2015年全国初中数学邀请赛详解

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全国初中数学联合竞赛试题参考答案和评分标准(初二)

全国初中数学联合竞赛试题参考答案和评分标准(初二)

?3?3a?6b?2?6?5?11. 2. 从三边长均为整数且周长为 24 的三角形中任取一个,它是 直角三角形的概率为________. 1. 12 设三角形的三边长为 a,b,c,则 3a?a?b?c?24,2a?a??24,所以 8?a?12,故 a 的可能取值为 8,9,10 或 11,满足题意的数组 可以为: , , , , , , , , , , , , 1 . 12 3.已知锐角△ABC 的外心为 O,AO 交 BC 于 D,E、F 分别为 △ABD、 △ACD 的外心, 若 AB?AC, EF?BC, 则?C??B?____________. 60?. 作 EM?BC 于点 M,FN?BC 于点 N,FP?EM 于点 P. ∵E、F 分别为△ABD、△ACD 的外心,∴M、N 分别为 BD、 CD 的中 11 点.又 EF?BC,∴PF?MN?BC?EF,∴?PEF?30?. 22 又 EF?AD,EM?BC,∴?ADC??PEF?30?. 1 又?ADC??B??BAD??B??90???B??C, 2 ∴?C??B?90???ADC?60?. 共 12 组,其中,只有一组是直角三角形的三边长,所以,所
OA1?????. OB2 5. 已知实数 x,y 满足关系式 xy?x?y?1,则 x2?y2 的最小值为 A. 3?. B. 6? C.1. D. 6?B. 设 x?y?t,则由题设条件可知 xy?x?y?1?t?1,所以 x,y 是关于 m 的一元二次方程 m2?tm?t?1?0 的两个实数根,于是有:??t2?4? 0,解得 t?2? t?2?又因为 x?y??2xy?t?2?-3,所以, 当 t?2? x?y?1 时,x? y 取得最小值,最小值为?3?6? 6. 设 n 是小于 100 的正整数且使 5n?3n?5 是 15 的倍数,则符 合条件的所有正整数 n 的和是 A.285. B.350. C.540. D.635. D. ∵5n?3n?5 是 15 的倍数,∴5|,∴5|3n,∴5|n,设 n?5m,则 5n?3n?5?125m?15m?5?120m?15m?5. ∵5n?3n?5 是 15 的倍数,∴m?1 是 3 的倍数,∴m?3k?1 或 m?3k?2,其中 k 是非负整数. ∴n?5?15k?5 或 n?5?15k?10,其中 k 是 非负整数. ∴符合条件的所有正整数 n 的和是+=635.

2015年全国初中数学联合竞赛(初三)试题及解答

2015年全国初中数学联合竞赛(初三)试题及解答

第一试(A)
一、选择题(本题满分 42 分,每小题 7 分) 1. 设实数 a, b, c 满足: a b c 3, a2 b2 c2 4 ,则 A.0 【答】D. 【解析】 B.3 C.6
a 2 b2 b2 c 2 c 2 a 2 =( 2c 2a 2b
D.9

a 2 b2 b2 c 2 c 2 a 2 4 c 2 4 a 2 4 b2 (2 c) (2 a) (2 b) 9 . 2c 2a 2b 2c 2a 2b
2. 若抛物线 y x2 bx c 与 x 轴只有一个公共点, 且过 A(m, n) ,B(m 8, n) , 则 n ( A.8. 【答】 C 【解析】法一(LTX) : 依题意,设抛物线解析式为 y ( x h)2 , 因为它过 A(m, n) , B(m 8, n) , 所以 h m 4 ,故 n (m h)2 (4)2 16 ,选 C . 法二: 由题意, b 8 2m ,
2 2 2

A.3 【答】D.
B.6.
C .9
D.12
【解析】设 x y t ,则 x y t , 代入题设等式得 ( y t )2 ( y t ) y y 2 3 ,整理得 3 y 2 3ty t 2 3 0 . 由判别式 (3t )2 12(t 2 3) 3 得 2 3 t 2 3 ,故 ( x y)2 t 2 12 . 5.题目和解答与(A)卷第 4 题相同. 6.设 n 是小于 100 的正整数且使 2n2 3n 2 是 6 的倍数,则符合条件的所有正整数 n 的和 是( ) B.850 C.1536 D.1634

2015年全国初中数学联合竞赛试题(含答案解析)

2015年全国初中数学联合竞赛试题(含答案解析)
36
14.12
【详解】
设三角形的三边长为 ,则 , ,所以 ,故 的可能取值为8,9,10或11,满足题意的数组 可以为:
, , , , , ,
, , , , , .
共12组,所以,三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为12
15.4
【详解】
连接 , ,作 于 , 于 .
∵ 平分 ,∴ .
又 ,∴ ,∴ ,∴ .
因此 ,从而可得 ,所以 .
又因为 ,所以有 ,整理即得
20.最小值为
【详解】
解因为 ,所以 ,所以
.
设 ,则 ,
当 时取得等号.
所以, , .
因此,当 , 时, 取得最小值 .
21.(1)证明见解析;(2)证明见解析
【详解】
证明(1)在 上取一点 ,使得 ,则 ,∴ .
又 ,∴ ,∴ ,
∴ ,∴ .
16.在圆周上按序摆放和为15的五个互不相等的正整数 , , , , ,使得 最小,则这个最小值为___________.
三、解答题
17.关于 的方程 有且仅有一个实数根,求实数 的取值范围.
18.如图,圆内接四边形 的对角线 、 交于点 ,且 , .过点 作 ,交 的延长线于点 , 的平分线分别交 、 于点 、 .
3.矩形 中, , , 、 分别为矩形外的两点, , ,则 ()
A. B.15C. D.
4.已知 为坐标原点,位于第一象限的点 在反比例函数 的图象上,位于第二象限的点 在反比例函数 的图象上,且 ,则 的值为()
A. B. C.1D.2
5.已知实数 , 满足关系式 ,则 的最小值为()
A. B. C.1D.
22.若关于 的方程 至少有一个正整数根,求满足条件的正整数 的值.

