北京市大学生数学竞赛。

五 、 (本 题 10 分) 设 函 数 f ( x) 在[a, b] 上 连 续, 在(a, b) 内 二 次 可 导, 过点(a, f (a)) 和点(b, f (b)) 的直线与曲线y = f ( x) 相交于(c, f (c)), 其 中a < c < b, 求证: 在(a, b) 内至少存在一点ξ, 使得 f (ξ) = 0.
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八、 (本题 10 分) 设 f ( x) 在[a, b] 上有连续导数, 且 f (a) = f (b) = 0, 证 b (b − a)2 b 2 2 明: f ( x)d x ≤ f ( x)d x. a a 4
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七、 (本题 10 分) 设u = f ( x, y) 为可微函数, (1) 若u = f ( x, y) 满足方程 x 是θ 的函数, 而与r 无关; 1 ∂f 1 ∂f (2) 若u = f ( x, y) 满足方程 · − · = 0, 试证: f ( x, y) 在极坐标系 x ∂ x y ∂y 中只是r 的函数, 而与θ 无关. ∂f ∂f +y = 0, 试证: f ( x, y) 在极坐标系中只 ∂x ∂y
1 0
.
1 0
学校
6. 设 f ( x) 连续, 且 f (0), f (1) 已知, 则 . 7.
| x|+|y|≤1
f ( x )d x +
1 2
x(1 − x) f ( x)d x =
(| x| + |y|)d xdy =
2 2
1 x
.
8. 积分 d x 1
ye xy dy 的值为
.
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π 4
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六、 (本题 10 分) 设an = (1) 求
∞
0
tann xd x, n = 1, 2, · · · ,
1 (an + an+2 ) 的值; n=1 n an 收敛. λ n=1 n
∞
(2) 试证明: 对任意的常数λ > 0, 级数
n→∞
1
∞ n=1
an 收敛, 则 p 的取值范
围为
. (sin x − sin(sin x)) sin x . x→0 x4
二、 (本题 10 分) 求极限lim
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g( x) − e− x ,x 0 x 三、 (本题 10 分) 设 f ( x) = , 其中g( x) 有二阶连续的 0, x = 0 导数, 且g(0) = 1, g (0) = −1 , 求 f ( x), 并讨论 f ( x) 在(−∞, +∞) 上的连 续性.
n+k
姓名
． . .
n→∞ n
1 x arcsin d x = x
x 0
院系
4. 设ϕ( x) 连续, 且满足ϕ( x) = e x + (t − x)ϕ(t)dt, 则ϕ( x) =
5. 设 f ( x) =
x 1
2 ln t 1 = dt, x ∈ (0, +∞), 则 f ( x) + f 1+t x
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9. 函 数z = z( x, y) 由 方 程y = x f (z) + ϕ(y, z) 所 确 定, 其 中 f 、ϕ 分 ∂z ∂z 别 具 有 连 续 的 导 数 和 偏 导 数, 且 x f (z) + ϕ z (y, z) 0, 则 + = ∂ x ∂y . 10. 设an > 0, p > 1, 且 lim n p (e n − 1)an = 1 . 若
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四、 (本题 10 分) 求内接于球面 x2 + y2 + z2 = r2 (r > 0) 的长方体的最大 体积.
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共8 页 第1页 题号 得分 评阅 审核 一 二 三 四 五 六 七 八 总分
考试时间: 2012年10月27日上午9:00-11:30, 共150分钟. 一、 (本题共 30 分, 每小题3分) 填空题 1.
1 −1
准考证号
( x7 ln(1 + x2 ) +
√ 1 − x2 )d x =
.
2. 设 f ( x) 是周期为5的连续函数, 它在 x = 0 的某个邻域内满足关系式 f (1 + sin x) − 3 f (1 − sin x) = 8 x + α( x), 其中α( x) 是当 x → 0 时比 x 高阶的无穷小, 且 f ( x) 在 x = 1 处可导, 则曲 线y = f ( x) 在点(6, f (6)) 处的切线方程为 3. 设k 为一个常数, 则 lim