微专题 一线三等角
2022年人教版中考数学复习第一部分考点讲解 第四章三角形 微专题 一线三等角模型
第5题图
微专题 一线三等角模型
解：(2)如解图②，过点D作DM⊥BA，交BA的延长线于点M.
∵BC⊥AB，DM⊥AB，∠CAD＝90°，AC＝AD，
FB FA DBF EAF BD AE
∴△DBF≌△EAF(SAS)
第2题图
微专题 一线三等角模型
∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE， ∴∠DFE＝∠DFA＋∠AFE＝∠DFA＋∠BFD＝60°， ∴△DEF为等边三角形．
第2题图
微专题 一线三等角模型 模型二 一线三垂直(直角)
模型分析 已知A、B、C三点共线，且∠1＝∠2＝∠3＝90°.
第4题图
微专题 一线三等角模型
设BP＝x，则PD＝14－x.
①当△ABP∽△PDC时，AB ＝ BP ，
PD CD
即6＝
14 x
x 4
，解得x1＝2，x2＝12，
∴当BP＝2或12时，△ABP∽△PDC；
AB BP
②当△ABP∽△CDP时，CD ＝ PD ，
即6
4
＝x
14 x
，解得x＝8.4，
.
又∵△PMN∽△MNO，
∴ PN ＝ MO ＝ 1 .
MN NO 2
第6题解图①
微专题 一线三等角模型
∵PN⊥MN，PB⊥y轴，
∴△PNB∽△NMO.
∴x ＝ x2 3x b＝ 1 .
b
1b
2
2
解∴得点P，的x1坐＝标12为，(x12＝，50()舍．去)．
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【微专题】2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练(人教版)-一线三等角模型证全等(解析版)
一线三等角模型证全等1．如图把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上在△ABC中∠C＝90°AC＝BC试回答下列问题：（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转当AB∥MN时∠2＝45度；（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中分别作AM⊥MN于M BN⊥MN与N 若AM＝6 BN＝2 求MN．（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置其他条件不变则AM、BN 与MN之间有什么关系？请说明理由．【解答】解：（1）在△ABC中AB＝AC∠ACB＝90°∴∠B＝∠A＝45°∵AB∥MB∴∠2＝∠B＝45°故答案为45；（2）∵AM⊥MN于M BN⊥MN于N∴∠AMC＝90°∠BNC＝90°．∴∠1+∠CAM＝90°又∵∠1+∠2＝90°∴∠2＝∠CAM同理：∠1＝∠CBN在△AMC和△CNB中∴△AMC≌△CNB（ASA）∴AM＝CN MC＝BN∴MN＝MC+CN＝AM+BN＝2+6＝8；（3）MN＝BN﹣AM理由：同（2）的方法得△AMC≌△CNB（ASA）∴AM＝CN MC＝BN∴MN＝MC﹣CN＝BN﹣AM．2．【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一请根据以下问题把你的感知填写出来：①如图1 △ABC是等腰直角三角形∠C＝90o点D为AB中点则△AED∽△BDF；②如图2 △ABC为正三角形BD＝CF∠EDF＝60°则△BDE≌△CFD；③如图3 正方形ABCD的顶点B在直线l上分别过点A、C作AE⊥l于E CF⊥l于F．若AE＝1 CF＝2 则EF的长为3．【模型应用】（2）如图4 将正方形OABC放在平面直角坐标系中点O为原点点A的坐标为（1 ）则点C的坐标为（﹣1）．【模型变式】（3）如图5所示在△ABC中∠ACB＝90°AC＝BC BE⊥CE于D DE＝4cm AD＝6cm 求BE的长．【解答】解：（1）①如图1 ∵△ABC是等腰直角三角形∴∠A＝∠B＝45°∵点D是AB的中点∴AD＝BD∵∠EDB＝∠A+∠AED＝∠EDF+∠FDB∴∠AED＝∠EDB∴△AED∽△BDF故答案为△BDF；②∵△ABC是等边三角形∴∠B＝∠C＝60°∵∠EDC＝∠B+∠BED＝∠EDF+∠FDC∴∠BED＝∠FDC又∵BD＝CF∴△BDE≌△CFD（AAS）故答案为：△CFD；③∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC∠ABC＝90°∵AE⊥EF CF⊥EF∴∠AEB＝∠CFB＝90°＝∠ABC∴∠ABE+∠BAE＝90°＝∠ABE+∠CBF∴∠BAE＝∠CBF∴△ABE≌△BCF（SAS）∴AE＝BF＝1 BE＝CF＝2∴EF＝3故答案为：3；（2）如图④过点A作AF⊥x轴于F过点C作CE⊥x轴于E∵点A的坐标为（1 ）∴AF＝OF＝1∵四边形ABCO是正方形∴AO＝OC∠AOC＝90°∵AF⊥EF CE⊥EF∴∠AFO＝∠CEO＝90°＝∠AOC∴∠AOF+∠F AO＝90°＝∠AOF+∠COE∴∠COE＝∠F AO∴△AOF≌△OCE（SAS）∴CE＝OF＝1 OE＝AF＝∴点C坐标为：（﹣1）故答案为：（﹣1）；（3）如图⑤∵AD⊥CE BE⊥CE∴∠ADC＝∠BEC＝90°∵∠DCA+∠BCE＝90°∠DCA+∠DAC＝90°∴∠DAC＝∠BCE又∵AC＝BC∴△ACD≌△CBE（AAS）∴CE＝AD＝6cm CD＝BE∴BE＝CD＝CE﹣DE＝6﹣4＝2cm．3．直线l经过点A△ABC在直线l上方AB＝AC．（1）如图1 ∠BAC＝90°过点B C作直线l的垂线垂足分别为D、E．求证：△ABD≌△CAE；（2）如图2 D A E三点在直线l上若∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝α（α为任意锐角或钝角）猜想线段DE、BD、CE有何数量关系？并给出证明；（3）如图3 ∠BAC＝90°过点B作直线l上的垂线垂足为F点D是BF延长线上的一个动点连结AD作∠DAE＝90°使得AE＝AD连结DE CE．直线l与CE交于点G．求证：G是CE的中点．【解答】（1）证明：∵BD⊥l CE⊥l∴∠BDA＝∠AEC＝90°∴∠ABD+∠DAB＝90°∵∠BAC＝90°∴∠CAE+∠DAB＝90°∴∠ABD＝∠CAE在△ABD与△CAE中∴△ABD≌△CAE（AAS）；（2）解：猜想：DE＝BD+CE∵∠BDA＝∠BAC＝α∴∠ABD+∠DAB＝180°﹣∠BDA＝180°﹣α∠CAE+∠DAB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α∴∠ABD＝∠CAE在△ABD与△CAE中∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD＝AE DA＝EC∴DE＝AE+DA＝BD+CE；（3）证明：分别过点C、E作CM⊥l EN⊥l由（1）可知△ABF≌△CAM△ADF≌△EAN∴AF＝CM AF＝EN∴CM＝EN∵CM⊥l EN⊥l∴∠CMG＝∠ENG＝90°在△CMG与△ENG中∴△CMG≌△ENG（AAS）∴CG＝EG∴G为CE的中点．4．已知：在△ABC中AB＝AC直线l过点A．（1）如图1 ∠BAC＝90°分别过点B C作直线l的垂线段BD CE垂足分别为D E．①依题意补全图1；②用等式表示线段DE BD CE之间的数量关系并证明．（2）如图2 当∠BAC≠90°时设∠BAC＝α（0°＜α＜180°）作∠CEA＝∠BDA＝α点D E在直线l上直接用等式表示线段DE BD CE之间的数量关系为DE＝BD+CE．【解答】解：（1）①依题意补全图形如图1所示．②用等式表示DE BD CE之间的数量关系为DE＝BD+CE．证明：∵CE⊥l BD⊥l∴∠CEA＝∠ADB＝90°．∴∠ECA+∠CAE＝90°．∵∠BAC＝90°直线l过点A∴∠CAE+∠BAD＝180°﹣∠BAC＝90°．∴∠ECA＝∠BAD．又∵AC＝AB∴△CEA≌△ADB（AAS）∴CE＝AD AE＝BD．∴DE＝AE+AD＝BD+CE．（2）用等式表示DE BD CE之间的数量关系为DE＝BD+CE 理由如下：∵∠BAE是△ABD的一个外角∴∠BAE＝∠ADB+∠ABD∵∠BDA＝∠BAC∴∠ABD＝∠CAE在△ABD和△CAE中∴△ABD≌△CAE（AAS）∴AD＝CE BD＝AE∴DE＝AD+AE＝BD+CE．故答案为：DE＝BD+CE．5．如图CD∥AB CD＝CB点E在BC上∠D＝∠ACB．（1）求证：CE＝AB．（2）若∠A＝125°则∠BED的度数是55°．【解答】证明：（1）∵CD∥AB∴∠B＝∠DCE在△DEC与△CAB中∴△DEC≌△CAB（ASA）∴CE＝AB；解：（2）∵△DEC≌△CAB∴∠CED＝∠A＝125°∴∠BED＝180°﹣125°＝55°故答案为：55°．6．直角三角形ABC中∠ACB＝90°直线l过点C．（1）当AC＝BC时如图①分别过点A B作AD⊥l于点D BE⊥l于点E．试说明AD＝CE；（2）当AC＝8 BC＝6时如图②点B与点F关于直线l对称连接BF CF动点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动同时动点N从点F出发以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动点M N到达相应的终点时停止运动过点M 作MD⊥l于点D过点N作NE⊥l于点E设运动时间为t秒．①CM＝8﹣t当N在F→C路径上时CN＝6﹣3t；（用含t的代数式表示）②当△MDC与△CEN全等时求t的值．【解答】解：（1）△ACD与△CBE全等．理由如下：∵AD⊥直线l∴∠DAC+∠ACD＝90°∵∠ACB＝90°∴∠BCE+∠ACD＝90°∴∠DAC＝∠ECB在△ACD和△CBE中∴△ACD≌△CBE（AAS）∴AD＝CE；（2）①由题意得AM＝t FN＝3t则CM＝8﹣t由折叠的性质可知CF＝CB＝6∴CN＝6﹣3t．故答案为：8﹣t；6﹣3t；②由折叠的性质可知∠BCE＝∠FCE∵∠MCD+∠CMD＝90°∠MCD+∠BCE＝90°∴∠NCE＝∠CMD∴当CM＝CN时△MDC与△CEN全等当点N沿F→C路径运动时8﹣t＝6﹣3t解得t＝﹣1（不合题意）当点N沿C→B路径运动时8﹣t＝3t﹣6解得t＝3.5当点N沿B→C路径运动时由题意得8﹣t＝18﹣3t解得t＝5当点N沿C→F路径运动时由题意得8﹣t＝3t﹣18解得t＝6.5综上所述当t＝3.5秒或5秒或6.5秒时△MDC与△CEN全等．7．点A的坐标为（4 0）点B为y轴负半轴上的一个动点分别以OB、AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．（1）如图一若点B坐标为（0 ﹣3）连接AC、OD．①求证：AC＝OD；②求D点坐标．（2）如图二连接CD与y轴交于点E试求BE长度．【解答】（1）①证明：∵△OBC和△ABD是等腰直角三角形∴OB＝CB BD＝AB∠ABD＝∠OBC＝90°∴∠ABD+ABO＝∠OBC+∠A∠O∴∠OBD＝∠CBA∴△OBD≌△CBA（SAS）∴AC＝OD；②如图一、∵A（4 0）B（0 ﹣3）∴OA＝4 OB＝3过点D作DF⊥y轴于F∴∠BOA＝∠DFB＝90°∴∠ABO+∠OAB＝90°∵∠ABD＝90°∴∠ABO+∠FBD＝90°∴∠OAB＝∠FBD∵AB＝BD∴△AOB≌△BFD（AAS）∴DF＝OB＝3 BF＝OA＝4∴OF＝OB+BF＝7∴D（3 ﹣7）；（2）如图二、过点D作DF⊥y轴于F则∠DFB＝90°＝∠CBF同（1）②的方法得△AOB≌△BFD（AAS）∴DF＝OB BF＝OA＝4∵OB＝BC∴BC＝DF∵∠DEF＝∠CEB∴△DEF≌△CEB（AAS）∴BE＝EF∴BF＝BE+EF＝2BE＝4∴BE＝2．8．在△ABC中∠ACB＝90°AC＝BC直线l经过顶点C过A B两点分别作l的垂线AE BF 垂足分别为E F．（1）如图所示当直线l不与底边AB相交时求证：EF＝AE+BF．（2）当直线l绕点C旋转到图（b）的位置时猜想EF、AE、BF之间的关系并证明．（3）当直线l绕点C旋转到图（c）的位置时猜想EF、AE、BF之间的关系直接写出结论．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°∴∠ECA+∠FCB＝90°又∵AE⊥l BF⊥l∴∠AEF＝∠BFC＝90°∴∠ECA+∠EAC＝90°∴∠FCB＝∠EAC在△ACE和△CBF中∴△ACE≌△CBF（AAS）∴AE＝CF CE＝BF∵EF＝EC+CF∴EF＝AE+BF；（2）解：EF＝AE﹣BF理由如下：∵∠ACB＝90°∴∠ACE+∠FCB＝90°又∵AE⊥l BF⊥l∴∠AEF＝∠BFC＝90°∴∠CAE+∠ACE＝90°∴∠CAE＝∠FCB又∵AC＝BC∴△ACE≌△CBF（AAS）∴AE＝CF CE＝BF∴EF＝CF﹣CE＝AE﹣BF；（3）解：EF＝BF﹣AE理由如下：∵∠AEC＝∠CFB＝90°∠ACB＝90°∴∠ACE+∠CAE＝∠ACE+∠BCF＝90°∴∠CAE＝∠BCF∵AC＝BC∴△CAE≌△BCF（AAS）∴CE＝BF AE＝CF∴EF＝CE﹣CF＝BF﹣AE即EF＝BF﹣AE．9．如图已知l1∥l2射线MN分别和直线l1l2交于A、B射线ME分别和直线l1l2交于C、D点P在A、B间运动（P与A、B两点不重合）（1）如图①如果∠PDB＝50°∠PCA＝20°∠CPD＝70°．若∠PDB＝α∠PCA＝β∠CPD＝γ请直接写出αβγ之间的数量关系γ＝α+β．（2）如图②若MN⊥l1于点A BD＝2 AB＝6 AC＝4 当AP为多少时△ACP≌△BPD 请判断此时PC与PD的数量与位置关系并说明理由．（3）请用尺规作图作出∠BDC的角平分线DP其中P为角平分线与AB的交点若此时点P 为线段AB的中点请你在备用图中再画出合适的辅助线以能展现你的做题思路并直接写出线段AC、BD、CD的数量关系不用再说明理由．【解答】解：（1）过点P作PQ∥l1交ME于点Q如图①∵l1∥l2PQ∥l1∴PQ∥l2∴∠BDP＝∠DPQ＝50°∵PQ∥l1∴∠QPC＝∠PCA＝20°∴∠DPC＝∠DPQ+∠CPQ＝70°∵∠PDB＝α∠PCA＝β∠CPD＝γ同理可得：∠CPD＝∠PDB+∠PCA∴γ＝α+β故答案为：70°．