十一、线性规划、直线与圆的方程2(必修二)

合集下载

高中数学必修2直线和圆

第2、3章直线与圆1．斜率公式：（1）角公式：tan k α=，α是直线的倾斜角（2）点公式：2121y y k x x -=-，必须已知两点 111(,)P x y 、222(,)P x y2．直线方程的五种形式：(1)点斜式：11()y y k x x -=- (直线过点111(,)P x y ，斜率为k )(2)斜截式：y kx b =+ ( 斜率为k ，截距b 。

b 为直线l 在y 轴上的截距。

截距可以是负数、0、正数) (3)两点式：112121y y x x y y x x --=-- (直线过111(,)P x y 、222(,)P x y 12x x ≠， 12y y ≠ ).(4)截距式：1=+bya x (a 为直线l 在x 轴上的截距，b 为直线l 在y 上的截距。

截距可正可负 )(5)一般式：0Ax By C ++=3．两条直线的位置关系：若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,则： ① 1l ∥2l 21k k =⇔,21b b ≠； ②12121l l k k ⊥⇔=-. 4．四个重要个公式:（1）线段AB 的中点M 的坐标公式：(,)22A BA Bx x y y M ++（2）两点距离： A 、B的距离：AB =（3）点线距离：点P （x 0，y 0）到直线Ax+By+C=0的距离：2200BACBy Ax d +++=；（4）平行线距离：两条平行线Ax+By+C 1=0与 Ax+By+C 2=0的距离2221BAC C d +-=5．圆的方程： ⑴标准方程：①222)()(r b y a x =-+- ；其中圆心为(,)a b ，半径为r（2）一般方程：022=++++F Ey Dx y x。

圆心（-2D ，-2E ）；半径r =6．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法） “圆心”就是“点” ⑴点与圆的位置关系：（先计算：d 两点距离、半径R ，再作以下判断） ①⇔=R d 点在圆上；②⇔<R d 点在圆内；③⇔>R d 点在圆外。

高一数学必修二《圆与方程》知识点整理(20200219214201)

y y1 y2
3
2
BD AB
③内角平分线定理：
CD AC
④定比分点公式： AM MB
⑤韦达定理 .
，则 xM xA
xB ， yM yA
yB
1
1
6
x2 y2 Dx Ey F 0 D 2 E 2 4F 0
1. Ax2 By2 Cxy Dx Ey F 0表示圆方程则
AB 0
C0
2
D A
2
E
F
4
0
A
A
AB0 C0 D 2 E 2 4 AF 0
2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：
3. D 2 E 2 4F 0 常可用来求有关参数的范围
三、圆系方程：四、参数方程：五、点与圆的位置关系
x2 y2 D2x E2 y F2 0 （
1）
说明： 1）上述圆系不包括 C2 ； 2）当
1 时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）
（ 2 ）过直线 A x B y C 0 与圆 x2 y2 Dx Ey F 0 交点的圆系方程为
x2 y2 Dx Ey F
Ax By C 0
（3）有关圆系的简单应用（4）两圆公切线的条数问题 ①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线十、轨迹方程（1）定义法（圆的定义）：略（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式——轨迹方程 .
2
2
d PA PB ，求 d 的最值及对应的 P 点坐标 .
2
2
4.已知圆 C ： x 1 y 2 25 ，直线 l ： 2m 1 x m 1 y 7m 4 0（ m R ）

高中数学必修二《直线与圆的方程的应用》PPT

2k(k 2)
∴x1+x2= k 2 1
得
x y
k(k 2)
2
k2
1
kx
,
1
(k
为参数).
∴消去 k 得 P 点的轨迹方程为 x2+y2-x-2y=0,
当 k 不存在时，中点 P(1,0)的坐标也适合方程。
1
5
∴P 的轨迹是以点( 2 ,1)为圆心, 2 为半径的圆.
思维升华
思路一，数形结合,利用平面几何知识等，有时能使求解过程变得非常简洁。
作业:习题4.2 B组2、3、5。
分析：建立直角坐标系→求出 P2 的纵坐标 →支柱 A2P2 的高度
应用示例
解：建立图 4.2-6 所示的直角坐标系，则 P（0，4），B（10，0）都在圆上。
设圆的方程为： x2 y b2 r 2
02 4 - b2 r 2
b 10.5
得
10
2
0 b2
r2
解得 r 2
14.52
∴点
P
的轨迹是以点(
1 2
,1)为圆心,
5 2
为半径的圆。
应用示例
思路二:参数法设 MN 所在的直线方程为 y-2=k(x-1)(k 存在时)，M(x1，y1)，
N(x2，y2)，P(x，y)，
x 2 y 2 9,
则
y
kx
(2
k),消
y,得(1+k2)x2+2k(2-k)x+k2-4k-5=0.
思路二,代表了解析几何的基本思路和基本方法,即
f (x, y) 0,
g(x, y) 0, 消 y(或 x)得关于 x(或 y)的一元二次方程 Ax2+Bx+C=0,再利用求根公式、判别式、韦达定理等得解。

必修2解析几何---圆的方程+直线与圆

（2）
已知 x1，x2 是方程 x2＋csoins
θ θ
x－sin1 θ
＝0 的两个不同的实根，那么过两点
A（x1，x12），B（x2，x22）（x1≠x2）的直线与圆 x2＋y2＝1 的位置关系是
.
圆的切线与弦长问题例 3.（1）直线 x＋ 3y－2＝0 与圆 x2＋y2＝4 相交于 A，B 两点，则弦 AB 的长度等于________
相交
2
4.圆的切线方程求圆的切线方程，常用两种方法：
（1）代数法：将直线方程代入圆的方程中，消去一个未知数（x 或 y），令一元二次方程的判别式等于 0，求出相关参数. （2）几何法：将圆的切线方程设为一般式，根据圆心到直线的距离等于半径，求出相关参数.
5.直线被圆截得的弦长的求法（1）几何法：运用弦心距 d、半径 r 和弦长的一半构成直角三角形，计算弦长|AB|＝2 r2－d2. （2）代数法：设直线 y＝kx＋m 与圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 相交于点 M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去 y，得关于 x 的一元二次方程，求出 xM＋xN 和 xM·xN，则|MN|＝ 1＋k2· （xM＋xN）2－4xM·xN.
解析几何之直线与圆
知识梳理
1.圆的定义及方程定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）
标准方程
（r>0）
一般方程
（D2＋E2－4F>0）
2.点与圆的位置关系
点 M（x0，y0）与圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2 的位置关系：
（1）若 M（x0，y0）在圆外，则
.
（2）若 M（x0，y0）在圆上，则
10．已知线段 AB 的端点 B 的坐标是（4，3），端点 A 在圆（x+1）2+y2=4 上运动，求线段 AB 的中点轨迹方程．

