x 12=2x 23， 两式相除，可得=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（φ为参数），直线l 过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C 的普通方程及直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦|AB |的长． 【考点】参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）圆C 的参数方程为（φ为参数），利用cos 2φ+sin 2φ=1消去参数可得圆C 的普通方程．由题意可得：直线l 的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离d，利用|AB|=2即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圆C的参数方程为（φ为参数），消去参数可得：圆C的普通方程为x2+y2=4．由题意可得：直线l的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离，∴|AB|=2=2．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．（Ⅱ）把代入椭圆方程中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由t得几何意义可知|MA||MB|=|t1t2|．【解答】解：（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：l：x﹣y+1=0．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，可得直角坐标方程：x2+y2+y2=2，即．（Ⅱ）把代入中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，∴，由t得几何意义可知，．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用等可能事件概率计算公式能求出元件甲，乙为正品的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）元件甲为正品的概率约为：，元件乙为正品的概率约为：．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，，，，所以随机变量X的分布列为：X 0 1 2P所以：．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为在区间[1，4]上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，当a=1时，f（x）=x3﹣x2+6x，f′（x）=3（x﹣1）（x﹣2），当x＜1时，f′（x）＞0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）．（Ⅱ）即在区间[1，4]上恒成立，令，故当时，g（x）单调递减，当时，g（x）单调递增，时，∴，即．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．求出Χ2，即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率，X可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数40 15 55女性驾驶员人数20 25 45合计60 40 100因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关．…（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为．X可取值是0，1，2，3，，有：，，，，分布列为X 0 1 2 3P．…22．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a≤x2，求出a的范围即可；（2）问题可化为，设，求出函数的导数，问题等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，求出m的最小值即可．【解答】解：（1）∵在[1，2]上是增函数，∴恒成立，…所以a≤x2…只需a≤（x2）min=1…（2）因为﹣2≤a＜0，由（1）知，函数f（x）在[1，2]上单调递增，…不妨设1≤x1≤x2≤2，则，可化为，设，则h（x1）≥h（x2）．所以h（x）为[1，2]上的减函数，即在[1，2]上恒成立，等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，…设g（x）=x3﹣ax，所以m≥g（x）max，因﹣2≤a＜0，所以g'（x）=3x2﹣a＞0，所以函数g（x）在[1，2]上是增函数，所以g（x）max=g（2）=8﹣2a≤12（当且仅当a=﹣2时等号成立）．所以m≥12．即m的最小值为12．…2016年10月17日。
2019-2020年浙江省温州市十校联合体高二上册期末数学试卷(有答案)-名校密卷
浙江省温州市十校联合体高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）准线方程是y=﹣2的抛物线标准方程是（）A．2=8y B．2=﹣8y C．y2=﹣8 D．y2=82．（4分）已知直线l1：﹣y+1=0和l2：﹣y+3=0，则l1与l2之间距离是（）A．B． C．D．23．（4分）设三棱柱ABC﹣A1B1C1体积为V，E，F，G分别是AA1，AB，AC的中点，则三棱锥E﹣AFG体积是（）A． B．C．D．4．（4分）若直线+y+m=0与圆2+y2=m相切，则m的值是（）A．0或2 B．2 C．D．或25．（4分）在四面体ABCD中（）命题①：AD⊥BC且AC⊥BD则AB⊥CD命题②：AC=AD且BC=BD则AB⊥CD．A．命题①②都正确B．命题①②都不正确C．命题①正确，命题②不正确 D．命题①不正确，命题②正确6．（4分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是（）A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β7．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角A﹣BD1﹣B1的大小是（）A． B．C．D．8．（4分）过点（0，﹣2）的直线交抛物线y2=16于A（1，y1），B（2，y2）两点，且y12﹣y22=1，则△OAB（O为坐标原点）的面积为（）A．B．C．D．9．（4分）已知在△ABC中，∠ACB=，AB=2BC，现将△ABC绕BC所在直线旋转到△PBC，设二面角P﹣BC﹣A大小为θ，PB与平面ABC所成角为α，PC与平面PAB所成角为β，若0＜θ＜π，则（）A．且B．且C．且D．且10．（4分）如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，点A是C1，C2的公共点．设C1，C2的离心率分别是e1，e2，∠F1AF2=2θ，则（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（6分）双曲线C：2﹣4y2=1的渐近线方程是，双曲线C的离心率是．12．（6分）某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积V= cm3，表面积S= cm2．13．（4分）已知抛物线y2=4的焦点为F，准线与轴的交点为M，N为抛物线上的一点，则满足= ．14．（6分）已知直线l1：y=m+1和l2：=﹣my+1相交于点P，O为坐标原点，则P点横坐标是（用m表示），的最大值是．15．（6分）四面体ABCD中，已知AB=AC=BC=BD=CD=1，则该四面体体积的最大值是，表面积的最大值是．16．（4分）过双曲线G：（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为1的直线m，分别与两渐近线交于B，C两点，若|AB|=2|AC|，则双曲线G的离心率为．17．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），对确定的常数m，若满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数为n，则n的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知抛物线C：y2=4，直线l：y=﹣+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若|AB|=8，求b的值；（Ⅱ）若以AB为直径的圆与轴相切，求该圆的方程．19．