线性代数第二章课件2-2
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线性代数课件PPT 第2章.矩阵PPT课件
x1 x2 x3
3x5 1
32xx11
2 x2 3x2
x3 x3
2 x4 4 x4
4x5 5x5
2 3
x1 x2 x3 x4 8x5 2
12
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2.1 高斯消元法
• 矩阵举例 解：线性方程的增广矩阵为
1 1 1 0 3 1
将
第
1
行
分
别
乘
以
-
2
,
-
3
,
x3 3x4 1
x4 0
4
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2.1 高斯消元法
• 高斯消元法
x1 x2
3x4 1
x2 2x3 2x4 0
此
方
程
组
和
原
方
程
组
是
同
解
的
，
我
们把
形
如
这
样
的x方3 程3称x4
为
阶1梯
线
性
方
程
组
，
因
此
易
得
x4 0
x1 1
x2 x3
2 1
x4 0
5
第5页/共158页
a2n
称为数域F中的m×n矩阵，通am常1 用大am写2 字母记做aAmn或A m×n，有时也记做
A (aij )mn (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n)
8
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2.1 高斯消元法
• 矩阵的定义 其中aij称为矩阵A的第i行第j列元素，当aij ∈R(实数域)时，A称为实矩阵；当aij ∈C(复
骤规范而又简便。
例1：解线性方程组
线性代数第二章2-2向量及其线性运算
代数形象：向 量 的 坐 标 表 示 式
a a1 a2
an
空
解析几何
点空间：点的集合
间
线性代数
向量空间：向量的集合
( n 3)
坐 标
几 何 形 象： 空间直线、曲线、 空间平面或曲面
系
代 数 形 象： 向量空间中的平面
( x, y, z ) ax by cz d r ( x , y, z )
解
四、向量空间 1、定义 设Ｖ为ｎ维非空向量组，且满足
①对加法封闭
if V , V V ; if V , R V . ②对数乘封闭 那么就称向量组Ｖ为向量空间（Vector Space）．
例1 全体ｎ维向量所组成的集合是一个向量空间, 记作 ：
第二节 向量及其线性运算
１、引入 确定小鸟的飞行状态， 需要以下若干个参数： 小鸟身体的质量ｍ 小鸟身体的仰角ψ 鸟翼的转角ψ 鸟翼的振动频率ｔ 小鸟身体的水平转角θ 小鸟重心在空间的位置参数 P ( x , y , z ) 还有… 所以，为确定小鸟的飞行状态，会产生一组有序数组 m t x y z
i 1,2,
, n
5、负向量： (a1, a2 ,
, an ), (a1, a2 , , an )
二、向量的运算 1、加法 a1
a2 an , b1 a2 b2 b2 bn ,
规定 a1 b1
an bn an bn
所以 V2不是一个向量空间.
例3
V3 x x1
有
k R,
V4 x x1
判别下列集合是否为向量空间.
