成都市实验外国语学校高2018届零诊模拟考试数学试题Word版

成都市实验外国语学校高2018届零诊模拟考试数学试题及答案第 Ⅰ 卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1、已知集合{||2}A x x =<，2{430}B x x x =-+<，则A B 等于( B ).A {21}x x -<< .B {12}x x << .C {23}x x <<.D {23}x x -<<2、设复数2zi =+，则z z -=( C ).A 4.B 0 .C 2 .D 3、在等差数列{}n a 中，39a a =且公差0d <，则使前n 项和n S 取得最大值时的n 的值为( B ) .A 4或5.B 5或6 .C 6或7.D 不存在 4、某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（ B ） （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）345、P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线为320x y -=，12F F 、分别是双曲线的左、右焦点，若16PF =，则2PF =( A ).A 2或10.B 2.C 10.D 96、某几何体的三视图如右图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( D ).A 23π.B 3π.C 29π.D 169π7、已知实数x ，y 满足21y x x y a x ≥+⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，其中32(1)a x dx =-⎰，则实数1y x +的最小值为（ B ）A ．32B ．43C ．23D ．52（文科） 已知实数,x y 满足3,2,2.x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩ 那么2z x y =+的最小值为（B ）（A ）5（B ）4（C ）3（D ）28、阅读程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为( B ).A 4.B 5.C 6.D 7俯视图侧视图9、函数()f x 在定义域R内可导，若()(2)f x f x =-，且(1)()0x f x '-<，若(0),a f =1()2b f =,(3)c f =，则,,a b c 的大小关系是( B ).A a b c >> .B b a c >> .C c b a >> .D a c b >>10、如图，抛物线2:4W y x =与圆22:(1)25C x y -+=交于,A B 两点， 点P 为劣弧AB 上不同于,A B 的一个动点，与x 轴平行的直线PQ 交 抛物线W 于点Q ，则PQC ∆的周长的取值范围是( B )A ( 9,11) B(10,12) C(12,14) D (10,14)11、在平行四边形ABCD 中，0AB BD ⋅=，22240AB BD +-=，若将其沿BD 折成直二面角 A BD C --，则三棱锥A BDC -的外接球的表面积为( A ).A 4π .B 8π .C 16π .D 2π12、设函数32()f x ax bx cx d =+++有两个极值点12,x x ，若点11(,())P x f x 为坐标原点，点22(,())Q x f x 在圆22:(2)(3)1C x y -+-=上运动时，则函数()f x 图象的切线斜率的最大值为( D ) A.32+B.23+C. 22+D. 33+第 Ⅱ 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷中相应的横线上.） 13、平面向量a 与b的夹角为23π，且()1,0a =，1b =则2a b += 3 ．14、若抛物线px y 22=的焦点与椭圆1522=+y x 的右焦点重合，则p =4_____. 15、已知数列错误！未找到引用源。

的通项公式为错误！未找到引用源。

，则数列错误！未找到引用源。

的前50项和错误！未找到引用源。

100 16、已知函数2ln )(x x x f -=与m x x x g ----=421)2()(2的图象上存在关于点)0,1(对称的点，则实数m 的取值范围是[)+∞-,2ln 1三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、（本小题12分）已知2331()sin cos cos 224f x x x x =+-. （Ⅰ）求()y f x =的最小正周期T 及单调递增区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若5(),14f A a ==，求ABC ∆面积的最大值.解：(Ⅰ)()f x 31sin(2)232x π=++ , 故()y f x =周期T π= .令222,()232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈则5,()1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈所以()y f x =单调增区间为5[,],()1212k k k Z ππππ-++∈.（Ⅱ） 由5()4f A =可得6A π= ，所以cosA ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc，即bc≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立 ，因此12bcsinA≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34.18、（本小题12分）在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，PD DC ⊥，底面ABCD 是梯形，//AB DC ，1AB AD PD ===，2CD =．（I ）求证：平面PBC⊥平面PBD ；（II ）（理科）设Q 为棱PC 上一点，PQ PC λ=， 试确定λ的值使得二面角Q BD P --为︒60． （II ）（文科）Q 为棱PC 上的中点。