（15分）在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：BD⊥AE；（Ⅲ）若AB=CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．20．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=PA=2，CD=4，E，F分别是PC，PD的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．21．（15分）已知点C（0，y）是椭圆+y2=1上的动点，以C为圆心的圆过点F（1，0）．（Ⅰ）若圆C与y轴相切，求实数的值；（Ⅱ）若圆C与y轴交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值范围．22．（15分）已知椭圆C的方程是，直线l：y=+m与椭圆C有且仅有一个公共点，若F1M⊥l，F2N⊥l，M，N分别为垂足．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求四边形F1MNF2面积S的最大值．浙江省温州市十校联合体高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）准线方程是y=﹣2的抛物线标准方程是（ ） A ．2=8y B ．2=﹣8y C ．y 2=﹣8 D ．y 2=8【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在y 轴的正半轴， 设抛物线标准方程为：2=2py （p ＞0）， ∵抛物线的准线方程为y=﹣2， ∴=2， ∴p=4，∴抛物线的标准方程为：2=8y ． 故选A ．2．（4分）已知直线l 1：﹣y+1=0和l 2：﹣y+3=0，则l 1与l 2之间距离是（ ） A ．B ．C ．D ．2【解答】解：∵已知平行直线l 1：﹣y+1=0与l 2：﹣y+3=0， ∴l 1与l 2间的距离 d==，故选C ．3．（4分）设三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积为V ，E ，F ，G 分别是AA 1，AB ，AC 的中点，则三棱锥E ﹣AFG 体积是（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1体积为V ， ∴V=S △ABC •AA 1，∵E ，F ，G 分别是AA 1，AB ，AC 的中点，∴S△AFG=，，∴三棱锥E﹣AFG体积：VE﹣AFG ===S△ABC•AA1=．故选：D．4．（4分）若直线+y+m=0与圆2+y2=m相切，则m的值是（）A．0或2 B．2 C．D．或2【解答】解：∵圆2+y2=m的圆心为原点，半径r=∴若直线+y+m=0与圆2+y2=m相切，得圆心到直线的距离d==，解之得m=2（舍去0）故选B．5．（4分）在四面体ABCD中（）命题①：AD⊥BC且AC⊥BD则AB⊥CD命题②：AC=AD且BC=BD则AB⊥CD．A．命题①②都正确B．命题①②都不正确C．命题①正确，命题②不正确 D．命题①不正确，命题②正确【解答】解：对于①作AE⊥面BCD于E，连接DE，可得AE⊥BC，同理可得AE⊥BD，证得E是垂心，则可得出AE⊥CD，进而可证得CD⊥面AEB，即可证出AB⊥CD，故①正确；对于②，取CD的中点O，连接AO，BO，则CD⊥AO，CD⊥BO，∵AO∩BO=O，∴CD⊥面ABO，∵AB⊂面ABO，∴CD⊥AB，故②正确．故选A．6．（4分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是（）A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β【解答】解：设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则：m⊥α，n⊂β，m⊥n时，α、β可能平行，也可能相交，不一定垂直，故A不正确α∥β，m⊥α，n∥β时，m与n一定垂直，故B正确α⊥β，m⊥α，n∥β时，m与n可能平行、相交或异面，不一定垂直，故C错误α⊥β，α∩β=m时，若n⊥m，n⊂α，则n⊥β，但题目中无条件n⊂α，故D也不一定成立，故选B．7．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角A﹣BD1﹣B1的大小是（）A． B．C．D．【解答】解：以D为原点，DA为轴，DC为y轴，DD1为轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，则A（1，0，0），B（1，1，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1），=（0，﹣1，0），=（﹣1，﹣1，1），=（0，0，1），设平面ABD1的法向量=（，y，），则，取y=1，得，设平面BB1D1的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，﹣1，0），设二面角A﹣BD1﹣B1的大小为θ，则cosθ===﹣，∴θ=．∴二面角A﹣BD1﹣B1的大小为．故选：C．8．（4分）过点（0，﹣2）的直线交抛物线y2=16于A（1，y1），B（2，y2）两点，且y12﹣y22=1，则△OAB（O为坐标原点）的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：设直线方程为=my+2m，代入y2=16可得y2﹣16my﹣32m=0，∴y1+y2=16m，y1y2=﹣32m，∴（y1﹣y2）2=256m2+128m，∵y12﹣y22=1，∴256m2（256m2+128m）=1，∴△OAB（O为坐标原点）的面积为|y1﹣y2|=．故选：D．9．（4分）已知在△ABC 中，∠ACB=，AB=2BC ，现将△ABC 绕BC 所在直线旋转到△PBC ，设二面角P ﹣BC ﹣A 大小为θ，PB 与平面ABC 所成角为α，PC 与平面PAB 所成角为β，若0＜θ＜π，则（ ） A ．且 B ．且C ．且D ．且【解答】解：在△ABC 中，∠ACB=，AB=2BC ， 可设BC=a ，可得AB=PB=2a ，AC=CP=a ，过C 作CH ⊥平面PAB ，连接HB ，则PC 与平面PAB 所成角为β=∠CPH ， 且CH ＜CB=a ， sinβ=＜=；由BC ⊥AC ，BC ⊥CP ，可得二面角P ﹣BC ﹣A 大小为θ，即为∠ACP ， 设P 到平面ABC 的距离为d ， 由BC ⊥平面PAC ， 且V B ﹣ACP =V P ﹣ABC ，即有BC•S △ACP =d•S △ABC ， 即a••a•a•sinθ=d••a•a解得d=sinθ， 则sinα==≤，即有α≤．另解：由BC ⊥AC ，BC ⊥CP ，可得二面角P ﹣BC ﹣A 大小为θ，即为∠ACP以C 为坐标原点，CA 为轴，CB 为轴，建立直角坐标系O ﹣y ， 可设BC=1，则AC=PC=，PB=AB=2，可得P（cosθ，sinθ，0），过P作PM⊥AC，可得PM⊥平面ABC，∠PBM=α，sinα==≤，可得α≤；过C作CN垂直于平面PAB，垂足为N，则∠CPN=β，sinβ==＜=．故选：B．10．（4分）如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，点A是C1，C2的公共点．设C1，C2的离心率分别是e1，e2，∠F1AF2=2θ，则（）A．B．C．D．【解答】解：根据椭圆的几何性质可得，=b12tanθ，∵e1=，∴a1=，∴b12=a12﹣c2=﹣c2，∴=c2（）tanθ根据双曲线的几何性质可得，=，∵a2=，∴b22=c2﹣a22=c2﹣=c2（）∴=c2（）•，∴c2（）tanθ=c2（）•，∴（）sin2θ=（）•cos2θ，∴，故选：B二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（6分）双曲线C：2﹣4y2=1的渐近线方程是y=±，双曲线C的离心率是．【解答】解：双曲线C：2﹣4y2=1，即为﹣=1，可得a=1，b=，c==，可得渐近线方程为y=±；离心率e==．故答案为：y=±；．12．（6分）某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积V= cm3，表面积S= cm2．【解答】解：由题意，该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，所以V==cm3，S=+++=．故答案为：；．13．（4分）已知抛物线y2=4的焦点为F，准线与轴的交点为M，N为抛物线上的一点，则满足= ．【解答】解：设N到准线的距离等于d，由抛物线的定义可得d=|NF|，由题意得 cos∠NMF===∴∠NMF=．故答案为：．14．（6分）已知直线l1：y=m+1和l2：=﹣my+1相交于点P，O为坐标原点，则P点横坐标是（用m表示），的最大值是．【解答】解：直线l1：y=m+1和l2：=﹣my+1相交于点P，∴，∴=﹣m（m+1）+1，解得=，y=m×+1=，∴P点横坐标是；∴=（﹣，﹣），∴=+=≤2，且m=0时“=”成立；∴的最大值是．