线性代数第二章
其中，
s
cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aikbkj (i 1，2 ， ，m ；j 1，2 ， ，n) ．
k 1
注：（1）只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，否则 AB
没有意义．
（2）矩阵 C 中元素 cij 等于左矩阵 A 的第 i 行与右矩阵 B 的第 j 列对应元素乘积之和．
（3）矩阵加减法与矩阵数乘统称为矩阵的线性运算．
2.2.2 数与矩阵相乘
矩阵数乘的性质
（1）分配律： k( A B) kA kB，(k l)A kA lA ； （2）结合律： (kl) A k(lA) ； （3）1A A，0A O ．
2.2.2 数与矩阵相乘
例题
3 1 2
7 5 4
a11 a12
a21
a22
am1 am2
a1n a11 a12
a2n
或
a21
a22
amn
am1
am 2
a1n
a2n
，
amn
称为 m 行 n 列矩阵，简称 m n 矩阵．通常用大写字母 A，B ，C ， 表示矩阵， aij 表示
矩阵中第 i 行、第 j 列的元素，一个 m n 矩阵可以简记为 A=Am×n=(aij) m×n
a11
只有一列的矩阵
A
a21
称为列矩阵或列向量。
am1
注：列矩阵也可记为 A a11 ，a12 ， ，a1n 。
2.1.2 几种特殊形式的矩阵
3．零矩阵
所有元素全为零的矩阵称为零矩阵， m n 零矩阵记为 Omn 或简记为 O ． 4．方阵
对于矩阵 Amn ，当 m n 时，称为 n 阶方阵，记作 Ann 或 An ，即
s
cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj aikbkj (i 1，2 ， ，m ；j 1，2 ， ，n) ．
k 1
注：（1）只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，否则 AB
没有意义．
（2）矩阵 C 中元素 cij 等于左矩阵 A 的第 i 行与右矩阵 B 的第 j 列对应元素乘积之和．
（3）矩阵加减法与矩阵数乘统称为矩阵的线性运算．
2.2.2 数与矩阵相乘
矩阵数乘的性质
（1）分配律： k( A B) kA kB，(k l)A kA lA ； （2）结合律： (kl) A k(lA) ； （3）1A A，0A O ．
2.2.2 数与矩阵相乘
例题
3 1 2
7 5 4
a11 a12
a21
a22
am1 am2
a1n a11 a12
a2n
或
a21
a22
amn
am1
am 2
a1n
a2n
，
amn
称为 m 行 n 列矩阵，简称 m n 矩阵．通常用大写字母 A，B ，C ， 表示矩阵， aij 表示
矩阵中第 i 行、第 j 列的元素，一个 m n 矩阵可以简记为 A=Am×n=(aij) m×n
a11
只有一列的矩阵
A
a21
称为列矩阵或列向量。
am1
注：列矩阵也可记为 A a11 ，a12 ， ，a1n 。
2.1.2 几种特殊形式的矩阵
3．零矩阵
所有元素全为零的矩阵称为零矩阵， m n 零矩阵记为 Omn 或简记为 O ． 4．方阵
对于矩阵 Amn ，当 m n 时，称为 n 阶方阵，记作 Ann 或 An ，即
第二章线性代数.ppt
实例：1）普鲁士骑兵每年被马踢死的人数服从 参数为0.61的泊松分布；2）1500年到1932年之间 每年发生战争的次数（规模超过50000人）服从参 数为0.69的泊松分布。
泊松分布与二项分布之间有密切的联系，这一 点由下面的泊松定理所阐述。
泊松定理 设随机变量X n ~ B(n, pn )(0 pn 1),
例6 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立 的,发生故障的概率都是0.01,且一台机器的故障能 由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法,其 一是由4人维修,每人负责20台;其二是由3人共同 维修80台.试比较这两种方法在设备发生故障时不 能及时维修的概率的大小.
解 先考虑第一种方法 以 X 表示第一个人维护的20台机器中同一时刻 发生故障的台数,则 X~B(20,0.01). 于是,第一个人来不及维修的概率为
P{x1 X x2} P{X x2} P{X x1} F(x2 ) F(x1)
即有
P{x1 X x2} F(x2) F(x1)
因此可以认为
分布函数完整地描述了 随机变量的统计规律性.
如果将 X 看成是数轴上随机点的坐标,则 F(x) 就 是 X 落在区间(, x] 上的概率.
P{X
k}
C C k nk M NM CNn
,k
0,1,2,, n
此时我们称X 服从超几何分布。
例4 某人进行射击，设每次击中的概率均为0.02, 独立射击400次，试求至少击中两次的概率。
解 将每次射击看成是一次试验,设击中的次数为
X ，则
所以有
X ~ B(400,0.02)
P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1}
而由等可能性，它取每一个值的概率均为1/6 ， 故其分布律为
泊松分布与二项分布之间有密切的联系，这一 点由下面的泊松定理所阐述。
泊松定理 设随机变量X n ~ B(n, pn )(0 pn 1),
例6 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立 的,发生故障的概率都是0.01,且一台机器的故障能 由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法,其 一是由4人维修,每人负责20台;其二是由3人共同 维修80台.试比较这两种方法在设备发生故障时不 能及时维修的概率的大小.
