中考数学解题方法反证法专题
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析反证法是一种常用的数学证明方法，在初中数学解题中也经常会用到。
它通过假设逆命题为真，然后从中推导出矛盾的结论，从而证明原命题为真。
下面我们将分析反证法在初中数学解题中的运用。
反证法常用于证明命题的唯一性。
在证明某个数是质数的时候，可以假设该数不是质数，即可以被其他数整除。
然后我们通过列举除数的范围进行验证，如果不存在除数，那么原命题成立，证明了该数是质数。
这种证明方法常用于判断某个数的因数是否唯一、判断直线与曲线的交点是否唯一等问题。
反证法也可以用于证明不存在性。
有一个命题是证明某个等式无解。
我们可以假设存在解，然后通过推导得出矛盾的结论，从而证明原命题是无解的。
这种证明方法常用于证明二次方程无实根、函数无零点等问题。
反证法还可以用于证明命题的充分性。
充分性就是指当条件成立时，结论一定成立。
要证明一个三角形是等边三角形，可以假设它不是等边三角形，然后通过反证法推导出一个矛盾的结论，从而证明原命题的充分性。
这种证明方法常用于证明对称图形的性质、证明等腰三角形的性质等。
在初中数学解题中，反证法是一种常用的证明方法，它可以简化证明过程，减少演绎的步骤。
但是反证法也有其局限性，它只能证明命题的唯一性、不存在性和充分性，对于必要性的证明并不适用。
在运用反证法解题时，我们要注意问题的具体情况，合理选择证明方法。
反证法在解题过程中也需要较高的逻辑思维能力和数学素养，需要我们熟练掌握一些基本的数学概念和技巧。
反证法在初中数学解题中是一种常用的证明方法，可以帮助我们证明问题的唯一性、不存在性和充分性。
熟练掌握反证法的运用，可以提高我们解题的效率和准确性。
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法是一种常用的数学证明方法，它的基本思想是通过假设待证命题的反面，然后推导出矛盾的结论，从而证明待证命题是成立的。
在初中数学中，反证法常常用于解题过程中，它具有简洁明了、直观易懂的特点，能够帮助学生提升数学思维能力和解题能力。
一、直接反证法
直接反证法是最基本的反证法思想，它主要用于证明一些简单的命题。
我们要证明一个命题P成立，可以先假设命题P的反面¬P成立，然后推导出矛盾的结论，从而得出¬P不成立，因此P成立。
在初中数学解题中，直接反证法常常用于证明几何命题。
要证明两条直线平行，可以先假设这两条直线不平行，然后推导出两条直线相交，从而得出矛盾的结论。
这两条直线一定是平行的。
在初中数学解题中，间接反证法常常用于证明一些数学定理。
要证明勾股定理成立，可以先假设勾股定理不成立，然后推导出一个与已知条件和数学推理规律相矛盾的结论，从而得出勾股定理成立。
三、反例法
在初中数学解题中，反例法常常用于证明一些不成立的数学命题。
要证明“所有素数都是奇数”，可以举出反例2，从而说明这个命题不成立。
中考数学十大解题思路之反证法
中考数学十大解题思路之反证法一、选择题1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )A．有一个解B．有两个解 C．至少有三个解 D．至少有两个解[答案] C[解析]在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”故应选C.2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为( )A．a、b、c都是奇数 B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C．a、b、c都是偶数 D．a、b、c中至少有两个偶数[答案] B[解析] a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故应选B.3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )A．假设三内角都不大于60° B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60° D．假设三内角至多有两个大于60°[答案] B[解析]“至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”．故应选B.4.用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( )A．假设a，b，c都是偶数 B．假设a、b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个偶数 D．假设a，b，c至多有两个偶数[答案] B[解析] “至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c都不是偶数．5．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是( )A．a<b B．a≤b C．a＝b D．a≥b[答案] B[解析]“a>b”的否定应为“a＝b或a<b”，即a≤b.故应选B.6.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( ) A．甲B．乙C．丙D．丁[答案] C[解析]因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手．故应选C.7.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（）A.有一个内角大于60°B.有一个内角小于60°C.每一个内角都大于60°D.每一个内角都小于60°[答案] C[解析] 用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°．8.用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（）A.有两个角是直角B.有两个角是钝角C.有两个角是锐角D.一个角是钝角，一个角是直角[答案] A[解析] 用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先设这个三角形中有两个角是直角．9.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（）A.有一个锐角小于45°B.每一个锐角都小于45°C.有一个锐角大于45°D.每一个锐角都大于45°[答案] D[解析] 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设每一个锐角都大于45°．10.在证明“在△ABC中至少有两个锐角”时，第一步应假设这个三角形中（）A.没有锐角B.都是直角C.最多有一个锐角D.有三个锐角[答案] C[解析] 用反证法证明同一三角形中至少有两个锐角时，应先假设同一三角形中最多有一个锐角．11.用反证法证明：“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设（）A.一个三角形中至少有两个钝角B.一个三角形中至多有一个钝角C. 一个三角形中至少有一个钝角D.