高中数学必修2直线与圆的方程

直线与圆的方程【基础知识归纳】 1．直线方程 (略) 4. 圆的方程 (2)圆的方程标准式一般式：220xy Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）.其中圆心为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭参数方程:cos sin x r y r αα=⎧⎨=⎩，cos (sin x a r y b r ααα=+⎧⎨=+⎩是参数）. 5. 点与圆的位置关系判断点(,)P x y 与圆2()x a -+22()y b r -=的位置关系代入方程看符号.6.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有：相离、相切和相交.有两种判断方法：（1）代数法：（判别式法）0,0,0∆>∆=∆<时分别相离、相交、相切.（2）几何法：圆心到直线的距离,,d r d r d r >=<时相离、相交、相切.7．弦长求法（1）几何法：弦心距d ，圆半径r ，弦长l ，则2222l d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（2）解析法：用韦达定理，弦长公式.8．圆与圆的位置关系看|O 1O 2|与22r r +和|22r r -|的大小关系.【典型例题解析】题型2 ：直线的斜率【例2】（安徽卷）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A．[ B．(C．,33⎡-⎢⎣⎦D．33⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭【答案】C 题型3 直线的方程【例3】（浙江）直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（）Ａ．210x y +-= Ｂ．210x y +-=Ｃ．230x y +-=Ｄ．230x y +-= 【答案】D题型4：直线方程的综合题【例4】（江苏）在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A (0,a ),B (b ,0),C (c ,0) ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP ,CP 分别交AC , AB 于点 E ,F ，一同学已正确算的OE 的方程：11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，请你求OF 的方程： ___________________. 【答案】11110x y c b p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】直线AB 的方程为1=+ayb x ①直线CP 的方程为1=+p yc x ② ②-①得11110x y c b p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线AB 与CF 的交点F 坐标满足此方程，原点O 的坐标也满足此方程，所以OF 的方程为11110x y c b p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 若敢于类比猜想，交换x 的系数中b 、c 的位置，便很快可得结果.题型5：直线与直线的位置关系【例5】（福建）已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则a 等于 ( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．1-【答案】 D 题型6：点与直线的位置关系【例6】（湖南）圆224x y x +--4100y -=上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是 ( )A ．36B . 18 C. 26 D . 25【答案】C 题型7：平行线间的距离【例7】（四川）如图，1l 、2l 、3l 是同一平面内的三条平行直线，1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在1l 、2l 、3l 上，则△ABC 的边长是 ( )A ．23 B ．364 C ．3174 D ．2213【答案】D 【解析】过点Ｃ作2l 的垂线4l ，以2l 、4l 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系．设(,1)A a 、(,0)B b 、(0,2)C -，由AB BC AC ==知222()149a b b a -+=+=+=边长2，检验A ：222()14912a b b a -+=+=+=，无解；检验B ：22()14a b b -+=+23293a =+=，无解；检验D ：22()14a b b -+=+22893a =+=，正确.题型8：动点的轨迹方程【例8】（四川）已知O 的方程是2220x y +-=，'O 的方程是22x y +8100x -+=，由动点P 向O 和'O 所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是_________________【答案】32x =【解析】O ：圆心(0,0)O ，半径2r =；'O ：圆心'(4,0)O ，半径'6r =．设(,)P x y ，由切线长相等得222x y +-=2238102x y x x +-+⇒=．【例9】（上海）如图9-1-4，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧 ( )Ａ．弧ABB ．弧BC C ．弧CDD ．弧DA 【答案】D【解析】分别在弧AB 、弧BC 、弧CD 、弧DA 上任意取一点Q ，只有在弧DA 上的点Q 满足不存在Ω中的其它点优于Q ，故选D ．【例10】（北京）平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是 ( )A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支【答案】A【解析】如图9-1-5所示，因为过定点A 的动直线l 与AB 垂直，直线l 绕定点A 旋转形成一个平面，这个平面与平面α相交，有一条交线，点C 在这条交线上，所以点C 的轨迹是这条交线．故选A ．题型9：圆的方程【例11】(重庆)以点（2，－1）为圆心且与直线3450x y -+=相切的圆的方程为（）A ．22(2)(1)3x y -++= B ．22(2)(1)3x y ++-= C ．22(2)(1)9x y -++= D ．22(2)(1)3x y ++-=【答案】C【例12】（福建)若直线3x +4y +m =0与圆 ⎩⎨⎧+-=+=θθsin 2cos 1y x （θ为参数）没有公共点，则实数m 的取值范围是 .