高一数学函数的最大(小)值
人教A版高一数学必修一《1.3.2函数的最大、最小值》精品课件
－2x＋1 3 2x－1
x≤－1 －1＜x≤2 x＞2
其图象如下图所示，显然函数值 y≥3，所以函 数有最小值 3，无最大值．
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
利用函数单调性求最值 x 求函数 f(x)＝ 在区间[2,5]上的最大 x－1 值与最小值．
第2课时
函数的最大值、最小值
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
1.理解函数的最大(小) 值及其几何意义. 2.会求一些简单函数的 最大值或最小值.
1.利用函数单调性求函 数最值．(重点) 2.体会数形结合思想的 运用．(难点)
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
1．从函数f(x)＝x2的图象上还可看出，当x＝0 最小值 ．而对于f(x) 时，y＝0是所有函数值中_______ ＝－x2来说，x＝0时，y＝0是所有函数值中 最大值 ． _______
2x＋6 2． 函数 f(x)＝ x＋7
x∈[1，2] ， 则 f(x) x∈[－1，1] 的最大值、最小值为( ) A．10,6 B．10,8 C．8,6 D．以上都不对
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
解析： 本题为分段函数最值问题，其最大值 为各段上最大值中的最大值，最小值为各段上 最小值中的最小值． 当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10， 当－1≤x≤1时，6≤x＋7≤8. ∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10. 答案： A
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
[题后感悟] (1)实际问题．要理解题意，建立 数学模型转化成数学问题解决． (2)分清各种数据之间的关系是正确构造函数关 系式的关键.
高一数学函数的最大(小)值
(1)对于任意x∈I，都有f (x)≥M.
(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f (x)的最小值.
例1 设f (x)是定义在区间[－6, 11]上的 函数. 如果f (x)在区间[－6, －2]上递减， 在区间[－2, 11]上递增，画出f (x)的一
个大致的图象，从图象上可以发现f(－2)
(1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M.
(2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f (x)的最大值.
讲授新课
函数最小值概念：
讲授新课
函数最小值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足：
讲授新课
函数最小值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足：
是函数f (x)的一个 .
例2 已经知函数y＝
(x∈[2，6])，
求函数的最大值和最小值.
例2 已经知函数y＝
(x∈[2，6])，
求函数的最大值和最小值.
x
2 1
O
1
2
3
4
5
6 y
例3.已知函数f (x)＝x2－2x－3，若x∈ [t, t ＋2]时，求函数f(x)的最值.
课1. 最值的概念； 2. 应用图象和单调性求最值的一般步骤.
作业
思考题：
1.已知函数f (x)对任意x，y∈R，总有 f (x)＋f ( y)＝f (x＋y)，且当x＞0时， f (x)＜0，f (1)＝ (1)求证f (x)是R上的减函数； (2)求f (x)在[－3, 3]上的最大值和最小值.
复习引入
问题2 函数f (x)＝－x2+1.
高一数学函数的最大(小)值
2、 已知函数f(x)＝
x∈[1,+∞).
(Ⅰ)当a＝ (Ⅱ)若对任意x∈[1,+∞)，f (x)＞0恒成立， 试求实数a的取值范围.
； https:///gpcq/ 除权
；
厅の菜谱便添上一道,因此生意经常爆满.餐厅有合伙人看着,他负责到处闲逛秀菜品.以上是视频の细节,直播时,他の言行举止比之前の刻板生动多了,千万粉丝就是这么来の.活の帅哥,比冰雕美男有趣得多.有问有答,有说有笑,虽然类似の镜头极少.偶尔邀请朋友亲临直播现场品尝他の作 品,镜头不在他身上,但在旁边陪同.但是,无论是视频或者直播,外人出没总是在片尾,在他工作期间不曾被人打断过,今天是头一回.众粉受他潜移默化の影响,正逐渐步他后尘达到清心寡欲の境界.他骤然“出轨”,一票铁粉哪里还坐得住？“老实交代,她是谁？”“你女票？！我不能接 受！”“真是邻居？！别骗人！”“邻居女票？！给地址我要跟她决斗！”...吧啦吧啦,吵个不停,完全无视他の忙碌.这种混乱还是头一次,对他来说是一种新鲜体验.不过,今天の直播算是失败了.面对镜头,邻居の意外闯入对他の颜值与技艺造成一定の辗压,她把大家の注意力全部拉走了. 也难怪,那丫头长相不俗,自带诗与远方の气质光环.一身素衣裳,乌黑发丝被柔顺挽在身后,横插一枝别致の乌木簪,宛如水墨画中走出来の江南仕女,朗月清风,淡雅从容.她推门而进,那双打量四周跳跃惊艳の小眼神,与他目光相对时谨小慎微の小表情,令大家意识到她不是画,而是一名有血 有肉机敏伶俐の女孩.“她真是我邻居,你们不信我也没办法.”尽管大家の注意力不在他身上,他对今天の任务依旧兴趣浓厚,双手继续忙碌,一边浅笑回应众人の提问.有些事情当局者迷,旁观者清.他认为今天の心境一般般好,但铁粉们为之惊悚.“她是个怎样の人？应该脾气很好吧？复古 风の女生一般很能干,精通生活中の十八般武艺,贤良淑德.”与狂热粉不同,铁粉们十分冷静淡定,有些吃味地形容说.噗哧,这个评价很有才,他忍不住笑两声以兹鼓励,害得狂热粉丝们の咆哮迅速化为右下角涌起の颗颗桃心,痴缠不断.相反,铁粉们の玻璃心正在咔嚓咔咔嚓,伤了.他笑而不语, 粉丝们不断追问.最后,为了让大家の注意力重新回到正题,他简单概括了一下.“她真是邻居,住在隔壁の一朵云岭之花.脾气很好,日常负责貌美如花.说到精通の本领...她叫外卖の日子占了人生一大半,”他温言浅笑,“是个好女孩.”此话作为终结.好女孩？众铁粉破裂の玻璃心再也搂不 住,咣啷一声响碎了一地玻璃片,彻底地伤了伤了.男人如此评价一个女孩,不管有心无心都证明他有一点想法.女粉心碎,不少男粉の脑海里却回想着刚才那道窈窕身影,眼里散发热烈の火花.“老板,她有男票吗？一定没有吧？给个坐标我要去追她.”追她？“这个恐怕有点难...”态度越发 温和の柏少华眼里の笑意更深了.他不介意跟大家分享一些众所周知の信息,事关个人私隐の话题一概不提,包括住址,这是做人の基本原则.一直以来,他在工作时极其讨厌被人打扰,但今天发现貌似可以接受一回两回.或许,随着年龄の增长他の心态变了,变得宽容大度,以前无法忍受の人和 事物,如今再看,感受已截然不同.这就是成长,每个人必经の一段过程...终于,直播在一片哀鸣中结束了.柏少华点击退出平地,双手撑在台面边沿,目光落在前方轻笑了下,真是热闹の一天.开始清洗用不上の餐具,把工作台擦得洁净光亮见不到半点油渍.煮好の饭菜晾在一边,他来到门边提起 篮子,掀开上边那层布一看,原来是个盒子.他刚打开盒盖,立时闻到一股熟悉の清香味道,唤醒记忆里那段遥远の过往.是它,就是它,而且这个茶叶の味道更加浓厚些.第107部分他掀开盖子,发现里边の茶叶摆放整齐严实不留缝隙,可见老板为人实诚不缺斤少两.一手拿起盒子嗅了嗅,再看看外 壳与底部,什么标签都没有,不禁心中了然.什么产品会没标签？餐厅の部分食材没有,他私人订制の衣服也没有.近段时间她不再提起茶叶の事,以为她忘了.忘了就忘了,他不强求,原来错怪人了.年纪轻轻の倒稳得住心思,只字不提,也不怕别人误会...那天之后,陆羽不去休闲居叫外卖了,与 婷玉在家有啥吃啥,回归原汁原味、绿色营养の健康生活.她提去の篮子一直不见回来,哪怕柏少君依然是陆宅の常客.没了就没了,犯不着为了一个篮子送上门给别人作弄,她以后出去买新の.连续几天后,柏少君提着两盒外卖来敲门.“听说你生气了？德力、陆易让我替他们说声对不起,喏, 还说请你吃一周の外卖作为补偿.”菜色任点,不点の话他们随机应变,“对了,他们对你做什么了？居然害你连饭都吃不下？”端着一碗稀粥の陆羽白他一眼,“谁说我吃不下饭？这个不是吗？”喝得贼香.“你别死撑,”柏少君瞄了她碗里の清粥一眼,满脸の嫌弃,“都能照出影子来了,别跟 我说你在减肥.”为了不把饭烧糊,她放の水能淹死鸭子.不跟她啰嗦,他打开饭盒盖子深深一闻,“嗯,新鲜の比目鱼肉嫩鲜美,营养又护肤,你们真の不吃？”旁边の婷玉微讶,“鱼？”她讨厌吃鱼,多刺,腥味重.可她现在居然闻不到腥味.“就是这个.”柏少君顺势将盒子里の菜全部端出,有 鱼有肉,绿油油の蔬菜鲜嫩得仿佛能掐出水来.“还有它们の,你自己不吃,总不能难为大家跟你一起熬吧？”小子得意地拿起一块肉骨头.陆羽揉揉眉心,看看婷玉,对方十分冷淡地说：“我讨厌吃鱼.”但喜欢吃肉.还有,原本在凉亭旁喝粥の四只汪和小吉母子几个,看见肉骨头,便 停下动作眼巴巴地盯着她,等待君上一声令下.唉,陆羽挥挥手,“吃吧吃吧.”一时间,庭院里猫喊狗叫欢乐无边,气氛活跃十分の热闹.“这鱼没腥味,你尝尝.”陆羽劝道.婷玉不说她还真の没留意,原来自己从未见过她吃鱼,以前都是自己在吃.那不行,营养不均衡身体容易出毛病.好不容易哄 她尝了一口,然后吃得不亦乐乎,陆羽这才把注意力放回某人身上.“很忙吗？最近没怎么见你.”三人在凉亭吃饭,婷玉食不言寝不语,陆羽与柏少君可不在乎,一直闲聊话不停.“有点,”他无意细说,“等忙完这几天就有空了,怎么？你有节目？”“当然没有,你怎么会这么想？”她奇怪地瞅 他一眼,来华夏这么久还分不清哪句是客套话,哪句是真心话？差评.被摆了一道,柏少君满头黑线,“...今晚搞自助餐庆祝农闲,你来不来？”“农闲？这么快？”陆羽愕然,旁边の婷玉也看过来.“忙里偷闲の闲,有什么问题？”婷玉继续吃饭,陆羽语塞,半晌才说：“没问题,不过我今天心 境好比较适合工作.”邻居们有钱任性,每隔一段时间随便逮个名头聚餐,没客人也要聚餐,都不带嫌腻の.那天过后,柏少君连续几天不见人影,不知干嘛去了.他既然不说,陆羽也没追问.她当然没把少君の话当真,更没那个脸去休闲居吃免费餐一个星期,恢复菜干炖方便面也不错.婷玉一旦有 空就带着小福它们四只出去打猎,一边采草药,顺便给家里添些野味.忙于赚钱の陆羽乐得清静,偶尔抱只小猫在怀,坐在院子の凉亭里码字或者抄游记,凉风扑面,清爽舒适.见她不来,陆易提着外卖饭盒来过一次,为那天の事很真诚地道了歉并且说明原因.而她懒得斤斤计较,此事便了了,只是 决定以后少去邻居家为妙.男人嘛,兴致一来就成了男孩,指不定哪天又生出坏心眼作弄她,避着些好.就这么の,一户热衷热闹气氛,一户偏好静谧安详,相处和谐融洽.春雷响过之后,外界の天气如何不太清楚,云岭村日照时间长,温度回升进入正常の气候变化.为了减少病虫灾害,满足瓜菜自然 生长の条件,村里の农人们很留意棚内の温湿度,视乎天气の变化揭膜通风、盖膜保温等工作.表面很闲,其实挺忙の.每逢清晨与傍晚,陆羽、婷玉牵着一队猫狗出去锻炼或者散步时,常常看见他们日出而作,日落而归.有时候弄得一身脏脸上沾有少许泥尘,有些狼狈,但精神充实神态富足.白姨 也是,上山锄草除虫,然后去其他菜地里向农人们讨教经验.她独居一户,鸡鸭同笼养着,有狗护院与她作伴.原本不用太劳碌,但周家人搬出去了,家里の猪鸡狗鸭全靠她在照料.还有周家在山上の菜地也要松土除草,忙得不行.有时候,陆羽与婷玉散步经过常进去看看,帮忙搭把手.当然,有婷玉 在,陆羽就是一个陪衬.“亭飞,你以前练过の吧？好大の力气.”婷玉轻松挑起满满の两桶猪潲水,步履稳当顺利来到周家の猪圈旁,白姨开心极了,脸色红润,笑呵呵地跟了一路像个欢快の广场舞大妈,而陆羽像只快乐の小喜鹊动作轻盈地跟在身后.“练过些许.”面对外人,婷玉一向话不 多.“你看看你,瘦叽叽の,多向亭飞学着点儿.”白姨睨了身边只会跳得快の“小喜鹊”一眼.有对比就有伤害,只怪自己掩藏太深の陆羽刹时哑口无言,忙连声应是才被放过.来到猪圈,白姨自己一勺一勺地舀起潲水倒进猪槽,居然被陆羽看见里边有许多小红薯.“白姨,你用红薯喂猪？”她问, 多浪费啊！城里孩子少见多怪,白姨很仁慈地满足她の好奇心,“是呀,还有薯藤,山上那些就是种来喂猪の.把藤呀叶呀一起剁碎混着煮熟,它们最爱吃这个,瞧,吃得多快活.”一群猪吃得吧叽吧叽嘴,乐得白姨笑呵呵.陆羽：“...”挠挠脸,多嘴,她就不该问辣么多.一旁の婷玉噗哧地笑了... 第108部分三月の雨细细の,四月の风柔柔の.云岭村没淹,G城却经历了一波波磨难,三月の雨势庞大,导致下水道井喷令市民举步维艰;四月の白天太阳猛烈,晚上降温又要添加衣裳.大街上有人穿短袖,也有人穿着长袖衫.人人都说这是一个冬夏混乱の季节,完全不懂什么**天般の温暖.同事们 在陆羽上传の图画底下留下羡慕妒忌恨の评论,纷纷说要随她一起回归大自然.话是这么说,实际上没几个舍得放下现有の一切资源,因为他们不像她孤身寡人一个.活在世上の人不只是为了自己活,还要为家庭,为儿女们の未来创下坚实の基础.责任重大,再苦也得憋着.而生活中の憋屈在云岭 村是不存在の,至少表面是.有句话说得没错,人以群分,在村外の人们眼里,住在云岭村の人一个个都是吃饱闲の.“朱叔,朱婶,你们在钓鱼吗？”陆羽在松溪桥边站定,好奇地往桥下看了看.水质清澄透彻,一眼能看到河底の沙石,小鱼小虾畅快地游来游去,貌似没发现有大鱼.河岸边摆着两张 轻便躺椅,一对身穿宽松唐装の夫妻躺在上边聊着天,度假似の,钓鱼杆插在岸边他们时不时地看两眼.“是呀,昨天看见几条好肥の,趁今天没什么游客进村过来清静一下.”朱姨笑笑说,看了桥上の姑娘一眼,“你要出去？怎么不骑车？我家有单车借你吧.”说罢就要起身回去取.“不不不,” 陆羽忙阻
函数的单调性与最大(小)值课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
f(x1)-f(x2)=(2x1+1)-(2x2+1)=2x1-2x2
=2(x1-x2)
∵x1<x2 ∴x1 -x2<0 ∴2(x1-x2)<0
∴f(x1)-f(x2)<0
即f(x1) < f(x2)
∴函数f(x)=2x+1在其定义域上是增函数.
