4.3 公式法 第二课时
八年级数学下册 4.3 公式法(第2课时)课件 (新版)北师大版
第四页，共9页。
利用完全平方公式计算
10．(8分)(1)8002－1 600×798＋7982；
解：4
(2)2×1012＋2×101×98＋2×492.
解：45 000 11．(5分)试证明(zhèngmíng)：无论x，y取何值， x2－4x＋y2－6y＋14不小于1.
证明：原式＝(x2－4x＋4)＋(y2－6y＋9)＋1 ＝(x－2)2＋(y－3)2＋1， ∵(x－2)2≥0，(y－3)2≥0， ∴无论(wúlùn)x，y为何值，它总大于或等于
第七页，共9页。
三、解答题(共32分) 19．(12分)将下列(xiàliè)各式因式分解： (1)(x＋y)2－4(x＋y－1)； (2)a2－2ab＋b2－ 9；解：（1）原式＝(x＋y)2－4(x＋y)＋4＝(x＋y－2)2
解：（2）原式＝(a－b)2－32＝(a－b＋3)(a－b－3)
解：（3）原式＝(y2－4y＋4)2＝(y－2)4
)
D
C．(x＋1)2 D．(x－2)2
第六页，共9页。
二、填空题(每小题4分，共16分)
15．因式分解：1－x＋x2 ＝(1－ 4x2y＋4xy2＝ x(x－2y)2
17．二次三项式4x2＋mxy＋4y2可以用完全平方公 式分解，则m＝±8
18．若正方形的面积(miàn jī)是a2＋18ab＋ 81b2(a>0，b>0)，则这a＋个9正b 方形的边长是
第一页，共9页。
4.3 公式法(第2课时) 得分(dé fēn)________ 卷后分________ 评价________
1．形如的式子
a2±2ab＋b2
称为完全平方式．
2．逆用乘法公式(a＋b)2＝ a2＋2ab＋b2
4.3.2公式法
5．把下列多项式因式分解： (1)－3x2－12＋12x； (2)3ax2＋6axy＋3ay2； (3)4(x＋y)2－20(x＋y)＋25. 解： (1)原式＝－3(x2＋4－4x)＝－3(x－2)2； (2)原式＝3a(x2＋2xy＋y2)＝3a(x＋y)2； (3)原式＝[2(x＋y)－5]2＝(2x＋2y－5)2.
B．3x(x－4)2
C．3x(x＋2)(x－2)
D．3x(x－2)2
3．把代数式 x3－4x2＋4x 因式分解，结果正确的是( D ) A．x(x2－4x＋4) B．x(x－4)2 C．x(x＋2)(x－2) D．x(x－2)2 【解析】 原式＝x(x2－4x＋4)＝x(x－2)2，故选 D.
4．因式分解： (1) x2－6x＋9＝___(_x_－___3_)_2_. (2) 4a2－4a＋1＝___(2__a_－___1_)_2. (3) 2a2－4a＋2＝___2_(_a_－___1_)_2_. (4) 2x2－8xy＋8y2＝___2__(x__－__2__y_)_2. (5) 3ax2－6axy＋3ay2＝___3_a_(_x_－___y_)_2. (6) x2y－2xy2＋y3＝___y_(_x_－___y_)_2_.
A．x－1
B．x＋1
C．x2－1
D．(x－1)2
【解析】 因为 mx2－m＝m(x2－1)＝m(x－1)(x＋1), x2－2x＋1＝(x－1)2，所源自以公因式为 x－1.故选 A.
8．已知 x2＋y2＋16x－4y＋68＝0，则 x＋y＝__－___6_.
【解析】 由于 x2＋y2＋16x－4y＋68＝0， 所以(x＋8)2＋(y－2)2＝0. 由于(x＋8)2≥0，(y－2)2≥0， 所以 x＋8＝0，y－2＝0， 即 x＝－8，y＝2， 所以 x＋y＝－8＋2＝－6.