γ＝α+β．（2）CP＝PD CP⊥PD．理由如下：如图②若△ACP≌△BPD则AP＝BD＝2 ∠CP A＝∠PDB CP＝PD∵MN⊥l1∴∠DBM＝90°∴∠DPB+∠PDB＝90°∴∠CP A+∠BPD＝90°∴∠CPD＝90°∴CP⊥PD．（3）CD＝CA+BD．理由如下：以点D为圆心以任意长度为半径画弧交l1ME于F、H分别以H、F为圆心以大于EF 的长为半径画弧相交于Q、T两点连接DQ即为∠CDF的角平分线设DQ交AB于P交l1于G如图③在△DPB和△GP A中∴△DPB≌△GP A（AAS）∴BD＝AG∵DG是∠CDF的角平分线∴∠CDG＝∠FDG∵l1∥l2∴∠FDG＝∠CGD∴∠CDG＝∠CGD∴CD＝CG∵CG＝CA+AG＝CA+BD∴CD＝CA+BD．10．已知在△ABC中AB＝AC D A E三点都在直线m上且DE＝9cm∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①若AB⊥AC则BD与AE的数量关系为BD＝AE CE与AD的数量关系为CE＝AD；（2）如图②判断并说明线段BD CE与DE的数量关系；（3）如图③若只保持∠BDA＝∠AEC BD＝EF＝7cm点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动同时点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动它们运动的时间为t（s）．是否存在x使得△ABD与△EAC全等？若存在求出相应的t的值；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD∴∠CAE＝∠ABD∵∠BDA＝∠AEC BA＝CA∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD＝AE CE＝AD故答案为：BD＝AE CE＝AD；（2）DE＝BD+CE由（1）同理可得△ABD≌△CAE（AAS）∴BD＝AE CE＝AD∴DE＝BD+CE；（3）存在当△DAB≌△ECA时∴AD＝CE＝2cm BD＝AE＝7cm∴t＝1 此时x＝2；当△DAB≌△EAC时∴AD＝AE＝4.5cm DB＝EC＝7cm∴t＝x＝7÷＝综上：t＝1 x＝2或t＝x＝．11．已知Rt△ABC和Rt△ADE AB＝AC AD＝AE．连接BD、CE过点A作AH⊥CE于点H反向延长线段AH交BD于点F．（1）如图1 当AB＝AD时①请直接写出BF与DF的数量关系：BF＝DF（填“＞”、“＜”、“＝”）②求证：CE＝2AF（2）如图2 当AB≠AD时上述①②结论是否仍然成立？若成立请证明；若不成立请说明理由．【解答】解：（1）∵AB＝AC AD＝AE AB＝AD∴AC＝AE∵AH⊥CE∴∠CAH＝∠EAH∵∠BAC＝∠DAE＝90°∴∠CAH+∠BAF＝90°∠EAH+∠DAF＝90°∴∠BAF＝∠DAF在△BAF和△DAF中∴△BAF≌△DAF（SAS）∴BF＝DF故答案为：＝；②∵AC＝AE AH⊥CE∴CH＝EH＝CE∴CE＝2CH∵∠BAC＝∠AHC＝90°∴∠BAF+∠CAH＝90°∠ACH+∠CAH＝90°∴∠BAF＝∠ACH∵△BAF≌△DAF∴∠AFB＝∠AFD＝90°∴∠AFB＝∠CHA在△AFB和△CHA中∴△AFB≌△CHA（AAS）∴AF＝CH∴CE＝2AF；（2）成立证明如下：作BM⊥AF于点M作DN⊥AF交AF的延长线于点N∴∠BMA＝∠N＝90°∴∠BAM+∠ABM＝90°∠DAN+∠ADN＝90°∵∠BAC＝∠DAE＝90°∴∠BAM+∠CAH＝90°∠DAN+∠EAH＝90°∴∠ABM＝∠CAH∠ADN＝∠EAH∵AH⊥CE∴∠AMB＝∠CHA＝∠N＝∠EHA＝90°在△AMB和△CHA中∴△AMB≌△CHA（AAS）∴MB＝AH同理可证△AND≌△EHA（AAS）∴DN＝AH∴BM＝DN在△BMF和△DNF中∴△BMF≌△DNF（AAS）∴BF＝DF MF＝NF∴AM＝AF﹣MF AN＝AF+NF＝AF+MF∴AM+AN＝AF﹣MF+AF+MF＝2AF∵△AMB≌△CHA△AND≌△EHA∴AM＝CH AN＝EH∴CH+EH＝AM+AN＝2AF∵CE＝CH+EH∴CH＝2AF即BF＝DF CE＝2AF．12．从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法．例如我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想从而借助已有经验迅速解决问题．（1）如图1 在平面直角坐标系中四边形OBCD是正方形且D（0 2）点E是线段OB 延长线上一点M是线段OB上一动点（不包括点O、B）作MN⊥DM垂足为M且MN＝DM．设OM＝a请你利用基本活动经验直接写出点N的坐标（2+a a）（用含a的代数式表示）；（2）基本经验有利有弊当基本经验有利于新问题解决的时候这是基本经验的正迁移；当基本经验所形成的思维定势局限了新问题的思考让新问题解决不出来的时候这是基本经验的负迁移．例如如果（1）的条件去掉“且MN＝DM”加上“交∠CBE的平分线与点N”如图2 求证：MD＝MN．如何突破这种定势获得问题的解决请你写出你的证明过程．（3）如图3 请你继续探索：连接DN交BC于点F连接FM下列两个结论：①FM的长度不变；②MN平分∠FMB请你指出正确的结论并给出证明．【解答】（1）解：如图1中作NE⊥OB于E∵∠DMN＝90°∴∠DMO+∠NME＝90°∠NME+∠MNE＝90°∴∠DMO＝∠MNE在△DMO和△MNE中∴△DMO≌△MNE∴ME＝DO＝2 NE＝OM＝a∴OE＝OM+ME＝2+a∴点N坐标（2+a a）故答案为N（2+a a）．（2）证明：如图2中在OD上取OH＝OM连接HM∵OD＝OB OH＝OM∴HD＝MB∠OHM＝∠OMH ∴∠DHM＝180°﹣45°＝135°∵NB平分∠CBE∴∠NBE＝45°∴∠NBM＝180°﹣45°＝135°∴∠DHM＝∠NBM ∵∠DMN＝90°∴∠DMO+∠NMB＝90°∵∠HDM+∠DMO＝90°∴∠HDM＝∠NMB在△DHM和△MBN中∴△DHM≌△MBN（ASA）∴DM＝MN．（3）结论：MN平分∠FMB成立．证明：如图3中在BO延长线上取OA＝CF在△AOD和△FCD中∴△DOA≌△DCF∴AD＝DF∠ADO＝∠CDF∵∠MDN＝45°∴∠CDF+∠ODM＝45°∴∠ADO+∠ODM＝45°∴∠ADM＝∠FDM在△DMA和△DMF中∴△DMA≌△DMF∴∠DFM＝∠DAM＝∠DFC过M作MP⊥DN于P则∠FMP＝∠CDF由（2）可知∠NMF+∠FMP＝∠PMN＝45°∵∠NMB＝∠MDO∠MDO+∠CDF＝45°∴∠NMB＝∠NMF即MN平分∠FMB．（在旋转过程中FM＝AM显然AM的长度是变化的故FM的长度是变化的或取两个特殊位置比较AM的值即可发现结论）．。
中考数学课件 微专题(7) 利用一线三等角解决全等、相似问题
• (1)证明：如图①，连接BE，在BC的延长线 上截取BT，使得BT＝BA，连接AT.∵BA＝BT， ∠ABT＝60°，∴△ABT是等边三角形． • ∵△ABT，△AEF都是等边三角形，∴AT＝ AB，AF＝AE，∠TAB＝∠FAE＝60°，
AT＝AB， ∴∠TAF＝∠BAE，在△ATF 与△ABE 中，∠ATF＝∠BAE，
AT＝AB， 在△ATF 与△ABE 中，∠TAF＝∠BAE，
AF＝AE，
∴△ATF≌△ABE(SAS)，
∴TF ＝ BE ， ∠ATF ＝ ∠ABE ＝ 120°， ∴∠EBD ＝ 60°.∵ED⊥AB ，
∴∠DEB＝30°，∴BD＝12BE，∴TF＝2BD.∵BT＝AB，∴BF－AB＝2BD.
(2)解：不全等．理由：在矩形 ABCD 中，AC＝ AB2＋BC2＝ 22＋42 ＝2 5，由(1)②可知，AE＝2EF，∴AF＝ AE2＋EF2＝ 5EF，由折叠 的性质可知，AG＝2AE＝4EF，AF＝GF.∵∠AEF＝∠GCF，∠FAE＝ ∠GAC，∴△AEF∽△ACG，∴AAEC＝AAGF，∴22EF5＝ 45，∴EF＝54，∴AE ＝52，AF＝54 5，∴FC＝AC－AF＝2 5－54 5＝34 5，∴AE≠FC，EF≠FC， ∴△GCF 和△AEF 不全等．
AT＝AB， ∠TAF＝∠BAE， AF＝AE，
∴△ATF≌△ABE(SAS) ， ∴TF ＝ BE ， ∠ATF ＝
∠ABE＝60°，∴∠EBD＝60°.
∵ED⊥AB，∴∠DEB＝30°，∴BD＝12BE，∴TF＝2BD.∵BT＝AB， ∴AB－BF＝2BD.如图③，连接 BE，在 BC 上截取 BT，使得 BT＝BA， 连接 AT.∵△ABT，△AEF 都是等边三角形，∴AT＝AB，AF＝AE， ∴∠TAF＝∠BAE，
2024中考数学总复习冲刺专题：《一线三等角模型》通用版
《一线三等角模型》一、教材分析“一线三等角”是指三个相等角的顶点在同一直线上，其中两个角的一边与该直线重合，第三个角的两边均不与直线重合，这样会形成一组全等或相似三角形.根据等角的度数，此模型可分为锐角一线三等角、直角一线三等角和钝角一线三等角.“一线三等角”模型本质上是一个重要的基本几何模型，数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的表现形式，初中阶段的“一线三等角”模型是利用方程或函数等来表示数量之间的关系或变化规律.它一般不单独出现，通常与其他特殊图形结合，如等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形，以及与翻折、坐标系结合等，从而考查这些图形的性质.因此“一线三等角”模型可以出现在选择题、填空题的最后一题，也可以出现在解答题的几何证明、综合题中，是一个使用频率高、综合性较强的模型.平时的训练中，需要提升自己的模型思想，提炼问题的基本图形，利用基本图形的性质特点来突破考题，在具体分析过程中，也要结合数形结合思想，如根据题干信息提炼图形的结构特点，然后结合图形，采用代数运算的方式探求深层信息，促进信息的融合、转化.二、核心素养分析2022年版义务教育数学课程标准希望学生在初中阶段形成模型观念、数据观念；数学学科核心素养也提到数学抽象和直观想象，逻辑推理和运算能力，数学模型和数据分析.因此在数学学习中，我们有必要及时归纳一些数学模型.“一线三等角”问题的核心思想就是模型思想，关键的解题途径是能从复杂图形中分离出此模型，把握基本图形并建立方程或函数，帮助我们塑造模型观念，增强数学能力，提高解题技巧，提升数学核心素养.三、学情分析本次教学设计的授课对象为九年级学生，学生已有与本课时内容相关的知识基础如下：①全等三角形的性质与判定；②相似三角形的性质与相似；③三角函数；④二元一次方程（组）.本课程适用于对中考几何题有一定解决能力并有待提升综合能力的学生，弥补和改善学生漏听或未听懂这部分知识的不足，旨在促进学生深入理解方法和思想，从复杂图形中分离出基本数学模型，对解决问题有化繁为简的效果.四、教学任务分析1.课堂教学目标（1）知识与技能：探索“一线三等角”的基本特征，并且能够在不同背景中认识和把握基本图形，能利用“一线三等角”模型解决相关计算和证明问题；能够构造“一线三等角”模型，解决较为复杂的几何问题.（2）过程与方法：通过观察分析，大胆猜想，探索“一线三等角”基本图形，培养学生合作交流、逻辑推理的能力；让学生在解决相关问题时感受几何基本模型对几何学习的重要性.（3）情感态度与价值观：在学习活动中积累对数学的兴趣，培养与同学的交往、合作意识，在动手动脑的过程中发展想象力，体会模型思想、转化思想、分类讨论思想和数形结合思想；提高解题技巧，提升数学核心素养.2.教学重点和难点（1）教学重点①识别“一线三等角”模型的基本特征，并应用“一线三等角”模型解决相关问题；②构造“一线三等角”模型，解决复杂的几何问题.（2）教学难点构造“一线三等角”模型，并解决较为复杂的几何问题.五、具体教学过程设计1、概述：引导学生回顾一线三等角模型的基本分类：1）全等篇:条件：∠1=∠CPD=∠2,结论：△ACP ≅△BPD 1）全等篇:条件：∠1=∠CPD=∠2,结论：△ACP ≅△BPD同侧锐角直角钝角异侧2）相似篇：条件：∠1=∠CPD=∠2,结论：△ACP∽△BPD同侧锐角直角钝角222111122222211111异侧3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，当∠1=∠2=∠3，且D是BC中点时.结论：△BDE∽△CFD∽△DFE.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.2、模块一三角齐见，模型自现——图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题.（一）典例精讲例1.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG=2，BG＝6，则BE的长为________．222111例1图例2图2.如图，△ABC中，∠B＝∠C＝30°，∠DEF＝30°，且点E为边BC的中点．将∠DEF绕点E旋转，在旋转过程中，射线DE与线段AB相交于点P，射线EF与射线CA相交于点Q，连结PQ．（1）如图1，当点Q 在线段CA 上时，①求证：△BPE ∽△CEQ ；②线段BE ，BP ，CQ 之间存在怎样的数量关系？请说明理由；（2）当△APQ 为等腰三角形时，求BPCQ的值．3、模块二模型隐藏，及时添补——模型隐藏，及时添补，图形中存在“一线二等角”，补上“一等角”构造模型解题；图形中只有直线上一个角，补上“二等角”构造模型解题.（一）知识铺垫找角、定线、构相似如果直线上只有1个角，该角通常是特殊角（30°、45°、60°），就考虑构造同侧型一线三等角，当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角与线段的关系，过C、D 两点作直线l 的垂线是必不可少的.两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。
2024河南中考数学二轮复习微专题 “一线三等角”模型探究系列 课件
模型说明
“一线三等角”模型指的是三个等角的顶点在同一条直线上的模型，也称为“ K
型”相似模型，如图， ∠ = ∠ = ∠ .
