微扰理论

能量的一级修正为
ˆ (1) ( 0 ) * H ˆ ' ( 0 ) d E n n n
ˆ' 在 能量的一级修正等于 H
( 0) n
态中的平均值
(1) n 下面求波函数的一级修正，为此将 ，按 H (0)
的本征函数系
l(0)
展开
(1) n al(1) l0 l
(1) ( 0) a 由于 n 加上 n 后仍是方程（3）的解，
最后一步是因为
0 ˆ ' ( 0) d H ' * H n mn m
ˆ (1) H
是厄米算符，由 ，有 H 'ln H 'nl
综上, 受到微扰后能量的修正
En E
(0) n
E
(1) n
E
( 2) n
E
(0) n
H ' nn
m
H mn E
(0) n
( 0) En
和波函数
E
(1) n
(1) ， n
为一级修正，
( 2) 2 ( 2) 2 En ， n 为二级修正。
ˆ (0) H ˆ (1) ) E 得 将两式代入（1）式 (H n n n
ˆ ( 0 ) H ˆ (1) )( ( 0) (1) 2 ( 2) ) (H n n n
，波函数为
( 0) n 求微扰后的能量 En 和波函数 n 。
将 En 和 n 展成 的幂级数。
(0) (1) ( 2) En En E n 2 E n (0) (1) ( 2) n n n 2 n
其中下角标n表示对能级
( 0) n 的修正。
二、二级修正 为了求能量的二级修正，将（7）式带入（4） 式，并用 n(0) * 左乘方程（4），对整个空间积分， 得
( 0) ˆ (0) E 0 ) ( 2) d ' a (1) H ˆ ' E (1) ' a (1) ' E ( 2) * ( H n n l nl n l nl n n l l
( 0) 这里用了 n
的正交归一性，上式左边为零，
ln
右边第二项由于
E
( 2) n (1) l
，也为零，于是有
H ' nl
2
H ' ln H ' nl ˆ ' a H ' nl ' ( 0 ) ' (0) (0) (0) E E E E l l l n l n l
(1) (1) En , n
省去，把
理解为
ˆ' H
，把
理解为能量和波函数的一级修正。
(1) En (1) 及 n
一、一级修正 要求 ，由（3）式 （5 ）
ˆ (0) E 0 ) (1) (H ˆ (1) E (1) ) (0) (H n n n n
H ( 0)
( 0) 的本征函数为 n
2
d ]
系数
2 Nn [ ] 2 n n!
1
N n 1 [
2
1 n 1
] (n 1)!
1
1 2
1 2 2 [ ] [ ] 2(n 1) 2 n n! 1 [ ]2 Nn 2(n 1)
N n 1 [
1 2
1
2
n 1
] (n 1)!
2 (0) m
E

受到微扰后波函数的修正
n
( 0) n

(1) n

( 0) n
H mn ( 0) (0) m ( 0) m En Em
式中
( 0 ) ˆ ( 0) m H mn H n d ( 0 ) ˆ ( 0) n H nn H n d
能级是非简并的，用非简并定态微扰理论。
1：能级的修正 能量的一级修正 E

(1) n
H ' mn
2
2
(0) ˆ * H ' n d 0 m
(1) (0) ˆ ' ( 0 ) d En n *H n
N ne
2 n
2
2
x2
H n (x)(ex) N n e xH (x)e
ˆ H ˆ H ˆ' H 0 ˆ 是主要的，它比较大，而且可以 第一部分 H 0
精确求出它的本征函数和本征值，可以认为这 一部分能量算符基本上反映了体系的主要特征。
第二部分
ˆ ' 和第一部分相比，则是足够小，认为 H
这一部分的作用只是稍微修正第一部分能量算符
得到的结果，犹如对体系产生了一个微小的扰动。
(0) (1) ( 2) (0) (1) ( 2) ( En E n 2 E n )( n n 2 n )
上式两边

的同次幂应该相等，得 （2） （3 ） （4）
ˆ (0) E (0) ) (0) 0 (H n n ˆ (0) E (0) ) (1) (H ˆ (1) E (1) ) (0) (H n n n n
是实数，有
(0) ˆ ( 0 ) E 0 ) (1) d [( H ˆ ( 0 ) E 0 ) ( 0 ) ] * (1) d 0 * ( H n n n n n n
由（6）式，注意到
( 0) n
的正交归一性，得到
(1) (0) ˆ (1) ( 0 ) d En n *H n
(0) ˆ ' ( 0) d H ' mn m *H n
N me

