最优捕鱼策略

最优捕鱼策略模型

摘要

本文涉及的问题是渔业资源可持续发展，即在我国一定渔场，在一段时间内，如何实现最大收获量的问题；同时保证渔场能实现稳定生产。我们的解题思路就是：以渔场生产过程中的两个相互制约的因素，分别是年捕捞量与再生产能力，从而确定最优发展策略:用微分方程分别描述各龄鱼1群数量虽时间变化的规律，并在此基础上确定总效益即总收获量为目标函数，以渔场的可持续捕获为约束条件，分别对长期生产和固定期生产建立规划模型。

针对问题一：

通过对4龄鱼在年末的不同状态(全部死亡；仍为4龄鱼)的考虑，从可可持续捕获条件出发，分别建立2个模型。最后求解在计算机上实现。

针对问题二：

确定一个整体效益函数，综合考虑年捕捞能力和年再生产能力，用计算机数值解法进行搜索逐年确定各年的最优策略，从而得出五年的总最优策略。

1.先假设每年捕捞量强度相等，建立一个简单模型；

2.再假设每年捕捞强度不相等，建立一个复杂模型；

3.最后给出鱼群生产能力破还不大的含义（即鱼群减少率的上限）在它的约束之下再

建立一个模型。

关键词：微分方程；捕捞强度；再生产能力；规划模型

一、问题的重述

为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度以可持续发展。那么一种合理、简化的策略是在可持续收获的前提下，追求最大产量或最大效益。要求研究的问题是：在一段期间中，对某种鱼的最优捕捞策略。

1.1鱼的情况

假设这种鱼分为4个年龄组：1，2，3，4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07,11.55,17.86,22.99（克）；各年龄组的鱼自然死亡率均为0.8（1/年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产量为

1.109×105(个)，3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月；卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比）为1.22×1011/（1.22×1011+n）。

具体数据如下表：

其中，i表示i龄鱼，m i表示i龄鱼的重量，r表示i龄鱼的自然死亡率，u i 表示平均每条i龄鱼的产卵量。

又渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将于i成正比，比例系数称捕捞强度系数k i,通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3、4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为：k3:k4=0.42:1，k1=k2=0.渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。

1.2问题

1)建立数学模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场中

各年龄组鱼条数不变），且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总量）。

2)某渔业公司承保这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生

产能力不能受太大的破坏。已知承保时各年龄组鱼群的数量分别为,如果

122,29.7,10.1,3.29（*109条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司

采取怎样的策略才能使总收获量最高。

二、模型假设

1.假设只考虑某种鱼群的繁殖和捕捞，期间不考虑鱼群的迁入和迁出，即假

设大规模鱼群数量增长随时间是连续变化的。

2.根据模型已知条件，假设鱼群在一年的任何时间都会发生自然死亡，在一

年的后四个月都会发生产卵。

3.4龄鱼的数量在第4年仍存活的数量占总的数量比例很小，这里可以假设其

全部死亡，令其退出完毕。

4.不考虑环境的影响，各年龄组的自然死亡率为0.8（1/年）。

三、符号说明

四、问题的分析

(一)对于问题一的分析

1.对死亡率a的理解：

我们定义平均死亡率a是单位时间鱼群死亡数量与现有鱼群数量的正比例系数，由假设可知，它是一个环境等其他因素无关的常数。由于鱼群的数量是连续变化的，而1、2龄鱼全年以上及3、4龄鱼在后4个月的数量只与死亡率有关，与其他因素

无关，设鱼群量为x，则在时间［t,t+∆t］内，鱼群数量的减少=鱼群死亡数量，即

x(t+∆t)−x(t)=−ax(t)∆t，x(t+∆t)−x(t)

∆t

=-ax(t).

当∆t→0时得：

dx(t)

dt

=-ax(t), (1.1)

2.对于捕捞强度系数k的理解：

题目告诉我们，捕捞强度系数K一定，且只在捕捞期内（即每年的前8个月）捕捞3、4龄鱼，因此只会影响3、4龄鱼群数量，而不会影响其他的鱼群数量。我们可以看3、4龄鱼鱼群的数量在捕捞期内不仅与k有关，而且还与死亡率a有关，类似第一点的分析，可以得到

dx(t)

dt

=−ax(t)−0.42kx(t)(1.2)

dx(t)

dt

=−ax(t)−kx(t)(1.3)

其中x(t)表示3、4龄鱼的鱼群数量，t表示每年的前8个月，即t∈［0,2

3］.

3.对于持续捕获的理解：

随着时间的推移，各年龄组的鱼数量必将发生变化，但持续捕获要求每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变，再根据鱼群的生长规律，我们可以得到关系式：上一年龄组鱼群年底的数量=下一年龄组鱼群年初的数量（1龄鱼除外），即

x1(j)=x0(j+1) (1.4)

4.对成活率m的应用

又假设知，此种鱼在每年的8月底一次产卵完毕，又已知3、4龄鱼每条产卵的个数，因此可将每年的产卵量n表示为：

n=1.109×105×[0.5x3(2

3)+x4(2

3

)] (1.5)

又已知成活率

m= 1.22×1011

1.22×1011+n

(1.6)

产卵量×成活率=1龄鱼每年年初的数量，即

n×m=x0(1)（1.7）

5.对最高收获量的描述

根据第2点的分析，在t时刻的捕捞重量s(t) =3龄鱼捕捞重量s3(t)+4龄鱼捕捞重量s4(t).而s3(t)=0.42k x3(t)g3, s4(t)=k x4(t)g4，则