解 先考虑第一种方法 以 X 表示第一个人维护的20台机器中同一时刻 发生故障的台数,则 X~B(20,0.01). 于是,第一个人来不及维修的概率为
P{x1 X x2} P{X x2} P{X x1} F(x2 ) F(x1)
即有
P{x1 X x2} F(x2) F(x1)
因此可以认为
分布函数完整地描述了 随机变量的统计规律性.
如果将 X 看成是数轴上随机点的坐标,则 F(x) 就 是 X 落在区间(, x] 上的概率.
P{X
k}
C C k nk M NM CNn
,k
0,1,2,, n
此时我们称X 服从超几何分布。
例4 某人进行射击，设每次击中的概率均为0.02, 独立射击400次，试求至少击中两次的概率。
解 将每次射击看成是一次试验,设击中的次数为
X ，则
所以有
X ~ B(400,0.02)
P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1}
而由等可能性，它取每一个值的概率均为1/6 ， 故其分布律为
线性代数课件第2章矩阵
于乘法中的数1． 课件
20
定义5 方阵 A 的 n 次幂定义为 n 个方阵 A 连
乘，即
6 47n个48
An A AL A
其中 n 为正整数，规定 A0 E ，其运算规律：
（1）AkAl Akl ；
（2）(Ak)l Akl (k,l为正整数) ．
因为矩阵乘法不满足交换律，所以两个 n 阶方
数，记 A ( a ij ) ， A 称为 A的共轭矩阵．
其运算规律（设 A，B为复矩阵，为复数，且
运算都是可行的）：
（1） ABAB； （2） AA ；
（3） ABAB．
课件
27
2.3 逆矩阵
课件
28
2.3.1 逆矩阵的定义及性质
定义9 设 A 为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 B ，
课件
23
所以
0 17
( A B )T
1
4
1
3
3 1 0
解法2 (AB)TBTAT
1 4 2 2 1 0 17 7 2 0 0 314 13
1 3 11 2 3 10
课件
24
定义7 设 A为 n阶方阵，若满足 AT A ，则
称 A为对称矩阵，即 ai jaji(i,j1 ,2,,n)
a21
b21
M
a12 b12 L a22 b22 L
M
am1
bm1
am2 bm2
L
a1n b1n
a2n
b2n
M
amn
bmn
= (aij + bij ) 课件
10
例1 设
A
3 1
0 4
75,
则
线性代数第2章矩阵PPT课件
线性代数第2章矩阵ppt 课件
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
《线性代数》课件-第2章方阵的行列式
教学重点：方阵行列式的性质及展开定理，计算典型 的行列式的各种方法.
教学难点：n阶行列式的计算，拉普拉斯定理的应用.
教学时间：6学时.
§1 n 阶行列式的定义
设n阶方阵A=(aij),称
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
为方阵A 的行列式,记为| A |或det A .
1.1 n 阶行列式的引出
于是D中可能不为0的均布项可以记为
a a a b b . 1p1 1p2
mpm 1q1
nqn
这里，pi=ri,qi=rm+i-m,设l为排列p1p2 …pm(m+q1) …(m+qn)的 逆序数。以t，s分别表示排列p1p2 …pm及q1q2 …qn的逆序数，
应有l= t+s，于是
D
(1)l a1p1 a2 p2 a b b mpm 1q1 2q2 bnqn
b2
a2n , j 1, 2, , n.
an1
bn
ann
提出三个问题
（1）D=？（怎么算）？
（2）当D≠0时，方程组是否有唯一解？
（3）若D≠0时，方程组有唯一解，解的形式 是否是
xj
Dj D
,
j 1,2,
, n.
1.2 全排列及其逆序数
1、全排列 用1，2，3三个数字可以排6个不重复三位数即：
第二章 方阵的行列式
行列式是一种常用的数学工具，也是代数学中必不可 少的基本概念，在数学和其他应用科学以及工程技术中有 着广泛的应用。本章主要介绍行列式的概念、性质和计 算方法。
教学目的：通过本章的教学使学生了解行列式的概念， 掌握行列式的性质，会计算各种类型的行列式.
