高阶线性微分方程
第四章高阶线性微分方程
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an 1 (t ) an (t ) x 0 (4.2) n dt dt dt 定理2 （叠加原理）如果 x1 (t ), x2 (t ), , xk (t ) 是方程（4.2）
的k个解，则它们的线性组合
c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) ck xk (t )
t 2 x1 (t ) 0
1 t 0 0 t 1
0 x2 (t ) 2 t
1 t 0 0 t 1
15
t 2 x1 (t ) 0
1 t 0 0 t 1
t2 2t W x1 (t ), x2 (t ) 0 0
n 阶线性微分方程一般形式：
(n)
)0
d nx d n1 x dx a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x f (t ) (4.1) n dt dt dt
其中 ai (t )(i 1,2,, n) 及f (t )是区间 a t b 上的连续函数。
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an1 (t ) an (t ) x 0 n dt dt dt
齐次线性微分方程。
(4.2)
称它为 n 阶齐次线性微分方程，而方程（4.1）为 n 阶非
7
d nx d n1 x dx a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x f (t ) (4.1) n dt dt dt
0 0 0 t2 0 2t
0 x2 (t ) 2 t
1 t 0 0 t 1
1 t 0 0 t 1
高阶线性微分方程解的结构
特解的求解方法
总结词
求解高阶线性微分方程的特解通常采用常数 变易法、分离变量法、幂级数法等。
详细描述
常数变易法是通过将高阶微分方程转化为等 价的积分方程，然后求解积分得到特解的方 法。分离变量法适用于具有分离变量形式的 高阶线性微分方程，通过将方程拆分为若干 个一阶微分方程来求解特解。幂级数法是将 高阶微分方程转化为幂级数形式的等价方程
稳定性性质
稳定性具有相对性，即一个方程的解在某个 参照系下是稳定的，在另一个参照系下可能 是不稳定的。
稳定性的判断方法
代数法
通过对方程进行整理和化简，利用代数性质判断其稳定性。
图形法
通过绘制方程的解曲线，观察其随时间变化的趋势，判断其稳定性。
比较法
通过比较两个方程的解，利用已知方程解的稳定性判断另一个方程 的解的稳定性。
定义
高阶线性微分方程的通解是指满足方程的任意常数变动的解。
性质
通解具有任意常数可加性和乘性，即通解可以表示为任意常数与基础解系的线性组合。
通解的求解方法
分离变量法
01
通过将方程转化为多个一阶微分方程来求解。
积分法
02
通过对方程两边积分来求解。
幂级数法
03
通过构造幂级数来求解高阶微分方程。
通解的表示形式
高阶线性微分方程解 的结构
目录
CONTENTS
• 高阶线性微分方程的基本概念 • 高阶线性微分方程的通解 • 高阶线性微分方程的特解 • 高阶线性微分方程解的结构 • 高阶线性微分方程的稳定性
01 高阶线性微分方程的基本 概念
高阶线性微分方程的定义
定义
高阶线性微分方程是形如$y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + cdots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) = 0$的微分 方程，其中$y^{(n)}(x)$表示函数$y(x)$的$n$阶导数。
高阶线性微分方程的解法
高阶线性微分方程的解法实变量复值函数——预备知识常系数线性方程的解法求变系数齐线性方程特解的幂级数法要存在注意极限 ,) sin (cos )(t i t e e t t i b b a b a ±=± , )(21 t i t i e e t b b b -+=. )(21 sin t i t i e e t b b b --=; )()(lim 00t z t z t t =®)()()(t i t t z y j +=; )(lim )(lim )(lim 000t i t t z t t t t t t y j ®®®+=连续，若在0)(t t z 实变量复值函数——预备知识导数定义：; )()(lim )()(0000000dtt d i dt t d t t t z t z dt t dz t z t t )(+)(=--=º¢®y j,)()()]()([2121dt t dz dt t dz t z t z ＋=+,)()](dt t dz c t cz =.)()()()()]()(212121dt t dz t z t z dt t dz t z t ××=×＋,t k t k e =,)(2121t k t k t k k e e e ×=+,)3( t k tk ke .)( )4( tk n t k n n e k e dt d =的性质)( b i a k t k +=.(4.2)中所有系数都是),,2,1( )(n i t a i L =)()()( t i t t z x y j +==是它的复值解，则.)2.4( )( )(的解都是方程和共轭复值函数t z t y 非齐线性微分方程有复值解)( )(][ t V i t U x L +=、及解中的和这里)( )()(),,2,1( )(t u t 、V t U n i t a i L =分别是方程和虚部的实部都是实值函数，则该解)()( t v t u 的实)(t z , ))(][t U x L =)(][t V x L =和的解.变换法. 求常系数齐线性方程通解的特征根法(4.19)0][1111 =++++º---x a dtdx a dt x d a dt x d x n n n n n n L .,,2为实常数n a L 由希望它有指数函数形式的解,t e x l =, 0)( )(][111=º++++º--t t n n n n t e F ea a a e L l l l l l l l L 数方程(4.20) 0)(111 =++++º--n n n n a a a F l l l l L . 这个方程称为(4.19)对应的特征根.特征方程,它的根称为特征根是单根的情形.个解有 (4.19)n 个彼此不相等的的是特征方程 (4.20) ,,,21 n n l l L ,,,, 21t t t n e e e l l l L 无关的，从而组成方程的基本解组. 