一类动态平衡问题的三种典型解法

一类动态平衡问题的三种典型解法

平衡问题是力学中常见的一种题型，解决平衡问题的基本思路是对物体进行受力分析，根据平衡条件0=∑F 来求解。而动态平衡问题是指通过控制某些物理量的变化，使物体的状态发生缓慢变化，“缓慢”指物体的速度很小，可认为速度为零，所以物体在变化过程中处于平衡状态，所以把物体的这种状态称为动态平衡状态，解此类动态平衡问题有三种典型的常见方法。

例：如图1所示，轻绳的一端系在质量为m 的物体上，另一端系在一个轻质圆环上，圆环套在粗糙水平杆MN 上，现用水平力F 拉绳上一点，使物体处于图中实线位置，然后改变F 的大小使其缓慢下降到图中虚线位置，圆环仍在原来的位置不动，则在这一过程中，水平拉力F 、环与杆的摩擦力摩F 和环对杆的压力N F 的变化情况是（ ）

A. F 逐渐增大，F 摩保持不变，F N 逐渐增大；

B. F 逐渐增大，F 摩逐渐增大，F N 保持不变；

C. F 逐渐减小，F 摩逐渐增大，F N 逐渐减小；

D. F 逐渐减小，F 摩逐渐减小，F N 保持不变。

图1

析：以环、绳及物体整体为研究对象，受力如图1-1所示，根据平衡条件有： 摩；F F F mg N ==

图1-1

在物体缓慢下降的过程，系统仍然在此四个力的作用下处于平衡状态，仍然有关系式mg=F N ，由牛顿第三定律可知：物体缓慢下降过程中环对杆的压力F N 保持不变，F 与F 摩仍满足大小相等，方向相反，所以两个力同时发生改变，关键是判断物体在下降过程中F 的变化规律。

方法一：计算法

以物体为研究对象，受力如图1-2所示，由平衡条件可知：mg 与F 的合力与绳子的拉力F T 等大反向，F 大小满足关系式θtan mg F =，在物体缓慢下降过程中，物体的受力情况及平衡状态保持不变，所以关系式θtan mg F =仍然成立，但θ逐渐减小，所以F 也随之减小，F 摩也随之减小，D 答案正确。

图1-2

小结：此题为高中阶段最常见的三力平衡问题，而力的合成法（这儿用的是力的合成思想，当然也可用力的正交分解来求解）与正交分解法是进行力的运算时最基本的方法。同时需要借助数学知识中的正、余弦定理，相似三角形规律，直角三角形中勾股定理和三角函数进行综合求解，同学们应具备这种应用数学规律解决物理问题的能力，尤其要熟练掌握应用直角三角形中勾股定理和三角函数来解决物理问题。

方法二：图解法

物体在三个力的作用下处于平衡状态，力F 和绳子的拉力F T 的合力与重力平衡，所以大小恒定，方向竖直向上，且F 的方向保持不变，根据力的三角法则可用图示的方法来确定力F 的变化规律，如图1-3所示，θ减小，F 随之减小，F 摩也随之减小，D 答案正确。

图1-3

小结：图解法是根据物体的平衡条件作出力的矢量图，如物体只受三个力则三个力构成封闭矢量三角形，然后根据图进行动态分析，确定各力的变化情况。图解法具有简单，直观的特点，所以在物理解题中有广泛的应用。用图解法求解动态平衡问题时应注意以下几点。

1. 确定哪个力为恒力；

2. 确定哪个力的方向不变；

3. 确定另一个力变化时的角度增、减关系，从而利用三角形法则进行动态分析。

方法三：极限法

在物体缓慢下降过程中，细绳与竖直方向的夹角θ不断减小，可把这种减少状态推到无限小，即细绳与竖直方向的夹角0=θ；此时系统仍处于平衡状态，由平衡条件可知，当0=θ

时，F＝0，F摩＝0，所以可得出结论：在物体缓慢下降过程中，F逐渐减小，F摩也随之减小，D答案正确。

小结：极限法就是运用极限思维，把所涉及的变量在不超过变量取值范围的条件下，使某些量的变化抽象成无限大或无限小去思考解决实际问题的一种解题方法，极限法具有好懂、易学、省时、准确的特点，在数学和物理学中有着重要应用。