一个三角形中没有钝角[答案] A[解析] 从结论的反面出发进行假设，证明“一个三角形中至多有一个钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个钝角．12.用反证法证明：在四边形中，至少有一个角不小于90°，应先假设（）A.四边形中有一个内角小于90°B.四边形中每一个内角都小于90°C.四边形中有一个内角大于90°D.四边形中每一个内角都大于90°[答案] B[解析] 用反证法证明：在四边形中，至少有一个角不小于90°，应先假设：四边形中的每个角都小于90°．13.用反证法证明“一个三角形中至少有两个锐角”时，下列假设正确的是（）A.假设一个三角形中只有一个锐角B.假设一个三角形中至多有两个锐角C.假设一个三角形中没有一个锐角D.假设一个三角形中至少有两个钝角[答案] D[解析] 用反证法应先假设“一个三角形中最多有一个锐角”或者假设一个三角形中至少有两个钝角．14.用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，下列假设正确的是（）A.三角形中最少有一个角是直角或钝角B. 三角形中没有一个角是直角或钝角C.三个角全是直角或钝角D.三角形中有两个（或三个）角是直角或钝角[答案]D[解析] 假设正确的是：假设三角形中有两个（或三个）角是直角或钝角．二，填空题1.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．[答案]没有一个是三角形或四边形或五边形[解析]“至少有一个”的否定是“没有一个”．2．用反证法证明命题“a，b是自然数N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是________________．[答案]a，b都不能被5整除[解析]“至少有一个”的否定是“都不能”．3．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为____________．[答案]③①②[解析] 由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.4.若a∥b，b∥c，证明a∥c．用反证法证明的第一步是假设a与c不平行5.“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”，这个命题用反证法证明应假设对角线不互相平分的四边形是平行四边形6.用反证法证明“三角形中最多有一个是直角或钝角”时应假设三角形中至少有两个是直角或钝角7.用反证法证明“四边形的四个内角不能都是锐角”时，应首先假设四边形的四个内角都是锐角．8.用反证法证明：“多边形的内角中锐角的个数最多有三个”的第一步应该是：假设多边形的内角中锐角的个数最少是4个．9.用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，可以假设为三角形中最少有两个角是直角．10.用反证法证明“在△ABC中，至少有一个内角小于或等于60°”时，第一步是假设△ABC中，每一个内角都大于60°．11.用反证法证明命题“一个三角形的三个内角中，至多有一个钝角”的第一步应假设一个三角形的三个内角中，至少有两个钝角．12.“反证法”证明命题“等腰三角形的底角是锐角”时，是先假设等腰三角形的两底都是直角或钝角．三、解答题1．已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.求证：a>0，b>0，c>0.证明:用反证法：假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0，可得c>－(a＋b)，又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0，这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假设不成立．因此a>0，b>0，c>0成立．2．用反证法证明：等腰三角形两底角必为锐角．证明：①设等腰三角形底角∠B，∠C都是直角，则∠B+∠C=180°，而∠A+∠B+∠C=180°+∠A＞180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．②设等腰三角形的底角∠B，∠C都是钝角，则∠B+∠C＞180°，而∠A+∠B+∠C=180°，这与三角形内角和等于180°矛盾．综上所述，假设①，②错误，所以∠B，∠C只能为锐角．故等腰三角形两底角必为锐角3.用反证法证明：一条线段只有一个中点．证明：假设线段AB有两个中点M、N，不妨设M在N的左边，则AM＜AN，又AM=AB=AN=AB，这与AM＜AN矛盾，所以一条线段只有一个交点4.用反证法证明：“在一个三角形中，外角最多有一个锐角”．证明: 假设三角形中的外角有两个角是锐角．根据三角形的外角与相邻的内角互补，知：与这两个角相邻的两个内角一定是钝角，大于90°，则这两个角的度数和一定大于180度，与三角形的内角和定理相矛盾．因而假设错误．故在一个三角形中，外角最多有一个锐角．。
初中数学中的反证法例谈
初中数学中的反证法例谈反证法是数学证明中非常常用的一种方法，在初中数学中也经常会遇到一些需要使用反证法来证明的问题。
以下是几个反证法的例子：1. 证明所有正整数都是奇数或偶数。
假设存在一个既不是奇数也不是偶数的正整数，那么这个正整数既不满足奇数的定义也不满足偶数的定义，与假设矛盾。
因此，所有正整数都是奇数或偶数。
2. 证明根号2是无理数。
假设根号2是有理数，那么可以表示为一个分数，即根号2 =a/b，其中a和b都是整数，且a和b互质。
将这个等式两边平方得2 = a^2 / b^2，即a^2 = 2b^2。
因为2是质数，所以a必须是2的倍数，那么就可以表示为a = 2c（c是整数）。
带入到a^2 =2b^2中得到(2c)^2 = 2b^2，即4c^2 = 2b^2或2c^2 = b^2。
这意味着b也是2的倍数，与a和b互质的条件矛盾。
因此，根号2是无理数。
3. 证明当正整数n不是完全平方数时，√n是无限不循环小数。
假设√n是有限循环小数，即可以表示为a/b（a和b都是整数，且a和b互质），那么可以得到n = a^2/b^2。
因为n不是完全平方数，所以a和b必须互质，且a和b至少有一个是奇数。
假设a是奇数，那么a^2是奇数，b^2是偶数，所以a^2/b^2是一个无限不循环小数。
同理，如果b是奇数，也可以推出a^2/b^2是一个无限不循环小数。
因此，当正整数n不是完全平方数时，√n是无限不循环小数。
这些例子展示了在初中数学中应用反证法的常见情形，可以巩固理解反证法在解决数学问题时的重要作用。
《初中数学反证法》课件
本PPT课件详细介绍了初中数学中的反证法。内容包括反证法的定义和原理， 反证法在数学中的应用，反证法的基本步骤，以及使用反证法解决数学问题 的示例。
反证法例题解析
数学概念和定理
使用反证法解决常见的数学概念和定理问题。
步骤示例
演示如何运用反证法来解决具体问题。
深入探索
探讨反证法在不同数学领域中的应用。
3
学习建议
分享一些学习反证法的有效方法和技巧。
练习题和答案解析
1 提供练习
给出一些练习题，让学生巩固对反证法的理解。
2 答案解析
提供详细的答案解析，帮助学生检查和纠正错误。
3 挑战题目
提供一些有挑战性的题目，激发学生的思考和探索欲望。
解题技巧
分享一些解题技巧和经验。