这时，若的通解为均为实根，方程(4.19)),,2,1(n i L =; 2121tn t t n e c e c e c x l l l +++=L 复也一定是特征根，则( b a l b a l i i -=+=)，它们对应方程(4.19)的两个实值解.sin ,cos t e t e t t b b a a 特征根有重根的情形.111(4.19)(4.20) k k 的重根，则它对应的是特征方程设 l 线性无关的解;,,,,1111112t k t t t e t e t te e l l l l -L;,,, ,,,3232m m k k k L L 的重数依次为l l l 则当 , )( , ),,,2,1 21j i n k k k n j i m ¹¹=+++l l L L 还有解;,,,,2222212t k t t t e te t te e l l l l -L .,,,,12tk t t t m m m m m e t e t te e l l l l -L L L L L n 个解, 是线性无关的, 构成了(4.19)的基本解组.b a l b a l l i i k -=+=则重复根是某个特征根,我们将用以下的2k 个实值解来替代：,cos ,,cos ,cos ,cos 12t e tt e t t te t e t k t t t b b b b a a a a -L . sin ,,sin ,sin ,sin 12 t e t t e t t te t e tk t t t b b b b a a a a -L. 0 44的通解=-x dtx d ,014=-l ., , 1, 14321i i -==-==l l l l .sin, cos , , t t e e t t -了4 个线性无关的解，故通解为.sin cos 4321t c t c e c e c x t t +++=-. 012167223的通解=-+x dtdx dt x d 出特征方程, 01216723=+－－l l l,0)1(2222246=+=++l l l l l , 0)2)(3(2=--l l ，2, 3321===l l l .)(23231t t e t c c e c x ++=. 02 224466的通解=++dt x d dt x d dt x d ., ,0654321i i -======l l l l l l 通解为.sin )(cos )(654321t t c c t t c c t c c x ++++=＋(4.32) )(]1111t f x a dtdx a dt x d a dt x d n n n n n n =++++º---L 最广泛而常见的右端函数是,]sin )(cos )([)( t t B t t A e t f t b b a +=次的实系数多项式，最高是t t B t A )(),(代数方程(4.20)仍然称为(4.32)对应的特征，)( )()(1110 m m m m t t b t b t b t b e t A e t f ++++==--L a a 时，即0=b 1.是单根的根时它的重数是特征方程a l a (0)(=F 是待定常数，将上是特征根m B B B k ,,, );0 10L =t 的同次项系数来确定.,]sin )(cos )([~ t k e t t Q t t P t x a b b +=),( ;0)(t P F i 的根时它的重数 是特征方程=+l b a .次实系数待定多项式. 13322的通解+=--t x dtdx dt 应的特征方程是, 0)1)(3( 0322=+-=--l l l l 或有形如下式的特解时，方程(4.32)0有如下形式的特解,)(~ 110t m m m k e B t B t B t x a +++=-L,0 13)( =+=b ，对应一般形式中的t t f ，故特解形式为不是特征根，因此00==k a .~Bt A x +=,13332+º---t Bt A B 系数，得îíì=--=-,132, 33A B B 特解为 ; 1 , 31-==B , 31~t x -=原方程通解为.31231+-+=-t e c e c x t t 的通解是因此对应的齐线性方程.1,321-==l l .231t t e c e c x -+=. 32 2的通解t e x dtdt -=--对应一，这里特征方程，特征根同上 ,)( t e t f -=确定正是单根，所以而, 11 , 1 , 0=-=-==k a a b .~ t Ate x -=一步，其余略.. )5(332233的通解-=+++-t e x dtdx dt x d dt x d t 特征方程为,0)1(133323=+=+++l l l l 形正是这三重根，故特解三重根 1; 1321-=-===a l l l ,)(~3 t e Bt A t x -+=其余步骤略.. 2cos 44 2的通解＋t x dtdt =+一特征方程为,0)2(4422=+=++l l l ，对应一般形右端函数 t t f 2cos )( , 2 21=-==l l 而; 0)(, 1)( , 2 ,ºº=t B t A b ii 2=+b a .故特解形式为2sin 2cos ~t B t A x +=化简得2sin 82cos 8t A t B º-从而特解是 同类项系数，得. 81,0==B A , 2sin 81~t x =.2sin 81)(221t e t c c x t ++=-二因为右端函数)Re(2cos )(2it e t t f ==的结论，先求方程itex dt dx dt x d 22244 =+＋再取其实部，就是原方程的解.不是特征根，故对应的右端函数i e it 22=a ,~2it Ae x =，得方程并消去因子 it e 2 , 8 18iA iA -==或为. 2sin 812cos 88~2t t i e i x it +-=-=原方程的实特解为{}, 2sin 81~Re t x =. 2sin 81)(221t e t c c x t ++=-。
高阶线性微分方程
知 u 0, 取 u t t ,
得齐次方程的通解为
则 x2 te1t ,
x t C1 C2t e1t ;
17
情形3 有一对共轭复根 ( 0) 特征根为
o
x x
为物体自由振动的微分方程。
2
若受到铅直干扰力 F H sin pt ,
d2x dx 2 2 n k x h sin pt 2 为强迫振动的方程 dt 2 dt d uc duc Em 2 Lc 2 2 0 uc sin t dt dt LC 为串联电路的振荡方程
可以证明: 若方程(1)中的系数
(2)
P1 t , P2 t , Pn t
以及F t 均在区间 a, b 连续，则方程（1）存在惟一的满 足初始条件（2）的解 x t , t a, b .
