ARMA模型以及ARIMA模型建模(课堂PPT)
第9章、ARMA模型和ARIMA模型
第9章、ARMA模型和ARIMA模型计量经济学的重点在于解释，而不是预测。
但是，对于某些具体的问题，人们对预测的兴趣仍然很大。
如对GDP、人口等宏观经济变量的预测：什么时候超英赶美。
常见的4种预测模型为：1.单方程回归模型2.联立方程回归模型3.ARIMA模型（自回归积分移动平均模型）4.V AR模型（向量自回归模型）前面两种预测模型的特点：优点：经济学理论作为计量分析的基础。
缺点：Lucas批判（Lucas Critique）指出，使用历史数据估计的计量模型的参数依赖于历史的宏观经济政策。
如果宏观经济政策发生变动，这些参数也会变动。
据此而实施的预测必然误差很大，特别是长期预测。
例子：根据过去几年数据建立的IS－LM模型，难以预测中国宏观调控后和利率提高后的宏观经济。
后面两种预测模型的特点：优点：Box－Jenkins方法的重点不是寻找解释y的解释变量，而是使用滞后的y来构造生产y的动力系统。
所使用的y是平稳序列，即y的均值、方差和自协方差与时间的绝对水平无关，那么分布特征不变，可以适用不同经济环境。
短期预测能力较强。
缺点：为预测而预测。
是泛理论的（a－theoretic），缺乏经济理论基础，很难解释计量结果的经济含义。
当然可以整合这两类方法的优点。
ARMAX模型。
§1、ARIMA模型ARIMA模型(自回归积分移动平均模型，autoregressive integrated movingaverage) 推广了如下模型：AR 模型、MA 模型和ARMA 模型。
1、AR 模型 （1）定义称平稳序列y t 服从AR(p)模型，如果可以表示为11...t t p t p t y y y μααε−−=++++其中t ε是白噪声（均值为0，同方差，无自相关）。
AR 模型的特点：除了滞后的y 之外，没有其他的解释变量。
（2）AR 模型的平稳条件记L 为滞后算子(lag operator)，Ly t ＝y t －1。
时间序列分析课件-07-ARIMA模型、疏系数模型、季节模型
xt 0 1t at
• 考察一阶差分后序列和二阶差分序列 的平稳性与方差
比较
• 一阶差分
– 平稳
xt xt xt1
1 at at1 – 方差小
• 二阶差分（过差分）
– 平稳
2 xt xt xt1 at 2at1 at2
– 方差大
Var(xt ) Var(at at1)
• 参数估计
(1 0.44746 B 0.28132 B4 )(1 B)(1 B4 )xt t
模型检验
残差白噪声检验
参数显著性检验
延迟 阶数
2统 计量
P值
待估 t 统
参数 计量
P值
6
2.09 0.7191 1
12 10.99 0.3584 4
5.48 <0.0001 -3.41 <0.0001
2 2
Var(2xt ) Var(at 2at1 at2 )
6 2
ARIMA模型
• ARIMA模型结构 • ARIMA模型性质 • ARIMA模型建模 • ARIMA模型预测 • 疏系数模型 • 季节模型
ARIMA模型结构
• 使用场合
– 差分平稳序列拟合
• 模型结构
( B) d
E( t )
Tt 0 1 xtm l xtlm
• 简单/复杂季节模型 • X-11 • etc
• AR • MA • ARMA • WN • etc
3.考虑残差
获 得 观 察 值 序
Y
Y
平稳性 检验
白噪声 检验
分 析
结
N
束 N
列
差分 运算
拟合
ARMA 模型
ARIMA模型
❖ 参数估计
(1 B)(1 B4 )xt
1
1 0.44746B 0.28132B4
t
模型检验
残差白噪声检验
延迟 阶数
2
统计量
P值
6
2.09
0.7191
12
10.99
0.3584
参数显著性检验
待估 参数
t 统计量
P值
1
5.48
<0.0001
4
-3.41
<0.0001
拟合效果图
xtp B p xt ,p 1
延迟算子的性质
• B0 1
• B(c xt ) c B(xt ) c xt1, c为任意常数
•
B(xt yt ) xt1 yt1
•
， B n xt xtn 其中
n
(1 B)n (1)n Cni Bi
▪ 方差大
Var(xt ) Var(at at1)
2 2
Var(2xt ) Var(at 2at1 at2 )
6 2
2 ARIMA模型
❖ ARIMA模型结构 ❖ ARIMA模型性质 ❖ ARIMA模型建模 ❖ ARIMA模型预测
ARIMA模型结构
❖ 使用场合