题型10：直线与圆的位置关系【例13】（辽宁）已知圆C 与直线x －y ＝0 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为（）A.22(1)(1)2x y ++-=B.22(1)(1)2x y -++=C.22(1)(1)2x y -+-= D. 22(1)(1)2x y +++=【答案】B题型11：圆与圆的位置关系【例14】（山东）与直线x y +-20=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是_____ABCDO xy Ω αCB A【答案】22(2)(2)2x y -+-=【解析】曲线化为22(6)(6)18x y -+-=，其圆心到直线20x y +-=的距离为6625 2.2d +-==所求的最小圆的圆心在直线y x =上，其到直线的距离为2，圆心坐标为(2,2).标准方程为22(2)(2)2x y -+-=.【重点方法提炼】（1）在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次要注意倾角的范围．（2）在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”造成丢解的情况.如题目条件中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m 倍（m ＞0）”等时，采用截距式就会出现“零截距”，从而丢解.此时最好采用点斜式或斜截式求解．（3）在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止由于“无斜率”，从而造成丢解.如在求过圆外一点的圆的切线方程时或讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，或讨论两直线的平行、垂直的位置关系时，一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论．（4）有关圆的问题解答时，应注意利用圆的平面几何性质，如圆与直线相切、相交的性质，圆与圆相切的性质，这样可以使问题简化．（5）对本章中介绍的独特的数学方法——坐标法要引起足够重视．要注意学习如何借助于坐标系，用代数方法来研究几何问题，体会这种数形结合的思想．（6）首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终．【实战演习】一．选择题 1．（湖南重点中学联考）过定点()2,1P作直线l 分别交x 轴、y 轴正向于A 、B 两点，若使△ABC （O 为坐标原点）的面积最小，则l 的方程是（）A.30x y +-= B.350x y +-= C.250x y +-= D.240x y +-=2．（湖北重点中学联考）若P （2，－1）为圆（x －1）2+y 2=25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）A.x －y －3=0B.2x +y －3=0C.x +y －1=0D.2x －y －5=0 3.（陕西）过原点且倾斜角为60︒的直线被圆学2240xy y +-=所截得的弦长为（）A .3 B .2 C .6 D .234.（宁夏海南）已知圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为 ( )A .2(2)x ++2(2)y -=1 B .2(2)x -+2(2)y +=1 C .2(2)x ++2(2)y +=1 D .2(2)x -+2(2)y -=1 5.（重庆）直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（）A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离 6.（重庆）圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A ．22(2)1xy +-=B ．22(2)1xy ++= C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．22(3)1xy +-=7．（湖北）过点(11,2)A 作圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有（）A.16条B. 17条C. 32条D. 34条8．（北京）过直线y x =上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线12l l ，，当直线12l l ，关于y x =对称时，它们之间的夹角为（）A ．30 B ．45 C ．60 D ．90二．填空题 9．（上海）已知1:210l x my ++=与2:31l y x =-，若两直线平行，则m 的值为____________.10.（天津）已知圆C 的圆心与点(2,1)P -关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ，则圆C 的方程为____________． 11.（四川）若⊙221:5O xy +=与⊙222:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 w . 12.（全国）若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是: ①15②30 ③45 ④60⑤75其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）13.（天津）若圆224xy +=与圆22260x y ay ++-=（a >0）的公共弦的长为23，则a =___________.14．（辽宁）已知圆C 与直线x －y ＝0 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为_____________. 三．解答题15．（广西重点中学第一次联考）设直线l 过点A （2，4），它被平行线 x –y +1=0与x -y -l=0所截得的线段的中点在直线x +2y -3=0上，求直线l 的方程.16．（北京）已知菱形ABCD 的顶点A C ，在椭圆2234x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为1．（Ⅰ）当直线BD 过点(01)，时，求直线AC 的方程；（Ⅱ）当60ABC ∠=时，求菱形ABCD 面积的最大值．17．（江苏）设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数()()22f x x x b x R =++∈的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C ．求：（Ⅰ）求实数b 的取值范围；（Ⅱ）求圆C 的方程；（Ⅲ）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论． 18．(海淀一模)在平面直角坐标系中，N 为圆A ：16)1(22=++y x 上的一动点，点B （1，0），点M 是BN 中点，点P 在线段AN 上，且.0=⋅BN MP（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；（Ⅱ）试判断以PB 为直径的圆与圆22y x+=4的位置关系，并说明理由. 19．（西城一模）在面积为9的ABC ∆中，4tan 3BAC ∠=-，且DB CD 2=.现建立以A 点为坐标原点，以BAC ∠的平分线所在直线为x 轴的平面直角坐标系，如图所示. （Ⅰ）求AB 、AC 所在的直线方程；(Ⅱ)求以AB 、AC 所在的直线为渐近线且过点D 的双曲线的方程；(Ⅲ)过D 分别作AB 、AC 所在直线的垂线DF 、DE （E 、F 为垂足），求DE DF ⋅的值. 20.