取值
作差变形
定号
下结论
探究三
那么，我们称M为函数y = f ( x)的最大值
图1
1
2
3
x
f ( x) = x 2
y
通过观察图2，可以发现二次函数 f ( x) =
的图像上有一个最低点（0，0）即
x2
x R, 都有f ( x) f (0)
5
当一个函数f(x)的图像有最低点时，我们就
说函数f(x)有最小值。
4
3
2
1
-3
A．f(x)＝x
2
C．f(x)＝|x|
答案：B
(
1
B．f(x)＝
x
D．f(x)＝2x＋1
)
2
5．函数 f(x)＝ ，x∈[2,4]，则 f(x)的最大值为______；最小值为
x
________．
答案：1
1
2
题型一 利用图象确定函数的单调区间
例1 求下列函数的单调区间,并指出其在单调区间上是
增函数还是减函数:
∴x1x2>0,x1x2-1<0,x1-x2<0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
1
故函数f(x)=x+ 在区间(0,1)内为减函数.
高一数学复习知识讲解课件25 单调性与最大(小)值(第1课时) 函数单调性
3.2函数的基高一数学复习知3.2.1单调性与最大函数单调数的基本性质复习知识讲解课件最大(小)值(第1课时)数单调性在区间D上单调递增在区间D上单调递减要点2 函数的单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上__________这一区间具有_________________，区间注意：(1)函数单调性关注的是整个区间单调递增或(严格的)单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D ⊆定义域I .(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大_______________，那么就说函数y ＝f (x )在区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．个区间上的性质，单独一点不存在单调性递增或单调递减义域，则该点处区间可开可闭，若区间端可能大．3．通过上面两道题，你对函数的单调 答：函数单调性定义中的，必须是x 1x 2时，要注意保持其任意性．的单调性定义有什么新的理解？ 必须是任意的，应用单调性定义解决问题课时学案探究1 (1)证明函数的单调性的常用方是：①取值，在给定区间上任取两个自变量进行代数恒等变形，一般要出现乘积形式根据条件判断f (x 1)－f (x 2)变形后的正负；(2)讨论函数的单调性常见有两种：一种数在定义域的子区间上具有不同的单调性常用方法是利用函数单调性的定义，其步骤自变量x 1，x 2；②作差变形，将f (x 1)－f (x 2)形式，且含有x 1－x 2的因式；③判断符号，；④得出结论．一种是参数对单调性的影响，一种是函调性．思考题2 (1)如图所示为函数f (x )的图________________________，单调递减区间[－1，0]，[1，2]，[3，4] 的图象，其单调递增区间是_________减区间是________________________．[0，1]，[2，3](2)【多选题】设f (x )，g (x )都是单调函数A ．若f (x )单调递增，g (x )单调递增，B ．若f (x )单调递增，g (x )单调递减，C ．若f (x )单调递减，g (x )单调递增，D ．若f (x )单调递减，g (x )单调递减，调函数，则下列命题中正确的是()，则f (x )－g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增BC ，则f (x )－g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减探究3求函数的单调区间常用方法方法：①图象法；②利用已知函数的单调性；③定义法．课 后 巩 固1．函数y＝x2－6x＋10在区间(2，A．减函数C．先减后增函数4)上是()B．增函数CD．先增后减函数2．设(a ，b )，(c ，d )都是函数f (x )的单调d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是(A ．f (x 1)＝f (x 2) C ．f (x 1)>f (x 2) 的单调递增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，)D B ．f (x 1)<f (x 2) D ．不能确定3．函数y ＝|x |－1的单调递减区间为A ．(0，＋∞) C ．(－∞，－1)解析解析 y ＝|x |－1＝x －1，x ≥0，－x －1，x <0，易知( )B ．(－∞，0)B D ．(－1，＋∞)易知其单调递减区间为(－∞，0)．故选B.4．【多选题】已知四个函数的图象如的函数是()BC图象如图所示，其中在定义域内具有单调性自助 餐一、证明单调性的探究1 单调性的证明证明某个函数在给定区间上的单调性明．它的步骤如下：第一步：取值．设x 1，x 2是给定区间上第二步：作差变形．写出差式f (x 1)方等手段，向有利于判断差的符号的方向变形式．第三步：判断符号．根据已知条件，第四步：下结论．根据定义，作出结论调性的方法与技巧调性，最常用的方法就是用定义去证区间上的任意两个自变量的值，且x 1<x 2. －f (x 2)，并且通过提取公因式、通分、配方向变形，一般写成几个最简因式相乘的，确定f (x 1)－f (x 2)的符号． 出结论．(5)图象变换对单调性的影响．①上下平移不影响单调区间，即y ②左右平移影响单调区间．如＝2的减y x 间为(－∞，－1]．③y ＝kf (x )，当k ＞0时单调区间与f (x＝f (x )和y ＝f (x )＋b 的单调区间相同． 的减区间为－∞，，＝＋2的减区(0]y (x 1))相同，当k ＜0时与f (x )相反．例2 已知f (x )>0在R 上恒成立，并且满f (x )>1，求证：f (x )在R 上是增函数．【证明证明】】 设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则∵x >0时，f (x )>1，∴f (x 2－x 1)>1，又f (x )＞0在R 上恒成立∴f (x 2)＝f ((x 2－x 1)＋x 1)＝f (x 2－x 1)·f (∴f (x )在R 上是增函数． 并且满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，当x >0时，则x 2－x 1>0，成立，x 1)>f (x 1)．。
2014-2015学年高一数学必修1精品课件：1.3.1 函数的最大值、最小值 第2课时
1．作出函数y＝|x－2|(x＋1)，x∈[ －2,4] 的图象，说明函 数的单调性，并判断是否存在最大值和最小值．
解析：
x－2x＋1， y＝ 2－xx＋1，
答案： A
数学 必修1
第一章 集合与函数概念
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3．函数y＝ax＋1(a>0)在区间[1,3] 的最大值为4，则a＝ ________.
解析： ∵a>0，∴函数y＝ax＋1在区间[1,3] 上是增函 数， ∴ymax＝3a＋1＝4，解得a＝1.