教学难点：n阶行列式的计算，拉普拉斯定理的应用.
教学时间：6学时.
§1 n 阶行列式的定义
设n阶方阵A=(aij),称
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
为方阵A 的行列式,记为| A |或det A .
1.1 n 阶行列式的引出
于是D中可能不为0的均布项可以记为
a a a b b . 1p1 1p2
mpm 1q1
nqn
这里，pi=ri,qi=rm+i-m,设l为排列p1p2 …pm(m+q1) …(m+qn)的 逆序数。以t，s分别表示排列p1p2 …pm及q1q2 …qn的逆序数，
应有l= t+s，于是
D
(1)l a1p1 a2 p2 a b b mpm 1q1 2q2 bnqn
b2
a2n , j 1, 2, , n.
an1
bn
ann
提出三个问题
（1）D=？（怎么算）？
（2）当D≠0时，方程组是否有唯一解？
（3）若D≠0时，方程组有唯一解，解的形式 是否是
xj
Dj D
,
j 1,2,
, n.
1.2 全排列及其逆序数
1、全排列 用1，2，3三个数字可以排6个不重复三位数即：
第二章 方阵的行列式
行列式是一种常用的数学工具，也是代数学中必不可 少的基本概念，在数学和其他应用科学以及工程技术中有 着广泛的应用。本章主要介绍行列式的概念、性质和计 算方法。
教学目的：通过本章的教学使学生了解行列式的概念， 掌握行列式的性质，会计算各种类型的行列式.
线性代数第2章课件
a11 a 21 am 1 a12 a 22 am 2 a1 n a2 n a mn
例
线性变换
y1 1 x 1 , y2 2 x2 , yn n xn .
对应 n阶矩阵 1 0 0 2 A 0 0 0 0 n
B
b1 b2
...
bm
◆ mn矩阵A,当m=n时,称A为n阶方阵,也称为n阶矩阵.
◆当两个矩阵的行数相等,列数也相等,就称它们是同型矩
阵。
a11 a12 a22 am 2 a1n a2 n amn b11 b12 b22 am 2 b1n b2 n bmn b21 bm1
例 5 求矩阵
A -2 1 4 -2
B 2 4
-3
-6
的乘积AB和BA。
例 6
设A,B分别是n×1和1×n矩阵,且
a1 a2 , B b b b A 1 2 n an
计算AB和BA.
解
a1 a1b1 a1b2 a1bn a2 a2b1 a2b2 a2bn AB b1 b2 bn an anb1 anb2 anbn a1 a2 b a + b a + + b a BA b1 b2 bn 1 1 2 2 n n an
B 2
1
C
1
0
-3 2
2 1
求AB+AC。
解
1 AB + AC A( B + C ) 3 1 3 2 3 4 1
例
线性变换
y1 1 x 1 , y2 2 x2 , yn n xn .
对应 n阶矩阵 1 0 0 2 A 0 0 0 0 n
B
b1 b2
...
bm
◆ mn矩阵A,当m=n时,称A为n阶方阵,也称为n阶矩阵.
◆当两个矩阵的行数相等,列数也相等,就称它们是同型矩
阵。
a11 a12 a22 am 2 a1n a2 n amn b11 b12 b22 am 2 b1n b2 n bmn b21 bm1
例 5 求矩阵
A -2 1 4 -2
B 2 4
-3
-6
的乘积AB和BA。
例 6
设A,B分别是n×1和1×n矩阵,且
a1 a2 , B b b b A 1 2 n an
计算AB和BA.