4
二、 线性微分方程解的结构
x
n
t Pn t x t F t (3) t P1 t x n1 t Pn1 t x
得齐次方程的通解为
,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x t C1e1t C2e2t ;
16
x a1x a2 x 0
情形2 有两个相等的实根
( 0)
a1 1 2 , 特征根为 一特解为 2 设另一特解为 x2 u t e1t ,
x1 e1t ,
，x2 代入原方程并化简， 将 x2 ，x2
可利用微分算子的线性性质证得。
问题： 以上解的线性组合是否是方程的通解？
6
高阶线性微分方程
c1 y1 c2 y2 (c1 2c2 ) y1不是通解
I 内的 定义 设 y1 , y2 ,, yn 为定义在区间
n 个函数．如果存在 n 个不全为零的常数， 使得当 x 在该区间内有恒等式成立
k1 y1 k 2 y2 k n yn 0 ，
I 内线性相关．否 那么称这n 个函数在区间
例如 y y 0,
y1 cos x, y2 sin x,
y C1 cos x C 2 sin x .
y2 且 tan x 常数, y1
推广
yn ( x ) 是齐次方程 如果 y1 ( x )， y2 ( x )，
y ( n ) a1 ( x ) y ( n1) an1 ( x ) y an ( x ) y 0( 2)
P ( x ) y1 )u 0, 令v u, 即 y1 u (2 y1
则有 y1v ( 2 y1 P ( x ) y1 )v 0,
P ( x ) y1 )v 0 v 的一阶方程 y1v (2 y1 1 P ( x ) dx P ( x ) dx 1 解得 v 2 e dx , u 2e y1 y1
特解 y e x .
如果只能观察一个解: y1(x), 则
y2 y1 1 P ( x )dx e dx , 2 y1
令 y2 u( x ) y1 证明: 设y1是方程(1)的一个非零特解，
代入(1)式, 得
P ( x ) y1 )u ( y1 P ( x ) y1 Q( x ) y1 )u 0, y1 u (2 y1
则称线性无关
x 2x 例如 当x ( , )时， e x， e , e 线性无关
高阶线性微分方程.
n
的特解. (非齐次方程之解的叠加原理) 例如, 方程 y y e x 有特解
方程 y y cos x 有特解
y y e x cos x 的特解.
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定理3, 定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程. 定理 5. 给定 n 阶非齐次线性方程 是对应齐次方程的 n 个线性 无关特解, 的通解为 是非齐次方程的特解, 则非齐次方程
由此得原方程③的通解:
y C1 y1 ( x) C2U ( x) y1 ( x) u ( x) y1 ( x)
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例5. 已知齐次方程 ( x 1) y x y y 0 的通解为
2 Y C1 x C2 e , 求 ( x 1) y x y y ( x 1) 的通解. x 1 y y x 1 解: 将所给方程化为: y x 1 x 1 x 令 y xv1 ( x) e v2 ( x), 利用⑤,⑥建立方程组: e x v2 0 xv1
2
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例2. 设有一个电阻 R , 自感L ,电容 C 和电源 E 串
联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 , 求电容器两两极板间电压 uc 所满足的微分方程 . R 提示: 设电路中电流为 i(t), 极板 上的电量为 q(t) , 自感电动势为 E L , 由电学知
左= ( Y y * ) P( x) ( Y y * ) Q( x) ( Y y * )
( Y P( x) Y Q( x) Y )
f ( x) 0 f ( x) =右
故（3）是非齐次方程的解, 又Y 中含有两个独立的任意 证毕 常数, 因而 （3） 也是通解 .