故答案为：，．15．（6分）四面体ABCD中，已知AB=AC=BC=BD=CD=1，则该四面体体积的最大值是，表面积的最大值是+1 ．【解答】解：∵四面体ABCD中，AB=AC=BC=BD=CD=1，∴当平面ABC⊥平面BDC时，该四体体积最大，此时，过D作DE⊥平面ABC，交BC于E，连结AE，则AE=DE==，∴该四面体体积的最大值：Sma==．∵△ABC，△BCD都是边长为1的等边三角形，面积都是S==，∴要使表面积最大需△ABD，△ACD面积最大，∴当AC⊥CD，AB⊥BD时，表面积取最大值，此时=，四面体表面积最大值Sma==1+．故答案为：，．16．（4分）过双曲线G：（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为1的直线m，分别与两渐近线交于B，C两点，若|AB|=2|AC|，则双曲线G的离心率为或．【解答】解：由题得，双曲线的右顶点A（a，0）所以所作斜率为1的直线l：y=﹣a，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B（1，y1），C（2，y2）．联立其中一条渐近线y=﹣，则，解得2=①；同理联立，解得1=②；又因为|AB|=2|AC|，（i）当C是AB的中点时，则2=⇒22=1+a，把①②代入整理得：b=3a，∴e===；（ii）当A为BC的中点时，则根据三角形相似可以得到，∴1+22=3a，把①②代入整理得：a=3b，∴e===．综上所述，双曲线G的离心率为或．故答案为：或．17．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），对确定的常数m，若满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数为n，则n的最大值是12 ．【解答】解：∵正方体的棱长为1，∴BD1=，∵点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），满足|PB|+|PD1|=m，∴点P是以2c=为焦距，以2a=m为长半轴的椭圆，∵P在正方体的棱上，∴P应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在正方体的12条棱上各有一点 满足条件．∴满足|PB|+|PD 1|=m 的点P 的个数n 的最大值是12， 故答案为12．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（14分）已知抛物线C ：y 2=4，直线l ：y=﹣+b 与抛物线交于A ，B 两点． （Ⅰ）若|AB|=8，求b 的值；（Ⅱ）若以AB 为直径的圆与轴相切，求该圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设A （1，y 1），B （2，y 2），由抛物线C ：y 2=4，直线l ：y=﹣+b 得y 2+4y ﹣4b=0﹣﹣﹣﹣﹣（2分） ∴|AB|=|y 1﹣y 2|===8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）解得b=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（Ⅱ）以AB 为直径的圆与轴相切，设AB 中点为M |AB|=|y 1+y 2|又y 1+y 2=﹣4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分） ∴4=解得b=﹣，则M （，﹣2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴圆方程为（﹣）2+（y+2）2=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）19．（15分）在四棱锥E ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，EC ⊥底面ABCD ，F为BE的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：BD⊥AE；（Ⅲ）若AB=CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（I）连接OF．由ABCD是正方形可知，点O为BD中点．又F为BE的中点，所以OF∥DE．又OF⊂面ACF，DE⊄面ACF，所以DE∥平面ACF…．（4分）（II）证明：由EC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴EC⊥BD，由ABCD是正方形可知，AC⊥BD，又AC∩EC=C，AC、E⊂平面ACE，∴BD⊥平面ACE，又AE⊂平面ACE，∴BD⊥AE…（9分）（III）：在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE．理由如下：取EO中点G，连接CG，在四棱锥E﹣ABCD中，AB=CE，CO=AB=CE，∴CG⊥EO．由（Ⅱ）可知，BD⊥平面ACE，而BD⊂平面BDE，∴平面ACE⊥平面BDE，且平面ACE∩平面BDE=EO，∵CG⊥EO，CG⊂平面ACE，∴CG⊥平面BDE故在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE．由G为EO中点，得．…（14分）20．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=PA=2，CD=4，E，F分别是PC，PD的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：因为E，F分别是PC，PD的中点，所以EF∥CD，又因为CD∥AB，所以EF∥AB，又因为EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以EF∥平面PAB．（Ⅱ）解：取线段PA中点M，连结EM，则EM∥AC，故AC与面ABEF所成角的大小等于ME与面ABEF所成角的大小．作MH⊥AF，垂足为H，连结EH．因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，又因为AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，又因为EF∥AB，所以EF⊥平面PAD．因为MH⊂平面PAD，所以EF⊥MH，所以MH⊥平面ABEF，所以∠MEH是ME与面ABEF所成的角．在直角△EHM中，EM=AC=，MH=，得sin∠MEH=．所以AC与平面ABEF所成的角的正弦值是．21．（15分）已知点C（0，y）是椭圆+y2=1上的动点，以C为圆心的圆过点F（1，0）．（Ⅰ）若圆C与y轴相切，求实数的值；（Ⅱ）若圆C与y轴交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当圆C与y轴相切时，||=，（2分）又因为点C在椭圆上，所以，（3分）解得，（5分）因为﹣，所以．（6分）（Ⅱ）圆C的方程是（﹣0）2+（y﹣y）2=（﹣1）2+，令=0，得y2﹣2y0y+2﹣1=0，设A（0，y1），B（0，y2），则y1+y2=2y，y1y2=2﹣1，（8分）由，及得﹣2﹣2＜＜﹣2+2，又由P点在椭圆上，﹣≤≤，所以﹣≤，（10分）|FA|•|FB|=•=（12分）===，（14分）所以|FA|•|FB|的取值范围是（4，2+2]．（15分）22．（15分）已知椭圆C的方程是，直线l：y=+m与椭圆C有且仅有一个公共点，若F1M⊥l，F2N⊥l，M，N分别为垂足．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求四边形F1MNF2面积S的最大值．【解答】解：（Ⅰ）证明：将直线的方程y=+m代入椭圆C的方程32+4y2=12中，得（42+3）2+8m+4m2﹣12=0．由直线与椭圆C仅有一个公共点知，△=642m2﹣4（42+3）（4m2﹣12）=0，化简得：m2=42+3．设d 1=|F 1M=，d 2=|F 2M|=， d 1d 2=•===3， |F 1M|+|F 2M|=d 1+d 2≥=2． （Ⅱ）当≠0时，设直线的倾斜角为θ， 则|d 1﹣d 2|=|MN||tanθ|，∴|MN|=， S=|MN|•（d 1+d 2）====， ∵m 2=42+3，∴当≠0时，|m|， ∴＞+=， ∴S ． 当=0时，四边形F 1MNF 2是矩形，． 所以四边形F 1MNF 2面积S 的最大值为2．。
精品解析：福建省三明市2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)
故函数在 上单调递减，在 上单调递增， 错误；
，根据单调性知 ， 正确；
， ，故方程 有实数解， 正确；
，易知当 时成立，当 时， ，设 ，
则 ，故函数在 上单调递增，在 上单调递减，
在 上单调递增，且 .
画出函数图象，如图所示：当 时有ห้องสมุดไป่ตู้个交点.