特别地，当 ∠ = ∠ = ∠ = 90∘ 时，该模型是“一线三直角”模型.
模型类别及相关结论
型:三等角在直线同侧
△ 是等腰三角形时， 的长为____________．源自 7.图（1）图（2）
图（3）
（1）探索发现
如图（1），在 △ 中，点 在边 上， △ 与 △ 的面积分别记
1
为 1 与 2 ，试判断 与 的数量关系，并说明理由.
2
[答案]
______，
= + ③____.
重要结论：
1. △ ∼△ ;
2.若 = ,则 △ ≌△ .
强化训练
1.[2023山东东营] 如图， △ 为等边三角形，点 ，
分别在边 ， 上， ∠ = 60∘ .若 = 4 ，
论：①等边三角形 的边长为4； ② =
1
−
2
①③
③ = 1 ．其中正确的是______（填序号）.
（第4题）
− 4 ，其中 0 < < 4 ；
5.如图，正方形 的边长为4，点 为 边上一点，且
= 1.5 ，点 为 边上一动点，连接 ，以 为边向右
∠ = ∠ = 90∘ ，试判断 ， ， 三条线段之间的数量关系.
小东利用一对全等三角形，经过推理使问题得以解决.
填空：
△ ≌△
①图（2）中的一对全等三角形为________________；
(完整版)一线三等角专题训练
一线三等角问题一、问题引入如图，ABC ∆中，90B ∠=︒，CD AC ⊥，过D 作DE AB ⊥交BC 延长线与E 。
求证：△ABC ∽△CEDB EADC其他常见的一线三等角图形（等腰三角形中底边上一线三等角） （等腰梯形中底边上一线三等角）AB DCEF（直角坐标系中一线三等角） （矩形，正方形中一线三等角） （1）等腰三角形中一线三等角例1、 如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ． （1）求证：△DBE ∽△ECF ；（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；（3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．FD CD (备用图)（1、 本题中，第一问的结论是这类题共同的特性，只要等腰三角形底边上有三等角，必有三角形相似；（2、 第二问中根据相似求线段的长，也很常见；有时候会反过来问，线段的长是多少时，三角线相似。
变式练习1就是这类题型；（3、 第三问，中间的三角形与左右两个形似时，有两种情况，一种是DF 与底边平行，一种是E 为中点；（4、 在等腰梯形中，将腰延长会交于一点，也构成等腰三角形，故而以上三点，在等腰梯形中也适用。
变式练习1 （浦东新区22题）如图，已知等边△ABC 的边长为8，点D 、F 、E 分别在边AB 、BC 、AC 上，3BD =，E 为AC 中点，当△BPD 与△PCE 相似时，求BP 的值.变式练习2（宝山22题）如图6，已知ΔABC 中，AB AC =,点E 、F 在边BC 上，满足∠EAF =∠C .求证：2BF CE AB ⋅=；FE CBA（图6）（2）等腰梯形中一线三等角例2.（长宁区18题）如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2AD =，42BC =，∠45B =˚，直角三角板含45度角的顶点E 在边BC 上移动，一直角边始终经过点A ，斜边与CD 交于点F .若△ABE 为等腰三角形，则CF 的长等于 .\第18题EFDCBA例3（徐汇区25）．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，6AB CD BC ===，3AD =．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交腰AB 于点E ，射线MF 交腰CD 于点F ，联结EF ．（1）求证：△MEF ∽△BEM ；（2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长； （3）若EF CD ⊥，求BE 的长．例4、（杨浦区基础考）四边形ABCD 中，AD ∥BC ，()090ABC αα∠=<<，3AB DC ==，5BC =．点P 为射线BC 上动点（不与点B 、C 重合），点E 在直线DC 上，且APE α∠=．记1PAB ∠=∠，2EPC ∠=∠，BP x =，CE y =．（1）当点P 在线段BC 上时，写出并证明1∠与2∠的数量关系； （2）随着点P 的运动，（1）中得到的关于1∠与2∠的数量关系，是否改变？若认为不改变，请证明；若认为会改变，请求出不同于（1）的数量关系，并指出相应的x 的取值范围； （3）若cos α=13，试用x 的代数式表示y ．（3）坐标系中一线三等角例5．（金山区24）如图，住平面直角系中，直线AB ：()440y x a a=+≠分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点，直线AE 分别交x 轴、y 轴于E 、A 两点，D 是x 轴上的一点，OA OD =，过D 作CD ⊥x 轴交AE 于C ，连接B C ，当动点B 在线段OD 上运动（不与点O 点D 重合）且AB BC ⊥时(1)求证：ABO ∆∽BCD ∆；(2)求线段CD 的长（用a 的代数式表示）； (3)若直线AE 的方程是1316y x b =-+，求tan BAC ∠的值．变式练习3、在平面直角坐标系XOY 中，AOB ∆的位置如图所示，已知0060,90=∠=∠A AOB ,点A 的坐标为()1,3-（1） 求点B 的坐标；（2） 若抛物线c bx ax y ++=2经过A 、O 、B 三点，求函数解析式。
一线三等角模型证相似(解析版)九年级数学下册常考点微专题提分精练(人教版)
专题13 一线三等角模型证相似1．如图，在边长为9cm 的等边ABC ∆中，D 为BC 上一点，且3BD cm =，E 在AC 上，60ADE ∠=︒，则AE 的长为( )cm ．A ．B ．C ．7D ．6【解答】解：ABC ∆是等边三角形，9AB BC AC cm ∴===，60B C ∠=∠=︒，180120BAD ADB B ∴∠+∠=︒-∠=︒，60ADE ∠=︒，180120ADB EDC ADE ∴∠+∠=︒-∠=︒，BAD EDC ∴∠=∠，ABD DCE ∴∆∆∽， ∴AB BD DC CE =， ∴9393CE=-， 2CE ∴=，7()AE AC CE cm ∴===，故选：C ．2．如图，边长为8cm 的正方形ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中E 、F 、G 分别在AB 、BC 、FD 上，若2BF cm =，则小正方形的面积等于 2254cm ．【解答】解：正方形ABCD 的边长为8cm ，2BF cm =，6CF cm ∴=四边形ABCD 和EFGH 均为正方形90B C EFG ∴∠=∠=∠=︒90BEF BFE ∴∠+∠=︒，90CFD BFE ∠+∠=︒BEF CFD ∴∠=∠BEF CFD ∴∆∆∽ ∴BE CF BF CD = ∴628BE = 32BE ∴= ∴小正方形的面积等于：222EF BE BF =+944=+ 225()4cm = 故答案为：2254cm ． 三．解答题（共15小题）3．已知等边ABC ∆，E ，F 分别在边AB 、AC 上，将AEF ∆沿EF 折叠，A 点落在BC 边上的D 处．（1）求证：BED CDF ∆∆∽；（2）若2CD BD =时，求ED DF．【解答】解：（1）证明：等边ABC ∆60A B C ∴∠=∠=∠=︒将AEF ∆沿EF 折叠，A 点落在BC 边上的D 处．60EDF A ∴∠=∠=︒180********BED BDE B ∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒180********BDE CDF EDF ∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒BED CDF ∴∠=∠又B C ∠=∠BED CDF ∴∆∆∽；（2）2CD BD =∴设1BD =，则2CD =，翻折，∴设ED AE x ==，DF AF y ==3AB BC AC ∴===，3BE x =-，3CF y =-BED CDF ∆∆∽ ∴ED BD BE DF CF DC == ∴1332x x y y -==- 由13x y y=-得： 31x y x =+① 由32x x y -=得： 23x y x =-② 由①②解得：75x =，74y = ∴45x y = ∴45ED DF =． 4．如图有一块三角尺，Rt ABC ∆，90C ∠=︒，30A ∠=︒，6BC =，用一张面积最小的正方形纸片将这个三角尺完全覆盖．求出这个正方形的面积．【解答】解：90C ∠=︒，30A ∠=︒，6BC =，212AB BC ∴==，AC ∴=，四边形AFED 是正方形，90F E ∴∠=∠=︒，AF FE =，90FAC FCA ∴∠+∠=︒，90C ∠=︒，90FCA BCE ∴∠+∠=︒，FAC BCE ∴∠=∠，AFC CEB ∴∆∆∽， ∴AF AC CE CB =，∴AF CE=设AF x =，则CE =，FC x ∴=， 222AF FC AC +=，222)x ∴+=， 2268237x ∴=，答：这个正方形的面积为：226837+ 5．已知：如图，ABC ∆是等边三角形，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，60ADE ∠=︒． （1）求证：ABD DCE ∆∆∽；（2）如果3AB =，23EC =，求DC 的长．【解答】（1）证明：ABC ∆是等边三角形，60B C ∴∠=∠=︒，AB AC =，B BAD ADE CDE ∠+∠=∠+∠，60B ADE ∠=∠=︒，BAD CDE ∴∠=∠ABD DCE ∴∆∆∽；（2）解：由（1）证得ABD DCE ∆∆∽， ∴BD CE AB DC=， 设CD x =，则3BD x =-， ∴2333x x-=， 1x ∴=或2x =，1DC ∴=或2DC =．6．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，5AD =，P 是边BC 上的任意一点(P 与B 、C 不重合），作PE AP ⊥，交CD 于点E ．（1）判断ABP ∆与PCE ∆是否相似，并说明理由．（2）连接BD ，若//PE BD ，试求出此时BP 的长．【解答】解：（1）ABP ∆与PCE ∆相似，理由如下：四边形ABCD 是矩形，90B C ∴∠=∠=︒，90BAP BPA ∴∠+∠=︒，PE AP ⊥，90CPE BPA ∴∠+∠=︒，BAP CPE ∴∠=∠，ABP PCE ∴∆∆∽；（2）连接BD ，如图所示：由（1）知ABP PCE ∆∆∽，∴AB BP PC CE =， ∴AB PC BP CE=， //PE BD ， ∴CP CE CB CD =， ∴PC CB CE CD=， ∴AB CB BP CD=， 在矩形ABCD 中，3AB =，5AD =，3CD AB ∴==，5CB AD ==，95AB CD BP CB ⋅∴==．7．如图1，在ABC ∆中，AB AC ==，cos B =D 在BC 边上从C 向B 运动．以D 为顶点作ADE B ∠=∠，射线DE 交AB 边于点E ，过点A 作AF AD ⊥交射线DE 于点F ，连接CF ．（1）求证：ACD DBE ∆∆∽．（2）当AD CD =时（如图2)，求AD 和EF 的长．（3）设点D 在BC 边上从C 向B 运动的过程中，直接写出点F 运动的路径长．【解答】（1）证明：AB AC =，B C ∴∠=∠， 又ADE B ∠=∠，ADE B C ∴∠=∠=∠，180B BDE BED ∠+∠+∠=︒，180ADC ADE BDE ∠+∠+∠=︒，BED ADC ∴∠=∠，ACD DBE ∴∆∆∽；（2）解：如图，过点D 作DH AC ⊥交AC 于点H ，AD CD =，AB AC ==，12CH AH AC ∴===cos B =B C ∠=∠， cos CH B CD∴=，6cos CH CD B ∴===，6AD =， AF AD ⊥，90FAD ∴∠=︒，ADE B ∠=∠，6cos ADE DF ∴∠==，DF ∴=由（1）得ACD DBE ∆∆∽， ∴DE BD AD AC =，∴6DE =，DE ∴=， 过点A 作AM BC ⊥于点M ，cos BM B AB ∴=，∴=， 4BM ∴=，28BC BM ∴==，862BD BC CD ∴=-=-=，DE ∴=EF DF DE ∴=-==，6AD ∴=，EF =（3）解：F 点随着D 点的运动而运动，D 在线段BC 上， F ∴点的轨迹也是一条线段，如图，当D 与C 点重合时，F 点在1F 的位置，190CAF ∠=︒，当D 点与B 点重合时，F 点在2F 的位置，290BAF ∠=︒，12F F 为F 点的运动路径， 12F AF CAB ∴∠=∠， 4AC =，cos B =ABC C ∠=∠，1cos AC C CF ∴=1 112CF ∴=，在1Rt ACF ∆中，1AF ==ADF B ∠=∠，2cos cos ABF B ∴∠==22cos AB ABF BF ∠==，2212BF ∴=，2AF =，21AF AF ∴=，△12AF F 是等腰三角形，12F AF CAB ∠=∠，△12AF F 与CAB ∆都是等腰三角形，∴△12AF F ACB ∆∽， ∴121F F AF BC AC=， 由（2）得8BC =，∴128F F =，12F F ∴=∴点F 运动的路径长为8．在ABC ∆中，点E 、F 在边BC 上，点D 在边AC 上，连接ED 、DF ，AB m AC=，120A EDF ∠=∠=︒ （1）如图1，点E 、B 重合，1m =时①若BD 平分ABC ∠，求证：2CD CF CB =⋅；②若213CF BF =，则AD CD = 12或23； （2）如图2，点E 、B 不重合．若BE CF =，AB DF m AC DE ==，37BE EF =，求m 的值．