微分方程第四节高阶线性方程
高阶线性方程的未来研究方向
高效求解算法研究
针对高阶线性方程的特点，研究更为高效和稳定的数值求解算法，以提ห้องสมุดไป่ตู้计算效率和精 度。
多物理场耦合的高阶偏微分方程组研究
随着科学技术的不断发展，多物理场耦合的问题越来越受到关注，研究这类问题需要发 展高阶偏微分方程组的方法。
非线性高阶方程的研究
非线性高阶方程在自然界和工程领域中广泛存在，研究这类方程的解的性质和求解方法 具有重要意义。
微分方程第四节高 阶线性方程
目录
• 高阶线性方程的定义与性质 • 高阶线性方程的解法 • 高阶线性方程的应用 • 高阶线性方程的扩展与展望
01
CATALOGUE
高阶线性方程的定义与性质
高阶线性方程的一般形式
高阶线性方程的一般形式为：$y^{(n)}(x) + a_{n1}(x)y^{(n-1)}(x) + a_{n-2}(x)y^{(n-2)}(x) + ldots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) = f(x)$，其中$n geq 2$，$a_i(x)$ 和$f(x)$是已知函数，$y(x)$是未知函数。
延迟高阶线性方程
这类方程在描述物理、工程和经 济等领域的问题时具有广泛应用 ，如描述人口增长、信号传输等 。
非齐次高阶线性方
程
这类方程在解决实际问题时经常 出现，如求解波动方程、热传导 方程等。
耦合高阶线性方程
组
这类方程组在描述多个相互作用 的物理量时出现，如弹性力学、 流体力学等。
高阶线性方程与其他数学领域的联系
积分因子法
总结词
通过引入积分因子将高阶线性方程转化为可求解的一阶 微分方程组。
微积分(高阶线性微分方程
y 2 sin x ,
常数, 通解
y C1 cos x C2 sin x.
8
可推广到n阶齐次线性方程.
推论 如果函数 y 1 ( x ), y 2 ( x ), , y n ( x )是n 阶齐次 线性方程
y
( n)
P1 ( x ) y
( n 1 )
Pn1 ( x ) y Pn ( x ) y 0
( B ) C1 y1 C 2 y2 ( C1 C 2 ) y3 ;
(89考研)
(C ) C1 y1 C 2 y2 ( 1 C1 C 2 ) y3 ;
提示
y1 y3 , y2 y3 是对应齐次方程的解,
二者线性无关 . (解的叠加原理可证)
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已知微分方程 y p( x ) y q( x ) y f ( x )有三 个解 y1 x , y2 e , y3 e , 求此方程满足初始条件
( r pr q ) e
2 rx
0
e
rx
0,
故有
r pr q 0
2
特征方程
2
特征根 r1, 2
p
p 4q 2
20
特征根r的不同情况决定了方程 y py qy 0 的通解的不同形式.
r pr q 0
2
设解y e
rx
特征方程
(1)有两个不相等的实根 ( 0)
y P ( x ) y Q( x ) y
0
(1)
定理 如果函数 y 1 ( x )与 y 2 ( x )是方程 (1 )的两个解 ,
那末 y C 1 y 1 ( x ) C 2 y 2 ( x )也是 (1 )的 解, ( C 1 , C 2 是常数 ).
高阶齐次线性微分方程
第七章常微分方程7.8 高阶齐次线性微分方程数学与统计学院赵小艳1 2 高阶线性微分方程的概念1主要内容3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关高阶齐次线性微分方程通解的结构1 2 高阶线性微分方程的概念1主要内容3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关高阶齐次线性微分方程通解的结构解 受力分析 1 高阶线性微分方程的概念 例1 （弹簧的机械振动）如图，弹簧下挂一物体.设在垂直方向有一随时间变化的外力作用在物体上，物体将受外力驱使而上下振动，求物体的振动规律.pt H t f sin )(1= 以物体的平衡位置为坐标原点，x 轴的方向垂直向下. x xo )(1t f ;sin )()1(1pt H t f =外力;)2(kx f -=弹性力v f μ-=0)3(介质阻力,ma F =由x kx t f x m d d μ--=)(2可得.t x d d μ-= 设振动开始时刻为0，t 时刻物体离开平衡位置的位移为x (t ).,ma F =由x kx t f x m d d μ--=)(2可得t t 2d d 物体自由振动的微分方程.0,000====t t t x x d d 还应满足初始条件：一般地，称 )()()(2122t F x t P t x t P t x =++d d d d 为二阶线性微分方程， ,0)(时当≡t F 称为二阶齐次线性微分方程,,0)(时当≠t F 称为二阶非齐次线性微分方程. )()()()()()()()(1)1(1)(t F t x t P t x t P t x t P t x n n n n =++++-- n 阶线性(微分)方程 ,0)(时当≡t F n 阶齐次线性微分方程,t t 2d d .0,000====t t t x x d d 还应满足初始条件：物体自由振动的微分方程)1()()()()()()()()(1)1(1)(t F t x t P t x t P t x t P t x n n n n =++++-- n 阶线性(微分)方程,0)(时当≡t F n 阶齐次线性微分方程， ,0)(时当≠t F n 阶非齐次线性微分方程.其初始条件的一般形式为 )2(.)