（朝阳一模）已知点,A B 分别是射线()1:0l y x x =≥，2:l y x =-()0x ≥上的动点，O 为坐标原点，且OAB ∆ 的面积为定值2．(Ⅰ）求线段AB 中点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点()0,2N 作直线l ，与曲线C 交于不同的两点,P Q ，与射线12,l l 分别交于点,R S ，若点,P Q 恰为线段RS 的两个三等分点，求此时直线l 的方程．参考答案一．选择题1．【答案】D 【解析】由题设，可知12ABCS ab ∆=，且211a b+=， ∴222ab a b a b =+≥⋅22228.ab ab ab =⋅⇒≥⇒≥且仅当2422a b a b a ab b ==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩时，8ab =.∴ l 的方程为：1240.42x y x y +=⇒+-= ∴应选D.2．【答案】A 【解析】由（x －1）2+y 2=25知圆心为Q （1，0）.据k QP ·k AB =－1，∴k AB =－QPk 1=1（其中k QP =1201---=－1）.∴AB 的方程为y =（x －2）－1=x －3，即x －y －3=0.∴ 应选A. 3. 【答案】D 【解析】直线方程3y x =,圆的方程为：22(2)4x y +-=∴圆心(0,2)到直线的距离223021(3)(1)d ⨯-==+-，由垂径定理知所求弦长为 *2222123d =-=，选D .4.【答案】B 【解析】设圆2C 的圆心为（a ，b ），则依题意，有111022111a b b a -+⎧--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得22a b =⎧⎨=-⎩，对称圆的半径不变，为1.5.【答案】B 【解析】圆心(0,0)为到直线1y x =+，即10x y -+=的距离2d ==，而012<<，选B. 6.【答案】A 【解法】设圆心坐标为(0,)b ，1=，解得2b =，故圆的方程为22(2)1x y +-=.7．【答案】C 【解析】由已知得圆心为P(-1，2)，半径为13，显然过A 点的弦长中最长的是直径，此时只有一条，其长度为26，过A 点的弦长中最短的是过A 点且垂直于线段PA 的弦，也只有一条，其长度为10（PA 的长为12，弦长=2221213-=10），而其它的弦可以看成是绕A 点不间断旋转而成的，并且除了最长与最短的外，均有两条件弦关于过A 点的直径对称，所以所求的弦共有2（26-10-1）+2=32．故选C ．8．【答案】C 【解析】此圆的圆心为C （5，1），半径2=r .设直线x y l =:上的点P 符合要求，连结PC ，则由题意知l PC ⊥，又22215=-=PC .设2l 与⊙C 切于点A ，连结AC ，则2=AC .在PAC ∆Rt 中，21=PCAC ，∴︒=∠30APC ， ∴l 1与l 2的夹角为60°. 故选C. 二．填空题9．【答案】32-【解析】 2123113m m =≠⇒=---. 10.【答案】22(1)18x y ++=.【解析】圆C 的圆心与P （－2,1）关于直线y =x +1对称的圆心为(0,-1),设该圆的方程为.)1(222R y x =++设AB 中点为M ，连结CM 、CA ，在三角形CMA 中22222304(1)113,5||3,3318,CM AM R CM MA ⨯+⨯--===∴=+=+=又故圆的方程为.18)1(22=++y x11.【答案】4【解析】由题知)0,(),0,0(21m O O ，且53||5<<m ，又21AO A O ⊥，所以有525)52()5(222±=⇒=+=m m ∴452052=⋅⋅=AB .12.【答案】①或⑤【解析】两平行线间的距离为211|13|=+-=d，由图知直线m 与1l 的夹角为o 30，1l 的倾斜角为o 45，所以直线m 的倾斜角等于00754530=+o或00153045=-o .13.【答案】1【解析】由知22260xy ay ++-=,222)3()1(6=---+a a 解之得1=a .14．【答案】22(1)(1)2x y -++=【解析】圆心在x ＋y ＝0上,结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可.三．解答题 15．【答案】3x -y -2=0【解析】由几何的基本的性质，被两平行线所截得的线段的中点一定在y =x 上，将x +2y -3=0与y =x 联立构成方程组解得交点的坐标为（1，1）点，又由直线l 过点A （2，4）由两点式得直线l 的方程为：3x -y -2=0. 16．【解析】（Ⅰ）由题意得直线BD 的方程为1y x =+．因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥．于是可设直线AC 的方程为y x n =-+．由2234x y y x n⎧+=⎨=-+⎩，得2246340x nx n -+-=．因为A C ，在椭圆上，所以212640n ∆=-+>，解得n <<．设A ，B 两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，，则1232nx x +=，212344n x x -=，11y x n =-+，22y x n =-+．所以122n y y +=．所以AC 的中点坐标为344n n ⎛⎫⎪⎝⎭，．由四边形ABCD 为菱形可知，点344n n ⎛⎫⎪⎝⎭，在直线1y x =+上，所以3144n n=+，解得2n =-．所以直线AC 的方程为2y x =--，即20x y ++=．（Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形，且60ABC ∠=，所以AB BC CA ==．所以菱形ABCD 的面积232S =．由（Ⅰ）可得22221212316()()2n AC x x y y -+=-+-= 所以S =234343316)n n ⎛-+<< ⎝⎭．所以当0n =时，菱形ABCD 的面积取得最大值4317．【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．（Ⅰ）令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是（0，b ）；令()220f x x x b =++=，由题意b ≠0 且Δ＞0，解得b ＜1 且b ≠0（Ⅱ）设所求圆的一般方程为：2x 20y Dx Ey F ++++=，令y ＝0 得20x Dx F ++=．这与22x x b ++＝0 是同一个方程，故D ＝2，F ＝b ．令x ＝0 得2y Ey +＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝―b ―1．所以圆C 的方程为222(1)0x y x b y b ++-++=.（Ⅲ）圆C 必过定点（0，1）和（－2，1）．证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，左边＝02＋12＋2×0－（b ＋1）＋b ＝0，右边＝0，所以圆C 必过定点（0，1）．同理可证圆C 必过定点（－2，1）． 18．【解析】由点M 是BN 中点。