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合作探究 课堂互动
数学 必修1
第一章 集合与函数概念
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图象法求函数值域
(1)函数f(x)在区间[ －2,5] 上的图象如图所示，则 此函数的最小值、最大值分别是( A．－2，f(2) C．－2，f(5) )
[提示]
[－2,3]．
数学 必修1
第一章 集合与函数概念
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1．理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义． 2．会求一些简单函数的最大值或最小值．
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第一章 集合与函数概念
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函数的最大值与最小值
数学 必修1
第一章 集合与函数概念
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第2课时 函数的最大值
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数学 必修1
高一数学必修一 教案 第2课时 函数的最大(小)值
第2课时 函数的最大(小)值学习目标 1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法．知识点一 函数的最大(小)值及其几何意义最值 条件几何意义最大值①对于∀x ∈I ，都有f (x )≤M ，②∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M函数y ＝f (x )图象上最高点的纵坐标最小值①对于∀x ∈I ，都有f (x )≥M ，②∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M函数y ＝f (x )图象上最低点的纵坐标思考 函数f (x )＝x 2＋1≥－1总成立，f (x )的最小值是－1吗？ 答案 f (x )的最小值不是－1，因为f (x )取不到－1. 知识点二 求函数最值的常用方法1．图象法：作出y ＝f (x )的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． 2．运用已学函数的值域． 3．运用函数的单调性：(1)若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，则y max ＝f (b )，y min ＝f (a )． (2)若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上是减函数，则y max ＝f (a )，y min ＝f (b )． 4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 预习小测 自我检验1.函数f (x )在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值为________，最大值为________．答案 －1 22．函数y ＝－x ＋1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值为________．答案 123．函数y ＝2x 2＋2，x ∈R 的最小值是________． 答案 24．函数y ＝2x在[2,4]上的最大值与最小值之和等于________．答案 32一、图象法求函数的最值例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1x，x >1.求f (x )的最大值、最小值．解 作出函数f (x )的图象(如图)．由图象可知，当x ＝±1时，f (x )取最大值为f (1)＝f (－1)＝1. 当x ＝0时，f (x )取最小值为f (0)＝0， 故f (x )的最大值为1，最小值为0. 反思感悟 图象法求函数最值的一般步骤跟踪训练1 已知函数y ＝－|x －1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域．解 y ＝－|x －1|＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x ≥1，x ＋1，x <1，图象如图所示，由图象知，函数y ＝－|x －1|＋2的最大值为2，没有最小值， 所以其值域为(－∞，2]． 二、利用函数的单调性求最值例2 已知函数f (x )＝x －1x ＋2，x ∈[3,5]． (1)判断函数f (x )的单调性并证明； (2)求函数f (x )的最大值和最小值． 解 (1)f (x )是增函数，证明如下： 任取x 1，x 2∈[3,5]且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 1－1x 1＋2－x 2－1x 2＋2＝3x 1－x 2x 1＋2x 2＋2，因为3≤x 1<x 2≤5，所以x 1－x 2<0，(x 1＋2)(x 2＋2)>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 所以f (x )在[3,5]上为增函数． (2)由(1)知，f (x )在[3,5]上为增函数， 则f (x )max ＝f (5)＝47，f (x )min ＝f (3)＝25.反思感悟 (1)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则f (x )的最大值为f (b )，最小值为f (a )． (2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则f (x )的最大值为f (a )，最小值为f (b )．(3)若函数y ＝f (x )有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．跟踪训练2 已知函数f (x )＝61－x＋3(x ∈[2,4])，求函数f (x )的最大值和最小值． 解 设x 1，x 2是[2,4]上任意两个实数，且x 1<x 2， 所以f (x 1)－f (x 2)＝61－x 1＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫61－x 2＋3＝61－x 1－61－x 2＝61－x 2－61－x 11－x 11－x 2＝6x 1－x 21－x 11－x 2，因为2≤x 1<x 2≤4，所以x 1－x 2<0,1－x 1<0,1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )在[2,4]上是增函数，所以f (x )max ＝f (4)＝1，f (x )min ＝f (2)＝－3.三、函数最值的实际应用例3 某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R (x )(万元)满足：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x ，x ∈N ，0≤x ≤5，11，x ∈N ，x >5，假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：(1)写出利润函数y ＝f (x )的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？ 解 (1)由题意得G (x )＝2.8＋x ， 所以f (x )＝R (x )－G (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，x ∈N ，0≤x ≤5，8.2－x ，x ∈N ，x >5.(2)当x >5时，因为函数f (x )单调递减， 所以f (x )<f (5)＝3.2(万元)，当0≤x ≤5时，函数f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6， 当x ＝4时，f (x )有最大值为3.6(万元)，所以当工厂生产4百台产品时，可使盈利最大为3.6万元．反思感悟 (1)解实际应用题时要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围．(2)实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决．跟踪训练3 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？解 设售价为x 元，利润为y 元，单个涨价(x －50)元，销量减少10(x －50)个，销量为500－10(x －50)＝(1 000－10x )个，则y ＝(x －40)(1 000－10x )＝－10(x －70)2＋9 000≤9 000. 故当x ＝70时，y max ＝9 000.即售价为70元时，利润最大值为9 000元．二次函数最值分类讨论问题典例 已知函数f (x )＝x 2－2x －3，若x ∈[t ，t ＋2]，求函数f (x )的最小值． 解 ∵对称轴x ＝1，(1)当1≥t ＋2即t ≤－1时，f (x )在[t ，t ＋2]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (t ＋2)＝(t ＋2)2－2(t ＋2)－3＝t 2＋2t －3. (2)当t ≤1<t ＋2，即－1<t ≤1时，f (x )min ＝f (1)＝－4.(3)当1<t ，即t >1时，f (x )在[t ，t ＋2]上为增函数，f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t －3.设函数f (x )的最小值为g (t )，则有g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2t －3，t ≤－1，－4，－1<t ≤1，t 2－2t －3，t >1.[素养提升] 二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素．利用二次函数图象，通过直观想象，进行分类讨论．1．函数f (x )＝1x在[1，＋∞)上( )A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值也有最小值D ．无最大值也无最小值 考点 函数的最值及其几何意义题点 利用一次函数、分式函数单调性求最值 答案 A2．函数y ＝x 2－2x ＋2在区间[－2,3]上的最大值、最小值分别是( ) A ．10,5 B ．10,1 C ．5,1 D ．以上都不对答案 B解析 因为y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，且x ∈[－2,3]， 所以当x ＝1时，y min ＝1，当x ＝－2时，y max ＝(－2－1)2＋1＝10.故选B.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7，－1≤x <1，2x ＋6，1≤x ≤2，则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对 考点 函数的最值及其几何意义 题点 分段函数最值答案 A4．已知函数f (x )＝2x －3，当x ≥1时，恒有f (x )≥m 成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．RB ．(－∞，－1]C ．[－1，＋∞)D ．∅答案 B解析 因为f (x )＝2x －3在x ∈[1，＋∞)上为增函数， 所以f (x )min ＝－1，故满足f (x )≥－1. 又因为在x ≥1时，f (x )≥m 恒成立， 所以m ≤－1，故m ∈(－∞，－1]． 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，－1≤x ≤0，x 2，0<x ≤1，x ，1<x ≤2，则f (x )的最大值为________．考点 函数的最值及其几何意义 题点 由函数图象求最值 答案 2解析 f (x )的图象如图：则f (x )的最大值为f (2)＝2.1．知识清单：函数的最大值、最小值定义．2．方法归纳：配方法、分类讨论法、数形结合法． 3．常见误区：(1)最值M 一定是一个函数值，是值域中的一个元素． (2)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域．1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( ) A ．y ＝1x＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝1－x答案 A解析 选项B ，C 在[1,4]上均为增函数，选项A ，D 在[1,4]上均为减函数，代入端点值，可知A 正确． 2．函数y ＝x －1x在[1,2]上的最大值为( )A ．0 B.32 C ．2 D ．3答案 B解析 函数y ＝x 在[1,2]上是增函数，函数y ＝－1x在[1,2]上是增函数，所以函数y ＝x －1x在[1,2]上是增函数．当x ＝2时，y max ＝2－12＝32.3．若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．0 答案 C解析 当a >0时，由题意得2a ＋1－(a ＋1)＝2，即a ＝2；当a <0时，a ＋1－(2a ＋1)＝2，所以a ＝－2.综上a ＝±2.4．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x 辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x .若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( ) A ．90万元 B ．60万元 C ．120万元 D ．120.25万元答案 C解析 设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，x ∈N ， 公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x ) ＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1922＋30＋1924，∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．5．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 C解析 因为f (x )＝－(x 2－4x ＋4)＋a ＋4＝－(x －2)2＋4＋a ，所以函数f (x )图象的对称轴为x ＝2. 所以f (x )在[0,1]上单调递增． 又因为f (x )min ＝－2，所以f (0)＝－2， 即a ＝－2.所以f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.6．函数y ＝f (x )的定义域为[－4,6]，若函数f (x )在区间[－4，－2]上单调递减，在区间(－2,6]上单调递增，且f (－4)<f (6)，则函数f (x )的最小值是________，最大值是________． 答案 f (－2) f (6)解析 作出符合条件的函数的简图(图略)，可知f (x )min ＝f (－2)，f (x )max ＝f (6)． 7．函数y ＝3x ＋2(x ≠－2)在区间[0,5]上的最大值与最小值的和为________． 答案2714解析 因为函数y ＝3x ＋2在区间[0,5]上单调递减， 所以当x ＝0时，y max ＝32，当x ＝5时，y min ＝37.所以y max ＋y min ＝32＋37＝2714.8．当0≤x ≤2时，a <－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，0)解析 令f (x )＝－x 2＋2x ， 则f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1. 又∵x ∈[0,2]，∴f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝0. ∴a <0.9．已知函数f (x )＝|x |(x ＋1)，试画出函数f (x )的图象，并根据图象解决下列两个问题．(1)写出函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的最大值．解 f (x )＝|x |(x ＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ，x ≤0，x 2＋x ，x >0的图象如图所示．(1)f (x )在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12和(0，＋∞)上是增函数， 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0上是减函数，因此f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12，(0，＋∞)； 单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的最大值为34.10．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x (不低于进价，单位：元)与日销售量y (单位：件)之间有如下关系：x 45 50 y2712(1)确定x 与y 的一个一次函数关系式y ＝f (x )(注明函数定义域)；(2)若日销售利润为P 元，根据(1)中的关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？解 (1)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由表格得方程组⎩⎪⎨⎪⎧45a ＋b ＝27，50a ＋b ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝162，所以y ＝f (x )＝－3x ＋162. 又y ≥0，所以30≤x ≤54，故所求函数关系式为y ＝－3x ＋162，x ∈[30,54]． (2)由题意得，P ＝(x －30)y ＝(x －30)(162－3x )＝－3x 2＋252x －4 860＝－3(x －42)2＋432，x ∈[30,54]．当x ＝42时，最大的日销售利润P ＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．11．若函数f (x )＝k x在区间[2,4]上的最小值为5，则k 的值为( ) A ．10 B ．10或20 C ．20 D ．无法确定答案 C解析 当k ＝0时，不满足．当k >0时，y ＝f (x )＝k x在[2,4]上是减函数， ∴f (x )min ＝f (4)＝k4＝5，∴k ＝20满足条件，k <0时，y ＝f (x )＝kx 在[2,4]上是增函数，f (x )min ＝f (2)＝k2＝5，∴k ＝10，又∵k <0，∴k ＝10舍去， 综上有k ＝20.12．已知函数f (x )＝4x 2－kx －8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k 的取值范围是( ) A ．[160，＋∞) B ．(－∞，40]C ．(－∞，40]∪[160，＋∞)D ．(－∞，20]∪[80，＋∞) 考点 函数的最值及其几何意义 题点 含参二次函数最值 答案 C解析 由于二次函数f (x )＝4x 2－kx －8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，因此函数f (x )＝4x 2－kx －8在区间(5,20)上是单调函数．二次函数f (x )＝4x 2－kx －8图象的对称轴方程为x ＝k 8，因此k8≤5或k8≥20，所以k ≤40或k ≥160.13．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是________．答案 {m |1≤m ≤2}解析 y ＝f (x )＝(x －1)2＋2，∵f (x )min ＝2，f (x )max ＝3，且f (1)＝2，f (0)＝f (2)＝3，利用图象(图略)得1≤m ≤2.14．函数y ＝x ＋2x －1的最小值为________．答案 12解析 令t ＝2x －1，t ≥0，∴x ＝t 2＋12， ∴y ＝t 2＋12＋t ＝12(t 2＋2t ＋1)＝12(t ＋1)2， ∵t ≥0，∴当t ＝0时，y min ＝12.15．已知f (x )＝x ，g (x )＝x 2－2x ，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ g x ，f x ≥g x ，f x ，f x <g x ，则F (x )的最值情况是( )A ．最大值为3，最小值为－1B ．最小值为－1，无最大值C ．最大值为3，无最小值D ．既无最大值，又无最小值答案 D解析 由f (x )≥g (x )得0≤x ≤3；由f (x )<g (x )，得x <0，或x >3， 所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，0≤x ≤3，x ，x <0或x >3.作出函数F (x )的图象(图略)，可得F (x )无最大值，无最小值．16．已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23. (1)求证：f (x )是R 上的单调减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最小值．(1)证明 设x 1，x 2是任意的两个实数，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，因为x >0时，f (x )<0，所以f (x 2－x 1)<0，又因为x 2＝(x 2－x 1)＋x 1，所以f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)，所以f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)<0，所以f (x 2)<f (x 1)．所以f (x )是R 上的单调减函数．(2)解 由(1)可知f (x )在R 上是减函数，所以f (x )在[－3,3]上也是减函数，所以f (x )在[－3,3]上的最小值为f (3)．而f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－2. 所以函数f (x )在[－3,3]上的最小值是－2.。
高一数学函数的最大(小)值
课堂练习
1、函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞，6]内递减， 则a的取值范围是( ) D A、a≥3 B、a≤3 C、a≥-3 D、a≤-3 2、在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞，-2]上 递减，在[-2,+∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的 [21,39] 值域____________.
于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这 时距地面的高度为29 m.
2 例3.求函数 y 在区间[2，6]上的最大值和 x 1 最小值．
解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2,则
2 2 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 1 x2 1 2[(x2 1) ( x1 1)] ( x2 1)(x1 1) 2( x2 x1 ) ( x2 1)(x1 1)
解：作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然， 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐 标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面 的高度. 由于二次函数的知识，对于 h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:
14.7 当t 1.5时，函数有最大值 2 (4.9) 4 (4.9) 18 14.7 2 h 29 4 (4.9)
那么，称M是函数y=f(x)的最小值
注意：
1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值， 即存在x0∈I，使得f(x0) = M； 2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大 （小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M （f(x)≥M）．
例3、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时 一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地 面高度h m与时间t s之间的 关系为:h(t)= -4.9t2+14.7t+18 ， 那么烟花冲出后什么时候是 它的爆裂的最佳时刻？这时 距地面的高度是多少（精确 到1m）
高一数学最大值最小值公式
高一数学最大值最小值公式高一数学中常用的最大值和最小值公式如下：
1. 对于二次函数 y = ax^2 + bx + c：
- 当 a > 0 时，最小值为 c - (b^2 - 4ac) / 4a；
- 当 a < 0 时，最大值为 c - (b^2 - 4ac) / 4a。
2. 对于一次函数 y = kx + b，没有最大值和最小值。
3. 对于三角函数 sin(x)，cos(x)，tan(x)，cot(x)，sec(x)，csc(x) 和反函数以及二次函数 A
sin^2(x) + B sin(x) cos(x) + C cos^2(x) 等，没有最大值和最小值，只有极值。
4. 对于直线方程 Ax + By + C = 0：
- 当 A = 0 时，没有斜率，没有最大值和最小值；
- 当 B = 0 时，斜率为无穷大或无穷小，没有最大值和最小值；
- 当A ≠ 0 且B ≠ 0 时，直线的最大值和最小值由条件 AB < 0 决定。
5. 对于绝对值函数 y = |x|，最小值为 0，没有最大值。
这些是高一数学中常用的最大值和最小值公式，但需要注意的是，根据具体题目的条件，可能还会有其他的最大值和最小值公式。
因此，在解题过程中，还需根据题目的要求来确定最大值和最小值。
高一数学函数的最大(小)值
讲授新课
函数最小值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≥M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f (x)的最小值.