求三棱锥QBD P -的体积QBD P V - （I ）证明∵AD ⊥平面PDC ，PD ⊂平面PDC ，DC ⊂平面PDC ，∴AD PD ⊥，AD DC ⊥，在梯形ABCD 中，过点作B 作BH CD ⊥于H ，在BCH ∆中，145BH CH BCH ︒==⇒∠=，又在DAB ∆中，145AD AB ADB ︒==⇒∠=，∴4590BDC DBC BC BD ︒︒∠=⇒∠=⇒⊥，①∵PD AD ⊥，PD DC ⊥，AD DC D =，AD ⊂平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥平面ABCD ，∵BC⊂平面ABCD ，∴PD BC ⊥，由①②，∵BDPD D =，BD ⊂平面PBD ，PD ⊂平面PBD ，∴BC ⊥平面PBD ，∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD ；（II ）以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(如图)则(0,0,1)P ，(0,2,0)C ，(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，令000(,,)Q x y z ，000(,,1)PQ x y z =-(0,2,1)PC =-，∵PQ PC λ=，∴000(,1)(0,2,1)x y z λ-=-,，∴(0,2,1)Q λλ=-，∵BC⊥平面PBD ，∴(1,1,0)n =-是平面PBD 的一个法向量，设平面QBD 的法向量为()m x y z =,,，则00m DB m DQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即 02(1)0x y y z λλ+=⎧⎨+-=⎩ 即 21x y z y λλ=-⎧⎪⎨=⎪-⎩，不妨令1y =，得2(1,1,)1m λλ=--，∵二面角Q BD P --为60︒， ∴221cos(,)2222()1m n m n m nλλ⋅===⋅+-，解得36λ=±， ∵Q 在棱PC 上，∴0λ<<1，故6λ=3-为所求．（II ）由（1）可知BC⊥平面PBD 且2=BC ， BC S V V V PBD PBD C PBD Q BDQ P ⨯⨯===∆---312121=612212161=⨯⨯⨯⨯19.（本小题12分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如下：（1）根据表中数据写出甲公司员工A 在这10天投递的快递件数的平均数和众数； （2）试估计员工A 与员工B 在这个月送快件数的大小（3）对于员工B 在抽取的这10天中的快件数为37和42的5天中，任取2天，求快件数不同的概率。

解：（1）员工A 的平均数为1040413339363538333332A +++++++++=x =36员工A 的众数为33.（2）员工B 的平均数为B x =38.6>A x =36（3）53251213=•=C C C p20、（本小题12分）已知椭圆:C )0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点分别)0,2(),0,2(21F F -，以椭圆的短轴为直径的圆经过点)0,1(M 。