反证法的优势和限制
数学推理的优势
反证法在数学推理中的重要作 用。
限制和注意事项
使用反证何促进思维的创 新。
常见误解和常见问题
1
常见错误和误解
学生在学习反证法时可能容易犯的常见错误和误解。
2
问题解答
解答学生常见问题和困惑，帮助他们更好地理解和应用反证法。
初中数学反证法
初中数学反证法在初中数学的学习中，我们会接触到各种各样的解题方法，其中反证法是一种独特而富有魅力的方法。
它就像是数学世界中的“逆向思维魔法”，常常能帮助我们在看似无解的困境中找到出路。
反证法，顾名思义，就是先假设命题的结论不成立，然后通过一系列的推理，得出与已知条件、定理、公理等相互矛盾的结果，从而证明原命题的结论是正确的。
这种方法听起来似乎有点绕，但其实只要我们深入理解，就能发现它的巧妙之处。
为了更好地理解反证法，让我们来看一个简单的例子。
假设要证明“在一个三角形中，最多只能有一个直角”。
我们先假设在一个三角形中可以有两个或三个直角。
如果有两个直角，那么三角形的内角和就会超过 180 度，这与三角形内角和是 180 度这个定理相矛盾。
同样，如果有三个直角，内角和更是远远超过 180 度，这显然是不可能的。
所以，我们的假设是错误的，从而得出在一个三角形中最多只能有一个直角的结论。
再比如，证明“根号 2 是无理数”。
如果假设根号 2 是有理数，那么它可以表示为一个既约分数 p/q（p、q 为整数，且互质），即根号 2 ＝p/q，两边平方得到 2 ＝ p^2/q^2，即 p^2 ＝ 2q^2。
由此可知 p^2 是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以 p 也是偶数。
不妨设 p ＝ 2m，代入上式得到 4m^2 ＝ 2q^2，即 2m^2 ＝ q^2，这又说明 q 也是偶数。
但是 p、q 都是偶数，这与 p、q 互质矛盾。
所以，假设不成立，根号 2 是无理数。
反证法的应用范围非常广泛。
在几何证明中，当直接证明某个结论比较困难时，反证法常常能发挥意想不到的作用。
比如在证明“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”时，就可以使用反证法。
假设过直线外一点有两条直线与已知直线平行，然后通过一系列的推理，会得出与平行公理相矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
在代数中，反证法也有很多用武之地。
例如，证明方程 x^5 ＋ x 1＝0 只有一个正实数根。
初中数学反证法简单例子
初中数学反证法简单例子初中数学中的反证法是一种常用的证明方法，通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出与已知事实相矛盾的结论，从而证明原命题一定成立。
下面我们来列举一些初中数学中常用的反证法的简单例子。
1. 命题：不存在任意两个不相等的正整数，使得它们的和等于它们的积。
假设存在两个不相等的正整数a和b，满足a + b = ab。
由于a和b不相等，不妨设a > b，那么有a > a/2 > b。
根据不等式性质，我们可以得到2a > a + b = ab，即2 > b。
但是正整数b不可能小于2，与假设矛盾。
因此，不存在任意两个不相等的正整数满足该条件。
2. 命题：存在一个无理数x，使得x的平方等于2。
假设不存在这样的无理数x，即对于任意实数x，x的平方不等于2。
那么我们可以考虑一个特殊的实数y，即y = √2。
根据无理数定义，√2不是有理数，因此是一个无理数。
而根据假设，y的平方不等于2，即y^2 ≠ 2。
然而，这与y = √2相矛盾。
因此，存在一个无理数x，使得x的平方等于2。
3. 命题：对于任意正整数n，2n不等于n的平方。
反证法证明：假设存在一个正整数n，使得2n = n^2。
可以将等式两边同时除以n，得到2 = n。
然而，这与n是一个正整数相矛盾。
因此，对于任意正整数n，2n不等于n的平方。
4. 命题：对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2不是一个完全平方数。
反证法证明：假设存在一个正整数n，使得n^2 + 3n + 2 = m^2，其中m是一个正整数。
可以将等式变形为n^2 + 3n + 2 - m^2 = 0。
这是一个关于n的二次方程，可以使用求根公式解得n = (-3 ± √(9 - 8(2 - m^2))) / 2。
由于n是一个正整数，因此根号内的值必须为正整数。
然而，当m取不同的正整数值时，根号内的值不可能为正整数，因此假设不成立。
因此，对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2不是一个完全平方数。
【初中数学】初中数学学习解题方法之反证法
【初中数学】初中数学学习解题方法之反证法
【—学习解题方法之反证法】反证法在解答证明题目中会经常用到，同学们认真学习下面的解题方法。
反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。
推理必须严谨。
导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
对于反证法解题方法的讲解，相信可以很好的帮助同学们的学习工作，希望同学们认真学习，并很好的做好备战考试的工作。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
中考数学备考名师指点：反证法
中考数学备考名师指点：反证法成功不是今后才有的，而是从决定去做的那一刻起，连续累积而成。
小编给大伙儿预备了中考数学备考名师指点，欢迎参考!反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从那个假设动身，通过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到确信原命题正确的一种方法。
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设;(2)归谬;(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，把握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;差不多上/不差不多上;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有(n一1)个;至多有一个/至少有两个;唯独/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设动身，否则推导将成为无源之水，无本之木。
推理必须严谨。
导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。
要练说，得练听。
听是说的前提，听得准确，才有条件正确仿照，才能不断地把握高一级水平的语言。
我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我专门重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清晰，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，如此能引起幼儿的注意。