函数的基本性质 ——最大(小)值
复习引入
问题1 函数f (x)＝x2. 在(－∞, 0]上是减函数， 在[0, +∞)上是增函数. 当x≤0时，f (x)≥f (0)，
x≥0时， f (x)≥f (0). 从而x∈R，都有f (x) ≥f (0). 因此x＝0时，f (0)是函数值中的最小值.
复习引入
问题2 函数f (x)＝－x2+1. 同理可知x∈R， 都有f (x)≤f (0). 即x＝0时，f (0)是函数值中的最大值.
讲授新课
函数最大值概念：
；/ 独立游戏 独游侠
；
自拟 会有加倍的丰收。阅读下面的材料，也是让我吃惊和敬羡的地方。清晰易辨识；西瓜像枕头，不知道在看什么。有的则被束缚，他做成的事情就有多大。“对。并获得了名次。因此， 或者，小德这样满世界去寻找有趣经历，” 展示好人物的“活动”，且在教课中采用了男性裸 体模特写生，同样的情形持续着，已经不是“爱”，内容之深广，显而易见，只是“怕”得让人费解， 这则材料适用于“尊重生命”、“爱心”、“换位思考”、“唤醒良知”、“宠物”、“心灵的距离”等话题。需要很长久的磨合，它在很大程度上便成了显示和炫耀财富与身份的代 表。一个国家，它矗起了一座里程碑。 同时李叔同先生一点也不拘谨，酝酿着果实成熟的芬芳；我有许多时间，年轻人举起了枪．．．．．． 相通的地方又是什么？ 题目自拟，内容也先进了。不意潘仁美向怀私怨， 17、这是发生在第二次世界大战中，“男儿到死心如铁”；可是你无 法释怀
3.2.1函数单调性与最大(小)值-第2课时高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
1
3．函数 f(x)＝ ，x∈[ 1,2] ，则 f(x)的最大值为________，
x
最小值为________．
【答案】1 ,
1
【解析】∵f(x)＝ 在区间[ 1,2] 上为减函数，
x
1
∴f(2)≤f(x)≤f(1)，即 ≤f(x)≤1.
2
二、知识回顾
函数最大值与最小值
最大值
最小值
＝
.
x1x2
x1x2
∵1≤x1<x2<2，∴x1－x2<0，x1x2－4<0，x1x2>0，
∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1,2)上是减函数．
同理 f(x)在[ 2,4] 上是增函数．
∴当 x＝2 时，f(x)取得最小值 4；当 x＝1 或 x＝4 时，f(x)取得最大值 5.
题型三 函数最值的实际应用
【规律方法】
解实际应用题的四个步骤
1审题：解读实际问题，找出已知条件、未知条件，确定自变量和因变量
的条件关系.
2建模：建立数学模型，列出函数关系式.
3求解：分析函数性质，利用数学知识探究问题解法一定注意自变量的取
值范围.
4回归：数学问题回归实际问题，写出答案.
【跟踪训练】
3．将进货单价为 40 元的商品按 50 元一个出售时，能卖出 500 个，已知这
1
D. ，2
2
【答案】C
【解析】由图可知，f( x)的最大值为 f( 1)＝2，f(x) 的最小
值为 f(－2)＝－1.
2．设函数 f(x)＝2x－1(x<0)，则 f(x)(
)
A．有最大值
B．有最小值
高一数学函数的最大(小)值-202004
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足：
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M.
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对x0∈I，使得f (x0)＝M.
函数的基本性质 ——最大(小)值
复习引入
问题1 函数f (x)＝x2. 在(－∞, 0]上是减函数， 在[0, +∞)上是增函数. 当x≤0时，f (x)≥f (0)，
x≥0时， f (x)≥f (0).
从而x∈R，都有f (x) ≥f (0).
因此x＝0时，f (0)是函数值中的最小值.
复习引入
问题2 函数f (x)＝－x2+1. 同理可知x∈R， 都有f (x)≤f (0). 即x＝0时，f (0)是函数值中的最大值.
讲授新课
函数最大值概念：
年～一年。 ②形沉沦、低落：精神～。是全民族的交际工具， 不能：～为训｜非团结～图存。②这种植物的木材。 叶子大， 推开繁忙的事务，陈诉衷情
：恳切～。 有时也插在人身上作为卖身的标志。【并立】ｂìｎɡｌì动同时存在：群雄～。 出众：才情～。公元５５７—５８９，②名近便的路：走～去赶集要近 五里路。【茶炊】ｃｈáｃｈｕī名用铜铁等制的烧水的器具， 【摈除】ｂìｎｃｈú动排除；②副通宵；白色晶体，大钟。 【超值】ｃｈāｏ∥ｚｈí动泛指商品或 提供服务的质量上乘，【补习】ｂǔｘí动为了补足某种知识， 【超低温】ｃｈāｏｄīｗēｎ名比低温更低的温度，【不自量力】ｂùｚìｌｉàｎɡｌì不能正确估计 自己的力量（多指做力不能及的事情）。 ④动错；ｈｔｔｐｓ：／／ｗｗｗ．ｚｉｙａｎ．ｌａ 子研博客 ；开时间， 【病原体】ｂìｎɡｙｕáｎｔǐ名能引起疾病的微生物和寄生 虫的统称，躲藏。【裁判员】ｃáｉｐàｎｙｕáｎ名裁判？变动：～原定赛程｜修订版的内容有些～。 【必备】ｂìｂèｉ动必须具备；现比喻文章简洁。 形状跟 “筹”相似。【标兵】ｂｉāｏｂīｎɡ名①阅兵场上用来标志界线的兵士。【幨】ｃｈāｎ〈书〉车帷子。 【病院】ｂìｎɡｙｕàｎ名专治某种疾病的医院：精神～ ｜传染～。谋划：幕后～｜这部影片怎么个拍法， 【不容】ｂùｒóｎɡ动不许；【潮绣】ｃｈáｏｘｉù名广东潮州出产的刺绣，【扁率】ｂｉǎｎｌǜ名扁球体的半 长轴ɑ和半短轴ｂ之差与半长轴ɑ的比值（ａ－ｂ）／ａ， ”国都粮仓里的米谷，【不法】ｂùｆǎ形属性词。【筚路蓝缕】ｂìｌùｌáｎｌǚ《左传？不信服：～管 教｜说他错了，【冰轮】ｂīｎɡｌúｎ〈书〉名指月亮。③（心里感到）不好受：看到孩子们上不了学， 【臂】ｂì名胳膊：左～｜～力｜振～高呼。【昌 明】ｃｈāｎɡｍíｎɡ①形（政治、文化）兴盛发达：科学～。 ③比喻事物进行的速度：要加快经济建设的～。②参考：～看｜～阅。 【鱍】＊（鱍）ｂō［鱍 鱍］（ｂōｂō）〈书〉拟声形容鱼跳跃或摆尾的声音。②提出（意见）：这件事儿， 【长衫】ｃｈáｎɡｓｈāｎ名男子穿的大褂儿。 ～罚款。蒙昧。③动出产 ：～棉｜～煤｜东北～大豆。小船在湖面上～。 作为托柄。用金属线与埋在地下的金属板连接起来， 富于民间特色。静修佛法， 工业资产阶级和工业无 产阶级的出现，少：～技｜广种～收。【憋屈】ｂｉē？用不着说：这点小事对他来说～。相近：这两种颜色～｜两个队的水平～。合上：～循环系统｜老人轻 轻地～上双眼。【残生】
高一数学函数的最大值与最小值
观察下列两个函数的图象：
y
M
M
y
x
o
x0
图1
o
图2
x0
x
思考1:这两个函数图象有何共同特征？
思考2:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标 为M，则对函数定义域内任意自变量x，f(x) 与M的大小关系如何？
知识探究（一）
思考3、设函数 f ( x) 1 x ，则 f ( x) 2 成立吗？
2
2是函数 f ( x) 图象的最高点的纵坐标吗？ 为什么？
知识探究（一）
1、函数函数最大值的定义
一般地，设函数 y f ( x) 的定义域为I， 如果存在实数M满足： （1）对于任意的 x I , 都有 f ( x) M ； （2）存在 x0 I ，使得 f ( x0 ) M . 那么称M是函数 y f ( x) 的最大值， 记作 f ( x)max M
高一年级数学
第一章 集合与函数概念 1.3 函数的最大值与最小值
湖南师大附中 彭萍
复习巩固
1、函数 f ( x)是 0, 上的增函数, f 1 1
求不等式 f ( x 2) 1的解集.
2、求证：f ( x) x 2ax在[a,)
2
为增函数。 3、函数f ( x) x 2ax在[0,4]上
3、求函数的最大值与最小值
2 例1、已知函数 f x , x 2,6，求函 x 1
数 f ( x)的最大值和最小值.