(完整版)2015年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案

(完整版)2015年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案

2015年全国初中数学联合竞赛试题第一试(A )一、选择题(每小题7分,共42分)1.设实数a ,b ,c 满足:3a b c ++=,2224a b c ++=,则222222222a b b c c ac a b +++++=---( ) A. 0B. 3C. 6D. 92.若抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点,且过点A (m ,n ),B (m -8,n ),则n =( )A. 8B. 12C. 16D. 243.矩形ABCD 中,AD =5,AB =10,E 、F 分别为矩形外的两点,BE =DF =4,AF =CE =3,则EF =( ) A. B .15 CD.4.已知O 为䝐标原点,位于第一象限的点A 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上,位于第二象限的瀹B 在反比例函数4(0)y x x=-<的图象上﬌且OA ⊥OB ,则tan ∠ABO 的值为( ) A .12B.2 C .1 D .25.已知实数x (y 满足关系式1xy x y --=,则22x y +的最小值为( )A.3-B.6-C .1 D.6+6.设n 是小于100的正整数且使2535n n +-是15的倍数,则符合条件的所有正整数n 的和是( ) A .285 B .350 C .540 D .635 二、填空题(每小题7分,共28分)7.设a ,b 是一元二次方程210x x --=的两根,则32234a b a ++的值为 . 8.从三边长均为整数且周长为24的三角形中任取一个,它是直角三角形 的概率为 .9.已知锐角△ABC 的外心为O ,AO 交BC 于D ,E 、F 分别为△ABD 、 △ACD 的外心,若AB >AC ,EF =BC ,则∠C -∠B = .10.将数字1,2,3,…,34,35,36填在6×6的方格中,每个方格填一个数字,要求每行数字从左到右是从小到大的顺序,则第三列所填6个数字的和的最小值为 .第一试(B )一、选择题(每小题7分,共42分)1.设实数a ,b ,c 满足:3a b c ++=,2224a b c ++=,则222222222a b b c c a c a b+++++=---( )A. 12B. 9C. 6D. 32.若抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点,且过点A (m ,n ),B (m -8,n ),则n =( )A. 8B. 12C. 16D. 243.矩形ABCD 中,AD =5,AB =10,E 、F 分别为矩形外的两点,BE =DF =4,AF =CE =3,则EF =( ) A. B .15CD.4.已知实数x ,y 满足关系式223x xy y ++=,则2()x y -的最大值为( )A .3B .6C .9D .125.已知O 为坐标原点,位于第一象限的点A 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上,位于第二象限的点B 在反比例函数4(0)y x x=-<的图象上,且OA ⊥OB ,则tan ∠ABO 的值为( ) A .12BC .1D .26.设n 是小于100的正整数且使2232n n --是6的倍数,则符合条件的所有正整数n 的和是( ) A .784B .850C .1536D .1634二、填空题(每小题7分,共28分)7.设a ,b 是一元二次方程210x x --=的两根,则32234a b a ++的值为 . 8.三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为 .9.C 、D 两点在以AB 为直径的半圆周上,AD 平分∠BAC ,AB =20, AD=AC 的长为 .10.在圆周上按序摆放和为15的五个互不相等的正整数a ,b ,c ,d ,e ,使得ab +bc +cd +de +ea最小,则这个最小值为 .ABCD EF第二试(A )1.(20分)关于xx 有且仅有一个实数根,求实数m 的取值范围. 2.(25分)如图,圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ,且AC ⊥BD ,AB =AC . 过点D 作DF ⊥BD ,交BA 的延长线于点F ,∠BFD 的平分线分别交AD 、BD 于点M 、N . (1)证明:∠BAD =3∠DAC ; (2)如果BF DF CDBD AC-=,证明:MN =MD .3.(25分)设正整数m ,n 满足:关于x 的方程()()x m x n x m n ++=++至少有一个正整数解,证明:222()5m n mn +<.第二试(B )1.(20分)若正数a ,b 满足ab =1,求11112M a b=+++的最小值. 2.(25分)如图,圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ,且AC ⊥BD ,AB =AC =BD . 过点D 作DF ⊥BD ,交BA 的延长线于点F ,∠BFD 的平分线分别交AD 、BD 于点M 、N . (1)证明:∠BAD =3∠DAC ;(2)如果MN =MD ,证明:BF =CD +DF .3.(25分)若关于x 的方程2343410x x k -+-=至少有一个正整数根,求满足条件的正整数k 的值.2015年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试(A )1. 解:D. 提示:∵3a b c ++=,2224a b c ++=,∴222222222444(2)(2)(2)222222a b b c c a c a b c a b c a b c a b +++---++=++=+++++------6()9a b c =+++=.2. 解:C. 提示:依题意,有22(8)(8)n m bm c m b m c =++=-+-+,于是可得82b m =-. ∵抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点,∴240b c -=,∴221(4)4c b m ==-.因此222(82)(4)16n m bm c m m m m =++=+-+-=.3. 解:C. 提示:易知∠AFD =∠BEC =90°,△BEC ≌△DF A ,∴∠DAF =∠BCE . 延长F A ,EB 交于点G . ∵∠GAB =90°-∠DAF =∠ADF ,∠GBA =90°-∠CBE =∠BCE =∠DAF ,∴△BGA ∽△AFD ,且∠AGB =90°,∴AG =8,BG =6, ∴GF =11,GE =10,∴EF ==4. 解:A. 提示:过点A 、B 分别作AC ⊥x 轴,BD ⊥x 轴,垂足为C 、D . 由OA ⊥OB 得∠AOB =90°,于是可得△AOC ∽△OBD ,∴12OAABO OB∠===. 