高中数学第七章直线和圆的方程--线性规划与圆的方程

一、线性规划1．二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(x ,y )，把它的坐标（x ,y )代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）2. 目标函数, 线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域, 最优解:不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于t =a x +b y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.那么，满足线性约束条件的解（x ,y )叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在问题中，可行域就是阴影部分表示的区域.其中可行解),(),,(1100y x B y x A (一般是区域的顶点)分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解3．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）根据线性约束条件画出可行域（即不等式组所表示的公共区域）;（2）设t =0，画出直线0l ;（3）观察、分析，平移直线0l ，从而找到最优解),(),,(1100y x B y x A ;（4）最后求得目标函数的最大值及最小值二、曲线的方程和方程的曲线4．“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义：在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程0),(=y x f 的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解（纯粹性）(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（完备性）那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线定义的理解：在领会定义时，要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件．两者满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性．只有符合关系(1)、(2)，才能将曲线的研究转化为方程来研究，即几何问题的研究转化为代数问题．这种“以数论形”的思想是解析几何的基本思想和基本方法5．求曲线方程的一般步骤为：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M 的坐标；（2）写出适合条件P 的点M 的集合；(可以省略，直接列出曲线方程)（3）用坐标表示条件P （M ），列出方程0),(=y x f ;（4）化方程0),(=y x f 为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(可以省略不写,如有特殊情况，可以适当予以说明)三、圆的方程6．圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆B(-52,52)C(3,-3)A(3,8)x=3x+y=0x-y+5=0063x y x y (98,178)3x+5y=05x+3y-15=0x-y+1=0C BA O 3x-5y-3=0-1-1157. 圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-.两个基本要素：圆心),(b a C ，半径为r ，若圆心在坐标原点上，这时0==b a ，则圆的方程就是222r y x =+ 8．圆的一般方程：只有当0422>-+F E D 时，022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线才是圆，把形如022=++++F Ey Dx y x 的表示圆的方程称为圆的一般方程（1）当0422>-+F E D 时，①表示以（-2D ，-2E ）为圆心,F E D 42122-+为半径的圆；（2）当0422=-+F E D 时，方程①只有实数解2D x -=，2E y -=，即只表示一个点（-2D ，-2E ）; （3）当0422<-+F E D 时，方程①没有实数解，因而它不表示任何图形例1画出不等式2x +y -6＜0表示的平面区域.解：先画直线2x +y -6=0（画成虚线）.取原点（0，0），代入2x +y -6,∵2×0+0-6=-6＜0,∴原点在2x +y -6＜0表示的平面区域内，不等式2x +y -6＜0表示的区域如图：例2 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域.解：不等式x -y +5≥0表示直线x -y +5=0上及右下方的点的集合，x +y ≥0表示直线x +y =0上及右上方的点的集合，x ≤3表示直线x =3上及左方的点的集合.不等式组表示平面区域即为图示的三角形区域: 例3求z =3x +5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x 解：不等式组所表示的平面区域如图所示：从图示可知，直线3x +5y =t 在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t 最小，以经过点（817,89）的直线所对应的t 最大.所以z m in =3×(-2)+５×(-1)=-11.z m ax =3×89+5×817=14 例4 已知一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一个点到A （0，2）的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程解：设点),(y x M 是曲线上任意一点，MB ⊥x 轴，垂足是B ，那么点M 属于集合P ={M ｜｜MA ｜-｜MB ｜=2}即 y y x --+22)2(=2整理得 222)2()2(+=-+y y x , ∴281x y = 因为曲线在x 轴的上方，所以y ＞0，虽然原点O 的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知3x-4y-7=0r M C(1,3)xO y曲线，所以曲线的方程应是：281x y = (x ≠0) 例5 已知△ABC ，)2,0(),0,2(--B A ，第三个顶点C 在曲线132-=x y 上移动，求△ABC 的重心的轨迹方程解：设△ABC 的重心为G ),(y x ，顶点C 的坐标为),(11y x ，由重心坐标公式得320,30211y y x x +-=++-=⎩⎨⎧+=+=∴232311y y x x 代入13211-=x y 得31)23(322-+=+x y 31292++=∴x x y ，即为所求轨迹方程在这个问题中，动点C 与点G 之间有关系，写出C 与G 之间的坐标关系，并用G 的坐标表示C 的坐标，而后代入C 的坐标所满足的关系式化简整理即得所求,这种方法叫相关点法例6 求以C(1,3)为圆心，并且和直线0743=--y x 相切的圆的方程解：已知圆心坐标C(1,3)，故只要求出圆的半径，就能写出圆的标准方程因为圆C 和直线0743=--y x 相切，所以半径r 就等于圆心C 到这条直线的距离根据点到直线的距离公式，得516)4(3|73413|22=-+-⨯-⨯=r 因此，所求的圆的方程是 25256)3()1(22=-+-y x 例7求过三点)2,4(),1,1(),0,0(N M O 的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标解：设所求的圆的方程为：022=++++F Ey Dx y x ，∵)2,4(),1,1(),0,0(N M O 在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于F E D ,,的三元一次方程组，即⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=02024020F E D F E D F 解此方程组，可得：0,6,8==-=F E D ∴所求圆的方程为：06822=+-+y x y x 542122=-+=F E D r ；32,42-=-=-F D 得圆心坐标为（4，-3）. 或将06822=+-+y x y x 左边配方化为圆的标准方程，25)3()4(22=++-y x ,从而求出圆的半径5=r ，圆心坐标为(4,-3)例8 求圆心在直线x -y -4=0上，且经过两圆03422=--+x y x 和03422=--+y y x 的交点的圆的方程解：设经过两已知圆的交点的圆的方程为)1(0)34(342222-≠=--++--+λλy y x x y x则其圆心坐标为)12,12(λλλ++ ∵所求圆的圆心在直线04=--y x 上， ∴31,041212-==-+-+λλλλ ∴所求圆的方程为032622=-+-+y x y x。

十一、线性规划、直线与圆的方程1(必修二)

十一、线性规划、直线与圆的方程（必修二）１．若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则23x y z +=的最小值是（ B ）A ．0B ．1 CD ．9２．在平面直角坐标系中, 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x －y ＋4≥0x ≤a(a 为常数)表示的平面区域面积是9, 那么实数a 的值为（ D ）A ． 32＋2B ．－32＋2C ．－5D ．1３．经过25)2()1(22=++-y x 的圆心，且与向量)4 , 3( -=a 垂直的直线的方程是（ A ）A.01143=--y xB.01143=+-y xC.0134=-+y xD.0234=++y x ４．设],[b a X =，],[d c Y =都是闭区间，则“直积”},|),{(Y y X x y x Y X ∈∈=⨯表示直角坐标平面上的（ D ）A ．一条线段B ．两条线段C ．四条线段D ．包含内部及边界的矩形区域５．已知两点M （－5，0），N （5，0），给出下列直线方程：①5x－3y=0；②5x－3y －52=0；③x－y －4=0 ； ④4x－3y －15=0；在直线上存在点P 满足|MP|=|NP|+6的所有直线方程是（ B ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④６．取第一象限内的两点()()222111,,y x P y x P 、，使2,,,121x x 依次成等差数列，且2,,,121y y 依次成等比数列，则点1P 、2P 与射线)0(:>=x x y L 的位置关系是（ B ）A. 点1P 、2P 都在L 的上方.B. 点1P 、2P 都在L 的下方.C. 点1P 、2P 都在L 上.D. 点1P 在L 的下方，点2P 在L 的上方.７．不等式组202030{x y x y a x y -≥-+≤+-≤ 表示的平面区域被x 轴分成面积相等的两个部分，则a=_________-3８．如果实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-02 0202y x y y x ，那么y x z -=2的最小值为 .-10９．经过点（－2，3），且与直线250x y +-=垂直的直线方程为280x y -+=。

高一数学人教版A版必修二课件：4.2.3 直线与圆的方程的应用

反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 如图，一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________米.
解析答案
类型二坐标法证明几何问题例2 如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于H，求证：EF平分CD.
返回
|0－0＋m|
即 2 >1，故 m<－ 2.
解析答案
规律与方法
1.利用坐标法解决平面几何问题，是将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题，应用的是数学中最基本的思想方法：转化与化归的思想方法，事实上，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归. 所谓转化与化归思想是指把待解决的问题(或未解决的问题)转化化归为已有知识范围内可解决的问题的一种数学意识. 2.利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析、解决问题.
车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( B )
A.1.4 m
B.3.5 m
C.3.6 m
D.2.0 m
解析如图，
圆半径|OA|＝3.6，卡车宽1.6，
所以|AB|＝0.8，所以弦心距|OB|＝ 3.62－0.82≈3.5(m).
解析答案
1 23 4
2.据气象台预报：在A城正东方300 km的海面B处有一台风中心，正以每小时40 km的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km以内的地区将受其影响.从现在起经过约________h，台风将影响A城，持续时间约为________h(结果精确到0.1 h).