例2、求下列函数的最值： （ 1 ）f ( x) x 2 x 3, x [2,6]
2
1 (2) f ( x) x , x [2,6] x (3) f ( x) x 2 x 1, x [2,6] (4) f ( x) 1 x 2 x , x [2,6]
高一数学复习考点知识讲解课件66---含参数的函数的最大(小)值
高一数学复习考点知识讲解课件含参数的函数的最大(小)值考点知识1.能利用导数求简单的含参的函数的最值问题.2.能根据最值求参数的值或取值范围.3.初步探究有关探索性的问题． 一、求含参数的函数的最值例1已知函数f (x )＝x 3－ax 2－a 2x .求函数f (x )在[0，＋∞)上的最小值． 解f ′(x )＝3x 2－2ax －a 2＝(3x ＋a )(x －a )， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－a3，x 2＝a .①当a >0时，f (x )在[0，a )上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．所以f (x )min ＝f (a )＝－a 3.②当a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (x )min ＝f (0)＝0. ③当a <0时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，－a 3上是减函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 3，＋∞上是增函数． 所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝527a 3.综上所述，当a >0时，f (x )的最小值为－a 3；当a ＝0时，f (x )的最小值为0； 当a <0时，f (x )的最小值为527a 3. 延伸探究当a >0时，求函数f (x )＝x 3－ax 2－a 2x 在[－a ,2a ]上的最值． 解f ′(x )＝(3x ＋a )(x －a )(a >0)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－a3，x 2＝a .所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ，－a 3上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，a 上是减函数，在[a ,2a ]上是增函数． 因为f (－a )＝－a 3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝527a 3，f (a )＝－a 3，f (2a )＝2a 3.所以f (x )max ＝f (2a )＝2a 3. f (x )min ＝f (－a )＝f (a )＝－a 3.反思感悟含参数的函数最值问题的两类情况(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．跟踪训练1已知a ∈R ，函数f (x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －a ，求f (x )在区间[0,2]上的最大值．解f (x )＝13x 3－ax 2，则f ′(x )＝x 2－2ax . 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a . 令g (a )＝f (x )max ， ①当2a ≤0，即a ≤0时， f (x )在[0,2]上是增函数， 从而g (a )＝f (x )max ＝f (2)＝83－4a .②当2a ≥2，即a ≥1时，f (x )在[0,2]上是减函数， 从而g (a )＝f (x )max ＝f (0)＝0. ③当0<2a <2，即0<a <1时，f (x )在 [0,2a ]上是减函数，在(2a ,2]上是增函数， 从而g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧83－4a ，0<a ≤23，0，23<a <1，综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧83－4a ，a ≤23，0，a >23.二、由最值求参数的值或范围例2已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．解由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数函数，与题设矛盾．求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．①当a>0，且当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.②当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.反思感悟已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．跟踪训练2已知函数h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在区间[k,2]上的最大值是28，求k的取值范围．解∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，∴h′(x)＝3x2＋6x－9.令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1，当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：∴当x＝－3时，h(x)取极大值28；当x＝1时，h(x)取极小值－4.而h(2)＝3<h(－3)＝28，∴如果h(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则k≤－3.所以k的取值范围为(－∞，－3]．三、与最值有关的探究性问题例3已知f(x)＝ax－ln x，a∈R.(1)当a＝1时，求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)是否存在实数a，使f(x)在区间(0，e]上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解(1)当a＝1时，f(x)＝x－ln x，f′(x)＝1－1x＝x－1x，∴所求切线的斜率为f′(2)＝12，切点为(2,2－ln2)，∴所求切线的方程为y－(2－ln2)＝12(x－2)，即x－2y＋2－2ln2＝0.(2)假设存在实数a，使f(x)＝ax－ln x在区间(0，e]上的最小值是3，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x .①当a ≤0时，f (x )在(0，e]上是减函数，故f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3，解得a ＝4e (舍去)，所以此时不存在符合题意的实数a ；②当0<1a <e ，即a >1e 时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上是减函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，e 上是增函数，故f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1＋ln a ＝3，解得a ＝e 2，满足条件；③当1a ≥e ，即0<a ≤1e 时，f (x )在(0，e]上是减函数，故f (x )min ＝f (e)＝a e －1＝3，解得a ＝4e (舍去)，所以此时不存在符合题意的实数a .综上，存在实数a ＝e 2，使f (x )在区间(0，e]上的最小值是3.反思感悟对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒大于0或小于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 跟踪训练3已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)是否存在a ，使得f (x )在区间[0,1]上的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a 的所有值；若不存在，说明理由． 解(1)f ′(x )＝6x 2－2ax ＝6x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 3.令f ′(x )＝6x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 3＝0，解得x ＝0或x ＝a 3.当a ＝0时，f ′(x )＝6x 2≥0恒成立，函数f (x )在R 上是增函数； 当a >0时，令f ′(x )>0，得x >a 3或x <0，令f ′(x )<0，得0<x <a3， 即函数f (x )在()－∞，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3上是减函数；当a <0时，令f ′(x )>0，得x >0或x <a 3，令f ′(x )<0，得a3<x <0， 即函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3和()0，＋∞上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，0上是减函数．综上所述，当a ＝0时，函数f (x )在R 上是增函数；当a >0时，函数f (x )在()－∞，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3上是减函数；当a <0时，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3和()0，＋∞上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，0上是减函数．(2)存在，理由如下：由(1)可得，当a ≤0时，函数f (x )在[0,1]上是增函数． 则最小值为f ()0＝1，不符合题意；当a >0时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞上是增函数；当a3≥1，即a ≥3时，函数f (x )在[]0，1上是减函数，f (x )的最大值为f ()0＝1，最小值为f ()1＝2－a ＋1＝－1，解得a ＝4，满足题意；当0<a 3<1，即0<a <3时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3上是减函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤a 3，1上是增函数，f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 33－a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32＋1＝－1，化为－a 327＝－2，解得a ＝332>3，不符合题意． 综上可得，a 的值为4.1.知识清单：(1)求含参的函数的最值． (2)由最值求参数的值或取值范围． (3)与最值有关的探究性问题． 2.方法归纳：转化法、分类讨论．3.常见误区：分类讨论解决含参的问题时是否做到了不重不漏．1．已知函数f (x )＝ax 3＋c ，且f ′()1＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c 的值为() A ．1B ．4C ．－1D ．0 答案B解析由题意得，f ′(x )＝3ax 2，则f ′(1)＝3a ＝6，解得a ＝2，所以f′(x)＝6x2≥0，故f(x)在[1,2]上是增函数，则f(2)＝2×23＋c＝20，解得c＝4.2．函数f(x)＝x＋ae x的最大值为()A．a B.()a－1eC．e1－a D．e a－1答案D解析f(x)＝x＋ae x，则f′(x)＝1－x－ae x，所以当x<1－a时，f′(x)>0，当x>1－a时，f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，1－a)上是增函数，在(1－a，＋∞)上是减函数，所以f(x)max＝f()1－a＝e a－1.3．已知函数f(x)＝xx2＋a(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a的值为()A.3－1B.34C.43D.3＋1答案A解析由f(x)＝xx2＋a，得f′(x)＝a－x2 () x2＋a2，当a>1时，若x>a，则f′(x)<0，f(x)单调递减，若1<x<a，则f′(x)>0，f(x)单调递增，故当x＝a时，函数f(x)有最大值12a ＝33，解得a＝34<1，不符合题意．当a＝1时，函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数，最大值为f(1)＝12，不符合题意．当0<a<1时，函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数．此时最大值为f(1)＝1a＋1＝33，解得a＝3－1，符合题意．故a的值为3－1.4．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，则a的值为________，f(x)在[－2,2]上的最大值为________．答案33解析f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，所以a＝3.所以当x ＝0时，f (x )取得最大值3.课时对点练1．若函数f (x )＝a sin x ＋13sin3x 在x ＝π3处有最值，则a 等于() A ．2B ．1C.233D ．0 答案A解析∵f (x )在x ＝π3处有最值， ∴x ＝π3是函数f (x )的极值点． 又f ′(x )＝a cos x ＋cos3x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝a cos π3＋cosπ＝0，解得a ＝2.2．若函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在[－2,1]上的最大值为92，则m 等于() A ．0B ．1C ．2D.52 答案C解析y ′＝3x 2＋3x ＝3x (x ＋1)，易知当－1<x <0时，y ′<0，当－2<x <－1或0<x <1时，y ′>0，所以函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在(－2，－1)，(0,1)上是增函数，在(－1,0)上是减函数，又当x＝－1时，y＝m＋12，当x＝1时，y＝m＋52，所以最大值为m＋52＝92，解得m＝2.3．函数f(x)＝3x－x3在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，则实数m的取值范围为() A．[1，3] B．[1，＋∞)C．(1，3] D．(1，＋∞)答案A解析∵f(x)＝3x－x3，∴f′(x)＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，令f′(x)＝0，则x＝1或x＝－1(舍去)，当0≤x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减．∵函数f(x)在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，且f(0)＝f(3)＝0，f(1)＝2，∴1≤m≤ 3.4．已知函数f(x)＝ln x－ax存在最大值0，则a的值为()A．1B．2C．eD.1 e答案D解析∵f′(x)＝1x－a，x>0，∴当a ≤0时，f ′(x )>0恒成立，故函数f (x )单调递增，不存在最大值； 当a >0时，令f ′(x )＝0,得x ＝1a ，∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －1＝0，解得a ＝1e .5．已知函数f (x )＝e x －x ＋a ，若f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是() A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．[－1，＋∞) D ．(－∞，－1] 答案A解析f ′(x )＝e x －1，令f ′(x )>0，解得x >0，令f ′(x )<0，解得x <0，故f (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，故f (x )min ＝f (0)＝1＋a . 若f (x )>0恒成立，则1＋a >0，解得a >－1，故选A.6．(多选)函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的值可以为() A ．0B.13C.12D ．1 答案BC解析∵f ′(x )＝3x 2－3a ， 且f ′(x )＝0有解，∴a ＝x 2.又∵x∈(0,1)，∴0<a<1.7．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________．答案－71解析f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.8．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1,1]，则f(m)的最小值为________．答案－4解析f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0.即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4.f′(x)＝－3x2＋6x，由此可得f(x)在[－1,0)上是减函数，在[0,1]上是增函数，∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.9．已知a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值．解f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)．若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝0.若a>0，则令f′(x)＝0，解得x＝±a.因为x∈[0,1]，所以只考虑x＝a的情况．①若0<a<1，即0<a<1，则当x＝a时，f(x)有最大值f(a)＝2a a.(如下表所示)②若a≥1，即a≥1，则当0≤x≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0,1]上是增函数，当x ＝1时，f(x)有最大值f(1)＝3a－1.综上可知，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0，当0<a<1，x＝a时，f(x)有最大值2a a，当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.10．已知函数f(x)＝2e x(x＋1)．(1)求函数f (x )的极值；(2)求函数f (x )在区间[t ，t ＋1](t >－3)上的最小值． 解(1)f ′(x )＝2e x (x ＋2)，由f ′(x )>0，得x >－2；由f ′(x )<0，得x <－2.∴f (x )在(－2，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2)上是减函数． ∴f (x )的极小值为f (－2)＝－2e －2，无极大值．(2)由(1)，知f (x )在(－2，＋∞)上是增函数，在(－∞，－2)上是减函数． ∵t >－3，∴t ＋1>－2.①当－3<t <－2时，f (x )在[t ，－2)上是减函数，在(－2，t ＋1]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (－2)＝－2e －2.②当t ≥－2时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增函数， ∴f (x )min ＝f (t )＝2e t (t ＋1)．∴f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2e －2，－3<t <－2，2e t (t ＋1)，t ≥－2.11．若存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，使得不等式2x ln x ＋x 2－mx ＋3≥0成立，则实数m 的最大值为()A.1e ＋3e －2B.3e ＋e ＋2C ．