当我发觉有的幼儿不用心听别人发言时，就随时夸奖那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们用心听，用心记。
平常我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，如此幼儿学得生动爽朗，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了经历，又进展了思维，为说打下了基础。
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2020人教版中考数学专题 《反证法、命题与定理》含解答
2020中考数学专题 《反证法、命题与定理》含解答一、选择题1．下列命题是真命题的是（ ）A.两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等B.平分弦的直径垂直于弦C.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D.两条直线别第三条直线所截，内错角相等【答案】C ．【解析】A 、由两边及其中一边的对角分别相等无法证明两个三角形全等，故A 错误，是假命题；B 、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故B 错误，是假命题；C 、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故C 正确，是真命题；D 、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故D 错误，是假命题；故选C ．2．下列命题是假命题的是（ ）A ．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上B ．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C ．n 边形（n ≥3）的内角和是180360n ︒-︒D ．旋转不改变图形的形状和大小【答案】B【解析】A ．由线段垂直平分线的判定知该选项是真命题．B ．等边三角形既是轴对称图形，但不是中心对称图形；故该选项为假命题．C ．由n 边形（n ≥3）的内角和是()2180n -︒知该选项是真命题．D ．由旋转的性质得该选项是真命题．3．下列命题是假命题的是（ ）A. n 边形（n≥3）的外角和是360°B. 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等C. 相等的角是对顶角D. 矩形的对角线互相平分且相等【答案】C ．【解析】对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故选C ．4．已知反比例函数x k y =的图象分别位于第二、第四象限，A （x1，y1）、B （x2，y2）两点在该图象上，下列命题：① 过点A 作AC ⊥x 轴，C 为垂足，连接OA ．若△ACO 的面积为3，则k ＝－6；②若x1＜0＜x2，则y1＞y2；③ 若x1＋x2＝0，则y1＋y2＝0其中真命题个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】①中，由反比例的几何意义可知，S △ACO ＝12|xy|＝3，∴|k|＝|xy|＝6,∵图象位于第二、第四象限，∴k ＝－6．正确；∵x1＜0＜x2，∴点A 在第二象限，点B 在第四象限，故y1＞y2,正确；③中，∵y1＝16x -,y2＝26x -,∴y1＋y2＝16x -＋26x -＝12126()x x x x -+,若x1＋x2＝0，∴y1＋y2＝0．正确，其中真命题有3个．故选D ．5. 下列命题是假命题的是（ ）A ．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形B ．同角（或等角）的余角相等C ．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等D ．正方形的对角线相等，且互相垂直平分【答案】A【解析】平行四边形一定是中心对称图形，但不一定是轴对称图形，选项A 是假命题；故选A ．6. 下列命题是真命题的是( )A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是矩形C.对角线互相垂直的矩形是正方形D.四边相等的平行四边形是正方形【答案】C【解析】对角线相等的平行四边形是矩形,故A,B 均错误;对角线互相垂直的矩形是正方形,C 正确;四边相等的平行四边形是菱形,故D 错误;故选C.二、填空题12．(2019·泰州)命题"三角形的三个内角中至少有两个锐角"是______(填"真命题"或"假命题")【答案】真命题【解析】如果三角形有两个直角或钝角,那么内角和就大于180°,所以三角形中最多只能有一个钝角或直角,至少有两个锐角,故原命题为真命题.12．（2019·安徽）命题“如果a+b=0，那么a ，b 互为相反数”的逆命题为 .【答案】如果a ，b 互为相反数，那么a ＋b ＝0【解析】本题考查了命题及其逆命题的概念，解题的关键是理解命题的条件和结论．逆命题是将原命题的题设与结论部分对调.该命题的题设部分为“a ＋b ＝0”，结论部分为“a ，b 互为相反数”. 故答案为如果a ，b 互为相反数，那么a ＋b ＝0.三、解答题1. (2019·台州)我们知道,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形.对一个各条边都相等的凸多边形(边数大于3),可以由若干条对角线相等判定它是正多边形.例如,各条边都相等的凸四边形,若两条对角线相等,则这个四边形是正方形.(1)已知凸五边形ABCDE 的各条边都相等.①如图1,若AC ＝AD ＝BE ＝BD ＝CE,求证:五边形ABCDE 是正五边形;②如图2,若AC ＝BE ＝CE,请判断五边形ABCDE 是不是正五边形,并说明理由;(2)判断下列命题的真假.(在括号内填写"真"或"假")如图3,已知凸六边形ABCDEF 的各条边都相等.①若AC ＝CE ＝EA,则六边形ABCDE 是正六边形;( )②若AD ＝BE ＝CF,则六边形ABCDE 是正六边形;( )解：(1)①在△EAD 和△ABE 中,AB ＝EA,AE ＝ED,BE ＝AD,∴△EAD ≌△ABE,同理可得△EAD ≌△ABE ≌△BCA ≌△CDB ≌△DEC,∴∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDE ＝∠DEA ＝∠EAB,∴五边形ABCDE 是正五边形;②∵AC ＝BE ＝CE,AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EA,∴△ABC ≌△EAB ≌△DEC,∴设∠DCE ＝∠ABE ＝∠BCA ＝x,易得△ACE ≌△BEC,∴设∠ACE ＝∠BEC ＝y,∵EB ＝EC,∴∠EBC ＝∠ECB ＝x+y,∴∠AED ＝2x+y,∠BCD ＝2x+y,∵∠ABC ＝2x+y,∴∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDE ＝∠DEA ＝∠EAB,∴五边形ABCDE 是正五边形;(2)①假命题;②假命题;21．