综上所述：存在实数 ，使得方程 有 个实数解， 正确；
16.设过原点的直线与双曲线 ： 交于 两个不同点， 为 的一个焦点，若 ， ，则双曲线 的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
如图所示：连接 ，根据对称性知 为平行四边形，计算得到
，利用余弦定理计算得到答案.
【详解】如图所示：连接 ，根据对称性知 为平行四边形.
，则 ， ，
， ，故 .
【详解】 ， ，取 得到 .
故函数在 上单调递减，在 上单调递减，在 上单调递增.
对比图象知： 满足条件.
故选： .
【点睛】本题考查了根据导数求单调区间，函数图像的识别，意在考查学生对于函数知识的综合应用.
7.若 ，且 ，则下列不等式一定成立的是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设函数 ，函数为偶函数，求导得到函数的单调区间，变换得到 ，得到答案.
C.当 ， 时，方程不成立，错误；
D.方程表示的曲线不含有一次项，故不可能为抛物线，正确；
故选： .
【点睛】本题考查了椭圆，双曲线，抛物线的定义，意在考查学生对于圆锥曲线的理解.
10.（多选题）如图，在长方体 中， ， ， ，以直线 ， ， 分别为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，则（）
浙江省温州市重点名校2019-2020学年高二下学期期末学业水平测试数学试题含解析
浙江省温州市重点名校2019-2020学年高二下学期期末学业水平测试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是（ ）A ．()2,4B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,2 【答案】C【解析】试题分析：由24iz i =+，可得()2242442i i i z i i i++===-，∴z 对应的点的坐标为（4，－2），故选C ． 考点：考查了复数的运算和复数与复平面内点的对应关系．点评：解本题的关键是根据复数的除法运算求出复数z ，然后利用复数z 所对应的点的横坐标和纵坐标分别为为复数的实部和虚部，得出对应点的坐标．2．将曲线sin 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭按照伸缩变换'31'2x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩后得到的曲线方程为 A ．'2sin '4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．1'sin '24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．1'sin 9'24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．'2sin 9'4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】【分析】 根据题意，由'31'2x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩可得：1,32x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，代入sin 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭化简即可求出答案. 【详解】 由伸缩变换，得1,32x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'代入πsin 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得π2sin 4y x ⎛⎫''=- ⎪⎝⎭，即1πsin 24y x ⎛⎫''=- ⎪⎝⎭．选B. 【点睛】本题考查坐标的伸缩变换公式，考查学生的转化能力，属于基础题.3．执行如图所示的程序框图，若输入的a 为2，则输出的a 值是（ ）A ．2B ．1C ．12D ．-1【答案】A【解析】【分析】 根据给定的程序框图，执行循环体，逐次计算、判断，即可得到输出的结果，得到答案．【详解】由题意，执行如图所示的程序框图，可得： 第一次循环：1112a ==--，满足判断条件，1k =； 第二次循环：111(1)2a ==--，满足判断条件，2k =； 第三次循环：12112a ==-，满足判断条件，3k =； 第四次循环：1112a ==--，满足判断条件，4k =； 第五次循环：111(1)2a ==--，满足判断条件，5k =； 第六次循环：2a =，不满足判断条件，输出结果2a =，故选A ．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．4．ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若20a b c ++=，三角形面积为360A =︒，则a =( )A ．7B ．8C ．5D ．6【答案】A【解析】 分析：由已知及三角形的面积公式可求bc ，然后由a+b+c =20以及余弦定理，即可求a ．详解：由题意可得，S △ABC =12bcsinA=12bcsin60° ∴12bcsin60°bc=40 ∵a+b+c=20∴20﹣a=b+c ．由余弦定理可得，a 2=b 2+c 2﹣2bccos60°=（b+c ）2﹣3bc=（20﹣a ）2﹣120解得a=1．故选A ．点睛：本题综合考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式等知识的综合应用，解题的关键是灵活利用公式．考查计算能力．5．复数22cossin 33z i ππ=+在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】 因2cos 0,sin 033ππ，故复数2cos sin 33z i ππ=+对应的点在第二象限，应选答案B ． 6．函数32()log f x x x =-的一个零点所在的区间是( ) A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】C【解析】【分析】 根据函数零点的判定定理进行判断即可【详解】32()log f x x x =-是连续的减函数，又()()3221log 20;3103f f =->=-< 可得f （2）f （3）＜0，∴函数f （x ）的其中一个零点所在的区间是(2,3)故选C【点睛】本题考查了函数零点的判定定理，若函数单调，只需端点的函数值异号即可判断零点所在区间，是一道基础题．7．某公司在20142018-年的收入与支出情况如下表所示：根据表中数据可得回归直线方程为$$0.8y x a=+，依此名计，如果2019年该公司的收入为7亿元时，它的支出为（ ）A ．4.5亿元B ．4.4亿元C ．4.3亿元D ．4.2亿元【答案】B【解析】 2.2 2.6 4.0 5.3 5.945x ++++== ，0.2 1.5 2.0 2.5 3.825y ++++== ，代入回归直线方程，ˆ20.84a=⨯+ ，解得：ˆ 1.2a =- ，所以回归直线方程为：0.8.2ˆ1y x =- ，当7x = 时，支出为4.4 亿元，故选B.8．设实数a,b,c 满足a+b+c =1,则a,b,c 中至少有一个数不小于 ( )A ．0B ．13C ．12D ．1 【答案】B【解析】∵三个数a ，b ，c 的和为1，其平均数为13 ∴三个数中至少有一个大于或等于13 假设a ，b ，c 都小于13，则1a b c ++< ∴a ，b ，c 中至少有一个数不小于13故选B.9．某班级要从四名男生、两名女生中选派四人参加某次社区服务，则所选的四人中至少有一名女生的选法为（ ）A ．14B ．8C ．6D ．4【答案】A【解析】所选的四人中至少有一名女生的选法为446415114.C C -=-= 本题选择A 选项.10．三位男同学和两位女同学随机排成一列，则女同学甲站在女同学乙的前面的概率是（）A ．12B ．25C ．13D ．23【答案】A【解析】【分析】三男两女的全排列中女同学甲要么站在女同学乙的前面要么站在女同学的后面．【详解】三男两女的全排列中女同学甲要么站在女同学乙的前面要么站在女同学的后面．即概率都为12 【点睛】本题考查排位概率，属于基础题．11．