高中数学必修二直线与圆方面的知识点(K12教育文档)

高中数学必修二直线与圆方面的知识点(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学必修二直线与圆方面的知识点(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学必修二直线与圆方面的知识点(word版可编辑修改)的全部内容。

高中数学必修2知识点-—直线与圆整理徐福扬一、直线与方程（1)直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° (2）直线的斜率①定义:倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k 表示。

即tan k α=。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当[) 90,0∈α时，0≥k ；当() 180,90∈α时，0<k ；当 90=α时，k 不存在. ②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点:(1)当21x x =时，公式右边无意义,直线的斜率不存在，倾斜角为90°；（2）k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；（4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

(3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y 1。

当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x=x 1.②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b③两点式:112121y y x x y y x x--=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x y ab+=其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。

数学人教版必修2(B) 直线、圆的方程

直线、圆的方程一．课标要求：1．直线与方程（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；（3）根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系；2．圆与方程回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。

二．命题走向直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）有关问题，可与三角知识联系；圆的方程，从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程。

预测2007年对本讲的考察是：（1）2道选择或填空，解答题多与其他知识联合考察，本讲对于数形结合思想的考察也会是一个出题方向；（2）热点问题是直线的倾斜角和斜率、直线的几种方程形式和求圆的方程。

三．要点精讲1．倾斜角：一条直线L 向上的方向与X 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为[)π,0。

2．斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=t a n α;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在。

过两点p 1(x 1,y 1),p 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式:k=t a n 1212x x y y --=α（若x 1＝x 2，则直线p 1p 2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900）。

4．直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。

确定直线方程的形式直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。

5．圆的方程圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程为：)0()()(222>=-+-r r b y a x 。

高一(必修二)直线和圆

必修二第二章直线、圆1.直线理论（1）倾斜角),0[πα∈与斜率：2,tan παα≠=k ，)(211212x x x x y y k ≠--= （2）直线方程：①点斜式：)(00x x k y y -=-；②斜截式：b kx y +=；③两点式：121121x x x x y y y y --=--； ④截距式：1=+by a x ； ⑤一般式：),,(,0B C b A C a B A k C By Ax -=-=-==++ （3）直线系方程：①过定点的直线系：过定点),(00y x 的直线系)(00x x k y y -=-；②平行直线系：01=++C By Ax ；平行线距离：221||BA C C d +-=; ③垂直直线系；01=+-C Ay Bx ;（4）直线位置关系:①平行:0||12212121212121=-⇔≠=⇔=⇔B A B A C C B B A A k k l l ②重合：212121C C B B A A == ③相交：2121B B A A ≠，联立求交点； ④垂直：0121212121=+⇔-=⋅⇔⊥B B A A k k l l2.几个重要公式：（1）两点距离公式：),(),,(2211y x B y x A ，221221)()(||y y x x AB -+-=（2）中点坐标公式:A,B 中点)2,2(2121y y x x P ++（3）),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离：2200||B A C By Ax d +++=3.圆的方程：（1）标准方程：r b a C r b y a x ),,(,)()(222=-+-；（2）一般方程：24),2,2(,02222F E D r E D C F Ey Dx By Ax -+=--=++++ ①22,y x 项系数A=B;②没有xy 项；③0422>F E D -+（3）直线与圆的位置关系：①相离：d>r 或△<0;②相切：d=r 或△=0;③相交：d<r 或△>0;交弦长222d r l -=圆222r y x =+上点),(00y x P 所在的切线方程：200r yy xx =+（4）圆与圆的位置关系： ①相离：圆心距21r r d +>;②外切：21r r d +=；③相交：2121||r r d r r +-<<；④内切：||21r r d -=；⑤内含：||21r r d -<；（5）切线长：22r d l -=，d 为点心距；4.关于对称：点),(00y x（1）关于（a ，b ）对称：)2,2(00y b x a --（2）关于x 轴对称：),(00y x -；关于y 轴对称：),(00y x -；关于原点对称：),(00y x --（3）关于y=x 对称：),(00x y ；关于y=-x 对称：),(00x y --；（4）关于y=kx+b （k=±1）对称：),(00b kx kb y +- （5）关于直线0=++C By Ax 对称： )2,2(2200022000BA C By AxB y B AC By Ax A x +++⋅-+++⋅-直线相关题型：Eg1：直线y=kx+1与圆222=+y x 的位置关系；Eg2：直线x-2y+5=0与圆822=+y x 的交弦长；Eg3：经过圆0222=++y x x 的圆心C 且与直线x+y=0垂直的直线方程；Eg4：已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 正半轴上，直线l ：y=x-1被圆C 截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线方程；Eg5：已知直线y=ax-2和直线y=(a+2)x+1相互垂直，求a ；Eg6：求点P （4,5）关于直线3x-y+3=0的对称点；Eg7：直角坐标系中，点（-1，a ）在直线x+y-3=0的右上方，求a ；Eg8：直线x+2y=2与x 轴，y 轴分别交于A,B 两点，若动点P （a ，b ）在线段AB 上，则求ab 的最大值； Eg9：直角坐标系中，矩形OABC ，O （0,0），A （2,0），C （0,1），将矩形折叠，使得O 点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，求k ；Eg10：圆O 的半径为1，PA,PB 为该圆的两条切线，A,B 为两切点，求PB PA ⋅的最小值；Eg11：半径为1的圆分别与y 轴正半轴和射线)0(,33≥=x x y 相切，求方程； Eg12：过圆018222=+--+y x y x 内点E （0,1）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，求ABCD 的面积；Eg13：曲线C ：04542222=-+-++a ay ax y x 上所有点都在第二象限内，求a ；Eg14：圆C 的圆心与点（1,-2）关于直线l ：x-y+1=0对称，且圆与l 相切，且方程；Eg15：圆C 的圆心与点（-2,1）关于y=x+1对称，圆与3x+4y-11=0的交弦长|AB|=6，求圆C 的方程； Eg16：圆心在)0(1>=x xy 上且与直线x+y=0相切的最小圆方程；、 Eg17：直线l 与圆)3(04222<=+-++a a y x y x 的交弦中点为（0,1），求l 方程；Eg18：直线x+y=1与圆)0(0222>=-+a ay y x 无公共点，求a ；Eg19：求圆0104422=---+y x y x 上点到直线x+y-14=0的最大最小距离差；Eg20：点P 在直线x+y+3=0上，过P 的直线与圆16)5(22=+-y x 只有一个公共点M ，求|PM|的最小值； Eg21:求圆522=+y x 上点（1,2）所在切线与两坐标轴围成的三角形面积；Eg22：圆C 关于x-2y+1=0对称且圆心在x 轴上，圆C 与y 轴相切，求圆C 方程；Eg23：判断圆044222=-+-+y x y x 与直线2tx-y-2-t=0的位置关系； Eg24：直线y=2x 和圆122=+y x 交于A,B ，以Ox 为始边，OA,OB 为终边的角分别为βα,，求)s i n (βα+；。

