小学数学竞赛第十一讲 集合的基本概念

1．集合和元素

俗话说“物以类聚”。人们常常把同类事物放在一起考虑，就组成了所谓集合。例如，“太阳系的九大行星”就是一个集合；“某小学在校的全体学生”是一个集合；“某台机器的全部零件”也是一个集合；长江、黄河、珠江、黑龙江组成了中国四大河流的集合。集合是指具有一定性质的事物汇成的整体。集合简称集。组成集合的每个事物称为这个集合的元素。

为了方便起见，通常用大写字母A，B，…，N，…等表示集合，而用小写字母a，b，…，n，…等表示元素。但在有些特殊的集合中，元素往往已有既定的符号。

例1 如果我们把由阿拉伯数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，组成的集合记作A，那么每个阿拉伯数字就是集合A的元素。

例2 通常把所有自然数组成的集合记作N，N的元素就是1，2，3，…，n，…。

上述的集合A和N的元素已有既定的符号，而不用a，b，c，…等表示。

对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的。这就是说，任何一个事物，或者是这个集合中的元素，或者不是它的元素。

如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作aA。这里，符号“”读作“属于”。如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记

对于一个给定的集合，集合中的元素是互异的。这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的事物；相同事物归入某一个集合时，只能算作这个集合的一个元素。因此，集合中的元素是不重复的。

含有有限个元素的集合叫做有限集。上面的阿拉伯数字的集合，中国四大河流的集合都是有限集。含有无限个元素的集合叫做无限集。上面的自然数集合N就是无限集。

2．集合的表示方法

集合的表示方法，常用的有列举法和描述法。

把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法，叫做列举法。

例如，由阿拉伯数字组成的集合A可表示为

A＝｛0，l，2，3，4，5，6，7，8，9｝。

又如，用B表示中国四大河流的集合，那么B可表示为

B＝｛长江，黄河，珠江，黑龙江｝。

用列举法表示集合时，不必考虑元素之间的顺序。例如，上面的集合B也可表示为

B＝｛黄河，长江，黑龙江，珠江｝。

应该注意，a和｛a｝是不同的：a表示一个元素；｛a｝表示一个集合，这种集合只有一个元素a，我们称这种集合叫单元素集。

把集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法，叫做描述法。这时往往在大括号内先写上这个集合的元素的一般形式，再画一条竖线，在竖线右边写上这个集合的元素的公共属性。

例如，设所有正数（即大于零的数）组成的集合记作F，那么F表示成

F＝｛x│x＞0｝。

这里x表示元素的一般形式，竖线右边的x＞0是这个集合元素的公共属性。

在不引起混淆的情况下，为了简便，有些集合用描述法表示时，可以省去竖线及其左边部分。例如，由所有的直角三角形组成的集合，可以表示为

｛直角三角形｝

3．子集

我们知道，任何一个正偶数都是自然数。就是说，正偶数集E的任何一个元素都是自然数集N的一个元素。

对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集。记作

读作“A包含于B”（或B包含A）。例如，上述的

如果A中至少有一个元素不属于B，那么A不是B的子集，可记作

读作“A不包含于B”（或“B不包含A”）。

例3设A＝｛1，3，4，5，8，9｝，B＝｛1，2，3，5，6｝，C＝｛1，5｝。指出集合A、B、C之间的关系。

因为B中的元素2和6不属于A，所以

注意：包含“”和属于“∈”不同，前者用来表示集合与集合间的关系，后者用来表示元素与集合间的关系。

对于任何一个集合A，因为它的任何一个元素都属于集合A本身，所以

AA

也就是说，任何一个集合是它本身的子集。

为了方便起见，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作，例如。

｛x│x＋1＝x＋2｝＝。

｛小于零的自然数｝＝。

｛两边之和小于第三边的三角形｝＝。

我们规定空集是任何集合的子集，也就是说，对于任何集合A，有

A

注意：不要把数0或集合｛0｝与空集混淆。数0不是集合，｛0｝是含有一个元素的集合，而是不含任何元素的集合。在书写时，不要把空集错误地写成｛空集｝或｛｝，后者不是空集，是一个单元素的集合，它的元素是。

如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A 叫做集合B的真子集，记作

AB（或BA），

读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）。

例如，偶数集E是自然数集N的子集，也是它的真子集，所以EN。

集合B同它的真子集A之间的关系，可用图11－1中B同A的关系来说明。其中A、B两个圈的内部分别表示集合A、B。这种表示集合的图形通常称作文氏图。

显然，空集是任何非空集合的真子集。

对于两个集合A与B，如果AB，同时BA，我们就说这两个集合相等。记作

A＝B

读作“A等于B”。两个集合相等，实际上就是这两个集合的元素完全相同.

4．并集

向群百货商店，第一批进的货是服装、皮鞋、毛毯、化妆品共4个品种。第二批进的货是收录机、服装、皮鞋、尼龙袜、钟表、电冰箱共6

个品种。问两次一共进了多少个品种的商品，能不能回答一共进了4＋6＝10种呢？显然不能。因为在这两批进货中服装和皮鞋是重复的。因此，两次进货共8个品种。

在这个问题中，我们研究的是两个集合元素的合并，而不是普通数的加法。如果用A1表示第一批进货的品种的集合，用A2表示第二批进货的品种的集合，即

A1＝｛服装，皮鞋，毛毯，化妆品｝，

A2＝｛收录机，服装，皮鞋，尼龙袜，钟表，电冰箱｝。把合并起来的货物品种集合记为B，那么

B＝A1和A2的合并

＝｛收录机，服装，皮鞋，毛毯，化妆品，尼龙袜，钟表，电冰箱｝。

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A、B的并集，记作A∪B。符号“∪”读作“并”。“A∪B”读作“A并B”。即

A∪B＝｛x│x∈A或x∈B｝。图11－2中的阴影部分，表示A、B的并集A∪B。

注意，由于集合中的元素是不重复的，因此，在求两个集合的并集时，这两个集合的公共元素在并集中只能出现一次。

由并集定义容易知道，对于任意集合A、B，有

A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A。

5．交集

已知6的约数的集合为

A＝｛1，2，3，6｝，

15的约数的集合为

B＝｛l，3，5，15｝。

那么6与15的公共约数的集合为

｛1，3｝。

容易看出，集合｛1，3｝是由所有属于A且属于B的元素（即A、B 的公共元素）所组成的。