解
a1 a1b1 a1b2 a1bn a2 a2b1 a2b2 a2bn AB b1 b2 bn an anb1 anb2 anbn a1 a2 b a + b a + + b a BA b1 b2 bn 1 1 2 2 n n an
B 2
1
C
1
0
-3 2
2 1
求AB+AC。
解
1 AB + AC A( B + C ) 3 1 3 2 3 4 1
线性代数同济第五版课件2-2
一般地，我们有
上页 下页
１、定义
B 设 A a ij 是一个m s 矩阵， b ij 是一个 s n 矩阵，那末规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积 是一个m n 矩阵 C c ij ，其中
c ij a i 1 b 1 j a i 2 b 2 j a is b sj a ik b kj
上页
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２、矩阵乘法的运算规律
1 AB C A BC ; 2 A B C AB AC ,
B C A BA CA ;
3 AB A B A B （其中 为数）;
4 AE EA A ;
a 11 b 12 a 12 b 22 a 13 b 32 a 21 b 12 a 22 b 22 a 23 b 32
a 11 b 11 a 12 b 21 a 13 b 31 a b a b a b 22 21 23 31 21 11
22
2 2 2 2 32 3
4 4 . 6
上页
下页
a 11 2 b1 b 2 b 3 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 b1 a 23 b 2 a 33 b 3
k 1
s
i 1 , 2 , m ; j 1 , 2 , , n ,
并把此乘积记作
C AB .
上页
下页
例１
2 C 1 4 2 2 2 2 3 4 6 2 2
16 32 ? 16 2 2 8
线性代数第2章 矩阵PPT课件
行矩阵(Row Matrix):
只有一行的矩阵 A a 1 ,a 2 , ,a n ,
称为行矩阵(或行向量).
列矩阵(Column Matrix):
a 1
只有一列的矩阵
B
a2
,
称为列矩阵(或列向量).
a n
暨大珠院
方阵(Square Matrix):
n 行数与列数都等于 的矩阵，称为 n阶方阵.也可记作 An .
排成m的 行n列的数表，
称为 m行n列矩. 阵 简m 称 n矩.阵
a11
记作A
a21
a12 a22
a1n a2n
暨大珠院
am1 am2 amn
简记为
Aa ijm n
或 Amn
实矩阵: 元素是实数;复矩阵:元素是复数.
规定:
Aa a 11
例如： 1 0 3 5 是一个 24
9 6 4 3
1
En
1
1 nn
暨大珠院
数量矩阵(Scalar Matrix):
方阵，主对角元素全为非零常数k，
其余元素全为零的矩阵。
k
kEn
k
k nn
暨大珠院
二. 矩阵的基本运算 1. 矩阵相等.
同型矩阵： 两个矩阵的行数相等、列数也相等
矩阵相等: 设 矩 阵 A m n 与 B m n 是 同 型
33 62 81 6 8 9
暨大珠院
负矩阵：称- A 为矩阵 Aaij 的负矩阵。
a11
A
a 21
a12
a 22
a1n
a 2n
aij
am1
am1
am
n
减法: A B A ( B )
同济大学线性代数课件__第二章
2 4 4 9
线性方程组与矩阵的对应关系
2
定义1 由 m n 个数 a ij (i 1,2, , m; j 1,2, , n)
排成的m行n列的数表，
a11 a21 am 1 a12 a22 a1n a2 n
am 2 amn
称为m行n列矩阵. 简称m n矩阵.
13
y1 1 x1 y x 2 2 2 yn n x n
§2 矩阵的基本运算
一、 矩阵的加法
定义2 设有两个 m n 矩阵 A (aij ), B (bij ), 那末矩阵 A与B 的和记作A+B，规定为
a11 b11 a12 b12 a21 b21 a22 b22 A B a b m 1 m 1 am 2 bm 2
12
线性变换与矩阵之间的对应关系. 恒 等 变 换
y1 x1 , y x , 2 2 yn x n
1 0 0 0 1 0 单 位 阵 0 0 1
1 2 n
23
1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 3 1 1 1 3 3 3 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 1 1 3
16
矩阵加法满足的运算规律:
1 交换律：A B B A. 2 结合律： A B C A B C . 3 A O A 4 A A O .