人教版2017高中数学(必修二)4.2.3 直线与圆的方程的应用PPT课件

目标导航
重难聚焦
典例透析
题型一
题型二
题型一
用坐标法证明几何问题
【例1】如图,在半径为1的圆O上任取点C为圆心,作一圆与圆O的直径AB相切于点D,圆C与圆O交于点E,F.求证:EF平分CD.
目标导航
重难聚焦
典例透析
题型一
题型二
证明:以AB所在直线为x轴,以AB的中点O为原点建立平面直角坐标系,如图所示,则圆O的方程为x2+y2=1.①
4.2.3 直线与圆的方程的应用
-1-
目标导航
重难聚焦
典例透析
1.能利用直线与圆的方程解决平面几何问题. 2.能利用直线与圆的方程解决简单的实际生活问题.
目标导航
重难聚焦
典例透析
解决与圆相关的实际问题的步骤剖析:解决此类问题的基本步骤如下: (1)阅读理解,认真审题. 做题时,读懂题中的文字叙述,理解叙述中所反映的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学实质,尤其是理解叙述中的新名词、新概念,进而把握新信息.在此基础上,分析出已知什么,求什么,涉及哪些知识,以确定变量之间的关系.审题时要抓住题目中关键的量,实现应用问题向数学问题的转化.
目标导航
重难聚焦
典例透析
(2)引进数学符号或圆的方程,建立数学模型. 根据已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立方程(组)或函数关系式,将实际问题转化为一个数学问题,实现问题的数学化,即建立数学模型.如果题目已经告知曲线是圆,则需要建立适当的平面直角坐标系,设出圆的方程,为求解方程或计算做准备. (3)利用数学的方法将得到的常规数学问题(即数学模型)予以解答,求得结果. (4)翻译成具体问题.
目标导航

必修2 解析几何初步直线与圆二

- 1 -解析几何初步直线与圆二补充一、四种常用直线系方程 1、定点直线系方程：过定点000(,)P x y 的直线系方程为 )(00x x k y y -=- (除0x x =), 其中k 是待定系数；过定点000(,)P x y 的直线系方程为0)()(00=-+-y y B x x A ，其中,A B 是待定系数．2、平行直线系方程：与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0=++λBy Ax (C λ≠)，λ是参数． 3、垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++=(A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0=+-λAy Bx ,λ是参数 4、共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111C y B x A ++0)(222=+++C y B x A λ (除2l )，其中λ是待定系数．注: 曲线恒过定点问题,着重理解共点直线(曲线)系的概念. 二、圆系方程1、过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是F Ey Dx y x ++++22)(C By Ax +++λ0=, λ是待定的系数．2、过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F++++=的交点的圆系方程是+++++11122F y E x D y x 0)(22222=++++F y E x D y x λ,λ是待定的系数． 3、☆两圆相交弦所在直线方程的求法：圆1C 的方程为：011122=++++F y E x D y x .圆2C 的方程为022222=++++F y E x D y x . 把两式相减得相交弦所在直线方程为：0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 。

北京期末数学分类解析线性规划直线与圆的方程(必修二)

十一、线性规划、直线与圆的方程1.（2011年东城区期末理3）已知实数,x y 满足条件10,10,10,x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩那么2x y -的最大值为（ C ） A ．-3 B ．-2 C ．1 D ．22.（2011年东城区期末理6）直线0=+++b a by ax 与圆222=+y x 的位置关系为（ D ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．相交或相切3．（2011年朝阳期末理6）若A 为不等式组0,0,2x y y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≥≤ 表示的平面区域，则a 从-2连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为（ D ）A．．．72 D ．744.（2011年东城区期末文4）直线l 过点(4,0)-且与圆22(1)(2)25x y ++-=交于,A B 两点，如果||8AB =，那么直线l 的方程为（ D ）A ．512200x y ++=B ．512200x y -+=或40x +=C ．512200x y -+=D ．512200x y ++=或40x +=5.（2011年海淀期末文5）点(2,)P t 在不等式组4030x y x y --≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域内，则点(2,)P t 到直线34100x y ++=距离的最大值为( B )A.2B. 4C. 6D.86．（2011年朝阳期末文2）已知圆的方程为086222=++-+y x y x ，那么下列直线中经过圆心的直线方程为（ B ） A ．012=+-y x B ．012=++y xC ．012=--y xD ．012=-+y x7．（2011年昌平期末文6）已知倾斜角为600的直线 l 过圆C: 0222=++y x x 的圆心，则此直线l 的方程是（ D ）A.013=++y xB. 013=+-y xC. 013=++y xD. 033=+-y x8．（2011年房山区期末文12）已知变量,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+20020x y x y x ，则目标函数2z x y =-的最大值为．答案：12. 6.9．（2011年房山区期末文13）已知圆C 的圆心是直线10x y --=与x 轴的交点，且圆C 与直线3420x y -+=相切，则圆C 的方程为．答案： 22(1)1x y -+=.10．（2011年昌平期末理11）已知点P(x,y)的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥82y x x y x ，点O 为坐标原点，那么|PO|的最大值等于____________.答案：210 。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