（2019山东威海，21，8分）（1）阅读理解如图，点A ，B 在反比例函数的图象上，连接AB ，取线段AB 的中点C ，分别过点A ，C ，B 作x 轴的垂线，垂足为E ，F ，G ，CF 交反比例函数的图象于点D ，点E ，F ，G 的横坐标分别为n-1，n ，n ＋1（n ＞1）.小红通过观察反比例的图象，并运用几何知识得到结论：AE ＋BG ＝2CF ，CF ＞DF.由此得出一个关于之间数量关系的命题：若n ＞1，则（2）证明命题小东认为：可以通过“若≥0，则≥”的思路证明上述命题.小晴认为：可以通过“若＞0，＞0，且≥1，则≥”的思路证明上述命题.请你选择一种方法证明（1）中的命题.【解题过程】（1）∵A ，D ，B 都在反比例的图象上，且点E ，F ，G 的横坐标分别为n-1，n ，n ＋1（n ＞1）， ∴AE ＝BG ＝DF ＝.又∵AE ＋BG ＝2CF ，1y x =1y x =1y x =112,,11n n n -+a b -a b a b a b ÷a b 1y x =1,1n -1,1n +1n∴CF ＝又∵CF ＞DF ，n ＞1，∴＞，即＞.故答案为＞.（2）选择选择小东的思路证明结论＞，∵n ＞1，∴＞0，∴＞.第二批一、选择题10．（2019·深圳）下列命题正确的是（）A ．矩形对角线互相垂直B ．方程x2=14x 的解为x=14C ．六边形的内角和为540°D ．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等【答案】D【思路分析】对各个选项逐项判断．【解题过程】A 中，矩形的对角线相等，而不具备对角线互相垂直，故A 错误；B 中，方程x2=14x 的解为x=14或x=0，故B 错误；C 中，六边形的内角和为（6－2）×180°=720°，故C 错误；选项D 正确．故选D ．【知识点】矩形的性质；一元二次方程的解法；正多边形的内角和；全等三角形8.（2019•广安）下列命题是假命题的是( )A ．函数35y x =+的图象可以看作由函数31y x =-的图象向上平移6个单位长度而得到B ．抛物线234y x x =--与x 轴有两个交点C ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D ．垂直于弦的直径平分这条弦【答案】C【解析】A 、函数35y x =+的图象可以看作由函数31y x =-的图象向上平移6个单位长度而得到，正确，是真命题；111(),211n n +-+111()211n n +-+1n 1111n n +-+2n 1111n n +-+2n 1111n n +-+2n 2221122(1)2()11(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n ++---+-==-+-+-+1111n n +-+2nB 、抛物线234y x x =--中△24250b ac =-=>，与x 轴有两个交点，正确，是真命题； C 、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误，是假命题；D 、垂直与弦的直径平分这条弦，正确，是真命题，故选C ．【知识点】命题与定理；一次函数的平移；抛物线与坐标轴的交点；正方形的判定；垂径定理16.（2019·资阳）给出以下命题：①平分弦的直径垂直于这条弦；②已知点A （﹣1，y1）、B （1，y2）、C （2，y3）均在反比例函数y =k x （k ＜0）的图象上，则y2＜y3＜y1；③若关于x 的不等式组{x ＜−1x ＞a 无解，则a ≥﹣1； ④将点A （1，n ）向左平移3个单位到点A1，再将A1绕原点逆时针旋转90°到点A2，则A2的坐标为（﹣n ，﹣2）．其中所有真命题的序号是．【答案】②③④【解析】①平分弦的直径垂直于这条弦，应该为：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故错误； ②反比例函数y =k x （k ＜0）在二、四象限，当x ＜0时，y ＞0；x ＞0时，y ＜0，且x 增大，y 增大，故y1＞y3＞y2，故正确；③若关于x 的不等式组{x ＜−1x ＞a无解，a ≥﹣1，正确； ④将点A （1，n ）向左平移3个单位到点A1，则A1（﹣2，n ），将A1绕原点逆时针旋转90°到点A2，A2的坐标为（﹣n ，﹣2），正确．以上正确的都为真命题，故答案为：②③④．【知识点】命题与定理二、填空题三、解答题第三批一、选择题7．（2019·永州）下列说法正确的是A ．有两边和一角分别相等的两个三角形全等B ．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形C ．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°D ．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度【答案】D【解析】选项A 中，可能是“SSA ”的情形，不能判定两个三角形全等；选项B 中，没有“对角 线互相平分”这一条件，不能判定四边形为平行四边形，更不能判定为矩形；选项C 中，如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于90°；只有选项D 正确．7．（2019 · 北京）用三个不等式a b >，0ab >，11a b<中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】本题共有3个命题：命题①，如果a b >，0ab >，那么11a b<. ∵a b >，∴0a b ->.又∵0ab >；∴0a b ab ->，化简得11a b <，该命题为真命题. 命题②，如果a b >，11a b <；那么0ab >. ∵11a b <，∴110a b-<，0b a ab -<. ∵a b >，∴0b a -<，∴0ab >.该命题为真命题. 命题③，如果0ab >，11a b <，那么a b >. ∵11a b <，∴110a b-<，0b a ab -<. ∵0ab >，∴0b a -<， ∴b a <.该命题为真命题. 选D.【知识点】真假命题、不等式的性质.7.（2019 · 桂林）下列命题中，是真命题的是( )A ．两直线平行，内错角相等B ．两个锐角的和是钝角C ．直角三角形都相似D ．正六边形的内角和为360︒【答案】A【解析】解：A.两直线平行，内错角相等，正确，是真命题；B.两个锐角的和不一定是钝角，故错误，是假命题；C.所有的直角三角形不一定相似，故错误，是假命题；D.正六边形的内角和为720︒，故错误，是假命题；故选：A ．7．（2019 ·常州）判断命题“如果n＜1，那么n2－1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A．－2 B．－12C．0 D．12【答案】A【解析】本题考查了用举反例的方法证明一个假命题，根据反例的意义：即命题的条件成立，但命题的结论不成立的例子即可为反例，本题中由“－2＜1，而(－2)2－1＝3＞1”，从而反例中的n可以为－2，因此本题选A．【知识点】命题与证明；反证法；举反例。
反证法在初中数学解题的运用