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=42，|DE|=25，则C 的焦点到准线的距离为 ( )A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】C【解析】试题分析：如图，设抛物线方程为22y px =，,AB DE 交x 轴于,C F 点，则22AC =，即A 点纵坐标为22，则A 点横坐标为4p ，即4OC p=，由勾股定理知2222DF OF DO r +==，2222AC OC AO r +==，即22224(5)()(22)()2p p+=+，解得4p =，即C 的焦点到准线的距离为4，故选B.考点：抛物线的性质.12．已知函数2()cos (1)f x x x a x =+-是奇函数，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程是（ ）A ．20x y -=B ．0x y -=C ．20x y +=D ．20x y -=【解析】【分析】根据奇函数的定义或性质求出a ，然后可求出导函数，得切线斜率，从而得切线方程【详解】∵()f x 是奇函数，∴22()cos()(1)()cos (1)f x x x a x x x a x -=--+--=-+-2cos (1)x x a x =---，∴2(1)0a x -=，1a =， ()cos f x x x =是奇函数，'()cos sin f x x x x =-，'(0)1f =，(0)0f =，切线方程为y x =，即0x y -=．故选B ．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数的奇偶性，本题难度一般．二、填空题：本题共4小题13．设0,0x y >>，且10x y +=，则xy 的最大值为_______.【答案】25.【解析】分析：由题意结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.详解：由均值不等式的结论有：10x y =+≥，5,25xy ≤≤，当且仅当5x y ==时等号成立.据此可知：xy 的最大值为25.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．14．函数()()21log 1f x x =+的定义域为__________（结果用区间表示）。
温州市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末综合测试试题含解析
温州市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．函数 2,(,]1xy x m n x -=∈+的最小值为0，则m 的取值范围是( ) A ．(1，2) B ．(－1，2) C ．[1，2) D ．[－1，2)【答案】B 【解析】 【分析】 化简函数为311y x =-+，根据函数的单调性以及y 在(,]x m n ∈时取得最小值0，求出m 的范围. 【详解】 函数23(1)31111x x y x x x --+===-+++在区间(－1，＋∞)上是减函数． 当x ＝2时，y ＝0.根据题意x ∈(m ，n]时，min 0y =. 所以m 的取值范围是－1＜m ＜2， 故选B. 【点睛】该题所考查的是利用函数在某个区间上的最值，来确定区间对应的位置，涉及到的知识点有反比例型函数的单调性，确定最值在哪个点处取，从而求得对应的参数的取值范围，属于简单题目.2．函数()23xe f x x =-在[]2,4上的最大值为（ ）A ．2eB ．36eC ．413eD ．22e【答案】A 【解析】 【分析】对函数()y f x =求导，利用导数分析函数()y f x =的单调性，求出极值，再结合端点函数值得出函数()y f x =的最大值．【详解】()23xef x x =-Q ，()()()()()()22222231333x xe x x e x xf x x x --+-∴==--'，令()0f x '=，由于24x ≤≤，得3x =.当23x <<时，()0f x '<；当34x <<时，()0f x '>．因此，函数()y f x =在3x =处取得最小值，在2x =或4x =处取得最大值，()22f e =Q ，()()4222421313e ef e e f ==⋅<=，因此，()()2max 2f x f e ==，故选A ． 【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值，一般而言，利用导数求函数在闭区间上的最值的基本步骤如下： （1）求导，利用导数分析函数在闭区间上的单调性； （2）求出函数的极值；（3）将函数的极值与端点函数值比较大小，可得出函数的最大值和最小值． 3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3πB ．4πC ．6πD ．8π【答案】A 【解析】 【分析】由三视图得出该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱挖掉右上半圆柱而形成的几何体，在利用体积公式求解，即可得到答案. 【详解】由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱挖掉右上半圆柱而形成的几何体，故该几何体的体积为12232πππ⨯+⨯⨯=，故选A. 【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.4．已知随机变量()11X N ～，，其正态分布曲线如图所示，若向正方形OABC 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点数估计值为（ ）（附：()2,N ξμσ:则()0.6826μσξμσ-<≤+= ）A ．6038B ．6587C ．7028D ．7539【答案】B 【解析】∵随机变量()1,1N ξ~， ∴()1(01)34.13%2P P ξμσξμσ<<=-<<+=， ∴210.34130.6587S =-=阴影，∴落入阴影部分的点的个数的估计值为100000.65876587⨯=个．选B ． 5．用数学归纳法证明某命题时，左式为在验证时，左边所得的代数式为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：用数学归纳法证明某命题时，左式为在验证时，左边所得的代数式应为；故选B考点：数学归纳法．6．函数()()2ln 1f x x 的图像大致是=+（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】由于函数为偶函数又过（0，0）,排除Ｂ，Ｃ，Ｄ，所以直接选A. 【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题.7．从5位男生，4位女生中选派4位代表参加一项活动，其中至少有两位男生，且至少有1位女生的选法共有( ) A ．80种 B ．100种 C ．120种 D ．240种【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】由题意知本题要求至少有两位男生，且至少有1位女生，它包括：两个男生，两个女生；三个男生，一个女生两种情况，写出当选到的是两个男生，两个女生时和当选到的是三个男生，一个女生时的结果数，根据分类计数原理得到结果．解：∵至少有两位男生，且至少有1位女生包括：两个男生，两个女生；三个男生，一个女生． 当选到的是两个男生，两个女生时共有C 52C 42=60种结果， 当选到的是三个男生，一个女生时共有C 53C 41=40种结果， 根据分类计数原理知共有60+40=100种结果， 故选B ．8．随机变量(100,)X B p ~，且()20E X =，则(21)D X -=（ ） A ．64 B ．128C ．256D ．32【答案】A【解析】 【分析】根据二项分布期望的计算公式列方程，由此求得p 的值，进而求得方差DX ，然后利用方差的公式，求得()21D X -的值.【详解】随机变量X 服从二项分布，且()20E X np ==，所以0.2p =，则()1000.20.816D X =⨯⨯=，因此()21464D X DX -==.故选A.【点睛】本小题主要考查二项分布期望和方差计算公式，属于基础题.9．通过随机询问100名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：由()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得()2210010302040 4.76250503070K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯参照附表，得到的正确结论（ ）A ．