自动控制原理一控制系统的时域分析

这时瞬态响应的性能指标有：
1。最大超调量sp——响应曲线偏离稳态值的最大值，
常以百分比表示，即
最大百分比超调量sp＝ c(t p ) c() 100%
c()
最大超调量说明系统的相对稳定性。
2。延滞时间td——响应曲线到达稳态值50%所需的时间，
称为延滞时间。
图3-6
3. 上升时间tr——它有几种定义： (1) 响应曲线从稳态值的10%到90%所需时间； (2) 响应曲线从稳态值的5%到95%所需时间； (3) 响应曲线从零开始至第一次到达稳态值所需的时间。
d (t )dt 1
(3.5)
（五）正弦信号
正弦信号的表达式为 :
r (t )
A 0
sin
w
t
t 0 t 0 （3.6）
其中A为幅值，w =2p/T为角频率。
图3-5 正弦信号
二、系统的性能指标
系统的瞬态性能通常以系统在初始条件为零的情况下， 对单位阶跃输入信号的响应特性来衡量，如图3-6所示。
s (K 1) /
(3.8)
取C(s)的拉氏反变换，可得一阶系统的单位阶跃响应为
c(t) K K e(K 1) t / K 1 K 1
系统响应如图3-9所示。 从图中看出，响应的稳态值为
c() K K 1
(3.9) (3.10)
图3-9 一阶系统的单位阶跃响应
若增加放大器增益K，可使稳态值近似为1。实际上，由 于放大器的内部噪声随增益的增加而增大，K不可能为无穷 大。而且，线性模型也仅在工作点附近的一定范围内成立。 所以，系统的稳态误差
w
2 n
由上式可看出， 和wn是决定
二阶系统动态特性的两个非常重
要参数，其中 称为阻尼比，wn
称为无阻尼自然振荡频率.
图3-10 二阶系统
例如图2-2中R-Ｌ-Ｃ电路，其传递函数为
GB (s)
U0 (s) U r (s)
LCs2
1 RCs
1
GB (s)
s2
1/ LC Rs
1
s2
第三章 控制系统的时域分析法
第一节 第二节 第三节 第四节
二阶系统的瞬态响应及性能指标 增加零极点对二阶系统响应的影响 反馈控制系统的稳态误差 劳斯-霍尔维茨稳定性判据
第一节 二阶系统的瞬态响应及性能指标
瞬态响应，是指系统的输出从输入信号r(t)作用时刻起， 到稳定状态为止，随时间变化的过程。分析系统的瞬态响应， 可以考查系统的稳定性和过渡过程的性能。分析系统的瞬态 响应，有以下方法：
图3-1 阶跃信号
图3-2 斜坡信号
（二）斜坡信号
斜坡信号在t =0时为零，并随时间线性增加，所以也叫等
速度信号。它等于阶跃信号对时间的积分，而它对时间的导 数就是阶跃信号。斜坡信号的表达式为：
At t 0
r(t) 0
t 0
(3.2)
（三）抛物线信号
抛物线信号也叫等加速度信号，它可以通过对斜坡信号 的积分而得。抛物线信号的表达式为：
r(t
)
1 2
At2
t 0
0
t0
（3.3）
当A =1时，则称为单位抛物线信号，如图3-3所示
（四）脉冲信号
单位脉冲信号的表达式为：
1
r(t) e
0
0t e t 0及t e
(3.4)
其图形如图3-4所示。是一宽度为e ，高度为1／e 的矩形 脉冲，当e 趋于零时就得理想的单位脉冲信号(亦称d(t) 函数)。
1. 直接求解法 2. 间接评价法 3. 计算机仿真法 本小节首先讨论典型输入信号、性能指标等内容，然 后讨论一阶、二阶系统的瞬态响应，最后讨论如何处理高阶 系统的瞬态响应问题。
一、典型输入信号 （一）阶跃信号
阶跃信号的表达式为：
A
t 0
r (t ) 0
t 0
(3.1)
当A=1时，则称为单位阶跃信号，常用1(t)表示，如图3-1 所示。
t 0
K
(3.13)
因此
，
c1 (t)
K
t
当t= T时，c1(t)曲线到达稳态值，即
c1 (T )
K
T
K K 1
T
K 1
（二）二阶系统的阶跃响应
在工程实际中，三阶或三阶以以上的系统，常可以近似 或降阶为二阶系统处理。
图3-10是典型二阶系统的结构图，它的闭环传递函数 为GBFra bibliotek(s)
s2
w
2 n
2w n s
图3-8 一阶控制系统
该一阶系统的闭环传递函数为
GB (s)
C(s) R(s)
1
K
s
K
s
K / (K 1) /
(3.7)
当系统输入为单位阶跃信号时，即r(t)=1(t)或R(s)=1/s，输 出响应的拉氏变换为
C(s)
s
K / (K 1) /
1 s
K
/(K s
1)
K /(K 1)
动输入为主要输入，所以常以系统对单位扰动输入信号时的 响应特性来衡量瞬态性能。这时参考输入不变、输出的希望 值不变，响应曲线围绕原来工作状态上下波动，如图3-7所 示。
三、瞬态响应分析
（一）一阶系统的瞬态响应
可用一阶微分方程描述其 动态过程的系统，称为一 阶系统。考虑如图3-8所示
的一阶系统，它代表一个电 机的速度控制系统，其中t 是电机的时间常数。
一般对有振荡的系统常用“(3)”，对无振荡的系统常用“(1)”。
4. 峰值时间tp——响应曲线到达第一个峰值所需的时间，定义 为峰值时间。
5. 调整时间ts——响应曲线从零开始到进入稳态值的 95%~105%（或98%~102%）误差带时所需要的时间，定 义为调整时间。
图3-6 单位阶跃响应
返回
对于恒值控制系统，它的主要任务是维持恒值输出，扰
从中可以看出，响应曲线在经过3T（5%误差）或4T（2%误差） 的时间后进入稳态。
c(t) K K e(K 1) t / K 1 K 1
如果系统响应曲线以初始速率继续增加，如图3-9中
的c1(t)所示，T还可定义为c1(t)曲线达到稳态值所需要
的时间。
dc(t) dt
t 0
K e (K 1)t /
e() lim e(t) lim[r(t) c(t)] 1 c() 1 (3.11)
t
t
K 1
不可能为零。 系统的时间常数为
T
K 1
(3.12)
它可定义为系统响应达到稳态值的63.2%所需要的时间。
由式(3.9)，很容易找到系统输出值与时间常数T的对应关系：
t = T， c(1T) = 0.632 c(∞) t = 2T， c(2T) = 0.865c(∞) t = 3T， c(3T) = 0.950c(∞) t = 4T， c(4T) = 0.982c(∞)