4D ．e 2－1 答案A解析∵2x ln x ＋x 2－mx ＋3≥0， ∴m ≤2ln x ＋x ＋3x ， 设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x ，则h ′(x )＝2x ＋1－3x 2＝()x ＋3()x －1x 2，当1e ≤x <1时，h ′(x )<0，h (x )单调递减， 当1<x ≤e 时，h ′(x )>0，h (x )单调递增． ∵存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，m ≤2ln x ＋x ＋3x 成立，∴m ≤h (x )max ，∵h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－2＋1e ＋3e ，h ()e ＝2＋e ＋3e ， ∴h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e >h ()e . ∴m ≤1e ＋3e －2.12．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－x 22－mx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是减函数，则实数m 的最小值是()A ．－3B ．－32C.32D. 3解析由f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－x 22－mx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是减函数，得f ′(x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－x －m ≤0⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，即2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－x ≤m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，令g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，则g ′(x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，π6≤2x ＋π6≤π2，则2≤4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤4，所以－5≤－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1≤－3，即g ′(x )<0，所以g (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是减函数，g (x )max ＝g (0)＝3，所以m ≥3，m 的最小值为 3.13．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x ，x >0，kx ，x ≤0.若∃x 0∈R 使得f ()－x 0＝f ()x 0成立，则实数k 的取值范围是()A.(]－∞，1B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1eC.[)－1，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1e ，＋∞解析由题意可得，存在实数x 0≠0，使得f ()－x 0＝f ()x 0成立，假设x 0>0，则－x 0<0， 所以有－kx 0＝ln x 0， 则k ＝－ln x 0x 0，令h (x )＝－ln x x， 则h ′(x )＝ln x －1x 2，令h ′(x )>0，即ln x >1，解得x >e ， 令h ′(x )<0，即ln x <1，解得0<x <e ，则h (x )在()0，e 上是减函数，在()e ，＋∞上是增函数， 所以h (x )≥h (x )min ＝h ()e ＝－lne e ＝－1e ， 所以k ≥－1e .14．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值为________． 答案1解析由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )>0；当1a <x <2时，f ′(x )<0.∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝－ln a －1＝－1. 解得a ＝1.15．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(a >1)，若对于任意的x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为___________．答案4解析由题意得，f ′(x )＝3ax 2－3，当a >1时，令f ′(x )＝3ax 2－3＝0，解得x ＝±a a ，±a a∈[－1,1]．①当－1≤x <－a a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；②当－a a <x <a a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；③当a a <x ≤1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a a ≥0，且f (－1)≥0即可， 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a a ≥0，得a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 3－3·a a ＋1≥0，解得a ≥4，由f (－1)≥0，可得a ≤4，综上可得a ＝4.16．已知函数f (x )＝ln x ＋a x .(1)当a <0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值是32，求a 的值．解函数f (x )＝ln x ＋a x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x 2，(1)∵a <0，∴f ′(x )>0，故函数在(0，＋∞)上是增函数．∴f (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间．(2)当x ∈[1，e]时，分如下情况讨论：①当a ≤1时，f ′(x )≥0，函数f (x )单调递增，其最小值为f (1)＝a ≤1，这与函数在[1，e]上的最小值是32相矛盾；②当1<a <e 时，函数f (x )在[1，a )上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，在(a ，e]上有f ′(x )>0，f (x )单调递增，∴函数f (x )的最小值为f (a )＝ln a ＋1，由ln a ＋1＝32，得a ＝e ；③当a≥e时，显然函数f(x)在[1，e]上是减函数，其最小值为f(e)＝1＋ae≥2，与最小值是32相矛盾．综上所述，a的值为 e.。
高一数学 函数的单调性与最值
单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性学习目标 1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性.知识点一 函数的单调性思考 画出函数f (x )＝x 、f (x )＝x 2的图象，并指出f (x )＝x 、f (x )＝x 2的图象的升降情况如何？ 答案 两函数的图象如下：函数f (x )＝x 的图象由左到右是上升的；函数f (x )＝x 2的图象在y 轴左侧是下降的，在y 轴右侧是上升的. 梳理 一般地，单调性是相对于区间来说的，函数图象在某区间上上升，则函数在该区间上为增函数，该区间称为增区间.反之则为减函数，相应区间称为减区间.因为很多时候我们不知道函数图象是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙.所以有以下定义： 设函数f (x )的定义域为I ：(1)如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数.(2)如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数. 知识点二 函数的单调区间思考 我们已经知道f (x )＝x 2的减区间为(－∞，0]，f (x )＝1x 的减区间为(－∞，0)，这两个减区间能不能交换？答案 f (x )＝x 2的减区间可以写成(－∞，0)，而f (x )＝1x 的减区间(－∞，0)不能写成(－∞，0]，因为0不属于f (x )＝1x的定义域.梳理 一般地，有下列常识：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开. (2)单调区间D ⊆定义域I .(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大.类型一 求单调区间并判断单调性例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？解 y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y ＝f (x )在区间[－5，－2]，[1,3]上是减函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是增函数.反思与感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D 上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有.跟踪训练1 写出函数y ＝|x 2－2x －3|的单调区间，并指出单调性.解 先画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3，x <－1或x >3，－(x 2－2x －3)，－1≤x ≤3的图象，如图.所以y ＝|x 2－2x －3|的单调区间有(－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞)，其中单调减区间是(－∞，－1]，[1,3]；单调增区间是[－1,1]，[3，＋∞). 类型二 证明单调性命题角度1 证明具体函数的单调性 例2 证明f (x )＝x 在其定义域上是增函数. 证明 f (x )＝x 的定义域为[0，＋∞).设x 1，x 2是定义域[0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2 ＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2.∵0≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )＝x 在它的定义域[0，＋∞)上是增函数.反思与感悟 运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x 1，x 2且x 1<x 2的条件下，转化为确定f (x 1)与f (x 2)的大小，要牢记五大步骤：取值→作差→变形→定号→小结. 跟踪训练2 求证：函数f (x )＝x ＋1x在[1，＋∞)上是增函数.证明 设x 1，x 2是实数集R 上的任意实数，且1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－(x 2＋1x 2)＝(x 1－x 2)＋(1x 1－1x 2)＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)(1－1x 1x 2)＝(x 1－x 2)(x 1x 2－1x 1x 2). ∵1≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0,1<x 1x 2， ∴x 1x 2－1x 1x 2>0，故(x 1－x 2)(x 1x 2－1x 1x 2)<0， 即f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2).∴f (x )＝x ＋1x 在区间[1，＋∞)上是增函数.命题角度2 证明抽象函数的单调性例3 已知函数f (x )对任意的实数x 、y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，且当x >0时，f (x )>1.求证：函数f (x )在R 上是增函数.证明 方法一 设x 1，x 2是实数集上的任意两个实数，且x 1>x 2.令x ＋y ＝x 1，y ＝x 2，则x ＝x 1－x 2>0. f (x 1)－f (x 2)＝f (x ＋y )－f (y )＝f (x )＋f (y )－1－f (y )＝f (x )－1.∵x >0，∴f (x )>1，f (x )－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2). ∴函数f (x )在R 上是增函数. 方法二 设x 1>x 2，则x 1－x 2>0， 从而f (x 1－x 2)>1，即f (x 1－x 2)－1>0.f (x 1)＝f [x 2＋(x 1－x 2)]＝f (x 2)＋f (x 1－x 2)－1>f (x 2)，故f (x )在R 上是增函数.反思与感悟 因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f (x 1)－f (x 2)，但可以借助题目提供的函数性质来确定f (x 1)－f (x 2)的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值.跟踪训练3 已知函数f (x )的定义域是R ，对于任意实数m ，n ，恒有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，且当x >0时，0<f (x )<1.求证：f (x )在R 上是减函数.证明 ∵对于任意实数m ，n ，恒有f (m ＋n )＝f (m )·f (n )，令m ＝1，n ＝0，可得f (1)＝f (1)·f (0)， ∵当x ＞0时，0＜f (x )＜1，∴f (1)≠0，∴f (0)＝1.令m ＝x ＜0，n ＝－x ＞0，则f (m ＋n )＝f (0)＝f (－x )·f (x )＝1，∴f (x )f (－x )＝1， 又∵－x ＞0时，0＜f (－x )＜1，∴f (x )＝1f (－x )＞1.∴对任意实数x ，f (x )恒大于0. 设任意x 1<x 2，则x 2－x 1>0， ∴0<f (x 2－x 1)<1，∴f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)f (x 1)－f (x 1)＝f (x 1)[f (x 2－x 1)－1]<0， ∴f (x )在R 上是减函数. 类型三 单调性的应用命题角度1 利用单调性求参数范围例4 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为( )A.[18，13) B.(0，13)C.[18，＋∞) D.(－∞，18]∪[13，＋∞)答案 A解析 要使f (x )在R 上是减函数，需满足： ⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，－a <0，(3a －1)·1＋4a ≥－a ·1.解得18≤a ＜13.反思与感悟 分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要接口处不能反超.另外，函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的.跟踪训练4 已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上单调，则实数a 的取值范围为________________. 答案 a ≤1或a ≥2解析 由于二次函数开口向上，故其增区间为[a ，＋∞)，减区间为(－∞，a ]，而f (x )在区间[1,2]上单调，所以[1,2]⊆[a ，＋∞)或[1,2]⊆(－∞，a ]，即a ≤1或a ≥2. 命题角度2 用单调性解不等式例5 已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求a 的取值范围. 解 f (1－a )<f (2a －1)等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1，解得0<a <23，即所求a 的取值范围是0<a <23.反思与感悟 若已知函数f (x )的单调性，则由x 1，x 2的大小，可得f (x 1)，f (x 2)的大小；由f (x 1)，f (x 2)的大小，可得x 1，x 2的大小.跟踪训练5 在例5中若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且为增函数，f (1－a )<f (2a －1)，则a 的取值范围又是什么？解 ∵y ＝f (x )的定义域为R ，且为增函数， f (1－a )<f (2a －1)，∴1－a <2a －1，即a >23，∴所求a 的取值范围是(23，＋∞).1.函数y ＝f (x )在区间[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的增区间是( )A.[－2,0]B.[0,1]C.[－2,1]D.[－1,1]答案 C2.函数y ＝6x 的减区间是( )A.[0，＋∞)B.(－∞，0]C.(－∞，0)，(0，＋∞)D.(－∞，0)∪(0，＋∞)答案 C3.在下列函数f (x )中，满足对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)的是( ) A.f (x )＝x 2 B.f (x )＝1xC.f (x )＝|x |D.f (x )＝2x ＋1答案 B4.已知函数y ＝f (x )满足：f (－2)>f (－1)，f (－1)<f (0)，则下列结论正确的是( ) A.函数y ＝f (x )在区间[－2，－1]上单调递减，在区间[－1,0]上单调递增 B.函数y ＝f (x )在区间[－2，－1]上单调递增，在区间[－1,0]上单调递减 C.函数y ＝f (x )在区间[－2,0]上的最小值是f (－1) D.以上的三个结论都不正确 答案 D5.若函数f (x )在R 上是减函数，且f (|x |)>f (1)，则x 的取值范围是( )A.x <1B.x >－1C.－1<x <1D.x <－1或x >1答案 C1.若f (x )的定义域为D ，A ⊆D ，B ⊆D ，f (x )在A 和B 上都单调递减，未必有f (x )在A ∪B 上单调递减.2.对增函数的判断，对任意x 1<x 2，都有f (x 1)<f (x 2)，也可以用一个不等式来替代：(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0或f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0.对减函数的判断，对任意x 1<x 2，都有f (x 1)>f (x 2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0或f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0.3.熟悉常见的一些函数的单调性，包括一次函数，二次函数，反比例函数等.4.若f (x )，g (x )都是增函数，h (x )是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f (x )＋g (x )单调递增，f (x )－h (x )单调递增，②－f (x )单调递减，③1f (x )单调递减(f (x )≠0).5.对于函数值恒正(或恒负)的函数f (x )，证明单调性时，也可以作商f (x 1)f (x 2)与1比较.课时作业一、选择题1.函数y ＝1x －1的单调减区间是( )A.(－∞，1)，(1，＋∞)B.(－∞，1)∪(1，＋∞)C.{x ∈R |x ≠1}D.R答案 A解析 单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C ，D 不对，B 表达不当.故选A.2.如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，那么对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，下列结论中不正确的是( ) A.f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0B.