【解答】解：（1）①1AB m AC==， AB AC ∴=， BD 平分ABC ∠，ABD DBF ∴∠=∠，BDC A ABD BDF CDF ∠=∠+∠=∠+∠，且120A BDF ∠=∠=︒， ABD CDF DBF ∴∠=∠=∠，且C C ∠=∠，CDF CBD ∴∆∆∽， ∴CD CF BC CD=， 2CD BC CF ∴=⋅；②如图1，过A 作AG BC ⊥于G ，过F 作FH BC ⊥，交AC 于H ，30C ∠=︒，2CH FH ∴=，设2FH a =，4CH a =，则CF =，213CF BF =，BC ∴=， 152CG =， 152AG a ∴=，15AC a =， 11AH a ∴=，120BAD BDF DHF ∠=∠=∠=︒，18012060ADB FDH ADB ABD ∴∠+∠=∠+∠=︒-︒=︒， ABD FDH ∴∠=∠，ABD HDF ∴∆∆∽，∴AB AD HD FH =，即152a AD DH a=， 设AD x =，则11DH a x =-，230(11)a x a x ∴=-，2211300x ax a -+=，(5)(6)0x a x a --=，5x a =或6a ，∴51102AD a CD a ==或6293AD a CD a ==， 故答案为：12或23； （2）如图2，过E 作//EH AB ，交AC 于H ，过D 作DM EH ⊥于M ，过F 作//FG ED ，交AC 于G ，BE CF =，37BE EF =， ∴37CF EF =， //FG ED ， ∴37CF CG EF DG ==， ∴设3CG a =，7DG a =，AB DF m AC DE==，120A EDF ∠=∠=︒， ABC DFE ∴∆∆∽，DEC C ∴∠=∠，10DE DC a ∴==，//FG DE ，GFC DEF C ∴∠=∠=∠，3FG CG a ∴==，同理由（1）得：EHD DFG ∆∆∽， ∴ED DH DG FG =，即1073a DH a a=， 307a DH =， Rt DHM ∆中，60DHM ∠=︒，30HDM ∴∠=︒，11527a HM DH ∴==，DM ，657EM a ∴=， 651550777EH a a a ∴=-=， 5017302107a AB EH m AC CH a a ∴====+．9．已知：在EFG ∆中，90EFG ∠=︒，EF FG =，且点E ，F 分别在矩形ABCD 的边AB ，AD 上．（1）如图1，填空：当点G 在CD 上，且1DG =，2AE =，则EG（2）如图2，若F 是AD 的中点，FG 与CD 相交于点N ，连接EN ，求证：AEF FEN ∠=∠；（3）如图3，若AE AD =，EG ，FG 分别交CD 于点M ，N ，求证：2MG MN MD =⋅．【解答】（1）解：90EFG ∠=︒，90AFE DFG ∴∠+∠=︒，90AEF AFE ∠+∠=︒，AEF DFG ∴∠=∠，又90A D ∠=∠=︒，EF FG =，()AEF DFG AAS ∴∆≅∆， 2AE FD ∴==，FG ∴=EG ∴=，（2）证明：延长EA 、NF 交于点M ，点F 为AD 的中点，AF DF ∴=，//AM CD ，M DNF ∴∠=∠，MAD D ∠=∠，()MAF NDF AAS ∴∆≅∆，MF FN ∴=，EF MG ⊥，ME GE ∴=，MEF FEN ∴∠=∠；（3）证明：如图，过点G 作GP AD ⊥交AD 的延长线于P ，90P ∴∠=︒，同（1）同理得，()AEF PFG AAS ∆≅∆，AF PG ∴=，PF AE =，AE AD =，PF AD ∴=，AF PD ∴=，PG PD ∴=，90P ∠=︒，45PDG ∴∠=︒，45MDG ∴∠=︒，在Rt EFG ∆中，EF FG =，45FGE ∴∠=︒，FGE GDM ∴∠=∠，GMN DMG ∠=∠，MGN MDG ∴∆∆∽， ∴MG MN DM MG=， 2MG MN MD ∴=⋅．10．在ABC ∆中，BA BC =，(0180)ABC αα∠=︒<<︒，点P 为直线BC 上一动点（不与点B 、C 重合），连接AP ，将线段AP 所在的直线绕点P 顺时针旋转α得到直线PM ，再将线段AC所在的直线绕点C 顺时针旋转α得到直线CN ，直线PM 与直线CN 相交于点Q ．（1）当点P 在线段BC 上，当60α=︒时，如图1，直接判断BP CQ 的大小； （2）当点P 在线段BC 上，当BC k AC=时，如图2，试判断线段BP CQ 的大小，并说明理由；（3）当点P 在直线BC 上，当90α=︒，AC =17AP =时，请利用备用图探究PCQ ∆面积的大小（直接写出结果即可）．【解答】解：（1）如图1，连接AQ ，BA BC =，60ABC α∠==︒，ABC ∴∆是等边三角形，60BAC ACB ABC ∴∠=∠=∠=︒，将线段AP 所在的直线绕点P 顺时针旋转α得到直线PM ，再将线段AC 所在的直线绕点C 顺时针旋转α得到直线CN ，60APQ ACQ ∴∠=∠=︒，∴点A ，点P ，点C ，点Q 四点共圆，60AQP ACB ∴∠=∠=︒，APQ ∴∆是等边三角形，AP AQ ∴=，60PAQ ∠=︒，BAC PAQ ∴∠=∠，BAP CAQ ∴∠=∠，()BAP CAQ SAS ∴∆≅∆，BP CQ ∴=，∴1BP CQ=； （2）BP k CQ =，理由如下： 如图2，连接AQ ，BA BC =，ABC α∠=，1802ACB BAC α︒-∴∠=∠=， 将线段AP 所在的直线绕点P 顺时针旋转α得到直线PM ，再将线段AC 所在的直线绕点C 顺时针旋转α得到直线CN ，APQ ACQ α∴∠=∠=，∴点A ，点P ，点C ，点Q 四点共圆，1802AQP ACB α︒-∴∠=∠=， 1802PAQ BAC α︒-∴∠==∠， BAP CAQ ∴∠=∠，又ABC ACQ α∠=∠=，ABP ACQ ∴∆∆∽， ∴AB BC BP k AC AC CQ===； （3）817AC AP =<=， ∴点P 不在线段BC 上，当点P 在点C 的右侧时，如图3，过点Q 作QH BC ⊥于H ，AB BC =，90ABC ∠=︒，AC =8AB BC ∴==，45ACB ∠=︒，15BP ∴==，7CP ∴=，90ACQ ∠=︒，45ACB ∠=︒，45QCH ∴∠=︒，由（2）可知AB BP AC CQ =， ∴15CQ=，CQ ∴=45QCH ∠=︒，QH BH ⊥，15CH QH ∴==，11105715222CPQ S CP QH ∆∴=⨯⨯=⨯⨯=； 当点P 在点B 的左侧时，如图4，过点Q 作QH BC ⊥于H ，AB BC =，90ABC ∠=︒，AC =8AB BC ∴==，45ACB ∠=︒，15BP ∴==，23CP ∴=，90ACQ ∠=︒，45ACB ∠=︒，45QCH ∴∠=︒，由（2）可知AB BP AC CQ =， ∴15CQ=，CQ ∴=45QCH ∠=︒，QH BH ⊥，15CH QH ∴==，113452315222CPQ S CP QH ∆∴=⨯⨯=⨯⨯=； 综上所述：PCQ ∆面积为1052或3452． 11．如图，在ABC ∆中，已知5AB AC ==，6BC =，且ABC DEF ∆≅∆，将DEF ∆与ABC ∆重合在一起，ABC ∆不动，DEF ∆运动，并满足：点E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动，且DE 始终经过点A ，EF 与AC 交于M 点．（1）求证：ABE ECM ∆∆∽；（2）当DE BC ⊥时，①求CM 的长；②直接写出重叠部分的面积；（3）在DEF ∆运动过程中，当重叠部分构成等腰三角形时，求BE 的长．【解答】（1）证明：AB AC =，B C ∴∠=∠，ABC DEF ∆≅∆， AEF B ∴∠=∠，AEF CEM AEC B BAE ∠+∠=∠=∠+∠，CEM BAE ∴∠=∠，ABE ECM ∴∆∆∽；（2）①当DE BC ⊥时，AB AC =，BAE EAM ∴∠=∠，ABC DEF ∆≅∆，B DEF ∴∠=∠，ABE AEM ∴∆∆∽，∴AB AE AE AM=，90AME AEB ∠=∠=︒， 5AB AC ==，DE BC ⊥，6BC =，132BE EC BC ∴===，在Rt ABE ∆中，4AE ==， ∴544AM=， 165AM ∴=， 169555CM AC AM ∴=-=-=；②在Rt AEM ∆中，125EM =， 11161296225525AEM S AM EM ∆∴=⋅=⨯⨯=， ∴重叠部分的面积为9625； （3）①当AE EM =时，ABE ECM ∆≅∆，5CE AB ==，651BE BC EC ∴=-=-=，②当AM EM =时，则MAE MEA ∠=∠，MAE BAE MEC MEA ∴∠+∠=∠+∠，即CAB CEA ∠=∠， C C ∠=∠，CAE CBA ∴∆∆∽， ∴CE AC AC CB=， ∴2256AC CE CB ==， ∴2511666BE BC EC =-=-=； ③当AE AM =时，点E 与点B 重合，即0BE =，此时重叠部分图形不能构成三角形； 1BE ∴=或116．12．如图，直线y =+0)y x =>的交点为A ，与x 轴的交点为B ．（1）求ABO ∠的度数；（2）求AB 的长；（3）已知点C 为双曲线0)y x =>上的一点，当60AOC ∠=︒时，求点C 的坐标．【解答】解：（1）设直线y =+y 轴交于点D ，如图所示：当0x =时，y =D ．当0y =时，1x =-，即点(1,0)B -．∴1OD BO ==．∴tan DO ABO BO∠=60ABO ∴∠=︒．（2）过点A 作AE x ⊥轴，垂足为E ，如图所示．设点A坐标为：(m ．且0m >． OE m ∴=，AE =． //DO AE ． BDO BAE ∴∆∆∽． ∴BO DO BE AE=．即：11m =+． 1m ∴=或2m =-（舍)．∴A ．∴4AB ==． 即：4AB =．（3）过C 作60CFO ∠=︒，点F 在x 轴上，再过点C 作CH OF ⊥于H 点，如图所示．设(C a ，0a >．∴,OH a CH ==．∴4sin sin60CH aCFCFO a ===∠︒．∴2 HFa=．∴2OF aa=+．AOF AOC COF∠=∠+∠，且AOF∠是ABO∆一内角的外角．BAO COF∴∠=∠．ABO OFC∴∆∆∽．∴AB BOOF CF=即：4124aa a=+．∴a=a >．∴a∴C．13．【感知】如图①，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF DE⊥交BC于点F．易证：AED BFE∆∆∽．（不需要证明）【探究】如图②，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF DE⊥交BC 于点F．（1）求证：AED BFE∆∆∽．（2）若10AB=，6AD=，E为AB的中点，求BF的长．【应用】如图③，在ABC∆中，90ACB∠=︒，AC BC=，4AB=．E为AB边上一点（点E不与点A、B重合），连结CE，过点E作45CEF∠=︒交BC于点F．当CEF∆为等腰三角形时，BE的长为【解答】【探究】（1）证明：四边形ABCD是矩形，90A B∴∠=∠=︒，90ADEAED∴∠+∠=︒，DE EF ⊥，90DEF ∴∠=︒， 90BEF AED ∴∠+∠=︒，ADE BEF ∴∠=∠，又A B ∠=∠，AED BFE ∴∆∆∽；（2）解：E 为AB 的中点，5AE BE ∴==，由（1）知AED BFE ∆∆∽，∴AD AEBE BF =， 即655BF=， 256BF ∴=； 【应用】解：如果CE CF =，则45CEF CFE ∠=∠=︒，90ECF ∠=︒，则点E 与点A 重合，点F 与点B 重合，不符合题意， ②如果CE EF =，则1804567.52ECF EFC ︒-︒∠=∠==︒， EFC ∠为BEF ∆的外角， EFC B BEF ∴∠=∠+∠， 90ACB ∠=︒，AC BC =， 45A B ∴∠=∠=︒，67.54522.5BEF EFC B ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒， 909067.522.5ACE ECF ∠=︒-∠=︒-︒=︒，ACF BEF ∴∠=∠，又A B ∠=∠，CE EF =， ()AEC BFE AAS ∴∆≅∆， BE AC ∴=，90ACB ∠=︒，AC BC =，4AB =，2AC AB ∴==，BE ∴=如果CF EF =，则45CEF ECF ∠=∠=︒， 90CFE ∴∠=︒，在BEC ∆中，45B BCE ∠=∠=︒， 90BEC ∴∠=︒， CE AB ∴⊥，又AC BC =，∴点E 为AB 的中点，122BE AB ∴==，综上，BE 的长为2，故答案为：2．14．如图1，已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN 上，E 是射线BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ． （1）连接FC ，观察并猜测tan FCN ∠的值，并说明理由；（2）如图2，将图1中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB m =，(BC n m =，n 为常数），E 是射线BC 上一动点（不含端点)B ，以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上，当点E 沿射线CN 运动时，请用含m ，n 的代数式表示tan FCN ∠的值．【解答】解： （1）tan 1FCN ∠=，理由是：如图1，作FH MN ⊥于H ，90AEF ABE ∠=∠=︒，90BAE AEB ∴∠+∠=︒，90FEH AEB ∠+∠=︒，FEH BAE ∴∠=∠，在EHF ∆和ABE ∆中 EHF ABE FEH BAE EF AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()EHF ABE AAS ∴∆≅∆，FH BE ∴=，EH AB BC ==，CH BE FH ∴==， 90FHC ∠=︒，tan 1FHFCH CH∴∠==；（2）如图（2）作FH MN ⊥于H ．由已知可得90EAG BAD AEF ∠=∠=∠=︒， 结合（1）易得FEH BAE DAG ∠=∠=∠， 又G 在射线CD 上，90GDA EHF EBA ∠=∠=∠=︒，在EFH ∆和AGD ∆中 FHE GDA FEH DAG EF AG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()EFH AGD AAS ∴∆≅∆，BAE FEH ∠=∠，ABE FHE ∠=∠， EFH AEB ∴∆∆∽，EH AD BC n ∴===，CH BE ∴=，∴EH FH FHAB BE CH==， ∴在Rt FEH ∆中，tan FH EH nFCN CH AB m∠===， ∴当点E 沿射线CN 运动时，tan n FCN m∠=． 15．如图1，在矩形ABCD 中，8AB =，10BC =，点M 是BC 边上的动点，点M 从点B 出发，运动到点C 停止，N 是CD 边上一动点，在运动过程中，始终保持AM MN ⊥，设BM x =，CN y =．