17
二、数与矩阵相乘
定义3 数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
线性代数第二章2-1, 2-2
称为mn线性方程组，m=n 时，称为n元方程组
... a11 a 12 系 ... 数 a a 21 22 矩A ............ 阵 ... a a m2 m1
增 广 矩 阵
2n a mn
a a
1n
x1 未 x 知 2 量 X 阵 xn
矩阵A与B的差记作 ：A - B
a11 b11 a12 b12 a b a b 21 21 22 22 A B a b a b m1 m1 m 2 m 2
a1n b1n a2n b2n amn bmn
矩阵加法满足下列运算规律
数乘矩阵满足下列运算规律 （设A、B为mn矩阵，、为常数）
(i). （）A = （A）
(ii). （+）A = A + A (iii). （A + B）=A + B
3.矩阵与矩阵相乘
设矩阵 A = (aij ) ms ， B = (bij ) sn， 则矩阵A与B的乘积矩阵C =(cij)mn，其中
第1节 矩阵的概念
引：线性方程组的一些性质反映在它的 系数矩阵和增广矩阵上，解线性方程组的过 程也表现为变换这些矩阵的过程。除线性方 程组外，还有大量的各种各样问题也都提出
矩阵的概念，且这些问题的研究常常表现为
对矩阵的某些方面的研究。甚至于某些性质
完全不同的，表面上无联系的问题，归结成
矩阵后却是相同的。这使矩阵有着广泛的应用
0 a 0
0 0 a
3）单位矩阵 主对角线元素都是 1, 其他元素都是零 的矩阵称为单位矩阵,记为
I
1 0 0 1 I 0 0
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5
若A是 n 阶矩阵，则 Ak
Ak AAA 并且 Am A
为A的
k Am
k k,
次幂，即 Am k Amk
.
k个
m ,k为正整数
18
例3 计算下列乘积：
1
22 1
2
3
解
1
2 2
1
2 1
2 2 1
2 2 2 2 2 2
4 4.
3
3 1 3 2 3 6
19
2
b1
k 1
s
s
s
(cij )
a2k bk1
a2k bk 2 a2k bkn
k 1
k 1
k 1
s
s
s
amk bk1 amk bk2 amk bkn m n
k 1
k 1
k 1
12
2. 矩阵乘法不满足下面两条性质
(1) 矩阵乘法不满足消去律。
例 A 1 1 B 1 1
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
amn xn bm
29
AX B
30
y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn
线性变换
y2 a21 x1 a22 x2 a2n xn
ym am1 x1 am2 x2 amn xn
可表示为：
并把此乘积记作 C AB .
8
例１
C 2 1
4 2
222 3
4
622
16 8
?
32 16 22
例2 设
1 A 1
0
0 1 5
1 3 1
2 0 4
B
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
9
解
A
aij
,
34
B bij 43,
C
cij
b2
b3
a11 a21
a12 a22
a13 b1 a23 b2
a31 a32 a33 b3
已知 aij a ji
解
b1
b2
b3
a11 a21
a31
=( a11b1 a21b2 a31b3
a12 a13 b1 a22 a23 b2 a32 a33 b3
a12b1 a22b2 a32b3
y1 a11
y2 ym
a21 am1
a12 a22 am1
a1n x1
a2n x2
amn
xn
记作：Y = AX
31
线性变换把
X
x1
变成Y
y1 相当于用矩阵A
xn
yn
左乘X得到Y。
例如 （1）x到y
y1 y2
a11 x1 a21 x1
a12 x2 a22 x2
a13 x3 , a23 x3 ,
y1 y2
a11 a21
a12 a22
a13 a23
x1 x2 x3
（2）z到x
x1 b11z1 b12z2
x2
b21 z1
b22 z2
x3
b31 z1
b32 z2
32
x1 b11
即
x2
b21
x3 b31
n
An1
An A
0
nn1 n
nn 1n2
2
nn1
0
1
0 1 ,
0
0
n
0
0
23
n1
0
0
n 1n
n1
0
n 1n n1
2
n 1n
,
n1
所以对于任意的k 都有
k
Ak
0
0
kk 1 k
0
kk 1k2
2
kk 1
.
k
24
定义 方阵
E
称为纯量阵。并且 (Em )Amn Amn(En ) Amn
1 2 3
3 2
1 3
22
3 1
10.