2
2
x
2
H m (x)(ex) N n e


2
2
x2
H n (x)dx dx
N m N n e N m N n e
xH m (x) H n (x)e
2 x 2
0 (0) * m l d ml
注意到
( 0) l
的正交归一性
得到
( 0) (1) ( 0) (1) 0 ( 0) ˆ ' E a E ' a * H ' l l ml n l ml m n d l l
令
H ' mn
0 ˆ ' ( 0) d H ' * H n mn m
2 2 x 2

x2
H n (x)dx
N e
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dx
由于
H (x)
2
及
e
2 x 2
均是x的偶函数
xH (x)e
2
2 x 2
是奇函数，上式积分值为零。
ˆ (1) 0 E n
能量的一级修正为零
能量的二级修正
( 2) En m
H mn
2
(0) (0) En Em
( 0) E ( 0 ) En ( 0) ( 0) n
( 0) En ( 0) n
ˆ ' 的微小程度，引入参数 为了明显地显示 H
使
ˆ ' H ˆ (1) H
ˆ H
的本征方程为
ˆ (0) H ˆ (1) ) E (H n n n
（1）
( 0) En
现在的目的是由已知的能量
，以
( 0) n *
左乘上式
两边，并对整个空间积分，得
( 0) ˆ E 0 ) (1) d E (1) ( 0) * ( 0) d ( 0) * H ˆ (1) ( 0) d * ( H n n n n n n n n
（6） 注意
H
( 0)
( 0) E 是厄米算符， n
e
1
利用 及


( 0) n
Nne

2
2
x
2
H (x) N n e

2
2
H ( )


H ' mn e (
2
1 2 1 2
) [(n 1)
1 2
1 2



(0) ( 0) n 1 m dx
( n) e ( 2

(1) n
H mn ( 0) ( 0) m , ( 0) m En Em
其中：
( 0) m ( 0) Em
：是未受微扰时第m个能级上的波函数 ：是未受微扰时第m个能级上的能量
微扰理论的适用条件

m
H mn 1, ( 0) ( 0) En Em
(0) (0) ( En Em )
ˆ ( 0) E 0 ) ( 2) ( H ˆ (1) E (1) ) (1) E ( 2) ( 0) (H n n n n n n
解这些方程就可以得到能级和波函数的各级修正。 引进

的目的是为了更清楚地从方程中
ˆ (1) H
按数量级分出（2）、（3）、（4）等方程。达到 目的后，将
看成是微扰项，
ˆ H
( 0)
ˆ ' ex H
ˆ ( 0) H 2 d 2 1 2 2 x 2 2 dx 2
的本征方程已经解出
（一维线性谐振子），精确解

E
( 0) n
Nne

2
2
x
2
H (x) N n e

2
2
H ( )
(0) n
1 ( n ) 2
微扰理论
精确求解，波函数能够用精确的解析形式表达 出来。 本章介绍近似求解薛定諤方程的方法，如微 扰理论等。 本章主要内容 1：非简并定态微扰理论 2：简并情况下的定态微扰理论 3：含时间的微扰
§5.1非简并定态微扰理论 微扰理论是很常见的一种近似方法，是通过 逐级近似来求出实际上足够精确的解，应用这种方 法时，要将体系的能量算符分成两部分
我们总可以选取 a 使得上面展开式中不含 n(0) 项
(1) n ' al(1) l0 （7） l
上式右边求和号上角加一撇号表示求和时不 包括 l n 的项，将上式带入（3）式
ˆ (0) E (0) ) (1) (H ˆ (1) E (1) ) (0) ，得 (H n n n n
称为微扰矩阵元。前式变为
( 0) ( 0) (1) (En Em )am H ' mn
或
a
(1) m
H ' mn ( 0) ( 0) ( En Em )
带入（7）式，得到波函数的一级修正为

(1) n
H ' mn 0 ' ( 0) m ( 0) m ( En Em )
1 2
[ 2n] N n
H ' mn
n 1 2 2 [( ) N n 1 H n 1 ( )N m H m ( )e d 2 1 n 2 2 ( ) N n 1 H n 1 ( )N m H m ( )e d ] 2
例一：一电荷为e的线性谐振子受到恒定弱电场

作用，电场沿正x方向。用微扰法求体系的定态
能量和波函数。 体系哈密顿算符 解：电场沿x正方向，
2 2 d 1 2 2 ˆ H x ex 2 2 dx 2
此为定态问题（
ˆ H
与时间无关） ex 很小，
2 d 2 1 2 2 x 2 2 dx 2

2



H m ( ) H n ( )e
2
d
利用厄密多项式递推公式
1 H n ( ) H n 1 ( ) nH n 1 ( ) 2
H ' mn
N m N n e 1 2 [ H n 1 ( )H m ( )e d 2 2 n H n 1 ( )H m ( )e
ˆ 不显含时间，且可分成两部分 设体系 H
ˆ H ˆ ( 0) H ˆ' H
ˆ ( 0) 是体系未受微扰时的哈密顿算符 其中： H ˆ' H
是微扰
ˆ H
的本征方程为
ˆ E H n n
ˆ ( 0) H
的本征方程为
ˆ (0) (0) E (0) (0) H n n
体系未受微扰时的非简并能级为 波函数为 即
( 0) (1) 0 ( 0) (1) 0 (1) ( 0) ( 0) ˆ ' E a E ' a E H ' l l l n l l n n n l l
以
( 0) m *
（m≠n）左乘上式两边，并对整个
空间积分，得
( 0 ) (1) 0 0 ( 0) (1) 0 0 ' E a * d E ' a * l l m l n l m l d l l (1) 0 ( 0) 0 ˆ ' ( 0) d En * d * H n m n m