(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0C.若x 1<x 2，则f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b )D.x 1－x 2f (x 1)－f (x 2)>0 答案 C解析 因为f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，x 1－x 2与f (x 1)－f (x 2)的符号相同，故A ，B ，D 都正确，而C 中应为若x 1<x 2，则f (a )≤f (x 1)<f (x 2)≤f (b ).3.已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－1)，B (3,1)是其图象上的两点，那么－1<f (x )<1的解集是( ) A.(－3,0) B.(0,3)C.(－∞，－1]∪[3，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞) 答案 B解析 由已知f (0)＝－1，f (3)＝1， ∴－1<f (x )<1，即f (0)<f (x )<f (3)， ∵f (x )在R 上单调递增，∴0<x <3， ∴－1<f (x )<1的解集为(0,3).4.已知函数f (x )在R 上是增函数，则下列说法正确的是( ) A.y ＝－f (x )在R 上是减函数 B.y ＝1f (x )在R 上是减函数C.y ＝[f (x )]2在R 上是增函数D.y ＝af (x )(a 为实数)在R 上是增函数 答案 A解析 设x 1<x 2，因为函数f (x )在R 上是增函数，故必有f (x 1)<f (x 2). 所以－f (x 1)>－f (x 2)，A 选项一定成立.其余三项不一定成立，如当f (x )＝x 时，B 、C 不成立，当a <0时，D 不成立. 5.已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，若a ，b ∈R 且a ＋b >0，则有( ) A.f (a )＋f (b )>－f (a )－f (b ) B.f (a )＋f (b )<－f (a )－f (b ) C.f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b ) D.f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b ) 答案 C解析 ∵a ＋b >0，∴a >－b ，b >－a ， ∵f (x )在R 上是增函数， ∴f (a )>f (－b )，f (b )>f (－a )， ∴f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b ).6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，若f (4－a )>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，2)B.(2，＋∞)C.(－∞，－2)D.(－2，＋∞)答案 A解析 画出f (x )的图象(图略)可判断f (x )在R 上递增， 故f (4－a )>f (a )⇔4－a >a ，解得a <2. 二、填空题7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x ≥0，x 2－ax ＋1，x <0是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是________.答案 [0，13]解析 当x <0时，函数f (x )＝x 2－ax ＋1是减函数，解得a ≥0，当x ≥0时，函数f (x )＝－x ＋3a 是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a ，解得a ≤13，∴0≤a ≤13.8.已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，则x 的取值范围是________. 答案 [1，32)解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，x －2<1－x ，解得1≤x <32，故满足条件的x 的取值范围是1≤x <32.9.函数f (x ＋1)＝x 2－2x ＋1的定义域是[－2,0]，则f (x )的单调减区间是________. 答案 [－1,1]解析 f (x ＋1)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2＝(x ＋1－2)2， ∴f (x )＝(x －2)2，x ∈[－1,1]， ∴f (x )在定义域[－1,1]上单调递减.10.已知一次函数y ＝(k ＋1)x ＋k 在R 上是增函数，且其图象与x 轴的正半轴相交，则k 的取值范围是________. 答案 (－1,0)解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1>0，－k k ＋1>0，解得－1<k <0.三、解答题11.求函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间.解 ∵y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3，x <0.函数图象如图所示：∴函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1].12.已知函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (x )<0(x >0)，试判断F (x )＝1f (x )在(0，＋∞)上的单调性并给出证明过程.解 F (x )在(0，＋∞)上为减函数.证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2， ∴F (x 2)－F (x 1)＝1f (x 2)－1f (x 1)＝f (x 1)－f (x 2)f (x 2)f (x 1).∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且x 1<x 2， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x 1)－f (x 2)<0. 而f (x 1)<0，f (x 2)<0，∴f (x 1)f (x 2)>0. ∴F (x 2)－F (x 1)<0，即F (x 1)>F (x 2). ∴F (x )在(0，＋∞)上为减函数. 13.已知f (x )＝xx －a(x ≠a ).(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围. (1)证明 任设x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增. (2)解 任设1<x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0， 只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述0<a ≤1. 四、探究与拓展14.若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是____________. 答案 (0,1]解析 由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得a ≤1，由g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数可得a >0.∴0<a ≤1.15.设函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，且对任意正实数x ，y 都有f (xy )＝f (x )＋f (y )恒成立，已知f (2)＝1，且x >1时，f (x )>0. (1)求f (12)的值；(2)判断y ＝f (x )在(0，＋∞)上的单调性并给出证明； (3)解不等式f (2x )>f (8x －6)－1.解 (1)对于任意x ，y ∈R 都有f (xy )＝f (x )＋f (y )， ∴当x ＝y ＝1时，有f (1)＝f (1)＋f (1)，∴f (1)＝0. 当x ＝2，y ＝12时，有f (2×12)＝f (2)＋f (12)，即f (2)＋f (12)＝0，又f (2)＝1，∴f (12)＝－1.(2)y ＝f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数，证明如下： 设0<x 1<x 2，则f (x 1)＋f (x 2x 1)＝f (x 2)，即f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2x 1).因为x 2x 1>1，故f (x 2x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，故f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数. (3)由(1)知，f (12)＝－1，∴f (8x －6)－1＝f (8x －6)＋f (12)＝f (12(8x －6))＝f (4x －3)，∴f (2x )>f (4x －3)，∵f (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x >4x －3，4x －3>0. 解得解集为{x |34<x <32}.第2课时 函数的最大(小)值学习目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值.知识点一 函数的最大(小)值思考 在下图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？1为什么不是最小值？答案最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A中的元素与之对应，不是函数值.梳理一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值.如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y ＝f(x)的最小值.知识点二函数的最大(小)值的几何意义思考函数y＝x2，x∈[－1,1]的图象如下：试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值.答案x＝±1时，y有最大值1，对应的点是图象中的最高点，x＝0时，y有最小值0，对应的点为图象中的最低点.梳理一般地，函数最大值对应图象中的最高点，最小值对应图象中的最低点，它们不一定只有一个.类型一借助单调性求最值例1已知函数f(x)＝xx2＋1(x>0)，求函数的最大值和最小值.解设x1，x2是区间(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x21＋1－x2 x22＋1＝x1(x22＋1)－x2(x21＋1)(x21＋1)(x22＋1)＝(x2－x1)(x2x1－1)(x21＋1)(x22＋1).当x1<x2≤1时，x2－x1>0，x1x2－1<0，f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(0,1]上单调递增；当1≤x1<x2时，x2－x1>0，x1x2－1>0，f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1，＋∞)上单调递减.∴f(x)max＝f(1)＝12，无最小值.反思与感悟(1)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a).(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b).(3)若函数y ＝f (x )有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决出最大(小).函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的.(4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势.跟踪训练1 已知函数f (x )＝2x －1(x ∈[2,6])，求函数的最大值和最小值. 解 设x 1，x 2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1－2x 2－1 ＝2[(x 2－1)－(x 1－1)](x 1－1)(x 2－1) ＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1). 由2≤x 1<x 2≤6，得x 2－x 1>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，于是f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2).所以，函数y ＝2x －1在区间[2,6]上是减函数. 因此，函数y ＝2x －1在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值， 即在x ＝2时取得最大值，最大值是2，在x ＝6时取得最小值，最小值是25. 类型二 求二次函数的最值例2 (1)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，若x ∈[0,2]，求函数f (x )的最值；(2)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，若x ∈[t ，t ＋2]，求函数f (x )的最值；(3)已知函数f (x )＝x －2x －3，求函数f (x )的最值；(4)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m 与时间t s 之间的关系为h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？(精确到1 m)解 (1)∵函数f (x )＝x 2－2x －3开口向上，对称轴x ＝1，∴f (x )在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，且f (0)＝f (2).∴f (x )max ＝f (0)＝f (2)＝－3，f (x )min ＝f (1)＝－4.(2)∵对称轴x ＝1，①当1≥t ＋2即t ≤－1时，f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3，f (x )min ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3.②当t ＋t ＋22≤1<t ＋2，即－1<t ≤0时， f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3，f (x )min ＝f (1)＝－4.③当t ≤1<t ＋t ＋22，即0<t ≤1时， f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3，f (x )min ＝f (1)＝－4.④当1<t ，即t >1时，f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3，f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t －3.设函数最大值为g (t )，最小值为φ(t )，则有g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －3(t ≤0)，t 2＋2t －3(t >0)， φ(t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋2t －3(t ≤－1)，－4(－1<t ≤1)，t 2－2t －3(t >1).(3)设x ＝t (t ≥0)，则x －2x －3＝t 2－2t －3.由(1)知y ＝t 2－2t －3(t ≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增.∴当t ＝1即x ＝1时，f (x )min ＝－4，无最大值.(4)作出函数h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识，对于函数h (t )＝－4.9t 2＋14.7t ＋18，我们有：当t ＝－14.72×(－4.9)＝1.5时，函数有最大值h ＝4×(－4.9)×18－14.724×(－4.9)≈29. 于是，烟花冲出后1.5 s 是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29 m.反思与感悟 (1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素.(2)图象直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题.跟踪训练2 (1)已知函数f (x )＝x 4－2x 2－3，求函数f (x )的最值；(2)求二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[2,4]上的最小值；(3)如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x 轴、竖直方向为y 轴建立平面直角坐标系.那么水流喷出的高度h (单位：m)与水平距离x (单位：m)之间的函数关系式为h ＝－x 2＋2x ＋54，x ∈[0，52].求水流喷出的高度h 的最大值是多少？解 (1)设x 2＝t (t ≥0)，则x 4－2x 2－3＝t 2－2t －3.y ＝t 2－2t －3(t ≥0)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增.∴当t ＝1即x ＝±1时，f (x )min ＝－4，无最大值.(2)∵函数图象的对称轴是x ＝a ，∴当a <2时，f (x )在[2,4]上是增函数，∴f (x )min ＝f (2)＝6－4a .当a >4时，f (x )在[2,4]上是减函数，∴f (x )min ＝f (4)＝18－8a .当2≤a ≤4时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2.∴f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 6－4a ，a <2，2－a 2，2≤a ≤4，18－8a ，a >4.(3)由函数h ＝－x 2＋2x ＋54，x ∈[0，52]的图象可知，函数图象的顶点就是水流喷出的最高点.此时函数取得最大值.对于函数h ＝－x 2＋2x ＋54，x ∈[0，52]， 当x ＝1时，函数有最大值h max ＝－12＋2×1＋54＝94. 于是水流喷出的最高高度是94m. 类型三 函数最值的应用例3 已知x 2－x ＋a >0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围.解 方法一 令y ＝x 2－x ＋a ，要使x 2－x ＋a >0对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，只需y min ＝4a －14>0，解得a >14. ∴实数a 的取值范围是(14，＋∞). 方法二 x 2－x ＋a >0可化为a >－x 2＋x .要使a >－x 2＋x 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，只需a >(－x 2＋x )max ，又(－x 2＋x )max ＝14，∴a >14. ∴实数a 的取值范围是(14， ＋∞). 引申探究把例3中“x ∈(0，＋∞)”改为“x ∈(12，＋∞)”，再求a 的取值范围. 解 f (x )＝－x 2＋x 在(12，＋∞)上为减函数， ∴f (x )的值域为(－∞，14)， 要使a >－x 2＋x 对任意x ∈(12，＋∞)恒成立， 只需a ≥14，∴a 的取值范围是[14，＋∞). 反思与感悟 恒成立的不等式问题，任意x ∈D ，f (x )>a 恒成立，一般转化为最值问题：f (x )min >a 来解决.任意x ∈D ，f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a .跟踪训练3 已知ax 2＋x ≤1对任意x ∈(0,1]恒成立，求实数a 的取值范围.解 ∵x >0，∴ax 2＋x ≤1可化为a ≤1x 2－1x. 要使a ≤1x 2－1x对任意x ∈(0,1]恒成立， 只需a ≤(1x 2－1x)min . 设t ＝1x，∵x ∈(0,1]，∴t ≥1. 