卜一、线性规划、直线与圆的方程（必修二）
第一部分线性规划
1.已知点（x, y ）所在的可行域如图 2所示•若要使目标函数
z =ax ■ y 取得最大值的最优解有无数多个，则
1 5 A • 4 B • - C • - D
4
3
2x — y —2 兰0
2.若实数x, y 满足不等式组
’则2x - y 的最大值是（B ）
x 30, y -0-
A . 5
B . 6
C . 7
D . 8
"x - y + 8 K 0
3.设一元二次不等式组
2x y -14乞0所表示的平面区域为 M,使函数y =a x 的图象过
x 2y -19 _0
区域M 的a 取值范围是(D ) A. [2,
.10] B . [ ..10, 9] C . (2, 9)
4.在“家电下乡”活动中，某厂要将 100台洗衣机运往邻近的乡镇•现有4辆甲型货车和8
辆乙型货车可供使用•每辆甲型货车运输费用
400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输
费用300元，可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（B ）
a 的值为（D ）
3 5
D
x
A.2000 元
B.2200 元
C.2400 元
D.2800 元
y 沁
x y _2
6.已知点P （x, y ）满足约束条件 y
- 3x -6，则z = x - 2y 的最大值是（
2
y ■ x 的最小值为（D ）
x - y 2 丄 0
10 .如果实数x, y 满足条件 y • 2 _ 0 ，那么z =2x - y 的最小值为 _______________ 。

答案：-6。

x y 2 岂 0
x_2,
y _1, 所表示的平面区域为 M 若曲线 x 2y -6 _0
经过区域M 则实数m 的取值范围是（D ）
3
「
3
3
A
. （-口） B .
15,
：：
C .
,15） D
. [—
,15]
5 •设二元一次不等式组
x 2 「my 2 二 1 总
(A ) -3
(B ) -2
(C) -1
(D ) 2
7.如果实数 A. 2
x - y 1 _0
x 、y 满足条件 y • 1 _ 0 ，那么2x - y 的最大值为（
x y 1 乞 0
C
.-3
&在平面直角坐标系中，不等式组
（一；为常数）表示的平面区域的面积是 4,则
A . 2
B . -2 C
.-4
x _0
9.设x, y 满足约束条件 y _ x
，则
4x 3y 叮2
x 2y 3 x 1
取值范围是（D ）
A.[1,5]
B.[2,6]
C. [3,10]
D.[3,11]
x y 2 亠 0
11.设x, y 满足约束条件』x+2y+1兰0，贝V z=(x+1)2+(y- 2)2的最小值是 ________________
y >0
16
答案：
16
5
3x —y —6 辽0,
12.设x , y 满足约束条件 x 「y ^2_0,若目标函数z=ax+by(a . 0 , b 0 )的最大值为 x 亠0, y 丄0. 1 3
12,则丄的最小值为
a 2b
第二部分
直线与圆的方程
:•，且 sin ：：£ 亠 cos, - 0，则 a, b 满足(D )
2.经过抛物线y 2 =4x 的焦点，且方向向量为 a =（1厂2）的直线I 的方程是（B ）
A. x-2y-1=0 B . 2x y-2=0 C. x 2y_1=0
D
. 2x-y-2=0
3 .直线x - y • m =0与圆x 2 • y 2 -2x -1 = 0有两个不同交点的一个充分不必要条件是（C ） A . -3 m ：： 1 B . -
4 m ：： 2 C . 0 :: m :: 1 D . m 1
4.若圆x 2 + y 2— 4x —4y — 10= 0上至少有三个不同的点到直线则直线l 的倾斜角的范围是(B )
5.已知直线l 与直线x-y-1 = 0垂直，则I 的倾斜角〉=—. 135
2 2
6.与直线x - y - 4 =0和圆x y • 2x -2y =0都相切的半径最小的圆的方程是 _________ .
答案：(x-1)2+(y+1)2=2
答案:
25 12
1.设直线ax by • c = 0的倾斜角为 A . a b =1 B
ab=0 D . a-b = 0
l : ax + by = 0的距离为2 2 ,
A .[二
-]
B
12 4
-益 52
] C
- F 7
D . [0,-]
2
7.已知圆C ： x 2 y 2 Dx Ey • 3 = 0 ,圆C 关于直线x • y ―仁0对称，圆心在第二象限，半径为.2 .
⑴求圆C 的方程；
⑵已知不过原点的直线I 与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等，求直线 I 的方程。

2
2
D E
解：⑴由x 2 y 2 Dx Ey ^0知圆心C 的坐标为（，）
•••圆C 关于直线x • y _仁0对称 •••点（-D, -勻在直线x • y -1
4
又
•••圆心C 在第二象限
• D . 0, E :：: 0 由①②解得D=2,E=
•所求圆C 的方程为：x 2亠y 2亠2x - 4y 亠3 = 0 ................... 6分 ⑵丁切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，设
| : x • y =.二
v 圆 C:(x 1)2
(y -2)2 =2
---1 或3。

故所求切线方程x y = 1或
x y - 3 = 0
.圆心C （-1 , 2）到切线的距离等于半径
10分
(
, )在直线x ■ y -1 = 0上
2 2
即D+E 亠2,① .......................
2分
• D . 0, E :：: 0 由①②解得 D=2,E=-4
12分。