（1）直接写出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围 010x ；（2）先完善表格，然后在平面直角坐标系中（如图2)利用描点法画出此抛物线，直接写出m = ；；并写出在整个运动过程中，点N 运动的总路程 ．【解答】解：（1）四边形ABCD 是矩形， 908B C AB CD ∴∠=∠=︒==， 90BAM AMB ∴∠+∠=︒， AM MN ⊥， 90AMN ∴∠=︒， 90AMB CMN ∴∠+∠=︒， BAM CMN ∴∠=∠， ABM MCN ∴∆∆∽，∴AB MCBM CN=， ∴810xx y-=， 21584y x x ∴=-+，10BC =，点M 是BC 边上的动点，点M 从点B 出发，运动到点C 停止，010x ∴，故答案为：010x ；（2）当5x =时，代入21584y x x =-+中得：2152555848y =-⨯+⨯=， 故答案为：258，画出的抛物线如图所示：（3）21584y x x =-+，2215125(5)8488y x x x ∴=-+=--+， 108a =-<，∴当5x =时，y 最大258=， ∴当CN 达到最大值时，BM 的值是5；2525284⨯=， ∴在整个运动过程中，点N 运动的总路程为254， 故答案为：5，254． 16．【基础巩固】（1）如图1，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，直线l 过点C ，分别过A 、B 两点作AE l ⊥，BD l ⊥，垂足分别为E 、D ．求证：BDC CEA ∆∆∽． 【尝试应用】（2）如图2，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是BC 上一点，过D 作AD 的垂线交AB 于点E ．若BE DE =，4tan 5BAD ∠=，20AC =，求BD 的长．【拓展提高】（3）如图3，在平行四边形ABCD 中，在BC 上取点E ，使得90AED ∠=︒，若AE AB =，43BE EC =，CD =ABCD 的面积．【解答】（1）证明：90ACB ∠=︒， 90BCD ACE ∴∠+∠=︒， AE CE ⊥， 90AEC ∴∠=︒， 90ACE CAE ∴+∠=︒． BCD CAE ∴∠=∠．BD DE ⊥，90BDC ∴∠=︒， BDC AEC ∴∠=∠． BDC CEA ∴∆∆∽．（2）解：过点E 作EF BC ⊥于点F ．由（1）得EDF DAC ∆∆∽．∴DE DFDA AC=． AD DE ⊥，4tan 5BAD ∠=，20AC =，∴4520DF=， 16DF ∴=．BE DE =， BF DF ∴=．232BD DF ∴==．（3）解：过点A 作AM BC ⊥于点M ，过点D 作DN BC ⊥的延长线于点N ．90AMB DNC ∴∠=∠=︒．四边形ABCD 是平行四边形， //AB CD ∴，AB CD =． B DCN ∴∠=∠．()ABM DCN AAS ∴∆≅∆． BM CN ∴=，AM DN =．AB AE =，AM BC ⊥， BM ME ∴=，43BE EC =， 设AM b =，4BE a =，3EC a =． 2BM ME CN a ∴===，5EN a =． 90AED ∠=︒，由（1）得AEM EDN ∆∆∽．∴AM ENME DN =， ∴25b aa b=，∴b ，CD =22(2)14a b ∴+=，1a ∴=，b∴平行四边形ABCD 的面积172BC DN a b =⨯⨯=⨯= 17．感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，90BAD ACB AED ∠=∠=∠=︒，由12180BAD ∠+∠+∠=︒，2180D AED ∠+∠+∠=︒，可得1D ∠=∠；又因为90ACB AED ∠=∠=︒，可得ABC DAE ∆∆∽，进而得到BCAC=AE DE .我们把这个模型称为“一线三等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，如图，在ABC ∆中，10AB AC ==，12BC =，点P 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），点D 是AC 边上的一个动点，且APD B ∠=∠． ①求证：ABP PCD ∆∆∽；②当点P 为BC 中点时，求CD 的长；拓展：（3）在（2）的条件下，如图2，当APD ∆为等腰三角形时，请直接写出BP 的长．【解答】（1）解：ABC DAE ∆∆∽，∴BC ACAE DE =， ∴BC AEAC DE=， 故答案为：AEDE； （2）①证明：AB AC =，B C ∴∠=∠，APC B BAP ∠=∠+∠，APC APD CPD ∠=∠+∠，APD B ∠=∠， BAP CPD ∴∠=∠， B C ∠=∠， ABP PCD ∴∆∆∽；②解：12BC =，点P 为BC 中点， 6BP PC ∴==， ABP PCD ∆∆∽，∴AB BPPC CD=，即1066CD =， 解得： 3.6CD =；（3）解：当PA PD =时，ABP PCD ∆≅∆， 10PC AB ∴==，12102BP BC PC ∴=-=-=；当AP AD =时，ADP APD ∠=∠，ADP B C ∠=∠=∠， ADP C ∴∠=∠，不合题意， AP AD ∴≠；当DA DP =时，DAP APD B ∠=∠=∠， C C ∠=∠，BCA ACP ∴∆∆∽， ∴BC AC AC CP =，即121010CP=， 解得：253CP =， 25111233BP BC CP ∴=-=-=， 综上所述：当APD ∆为等腰三角形时，BP 的长为2或113．。
中考数学复习 一线三等角模型(含解析)
中考数学复习一线三等角模型（含解析）1.如图，点B，C，E在同一条直线上，∠B＝∠E＝∠ACF＝60°，AB＝CE，则与线段BC相等的线段是()A.ACB.AFC.CFD.EF第1题图2.如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝2，CD＝1，则△ABC 的边长为()A.3B.4C.5D.6第2题图3.如图，A、B、C是直线l上的三个点，∠DAB＝∠DBE＝∠ECB＝α，且DB＝BE.若α＝120°，点F在直线l的上方，连接AF、BF、CF，△BEF为等边三角形，则可判断△ACF的形状为()A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰或等边三角形D.无法确定第3题图4.如图，在△ABC中，点D是BC上一点，连接AD，点E是AD上一点，连接BE，若∠BAC＝∠BED，∠BAC＋∠ADC＝180°，AE＝1，BE＝CD＝2，则DE的长是________．第4题图5.如图，点E,F,G分别在正方形ABCD的边AB,BC,AD上，AF⊥EG.若AB＝5,AE＝DG＝1,则BF＝________．第5题图6.如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是∠ACB内部一点，连接CD，作AD⊥CD，BE⊥CD，垂足分别为点D，E.若BE＝DE＝2，则△ACD的周长是________．第6题图7.如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动(点D不与点B、C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°.(1)当∠BDA＝115°时，∠AED＝________°；(2)当CD＝________时，△ABD≌△DCE.第7题图8.已知，在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上．(1)如图①，当点G在CD上时，求证：△AEF≌△DFG；(2)如图②，若F是AD的中点，FG与CD相交于点N，连接EN，求证：EN＝AE＋DN；(3)如图③，若AE＝AD，EG，FG分别交CD于点M，N，MN＝2，MD＝3，求MG的长．第8题图微专题一线三等角模型1.D 【解析】∵∠ACE ＝∠B ＋∠CAB ＝∠ACF ＋∠ECF ，∠B ＝∠E ＝∠ACF ＝60°，∴∠ECF ＝∠CAB ，∵AB ＝CE ，∴△ABC ≌△CEF (ASA)，∴BC ＝EF .2.B 【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ，∠B ＝∠C ＝60°，∴∠BAP ＋∠APB ＝180°－60°＝120°，∵∠APD ＝60°，∴∠APB ＋∠DPC ＝180°－60°＝120°，∴∠BAP ＝∠DPC ，∴△ABP ∽△PCD ，∴AB PC ＝BP CD ，即AB AB －2＝21，∴AB ＝4，即△ABC 的边长为4.3.B 【解析】∵△BEF 为等边三角形，∴BF ＝EF ，∠BFE ＝∠FBE ＝∠FEB ＝60°.∵∠DBE ＝120°，∴∠DBF ＝60°.∵∠DAB ＝∠DBE ＝α，∴∠ADB ＋∠ABD ＝∠CBE ＋∠ABD ＝180°－α.∴∠ADB ＝∠CBE .在△ADB 和△CBE DAB ＝∠BCEADB ＝∠CBE ＝BE，∴△ADB ≌△CBE (AAS)，∴∠ABD ＝∠CEB ，∴∠ABD ＋∠DBF＝∠CEB ＋∠FEB ，∴∠ABF ＝∠CEF .又∵AB ＝CE ，∴△AFB ≌△CFE (SAS)，∴AF ＝CF ，∠AFB ＝∠CFE ，∴∠AFC ＝∠AFB ＋∠BFC ＝∠CFE ＋∠BFC ＝60°，∴△ACF 为等边三角形．4.3【解析】如解图，延长AD 至点F ，∵∠BAC ＝∠BED ，∠BAC ＋∠ADC ＝180°，∴∠BAC ＝∠BED ＝∠FDC ，∵∠FDC ＝∠ACD ＋∠DAC ，∠BAC ＝∠BAE ＋∠DAC ，∴∠ACD ＝∠BAE ，∵∠BED ＝∠ABE ＋∠BAE ，∴∠DAC ＝∠EBA ，∴△ACD ∽△BAE ，∴CD AE ＝AD BE，∵AE ＝1，BE ＝CD ＝2，∴AD ＝4，∴DE ＝AD －AE ＝3.第4题解图5.54【解析】如解图，设AF 与EG 交于点H ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD ＝∠B ＝90°，∠FAB＋∠GAH ＝90°.∵AF ⊥EG ，∴∠AGE ＋∠GAH ＝90°.∴∠AGE ＝∠FAB .∴△ABF ∽△GAE ，∴AB GA ＝BF AE，∵AB ＝5，AE ＝GD ＝1，∴AG ＝AD －GD ＝5－1＝4，∴54＝BF 1，解得BF ＝54.第5题解图6.6＋25【解析】∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC＋∠BCE＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠ACD.在△BCE和△CAD E＝∠ADC，EBC＝∠DCA，＝CA，∴△BCE≌△CAD(AAS)，∴CE＝AD，BE＝CD＝2，∴AD＝BE＋DE＝4，由勾股定理得AC＝CD2＋AD2＝25，∴△ACD的周长为25＋2＋4＝6＋25.7.(1)65【解析】∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝40°，∵∠ADE＝40°，∠BDA＝115°，∴∠EDC＝180°－∠BDA －∠ADE＝25°，∴∠AED＝∠EDC＋∠C＝25°＋40°＝65°；(2)2【解析】∵∠C＝∠B＝40°，∴∠DEC＋∠EDC＝140°，又∵∠ADE＝40°，∴∠ADB＋∠EDC＝140°，∴∠ADB＝∠DEC，当DC＝AB时，在△ABD和△DCE ADB＝∠DECB＝∠C＝DC，∴△ABD≌△DCE(AAS)，∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE.8.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AEF＋∠AFE＝90°.∵∠EFG＝90°，∴∠AFE＋∠DFG＝90°，∴∠AEF＝∠DFG，∵EF＝FG，∴△AEF≌△DFG(AAS)；(2)证明：如解图①，延长NF，EA，交点记为点H，∴∠AFH＝∠DFN，∠HAF＝90°.∵F是AD的中点，∴AF＝DF，∴△AHF≌△DNF，∴AH＝DN，FH＝FN.∵∠EFN＝90°，∴△HEN为等腰三角形，∴EH＝EN.∵EH ＝AE ＋AH ＝AE ＋DN ，∴EN ＝AE ＋DN ；第8题解图①(3)解：如解图②，过点G 作GP ⊥AD ，交AD 的延长线于点P ，连接DG ，∴∠P ＝90°，同(1)的方法得，△AEF ≌△PFG ，∴AF ＝PG ，AE ＝PF ，∵AE ＝AD ，∴PF ＝AD ，∴PF －FD ＝AD －FD ，∴PD ＝AF ，∴PG ＝PD .∴∠PDG ＝∠MDG ＝45°，在Rt △EFG 中，EF ＝FG ，∴∠FGE ＝45°，∴∠FGE ＝∠GDM .∵∠GMN ＝∠DMG ，∴△MGN ∽△MDG ，∴MG MD ＝MN MG，∴MG ＝MD ·MN ＝3×2＝ 6.第8题解图②。
培优专题25 相似三角形的一线三等角模型-解析版
培优专题25 相似三角形的一线三等角模型【专题讲解】1.常见基本类型：同侧型（通常以等腰三角形或者等边三角形为背景）异侧型2.模型构造1.图中已存在“一线三等角”，则直接应用模型结论解题.2.图中存在“一线两等角”，补上“一等角”，构造模型解题.3.图中某直线上只存在1个角，补上“两等角”，构造模型解题.如果直线上只有1个角，要补成“一线三等角”时，该角通常是特殊角（30°、45°、60°）特征：构造特殊角的等角时，一般是在“定线”上做含特殊角的直角三角形。
“一线三等角”得到的相似，通常用外边的两等角的两边对应成比例求解长度3.构造步骤：找角——通常找“特殊角”。
如：30°、45°、60°等；特别地：当tanα=1/2、1/3等特定值时，α也可以是特殊角；定线——通常以“水平线”或者“竖直线”为“一线三等角”中的“一线”；特殊角度时也可以是45°等倾斜直线；构相似——通常以“特殊角”为“中间角”，过“中间角”的两边与“一线”的交点构造两个含特殊角的Rt △；例：如右图，当∠ABP=45°时，∵∠ABP 在y 轴上，∴在y 轴上分别构造两个等腰直角三角形△AOE ，△PHG ，则在y 轴上存在∠AEB=∠ABP=∠PBG=45°，∴△AEB ∽△BGP ∴（常用）GPBEBG AE 4.模型特例——K 型图（三垂定理）应用：1.当一个直角放在一条直线上时，通常要构造“K 型图”解题2.当一个直角放在平面直角坐标系中时，亦常构造“K 型图”解题3.由“K 型图”得到的相似比，基本都可以转化成“特定角”的正切值来计算4.“K 型图”常和“A 字图”或“8字图”类的平行相似结合在一起求长度“K 型图”常见构造方法：过直角订单分别作水平或竖直的直线，再过直角两边顶点分别作直线的垂线。
