角平分线和线段垂直平分线的性质

1、线段垂直平分线的性质
（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点
的距离相等.
定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.
3、关于三角形三边垂直平分线的定理
（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：
三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
定理的作用：证明三角形内的线段相等.
（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：
若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.
例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm
4、角平分线的性质定理：
角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. . 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.
6、关于三角形三条角平分线的定理：
（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.
定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.
（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：
三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.
m
图1
D
A
B
C
图4
C
D
O
B F
E F
D
I
P R
Q A
一、选择题：
1．如图1，在△ABC 中，AD 平分∠CAE ，∠B=30︒，∠CAD=65︒
，则∠ACD 等于 （ ） A ．50︒
B ．65︒
C ．80︒
D ．95︒
2．如图2，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则:ABC ACD S S ∆∆= （ ） A ．3:4 B ．4:3 C ．16:19 D ．不能确定
3．如图3，在△ABC 中，∠C=90︒
，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，则下列结论：①AD 平分∠CDE ；
②∠BAC=∠BDE ；③DE 平分∠ADB ；④BE+AC=AB 。

其中正确的有 （ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．1个 4．如图4，AD ∥BC ，∠D=90︒
，AP 平分∠DAB ，PB 平分∠ABC ，点P 恰好在CD 上，则PD 与PC 的大小关系是 （ ）
A ．PD>PC
B ．PD<P
C C ．PD=PC
D ．无法判断 。

5、在三角形内部，有一点P 到三角形三个顶点的距离相等，则点P 一定是（ ） A 、三角形三条角平分线的交点；B 、三角形三条垂直平分线的交点； C 、三角形三条中线的交点；D 、三角形三条高的交点。

6、已知△ABC 的三边的垂直平分线交点在△ABC 的边上，则△ABC 的形状为（ ） A 、锐角三角形；B 、直角三角形；C 、钝角三角形；D 、不能确定
7、如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC 交AD 于E ，F 在BC 上，并且BF ＝AB ，则下列四个结论：①EF ∥AC ，②∠EFB ＝∠BAD ，③AE ＝EF ，④△ABE ≌△FBE ，其中正确的结论有（ ）
A 、①②③④
B 、①③
C 、②④
D 、②③④
7题图 8题图 9题图
8、如图所示，在ABC ∆中，∠C ＝90°， AC ＝4㎝，AB ＝7㎝，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，则EB 的长是（ ）
A 、3㎝
B 、4㎝
C 、5㎝
D 、不能确定
D
E
C B A D
E C B A P
D C
B
A
E
D
C
B A D
C
B A
E D C
B
A
图3 图4
图1
图2
c b a
9、随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有（ ）处。

A 、1
B 、2
C 、3
D 、4 二、填空题：
1、已知：线段AB 及一点P ，PA=PB ，则点P 在 上。

2、已知：如图，∠BAC=1200
,AB=AC,AC 的垂直平分线交BC 于D 则∠ADC= 。

3、△ABC 中，∠A=500
，AB=AC,AB 的垂直平分线交AC 于D 则∠DBC 的度数 。

4、如图，△ABC 中，DE 、FG 分别是边AB 、AC 的垂直平分线，则∠B ∠BAE ，∠C ∠GAF ，若∠BAC=1260
，则∠EAG= 。

5、如图，△ABC 中，AB=AC=17,BC=16,DE 垂直平分AB ，则△BCD 的周长是 。

第2题 第4题 第5题
6、在△ABC 中，AB 、AC 的垂直平分线相交于点P ，则PA 、PB 、PC 的大小关系是 。

7、在△ABC 中,AB=AC, ∠B=580
,AB 的垂直平分线交AC 于N,则∠NBC=
8.如图，已知AB ∥CD ，O 是∠ACD 和∠BAC 的平分线的交点，OE ⊥AC 于E ，且OE ＝2，则两平行线AB 、CD 间的距离为＿＿＿＿＿＿。

9.如图所示，已知PA ⊥ON 于A ，PB ⊥OM 于B ，且PA ＝PB ，∠MON ＝50°，∠OPC ＝30°，则∠PCA ＝＿＿＿＿＿。

10.如图所示，在ABC 中，∠C ＝90°，折叠后，使A 、B 两点重合，得到折痕ED ，再沿BE 折叠，C 点恰好与D 点重合，则∠A 等于＿＿＿＿度。

8题图 9题图 10题图
E O
D
C B A N
O
P M
C B
A E
D
C
B
A
三、解答题
1、如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 平分线,AD 的垂直平分线分别交AB 、BC 延长线于F 、E 求证：（1）∠EAD=∠EDA ;
（2）DF ∥AC （3）∠EAC=∠B
3、如图12，PA=PB ，∠1+∠2=180︒。

求证：OP 平分∠AOB 。

2
1）O
P
B
A
16．Rt ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=，O 为 AB 中点，若点M ．N 分别在线段AB ．AC 上移 动，且在移动过程中保持AN BM =，试判断 OMN ∆的形状，并证明你的结论．
4、如图13，△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ， 若AQ=PQ ，RP=PS 。

则PQ 与AB 是否平行？请说明理由。

S Q R
P
C
B A
10．如图，AD ⊥DC ，BC ⊥DC ：，E 是DC 上一点，AE 平分∠DAB ． (1)如果BE 平分∠ABC ，求证：点E 是DC 的中点； (2)如果E 是DC 的中点，求证：BE 平分∠ABC ．
F
E
D C
B
A
1. △DAC 、△EBC 均是等边三角形，AF 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，
求证：（1）AE=BD （2）CM=CN （3）△CMN 为等边三角形 （4）MN ∥BC
2．如图，过线段AB 的两个端点作射线AM 、BN ，使AM ∥BN ，按下列要求画图并回答： 画∠MAB 、∠NBA 的平分线交于E （1）∠AEB 是什么角？
（2）过点E 作一直线交AM 于D ，交BN 于C ，观察线段DE 、CE ，你有何发现？
（3）无论DC 的两端点在AM 、BN 如何移动，只要DC 经过点E ，①AD+BC=AB ；②AD+BC=CD 谁成立？并说明理由。

3．正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数.
A
B。