反证法在初中数学解题的运用在初中数学的教与学过程中，归谬法是一种非常常见的解题方法，可以有效地简化数学问题，提高解题速度和正确率，锻炼学生的逻辑思维能力。
在初中数学解题过程中，反证法被广泛应用。
特别是对于一些无处下手的数学题，反证法的解题技巧可以帮助学生快速得到答案。
基于此，本文总结了反证法的理论和分类，重点阐述了反证法在初中数学解题中的应用，以供参考。
关键词：反证法；初中数学；解题；应用反证法的应用思路是先将结论否定，然后依次为基础展开论证，并根据已知命题和推理原则得出与已知题设相矛盾的结论，进而确定论题的真实性。
由此可见，反证法的应用并不需要直接证明结论，而是通过否定与结论相反的一面来证明事物的真实性。
这是一种间接的、让步的证明方法。
巧妙地应用反证法可以让人有一种茅塞顿开的感觉，并且解题过程简洁、明快，被誉为“数学家最精良的武器之一”。
而且在初中数学解题中，巧妙应用反证法可以有效培养学生的逆向思维，提高学生的数学问题解决能力。
一、反证法的概述反证法在初中数学解题中属于较为特别的解题方法，尤其对于一些无从下手的难题往往有较好的解题效果，但要想正确有效地运用需要准确细致地了解反证法的相关理念，下面进行具体论述。
（一）反证法的基本理念。
先对原命题进行否定，然后再找出必要的矛盾，就可以对原命题进行论证。
也就是说，在证明一个命题的时候，可以先假设命题结论的对立面是正确的，再由已知条件得出两个相互矛盾的结论，或者与数学定理、公理、已知条件等相矛盾的结果，就可以说假设不成立。
而在说明假设不成立的同时，也就代表着原命题的成立。
这就是反证法。
（二）反证法的理论依据。
反证法的理论依据为矛盾律和排中律。
矛盾律的意思是，在同一个证明过程中，如果两个相结论相互对立，那么其中一个必然是错误的。
而排中律的意思是，同一个命题只有两种可能，要么为真，要么为假。
排中律的特点是，解题者必须要有清晰、明确的思维，不仅要确定自己的思维逻辑，还要明确自己的立场。
反证法(初中数学) PPT课件 图文
∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60．°
点拨：至少的反面是没有！
回顾与归纳
假 设 结 论
基 得本 出事 推理论证 矛 实
的
盾、
反
（定
面 正
反确设
已理 知等
、归谬
反证法
命
假题
得出结论
设成 不立
.
成
立
，
原
结论
证明真命题 的方法
直接证法
间接证法
反证法
四、巩固新知
1、试说出下列命题的反面：a小于或等于２
AC=b（a≤b≤c）,a2 +b2 ≠ c2” b
c
，请问这个三角形是否一定不是
直角三角形呢？请说明理由。
Ca
B
探究： （1）假设它是一个直角三角形 （2）由勾股定理，一定有a2 +b2 ＝c2，与 已知条件a2 +b2 ≠ c2矛盾； （3）因此假设不成立，即它不是一个直 角三角形。
发现知识：
矛盾．
法
A
: 假设不成立．
∴ ∠B ≠ ∠ C ．
B
C
例2 求证：两条直线相交只有一个交点 已知：。如图两条相交直线a、b。
求证：a与b只有一个交点。
证明：假设a与b不止一个交 a ●
● A，
点，不妨假设有两个交点A和 A
A’
b
小结：根据假设
因为两点确定一条直线，即 推出结论除了可
经过点A和A’的直线有且只有 以与已知条件矛
那么，树上的李子还会这么多吗？
这与事实矛盾。 说明李子是甜的这 个假设是错的还是 对的？
所以，李子是苦的
14.1.3 反证法
初中数学解题技巧：反证法
初中数学解题技巧：反证法
初中数学解题技巧：反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。
推理必须严谨。
导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
“正难则反”——怎样运用初中数学反证法
“正难则反”——怎样运用初中数学反证法对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。
从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。
推理必须严谨。
导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
例如：反证法的证题步骤：① 假设。
假设结论的反面成立，重点完成对假设的等价转化② 归结矛盾。
矛盾来源：与已知，定理，公理，已证，已作，矛盾。
③ 否定假设，肯定结论。
解析：反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法。
反证法不仅在几何中有着广泛的应用，而且在代数中也经常出现。
用反证法证明不等式就是最好的应用。
要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设。
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析反证法是一种基本的数学证明方法，在初中数学解题中也被广泛应用。
它是一种通过假设引出矛盾来证明某个命题的方法，通常用于证明一些不能直接得到结论的命题。
一、基本思想反证法的基本思想是：如果要证明一个命题P成立，可以假设它不成立，然后推出一个矛盾的结果，从而证明原命题成立。
这样的证明方式可以帮助我们避免直接证明带来的困难，使证明过程更为简单。
二、实例分析1. 证明“根号3是无理数”假设根号3是有理数，则可以写成根号3=a/b（a、b互质），其中a、b都是整数。
平方两边得3=a^2/b^2，从而得到a^2=3b^2。
这说明a的平方是3的倍数，因此a也是3的倍数，即a=3c（c∈Z）。
将其代入a^2=3b^2中得到9c^2=3b^2，即3c^2=b^2，由此可知b 也是3的倍数。
但是a、b是互质的，矛盾！因此假设不成立，根号3是无理数。
2. 证明“在一个无限的等差数列中，任意两个正整数的差都不能是1”假设该等差数列中存在正整数a、b，使得a-b=1。
令等差数列的第一项为c，公差为d，则有a=c+kd，b=c+(k-1)d，其中k是正整数。
带入a-b=1得到d=1，因此等差数列的公差为1。
若d=1，则对于任意正整数，其后面必然至少有一个正整数与之差为1，矛盾！因此假设不成立，证明了该命题。
三、注意事项反证法虽然在初中数学中被广泛应用，但它也存在一些需要注意的细节问题。
1. 假设的前提需要清晰明确。
在运用反证法时，我们需要明确假设的前提是什么，以免出现“抓住了一根草而错过了一个森林”的情况。
2. 矛盾的产生必须严密。
在假设的基础上，我们需要通过一些推理或运算，得到一个相互矛盾的结果，才能证明该命题。
3. 反证法不一定适用于所有问题。
有些问题需要直接证明，反证法并不一定能够得出正确的结果。
4. 其他证明方法的选择需要根据问题的实际情况来决定。
在做题时需要灵活运用不同的证明方法，如归纳法、直接证明等。
反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的运用分析1. 引言1.1 反证法在初中数学解题中的重要性反证法是初中数学解题中一种重要的思维方法，其在数学推理和证明中扮演着至关重要的角色。
通过反证法，我们可以通过假设所要证明的结论为假，从而推导出矛盾，进而证明原命题的正确性。
这种方法在解决复杂问题或证明难题时常常能够起到意想不到的效果，为我们打开了解决问题的新思路。