例题
【例1.1】1964年——1999年中国纱年产量序列蕴 含着一个近似线性的递增趋势。对该序列进行一 阶差分运算
考察差分运算对该序列线性趋势信息的提取作用 xt xt xt1
差分前后时序图
❖ 原序列时序图
❖ 差分后序列时序图
例1.2
❖ 尝试提取1950年——1999年北京市民用车辆拥有 量序列的确定性信息
16189-数学建模-培训课件-ARIMA模型
什么是ARIMA模型?ARIMA模型全称为自回归移动平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model,简记ARIMA)，是由博克思(Box)和詹金斯(Jenkins)于70年代初提出的一著名时间序列预测方法，所以又称为box-jenkins模型、博克思-詹金斯法。
其中ARIMA（p，d，q）称为差分自回归移动平均模型，AR是自回归,p为自回归项;MA为移动平均，q为移动平均项数，d为时间序列成为平稳时所做的差分次数。
ARIMA模型的基本思想ARIMA模型的基本思想是：将预测对象随时间推移而形成的数据序列视为一个随机序列，用一定的数学模型来近似描述这个序列。
这个模型一旦被识别后就可以从时间序列的过去值及现在值来预测未来值。
现代统计方法、计量经济模型在某种程度上已经能够帮助企业对未来进行预测。
ARIMA模型预测的基本程序（一）根据时间序列的散点图、自相关函数和偏自相关函数图以ADF单位根检验其方差、趋势及其季节性变化规律，对序列的平稳性进行识别。
一般来讲，经济运行的时间序列都不是平稳序列。
（二）对非平稳序列进行平稳化处理。
如果数据序列是非平稳的，并存在一定的增长或下降趋势，则需要对数据进行差分处理，如果数据存在异方差，则需对数据进行技术处理，直到处理后的数据的自相关函数值和偏相关函数值无显著地异于零。
（三）根据时间序列模型的识别规则，建立相应的模型。
若平稳序列的偏相关函数是截尾的，而自相关函数是拖尾的，可断定序列适合AR模型；若平稳序列的偏相关函数是拖尾的，而自相关函数是截尾的，则可断定序列适合MA模型；若平稳序列的偏相关函数和自相关函数均是拖尾的，则序列适合ARMA模型。
（四）进行参数估计，检验是否具有统计意义。
（五）进行假设检验，诊断残差序列是否为白噪声。
（六）利用已通过检验的模型进行预测分析。
ARMA模型（Auto-Regressive and Moving Average Model）ARMA模型概述ARMA模型（Auto-Regressive and Moving Average Model）是研究时间序列的重要方法，由自回归模型（简称AR模型）与滑动平均模型（简称MA模型）为基础“混合”构成。
ARMA模型以及ARIMA模型建模
ARMA模型与ARIMA模型建模
平
计
稳
算
非
样
白
本
噪
相
声
关
序
系
列
数
模型 识别
参数 估计
模
序
N
模型 Y 型
列
检验
优
预
化
测
• 样本自相关系数
• 样本偏自相关系数
nk
(xt x)( xtk x)
ˆk t1 n
(xt x)2
t 1
ˆkk
Dˆ k Dˆ
模型识别
获
得 观 察 值 序
平稳性 Y 白噪声 Y 分
检验
检验
析
结
N
N
束
列 差分 运算
拟合 ARMA 模型
一阶差分后序列白噪声检验
延迟阶数 6 12 18
2 统计量 15.33 18.33 24.66
P值 0.0178 0.1060 0.1344
(1 B)xt 4.99661 (1 0.70766 B) t
结论
模型显著 有效
检验参数 均值
1
t统计量 －3.75
10.60
P值 <0.0004 <0.0001
结论 显著 显著
例3.8: OVERSHORTS序列序列拟合与预测图
xt 0.003 0.407 xt1 t 0.9 t1
ˆ2 0.016
例3.9:对1880-1985全球气表平均温度改变值差分 序列拟合模型进行检验
~x )
1 2
ln
~
1
2
ARMA时间序列模型及其相关应用教材PPT(共 49张)
对于零均值的平稳时间序列中，给定 Xt1, ,Xtk1 ，则 Xt和Xtk 之间
的偏相关函数定义为：
偏 相 关 函 数 = E [X tX tk] =E [X tX tk]
E [X t2]E [X tk2]
2 X
注意：此时的期望指的是条件期望 。
17
AR模型偏相关函数
设 X t 为零均值的实平稳时间序列，设它满足AR(p)模型：
9
AR与MA模型的比较
自回归模型： X t 1 X t 1 2 X t 2 p X t p a t.