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4.3 公式法
（第二课时）
填空： （1）（a+b)(a–b） = a 2–b2 ； （2）（a+b）2 = a 2+2ab+b2 ； （3）（a–b）2 = a 2– 2ab+b2 . 根据上面式子填空： （1）a 2–b 2= （a+b)(a–b） ； （2）a 2–2ab+b2 = (a–b）2 ； （3）a 2+2ab+b 2= （a+b）2 . 结 论：形如a2 +2ab+b 2与a 2–2ab+b2 的式子称为完全平方式．
将下列各式因式分解： （1）3ax 2+6axy+3ay 2
（2）–x2 –4y 2+4xy
解：原式=3a(x 2+2xy+y 2) =3a(x+y) 2
解：原式= –(x 2–4xy +4y 2) =–(x–2y) 2
注意：提公因式法是分解因式首先应当考虑的方法
1、判断正误： （1）x2 +y 2=(x+y) 2 （2）x 2–y 2= (x–y)2 （3）x2 –2xy–y =2 (x–y) 2 （4）–x 2–2xy–y 2 =–(x+y)2
把下列各式因式分解： （1）x 2–4x+4
解：原式=（x –2)2
（2）9a 2+6ab+b2 解：原式=（3a+b) 2
（3）m 2– 2 m
2
+8(m+n)+16
3
9
解：原式=(m – 1 )2 3
解：原式=（m+n+4) 2
注意：完全平方公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式
湘教版七年级数学下册 《公式法(第二课时)》精品教案
巩固提升
1.下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是
()
A.x2+1 B.x2+2x-1
C.x2+x+1 D.x2+4x+4
答案：D
2.把 x2y-2y2x+y3 因式分解正确的是( )
A.y(x2-2xy+y2) B.x2y-y2(2x-y)
C.y(x-y)2
D.y(x+y)2
答案：C
学 生 自 主 解 通过这几道题目 答，教师讲解 来反馈学生对本
3.因式分解:mn2+6mn+9m= 答案： m(n+3)2
.
答案。
节所学知识的掌
握程度，落实基
础。学生刚刚接
4.已知正方形的面积是 9x2+6xy+y2(x>0,y>0),利
用因式分解,写出表示该正方形的边长的代数
式
.
触到新的知识需 要一个过程，也 就是对新知识从
答案： 3x+y 5、如图所示在一个边长为 a 的正方形木板上,锯掉 边长为 b 的四个小正方形,计算当 a=18dm,b=6dm 时 剩余部分的面积.
(1)x2y2+10xy+25.
流。
分解因式的综合
(2)(a+b)2-4(a+b)+4.
3．师生共同 运用以及分解因
总结：
结，达成共识。 式应进行到每一
用完全平方公式分解因式的要点：
个多项式因式不
1、先找平方项；平方项同号，确定 a，b 两数
能再分解为止的
2、再看中间项是否是 2ab
原则
例 3、把
因式分解
人教版初三数学上册公式法第二课时
-0。
一元二次方程的解法【教学目标】：1、 使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。
2、 使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。
3、 在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点。
【重点难点】：1、 难点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程；2、 重点：对文字系数二次三项式进行配方；求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号错误。
【教学过程】：一、 复习旧知，提出问题1、 用配方法解下列方程：1(1)x 2 15=10x (2) 3x 2 -12x 03 2、 用配方解一元二次方程的步骤是什么？3、 用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法， 迅速求得一元二次方程的实数根呢？二、 探索同底数幕除法法则问题1 :能否用配方法把一般形式的一元二次方程ax 2 • bx • c = 0 (a = 0)转化为 因为a = 0，方程两边都除以 a ，得x 2 b x ^0 a a移项，得2 b c x X = a a配方，得/ 2煜唱亍哙2 b 2 -4ac4a 2(x -)2 二 b 2 -4ac 4a 2 呢？教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元 二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识: 即(x 』)2」2—4ac2a 4a 2问题2：当b 2 -4ac 亠0 ,且a 0时, b 2 -4ac4a 2 大于等于零吗?让学生思考、分析，发表意见，得出结论：当b 2 -4ac -0时，因为a = 0，所以4a 2 • 0 ,从而问题3：在研究问题1和问题2中，你能得出什么结论？让学生讨论、交流，从中得出结论，当沪—4处乏0时.一般形式的一元二次方程ax2 +Z»x + c = 00)的根为x + — - 土—----2a 2a由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2• bx • c = 0 (a = 0)的求根公式：—b 土J b2 -4ac x =2a2(b —4ac _ 0)这个公式说明方程的根是由方程的系数 a 、b 、c 所确定的，利用这个公式，我们可以由一元 二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
2020春北师大版八下数学4.3公式法教学课件(31张)
1、回答：下列各式是不是完全平方式
1 a2 b2 2ab 是
22xy x2 y 2 是 3 x2 4xy4 y 2 是 4a2 6abb2 否 5x2 x 1 是
4
6 a2 2ab 4b2 否
2.填写下表
分析：在(1)中，16x2=(4x)2,9=32,24x=2·4x·3, 所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即 16x2+24x+9= (4x)2+ 2·4x·3 +32
a2 + 2 ·a ·b + b2 解:(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32 =(4x+3)2.
