第七章 实数的完备性

第七章实数的完备性
§ 1 关于实数集完备性的基本定理
一区间套定理与柯西收敛准则
定义1 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件ⅰ）对, 有, 即, 亦即后一个闭区间包含在前一个闭区间中;
ⅱ）. 即当时区间长度趋于零.
则称该闭区间序列为闭区间套, 简称为区间套 .
区间套还可表达为:
.
我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列和, 其中递增,递减.
例如和都是区间套. 但、和都不是.
区间套定理
定理7.1(区间套定理) 设是一闭区间套. 则在实数系中存在唯一的点, 使对有
. 简言之, 区间套必有唯一公共点.
二聚点定理与有限覆盖定理
定义设是无穷点集. 若在点(未必属于)的任何邻域内有的无穷多个点, 则称点为的
一个聚点.
数集=有唯一聚点, 但;
开区间的全体聚点之集是闭区间;
设是中全体有理数所成之集, 易见的聚点集是闭区间.
定理 7.2 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.
聚点原理 :Weierstrass 聚点原理.
定理7.3 每一个有界无穷点集必有聚点.
列紧性: 亦称为Weierstrass收敛子列定理.
四． Cauchy收敛准则——数列收敛的充要条件 :
基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy 列.
例1 验证以下两数列为Cauchy列 :
⑴.
⑵.
解⑴
;
对，为使，易见只要.
于是取.
⑵
.
当为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , 有
,
又
.
当为奇数时,
.
综上 , 对任何自然数, 有
. ……
Cauchy 列的否定:
例2 . 验证数列不是Cauchy列.
证对, 取, 有
.
因此, 取,……
三 Cauchy收敛原理:
定理数列收敛是Cauchy列.
( 要求学生复习函数极限、函数连续的Cauchy准则，并以Cauchy收敛原理为依据，利用Heine归并原
则给出证明 )
四. 致密性定理:
五Heine–Borel有限复盖定理:
1. 复盖: 先介绍区间族.
定义( 复盖 ) 设是一个数集 , 是区间族 . 若对
,
则称区间族复盖了, 或称区间族是数集的一个复盖. 记为
若每个都是开区间, 则称区间族是开区间族. 开区间族常记为
.
定义( 开复盖 ) 数集的一个开区间族复盖称为的一个开复
盖, 简称为的一个复盖.子复盖、
有限复盖、有限子复盖.
例3复盖了区间, 但不能复盖;
复盖, 但不能复盖.
Heine–Borel 有限复盖定理:
定理闭区间的任一开复盖必有有限子复盖.。