5. 解:B. 提示:设x y t +=,则由题设条件可知11xy x y t =++=+, ∴x ,y 是关于m 的一元二次方程210m tm t -++=的两个实数根, 于是有:24(1)0t t ∆=-+≥,解得2t ≥+2t ≤-又∵22222()22(1)(1)3x y x y xy t t t +=+-=-+=--,∴当2t =-1x y ==22x y +取得最小值,最小值为2(21)36--=-6. 解:D. 提示:∵2535n n +-是15的倍数, ∴25|(535)n n +-,∴5|3n ,∴5|n . 设5n m =(m 是正整数),则2222535125155120155(1)n n m m m m m +-=+-=++-.∵2535n n +-是15的倍数,∴21m -是3的倍数,∴31m k =+或32m k =+,其中k 是非负整数.∴5(31)155n k k =+=+或5(32)1510n k k =+=+,其中k 是非负整数.∴符合条件的所有正整数n 的和是(5203550658095)(102540557085)635++++++++++++=. 7. 解:11. 提示:∵a ,b 是一元二次方程210x x --=的两根, ∴1ab =-,1a b +=,21a a =+,21b b =+, ∴332222343423(1)42(1)3362a b a b b a a b b a a b a++=++=++++=+++ 3(1)3626()511a a b a b =++++=++=.8. 解:112. 提示:设三角形的三边长为a ,b ,c (a b c ≥≥), 则324a a b c ≥++=,2()24a a b c <++=,∴812a ≤<,故a 的可能取值为8,9,10或11,满足题意的数组(a ,b ,c )可以为: (8,8,8),(9,9,6),(9,8,7),(10,10,4),(10,9,5),(10,8,6), (10,7,7),(11,11,2),(11,10,3),(11,9,4),(11,8,5),(11,7,6). 共12组,其中,只有一组是直角三角形的三边长,∴所求概率为112. 9. 解:60°. 提示:作EM ⊥BC 于点M ,FN ⊥BC 于点N ,FP ⊥EM 于点P . ∵E 、F 分别为△ABD 、△ACD 的外心, ∴M 、N 分别为BD 、CD 的中点.又EF =BC ,∴PF =MN =12BC =12EF ,∴∠PEF =30°.又EF ⊥AD ,EM ⊥BC ,∴∠ADC =∠PEF =30°. 又∠ADC =∠B +∠BAD =∠B +12(180°-2∠C )=90°+∠B -∠C ,∴∠C -∠B =90°-∠ADC =60°.10. 解:63. 提示:设第三列所填6个数字按从小到大的顺序排列后依次为A ,B ,C ,D ,E ,F .∵A 所在行前面需要填两个比A 小的数字,∴A 不小于3; ∵B 所在行前面需要填两个比B 小的数字,且A 及A 所在行前面两个数字都比B 小,∴B 不小于6.同理可知:C 不小于9,D 不小于12,E 不小于15,F 不小于18.因此,第三列所填6个数字之和A +B +C +D +E +F ≥3+6+9+12+15+18=63.如图即为使得第三列所填6个数字之和取得最小值的一种填法(后三列的数字填法不唯一).ABCD E F G第一试(B )1. 解:B. 提示:∵3a b c ++=,2224a b c ++=,∴222222222444(2)(2)(2)222222a b b c c a c a b c a b c a b c a b +++---++=++=+++++------6()9a b c =+++=.2. 解:C. 提示:依题意,有22(8)(8)n m bm c m b m c =++=-+-+,于是可得82b m =-. ∵抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点,∴240b c -=,∴221(4)4c b m ==-.因此222(82)(4)16n m bm c m m m m =++=+-+-=.3. 解:C. 提示:易知∠AFD =∠BEC =90°,△BEC ≌△DF A ,∴∠DAF =∠BCE . 延长F A ,EB 交于点G . ∵∠GAB =90°-∠DAF =∠ADF ,∠GBA =90°-∠CBE =∠BCE =∠DAF ,∴△BGA ∽△AFD ,且∠AGB =90°,∴AG =8,BG =6, ∴GF =11,GE =10,∴EF ==4. 解:D. 提示:设x y t -=,则x y t =+,代入题设等式得22()()3y t y t y y +++++=,整理得223330y ty t ++-=. 由判别式22(3)12(3)3t t ∆=--≥得t -≤22()12x y t -=≤. 5. 解:A. 提示:过点A 、B 分别作AC ⊥x 轴,BD ⊥x 轴,垂足为C 、D . 由OA ⊥OB 得∠AOB =90°,于是可得△AOC ∽△OBD ,∴12OAABO OB∠===. 6. 解:D. 提示:∵2232n n --是6的倍数, ∴22|(232)n n --,∴2|3n ,∴2|n .设2n m =(m 是正整数),则2222232862662(1)n n m m m m m --=--=-+-. ∵2232n n --是6的倍数,∴21m -是3的倍数,∴31m k =+或32m k =+,其中k 是非负整数.∴2(31)62n k k =+=+或2(32)64n k k =+=+,其中k 是非负整数. ∴符合条件的所有正整数n 的和是(2814869298)(41016828894)1634++++++++++++=L L . 7. 解:11. 提示:∵a ,b 是一元二次方程210x x --=的两根, ∴1ab =-,1a b +=,21a a =+,21b b =+, ∴332222343423(1)42(1)3362a b a b b a a b b a a b a++=++=++++=+++ 3(1)3626()511a a b a b =++++=++=.8. 解:12. 提示:设三角形的三边长为a ,b ,c (a b c ≥≥), 则324a a b c ≥++=,2()24a a b c <++=,∴812a ≤<,故a 的可能取值为8,9,10或11, 满足题意的数组(a ,b ,c )可以为: (8,8,8),(9,9,6),(9,8,7),(10,10,4),(10,9,5),(10,8,6), (10,7,7),(11,11,2),(11,10,3),(11,9,4),(11,8,5),(11,7,6). 共12组,∴三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为12. 9. 解:4. 提示:连接OD 、OC ,作DE ⊥AB 于E ,OF ⊥AC 于F .∵AD 平分∠BAC ,∴∠DOB =2∠BAD =∠OAC .又OA =OD ,∴△AOF ≌△ODE ,∴OE =AF ,∴AC =2OF =2OE .设AC =2x ,则OE =AF =x . 