三、新知识或新方法运用
分析：在（1）中有公因式3a，应先 提出公因式，再进一步分解。
解:(1)3ax2+6axy+3ay2 (2)(a+b)2-12(a+b)+36
=3a(x2+2xy+y2)
=(a+b)2-2·(a+b)·6+62
=3a(x+y)2
=(a+b-6)2.
四、小结
1：如何用符号表示完全平方公式？
a2+2ab+b2=(a+b)2， a2-2ab+b2(a-b)2． 2：乘法
因式分解
整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。 这种分解因式的方法称为运用公式法。
说一说 找特征
a 2 ▲ b 2 ( a ▲ b )( a ▲ b )
（１）公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）
【最新】北师大版八年级数学下册第四章《4.3公式法》公开课课件2.ppt
=-(x2+2xy+y2 ) =-ab3(a2-2a+1)
=-(x+y)2
=-ab3(a-1)2
用简便方法计算：
2 0 0 5 2 4 0 1 0 2 0 0 3 2 0 0 3 2
解： 2 0 0 5 2 4 0 1 0 2 0 0 3 2 0 0 3 2 2 0 0 5 2 2 2 0 0 5 2 0 0 3 2 0 0 3 2
3、有这两“项”的2倍或-2倍
首 2 2 首 尾 尾 2
按照完全平方公式填空：
( 1 )a 2 1 0 a (2 5 ) (a 5 )2
( 2 )(a 2 y 2 ) 2 a y 1 (ay 1 ) 2
(3) 1( r s 4
1 )r2s2( 2 r s
)2
例1：把下列式子分解因式
⑴ 3ax2&#这两
=2a（x2+2xy+y2）
=2a（x+y）2
⑵ －x2-4y2+4xy
=－（x2-4xy+4y2）
题，你觉得 分解因式时 应该注意什
么？
=－［x2-2·x·2y+（2y）2］
=－（x－2y）2
把下列多项式分解因式
(1) -2xy-x2-y2 . (2)-a3b3+2a2b3-ab3
A.①② B.①③ C.②③ D.①⑤ B
（2）若a+b=4，则a2+2ab+b2的值是（ ） A．8 B．16 C．2 D．4
（3）若x2+2(Dm-3)x+16, 是一个完全平方式，那么m应
为（ ）
2、把下列各式分解因式：
(1)16a4+24a2b2+9b4 (2) 3am 23an 26am n
八年级下册4.3公式法第2课时
合作探究
当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因 式分解，直至不能再分解为止.
