中考数学解题方法反证法专题

中考数学解题方法反证法专题

在初中数学题目的求解过程中，当直接证明一个命题比较复杂麻烦，甚至不能证明时，我们可以采用反证法.反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法.反证法可以分为归谬

反证法（结论的反面只有一种）与穷举反证法（结论的反面不只一种）.

用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：（1）反设；（2）归谬；（3）结论.反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大于/不大于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有（n-1）个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个.

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知

条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾.

至于什么问题宜用反证法？这是很难确切回答的问题.下面我们就结合实例归纳几种常使用反证法的

情况.

一、基本定理或初始命题的证明

在数学中，许多基本定理是使用反证法来证明的，例如“过直线外一点只有该直线的一条平行线”，“过平面外一点只有平面的一条垂线”.因为在证明这种基本定理时，由于除已经学过的公理及其推论外，在此之前所导出的定理不多或者与此命题相关的定理不多.

例1在同一平面内，两条直线a，b都和直线c垂直.求证：a与b平行.

证明假设命题的结论不成立，即“直线a与b相交”.

不妨设直线a，b的交点为M，a，b与c的交点分别为P，Q，如图1所示，则∠PMQ>0°.

这样，△MPQ的内角和=∠PMQ+∠MPQ+∠PQM=∠PMQ+90°+90°>180°.

这与定理“三角形的内角和等于180°”相矛盾.说明假设不成立.

所以，直线a与b不相交，即a与b平行.

二、存在性问题的证明

在数学中，证明“存在”的问题很多，这种情况下，往往使用反证法.

例2已知△ABC的三边满足b=（a+b）/2，求证：△ABC中至少有两个角不超过60°.

证明设至少有两个角超过60°，

因为∠A+∠B+∠C=180°，

所以△ABC中至多有两个角超过60°，

即所设等价于“△ABC中有两个角超过60°”

我们不妨设∠A>60°、∠C>60°，

则cosA<1/2、cosC<1/2.

由余弦定理：c2=b2+a2-2bacosC>b2+a2-ba，（1）

a2=b2+c2-2bccosA>b2+c2-bc.（2）

（1）+（2）得2b2

三、无限性命题的证明

在求证的命题中含有“无穷”、“无限”等概念时，从正面证明往往无从下手，这时，我们常使用反证法.

例3求证：2是无理数.

证明假设2不是无理数，即2是有理数，那么它就可以表示成两个整数之比，设2=qp，p≠0，且整数

p，q互素，

则2p=q.所以，2p2=q2.（1）

故q2是偶数，q也必然为偶数.

不妨设q=2k，代入①式，则有2p2=4k2，即p2=2k2，所以，p也为偶数.

p和q都是偶数，它们有公约数2，这与p，q互素相矛盾.

这样，2不是有理数，而是无理数.

四、否定性命题的证明

例4求证：若n为自然数，则n2+n+2不能被15整除.

证明假设n2+n+2能被15整除，则n2+n+2必然能被5整除，

所以n2+n+2的尾数必然为5或0，又因为

n2+n+2=n（n+1）+2为偶数，

所以n2+n+2的尾数必然为0，即n2+n=n（n+1）的尾数，必然为8.

对任意自然数n，n（n+1）的尾数均不为8，所以假设错误.

即：若n为自然数，则n2+n+2不能被15整除.

五、所求证命题为不等式

例4已知：如图2所示△ABC中，∠A = 90°，

AD ⊥BC 于D ，求证：AD + BC > AB + AC.证明：假设AD + BC AB + AC例5在△ABC中，AB=AC，P为△ABC内一点，

且∠PAB>∠PAC.求证：∠APB<∠APC.

证明如图2，假设∠APB>∠APC.

因为AB=AC，∠PAB>∠PAC，

则有：∠PAB+∠APB>∠PAC+∠APC，

因此∠ABP<∠ACP.

因为∠ABC=∠ACB，所以∠PBC>∠PCB，PC>PB.

在△APB和△APC中，AB=AC，AP=AP，PC>PB，所以∠PAB<∠PAC，这与已知条件相矛盾，故假设不真.

所以∠APB<∠APC.

关于常用反证法求解的命题，我们主要总结了五类，对于这几类命题，反证法一般较为有效.但是必须指出：对于不同的题目，往往有不同的求解方法，对这些题目，甚至会有极个别的更为简捷的方法，但由于没有一定的普遍性，此处不再一一列出.