在Rt △ODE中,由勾股定理得DE ==在Rt △ADE 中,AD 2=DE 2+AE 2,即222(100)(10)x x =-++,解得x =2.∴AC =2x =4.10. 解:37. 提示:和为15的五个互不相等的正整数只能是1,2,3,4,5.注意到五个数在圆周上是按序摆放的,且考虑的是和式ab bc cd de ea ++++,不妨设a =5.如果1和5的位置不相邻,不妨设c =1(如图2),此时的和式为155P b b d ed e =++++; 交换1和b 的位置后,得到如图3的摆法, 此时的和式为255P b bd ed e =++++.∵1255(5)(1)0P P b dbd d b -=+--=-->,∴12P P >.因此,交换1和b 的位置使得1和5相邻(如图3)以后,和式的值会变小. 如图3,如果d =2,此时的和式为35225P b b e e =++++;交换e 和2的位置以后,得到如图4的摆法,此时的和式为45210P b be e =++++. ∵342510(5)(2)0P P b e be b e -=+--=-->,∴34P P >. 因此,交换e 和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小. 如果b =2,此时的和式为55225P d ed e =++++;交换e 和2的位置以后,得到如图5的摆法,此时的和式为65210P e ed d =++++. ∵5625104(2)0P P e e e -=+--=->,∴56P P >.因此,交换e 和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小. 综上可知:1和2摆在5的两边(如图5)时,和式的值会变小.AB CD E F Gd d d de 图1 图2 图3 图4 图5当d =3,e =4时,和式的值为754126103P =++++=; 当d =4,e =3时,和式的值为853*******P =++++=. 因此,所求最小值为37.第二试(A )1. 解:将所给方程记为方程①,显然有2x m ≥且1x ≥.若0m <x ,此时方程①无解,不符合题意,故0m ≥.方程①变形得x两边平方后整理得2242x m +-=- 再平方,整理得228(2)(4)m x m -=-.显然,应该有02m ≤<,并且此时方程①只可能有解x =将x =1=-,化简整理得???,于是有403m ≤≤,此时方程①有唯一解x =.综上所述,所求实数m 的取值范围为403m ≤≤. 2. 证明:(1)在BE 上取一点P ,使得∠BAP =∠DAC , 则△BAP ≌△CAD ,∴AP =AD . 又AE ⊥PD ,∴△ADE ≌△APE ,∴∠P AE =∠DAE ,∴∠P AE =∠BAP =∠DAC ,∴∠BAD =3∠DAC .(2)设∠DAC =α,则∠BAC =2α,∠BAD =3α,∠NDM =90°-α. 在FB 上截取FQ =FD ,连接QD ,则BQ =BF -FQ =BF -FD .又BF DF CD BD AC -=,∴BQ CD BD AC=. 又∠QBD =∠DCA ,∴△QBD ∽△DCA ,∴∠QDB =∠DAC .又∵∠DBC =∠DAC ,∴∠QDB =∠DBC ,∴QD ∥BC ,∴∠FQD =∠ABC . 又AB =AC ,∠BAC =2α,∴∠ABC =90°-α,∴∠FQD =90°-α. 又FQ =FD ,∴∠BFD =2α.∵FN 平分∠BFD ,∴∠AFM =α,∴∠NMD =∠AMF =∠BAD -∠AFM =3α-α=2α, ∴∠MND =180°-∠NMD -∠NDM =90°-α=∠MDN ,∴MN =MD .3. 证明:方程即2(1)0x m n x mn m n ++-+--= ①,方程①的判别式222(1)4()()42()1()2()1m n mn m n m n mn m n m n m n ∆=+----=+-+++=-+++.不妨设m n ≥,由题设可知,整系数方程①至少有一个正整数解,∴∆应为完全平方数. 注意到222()2()1(1)4(1)m n m n m n n m n ∆=-+++=-++>-+,22()2()1(3)(488)m n m n m n m n ∆=-+++=-+--+,若4880m n -+>,即22m n >-,则2(3)m n ∆<-+,从而有22(1)(3)m n m n -+<∆<-+,故只可能2(2)m n ∆<-+, 即22()2()1(2)m n m n m n -+++=-+,整理得332m n =-, 这与m ,n 均为正整数矛盾.因此22m n ≤-,从而可得2m n <,∴2mn<. 又∵112m n >>,∴有1()(2)02m m n n --<,整理即得222()5m n mn +<.第二试(B )1. 解:∵1ab =,∴1b a=, ∴2111111211211211212321a aM a b a a a a a a a a =+=+=+=+-=-++++++++++. 设232a a N a++=,则22333N a a =++=+++当a .∴103N <≤=-111(32M N=-≥--=.因此,当a =2b =时,11112M a b=+++取得最小值2. 2. 证明:(1)在BE 上取一点P ,使得∠BAP =∠DAC , 则△BAP ≌△CAD ,∴AP =AD .又AE ⊥PD ,∴△ADE ≌△APE ,∴∠P AE =∠DAE , ∴∠P AE =∠BAP =∠DAC ,∴∠BAD =3∠DAC . (2)设∠DAC =α,则∠BAC =2α,∠BAD =3α. ∵AC ⊥BD ,∴∠NDM =90°-α.∵MN =MD ,∴∠MND =∠MDN =90°-α, ∴∠NMD =180°-∠MND -∠NDM =2α,∴∠AMF =2α, ∴∠AFM =∠BAD -∠AMF =3α-2α=α.FN 平分∠BFD ,∴∠BFD =2∠AFM =2α.在FB 上截取FQ =FD ,连接QD ,则∠FQD =90°-α. 又AB =AC ,∠BAC =2α,∴∠ABC =90°-α,∴∠FQD =∠ABC , ∴QD ∥BC ,∴∠QDB =∠DBC .又∵∠DBC =∠DAC ,∴∠QDB =∠DAC .又∵DB =AC ,∠QBD =∠DCA ,∴△QBD ∽△DCA ,∴BQ =CD , ∴BF =BQ +FQ =CD +DF .3. 解:设方程的两个根为x 1,x 2,且x 1为正整数, 则1234x x +=,12341x x k =-.由1234x x +=知2134x x =-,∴ x 2也是整数.由k 为正整数及12341x x k =-可知20x >,∴x 2是正整数. 注意到121212(1)(1)134(1)x x x x x x k ++=+++=+, ∴1217|(1)(1)x x ++,∴117|(1)x +或217|(1)x +.若117|(1)x +,则由112134x x x +≤+=知:1117x +=或1134x +=. 当1117x +=时,116x =,218x =,此时3411618k -=⨯,k 无整数解; 当1134x +=时,133x =,21x =,此时341331k -=⨯,解得k =1. 若217|(1)x +,同样可得k =1. ∴满足条件的正整数k =1.。