1
11
a11 a21
a12 a22
am1
am2
a1s
b11 b12
a2s
b21 b22
ams m
s
bs1
bs 2
b1n b2n
bsn s n
s
s
s
a1kbk1
a1k bk 2 a1k bkn
k1
k 1
特别的，对于n 阶方阵A有
(λEn )An λAn An(λEn )
故纯量阵与任何同阶方阵可交换。
25
易知Ak与Am可交换，故
( λEn An )k
Ank
λCkk
1
Ak-1 n
λ
k
C 1 1 k
An
λk En
26
例4
A0
1
0 1
,求
An
0 0
方法2 1 0
0 1 0
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
3
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
12 3 5 1 8 9 例如 1 9 0 6 5 4
3 6 8 3 2 1 12 1 3 8 5 9 13 11 4 1 6 9 5 0 4 7 4 4. 3 3 6 2 8 1 6 8 9
• 即使AnBn与Bn An都有意义且同阶 ，但也有AnBn Bn An 的例子。 如后面的例子。
14
由于矩阵乘法不满足交换律，故对于同阶方阵 An , Bn
( A B)2 A2 2AB B2 ( A B)( A B) A2 B2 ( AB)k Ak Bk
例 设 A 1 1 B 1 1 1 1 1 1
b1 a13b1 a23b2 a33b3） b2
b3
a11b12 a22b22 a33b32 2a12b1b2 2a13b1b3 2a23b2b3 .
20
1 0
例4
设A
0
1 求Ak .
0 0
1 0 1 0
解
A2 0 1 0 1
0 0 0 0
.
33
故
1 0 1 2 0 3 4
C AB 1
0
1 5
3 1
0 4
1 3 1
2 1 2
1 1
1
5 6 7
10 2 6.
2 17 10
10
注意
• 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘。
••例AA如BB的 的(行i,数153j)元=A822是的A193行的数第16，i行A06B与的18B列的数第不=j存列B的在对列.应数元。 素乘积的和；
( A B)2 A2 2AB B2 ( A B)( A B) A2 B2 ( AB)k Ak Bk
等……
17
3、矩阵乘法的运算规律
1 ABC ABC ;
2 AB C AB AC, B C A BA CA;
3 AB AB AB （其中 为数）;
4 AE EA A;
1 1
1 1
则 AB 0 0, 0 0
AB 0 A 0 或 B 0
所以
AX A
0
AY
X Y
13
(2) 矩阵乘法不满足交换律。因而 AB 称为 A 左乘 B 的乘积 BA 称为 A 右乘 B 的乘积
例如
• A32B25有意义 , 而B25 A32无意义。
• m n时, AmnBnm Cm与Bnm Amn Dn不同阶。
A 0 1 0 0 1 E B
0 0
0 0 0
An (E B)n
nE
C
1 n
(n1
E
)B
Cn2
(n 2
E
)B2
Bn
27
0 1 0 B 0 0 1
0 0 0
0 1 02 0 0 1
B2 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 1 03 0 0 1 0 1 0 0 0 0
b12 b22 b32
z1 z2
y1 y2
a11 a21
a12 a22
故z到y的线性变换为
a13 a23
b11 b21 b31
b12 b22 b32
z1 z2
y1 y2
(a11b11 (a21b11
a12b21 a22b21
a13b31 )z1 (a11b12 a12b22 a13b32 )z2 a23b31 )z1 (a21b12 a22b22 a23b32 )z2
数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
a11 a12
A
A
a21
a22
am1 am1
a1n
a2n
.
amn
6
2、数乘矩阵的运算规律 （设 A、B为 m n 矩阵， ,为数）
1 A A; 2 A A A; 3 A B A B.
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.
B 18 6 12
BT 18 . 6 21
36
转置矩阵的运算性质
1 AT T A;
2 A BT AT BT ; 3 AT AT ; 4 ABT BT AT .
37
例5 已知
1 7 1
A 2 1
0 3
1, 2
B 4
2
2 0
3
,
求 ABT .
1
解法1
AB 2 1