意义在于仅通过时间序列变量的自身历史观测值来反映有关因素对预测 目标的影响和作用，不一定平稳。
滑动平均模型：X t a t 1 a t 1 2 a t 2 q a t q .
型。
其中， a t 是独立同分布的随机变量序列，且满足 E[at ] 0，D[at]a2 也称
白噪声序列。 为了方便表示，引进延迟算子的概念。令：
Xt1 BXt Xt2BXt-1B2Xt Xtp BpXt
则自回归模型可写为： (B)Xt at
其中： (B ) 1 1 B 2 B 2 p B p .
(B) Xt
=
(B)at
模型简记为ARMA(p, q).
显然，当q =0时，ARMA(p, q)模型就是AR (p)模型； 显然，当p =0时，ARMA(p, q)模型就是MA (q)模型；
ARMA(p, q)模型的平稳性只依赖于AR 部分； ARMA(p, q)模型的可逆性只依赖于MA 部分；
1976年，英国统计学家G.E.P.Box和英国统计学家G.M.Jenkins联合出版了 《时间序列分析——预测和控制》一书，在总结前人的研究的基础上， 系统地阐述了ARMA模型的识别、估计、检验及预测的原理和方法，成 为时间序列分析的核心，故ARMA 模型也称为Box-Jenkins模型。
ARMA模型介绍ppt课件
可编辑课件PPT
7
自回归移动平均模型(ARMA)
如果时间序列Yt是它的当期和前期的随机误差 项以及前期值的线性函数，即可表示为：
Y t 1 Y t 1 2 Y t 2 . .p Y t . p u t 1 u t 1 q u t q
则称该序列为（p,q）阶自回归移动平均模型。 记为ARMA（p,q）
两者结合的模型（ARMA）
习惯上用AR(p)、MA(q)或ARMA(p,q)来 表示对应的滞后时期。
可编辑课件PPT
5
AR(p)模型
AR(p)模型是回归模型的一种形式，其一般形 式为：
Y t1 Y t 1 2 Y t 2 . ..p Y t p u t
另一种表达方式是用差分形式：
Y t Y t 1 1 Y t 1 . .p . 1 Y t p 1 u t
可编辑课件PPT
16
ARIMA模型
考虑ARIMA(p,d,q)模型 一个ARIMA(p,d,q)模型代表一个I(d)变量
经过d次差分后所做的AR(p)和MA(q)模 型。
可编辑课件PPT
17
此课件下载可自行编辑修改，此课件供参考！ 部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！感谢你的观看！
时间序列模型在上世纪80年代中期后得 到快速发展。
可编辑课件PPT
2
本章主要内容
时间序列模型的特点 AR、MA和ARMA模型的形式 AR、MA和ARMA模型的识别 AR、MA和ARMA模型的估计
可编辑课件PPT
3
时间序列分析模型的特点
时间序列分析通常并不需要建立在经济理论 所体现的经济关系基础之上，而是“让数据 自己说话”。Yt可由其自身的滞后值以及随 机误差项来解释，因此时间序列分析模型又 称乏理论（a-theoretic)模型。
AR,MA,ARIMA模型介绍及案例分析
BOX-JENKINS 预测法（1）()AR p 模型（AutoregressionModel ）——自回归模型p 阶自回归模型：式中，为时间序列第时刻的观察值，即为因变量或称被解释变量；，为时序的滞后序列，这里作为自变量或称为解释变量；是随机误差项；，，，为待估的（2）q t e ，1t e -，2t e -均参数。
（3）归模型改进的（1（2）(,,)(,,)s ARIMA p d q P D Q 模型对于具有季节性的非平稳时序（如冰箱的销售量，羽绒服的销售量），也同样需要进行季节差分，从而得到平稳时序。