2015年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷参考答案及评分细则

2015年全国初中数学联赛(初三组)初赛试卷参考答案及评分细则

2015年四川初中数学联赛初赛试题参考答案及评分标准一、选择题(本题满分42分,每小题7分)1、A2、D3、A4、B5、C6、C 二、填空题(本题满分28分,每小题7分)7、238、32 9、720 10、75- x 三、(本大题满分20分)11、已知正数a ,b 满足b a b a +=-211,求3333ba ab +的值。

解:由已知条件有ab a b 222=-,即2=-b aa b . ································ 5分又422=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a a b b a a b ,0 a ,0 b 所以22=+baa b . ················································································ 10分 6222222=-⎪⎭⎫⎝⎛+=+b a a b b a a b . ································································ 15分 故21022223333=⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b a a b b a ab b a a b b a a b . ···························· 20分 四、(本大题满分25分)12、四边形ABCD 是边长为a 的正方形,以D 为圆心,DA 为半径的圆弧与以边BC 为直径的半圆交于正方形内的一点P ,连结AP 交BC 于点Q .(1)求PC 的长度;(2)求QCBQ.解:(1)取BC 的中点O ,连结OD ,OP ,PC . 过P 点作AD EF //交CD ,AB 于E ,F 两点.因为PC DP =,OC OP =,所以DCO DPO ∆≅∆. ····························· 5分2522=+=DC OC DO 因为DHC ∆∽DCO ∆,所以DOCOCD CH =所以1=CH ,又PH CH =所以2=PC . ························································································· 10分 (2)222=-=CH CD DH ,又因为PC DO ⊥,所以由DPC ∆面积公式可以得到O554=⋅=CD DH PC PE . ········································································· 15分 在PDG Rt ∆中,由勾股定理得553=PG . 55=-=PE EF PF . ············································································ 20分 由AFP ∆∽ABQ ∆可得BQ AB FP AF =,则35553555=⨯=⋅=AFPFAB BQ所以21=QC BQ . ························································································ 25分 五、(本大题满分25分) 13、如图,一次函数623+-=x y 的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点。

2015年全国初中数学联赛试题及参考答案第一试(有答案)

2015年全国初中数学联赛试题及参考答案第一试(有答案)

2016年全国初中数学联赛试题及参考答案(第一试)第一试(A)一、选择题(本题满分42分,每小题7分)1.用[x]表示不超过x的最大整数,把x-[x]称为x的小数部分,已知t=12-槡3,a是t的小数部分,b是-t的小数部分,则12b-1a=( ).(A)12 (B)槡32 (C)1 (D)槡3[答](A).∵ t=12-槡3=2+槡3而3<2+槡3<4,∴ a=t-3=槡3-1又∵ -t=-2-槡3,而-4<-2-槡3<-3,∴ b=-t-(-4)=2-槡3.∴ 12b-1a=12(2-槡3)-1槡3-1=2+槡32-槡3+12=12.2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元,某学校计划恰好用500元购买上述图书30本,那么不同的购书方案共有( ).(A)9种 (B)10种(C)11种 (D)12种[答](C).设购买三种图书的数量分别为a,b,c,则a+b+c=30,10a+15b+20c=500,易得b=20-2a,c=10+a,于是a有11种可能的取值(分别为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10).对于每一个a值,对应地可求出唯一的b和c,所以,不同的购书方案共有11种.3.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差,则称这个正整数为“和谐数”。

如:2=13-(-1)3,26=33-13,2和26均为“和谐数”.那么,不超过2016的正整数中,所有的“和谐数”之和为( ).(A)6858 (B)6860(C)9260 (D)9262.[答](B).注意到(2k+1)3-(2k-1)3=2(12k2+1),由2(12k2+1)≤2016得|k|<10.取k=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,即得所有的不超过2016的“和谐数”,它们的和为[13-(-1)3]+(33-13)+(53-63)+…+(193-173)=193+1=6860.4.已知⊙O的半径OD垂直于弦AB,交AB于点C,连接AO并延长交⊙O于点E,若AB=8,CD=2,则△BCE的面积为( ).(A)12 (B)15 (C)16 (D)18[答](A).设OC=x,则OA=OD=x+2,在Rt△OAC中,由勾股定理得OC2+AC2=OA2,即x2+42=(x+2)2,解得x=3.又OC为△ABE的中位线,所以BE=2OC=6.所以直角△BCE的面积为12CB·BE=12.5.如图,在四边形ABCD中,∠BAC=∠BDC=90°,AB=AC=槡5,CD=1,对角线的交点为M,则DM=( ).(A)槡32 (B)槡53(C)槡22 (D)12[答](D).作AH⊥BD于点H,易知△AMH∽△CMD,所以AHCD=AMCM,又CD=1,所以AH=AMCM①设AM=x,则CM槡=5-x.在Rt△ABM中,可得AH=AB·AMBM=槡5x5+x槡2.所以,由①式得槡5x5+x槡2=x槡5-x,解得x=槡52(另一解x槡=2 5舍去).所以CM=槡52,DM=CM2-CD槡2=12.6.设实数x,y,z满足x+y+z=1,则M=xy+2yz+3xz的最大值为( ).(A)12 (B)23 (C)34 (D)1[答](C).M=xy+2yz+3xz=xy+(2y+3x)(1-x-y)=-3x2-4xy-2y2+3x+2y=-2[y2+2(x-12)y+(x-12)2]-3x2+3x+2(x-12)2=-2(y+x-12)2-x2+x+12=-2(y+x-12)2-(x-12)2+34≤34,所以M=xy+2yz+3xz的最大值为34.二、填空题(本题满分28分,每小题7分)1.已知△ABC的顶点A、C在反比例函数y=槡3x(x>0)的图像上,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AB⊥x轴,点B在点A的上方,且AB=6,则点C的坐标为.[答](槡32,2).作CD⊥AB于点D,易求得CD3 =槡32,AD=32.设C(m,槡3m),A(n,槡3n),结合题意可知n>m>0,D(n,槡3m),所以CD=n-m,AD=槡3m-槡3n,故n-m3 =槡32,槡3m-槡3n=32,联立解得m=槡32,n槡=2 3.所以,点C的坐标为(槡32,2).2.在四边形ABCD中,BC∥AD,CA平分∠BCD,O为对角线的交点,CD=AO,BC=OD,则∠ABC=.[答]126°.因为BC∥AD,CA平分∠BCD,所以∠DAC=∠ACB=∠ACD,所以DA=DC,又CD=AO,所以AD=AO,所以∠ADO=∠AOD.记∠DAC=∠ACB=∠ACD=α,∠ADO=∠AOD=β.又BC∥AD,所以△ADO∽△CBO,结合AD=AO可得OC=BC,且∠CBO=∠COB=β.又BC=OD,所以OC=OD,所以∠ODC=∠OCD=α.结合图形可得:β=2α且α+2β=180°,解得α=36°,β=72°.所以∠DBC=∠DCB=72°,所以BD=CD=AD,所以∠DAB=∠DBA=54°,于是可得∠ABC=∠ABD=∠DBC=126°. 3.有位学生忘记写两个三位数间的乘号,得到一个六位数,这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍,这个六位数是.[答]167334.设两个三位数分别为和y,由题设知1000x+y=3xy①由①式得y=3xy-1000x=(3y-1000)x,故y是x的整数倍,不妨设y=tx(t为正整数),代入①式得1000+t=3tx,所以x=1000+t3t.因为是三位数,所以x=1000+t3t≥100,从而可得t≤1000299,又t为正整数,故t的可能的取值只能是1,2,3.验证可知:只有t=2符合题意,所以t=2,x=167,y=334,所求的六位数为167334.4.将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内(每格填入一个数),使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和,设这5个和的最小值为M,则M的最大值为.[答]10.依据5个1分布的列数的不同情形分别求M的最大值,若5个1分布在同一列,则M=5;若5个1分布在两列中,则由题设知这两列中出现的最大数至多为3,故2 M≤5×1+5×3=20,所以M≤10;若5个1分布在三列中,则由题设知这三列中出现的最大数至多为3,故3 M≤5×1+5×2+5×3=30,所以M≤10;若5个1分布在至少四列中,则其中某一列至少有一个数大于3,与题设矛盾.1 1 1 4 51 1 2 4 52 2 2 4 53 3 3 4 53 3 3 4 5 综上所述,M≤10;另一方面,右边给出的例子说明M可以取到10.故M的最大值为10.第一试(B)一、选择题(本题满分42分,每小题7分)1.题目和解答与(A)卷第1题相同.2.题目和解答与(A)卷第2题相同.3.已知二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)的图像的顶点在第二象限,且过点(1,0).当a-b为整数时,ab=( ).(A)0 (B)14 (C)-34 (D)-2[答](B).由于二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)的图象的顶点在第二象限,且过点(1,0)和(0,1),故a<0,-b2a<0,a+b+1=0,所以b<0且b=-a-1,于是可得-1<a<0.当a-b=2a+1为整数时,因为-1<2a+1<1,所以2a+1=0,a=-12,b=-12,所以ab=14.4.题目和解答与(A)卷第4题相同.5.题目和解答与(A)卷第5题相同.6.题目和解答与(A)卷第6题相同.二、填空题(本题满分28分,每小题7分)1.已知△ABC的最大边BC上的高线AD和中线AM恰好把∠BAC三等分,AD=槡3,则AM=.[答]2.显然∠ABC≠∠ACB.若∠ABC∠ACB,则由已知条件易知△ADM≌△ADB,所以BD=DM=12CM.又因为AM平分∠DAC,所以,由角平分线定理可得ADAC=DMCM=12,即cos∠DAC=12,所以∠DAC=60°,进而可得∠BAC=90°,∠ACD=30°.在Rt△ADC中,AD槡=3,∠ACD=30°,可求得CD=3,所以DM=1.在Rt△ADM中,由勾股定理得AM=AD2+DM槡2=2.若∠ABC<∠ACB,同理可求得AM=2.2.题目和解答与(A)卷第1题相同.3.若质数p,q满足:3q-p-4=0,p+q<111.则pq的最大值为.[答]1007.由3q-p-4=0得p=3q-4,所以pq=q(3q-4),显然q(3q-4)的值随着质数q的增大而增大,当且仅当q取得最大值时pq取得最大值.又因为p+q<111即p+q=4q-4<111,所以q<29.因为q为质数,所以q的可能的取值为23,19,17,13,11,7,5,3,2.当q=23时,p=3q-4=65,不是质数;当q=19时,p=3q-4=53,是质数.所以,q的最大值为19,pq的最大值为53×19=1007.4.题目和解答与(A)卷第3题相同.。