（1）求椭圆C 的标准方程（2）过点)0,1(M 的直线l 与椭圆C 相交于B A ,两点，设点)2,3(N ，直线BN AN ,的斜率分别为21,k k 。

问21k k +是否为定值？并证明你的结论。

依题意，直线错误！未找到引用源。

与椭圆错误！未找到引用源。

必相交于两点，设错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

， 又错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

， 所以错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

综上得：错误！未找到引用源。

为定值2. 21（理科）．（本小题12分）已知函数()x f x e =，()g x mx n =+.（I ）设()()()h x f x g x =-.① 若函数()h x 在0x =处的切线过点(1,0)，求m n +的值；② 当0n =时，若函数()h x 在(1,)-+∞上没有零点，求m 的取值范围；（II ）设函数1()()()nxr x f x g x =+，且4(0)n m m =>，求证：当0x ≥时，()1r x ≥. 21．（I ）①由题意，得()(()())()x xh x f x g x e mx n e m '''=-=--=-，所以函数()h x 在0x=处的切线斜率1k m =-，又(0)1h n =-，所以函数()h x 在0x=处的切线方程(1)(1)y n m x --=-，将点(1,0)代入，得2m n +=. ②当0n =，可得()()x x h x e mx e m ''=-=-，因为1x >-，所以1x e e>， 1）当1m e≤时，()0xh x e m '=->，函数()h x 在(1,)-+∞上单调递增，而(0)1h =， 所以只需1(1)0h m e -=+≥，解得1m e ≥-，从而11m e e -≤≤.2）当1m e>时，由()0xh x e m '=-=，解得ln (1,)x m =∈-+∞，当(1,ln )x m ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减；当(ln ,)x m ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增.所以函数()h x 在(1,)-+∞上有最小值为(ln )ln h m m m m =-， 令ln 0m m m ->，解得m e <，所以1m e e<<.综上所述，1[,)m e e∈-. （II ）由题意，1114()()()4x x n xnx x m r x n f x g x e e x x m=+=+=+++，而14()14x xr x e x =+≥+等价于(34)40x e x x -++≥，令()(34)4x F x e x x =-++，则(0)0F =，且()(31)1x F x e x '=-+，(0)0F '=，令()()G x F x '=，则()(32)x G x e x '=+， 因0x ≥， 所以()0G x '>，所以导数()F x '在[0,)+∞上单调递增，于是()(0)0F x F ''≥=，从而函数()F x 在[0,)+∞上单调递增，即()(0)0F x F ≥=. 21（文科）.（本小题12分）已知函数()2ln af x x x x=--，a ∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性;（2）若函数()f x 有两个极值点1x ,2x , 且12x x <, 证明:()221f x x <-.解析：(1)函数()2ln af x x x x =--的定义域为()0,+∞,()222221a x x a f x x x x -+'=+-=, 令()0f x '=, 得220x x a -+=, 其判别式44a ∆=-,①当0∆≤,即1a ≥时, 220x x a -+≥,()0f x '≥, 此时,()f x 在()0,+∞上单调递增;②当0∆>, 即1a <时, 方程220x x a -+=的两根为11x =211x =>,若0a ≤, 则10x ≤, 则()20,x x ∈时, ()0f x '<, ()2,x x ∈+∞时, ()0f x '>,此时, ()f x 在()20,x 上单调递减, 在()2,x +∞上单调递增;若0a>,则10x >, 则()10,x x ∈时, ()0f x '>,()12,x x x ∈时, ()0f x '<,()2,x x ∈+∞时, ()0f x '>,此时,()f x 在()10,x 上单调递增, 在()12,x x 上单调递减, 在()2,x +∞上单调递增.综上所述, 当0a ≤时, 函数()f x 在()20,x 上单调递减, 在()2,x +∞上单调递增;当01a <<时, 函数()f x 在()10,x 上单调递增, 在()12,x x 上单调递减,在()2,x +∞上单调递增;当1a ≥时, 函数()f x 在()0,+∞上单调递增.(2)由(1)可知, 函数()f x 有两个极值点1x ,2x ,等价于方程220x x a -+=在()0,+∞有两不等实根, 故01a <<. 21x =且212x <<2222a x x =-+()22222222222212ln 12ln 1x x f x x x x x x x x -+-+=---+=--,令()2ln 1gt t t =--, 12t <<,则()221t g t t t-'=-=,由于12t <<, 则()0g t '<, 故()g t 在()1,2上单调递减.故()()112ln110g t g <=--=.∴()()22210f x x g x -+=<.∴()221f x x <-.22、（本小题10分）已知圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l 的参数方程为为参数）t t y tx (21212321⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=，点A 的极坐标为)4,22(π，设直线l 与圆C 交于点P ，Q. (1)写出圆C 的直角坐标方程； (2)求|AP|·|AQ|的值．解析：(1)因为圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，所以ρ2＝2ρcos θ，将其转化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1. (2)由点A 的极坐标⎝⎛⎭⎫22，π4得直角坐标为A ()12，12∈l. 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋32t ，y ＝12＋12t(t 为参数)代入圆C 的直角坐标方程(x －1)2＋y 2＝1，得t 2－3－12t －12＝0. 设t 1，t 2为方程t 2－3－12t －12＝0的两个根，则t 1t 2 ＝－12，由t 的几何意义可知|AP|·|AQ|＝|t 1t 2|＝12.。