身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。 高中数学课标修订组定义数学核心素养：是具有数学基本特征的
、适应个人终身发展和社会发展需要的人的、具有数学特征的关键能力与 思维品质。
后天习得的、与特定情境有关的、通过人的行为所表现出来的 知识、能力和态度，涉及人与社会、人与自己、人与工具。
高中阶段的数学核心素养 数学抽象、逻辑推理、数学建模 直观想象、数学运算、数据分析
D．x²+2a-1
a²±2ab＋b²
a
16x²＋24x+9
4x
1 －xa
4a²＋25b²－20ab
2a
b
（a±b）²
3
（4x+3）²
x
（½－x）²
2
（a－2）²
5b
（2a－5b）²
合作探究
探究点一： 问题1：事实上，把乘法公式的(完全平方公式)： (a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²-2ab+b² 反过来，就得到因式分解的(完全平方公式)
义教阶段的数学核心素养（核心词、核心概念） （数感、符号意识）、推理能力、模型思想 （几何直观、空间想象）、运算能力、数据分析观念
更为一般的数学素养：应用意识、创新意识、学会学习
设定数学核心素养的理由（三会） 会用数学的眼光观察现实世界 数学的眼光是什么：数学抽象（直观想象） 引发的数学特征：数学的一般性； 会用数学的思维思考现实世界 数学的思维是什么：逻辑推理（数学运算） 引发的数学特征：数学的严谨性； 会用数学的语言表达现实世界 数学的语言是什么：数学模型（数据分析） 引发的数学特征：数学应用的广泛性。
北师大版初中数学八年级下册4.3 公式法(第2课时) 课件
完全平方公式
a a² ab
将上面的等式倒过来看，能得到：
a
b
素养目标
4.3 公式法/
2. 灵活应用各种方法分解因式，并能利用因 式分解进行计算.
1. 理解并掌握用完全平方公式分解因式.
探究新知
知识点 1
4.3 公式法/
完全平方公式与完全平方式
不是，是整式乘法 是，运用提公因式法 是，运用平方差公式 是 完全平方公式
探究新知 完全平方公式与因式分解关系：
4.3 公式法/
整式乘法
完全平方式：
因式分解
探究新知
4.3 公式法/
完全平方式的特点：
观察这两个式子：
（1）每个多项式有几项？ 三项
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 这两项都是数或式的平方，并且符号相同.
（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？ 是第一项和第三项底数的积的±2倍.
探究新知
4.3 公式法/
结论 完全平方式的特点： 1. 三项式（或可以看成三项的）； 2. 有两项为数或式的平方和； 3. 有一项为两数或式乘积的2倍，与符号无关.
探ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ新知
4.3 公式法/
简记口诀：“首平方，尾平方，首尾两倍在中央”.
a2 ± 2 a b +b2 首2 ±2×首 +尾2
×尾
两个数的平方和加上(或 =(a ± b)² 减去)这两个数的积的2倍，
4.3 公式法/
探究新知
4.3 公式法/
知识点 3 公式法
公式法分解因式 根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用
乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的 方法叫做公式法.
完全平方公式 分解因式 平方差公式
公式法 第二课时-数学七年级下册同步教学课件(冀教版)
x
1 2
2
C．x 2－2x＋4＝(x－2)2
D．4x 2－y 2＝(4x＋y )(4x－y )
8 分解因式：mn 2－2mn＋m＝_m___(_n_－__1_)_2__． 9 因式分解：－2x 2y＋16xy－32y＝－__2__y_(_x_－__4__)_2． 10 若一个长方形的面积是x 3＋2x 2＋x (x＞0)，且一
1 2
2
＝
3m
1 2
2
.
总结
因式分解时，要注意综合运用所学的分解方法， 常用的分析思路是： ① 提公因式法； ② 公式法．有 时，需要反复利用公式法因式分解，直至每一个因式 都不能分解为止．注意综合利用乘法公式，既用到平 方差公式又用到完全平方公式．
1 把下列各式分解因式：
(1)6xy－x 2－9y 2；(2)－m 3＋2m 2－m； (3)3x 2－6x＋3； (4)4xy 2＋4x 2y＋y 3. 解：(1)6xy－x 2－9y 2＝－(x 2－6xy＋9y 2)＝－(x－3y )2. (2)－m 3＋2m 2－m＝－m (m 2－2m＋1)＝－m (m－1)2. (3)3x 2－6x＋3＝3(x 2－2x＋1)＝3(x－1)2. (4)4xy 2＋4x 2y＋y 3＝y (4x 2＋4xy＋y 2)＝y (2x＋y )2.