2015 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

2015 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准

AB AC , EF BC ,则 C B ____________.
【答】 60 .
E
作 EM BC 于点 M , FN BC 于点 N , FP EM 于点 P .
∵ E 、 F 分别为△ ABD 、△ ACD 的外心,∴ M 、 N 分别为 BD 、CD 的中
点.又 EF BC ,∴ PF MN 1 BC 1 EF ,∴ PEF 30 .
6. 设 n 是小于 100 的正整数且使 5n2 3n 5 是 15 的倍数,则符合条件的所有正整数 n 的和是( )
A.285. 【答】D.
B.350.
C.540.
D.635.
∵ 5n2 3n 5 是 15 的倍数,∴ 5 | (5n2 3n 5) ,∴ 5 | 3n ,∴ 5 | n ,设 n 5m ( m 是正整数),
∴符合条件的所有正整数 n 的和是(2+8+14+…+86+92+98)+(4+10+16+…+82+88+94)
=1634. 二、填空题:(本题满分 28 分,每小题 7 分) 1.题目和解答与(A)卷第 1 题相同. 2. 三边长均为整数且周长为 24 的三角形的个数为________. 【答】12.
C E
B
G
∴ GF 11, GE 10 ,∴ EF GE2 GF 2 221 .
4. 已知 O 为坐标原点,位于第一象限的点 A 在反比例函数 y 1 (x 0) 的图象上,位于第二象限的 x
点 B 在反比例函数 y 4 (x 0) 的图象上,且 OA OB ,则 tan ABO 的值为 x
同理可知: C 不小于 9, D 不小于 12, E 不小于 15, F 不小于 18.
因此,第三列所填 6 个数字之和 A + B + C + D + E + F 3 6 9 12 15 18 63.

2015全国初中联赛初一(含答案)最新出炉!

2015全国初中联赛初一(含答案)最新出炉!
解 ∵ a 1 ,∴
· · · · · · · · · · · · · ·10 分
2
1 b b 2 q b 3 6b 6b 2 而 b 9 9b 9b 9b 3

· · · · · · · · · · · · · ·20 分
a c 2 b d 3 2 。 3
设数轴上数 x 对应点 P ∴原式 2 | PA | | PB | | PC | | PD |
| PA | | PD | | PA | | PC | | PB | | AD | | AC | 4
∴当 P 在 B 点即 x 1 时,原式有最小值 4. 10.若正整数 n 有 6 个正约数(包括 1 和本身) ,称其为“好数” ,则不超过 50 的好数有_____个. 【答】8. ∵ n 有 6 个正约数 故 n 的标准质因数分解式为 n P 或 n pq ( p、 q 为素数, p, q 1 )
3 2 2


4. 如图所示, AOC 50 , BOD 80 , COD 2AOB ,则 BOC ( )

A. 15

B. 20

C. 25 【答】B。

D. 30

设 AOB , BOC 所以, COD 2 ,所以,
50 30 2 80 20
设 b 2k ,由 * 知 a 2k 1 ∴ a b 4k 1 ,故 4 | n 1 · · · · · · · · · · · · ·25 分
2 2
所以, a b a b 0 ,所以, a b a b 1 0

全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准(A卷和B卷)