在初中数学学习中，反证法的重要性不言而喻。
通过反证法，我们可以更好地理解数学定理和公式，并且培养逻辑思维和分析问题的能力。
它帮助我们发现问题的本质，找到解决问题的关键，提高数学学习的效率和深度。
在解决数学问题时，有时直接证明一个命题比较困难，而通过反证法可以简化证明过程，使得解题更加简洁和清晰。
反证法在初中数学解题中的重要性不容忽视。
它不仅能够提高我们的数学解题能力，还可以培养我们的逻辑思维方式，让我们在数学学习中收获更多的成就和乐趣。
熟练掌握反证法对于初中生来说是十分重要的。
1.2 反证法的基本原理反证法是逻辑推理中常用的一种方法，其基本原理是通过否定待证命题的反命题来间接证明原命题的真实性。
这种方法在数学证明中被广泛运用，特别是在初中数学解题中具有重要意义。
反证法的基本原理可以用简单的逻辑推理来解释。
假设我们要证明一个命题P，而假设P是假的，即非P是真的。
我们利用这个假设来推导出某些结论Q，但我们最终发现Q与已知事实或其他命题矛盾，从而得出结论非P也是假的，即P是真的。
这一过程就是利用反证法间接证明原命题的过程。
反证法的基本原理可以帮助我们加深对待证命题的理解，发现存在逻辑矛盾的地方，从而推导出命题的真实性。
在数学解题中，反证法可以帮助我们简化证明过程，节省时间和精力，提高解题效率。
了解和掌握反证法的基本原理对于初中生学习数学和解题是非常重要的。
反证法不仅仅是一种证明方法，更是一种思维方式和逻辑推理的训练，可以帮助学生提升解决问题的能力和思考深度。
2. 正文2.1 反证法在代数方程解题中的运用在解代数方程中，反证法是一种常用且有效的解题方法。
中考数学解题方法及提分突破训练：反证法专题(含解析)
解题方法及提分突破训练：反证法专题对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。
从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。
一真题链接1.用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。
已知：如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 交于点P ，且AB 、CD 不是直径.求证：弦AB 、CD 不被P 平分.2.平面内有四个点，没有三点共线，证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形3. 平面内有四个点，没有三点共线证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形二 名词释义反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有(n 一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。
推理必须严谨。
导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
例如： 已知：a 是整数，2能整除2a 。
试证：2能整除a① 探究：问题实际上是在讨论a 是奇数，还是偶数。
反证法专题研究-备战2021年中考数学解题方法之探究十法(原卷版)
备战2020中考数学解题方法专题研究专题3 反证法法专题【方法简介】反证法是间接论证的方法之一。
亦称“逆证”。
是通过断定与论题相矛盾的判断（即反论题）的虚假来确立论题的真实性的论证方法。
反证法的论证过程如下：首先提出论题：然后设定反论题，并依据推理规则进行推演，证明反论题的虚假；最后根据排中律，既然反论题为假，原论题便是真的。
在进行反证中，只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题，论题的反对判断是不能作为反论题的，因为具有反对关系的两个判断可以同时为假。
反证法中的重要环节是确定反论题的虚假，常常要使用归谬法。
反证法是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证或反驳比较困难时，用反证法会收到更好的效果。
【真题演练】1.如果两个实数之和为正数，则这两个数( ).A ．一个是正数，一个是负数；B ．两个都是正数；C ．至少有一个正数；D ．两个都是负数2. （ 河北省，10，3分）如图，已知钝角△ABC ，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.步骤1：以C 为圆心，CA 为半径画弧○1； 步骤2：以B 为圆心，BA 为半径画弧○2，将弧○1于点D ； 步骤3：连接AD ，交BC 延长线于点H.下列叙述正确的是（ ）A ．BH 垂直分分线段ADB ．AC 平分∠BAD C ．S △ABC =BC ·AH D ．AB=AD3. 若0a ≠，则关于的方程0ax b +=的解是唯一的．4. 如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ．（1）求证：DE=DF ；（2）只添加一个条件，使四边形EDFA 是正方形．•请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）BAFED C【名词释义】反证法的逻辑根据是“排中律”：对于同一思维对象，所作的两种互相对立的判断只能一真一假、反证法就是通过证明结论的反面不真而肯定结论为真的一种证明方法．用反证法证明一个命题的正确性的步骤，大体上分为：（1）反设：假设结论的反面成立；（2）归谬：由反设及原命题的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾；（3）结论：否定反设，肯定原命题正确．按照反设所涉及到的情况的多少，反证法可分为归谬反证法与穷举反证法．1．若结论的反面只有一种情形，那么，反设单一，只须驳倒这种情形，便可达到反证的目的．这叫归谬反证法．2．若结论的反面不只一种情形，那么，要将各种情形一一驳倒，才能肯定原命题正确，这叫穷举反证法．【典例示例】例题1：用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。
中考数学备考名师指点：反证法
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反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：
(1)反设;
(2)归谬;
(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：
是/不是;
存在/不存在;
平行于/不平行于;
垂直于/不垂直于;
等于/不等于;
大(小)于/不大(小)于;
都是/不都是;
至少有一个/一个也没有;
至少有n个/至多有(n一1)个;。
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中考数学解题方法反证法专题
在初中数学题目的求解过程中，当直接证明一个命题比较复杂麻烦，甚至不能证明时，我们可以采用反证法.反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法.反证法可以分为归谬
反证法（结论的反面只有一种）与穷举反证法（结论的反面不只一种）.