我们有95%以上的把握，认为“是否爱吃零食与性别有关”B ．我们有95%以上的把握，认为“是否爱吃零食与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关” 【答案】A 【解析】分析：对照临界值表，由3.84 4.762 5.024<<，从而可得结果. 详解：根据所给的数据 ，()2210010304020 4.762 3.84150503070K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，而4.762 5.024<，有95%以上的把握，认为“是否爱吃零食与性别有关”，故选A.点睛：本题主要考查独立性检验的应用，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断.10．将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（ ） A ．24种 B ．28种C ．32种D ．36种【答案】B 【解析】试题分析：第一类：有一个人分到一本小说和一本诗集，这种情况下的分法有：先将一本小说和一本诗集分到一个人手上，有4种分法，将剩余的2本小说，1本诗集分给剰余3个同学，有3种分法，那共有3412⨯=种；第二类：有一个人分到两本诗集，这种情况下的分法有：先两本诗集分到一个人手上，有4种情况，将剩余的3本小说分给剩余3个人，只有一种分法，那共有：414⨯=种，第三类：有一个人分到两本小说，这种情况的分法有：先将两本小说分到一个人手上，有4种情况，再将剩余的两本诗集和一本小说分给剩余的3个人，有3种分法，那共有：4312⨯=种，综上所述：总共有：1241228++=种分法，故选B.考点：1、分布计数乘法原理；2、分类计数加法原理.【方法点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率. 11．已知函数()9411y x x x =-+>-+，当x a =时，y 取得最小值b ，则+a b 等于（） A ．-3 B ．2C ．3D ．8【答案】C 【解析】 【分析】配凑成可用基本不等式的形式。
浙江省温州市2019-2020年度数学高二下学期理数期末考试试卷(I)卷
浙江省温州市2019-2020年度数学高二下学期理数期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）集合{a,b}的子集有（）A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个2. （2分） (2019高一上·蒙山月考) 设，则在下列区间中使函数有零点的区间是（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高一上·武汉期中) 若当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y=loga| |的图象大致为（）A .B .C .D .4. （2分）设M、N是两个非空集合，定义M与N的差集为M﹣N={x|x∈M且x∉N}，则M﹣（M﹣N）等于（）A . NB . M∩NC . M∪ND . M5. （2分） (2017高一上·嘉兴月考) 已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式是（）A .B .C .D .6. （2分）下列命题中：①命题“，使得”,则是真命题.②“若，则，互为相反数”的逆命题为假命题.③命题“”,则:“”.④命题“若则”的逆否命题是“若，则”.其中正确命题的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 37. （2分）已知函数，则等于（）A . 4B .C . -4D .8. （2分） (2018高三上·沈阳期末) 设是定义域为，最小正周期为的函数，若则等于（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高三上·长春月考) 已知定义在上的函数满足，且为偶函数，当时，有（）A .B .C .D .10. （2分）下列函数：①y=x2+1；② ；③y=2x2；④ ；⑤ ，其中幂函数是（）A . ①⑤B . ①②③C . ②④D . ②③⑤11. （2分）下列函数中是偶函数的是（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高一上·吉林月考) 已知函数，若，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）函数，定义使f（1）•f（2）•f（3）…f（k）为整数的数k （k∈N*）叫做企盼数，则在区间[1，2013]内这样的企盼数共有________ 个．14. （1分） (2019高一上·蒙山月考) 函数的定义域为________.15. （1分） (2016高三上·珠海模拟) 已知函数f（x）是定义在R上的周期为4的奇函数，当0＜x＜2时，f（x）=4x ，则f（﹣）+f（2）=________．16. （1分） (2018高一上·雅安期末) 设是定义在上的增函数，且，若，则当时，的取值范围是________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （10分） (2019高一上·青冈期中) 已知集合，，，全集为实数集．（1）求，；（2）如果，求的取值范围．18. （5分） (2018高一上·包头期中) 已知函数，其中且．（Ⅰ）当时，求函数的值域；（Ⅱ）当在区间上为增函数时，求实数的取值范围.19. （5分）二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x，且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）在区间[﹣1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．20. （5分）已知函数f（x）=x2+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠﹣2）．（1）写出一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x），使f（x）=g（x）+h（x）；（2）对（1）中的g（x）．命题P：函数f（x）在区间[（a+1）2 ，+∞）上是增函数；命题Q：函数g（x）是减函数；如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，求f（2）的取值范围．21. （10分）(2017·湘西模拟) 已知函数f（x）=（a+1）lnx﹣x2 ，．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）与g（x）在（0，+∞）上的单调性正好相反．（Ⅰ）对于，不等式恒成立，求实数t的取值范围；（Ⅱ）令h（x）=xg（x）﹣f（x），两正实数x1、x2满足h（x1）+h（x2）+6x1x2=6，证明0＜x1+x2≤1．22. （10分）(2018·江西模拟) 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）写出曲线的直角坐标方程；（2）已知点的直角坐标为，直线与曲线相交于不同的两点，，求的取值范围.23. （10分）已知f（x）=2x﹣4x（1）若x∈[﹣2，2]，求函数f（x）的值域；（2）求证：函数f（x）在区间（﹣∞，﹣1]的单调递增．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分)17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、21-1、21-2、第11 页共12 页22-1、22-2、23-1、23-2、第12 页共12 页。