这里的D 即为进行季节差分的阶数；,P Q 分别是季节性自回归阶数和季节性移动平均阶数；S 为季节周期的长度，如时序为月度数据，则S =12，时序为季度数据，则S =4。
在SPSS19.0中的操作如下● 必须要先打开一个数据源，才可以定义日期● 数据→定义日期→选择日期的起始点，此时变量栏中会出现日期变量。
（3）ARIMAX 模型在(,,)(,,)s ARIMA p d q P D Q 模型中，再加入除自身滞后时序变量以外的解释变量X 。
模型的识别模型的识别的本质是确定(,,)(,,)s ARIMA p d q P D Q 中的,,p d q 以及,,P D Q 与S 的取值。
借助于自相关函数（AutocorrelationFunction,ACF ）以及自相关分析图和偏自相关函数（PartialCorrelationFunction,PACF ）以及偏自相关分析图来识别时序特性，并进一步确定p 、q 、P 、Q 。
自相关函数k r关系数未进入置信区间，说明该序列非平稳，2步时，差分选项选择1或2。
偏自相关函数偏自相关函数是时间序列t Y ，在给定了121,,t t t k Y Y Y ---+的条件下，t Y 与t k Y -之间的条件相关。
由于它需要考虑排除其他滞后期的效应，因而被称为偏自相关。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
t 1
14
条件最小二乘估计
实际中最常用的参数估计方法
假设条件
xt 0,t0
残差平方和方程
Q (~)n
n
t
t2 [xt
ixt1]2
i1
i1
i1
解法
迭代法
15
对最小二乘估计的评价
优点
最小二乘估计充分应用了每一个观察值所提 供的信息，因而它的估计精度高
条件最小二乘估计方法使用率最高
反之，如果残差序列为非白噪声序列，那就意味着残 差序列中还残留着相关信息未被提取，这就说明拟合 模型不够有效
18
假设条件
原假设：残差序列为白噪声序列
H 0 ： 1 2 L m 0 , m 1
备择假设：残差序列为非白噪声序列 H1：至少存 k 在 0,m 某 1， 个 km
19
10
极大似然估计
原理
在极大似然准则下，认为样本来自使该样本 出现概率最大的总体。因此未知参数的极大 似然估计就是使得似然函数（即联合密度函 数）达到最大的参数值
L ( ˆ 1 ,ˆ 2 , ,ˆ k ; x 1 , ~ x ) m p ( ~ x ) a 1 , ;2 , x ,k } {
检验统计量
LB统计量
m
LBn(n2) (
ˆk2
)~2(m)
k1 nk
20
参数显著性检验
目的
检验每一个未知参数是否显著非零。删除不 显著参数使模型结构最精简
假设条件
H 0 :j 0 H 1 :j 0 1 j m
检验统计量
T
nm
ˆj j ajjQ(~)
~t(nm)
21
例2.5续
6
模型定阶经验方法
95％的置信区间
Pr
2 n
ˆ k
2 n
0.95
Pr
2 n
ˆkk
2 n
0.95
模型定阶的经验方法
如果样本(偏)自相关系数在最初的d阶明显大于两倍 标准差范围，而后几乎95％的自相关系数都落在2
倍标准差的范围以内，而且通常由非零自相关系数
衰减为小值波动的过程非常突然。这时，通常视为
偏自相关图显示除了延迟1阶的偏自相关系数显著 大于2倍标准差之外，其它的偏自相关系数都在2 倍标准差范围内作小值随机波动，而且由非零相 关系数衰减为小值波动的过程非常突然，所以该 偏自相关系数可视为一阶截尾
所以可以考虑拟合模型为AR(1)
25
例2.5续
确定1950年——1998年北京市城乡居民 定期储蓄比例序列拟合模型的口径
与 ˆkk
都会衰减至零值附