5 若x 2－14x＋m 2是完全平方式，则m＝__±__7___. 6 若关于x 的二次三项式x 2＋ax＋ 1 是完全平方式，则a 的
4 值是__±__1____．
知识点 2 用完全平方公式分解因式
我们把多项式a 2＋2ab＋b 2及a 2－2ab＋b 2叫做完
全平方式.在运用完全平方公式进行因式分解时，关 键是判断这个多项式是不是一个完全平方式. 例如:
八年级数学下册 4.3 公式法课件2 (新版)北师大版PPT
2）套公式： a²- b²= (a+b)(a-b)
注意:变形时平方的底数为乘积时注意要加“（）”
把下列多项式因式分解
19y24x2 2125x2
3 9 m2 16n2
25
把 1 9 m n 2 m n 2 因式分解．
因式分解：
1xy2yx2
2 1a 6 b 2 9 a b 2
把（2） 2x3 -8x 因式分解．
将下列多项式因式分解：
13x312x
2a3ab2
把 x 4 y 4 因式分解．
将下列多项式因式分解：
1x4 16
29x43y 62
交流与探讨：
归纳:因式分解的一般步骤： 1）提公因式 2）运用公式
注意：分解必须彻底。
达标检测：
1.选择题：
1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D ）
4.3 因式分解—— 公式法 1
平方差公式
学习目标：
• 1、掌握平方差公式的特点 • 2、会熟练运用平方差公式分解
因式
一、问题情景导入 分解因式
x2 25
你会做吗？
二、探究新知 1、（a+b)(a-b)=__a_2_-b_2____.
这个公式叫_平__方__差__公__式___。 从左边到右边的这个过程叫_整__式__乘__法____。
× X2+y2 × -x2-y2
-x2+y2 =y2-x2=(y+x)(y-x)
X2-y2 =(x+y)(x-y)
仔细填一填
1 9 y 2 3y 2
2 36
25
x 2
6x 2
5
3 9
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4.3 公式法 第二课时
一、学习准备：
1、分解因式：492172+-x x
2、填空：
（1）=+2)(b a ； （2）2
)(b a -= ； 二、学习目标：
（1）了解运用公式法分解因式的意义； （2）会用完全平方公式进行因式分解； 三、自学提示： 活动一
阅读课本57页例3上面部分，并回答问题或填空：
(1) 如果一个多项式的各项不具备相同的因式，我们可以运用平方差公式进行分解因式，我们还
学过其它的公式吗？哪个公式还可以进行分解因式？ 2、结合预习导学2，完成下列填空
（1）2
22b ab a +- = ； （2）2
22b ab a ++= ； 3、乘法公式2
)(b a ±= 。
4、形如222b ab a ++与2
22b ab a +-的式子称为完全平方式．
把乘法公式反过来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做 。
活动二 观察2
2
2b
ab a +-
；2244b ab a +-；25102
++x x ,找出它们的共同特征。
然后讨论：
1、什么样的多项式才可以用完全平方公式分解因式呢？
2、下列各式是不是完全平方式？
（1）a 2－4a ＋4；（2）x 2＋4x ＋4y 2；（3）4a 2＋2ab ＋
4
1b 2
； （4）2
2
b ab a +-； （5）962
--x x ； （6）25.02
++a a ． 3、将下列各式分解因式。
（1）49142
++x x （2）9)(6)(2
++-+n m n m
讨论：用完全平方公式分解因式我们首先要把题目中的多项式化为什么形式？
由（2）知，公式中的a 、b 可以是单项式，也可以是
4、将下列各式因式分解：
（1）22363ay axy ax ++ （2）xy y x 442
2+-- 四、学习小结：
1、本节课你有哪些收获？
2、预习时的疑难解决了吗？你还有哪些疑惑？
3、你认为老师上课过程中还有哪些须要注意或改进的地方 五、夯实基础：
1、判断正误： （1）2
2
2
)
(y x y x +=+
( ) （2）2
22)(y x y x -=- ( )
（3）2
2
2
)(2y x y xy x -=-- ( ) （4）2
2
2
)(2y x y xy x +-=--- ( ) 2、下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的分解因式： （1）4
12
+-x x （2）13922+-ab b a （3）25105
6+-x x
3、把下列各式因式分解： （1）223612n mn m +- （2）4
22492416b b a a ++
（3）222y x xy --- （4）2
)(9)(124y x y x -+--
六、能力提升： 1、,2,2
1
2=-=-ab b a 已知求42332444b a b a b a -+-的值。
2、已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足4
4
2
2
2
2
b a
c b c a -=-，试判定△ABC 的形状。
布置作业： 【评价反思】：。