(,,)(,)()1(00)1(0000--===n n x t x x t x x t x 解的存在唯一性定理].,[,),()2()1(,],[)()(,),(),()1(021b a t t t x b a t F t P t P t P n ∈的解件存在唯一的满足初始条则方程上连续均在区间及中的系数若1 2 高阶线性微分方程的概念1主要内容3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关高阶齐次线性微分方程通解的结构为线性微分算子. ),()()()()(1111t x t P t x t P t x t P t x x L n n n n n n ++++=---d d d d d d 记 称 )()()()(1111t P t t P t t P t L n n n n n n ++++=---d d d d d d 性质;0)0()1(=L ;),()()2(为任一常数C x CL Cx L =,x L C x L C x L C x C x C x C L n n n n )()()()()3(22112211+++=+++ .,,,为任意常数其中C C C 2 高阶齐次线性微分方程解的性质 )3(0)()()()()()()(1)1(1)(=++++--t x t P t x t P t xt P t x n n n n 0)(=x L定理1（解的叠和性） ,)3(,,,21的解均是齐次线性方程若n x x x ,)3(2211的解也是齐次线性方程则n n x C x C x C x +++= 问题： 例如 ,0=+x x,sin 1t x =t x sin 22=都是它的解， 也是它的解， 2211x C x C x +=.sin )2(21t C C x +=这是因为但不是该方程的通解. )3(0)()()()()()()(1)1(1)(=++++--t x t P t x t P t x t P t x n n n n .,,,21为任意常数其中n C C C 不一定！ 的通解呢？情况下才是方程个任意常数的解在什么具有)3(n 的通解？是否是)3(2211n n x C x C x C x +++=1 2 高阶线性微分方程的概念1主要内容3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关高阶齐次线性微分方程通解的结构定义1（线性相关与线性无关） ,)(,),(),(21个函数内的为定义在区间设n I t f t f t f n 使得个不全为零的常数如果存在),,,2,1(n i C n i =0)()()(2211=+++t f C t f C t f C n n ),,2,1)((n i t f i =则称函数组,值均成立中任何对区间t I ,,,,21维向量是一组设n s ααα 的常数如果存在一组不全为零,02211=+++s s k k k ααα 使得,,,1s k k s ααα,,,21 则称.,则称它是线性无关的关一个向量组不是线性相.是线性相关的在区间 I 线性相关； ,),,2,1(全为零时成立若上式仅当n i C i =线性无关.I n i t f i 在区间则称函数组),,2,1)(( =定义1（线性相关与线性无关） ,)(,),(),(21个函数内的为定义在区间设n I t f t f t f n 使得个不全为零的常数如果存在),,,2,1(n i C n i =0)()()(2211=+++t f C t f C t f C n n ),,2,1)((n i t f i =则称函数组,值均成立中任何对区间t I 在区间 I 线性相关； ,),,2,1(全为零时成立若上式仅当n i C i =线性无关. I n i t f i 在区间则称函数组),,2,1)(( =例如 t t 22sin ,cos ,1线性相关； 一般地， ,)()(21常数上若在≠t y t y I 上在与则函数I t y t y )()(21线性无关. .,线性无关而te t例1 .,,,,112上线性无关在任何区间证明函数组I x x x n - 证 反证法. 零的常数 使得()0,1,2,,1,i C i n =-0112210=++++--n n x C x C x C C 对区间 I 上的所有x 都成立, 但以上n -1 次方程在实数范围内最多有n -1个根. .,,,,112上线性无关在任何区间所以，函数组I x x x n - 即方程有无穷多个根.例如 ,0=+x x,sin 1t x =t x sin 22=都是它的解， 是它的解， t C C x C x C x sin )2(212211+=+=但不是通解. 矛盾！.个线性无关的特解关键是求微分方程的n 则必存在n 个不全为 假设这n 个函数线性相关, ,要求微分方程的通解t t t e e e 2,,-是否线性无关？,),(时当∞+-∞∈t 例2 解 两边同时关于变量t 求一阶和二阶导数, 得:假设 02321=++-t t t e C e C e C 042321=++-t t t e C e C e C 022321=+--t t t e C e C e C 联立, t t t t t t t t t e e e e e e e e e D 22242----=4112111112-=t e ,0≠t e 26-=().,+∞∞-∈t 因此 ,0321===C C C 即tt t e e e 2,,-线性无关. ,),(时当∞+-∞∈t 321,,C C C 关于变量的线性方程组的系数行列式为1 2 高阶线性微分方程的概念1主要内容3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关高阶齐次线性微分方程通解的结构定理2（解的线性无关判别法） 线性无关则)(,),(),(21t x t x t x n 0)()()()()()()()()()(0)1(0)1(20)1(100201002010≠=---t x t x t x t x t x t x t x t x t x t w n n n n n n使得中存在一点在,0t I ,)3()(,),(),(21的解的定义于区间是方程若I t x t x t x n 4 高阶齐次线性微分方程通解的结构)3(0)()()()()()()(1)1(1)(=++++--t x t P t x t P t x t P t x n n n n 行列式Wronski .)3(个线性无关的特解的关键是求n ,)3(的通解要求微分方程定理3（齐次线性微分方程通解的结构）个线性无关的解，的是微分方程若n t x t x t x n )3()(,),(),(21 )()()()(2211t x C t x C t x C t x n n +++= .,,,21为任意常数其中n C C C 证明 下证任一解 x (t ) 具有以上形式.由齐次方程解的叠加性质，可知上式中的 x (t ) 是(3)的解.任取(3)的解 x (t ) ，且满足初值条件.)