？当 ˆ k 或ˆkk 在延迟若干阶之后衰减为小值波动时， 什么情况下该看作为相关系数截尾，什么情况 下该看作为相关系数在延迟若干阶之后正常衰 减到零值附近作拖尾波动呢？
5
样本相关系数的近似分布
Barlett
ˆk
~N(0,1) n
,n
Quenouille
ˆkk~N(0,1n) ,n
11
似然方程
2
l(~;~x)
n
22
S(~) 24
0
~l(~;~x)
12ln~212
S(~) ~
0
由于S ( %) 和ln 都不是 % 的显式表达式。 因而似然方程组实际上是由p+q+1个超越 方程构成，通常需要经过复杂的迭代算 法才能求出未知参数的极大似然估计值
12
对极大似然估计的评价
优点
体方差 n
xi
ˆ x i 1 n
ˆ2
11ˆˆ1122
ˆp2 ˆq2
ˆx2
9
对矩估计的评价
优点
估计思想简单直观 不需要假设总体分布 计算量小（低阶模型场合）
缺点
信息浪费严重
只用到了p+q个样本自相关系数信息，其他信息都被忽略
估计精度差
通常矩估计方法被用作极大似然估计和最小二 乘估计迭代计算的初始值
ˆ k
拖尾 q阶截尾
拖尾
ˆkk
P阶截尾
拖尾
拖尾
选择模型 AR(P) MA(q)
ARMA(p,q)
4
模型定阶的困难
因为由于样本的随机性，样本的相关系数不会
呈现出理论截尾的完美情况，本应截尾的 ˆ k
或ˆkk 仍会呈现出小值关性，随
着延迟阶数 k ，ˆ k 近作小值波动
(偏)自相关系数截尾。截尾阶数为d。
7
参数估计
待估参数
p q 2个未知参数
1,L,p,1,L,q,,2
常用估计方法
矩估计 极大似然估计 最小二乘估计
8
矩估计
原理
样本自相关系数估计总体自相关系数
1(1,L ,p,1,L ,q)ˆ1
M
pq(1,L ,p,1,L ,q)ˆpq
样本一阶均值估计总体均值，样本方差估计总
缺点
需要假定总体分布
16
模型检验
模型的显著性检验
整个模型对信息的提取是否充分
参数的显著性检验
模型结构是否最简
17
模型的显著性检验
目的
检验模型的有效性（对信息的提取是否充分）
检验对象
残差序列
判定原则
一个好的拟合模型应该能够提取观察值序列中几乎所 有的样本相关信息，即残差序列应该为白噪声序列
拟合模型：AR(1) 估计方法：极大似然估计 模型口径
xt2.1 5 7 0 .6xt9 1t
ˆ2 16.17
26
例2.5续
检验1950年——1998年北京市城乡居民 定期储蓄比例序列拟合模型的显著性
残差白噪声序列检验结果
延迟阶数 LB统计量
极大似然估计充分应用了每一个观察值所提 供的信息，因而它的估计精度高
同时还具有估计的一致性、渐近正态性和渐 近有效性等许多优良的统计性质
缺点
需要假定总体分布
13
最小二乘估计
原理
使残差平方和达到最小的那组参数值即为最 小二乘估计值
Q (ˆ)mQ i( n ~)
n
2
mi(n xt1xt 1pxtp1t 1qtq)
选择合适的模型ARMA拟合1950年—— 1998年北京市城乡居民定期储蓄比例序 列。
22
序列自相关图
23
序列偏自相关图
24
拟合模型识别
自相关图显示延迟3阶之后，自相关系数全部衰减 到2倍标准差范围内波动，这表明序列明显地短期 相关。但序列由显著非零的相关系数衰减为小值 波动的过程相当连续，相当缓慢，该自相关系数 可视为不截尾
案例分析
ARMA模型与ARIMA模型建模
1
建模步骤
平
计
稳
算
非
样
白
本
噪
相
声
关
序
系
列
数
模型 识别
参数 估计
模
N
模型
Y型
检验
优
化
序 列 预 测
2
计算样本相关系数
样本自相关系数 样本偏自相关系数
nk
(xt x)(xtk x)
ˆk t1 n
(xt x)2
t 1
ˆkk
Dˆ k Dˆ
3
模型识别
基本原则