如图：【专题训练】1．（2020·河南郑州·二模）如图，已知矩形ABCD 的顶点B A 、分别落在x 轴y 轴上，4OB OA ==，AB=2BC 则点C 的坐标是（ ）A ．()9,3B ．(9,C ．(4+D ．(2,∵四边形ABCD 是矩形，∴CD=AB ，∠ABC=90°，2．（2020·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，顶点A在反比例函y＝3x（x＞0）上运动，此时顶点B也在反比例函数y＝mx上运动，则m的值为()A．-9B．-12C．-15D．-18【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，求出反比例函数图象上点的坐标是解答前提的关键．3．（2021·浙江·九年级专题练习）如图，正方形ABCD边长为4，边BC上有一点E，以DE为边作矩形EDFG，使FG过点A，则矩形EDFG的面积是（ ）A．B．C．D．16【答案】D【分析】先利用等角的余角证明∠ADF＝∠EDC，再根据相似三角形的判定方法证明△ADF∽△CDE，然后利用相似比计算DF与DE的关系式，最后根据矩形的面积公式求得矩形的面积便可..【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD＝4，∠ADC＝∠C＝90°，∵四边形EDFG为矩形，4．（2020·重庆八中九年级阶段练习）如图，点,D E 是正ABC D 两边上的点，将BDE D 沿直线DE 翻折，点B 的对应点恰好落在边AC 上，当4AC AF =时，BDBE的值是（ ）A ．23B ．34C ．35D ．57【答案】D【分析】先证明ADF CFE D D ∽，再根据相似三角形的周长比等于相似比和折叠的性质进行转化即可求解．【详解】解：设AF =x ，∵ABC D 为等边三角形，∴AC=AB=BC =4x , ∠A =∠B =∠C =60°,CF =3x ∵BDE D 翻折得到FDE D ，∴B D=FD,BE=FE, ∠B=∠DFE =60°，∴∠AFD +∠DFE =∠C +∠FEC ，∴∠AFD=∠CEF ，∴ADF CFE D D ∽，5．（2020·重庆八中九年级阶段练习）如图，点A是双曲线2yx=在第一象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边ABCV，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线kyx=上运动，则k的值为（）A．8-B．6-C．4-D．2-6．（2022·湖北襄阳·一模）如图，ABC V 为等边三角形，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，3BD =，将ADE V 沿直线DE 翻折得到FDE V ，当点F 落在边BC 上，且4BF CF =时，DE AF ⋅的值为______．∵△ABC为等边三角形，∴∠DFE=∠DAE= 60°∴∠CFE+∠FEC=∠CFE7．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，在边长为6的等边△ABC 中，D 是边BC 上一点，将△ABC 沿EF 折叠使点A 与点D 重合，若BD : DE =2 : 3，则CF=____．【答案】2.4【分析】根据折叠的性质可得∠EDF =∠A ，DF =AF ，再由等边三角形的性质可得∠EDF =60°，8．（2021·安徽·淮北市烈山区淮选学校九年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，点E、F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，则y关于x的函数关系式为________9．（2019·浙江·九年级期末）已知ABC V 是等边三角形，6AB =，点D ，E ，F 点分别在边,,AB BC AC 上，:2:3BD BE =，DE 同时平分BEF Ð和BDF Ð，则BD 的长为_____．上一点，2⊥于点F，与BD交于点G，则EF的长是______．OE=，连接BE，过点A作AF BE11．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，四边形ABCD 是矩形，点P 是对角线AC 上一动点（不与A 、C 重合），连接PB ，过点P 作PE PB ^，交射线DC 于点E ，已知3AD =，5AC =．设AP 的长为x ．(1)AB =___________；当1x =时，PE PB=_________；(2)试探究：否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；(3)当PCE V 是等腰三角形时，请求出x 的值．Q 四边形ABCD 是矩形，3BC AD \==，5AC =，90ABC Ð=2222534AB AC BC \=-=-=．在Rt APM △中，1PA =，35PM =，165BM AB AM \=-=，=，90Q，所以只能EP EC PECÐ>°\Ð=Ð，EPC ECPQ，Ð=Ð=°90BPE BCE\Ð=Ð，BPC BCP\=，BP BC=．Q，所以只能CP CEÐ>°PCE90\Ð=Ð，CPE EÐ=ÐQ，PGB CGEÐ=Ð=°90GPB GCE\Ð=Ð=Ð，PBG E CPEÐ+Ð=Q，APB CPEÐ+Ð=°ABP PBC9012．（2022·上海·七年级专题练习）等边△ABC边长为6，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．(1)如图1，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；(2)在（1）问的条件下，FE、PB的延长线交于点G，如图2，求△EGB的面积；(3)在三角板旋转过程中，若CF＝AE＝2，（CF≠BP），如图3，求PE的长．【答案】(1)等边三角形13．（2022·山东菏泽·三模）（1）问题如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当90DPC A B Ð=Ð=Ð=°时，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅．（2）探究若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用如图3，在ABC V 中，AB =45B Ð=°，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △．点D 在BC 上，点E在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD Ð=°，若CE =CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3）5CD =【分析】（1）由∠DPC =∠A =B =90°，可得∠ADP ＝∠BPC ，即可证到△ADP ∽△BPC ，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；14．（2021·吉林·长春市绿园区教师进修学校九年级期末）【感知】如图①，在四边形ABCD 中，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），90A B DPC Ð=Ð=Ð=°．易证DAP PBC △△∽．（不需要证明）【探究】如图②，在四边形ABCD 中，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），A B DPC Ð=Ð=Ð．若4PD =，8PC =，6BC =，求AP 的长．【拓展】如图③，在ABC V 中，8AC BC ==，12AB =，点P 在边AB 上（点P 不与点A 、B 重合），连结CP ，作CPE A Ð=Ð，PE 与边BC 交于点E ，当CPE △是等腰三角形时，直接写出AP 的长．15．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC mAC n=，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则DEDF＝ ；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则DEDF＝ （用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC BC＝DF＝CE的长．16．（2021·浙江衢州·中考真题）【推理】如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点C 落在点F 处，连结BE ，CF ，延长CF 交AD 于点G ．（1）求证：BCE CDG △△≌．【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF 交AD 于点H ．若45HD HF =，9CE =，求线段DE 的长．【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结CF ，延长CF ，BF 交直线AD 于G ，两点，若AB k BC =，45HD HF =，求DE EC 的值（用含k 的代数式表示）．（2）如图，连接EH，由（1）得BCE CDG △△≌，9CE DG \==，由折叠得BC BF =，CE FE =同理得HG HF =，DG m \=，同理可得BCE CDG △∽△，可得m CE FE k==，mx DE k \=，2222HF FE DH DE +=+Q ，。
(精心做的公开课)一线三等角型相似导学案(反比例函数版)
1小专题：一线三等角基本模型1、 直角型一线三等角条件：B ，C ，E 三点共线,∠B=∠ACD=∠E=90结论：△ABC∽△CEDA B C DE 解题思路：3、中点型一线三等角 条件：B ，C ，D 三点共线,∠B=∠EDF=∠C DFE模型训练 【例1】如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60° （1）求证：△BDE ∽△CFD （2）当BD =1，FC =3时，求BE巩固训练 1、将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 处，已知折痕与边BC 交于点O,连结AP,OP,OA. (1)求证：△OCP ∽△PDA(2)若点P 恰好是CD 边的中点，求∠OAB 的度数。
DAD ABCPO22、如图，在△ABC 中，AB =AC =5cm ，BC =8，点D 为BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作射线DM 交AC 于点M ，使∠ADM =∠B ；（1）求证：△ABD ∽△DCM ；（2）设BD =x ，CM =y ．求 y 与x 的函数解析式，3、已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB∠BPC ＝∠A ． （1）求证；△ABP ∽△DPC （2）求AP 的长．思考题：已知反比例函数 （x>0）的图像经过点A(3,4),在该图像上找一点P ，使∠POA =45°,求点P 的坐标。
变式：(2017山东）已知反比例函数 （x>0）的图像同时经过点A 、B,,点A 的横坐标 ，∠AOB =∠OBA=45°,则K 的值为 。
D x。
2024年中考数学总复习第一部分中考考点探究微专题(五)一线三等角模型
A.
25
8
B.
25
6
C.
1
2
3
25
4
4
5
6
D.
25
2
7
8
C ）
3. 如图，在平面直角坐标系中， △ABC是以C为直角顶点的直角三角
形，且AC＝BC，点A的坐标为（－1，0），点C的坐标为（－3，3），
则点B的坐标为
（0，5）
1
.
2
3
4
5
6
7
8
4. 如图，直线a∥b∥c，直线a，b之间的距离为3，直线b，c之间的距离
如图，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点E（1，3），在反比例
函数y＝ （x＞0）的图象上找一点P，使 ∠POE＝45°，则点P的坐标
，
为
.
1
2
3
4
5
6
7
8
7. 如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AB＝2，△BEF的顶点E在边CD上，
1
3 5
且∠BEF＝90°，EF＝ BE，DF＝ ，求tan∠DEF的值.
＝ ＝ ＝ .∴
DF＝ AG＝2，AF＝ BG，BH＝ AG＝2，CH＝
BG.设AF＝a，则BG＝2a.∴
CH＝a.∴ OF＝OA＋AF＝2＋a，GH＝
BG＋BH＝2a＋2.∴ D（2，2＋a），C（2a＋2，a－2）.∵ 点C和点D在
2023年中考数学微专题复习课件4 一线三等角模型
；
【类比探究】如图2，在（1）的条件下，若90°＜α＜180°，则线段DE、BD、CE之间的
数量关系是
DE＝BD＋CE
；
【拓展探究】如图3，若点A是DE的中点，∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝α，请问线段AD、
BD、CE之间满足什么数量关系？并说明理由.
7
思路点拨
= ∠,
ቃ
(1)∠ = ∠ = ∠➝∠ = ∠
൨→△BDA≌△AEC➝ =
∠ = ∠, =
→DE＝BD＋CE
（2）同（1）易得DE＝BD＋CE
(3)∠ = ∠ = ∠➝∠ = ∠
൨
∠ = ∠,
BD·CE
8
→△ ≌△
➝
=
→AD2＝
点是的中点➝ =
注：三个相等的角可以是锐角、直角或钝角.
2
3.构造一线三等角的基本步骤
做题过程中，若出现一角的顶点在一条直线上的形式，就可以构造两侧的两个相等
的角，利用全等三角形或相似三角形解决相关问题，本质就是找角、定线、构相似.
3
类型
条件
图示
结论
点P在线段AB上，∠1
一线三
等角
（不包
含直
角）
同侧型（三
＝∠2＝∠3，三个角在
又∵∠PAD＋∠PDA＝90°，
∠PAD＋∠QAM＝90°，
∴∠PDA＝∠QAM.
26
∠ = ∠,
ቐ∠ = ∠,
在△APD和△MQA中， = ,
∴△APD≌△MQA（AAS）.