(,,)(,)()1(00)1(0000--===n n x t x x t x x t x )3(0)()()()()()()(1)1(1)(=++++--t x t P t x t P t x t P t x n n n n 均可表示为则它的任一解x任取(3)的解 x (t ) ，且满足初值条件.)(,,)(,)()1(00)1(0000--===n n x t x x t x x t x 构造方程组 由于Wronski 行列式不等于零，所以以上方程组关于变量 n C C C ,,,21 且满足初值条件. )()()()(0202101t x C t x C t x C t x n n+++= 于是 .,,,00201nC C C )()()()(2211t x C t x C t x C t x n n +++= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)()()()(00220110t x C t x C t x C t x n n +++= )()()()(00220110t x C t x C t x C t x n n +++=)()()(0)1(0)1(110)1(t x C t x C t xn n n n n ---++=存在唯一一组解定理3（齐次线性微分方程通解的结构） )()()()(2211t x C t x C t x C t x n n +++= .,,,21为任意常数其中n C C C 均可表示为则它的任一解x .,0)(')(",21求其通解的解是方程已知=++y x a y x a y e x x 例1 解 ,011110)0(≠-==w 由于.,线性无关所以x e x ,21x e C x C y +=该方程的通解为.,21为任意常数其中C C 个线性无关的解，的是微分方程若n t x t x t x n )3()(,),(),(21 )3(0)()()()()()()(1)1(1)(=++++--t x t P t x t P t x t P t x n n n n。
§4 高阶线性微分方程
问题 y1 (x) 与 y2 (x) 是(4.2)的解，由定理 1， y C1 y1 (x) C2 y2 (x) 也是
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
§12-8 高阶线性微分方程 - 太原理工大学
y=C y +C y 一 是 解 ？ 1 1 2 2 定 通 吗
定义：设 y1 , y2 ,L, yn 为定义在区间 I 内的n 个函数．如 定义 果存在 n 个不全为零的常数，使得当 x 在该区间内有恒 等式成立
k1 y1 + k 2 y2 + L + k n yn = 0，
那么称这 n 个函数在区间 I 内线性相关．否则称线性无 关
′ y′ +P x y +Qx y=0 ( ) ( )′ ( ) 1
定 1 如 函 y (x 与 2(x 是 程1 的 个 , 理 果 数 1(x y (x 方 ( ) 两 解那 ) ) 末 =C y +C y 也 ( ) 解（ 1, C是 数 y 1 1 2 2 是1 的 . C 2 常 ）
问题: 问题:
2.二阶非齐次线性方程的解的结构:
理 y 二非次性程 定 3 设 是阶齐线方
*
′ y′ +P x y +Qx y= f(x ( )′ ( ) )
*
(2 )
的 个 解 Y 与2 对 的 次 程1 的 解 一 特 , 是 () 应 齐 方 () 通 , 则 =Y+y 是 阶 齐 线 微 方 ( ) 通 二 非 次 性 分 程2 的 y 解 .
理 定 4
*
设 齐 方 ( ) 右 f(x 是 个 非 次 程2 的 端 ) 几 函
*
数 和 如 ′ +P x y +Q x y= f (x + f2(x 之 , y′ ( ) ′ ( ) ) ) 1 而 1与 2分 是 程 y y 别方,
′ y′ +P x y +Q x y= f1(x ( ) ′ ( ) ) ′ y′ +P x y +Q x y= f2(x ( ) ′ ( ) )
高阶线性微分方程汇总
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定理１说明齐次方程的解符合叠加原理．
y P ( x ) y Q( x ) y 0
(1)
问题: y C1 y1 C2 y2 一定是(1)的通解吗？ 不一定！
y1 ( x )和y2 ( x )满足什么条件时y C1 y1 C 2 y2 才是(1)的通解？ 例如,
d uC d uC Em 2 2 0 uC sin t 2 dt LC dt 如果电容器充电后撤去电源 ( E = 0 ) , 则得 d 2 uC d uC 2 2 0 uC 0 2 dt dt
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化为关于 uc 的方程:
故有
i E~
2
q ‖ q K
(1)
也是该方程的解. 证: 将 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x) 代入方程左边, 得
] P( x)[ C1 y1 C2 y2 C2 y 2 ] [ C1 y1
Q( x) [ C1 y1 C2 y2 ]
P( x) y1 Q( x) y1 ] C1 [ y1
‖ q K q
L C
i ~ E∼
根据回路电压定律:
在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0
di q E L Ri 0 dt C
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d uC d 2 uC RC LC uC Em sin t 2 dt dt R R 1 令 , 0 2L LC L C 串联电路的振荡方程:
第六节 高阶线性微分方程
一、函数的线性相关与线性无关 二、二阶线性微分方程举例 三、线性微分方程解的结构 *四、常数变易法
高阶线性微分方程
线性无(相)关定义:
设 y1= y1(x), y2= y2(x), , yn= yn(x)是一组定义 在区间I上的函数，如果存在n个不全为零的常数 k1 , k2 , , kn , 使得xI, 恒成立
k1 y1 + y2 + + kn yn = 0
则称y1 , y2 , , yn ,是线性相关的. 否则称它们 是线线性无关的.