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浙江省温州市2019-2020学年高二上学期期末考试试题一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线221916x y -=的实轴长为（ ）A. 3B.4 C. 6 D. 8【答案】C【解析】由题得a =3, 所以实轴长为6. 故选：C2.与直线:2310l x y -+=关于y 轴对称的直线的方程为（ ） A. 2310x y ++= B. 2310x y C. 3210x y -+= D. 3210x y ++=【答案】B【解析】设M (x ,y )是所求直线上的任意一点，则其关于y 轴的对称点为(,)M x y '-在直线:2310l x y -+=上，所以23+10,x y 即2310x y .与直线:2310l x y -+=关于y 轴对称的直线的方程为2310x y . 故选：B3.若直线0x y -=与圆()()2211x y m-++=相离，则实数m 的取值范围是（ ）A.(]0,2B.(]1,2C.()0,2D.()1,2【答案】C【解析】由题得圆心到直线的距离为d =>，所以2m <，因为m ＞0，所以0＜m ＜2.故选：C4.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：3cm）是（）A. 6B. 2C. 12D. 3【答案】A【解析】根据三视图：该几何体为底面为直角梯形的四棱柱,如图所示：故该几何体的体积为1(12)2262V=+=．故选：A．5.一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是（）A. 底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形B. 各个面都是正三角形C. 三个侧面是全等的等腰三角形D. 顶点在底面上的射影为重心【答案】A【解析】A．根据正三棱锥的定义可知，满足侧面是全等的等腰三角形，底面是正三角形的三棱锥是正三棱锥．正三棱锥的底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形，所以一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形，所以该选项符合题意；B. 各个面都是正三角形，则三棱锥是正三棱锥，所以各个面都是正三角形是三棱锥为正三棱锥的充分条件；如果三棱锥是正三棱锥，则各个面不一定都是正三角形，所以各个面都是正三角形是三棱锥为正三棱锥的非必要条件，故该选项错误.C. 三个侧面是全等的等腰三角形不一定是正三棱锥，如图所示，VA =VC =BC =AB ，AC =VB 时，不一定是正三棱锥，故该选项错误；D. 顶点在底面上的射影为重心，设底面为直角三角形ABC ,其重心为O ,过点O 作平面ABC 的垂线OV ，连接VA ,VB ,VC 得到三棱锥V -ABC ,显然三棱锥V -ABC 不是正三棱锥，所以该选项错误. 故选：A6.如图，已知三棱锥V ABC -，点P 是VA 的中点，且2AC =，4VB =，过点P 作一个截面，使截面平行于VB 和AC ，则截面的周长为（ ）A. 12B. 10C. 8D. 6【答案】D【解析】如图所示，设AB 、BC 、VC 的中点分别为D ,E ,F ， 连接PD ,DE ,EF ,PF .由题得PD ||VB ,DE ||AC ,因为,PD DE ⊆平面DEFP ,VB ,AC 不在平面DEFP 内， 所以VB ||平面DEFP ,AC ||平面DEFP , 所以截面DEFP 就是所作的平面.由于11||,||,,22PD VB EF VB PD VB EF VB===,所以四边形DEFP 平行四边形， 因为VB =4,AC =2,所以PD =FE =2,DE =PF =1, 所以截面DEFP 的周长为2+2+1+1=6. 故选：D7.已知直线1:l y kx=和2:20l x ky +-=相交于点P ，则点P 的轨迹方程为（ ）A.221x y +=B.()2211x y -+=C.()2210x y x +=≠D.()()22110x y x -+=≠【答案】D【解析】由题得,,22y kx y xx ky x y =⎧∴=⎨-+=-+⎩所以()2211x y -+=.由题得222220,(1)21x k x k x x k +-=∴+=∴=+，，所以0x >.所以点P 的轨迹方程为()()22110x y x -+=≠.故选：D8.已知双曲线224x y -=，若过点P 作直线l 与双曲线交于,A B 两点，且点P 是线段AB 的中点，则点P 的坐标可能是（ ） A. ()1,1B.()1,2C.()2,1D.()2,2【答案】B 【解析】设112200(,),(,),(,)A x yB x y P x y ，是由题得22111212121222224()()()()04x y x x x x y y y y x y ⎧-=∴+--+-=⎨-=⎩，，所以1200120121202()2()0,y y xx x x y y y k x x y ----=∴==-.当P 的坐标为()1,2时，1,2k =直线AB 的方程为1132(1),222y x y x -=-∴=+. 把1322y x =+代入双曲线方程得>0∆.对于选项A,C,D 中点P 的坐标经检验得，不满足>0∆. 故选：B9.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F 、，点P 在椭圆上，且124PF PF =，则此椭圆的离心率e 的最小值为（ ）A. 35B. 45C. 14D. 34【答案】A 【解析】设P00(,)x y ，由题得1020||,||,PF a ex PF a ex =+=-因为124PF PF =，所以0003344,,55a a ex a ex x a e e +=-∴=≤∴≥,所以此椭圆的离心率e 的最小值为35.故选：A10.在平面直角坐标系中，已知点()2,0A ，()0,2B ，圆()22:1C x a y -+=，若圆C 上存在点M ，使得2212MA MB +=，则实数a取值范围为（ ）A. 1,1⎡+⎣B. 1⎡-+⎣C. 1,1⎡+⎣D. 1⎡-+⎣【答案】B【解析】设(,)M x y ，则2222(2)(2)12x y x y -+++-=， 所以22(1)(1)4x y -+-=，所以点M 的轨迹是一个圆D , 由题得圆C 和圆D相交或相切，所以13≤≤，所以11a -≤≤+ 故选：B二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.已知直线()2:1210l m x y +-+=（m为常数），若直线l 的斜率为12，则m =__________，若1m =-，直线l 的倾斜角为__________． 【答案】 (1). 0 (2). 45︒【解析】（1）由题得211,022m m +-=∴=-；（2）若1m =-，则直线的斜率21,2k =-=-所以直线的倾斜角为45︒.故答案为：(1). 0 (2). 45︒ 12.在平面直角坐标系中，点()1,2A -关于x 轴的对称点为()1,2A '--，那么，在空间直角坐标系中，()1,2,3B -关于x 轴的对称点B '坐标为__________，若点()1,1,2C -关于xOy平面的对称点为点C '，则B C ''=__________．【答案】 (1).()1,2,3---(2).【解析】（1）由题得()1,2,3B -关于x 轴的对称轴点B '坐标为()1,2,3---；（2）点()1,1,2C -关于xOy 平面的对称点为点C '（1,-1，-2），所以B C ''==故答案为：(1). ()1,2,3---(2).13.已知圆221:1C x y +=和圆()()()2222:430C x y r r -+-=>外切，则r 的值为__________，若点()00,A x y 在圆1C 上，则220004x y x +-的最大值为__________．【答案】 (1).4 (2). 5【解析】（1|1|,4r r =+∴=.（2）点()00,A x y 在圆1C 上，所以2222000011x y y x +=∴=-，，所以2200004=14x y x x +--，因为011x -≤≤，所以220004x y x +-的最大值为5.此时01x =-.故答案为： (1).4 (2). 514.已知直线1y x =-与抛物线()220y px p =>交于,A B 两点；若直线过抛物线的焦点，则抛物线的准线方程为__________，若OA OB ⊥，则p 的值为__________．【答案】 (1). 1x =- (2). 12【解析】（1）由于直线过抛物线的焦点，令y =0得x =1,所以抛物线的焦点坐标为(1,0), 所以抛物线的准线方程为x =-1.（2）联立221y pxy x ⎧=⎨=-⎩得2(22)10x p x -++=，设1122(,),(,)A x yB x y ，所以121222,1x x p x x +=+⋅=，因为OA OB ⊥，所以121212120,(1)(1)0x x y y x x x x +=∴+--=，所以1212()210x x x x -++⋅+=，所以12230,2p p --+=∴=.故答案为：(1). 1x =- (2). 1215.某学习合作小组学习了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.