∴AQ＝PD＝2，
∴可设M（5，n），将M（5，n）代入y＝，
新人教版八年级数学上册高频考点微专题03 一线三等角模型证全等
专题03一线三等角模型证全等★模型感知1．【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：如图1，ABC 是等腰直角三角形，90C ∠=︒，AE =BD ，则AED ≌_______；如图2，ABC 为正三角形，,60BD CF EDF =∠=︒，则BDE ≌________；如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l ⊥于E ，CF l ⊥于F ．若1AE =，2CF =，则EF 的长为________．★类型一一线三直角证全等2．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．(1)直线MN 绕点C 旋转到图（1）的位置时，求证：DE ＝AD +BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图（2）的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图（3）的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）．3．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：(1)如图1，点A 在直线l 上，90,BAD AB AD ∠=︒=，过点B 作BC l ⊥于点C ，过点D 作DE l ⊥交于点E ．由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得1D ∠=∠．又90BCA AED ∠=∠=︒，可以推理得到()ABC DAE AAS ≌．进而得到结论：AC =_____，BC =_____．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三直角”模型；(2)如图2，90,,,BAD MAN AB AD AM AN BM l ∠=∠=︒==⊥于点C ，NG l ⊥于点G ，由（1）易知NG =_______，ND 与直线l 交于点P ，求证：NP DP =．★类型二一线非直角证全等4．（1）如图1，直线m 经过等边三角形ABC 的顶点A ，在直线m 上取两点D ，E ，使得∠ADB ＝60°，∠AEC ＝60°．求证：BD ＋CE ＝DE ；（2）将（1）中的直线m 绕着点A 逆时针方向旋转一个角度到如图2的位置，并使∠ADB ＝120°，∠AEC ＝120°．若BD ＝3，CE ＝7，求DE 的长．5．已知：CD 是经过BCA ∠的顶点C 的一条直线，CA CB =．E 、F 是直线CD 上两点，BEC CFA α∠=∠=∠．（1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，BCD ACD ∠>∠．①如图1，90BCA ∠=︒，90α∠=︒，直接写出BE ，EF ，AF 间的等量关系：__________．②如图2，α∠与BCA ∠具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出α∠与BCA ∠的数量关系，并对结论进行证明；（2）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明．★类型三综合运用6．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点D ，E ．求证：DE BD CE =+．（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D ，A ，E 三点都在直线l 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过ABC 的边AB ，AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高．延长HA 交EG 于点I ．若7AEG S =△，则AEI S =△______．7．（1）如图（1），已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB =AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明∶DE =BD +CE ．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA =∠AEC =∠BAC =α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE =BD +CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若∠BDA =∠AEC =∠BAC ，试判断△DEF 的形状．8．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图，90BAD ∠=︒，AB AD =，过点B 作BC AC ⊥于点C ，过点D 作DE AC ⊥于点E ．由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得1D ∠=∠．又90ACB AED ∠=∠=︒，可以推理得到ABC DAE ∆∆≌．进而得到AC =__________，BC AE =．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】（2）如图，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AC AE =，连接BC ，DE ，且BC AF ⊥于点F ，DE 与直线AF 交于点G ．求证：点G 是DE 的中点；【深入探究】（3）如图，已知四边形ABCD 和为正方形，AFD ∆的面积为1S ，DCE ∆的面积为2S ，则有1S __________2S （填“＞、=、＜”）（4）如图，点A 、B 、C 、D 、E 都在同一条直线上，四边形ABAH 、KCMG 、DENM 都是正方形，若该图形总面积是16，正方形KCMG 的面积是4，则HKG D 的面积是__________．9．（1）【问题情境】八上《伴你学》第138页有这样一个问题：如图1，把一块三角板（,90AB BC ABC =∠=︒）放入一个“U ”形槽中，使三角形的三个顶点A 、B 、C 分别在槽的两壁及底边上滑动，已知90D E ∠=∠=︒，在滑动过程中，你发现线段AD 与BE 有什么关系？试说明你的结论；（2）【变式探究】小明在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型；如图2，在ABC ∆中，点D 、E 、F 分别在边BC 、AC 、AB 上，若B FDE C ∠=∠=∠，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中的一组，并加以说理；（3）【拓展应用】如图3，在ABC ∆中，BA BC =，45B ∠=︒，点D 、F 分别是边BC 、AB 上的动点，且2AF BD =．以DF 为腰向右作等腰DEF ∆，使得DE DF =，45EDF ∠=︒，连接CE ．①试判断线段DC 、BD 、BF 之间的数量关系，并说明理由；②如图4，已知2AC =，点G 是AC 的中点，连接EA 、EG ，直接写出EA EG +的最小值．专题03一线三等角模型证全等模型感知1．【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，ABC 是等腰直角三角形，90C ∠=︒，AE =BD ，则AED ≌_______；②如图2，ABC 为正三角形，,60BD CF EDF =∠=︒，则BDE ≌________；③如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l ⊥于E ，CF l ⊥于F ．若1AE =，2CF =，则EF 的长为________．【答案】①△BDF ；②△CFD ；③3；①根据等腰直角三角形的性质及和角关系，可得△AED ≌△BDF ；②根据等边三角形的性质及和角关系，可得△BDE ≌△CFD ；③根据正方形的性质及和角关系，可得△ABE ≌△BCF ，由全等三角形的性质即可求得EF 的长；类型一一线三直角证全等2．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．(1)直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：DE＝AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）；(3)当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不写证明过程）．【答案】(1)证明见详解(2)DE+BE=AD．理由见详解(3)DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）．理由见详解.【解析】【分析】（1）根据题意由垂直得∠ADC=∠BEC=90°，由同角的余角相等得：∠DAC=∠BCE，因此根据AAS可以证明△ADC≌△CEB，结合全等三角形的对应边相等证得结论；（2）由题意根据全等三角形的判定定理AAS推知△ACD≌△CBE，然后由全等三角形的对应边相等、图形中线段间的和差关系以及等量代换证得DE+BE=AD；（3）由题意可知DE、AD、BE具有的等量关系为：DE=BE-AD（或AD=BE-DE，BE=AD+DE等）．证明的方法与（2）相同．(1)证明：如图1，∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB中，∵ADC BEC DAC BCE AC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC≌△CEB；∴DC =BE ，AD =EC ，∵DE =DC +EC ，∴DE =BE +AD ．(2)解：DE +BE =AD ．理由如下：如图2，∵∠ACB =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°．又∵AD ⊥MN 于点D ，∴∠ACD +∠CAD =90°，∴∠CAD =∠BCE ．在△ACD 和△CBE 中，90ADC CEB CAD BCE AC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴CD =BE ，AD =CE ，∴DE +BE =DE +CD =EC =AD ，即DE +BE =AD ．(3)解：DE =BE -AD （或AD =BE -DE ，BE =AD +DE 等）．理由如下：如图3，易证得△ADC ≌△CEB ，∴AD =CE ，DC =BE ，∴DE =CD -CE =BE -AD ，即DE =BE -AD ．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的四种判定方法是关键：SSS 、SAS 、AAS 、ASA ；在证明线段的和与差时，利用全等三角形将线段转化到同一条直线上得出结论．3．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：(1)如图1，点A 在直线l 上，90,BAD AB AD ∠=︒=，过点B 作BC l ⊥于点C ，过点D 作DE l ⊥交于点E ．由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得1D ∠=∠．又90BCA AED ∠=∠=︒，可以推理得到()ABC DAE AAS ≌．进而得到结论：AC =_____，BC =_____．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三直角”模型；(2)如图2，90,,,BAD MAN AB AD AM AN BM l ∠=∠=︒==⊥于点C ，NG l ⊥于点G ，由（1）易知NG =_______，ND 与直线l 交于点P ，求证：NP DP =．【答案】(1)DE ，AE ；(2)AC ．证明见详解．【解析】【分析】（1）根据(AAS)≌ABC DAE ，得出AC =DE ，BC =AE 即可；（2）过D 作DE ⊥直线l 于E ，先证△MCA ≌△AGN （AAS ），得出AC =NG ，由（1）知(AAS)≌ABC DAE ，得出AC =DE ，再证△NGP ≌△DEP （AAS ）即可．(1)解：∵(AAS)≌ABC DAE ，∴AC =DE ，BC =AE ，故答案为DE ，AE ；(2)证明：过D 作DE ⊥直线l 于E ，∵90MAN ∠=︒，∴∠CAM +∠NAG =90°，∵BM ⊥l ，∴∠MCA =90°，∴∠M +∠CAM =90°，∴∠M =∠NAG ，∵NG l ⊥，∴∠AGN =90°，在△MCA 和△AGN 中，MCA AGN M GAN MA AN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MCA ≌△AGN （AAS ），∴AC =NG ，由（1）知(AAS)≌ABC DAE ，∴AC =DE ，∴NG =DE ，在△NGP 和△DEP 中，90NGP DEP GPN EPD NG DE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△NGP ≌△DEP （AAS ）∴NP =DP ，故答案为AC．【点睛】本题考查一线三直角全等问题，掌握余角性质，三角形全等判定与性质是解题关键．类型二一线非直角证全等4．（1）如图1，直线m 经过等边三角形ABC 的顶点A ，在直线m 上取两点D ，E ，使得∠ADB ＝60°，∠AEC ＝60°．求证：BD ＋CE ＝DE ；（2）将（1）中的直线m 绕着点A 逆时针方向旋转一个角度到如图2的位置，并使∠ADB ＝120°，∠AEC ＝120°．若BD ＝3，CE ＝7，求DE【答案】（1）证明见解析；（2）DE ＝4【解析】【分析】（1）利用等边三角形的性质和已知角的度数，证明∠ABD ＝∠CAE ，利用AAS 证明△ABD ≌△CAE ，推出BD ＝AE ，AD ＝CE ，即可证明；（2）同（1）证明△ABD ≌△CAE ，推出BD ＝AE ，AD ＝CE ，则DE ＝AD －AE ＝CE －BD ．【详解】（1）证明：∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴∠DAB ＋∠CAE ＝120°又∠ADB ＝∠AEC ＝60°，∴∠ABD ＋∠DAB ＝120°，∴∠ABD ＝∠CAE ，∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴BD ＝AE ，AD ＝CE ，∴DE ＝AD ＋AE ＝BD ＋CE ．（2）解：∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴∠BAD ＋∠CAE ＝60°又∠ADB ＝∠AEC ＝120°，∴∠ABD ＋∠BAD ＝60°，∴∠ABD ＝∠CAE ，∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴BD ＝AE ，AD ＝CE ，∴DE ＝AD －AE ＝CE －BD ＝4．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，读懂题意，找出图形中的全等三角形是解题的关键．5．已知：CD 是经过BCA ∠的顶点C 的一条直线，CA CB =．E 、F 是直线CD 上两点，BEC CFA α∠=∠=∠．（1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，BCD ACD ∠>∠．①如图1，90BCA ∠=︒，90α∠=︒，直接写出BE ，EF ，AF 间的等量关系：__________．②如图2，α∠与BCA ∠具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出α∠与BCA ∠的数量关系，并对结论进行证明；（2）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明．【答案】（1）①EF BE AF =-；②180BCA α∠+∠=︒，证明见解析；（2）不成立，EF FA BE =+，理由见解析【解析】【分析】（1）①根据题意，推导得ACF CBE ∠=∠，通过证明ACF CBE ∠≌△，得BE CF =，CE AF =，结合EF CF CE =-，即可得到答案；②结合题意，根据三角形内角和性质，推导得CBE ACF ∠=∠，通过证明BCE CAF ≌△△，即可完成证明；（2）根据题意，结合三角形内角和的性质，推导得CBE ACF ∠=∠，通过证明BCE CAF ≌△△，得EC FA =，BE CF =；根据EF CE CF =+，即可得到答案．【详解】（1）①∵90BCA ∠=︒，90α∠=︒∴90ACF BCE ∠+∠=︒,90CBE BCE ∠+∠=︒∴ACF CBE∠=∠∴BEC CFA ACF CBE CA CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACF CBE∠≌△∴BE CF =，CE AF=∵EF CF CE=-∴EF BE AF =-；②满足180BCA α∠+∠=︒，理由如下：∵180CBE BCE BEC ∠+∠+∠=︒，180BCA α∠+∠=︒∴CBE BCE BEC BCAα∠+∠+∠=∠+∠∴CBE BCE BCE ACFαα∠+∠+∠=∠+∠+∠∴CBE ACF∠=∠∵BEC CFA ∠=∠，CA CB =，∴BCE CAF≌△△∴BE CF =，CE AF=∵EF CF CE =-，∴EF BE AF=-（2）不成立，EF BE AF =+，理由如下：∵180CBE BCE BEC ∠+∠+∠=︒，180BCE BCA ACF ∠+∠+∠=︒，BEC CFA BCA α∠=∠=∠=∠∴CBE BCE BCE ACFαα∠+∠+∠=∠+∠+∠∴CBE ACF∠=∠∵BEC CFA ∠=∠，CA CB =，∴BCE CAF≌△△∴BE CF =，CE AF=∵EF CF CE =+，∴EF BE AF=+【点睛】本题考查了三角形内角和、余角、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、全等三角形的性质，从而完成求解．类型三综合运用6．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为点D ，E ．求证：DE BD CE =+．（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB AC =，D ，A ，E 三点都在直线l 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过ABC 的边AB ，AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高．延长HA 交EG 于点I ．若7AEG S =△，则AEI S =△______．【答案】（1）见解析；（2）结论成立，理由见解析；（3）3.5【解析】【分析】（1）由条件可证明△ABD ≌△CAE ，可得DA =CE ，AE =BD ，可得DE =BD +CE ；（2）由条件可知∠BAD +∠CAE =180°-α，且∠DBA +∠BAD =180°-α，可得∠DBA =∠CAE ，结合条件可证明△ABD ≌△CAE ，同（1）可得出结论；（3）由条件可知EM =AH =GN ，可得EM =GN ，结合条件可证明△EMI ≌△GNI ，可得出结论I 是EG 的中点．【详解】解：（1）证明：如图1中，∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，∴∠BDA =∠CEA =90°，∵∠BAC =90°，∴∠BAD +∠CAE =90°，∵∠BAD +∠ABD =90°，∴∠CAE =∠ABD ，在△ADB 和△CEA 中，ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE =BD ，AD =CE ，∴DE =AE +AD =BD +CE ．（2）解：成立．理由：如图2中，∵∠BDA =∠BAC =α，∴∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE =180°-α，∴∠DBA =∠CAE ，在△ADB 和△CEA 中，BDA AEC DBA CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADB ≌△CEA （AAS ），∴AE =BD ，AD =CE ，∴DE =AE +AD =BD +CE ．（3）如图3，过E 作EM ⊥HI 于M ，GN ⊥HI 的延长线于N ．∴∠EMI =∠GNI =90°由（1）和（2）的结论可知EM =AH =GN∴EM =GN在△EMI 和△GNI 中，GIN EIM EM GN GNI EMI ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△EMI ≌△GNI （AAS ），∴EI =GI ，∴I 是EG 的中点．∴S △AEI =12S △AEG =3.5．故答案为：3.5．【点睛】等三角形的判定与性质是解题的关键．7．（1）如图（1），已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB =AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明∶DE =BD +CE ．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA =∠AEC =∠BAC =α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE =BD +CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若∠BDA =∠AEC =∠BAC ，试判断△DEF的形状．