高中数学必修2《点、直线、平面之间的位置关系》知识点
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三、空间中直线与直线之间的位置关系
1、异面直线
2、直线与直线的位置关系
相交 共面
平行 异面
3、公理 4 和定理 公理 4：
l1 Pl3 l 2 Pl3
l1 Pl 2
2/ 8
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
4、求异面直线所成角的步骤： ① 作：作平行线得到相交直线； ② 证：证明作出的角即为所求的异面直线所成的角； ③ 构造三角形求出该角。
8/ 8
位置关系 公共点
两个平面平行 没有公共点
符号表示
P
3/ 8
两个平面相交 有一条公共直线
Ia
图形表示
一、线面平行
1、判定：
b
a
bP
b Pa
（线线平行，则线面平行）
直线、平面平行的判定及其性质
2、性质：
aP a
a Pb b
（线面平行，则线线平行）
二、面面平行
1、判定：
a
b
abP
P
aP
bP
（线面平行，则面面平行）
二、二面角 -l - 00,1800
三、线面垂直
1、判定：
a b abA l la lb
证明过程 Q BO l , AO l , BOA是二面角 -l - 的平面角。
6/ 8
2、性质 1：
a b
a Pb
3、性质 2：
a b
ab
四、面面垂直
1、判定：
l l
文字表达：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
4/ 8
2、性质 1：
P Ia Ib
a Pb
（面面平行，则线面平行）
性质 2：
P mP
m
（面面平行，则线面平行）
说明（ 1）判定直线与平面平行的方法： ① 利用定义：证明直线与平面无公共点。 ② 利用判定定理：从直线与直线平行等到直线与平面平行。 ③ 利用面面平行的性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
（ 2）证明面面平行的常用方法 ① 利用面面平行的定义：此法一般与反证法结合。 ② 利用判定定理。 ③ 证明两个平面垂直于同一个平面。 ④ 证明两个平面同时平行于第三个平面。
三、线线平行、面面平行、面面平行间的关系
5/ 8
直线与平面垂直的判定及其性质
一、 直线与平面所成的角
00,90 0
证明过程 Q PO , AO为 PA在平面 上的投影， 为直线 l与平面 所成的角。
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系
一、平面
1、平面及其表示
2、平面的基本性质 ① 公理 1：
Al Bl
l A B
② 公理 2：不共线的三点确定一个平面
③ 公理 3：
P P
l则P l
1/ 8
二、点与面、直线位置关系
1、A 1、点与平面有 2 种位置关系 2、B
1、 A l 2、点与直线有 2 种位置关系 2、 B l
2、性质：
AB AB AB CD
说明：（ 1）判定直线与平面垂直的方法： ① 利用定义（可用反证法） 。 ② 利用判定定理。 ③ 利用性质定理。
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Leabharlann Baidu
④ 结合平行关系： a Pb, a
b
（ 2）判定平面与平面垂直的方法：
① 利用定义判断（证）二面角的平面角是直角。
② 利用平面与平面垂直的判定定理。
提示： 1、作平行线常见方法有：直接平移，中位线，平行四边形。
2、异面直线所的角的范围是
00,90 0 。
四、空间中直线与平面之间的位置关系
位置关系
直线 a在平面内
公共点
有无数个公共点
直线 a与平面 相交
有且只有一个公共点
符号表示
a
aI
A
直线 a与平面 平行
没有公共点
aP
图形表示
五、空间中平面与平面之间的位置关系
1、异面直线
2、直线与直线的位置关系
相交 共面
平行 异面
3、公理 4 和定理 公理 4：
l1 Pl3 l 2 Pl3
l1 Pl 2
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定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
4、求异面直线所成角的步骤： ① 作：作平行线得到相交直线； ② 证：证明作出的角即为所求的异面直线所成的角； ③ 构造三角形求出该角。
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位置关系 公共点
两个平面平行 没有公共点
符号表示
P
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两个平面相交 有一条公共直线
Ia
图形表示
一、线面平行
1、判定：
b
a
bP
b Pa
（线线平行，则线面平行）
直线、平面平行的判定及其性质
2、性质：
aP a
a Pb b
（线面平行，则线线平行）
二、面面平行
1、判定：
a
b
abP
P
aP
bP
（线面平行，则面面平行）
二、二面角 -l - 00,1800
三、线面垂直
1、判定：
a b abA l la lb
证明过程 Q BO l , AO l , BOA是二面角 -l - 的平面角。
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2、性质 1：
a b
a Pb
3、性质 2：
a b
ab
四、面面垂直
1、判定：
l l
文字表达：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
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2、性质 1：
P Ia Ib
a Pb
（面面平行，则线面平行）
性质 2：
P mP
m
（面面平行，则线面平行）
说明（ 1）判定直线与平面平行的方法： ① 利用定义：证明直线与平面无公共点。 ② 利用判定定理：从直线与直线平行等到直线与平面平行。 ③ 利用面面平行的性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
（ 2）证明面面平行的常用方法 ① 利用面面平行的定义：此法一般与反证法结合。 ② 利用判定定理。 ③ 证明两个平面垂直于同一个平面。 ④ 证明两个平面同时平行于第三个平面。
三、线线平行、面面平行、面面平行间的关系
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直线与平面垂直的判定及其性质
一、 直线与平面所成的角
00,90 0
证明过程 Q PO , AO为 PA在平面 上的投影， 为直线 l与平面 所成的角。
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系
一、平面
1、平面及其表示
2、平面的基本性质 ① 公理 1：
Al Bl
l A B
② 公理 2：不共线的三点确定一个平面
③ 公理 3：
P P
l则P l
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二、点与面、直线位置关系
1、A 1、点与平面有 2 种位置关系 2、B
1、 A l 2、点与直线有 2 种位置关系 2、 B l
2、性质：
AB AB AB CD
说明：（ 1）判定直线与平面垂直的方法： ① 利用定义（可用反证法） 。 ② 利用判定定理。 ③ 利用性质定理。
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④ 结合平行关系： a Pb, a
b
（ 2）判定平面与平面垂直的方法：
① 利用定义判断（证）二面角的平面角是直角。
② 利用平面与平面垂直的判定定理。
提示： 1、作平行线常见方法有：直接平移，中位线，平行四边形。
2、异面直线所的角的范围是
00,90 0 。
四、空间中直线与平面之间的位置关系
位置关系
直线 a在平面内
公共点
有无数个公共点
直线 a与平面 相交
有且只有一个公共点
符号表示
a
aI
A
直线 a与平面 平行
没有公共点
aP
图形表示
五、空间中平面与平面之间的位置关系