y C1 cos x C2 sin x
上述方法可推广到解 n 阶常系数齐次线性 方程(8)的情形, 此时特征方程为
r n p1rn1 pn1r pn 0 (11) 特征方程(11)的根对应微分方程(8)的解的 情况如下表
表12-1
特征根
对应的线性无关的特解
(1) 单实根 r
也是(9)的解, 且线性无关, 故(9)的通解为
y ex (C1 cos x C2 sin x)
特征根 两个不等的实根r1, r2 两个相等的实根r1=r2=r
方程的通解 y C1er1x C2er2x
y (C1 C2 x)erx
一对共轭复根r1,2= i
y e (C1 cos x C2 sin x) x
( 0)
例7. 求解方程 y''y' 6y = 0 的通解. 解：特征方程是 r2 r 6 = 0 其根r1=3, r2= 2是两个相异实根, 故所求通解为
y = C1e3x + C2e2x.
例8. 求解方程 4y'' + 12y' + 9y = 0. 解：特征方程是
4r2 +12r + 9 = 0.
高阶线性微分方程
热传导与热辐射的综合问题
对于同时涉及热传导和热辐射的复杂问题，可以通过建立高阶线性微分方程组来描述物体内部的温度分 布和表面的辐射特性，进而分析物体的热平衡状态、热效率等问题。
05
高阶线性微分方程的数值 解法
对于难以找到解析解的非线性微 分方程，数值方法成为求解的主 要手段，如有限元法、有限差分 法等。
分数阶微分方程的研究动态
分数阶导数定义
研究者们对分数阶导数的定义进行了深入研究，提出了多种不同的定义方式，如Riemann-Liouville定 义、Caputo定义等。
分数阶微分方程的解析解
对于某些特定的分数阶微分方程，研究者们尝试寻找其解析解，并取得了一定的成果。
高阶线性微分方 程
目录
• 引言 • 高阶线性微分方程的基本理论 • 高阶线性微分方程的求解方法 • 高阶线性微分方程的应用举例 • 高阶线性微分方程的数值解法 • 高阶线性微分方程的前沿研究与
发展趋势
01
引言
背景与意义
微分方程的重要性
微分方程是数学的一个重要分支，广泛 应用于物理、工程、经济等领域。高阶 线性微分方程作为微分方程的一种特殊 类型，具有重要的理论和应用价值。
线性微分方程的解的性质
叠加原理
若y1和y2分别是线性微分方程的解， 则它们的线性组合c1y1 + c2y2（c1 和c2为任意常数）也是该方程的解。
齐次方程的解的性质
若y1和y2是齐次线性微分方程的解， 则它们的差y1 - y2也是该方程的解。
非齐次方程的解的性质
非齐次线性微分方程的通解可以表示 为对应齐次方程的通解加上一个特解。
高等数学高阶线性微分方程
(k )
(t , c1 ,, cn k )
第三步: 对上式求k次积分,即得原方程的通解
x (t , c1 ,, cn ), 这里c1 ,, cn为任常数
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 15
d 5x 1 d 4x 0的通解. 例1 求方程 5 4 dt t dt d 4x 解 令 y, 则方程化为 4 dt dy 1 y0 dt t 这是一阶方程,其通解为 y ct, 4 d x 即有 ct, 4 dt
南京航空航天大学 理学院 数学系 14
2007年8月
F (t , x( k ) , x( k 1) ,, x( n ) ) 0
解题步骤:
(1)
令x ( k ) y, 则方程化为 第一步:
F (t , y, y ' ,, y ( n k ) ) 0
第二步: 即 求以上方程的通解
y (t , c1 ,, cnk )
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 20
3 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶
(1) 设x x1 0是二阶齐线性方程 d 2x dx p(t ) q(t ) x 0, 2 dt dt
的非零解 令
(3)
x x1 y
则
x x1 y x y
' ' ' 1
x x1 y 2 x y x y
d x k 恰好是将所要解的奇次方程中的 k 换成 dt
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 5
k
特征方程的根
一个单实根 一个k阶重根 一对单复根 i
微分方程通解的对应项
ce x 对应一项
高阶线性微分方程
高阶线性微分方程高阶线性微分方程是微积分中的重要部分，其解决了许多实际问题中的数学模型。
本文将介绍高阶线性微分方程的定义、解法和应用。
一、高阶线性微分方程的定义高阶线性微分方程是指形如\[a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_1y'+a_0y=g(x)\]的微分方程，其中 $y^{(n)}$ 代表 $y$ 的 $n$ 阶导数，$a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0$ 均为常数，$g(x)$ 是已知的函数。
