1.3.1-4不等式恒成立问题的解法ppt课件

①
对称轴为x a . 2
O
1
xa
2
2
a
≤
0
2
a≥0
f (0) ≥ 0
8
②
O
xa 2
③
O1 2
令f (x) x2 ax 1≥ 0,对称轴为x a . 2
1 2
0
f
a 2
( a) 2
1 2
≥0
1
a
0
x
a 2
a≥1
f
22 (1)≥0
5 2
≤
a
≤ -1
2
综上①②③，a
≥
-
5
2
适合条件的m的范围是:
（-11，23 ）
5
例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0 ................ (*)
（1）当| x | ≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围 ；
（2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 .
解: (2) 设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3) （m [-2,2]）
2
当a 5 时，f (x) x2 5 x 1，对称轴x 5 ，（0,1 ]是f (x)的
2
2
4
2
减区间，f ( 1 ) 0，故f (x) ≥ 0在（0,1 ]恒成立。
当a
2
3时，f
(x)
x2
3x
2
1，对称轴x
3 ，（0,1 ]是f
( x)的
2
2
减区间，f ( 1 ) 1 0,故在（0,1 ]上f ( x) ≥ 0不恒成立。
不等式转化为(x2 -1)m-(2x-1)<0， 令f (m) (x2-1)m-(2x-1)( 2 ≤ m ≤2)
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例3、若不等式x +2 xy ≤a(x+y)对一切正数x、y恒成
立，则实数a的取值范围是 —————————。
解: 分离参数得:
a≥
x 2 xy xy
1 2
1
y yx x
恒成立
2
-1
a
2
5
4
y1 x2 1
11
练习1：若不等式x2 2mx 2m 1 0对满足 x [0,1]的所有实数x都成立，求m的取值范围。
答案：m 1 2
12
练习2.若不等式2x 1 m(x2 1)对满足 2 ≤ m ≤ 2的所有m都成立，求x的取 值范围。
分析:确定题目中的主元，化归成一次函数求解。
当1-m>0时，即m<1 ,(*)式在x [-2,2]时恒成立的条
件为： △=(m-1)2-12(I-m)<0 ，解得: -11<m<1；
当1-m<0时，即m>1, (*)式在x [-2,2]时恒成立的条
件为： (1-m)•(-2)2+(m-1)•(-2)+ 3 >0
解得: 综上可知:
1<m<
3 2
1
一、方法引入：
１.数形结合法 : (1）若f(x)=ax+b,x ∈[α,β]，则：
f(x)>0恒成立
f()>0 f()>0
f(x)<0恒成立
f()<0
y f()<0
α
o
βx
2
（2）ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是：
a=b=0 或 a>0 __C_>_0________Δ_=_b_2_-4__a_c_<_0_。
的思想，去解不等式的方法。
4
二、典型例题：
例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0 ................ (*)
（1）当| x | ≤2，(*)式恒成立，求实数m的取值范围 ；
（2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 .
解：(1)当1-m=0即m=1时， (*)式恒成立， 故m=1适合(*) ；
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四、练习题：
1、若不等式|x-a|+|x-1|>2 对x R恒成立，则实数a的取值
1、数形结合法：即对于一次函数型问题，利用一次函数 的图像特征求解；对于二次函数型问题，结合抛物线图 像，转化成最值问题，分类讨论。
2、对于f(x)≥g(x)型问题，
或利用数形结合思想转化为函数图象的关系处理； 或利用分离参数法，将问题转化为ａ≥f(x)（或ａ≤f(x)）恒成立， 再运用不等式知识或求函数最值的方法，使 问题获解。
9
例2.若不等式x2 ax 1≥ 0对于一切xx (0,1 ]成立，
2
则a的最小值为
C （
）
A.0
B.-2
C.- 5 2
D.-3
法三：验证法：令f (x) x2 ax 1, 对称轴为x a . 当a=0时，f ( x) x2 1≥ 0在（0,1 ]恒成立。 2
2 当a 2时，f (x) x2 2x 1 （x 1）2在（0,1 ]恒成立。
令
y x
t
（t
>
0） ,
则
a
≥
1 2t 1 t2
（t > 0） 恒成立
又 令1+2t=m（m > 1），则
f(m)=
1
m (m21)2
m2
4m 2m
5
(m
4 m5 )
2
2
4 52
5 1 2
(当且仅当m= 5 时等号成立)
∴ a ≥ [f (x)] max=
5 1 2
即a ≥
5 1 2
14
三、方法小结：
y
y
c
同理， aox2+bx+x c<0在R上恒成立的充要o 条件x是：
_a_=_b_=_0__或____a_<__0________。
C<0
Δ=b2-4ac<0
3
2.分离系数法： 把所给不等式中的参数a分离出来放在不等式一
边，其余项放在另一边构成函数f(x),利用 ａ≥f(x)恒成立的条件是：__ａ__≥_[f_(_x_)]_m_a_x __; ａ≤f(x)恒成立的条件是：_ａ__≤__[_f (_x_)]_m_i_n _
g(-2)=3x2-3x+3>0 则 g(m)>0恒成立
g(2)=-x2+x+3>0
x R
即
1 13 2
<
x
<1
13 2
∴
x
（
1
13 2
，1
13 2
）
6
例2.若不等式x2 ax 1≥ 0对于一切x (0,1 ]成立， 2
则a的最小值为 （ ）
A.0 B.-2
C.- 5
D.-3
2
法一:不等式可化为ax ≥ -x2 1，
由x (0,1 ]， a ≥ (x 1 ).
2
x
Q (x 1 )在(0,1 ]上是减函数, x2
(x
1 x )max
5 2
a ≥- 5
2
7
例2、若不等式x2 ax 1≥ 0对于一切xx (0,1 ]成立，
2 则a的最小值为 （ ）
A.0 B.-2
C.- 5
D.-3
2
法二：令f (x) x2 ax 1,
2
4
2
Байду номын сангаас
10
例2、若不等式x2 ax 1≥ 0对于一切xx (0,1 ]成立，
2
则a的最小值为
A.0
B.-2
（）
C.- 5 2
D.-3
y
y2 ax
法四：原不等式可化为：ax ≥ -x2 1
o
11 x
设 y1
x2
1, xx
(0,1 2
],
y2
ax
在同一坐标系下作它们的图
象如右图:
由图可得：a ≥ 5 24