【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）△DEF为等边三角形，证明见解析【解析】【分析】（1）因为DE=DA+AE，故由AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE．（2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD．（3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA=∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=60°，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形．【详解】解：（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA=90°．∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE=90°．∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD．又AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE．（2）成立．证明如下：∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α．∴∠DBA=∠CAE．∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．∴DE=AE+AD=BD+CE．（3）△DEF为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°．∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠FAE．∵BF=AF，∴△DBF ≌△EAF （ASA ）．∴DF =EF ，∠BFD =∠AFE ．∴∠DFE =∠DFA +∠AFE =∠DFA +∠BFD =60°．∴△DEF 为等边三角形．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．8．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图，90BAD ∠=︒，AB AD =，过点B 作BC AC ⊥于点C ，过点D 作DE AC ⊥于点E ．由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得1D ∠=∠．又90ACB AED ∠=∠=︒，可以推理得到ABC DAE ∆∆≌．进而得到AC =__________，BC AE =．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】（2）如图，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AC AE =，连接BC ，DE ，且BC AF ⊥于点F ，DE 与直线AF 交于点G ．求证：点G 是DE 的中点；【深入探究】（3）如图，已知四边形ABCD 和DEGF 为正方形，AFD ∆的面积为1S ，DCE ∆的面积为2S ，则有1S __________2S （填“＞、=、＜”）（4）如图，点A 、B 、C 、D 、E 都在同一条直线上，四边形ABAH 、KCMG 、DENM 都是正方形，若该图形总面积是16，正方形KCMG 的面积是4，则HKG D 的面积是__________．【答案】（1）DE ；（2）见解析；（3）＝；（42【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质即可得到答案；（2）分别过点D 和点E 作DM FG ⊥于点M ，EN FG ⊥于点N ，由（1）中结论可得到AF =DM ，AF =EN ，然后只需要证明DMG ENG △≌△即可得到答案；（3）过点D 作DO ⊥AF 交AF 于O ，过点E 错EN ⊥OD 交OD 延长线于N ，过点C 作CM ⊥OD 交OD 延长线于M ，然后同（2）中证明AOD DMC △≌△，FOD DNE △≌△，ENP CMP △≌△即可得到答案；（4）同（3）中的方法可以证明GHK KBC CMD GMN S S S S =△△△△==，然后利用勾股定理得到ABKH MDEN KCMG S S S +=正方形正方形正方形即可得到答案.【详解】解：（1）∵ABC DAE△≌△∴AC DE=（2）分别过点D 和点E 作DM FG ⊥于点M ，EN FG ⊥于点N ，∴90DAM ADM ∠+∠=︒，∵90BAD ∠=︒，∴90BAF DAM ∠+∠=︒，∴BAF ADM∠=∠∵BC AF ⊥，∴90BFA AMD ∠=∠=︒，在ABF ∆和DAM ∆中，BAF ADN ∠=∠，BFA AMD ∠=∠，BA AD =，∴ABF DAM ∆∆≌，∴AF DM=同理AF EN=∴DM EN =，∵DM FG ⊥，EN FG ⊥，∴DMG ENG ∠=∠，在DMG △和ENG △中，DGM EGN ∠=∠，DMG ENG ∠=∠，DM EN =，∴DMG ENG△≌△∴DG EG =，即点G 是DE 的中点；（3）如图所示，过点D 作DO ⊥AF 交AF 于O ，过点E 作EN ⊥OD 交OD 延长线于N ，过点C 作CM ⊥OD 交OD 延长线于M∵四边形ABCD 与四边形DEGF 都是正方形∴∠ADC =∠90°，AD =DC ，DF =DE∵DO ⊥AF ，CM ⊥OD∴∠AOD =∠CMD =90°，∠OAD +∠ODA =90°，∠CDM +∠DCM =90°，又∵∠ODA +∠DCM =90°∴∠A DO =∠DCM∴AOD DMC△≌△∴AOD DMC S S =△△，OD =MC同理可以证明FOD DNE△≌△∴FOD DNE S S =△△，OD =NE∴MC =NE∵EN ⊥OD ，CM ⊥OD ，∠EPN =∠CMP∴ENP CMP△≌△∴ENP CMPS S △△=∵ADF AOD FOD S S S +△△△=，DCE DCM CMP DEN ENPS S S S S -++△△△△△=∴=DCE DCM DEN AOD FODS S S S S ++△△△△△=∴DCE ADF S S △△=即12S S =；（4）同（3）中的方法可以证明GHK KBC CMD GMN S S S S =△△△△==，且KBC CDM △≌△即BC DM=由勾股定理得：222KB BC KC +=∴222KB DM KC +=∴ABKH MDEN KCMGS S S +=正方形正方形正方形∵图形总面积是16，正方形KCMG 的面积是4∴=4ABKH MDEN KCMG S S S +=正方形正方形正方形∴=8GHK KBC CMD GMN S S S S +△△△△++∴2GHK S △=【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定.9．（1）【问题情境】八上《伴你学》第138页有这样一个问题：如图1，把一块三角板（,90AB BC ABC =∠=︒）放入一个“U ”形槽中，使三角形的三个顶点A 、B 、C 分别在槽的两壁及底边上滑动，已知90D E ∠=∠=︒，在滑动过程中，你发现线段AD 与BE 有什么关系？试说明你的结论；（2）【变式探究】小明在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型；如图2，在ABC ∆中，点D 、E 、F 分别在边BC 、AC 、AB 上，若B FDE C ∠=∠=∠，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中的一组，并加以说理；（3）【拓展应用】如图3，在ABC ∆中，BA BC =，45B ∠=︒，点D 、F 分别是边BC 、AB 上的动点，且2AF BD =．以DF 为腰向右作等腰DEF ∆，使得DE DF =，45EDF ∠=︒，连接CE ．①试判断线段DC 、BD 、BF 之间的数量关系，并说明理由；②如图4，已知2AC =，点G 是AC 的中点，连接EA 、EG ，直接写出EA EG +的最小值．【答案】【小问1】AD BE =，说明见解析【小问2】BED FDC ∠=∠，EDB DFC ∠=∠；说理见解析【小问3】①BD BF CD +=，理由见解析；②AE EG +【解析】【分析】（1）【问题情境】证明()ABD BCE AAS ∆≅∆，即可求解．（2）【变式探究】利用等量代换即可求解．（3）【拓展应用】①等量代换即可求解；②在CD 上截取DM BF =，连接EM ，作点G 关于CE 的对称点N ，连接CN ，AN ，先证明()BDF MED SAS ∆≅∆，得到EM ＝CM ，在求出22.5ECM MEC ∠=∠=︒，即可确定E 点在射线CE 上运动，当A 、E 、N 三点共线时，EA ＋EG 的值最小，最小值为AN ，在Rt ANC 中求出AN 即可．【详解】（1）【问题情境】AD BE =，理由如下：90ABC ∠=︒ ，90ABD CBE ∴∠+∠=︒，90BAD ABD ∠+∠=︒ ，BAD CBE ∴∠=∠，AB BC = ，()ABD BCE AAS ∴∆≅∆，AD BE ∴=；（2）【变式探究】BED FDC ∠=∠，EDB DFC ∠=∠；理由如下：B FDEC ∠=∠=∠ ，180EDB BED EDB FDC FDC DFC EDF ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠，BED FDC ∴∠=∠，EDB DFC ∠=∠；（3）【拓展应用】①AB BC = ，AF BF BD CD ∴+=+，2AF BD = ，2BD BF BD CD ∴+=+，BD BF CD ∴+=；②在CD 上截取DM BF =，连接EM ，作点G 关于CE 的对称点N ，连接CN ，AN ，45B ∠=︒ ，45EDF ∠=︒，BFD EDM ∴∠=∠，DF DE = ，()BDF MED SAS ∴∆≅∆，B D E M ∴=，EM BD =，45B DME ∠=∠=︒，CD BD BF =+ ，CM BD ∴=，EM CM ∴=，MCE MEC ∴∠=∠，45EMD ∠=︒ ，22.5ECM MEC ∴∠=∠=︒，E ∴点在射线CE 上运动，G 点与N 的关于CE 对称，EG EN ∴=，EA EG EA EN AN ∴+=+，∴当A 、E 、N 三点共线时，EA EG +的值最小，最小值为AN ，45B ∠=︒ ，AB BC =，67.5ACB ∴∠=︒，45ACE ∴∠=︒，由对称性可知，ACE ECN ∠=∠，90ACN ∴∠=︒，点G 是AC 的中点，2AC =，1CG ∴=，1CN ∴=，在Rt ANC 中，AN =AE EG ∴+【点睛】本题是三角形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，轴对称求最短距离的方法是解题的关键．。
相似三角形基本模型一线三等角PPT课件
Unit 7 Cultural relicsUnit 7 ultural relis• 重点词汇解析•1 inlude vt 包括；包含1)inluding为介词，后接名词、代词作宾语。
2)inluded为过去分词充当的形容词，无比较级和最高级，其前常用名词或代词。
3)比较inlude，ntaininlude作“包含”解时，其后的宾语只是整体的一部分。
ntain作此意解时，其后的宾语指的是整体的全部。
2 restre vt1）归还t restre stlen prpert 归还赃物2）恢复；复兴t restre la and rder 恢复法律和秩序3）恢复健康；复原restred after ne’s hlida 假期之后健康恢复了3 rebuild v 再建；重建rebuild a huse after the fire火灾后重建房子。
注意：re-前缀，加在动词或名词前。
“重新”。
如：rerite, repen, revisit, reae, reprint, reread4 burn vi, vt burnt 或burned, burning1) 燃烧The huse is burning 房子烧起了。
2) 发光；照亮a light burning 灯光亮着3) 发热；炙热the burning sand 炙热的沙子4) 热衷She is burning t tell u the nes 她急于要告诉你这消息。
Everbd is burning t n the gd nes大家都急于想知道这则好消息。
) 烧伤；烧坏；烧毁He burnt all his papers 他烧毁了（他）所有的。
n 烧伤burns n her hand 手部的烧伤burn up （因热度过高）烧坏; 快速旅行；赶路t burn up the rad 赶路beaut n1) 美，美貌a fler f great beaut 一朵非常美丽的花2) 美人；美的事物ur daughter is quite a beaut 你的女儿很漂亮。
0305微专题复习：一线三等角
初三（下）数学学科教学案（0305）班级姓名课题：一线三等角主备人：洪高峰课型：微专题【复习目标】认识“一线三等角”模型，会运用模型进行计算或证明.【复习设计】一、认识模型：“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角.通俗地讲，一条直线上有三个相等的角一般就会存在相似的三角形.不同地区对此有不同的称呼，“K形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下统称为“一线三等角”模型.1. “一线三等角”全等模型2. “一线三等角”相似模型试口述理由．二、典型问题：例1 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在BC 边上移动（不与点B ，C 重台）．满足 ∠DEF ＝∠B ，且点D ，F 分别在边AB ，AC 上．（1）求证：△BDE ∽△CEF ；（2）当点E 移动到BC 的中点时， ①求证：△CEF ∽EDF ；②求证：FE 平分∠DF C ．例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（﹣1，﹣4），点B 为平面内一点．若△AOB 是以OA 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B 的坐标_______．例3 如图，在等腰三角形ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝2，点D 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），在AC 上取一点E ，使∠ADE ＝30°．（1）设BD ＝x ，AE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；（2）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．D F A ECD B A例4（2019无锡）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝45，D为边AB上一动点（B 点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为______．思考题（1）：（2018遵义中考题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG＝2，BG ＝6，求BE．思考题（2）：（2017丽水中考题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x＋m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（2，0）．（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是_______；（2）设点P为线段OB的中点，连结PA，PC，若∠CPA＝∠ABO，求m．巩固练习 班级 姓名 1．（2019宜昌中考题）如图，平面直角坐标系中，点B 在第一象限，点A 在x 轴的正半轴上，∠AOB ＝∠B ＝30°，OA ＝2，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°，点B 的对应点B '的坐标是（ ）A ．（﹣1，2＋3）B ．（﹣3，3）C ．（﹣3，2＋3）D ．（﹣3，3）2．（2019河池中考题）如图，在平面直角坐标系中，A （2，0），B （0，1），AC 由AB 绕点A 顺时针旋转90°而得，则AC 所在直线的解析式是_______．3. 如图直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，BC ＝3，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至ED ，连AE 、CE ，则△ADE 的面积是_______．4．（2019沈阳中考题）如图，正方形ABCD 的对角线AC 上有一点E ，且CE ＝4AE ，点F 在DC 的延长线上，连接EF ，过点E 作EG ⊥EF ，交CB 的延长线于点G ，连接GF 并延长，交AC 的延长线于点P ，若AB ＝5，CF ＝2，则线段EP 的长是______．5.（2019十堰中考题）如图，正方形ABCD 和Rt △AEF ，AB ＝5，AE ＝AF＝4，连接BF ，DE ．若△AEF 绕点A 旋转，当∠ABF 最大时，S △ADE ＝______．6. 如图，住平面直角系中，直线AB ：()440y x a a=+≠分别交x 轴、y 轴于BA 两点，直线AE 分别交x 轴、y 轴于E 、A 两点，D 是x 轴上的一点，OA ＝OD ，过D 作CD ⊥x 轴交AE 于C ，连接BC ，当动点B 在线段OD 上运动（不与点O 点D 重合）且AB ⊥BC 时(1)求证：△ABO ∽△BCD ；(2)求线段CD 的长（用a 的代数式表示）；(3)若直线AE 的方程是1316y x b =-+，求tan BAC ∠的值．。
(完整word版)一线三等角专题
（2）当BD=2时，求BE的长。
设计读学习目标
（2）三个问题呈现提供了同类全等三角形，让学生说出每一个问题的证明过程是必要的，使学生的“直观经验”由“量”变产生“质“变。从问题和模型引入本专题，使学生对产生模型有个感性的认识，为下一环节抽象模型打好铺垫。
比一比，看谁说得又快又准？
注意：这里要求学生提炼“一线三等角的基本图形，说出两个全等三角形即可，要求对应的顶点写在对应的位置。
四、小结收获交流归纳
本节课的所学知识小结起来很明确，贵在让学生悟到几何学习中的基本图形和相关应用，从学习的方法来进行总结。
五、课堂作业
课堂作业是基础题，重在检查整体学生的掌握情况；
△BAC≌△CED
二、抽象模型，揭示实质
如图，已知∠A=∠BCD=∠E=α°，BC=CD,图中有没有全等三角形，并写出证明过程.
结论：图中△ABC≌△ECD
理由：∵∠BCE=∠A+∠B
=∠BCD+∠DCE
又∵∠A=∠BCD
∴∠B=∠DCE
∵∠A=∠E,BC=CD
∴△ABC≌△ECD
总结规律：
顺口溜：“一线三等角，两头对应好，互补导等角，全等轻易找”
三．运用新知，看图作答
下列每个图形中，∠1=∠2=∠3，请你想一想再补充一组条件，快速找出“一线三等角”的基本图形所形成的全等三角形（要求对应的顶点写在对应的位置）
（3）
（4）
四、小结收获交流归纳
（1）由“一线三等角”基本图形搭建桥梁可以得到全等三角形，熟悉这类题经常是以等边三角形、等腰梯形、正方形、矩形为图形背景出现。
（2）学习几何最重要是学会归纳一些简单的基本图形，学会从复杂的图形里提炼基本图形，并将其作为解决问题的手段和方法。
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模型应用
1. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是DC延长线上的一点，连接BE， 过点E作EF⊥BE，与AD的延长线交于点F，若CE＝2，求DF的长．
解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCE＝∠EDF＝90°， ∵EF⊥BE， ∴∠BEF＝90°，
∴ AE = AF , DC DE
∵AB＝CD＝3，AE＝4，DE＝6F的长为5.
(1)求证：△AEF∽△DCE；
(2)若AB＝3，AE＝4，DE＝6，求线段BF的长． (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠AEF＋∠F＝90°.
∵EF⊥CE，
∴∠CED＋∠AEF＝90°， ∴∠CED＝∠F，
第2题图
∴△AEF∽△DCE；
(2)解：由(1)知，△AEF∽△DCE，
微专题 一线三等角(2017、2013、2011年23题)
方法分析 一般通过一线三等角找等角或进行角度转换，来证明三角形全等或相 似，当证明三角形全等时必须还有一组对应边相等. 常见基本图形如下： (1)两个三角形在直线同侧，点P 在线段AB上．
锐角一线三等角
直角一线三垂直
钝角一线三等角
已知：∠1＝∠2＝∠3.利用三角形任意一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和得到一组对应角相等从而可得两三角形相似．
【结论】①△CAP∽△PBD； ②当AC＝BP或AP＝BD或CP＝PD时，△CAP≌△PBD.
(2)两个三角形在直线异侧，点P在AB(或BA)的延长线上．
锐角一线三等角
直角一线三垂直
钝角一线三等角
已知：∠1＝∠2＝∠3.利用三角形任意一个外角等于与它不相邻的两个 内角的和得到一组对应角相等从而可得两三角形相似．
第1题图
∵∠CBE＋∠BEC＝90°，∠BEC＋∠DEF＝90°，
∴∠CBE＝∠DEF，
∴△BCE∽△EDF，
∴
BC ED
=
CE DF
,
即
4= 42
2 DF
,
解得DF＝3. ∴DF的长为3.
2. 如图，在矩形ABCD中，已知AD>AB.在边AD上取点E，连接CE.过点E作
EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F.