二、高阶线性微分方程的解法1. 齐次线性微分方程的解法首先考虑齐次线性微分方程\[a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_1y'+a_0y = 0\]将其特征方程设为 $a_n r^n + a_{n-1}r^{(n-1)}+...+a_{1}r+a_{0} = 0$，解出特征方程的 $n$ 个根 $r_1, r_2, ..., r_n$。
根据齐次线性微分方程的性质，可以得出其解的形式为 $y(x) = C_1 e^{r_1x} + C_2 e^{r_2x} + ... + C_n e^{r_nx}$，其中 $C_1, C_2, ...,C_n$ 为常数。
2. 非齐次线性微分方程的解法若已知非齐次线性微分方程的一个特解 $y_p(x)$，则非齐次线性微分方程的通解可以表示为 $y(x) = y_p(x) + y_h(x)$，其中 $y_h(x)$ 为齐次线性微分方程的通解。
为了求得非齐次线性微分方程的特解，可以通过常数变易法、待定系数法等方法。
3. 常数变易法当非齐次线性微分方程的右侧函数 $g(x)$ 为常数时，可采用常数变易法。
假设非齐次线性微分方程的特解为 $y_p(x) = A$，将其代入原方程得到 $a_0 A = g(x)$，解得 $A = \frac{g(x)}{a_0}$，进而得到特解$y_p(x) = \frac{g(x)}{a_0}$。
第十四讲(1) 高阶线性微分方程
的通解.
解 :特征方程为 r 2 3r 2 0
常 微 分 方 程
解得
r1 1, r2 2
则所求方程通解为 y C1e x C2e2 x
杨建新
高阶线性微分方程
6 解:
求
2 y y y 2e x
2
的通解 .
常 微 分 方 程
特征方程为 2r r 1 0, 特征根为 1 r1 1, r2 齐次方程的通解: y C1e x C2e x /2 2 f ( x) 2e x , p( x) 2 是零次多项式 ，
x
代入 f "( x) f ( x) 2e
x
x f ( x ) e c 0 得 ,于是
杨建新
高阶线性微分方程
(2)
由于 y f ( x ) f (t )dt e
2 2 0 x2
x
x2
x
0
e dt
t 2
则 y ' 2 xe
常 微 分 方 程
x
0
e dt 1
再由
f '( x) f ( x) 2e x 得 2C1e x C2 1, C2 0. 故
f ( x) e x
杨建新
高阶线性微分方程
3
解方程
y 6 y 9 y 0
解 : 特征方程
r 6r 9 0 解得
2
r1 r2 3
9
已知函数 f ( x) 满足方程 f "( x) f ( x) 2e x ,
f "( x) f '( x) 2 f ( x) 0.
(1)求 f ( x) 的表达式;
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高阶线性微分方程
一、 引例（1）：
悬挂在弹簧上的物体在静止状态时，
重力和弹性力大小相等，方向相反。
如果物体具有一个初速度00v ≠，那末
物体将在平衡位置做振荡运动，且运动轨迹是时间 的函数。
()x x t = 在分析振荡运动时，只考虑弹性恢复力和阻尼介质的阻力作用（使振荡作用逐渐趋近于静止）：
弹性恢复力：
f cx =−。
C 为弹簧的弹性系数，负号表示与物体位
移方向相反。
阻力作用：dx R dt
μ=−。
其大小与物体的运动速度成正比。
μ为比例系数，负号表示与物体运动方向相反。
则有公式：
22d x dx m cx dt dt
μ=−−，如果2u n m =，2c k m =。
则上式化成：22220d x dx n k x dt dt
++= 此式表示物体自由振动的全微分方程。
如果物体在振动过程中，还受到铅直干扰力sin F H pt =的作用，
则有：2222s d x dx n k x h dt dt
++=in pt 其中H h m
=，这就是强迫振动的微分方程。
二、 引例（2）
R
L
L di E L dt =−，dq i dt
=，q=cu, 则回路KVL 方程为：
22sin C C C m d u du LC RC u E wt dt dt
++
= 令2R L β=，01w =这就是串联电路的振荡方程。
如果撤去电源E ，则方程变为：220C C C d u du LC RC u dt dt
++= 三、 二阶线性微分方程
由上两个引例。
可得到微分方程的一个共有形式： 22()()()d y dy P x Q x y f x dx dx
++=
f x≡时，方程为齐次的。
此式叫做二阶线性微分方程，当()0
f x≠，方程为非齐次的。
当()0。