全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准(A卷和B卷)

全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准(A 卷和B 卷)第一试(A )一、选择题(每小题7分,共42分)1.设实数a ,b ,c 满足:3a b c ++=,2224a b c ++=,则222222222a b b c c a c a b+++++=---()A. 0B. 3C. 6D. 92.若抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点,且过点A (m ,n ),B (m -8,n ),则n =()A. 8B. 12C. 16D. 243.矩形ABCD 中,AD =5,AB =10,E 、F 分别为矩形外的两点,BE =DF =4,AF =CE =3,则EF =()A. B .15 CD.4.已知O 为䝐标原点,位于第一象限的点A 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上,位于第二象限的瀹B 在反比例函数4(0)y x x=-<的图象上﬌且OA ⊥OB ,则tan ∠ABO 的值为() A .12B.2C .1D .25.已知实数x (y 满足关系式1xy x y --=,则22x y +的最小值为() A.3-B.6-C .1D.6+6.设n 是小于100的正整数且使2535n n +-是15的倍数,则符合条件的所有正整数n 的和是() A .285 B .350 C .540 D .635 二、填空题(每小题7分,共28分)7.设a ,b 是一元二次方程210x x --=的两根,则32234a b a ++的值为. 8.从三边长均为整数且周长为24的三角形中任取一个,它是直角三角形 的概率为.9.已知锐角△ABC 的外心为O ,AO 交BC 于D ,E 、F 分别为△ABD 、△ACD 的外心,若AB >AC ,EF =BC ,则∠C -∠B =.AB CD EF10.将数字1,2,3,…,34,35,36填在6×6的方格中,每个方格填一个数字,要求每行数字从左到右是从小到大的顺序,则第三列所填6个数字的和的最小值为.第一试(B )一、选择题(每小题7分,共42分)1.设实数a ,b ,c 满足:3a b c ++=,2224a b c ++=,则222222222a b b c c a c a b+++++=---()A. 12B. 9C. 6D. 32.若抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点,且过点A (m ,n ),B (m -8,n ),则n =()A. 8B. 12C. 16D. 243.矩形ABCD 中,AD =5,AB =10,E 、F 分别为矩形外的两点,BE =DF =4,AF =CE =3,则EF =() A. B .15CD. 4.已知实数x ,y 满足关系式223x xy y ++=,则2()x y -的最大值为()A .3B .6C .9D .125.已知O 为坐标原点,位于第一象限的点A 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上,位于第二象限的点B 在反比例函数4(0)y x x=-<的图象上,且OA ⊥OB ,则tan ∠ABO 的值为() A .12B.2C .1D .26.设n 是小于100的正整数且使2232n n --是6的倍数,则符合条件的所有正整数n 的和是() A .784B .850C .1536D .1634二、填空题(每小题7分,共28分)7.设a ,b 是一元二次方程210x x --=的两根,则32234a b a ++的值为. 8.三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为.9.C 、D 两点在以AB 为直径的半圆周上,AD 平分∠BAC ,AB =20,AD=AC 的长为.10.在圆周上按序摆放和为15的五个互不相等的正整数a,b,c,d,e,使得ab+bc+cd +de+ea最小,则这个最小值为.第二试(A)1.(20分)关于xx有且仅有一个实数根,求实数m的取值范围.2.(25分)如图,圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E,且AC⊥BD,AB=AC.过点D作DF⊥BD,交BA的延长线于点F,∠BFD的平分线分别交AD、BD于点M、N.(1)证明:∠BAD=3∠DAC;(2)如果BF DF CDBD AC-=,证明:MN=MD.3.(25分)设正整数m ,n 满足:关于x 的方程()()x m x n x m n ++=++至少有一个正整数解,证明:222()5m n mn +<.第二试(B )1.(20分)若正数a ,b 满足ab =1,求11112M a b=+++的最小值. 2.(25分)如图,圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ,且AC ⊥BD ,AB =AC =BD . 过点D 作DF ⊥BD ,交BA 的延长线于点F ,∠BFD 的平分线分别交AD 、BD 于点M 、N .(1)证明:∠BAD =3∠DAC ;(2)如果MN =MD ,证明:BF =CD +DF .3.(25分)若关于x 的方程2343410x x k -+-=至少有一个正整数根,求满足条件的正整数k 的值.2015年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试(A )1. 解:D. 提示:∵3a b c ++=,2224a b c ++=,∴222222222444(2)(2)(2)222222a b b c c a c a b c a b c a b c a b +++---++=++=+++++------6()9a b c =+++=.2. 解:C. 提示:依题意,有22(8)(8)n m bm c m b m c =++=-+-+,于是可得82b m =-. ∵抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点,∴240b c -=,∴221(4)4c b m ==-.因此222(82)(4)16n m bm c m m m m =++=+-+-=.3. 解:C. 提示:易知∠AFD =∠BEC =90°,△BEC ≌△DF A ,∴∠DAF =∠BCE . 延长F A ,EB 交于点G . ∵∠GAB =90°-∠DAF =∠ADF , ∠GBA =90°-∠CBE =∠BCE =∠DAF , ∴△BGA ∽△AFD ,且∠AGB =90°,∴AG =8,BG =6, ∴GF =11,GE =10,∴EF ==4. 解:A. 提示:过点A 、B 分别作AC ⊥x 轴,BD ⊥x 轴,垂足为C 、D . 由OA ⊥OB 得∠AOB =90°,于是可得△AOC ∽△OBD ,∴12OAABO OB∠====. 5. 解:B. 提示:设x y t +=,则由题设条件可知11xy x y t =++=+,AB CD EFG∴x ,y 是关于m 的一元二次方程210m tm t -++=的两个实数根, 于是有:24(1)0t t ∆=-+≥,解得2t ≥+2t ≤-又∵22222()22(1)(1)3x y x y xy t t t +=+-=-+=--,∴当2t =-1x y ==)时,22x y +取得最小值,最小值为2(21)36---=-6. 解:D. 提示:∵2535n n +-是15的倍数, ∴25|(535)n n +-,∴5|3n ,∴5|n . 