利用祖暅原理研究椭圆()222210x y a b a b +=>>绕y 轴旋转一周所得到的椭球体的体积，方法如下：取一个底面圆半径为a 高为b 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体和半椭球体放在同一平面α上，那么这两个几何体也就夹在两个平行平面之间了，现在用一平行于平面α的任意一个平面β去截这两个几何体，则截面分别是圆面和圆环面，经研究，圆面面积和圆环面面积相等，由此得到椭球体的体积是__________．【答案】243a bπ【解析】由祖暅原理得椭球体的体积为22214()233a b a b a bπππ-⨯=.故答案为：243a bπ16.如图，等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，2AB AD DC ===，4BC =，E 为BC 上一点，且1BE =，P 为DC 的中点.沿AE 将梯形折成大小为θ的二面角B AE C --，若ABE △内（含边界）存在一点Q ，使得PQ ⊥平面ABE ，则cos θ的取值范围是__________．【答案】10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】如图所示，由于梯形是等腰梯形，所以AE BE AE EC ⊥⊥，.折叠之后，AE BE AE EC ⊥⊥，.所以BEC ∠就是二面角B AE C --的平面角θ.当090θ>时，不存在这样的点Q ;当090θ=时，点Q 恰好是AE 的中点.此时cos 0θ=.当0090θ<<时，以点E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -.则E (0,0,0),B (sin ,cos ,0)θθ，5(0,2A P . 设Q 在平面ABE 内，(tan ,y,z)Q y θ.所以EB(sin ,cos ,0)θθ,EA =.5(tan ,,2PQ y y z θ=--,由题得0,PQ EA z z ⋅==∴=.所以点Q 在△ABE 的中位线GH 上，所以点Q 的纵坐标1cos 2y θ≤.由题得25sin 5sin tan ()cos ()cos 02cos 2PQ EB y y y y θθθθθθ⋅=+-=+-=，所以25cos 2y θ=，所以251cos cos 22y θθ=≤，所以1cos 5θ≤. 所以此时10cos 5θ<≤.综上所述，10cos 5θ≤≤.故答案为：10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦17.设抛物线24x y =，点F 是抛物线的焦点，点()0,M m 在y轴正半轴上（异于F 点），动点N 在抛物线上，若FNM ∠是锐角，则m 的范围为__________． 【答案】()()0,11,9【解析】设()24,4N t t ，可知()0,1F ，0m >且1m ≠，所以()24,14NF t t =--，()24,4NM t m t =--，因为FNM ∠是锐角，所以0NF NM ⋅>， 即()()222161440t t m t +-->， 整理得()42161240t m t m +-+>，等价于()4286202mt m t +-+>对任意t R ∈恒成立；令20x t =≥，则()()286202mf x x m x =+-+>对任意[)0,x ∈+∞恒成立；因为()f x 的对称轴为38mx -=-，故分类讨论如下：（1）308m--≤，即03m <≤时， ()()min 002mf x f ==>，所以03m <≤；（2）308m -->，即3m >时，应有()2624802mm ∆=--⨯⨯<，得39m <<；综上所述：()()0,11,9m ∈.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知圆心C 在直线：220x y --=上的圆经过点()1,2A -和()3,2B -，且过点()3,1P -的直线l 与圆C 相交于不同的两点,M N .（1）求圆C 的标准方程；（2）若90MCN ∠=︒，求直线l 的方程.【解】（1）易求得AB 的中点为()1,0，且1AB k =-，AB ∴的中垂线方程为10x y --=由10220x y x y --=⎧⎨--=⎩，得圆心C 的坐标为()1,0， ∴半径CA =，故圆C 的标准方程为：()2218x y -+=（2）当90MCN ∠=︒时，则圆心C 到直线l 的距离为2，若直线l 的斜率存在，设直线():13l y k x +=-，即310kx y k ---= ∴圆心()1,0C 到直线l的距离2d ==，解得34k =，∴直线l 的方程为34130x y --=若直线l 的斜率不存在，则直线:3l x ，符合题意，综上所述：所求直线l 的方程为：3x =或34130x y --=19.如图，CD αβ=，EF αγ=，AB βγ=，AB CD ∥.（1）求证：CD EF ；（2）若几何体ACE BDF -是三棱柱，ACE △是边长为2的正三角形，AB 与面ACE 所成角的余弦值为15，2AB =，求三棱柱ACE BDF -的体积.【解】（1）AB CD AB CD αα⎫⎪⊄⎬⎪⊂⎭AB α⇒ 又AB γ⊂，EF αγ=，AB EF ∴， 又AB CD ∥，CDEF ∴ （2）由题得122sin 602ACE S =⋅⋅⋅︒=△又棱柱高2h ==2=V Sh ∴===20.已知点,A B 的坐标分别是()1,0-，()1,0，直线,AM BM 相交于点M ，且直线BM 的斜率与直线AM 的斜率的差是2.（1）求点M 的轨迹方程C ；（2）若直线:0l x y -=与曲线C 交于,P Q 两点，求APQ ∆的面积.【解】（1）设(),M x y ，则1AM y k x =+，1BM y k x =-， 所以211y y x x -=-+，所以轨迹方程21y x =-(0y ≠或1x ≠±)； （2）设()11,P x y ，()22,Q x y 联立方程210y x x y ⎧=-⎨-=⎩，得210x x --=，所以121211x x x x +=⎧⎨=-⎩，所以PQ ==A到直线的距离为d ==所以12APQ S d PQ =⋅⋅=△．21.如图，在三棱锥A BCD -中，且AD DC ⊥，AC CB ⊥，面ABD ⊥面BCD ，AD CD BC ==，E 为AC 中点，H 为BD 中点.（1）求证：AD BC ⊥；（2）在直线CH 上确定一点F ，使得AF 面BDE ，求AF 与面BCD 所成角.【解】（1）易知CH BD ⊥，又平面ABD ⊥平面BCDCH ∴⊥面ABD ，CH AD ∴⊥又AD CD ⊥，AD CH ⊥，⋂=CD CH C ，,CD CH ⊆平面BCD , AD ∴⊥平面BCD ，AD BC ∴⊥（2）在CH 延长线上取点F ，使FH HC =,则四边形BCDF 为平行四边形 又EH AF ，EH ⊂面BDE ，AF ⊄面BDE ，AF ∴面BDE又AD ⊥面BCD ，AFD ∴∠即为AF 与面BCD 所成线面角又DF BC AD ==，45AFD ∴∠=︒，即AF 与面BCD 所成线面角为45︒22.设椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，直线l 过椭圆的右焦点F ，与椭圆交于点M N 、；若l 垂直于x 轴，则3MN =.（1）求椭圆的方程；（2）椭圆的左右顶点分别为12A A 、，直线1A M 与直线2A N 交于点P .求证：点P 在定直线上. 【解】（1）由已知得22312b a c a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩， 所以椭圆的方程为22143x y +=；（2）设()11,M x y ，()()2212,N x y y y >，:1MN l x my =+， 联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690m y my ++-=， 所以122122634934m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，可得()111:22A M y l y x x =++，()222:22A N y l y x x =--，所以()()()122121122121222P x y x y y y x x y x y y y ++-=-++()()()12212121212222my y y y y y y y y y +++-=-++， 又因为()121223my y y y =+， 所以()()()()2121212124242P y y y y x y y y y ++-==-++； 所以点P 在直线4x =上．。