用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：（1）反设；（2）归谬；（3）结论.反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大于/不大于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有（n-1）个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个.
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知
条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾.
至于什么问题宜用反证法？这是很难确切回答的问题.下面我们就结合实例归纳几种常使用反证法的
情况.
一、基本定理或初始命题的证明
在数学中，许多基本定理是使用反证法来证明的，例如“过直线外一点只有该直线的一条平行线”，“过平面外一点只有平面的一条垂线”.因为在证明这种基本定理时，由于除已经学过的公理及其推论外，在此之前所导出的定理不多或者与此命题相关的定理不多.
例1在同一平面内，两条直线a，b都和直线c垂直.求证：a与b平行.
证明假设命题的结论不成立，即“直线a与b相交”.
不妨设直线a，b的交点为M，a，b与c的交点分别为P，Q，如图1所示，则∠PMQ>0°.
这样，△MPQ的内角和=∠PMQ+∠MPQ+∠PQM=∠PMQ+90°+90°>180°.
这与定理“三角形的内角和等于180°”相矛盾.说明假设不成立.
所以，直线a与b不相交，即a与b平行.
二、存在性问题的证明
在数学中，证明“存在”的问题很多，这种情况下，往往使用反证法.
例2已知△ABC的三边满足b=（a+b）/2，求证：△ABC中至少有两个角不超过60°.
证明设至少有两个角超过60°，
因为∠A+∠B+∠C=180°，
所以△ABC中至多有两个角超过60°，
即所设等价于“△ABC中有两个角超过60°”
我们不妨设∠A>60°、∠C>60°，
则cosA<1/2、cosC<1/2.
由余弦定理：c2=b2+a2-2bacosC>b2+a2-ba，（1）
a2=b2+c2-2bccosA>b2+c2-bc.（2）
（1）+（2）得2b2<ba+bc，即b故假设错误，即：△ABC中至少有两个角不超过60°.
三、无限性命题的证明
在求证的命题中含有“无穷”、“无限”等概念时，从正面证明往往无从下手，这时，我们常使用反证法.
例3求证：2是无理数.
证明假设2不是无理数，即2是有理数，那么它就可以表示成两个整数之比，设2=qp，p≠0，且整数
p，q互素，
则2p=q.所以，2p2=q2.（1）
故q2是偶数，q也必然为偶数.
不妨设q=2k，代入①式，则有2p2=4k2，即p2=2k2，所以，p也为偶数.
p和q都是偶数，它们有公约数2，这与p，q互素相矛盾.
这样，2不是有理数，而是无理数.
四、否定性命题的证明
例4求证：若n为自然数，则n2+n+2不能被15整除.
证明假设n2+n+2能被15整除，则n2+n+2必然能被5整除，
所以n2+n+2的尾数必然为5或0，又因为
n2+n+2=n（n+1）+2为偶数，
所以n2+n+2的尾数必然为0，即n2+n=n（n+1）的尾数，必然为8.
对任意自然数n，n（n+1）的尾数均不为8，所以假设错误.
即：若n为自然数，则n2+n+2不能被15整除.
五、所求证命题为不等式
例4已知：如图2所示△ABC中，∠A = 90°，
AD ⊥BC 于D ，求证：AD + BC > AB + AC.证明：假设AD + BC AB + AC例5在△ABC中，AB=AC，P为△ABC内一点，
且∠PAB>∠PAC.求证：∠APB<∠APC.
证明如图2，假设∠APB>∠APC.
因为AB=AC，∠PAB>∠PAC，
则有：∠PAB+∠APB>∠PAC+∠APC，
因此∠ABP<∠ACP.
因为∠ABC=∠ACB，所以∠PBC>∠PCB，PC>PB.
在△APB和△APC中，AB=AC，AP=AP，PC>PB，所以∠PAB<∠PAC，这与已知条件相矛盾，故假设不真.
所以∠APB<∠APC.
关于常用反证法求解的命题，我们主要总结了五类，对于这几类命题，反证法一般较为有效.但是必须指出：对于不同的题目，往往有不同的求解方法，对这些题目，甚至会有极个别的更为简捷的方法，但由于没有一定的普遍性，此处不再一一列出.。