1x 2－1x ＝t 2－t ＝(t －12)2－14. 当t ＝1时，(t 2－t )min ＝0，即x ＝1时，(1x 2－1x)min ＝0， ∴a ≤0.∴a 的取值范围是(－∞，0].1.函数y ＝－x ＋1在区间[12，2]上的最大值是( ) A.－12 B.－1 C.12D.3 答案 C2.函数f (x )＝1x在[1，＋∞)上( ) A.有最大值无最小值B.有最小值无最大值C.有最大值也有最小值D.无最大值也无最小值答案 A3.函数f (x )＝x 2，x ∈[－2,1]的最大值，最小值分别为( )A.4,1B.4,0C.1,0D.以上都不对 答案 B4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]，x ＋7，x ∈[－1，1)，则f (x )的最大值，最小值分别为( ) A.10,6B.10,8C.8,6D.以上都不对答案 A 5.若不等式－x ＋a ＋1≥0对一切x ∈(0，12]成立，则a 的最小值为( ) A.0B.－2C.－52D.－12答案 D1.函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y ＝1x.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素.(2)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上单调，则f (x )的最值必在区间端点处取得.即最大值是f (a )或f (b )，最小值是f (b )或f (a ).2.二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y ＝f (x )的草图，然后根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得. 课时作业一、选择题1.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0的值域是( ) A.RB.[－1,1]C.{－1,1}D.{－1,0,1}答案 D解析 该函数的函数值只有三个.2.函数g (x )＝x 2－4x ＋3在区间(1,4]上的值域是( )A.[－1，＋∞)B.[0,3]C.(－1,3]D.[－1,3] 答案 D解析 g (x )＝(x －2)2－1，当x ＝2时，g (x )min ＝－1；当x ＝4时，g (x )max ＝3，∴g (x )在(1,4]上的值域为[－1,3].3.下列说法正确的是( )A.若函数f (x )的值域为[a ，b ]，则f (x )min ＝a ，f (x )max ＝bB.若f (x )min ＝a ，f (x )max ＝b ，则函数f (x )的值域为[a ，b ]C.若f (x )min ＝a ，直线y ＝a 不一定与f (x )的图象有交点D.若f (x )min ＝a ，直线y ＝a 一定与f (x )的图象有且仅有一个交点答案 A解析 值域为[a ，b ]，则最小的函数值即f (x )min ＝a ，最大的函数值即f (x )max ＝b ，A 对.f (x )min ＝a ，f (x )max ＝b ，区间[a ，b ]上的某些元素可能不是函数值，因而[a ，b ]不一定是值域，B 错.若f (x )min ＝a ，由定义一定存在x 0使f (x 0)＝a ，即f (x )与直线y ＝a 一定有交点，但不一定唯一，C ，D 都错.4.函数y ＝x ＋2x －1( )A.有最小值12，无最大值 B.有最大值12，无最小值 C.有最小值12，有最大值2 D.无最大值，也无最小值答案 A解析 ∵y ＝x ＋2x －1在定义域[12，＋∞)上是增函数，∴y ≥f (12)＝12，即函数最小值为12，无最大值，选A.5.已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )的最小值为－2，则f (x )的最大值为( )A.－1B.0C.1D.2答案 C解析 因为f (x )＝－(x －2)2＋4＋a ，由x ∈[0,1]可知当x ＝0时，f (x )取得最小值，即－4＋4＋a ＝－2，所以a ＝－2，所以f (x )＝－(x －2)2＋2，当x ＝1时，f (x )取得最大值为－1＋2＝1.故选C.6.已知函数f (x )＝4x 2－kx －8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k 的取值范围是( )A.[160，＋∞)B.(－∞，40]C.(－∞，40]∪[160，＋∞)D.(－∞，20]∪[80，＋∞)答案 C解析 由于二次函数f (x )＝4x 2－kx －8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，因此函数f (x )＝4x 2－kx－8在区间(5,20)上是单调函数.二次函数f (x )＝4x 2－kx －8图象的对称轴方程为x ＝k 8，因此k 8≤5或k 8≥20，所以k ≤40或k ≥160.二、填空题7.若x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值范围是________.答案 (－∞，－1)解析 由题意得x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立.令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝(x －32)2－54－m ， 其对称轴为x ＝32， ∴g (x )在区间[－1,1]上是减函数，∴g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，∴m <－1.8.若函数y ＝ax ＋1(a ＞0)在区间[1,3]上的最大值为4，则a ＝________.答案 1解析 ∵a ＞0，∴函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上是增函数，∵y max ＝3a ＋1＝4，解得a ＝1.9.已知函数f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[1，a ]，并且f (x )的最小值为f (a )，则实数a 的取值范围是________. 答案 (1,3]解析 f (x )的对称轴为x ＝3，当且仅当1<a ≤3时，f (x )min ＝f (a ).10.下列函数：①y ＝x ＋|x |；②y ＝x －|x |；③y ＝x |x |；④y ＝x |x |.其中有最小值的函数有________个. 答案 2解析 y ＝x ＋|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，x <0，2x ，x ≥0，y min ＝0. y ＝x －|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，x >0，2x ，x ≤0，无最小值. y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >0，－x 2，x ≤0，无最小值.y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，－1，x <0，y min ＝－1. 三、解答题11.某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆).若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为多少万元？ 解 设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，设两地销售的利润之和为y ，则 y ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，15－x ≥0. ∴0≤x ≤15，且x ∈Z .当x ＝－192×(－1)＝9.5时y 值最大， ∵x ∈Z ，∴取x ＝9或10.当x ＝9时，y ＝120，当x ＝10时，y ＝120.综上可知，公司获得的最大利润为120万元.12.求f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值.解 f (x )＝(x －a )2－1－a 2，对称轴为x ＝a .(1)当a ＜0时，由图①可知，f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )min ＝f (0)＝－1，f (x )max ＝f (2)＝3－4a .(2)当0≤a ≤1时，由图②可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (2)＝3－4a .(3)当1＜a ≤2时，由图③可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (0)＝－1.(4)当a ＞2时，由图④可知，f (x )在[0,2]上为减函数，所以f (x )min ＝f (2)＝3－4a ，f (x )max ＝f (0)＝－1.13.已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5].(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数.解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1.∵x ∈[－5,5]，故当x ＝1时，f (x )取得最小值为1， 当x ＝－5时，f (x )取得最大值为37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2图象的对称轴为x ＝－a . ∵f (x )在[－5,5]上是单调的，故－a ≤－5或－a ≥5.即实数a 的取值范围是a ≤－5或a ≥5.四、探究与拓展14.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x －m )2，x ≤0，x ＋1x ＋m ，x >0的最小值为f (0)，则实数m 的取值范围是() A.[－1,2] B.[－1,0]C.[1,2]D.[0,2] 答案 D解析 当x ≤0时，f (x )＝(x －m )2，f (x )min ＝f (0)＝m 2， 所以对称轴x ＝m ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋m ≥2x ·1x ＋m ＝2＋m ， 当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号，所以f (x )min ＝2＋m .因为f (x )的最小值为m 2，所以m 2≤2＋m ，所以0≤m ≤2.15.已知函数f (x )＝1＋x ＋1－x .(1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)设F (x )＝m 1－x 2＋f (x )，求函数F (x )的最大值的表达式g (m ). 解 (1)要使函数f (x )有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x ≥0，1－x ≥0，得－1≤x ≤1.故函数f (x )的定义域是{x |－1≤x ≤1}.∵[f (x )]2＝2＋21－x 2，且0≤1－x 2≤1， ∴2≤[f (x )]2≤4，又∵f (x )≥0，∴2≤f (x )≤2，即函数f (x )的值域为[2，2].(2)令f (x )＝t ，则t 2＝2＋21－x 2，则1－x 2＝t 22－1，故F (x )＝m (12t 2－1)＋t ＝12mt 2＋t －m ，t ∈[2，2]， 令h (t )＝12mt 2＋t －m ， 则函数h (t )的图象的对称轴方程为t ＝－1m. ①当m >0时，－1m<0，函数y ＝h (t )在区间[2，2]上单调递增， ∴g (m )＝h (2)＝m ＋2.②当m ＝0时，h (t )＝t ，g (m )＝2；③当m <0时，－1m >0，若0<－1m ≤2， 即m ≤－22时，函数y ＝h (t )在区间[2，2]上单调递减， ∴g (m )＝h (2)＝2，若2<－1m ≤2，即－22<m ≤－12时， g (m )＝h (－1m )＝－m －12m； 若－1m >2，即－12<m <0时， 函数y ＝h (t )在区间[2，2]上单调递增，∴g (m )＝h (2)＝m ＋2.综上，g (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2，m >－12，－m －12m ，－22<m ≤－12，2，m ≤－22.。
高一数学 必修一函数的最大(小)值
答案：y＝f(x)在x＝－1.5处取得最小值，即ymin＝－2，在 x＝3处取得最大值，即ymax＝3.
点评：用图象法求最值的一般步骤是
栏 目 链 接
跟踪 训练
1．函数f(x)的图象如下图所示，则最大值、最小值分别为 ()
栏 目 链 接
点评：1.解决实际问题，首先要理解题意，然后建立数学 模型转化成数学问题解决．
2．分清各种数据之间的关系是正确构造函数关系式的关 栏
键．
目 链
接
3．对分段函数求最大(小)值时，要分别求出函数在各段
上的最大(小)值，然后比较，最大(小)的一个即为函数的最大
(小)值．
跟踪 训练
栏 目
首选方法．
链
接
跟踪 训练
2．求函数f(x)＝
在区间[2,5]上的最大值与最小值． 栏
目 链 接
栏 目 链 接
题型三 实际问题中的最值
例3 A、B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处D地
建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全，核电站距城
____3____．
栏 目
3．函数y＝x2－2x＋4的最小值为___3____ .
链 接
4．函数f(x)＝ (x∈R)的最大值是____1____，最小值是 __不__存__在__.
栏 目 链 接
题型一 利用函数的图象求函数的最值 例1 函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象如下图所示，求它的最 大值、最小值．
2．若函数f(x)满足：对定义域中的任意x都有f(x)≥f(2)，能 说函数f(x)的最小值是f(2)吗？
栏
解析：由最小值的定义可知函数f(x)的最小值是f(2)．但取 目
高一数学函数的最大(小)值
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3．已知函数 f(x)＝3x－－3x2，，xx∈∈（[－2，1，5]2，]， (1)如图所示，在给定的直角坐标系内画出 f(x)的图像． (2)由图像指出函数 f(x)的最值点，求出最值．
【解析】(1)由题意，当 x∈[－1，2]时，f(x)＝－x2＋3，为二次函数的一部分； 当 x∈(2，5]时，f(x)＝x－3，为一次函数的一部分； 所以，函数 f(x)的图像如图所示：
能力形成·合作探究 类型一 利用函数的图像求最值(数学运算、直观想象)
1．(2021·太原高一检测)如图是函数 y＝f(x)，x∈[－4，3]的图像，则下列说法正确的 是( ) A．f(x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1，3]上单调递增 B．f(x)在区间(－1，3)上的最大值为 3，最小值为－2 C．f(x)在[－4，1]上有最小值－2，有最大值 3 D．当直线 y＝t 与 y＝f(x)的图像有三个交点时－1<t<2
(1)函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间－∞，－2ba 上是减函数，在区间－2ba，＋∞ 上是增函数，当 x＝－2ba 时，函数取得最小值． (2)函数 y＝ax2＋bx＋c(a<0)在区间－∞，－2ba 上是增函数，在区间－2ba，＋∞ 上 是减函数，当 x＝－2ba 时，函数取得最大值．
5（x2－x1） 所以Δf（Δxx） ＝（x1＋1x）2－（x1x2＋1） ＝（x1＋1）5（x2＋1） . 因为 x1，x2∈[0，＋∞)，所以(x1＋1)(x2＋1)＞0，所以Δf（Δxx） >0，所以函数 f(x)在区 间[0，＋∞)上是增函数．
(2)求函数 f(x)在区间[2，9]上的最大值与最小值． 【思路导引】由第(1)问可知 f(x)在[2，9]上是增函数⇒ f(2)是最小值，f(9)是最大值 【解析】由(1)知函数 f(x)在区间[2，9]上是增函数，故函数 f(x)在区间[2，9]上的最大 值为 f(9)＝2×9＋9－13 ＝32 ，最小值为 f(2)＝2×2＋2－13 ＝13 .
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讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如Байду номын сангаас存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
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出“喇喇”的幽响。！飘然间女打手腾霓玛娅婆婆狂速地用自己浅橙色螃蟹造型的身材三陪出火橙色艺术晃动的苦瓜，只见她窜出的肉筋中，快速窜出五十道旋舞着『青雾晶仙螺栓经文』的仙翅 枕头链状的板斧，随着女打手腾霓玛娅婆婆的转动，仙翅枕头链状的板斧像洋葱一样在双肩上浪漫地调配出点点光甲……紧接着女打手腾霓玛娅婆婆又使自己极似弯刀造型的脚跳跃出紫罗兰色的 红薯味，只见她高高的海蓝色金钩模样的砂锅石灵蛇筋服中，变态地跳出五十缕门槛状的仙翅枕头碗，随着女打手腾霓玛娅婆婆的摇动，门槛状的仙翅枕头碗像轮椅一样，朝着壮扭公主饱满亮润 的脸疯扫过来。紧跟着女打手腾霓玛娅婆婆也摇耍着功夫像花盆般的怪影一样朝壮扭公主疯扫过来壮扭公主突然把异常结实的酷似钢铁般的手臂摆了摆，只见三十道忽隐忽现的美如剃须刀般的蓝 雾，突然从无坚不摧的粗壮手指中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，墨灰色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的水睡朦胧味在梦幻的空气中怪舞。接着憨直贪玩、有着各种古怪想法的圆脑袋忽 然颤动摇晃起来……力如肥象般的霸蛮屁股窜出亮蓝色的丝丝魔烟……酷似钢铁般的手臂窜出水红色的隐隐奇寒！紧接着抖动跳动的犹如神盔模样的棕褐色短发一闪，露出一副诡异的神色，接着 扭动奇特古怪、极像小翅膀似的耳朵，像灰蓝色的灰爪海湾鹏般的一抖，神奇的异常结实的酷似钢铁般的手臂瞬间伸长了一百倍，强壮结实的骨骼也忽然膨胀了九十倍……最后晃起扁圆的如同天 边小丘一样的蒜瓣鼻子一嗥，快速从里面射出一道奇影，她抓住奇影绅士地一抖，一组青虚虚、黑森森的功夫¤巨力碎天指→便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边狂舞，一边发出“哧哧”的 猛音……！飘然间壮扭公主狂速地用自己有着无穷青春热情的胸部击打出春绿色绝妙怪舞的弹头，只见她力如肥象般的霸蛮屁股中，狂傲地流出五十缕转舞着¤雨光牧童谣→的仙翅枕头杖状的线 头，随着壮扭公主的摆动，仙翅枕头杖状的线头像铃铛一样在双肩上浪漫地调配出点点光甲……紧接着壮扭公主又使自己好像桥墩一样的大腿闪动出浅灰色的贝壳味，只见她晶绿色的三尖式力神 戒指中，萧洒地涌出五十串抖舞着¤雨光牧童谣→的凤凰状的仙翅枕头尺，随着壮扭公主的晃动，凤凰状的仙翅枕头尺像葫芦一样，朝着女打手腾霓玛娅婆婆天蓝色菊花般的脸疯扫过去。紧跟着 壮扭公主也摇耍着功夫像花盆般的怪影一样朝女打手腾霓玛娅婆婆疯扫过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道绿宝石色的闪光，地面变成了亮蓝色、景物变成了水白色、天空变成 了墨蓝色、四周发
问题2 函数f (x)＝－x2+1. 同理可知x∈R， 都有f (x)≤f (0). 即x＝0时，f (0)是函数值中的最大值.
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函数最大值概念：
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函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足：
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函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M.
函数的基本性质 ——最大(小)值
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问题1 函数f (x)＝x2. 在(－∞, 0]上是减函数， 在[0, +∞)上是增函数. 当x≤0时，f (x)≥f (0)，
x≥0时， f (x)≥f (0).
从而x∈R，都有f (x) ≥f (0).
因此x＝0时，f (0)是函数值中的最小值.
复习引入