设5n m =(m 是正整数),则2222535125155120155(1)n n m m m m m +-=+-=++-. ∵2535n n +-是15的倍数,∴21m -是3的倍数, ∴31m k =+或32m k =+,其中k 是非负整数.∴5(31)155n k k =+=+或5(32)1510n k k =+=+,其中k 是非负整数. ∴符合条件的所有正整数n 的和是(5203550658095)(102540557085)635++++++++++++=. 7. 解:11. 提示:∵a ,b 是一元二次方程210x x --=的两根, ∴1ab =-,1a b +=,21a a =+,21b b =+, ∴332222343423(1)42(1)3362a b a b b a a b b a a b a++=++=++++=+++ 3(1)3626()511a a b a b =++++=++=.8. 解:112. 提示:设三角形的三边长为a ,b ,c (a b c ≥≥), 则324a a b c ≥++=,2()24a a b c <++=,∴812a ≤<,故a 的可能取值为8,9,10或11, 满足题意的数组(a ,b ,c )可以为: (8,8,8),(9,9,6),(9,8,7),(10,10,4),(10,9,5),(10,8,6), (10,7,7),(11,11,2),(11,10,3),(11,9,4),(11,8,5),(11,7,6). 共12组,其中,只有一组是直角三角形的三边长, ∴所求概率为112.9. 解:60°. 提示:作EM ⊥BC 于点M ,FN ⊥BC 于点N ,FP ⊥EM 于点P . ∵E 、F 分别为△ABD 、△ACD 的外心, ∴M 、N 分别为BD 、CD 的中点. 又EF =BC ,∴PF =MN =12BC =12EF ,∴∠PEF =30°. 又EF ⊥AD ,EM ⊥BC ,∴∠ADC =∠PEF =30°.又∠ADC =∠B +∠BAD =∠B +12(180°-2∠C )=90°+∠B -∠C , ∴∠C -∠B =90°-∠ADC =60°.10. 解:63. 提示:设第三列所填6个数字按从小到大的顺序排列后依次为A ,B ,C ,D ,E ,F .∵A 所在行前面需要填两个比A 小的数字,∴A 不小于3; ∵B 所在行前面需要填两个比B 小的数字,且A 及A 所在行前面两个数字都比B 小,∴B 不小于6.同理可知:C 不小于9,D 不小于12,E 不小于15,F 不小于18.因此,第三列所填6个数字之和A +B +C +D +E +F ≥3+6+9+12+15+18=63. 如图即为使得第三列所填6个数字之和取得最小值的一种填法(后三列的数字填法不唯一).第一试(B )1. 解:B. 提示:∵3a b c ++=,2224a b c ++=,∴222222222444(2)(2)(2)222222a b b c c a c a b c a b c a b c a b +++---++=++=+++++------6()9a b c =+++=.2. 解:C. 提示:依题意,有22(8)(8)n m bmc m b m c =++=-+-+,于是可得82b m =-. ∵抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点,∴240b c -=,∴221(4)4c b m ==-.因此222(82)(4)16n m bm c m m m m =++=+-+-=.3. 解:C. 提示:易知∠AFD =∠BEC =90°,△BEC ≌△DF A ,∴∠DAF =∠BCE . 延长F A ,EB 交于点G . ∵∠GAB =90°-∠DAF =∠ADF , ∠GBA =90°-∠CBE =∠BCE =∠DAF , ∴△BGA ∽△AFD ,且∠AGB =90°,∴AG =8,BG =6, ∴GF =11,GE =10,∴EF ==4. 解:D. 提示:设x y t -=,则x y t =+,AB CD EFG代入题设等式得22()()3y t y t y y +++++=,整理得223330y ty t ++-=. 由判别式22(3)12(3)3t t ∆=--≥得t -≤≤,故22()12x y t -=≤. 5. 解:A. 提示:过点A 、B 分别作AC ⊥x 轴,BD ⊥x 轴,垂足为C 、D . 由OA ⊥OB 得∠AOB =90°,于是可得△AOC ∽△OBD ,∴12OAABO OB∠====. 6. 解:D. 提示:∵2232n n --是6的倍数, ∴22|(232)n n --,∴2|3n ,∴2|n .设2n m =(m 是正整数),则2222232862662(1)n n m m m m m --=--=-+-. ∵2232n n --是6的倍数,∴21m -是3的倍数,∴31m k =+或32m k =+,其中k 是非负整数.∴2(31)62n k k =+=+或2(32)64n k k =+=+,其中k 是非负整数. ∴符合条件的所有正整数n 的和是(2814869298)(41016828894)1634++++++++++++=.7. 解:11. 提示:∵a ,b 是一元二次方程210x x --=的两根, ∴1ab =-,1a b +=,21a a =+,21b b =+, ∴332222343423(1)42(1)3362a b a b b a a b b a a b a++=++=++++=+++ 3(1)3626()511a a b a b =++++=++=.8. 解:12. 提示:设三角形的三边长为a ,b ,c (a b c ≥≥), 则324a a b c ≥++=,2()24a a b c <++=,∴812a ≤<,故a 的可能取值为8,9,10或11, 满足题意的数组(a ,b ,c )可以为: (8,8,8),(9,9,6),(9,8,7),(10,10,4),(10,9,5),(10,8,6), (10,7,7),(11,11,2),(11,10,3),(11,9,4),(11,8,5),(11,7,6). 共12组,∴三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为12.9. 解:4. 提示:连接OD 、OC ,作DE ⊥AB 于E ,OF ⊥AC 于F . ∵AD 平分∠BAC ,∴∠DOB =2∠BAD =∠OAC .又OA =OD ,∴△AOF ≌△ODE ,∴OE =AF ,∴AC =2OF =2OE . 设AC =2x ,则OE =AF =x . 在Rt △ODE中,由勾股定理得DE =在Rt △ADE 中,AD 2=DE 2+AE 2,即222(100)(10)x x =-++,解得x =2.∴AC =2x =4.10. 解:37. 提示:和为15的五个互不相等的正整数只能是1,2,3,4,5.注意到五个数在圆周上是按序摆放的,且考虑的是和式ab bc cd de ea ++++,不妨设a =5.如果1和5的位置不相邻,不妨设c =1(如图2), 此时的和式为155P b b d ed e =++++; 交换1和b 的位置后,得到如图3的摆法, 此时的和式为255P b bd ed e =++++.∵1255(5)(1)0P P b d bd d b -=+--=-->,∴12P P >.因此,交换1和b 的位置使得1和5相邻(如图3)以后,和式的值会变小. 如图3,如果d =2,此时的和式为35225P b b e e =++++; 交换e 和2的位置以后,得到如图4的摆法,此时的和式为45210P b be e =++++. ∵342510(5)(2)0P P b e be b e -=+--=-->,∴34P P >. 因此,交换e 和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小. 如果b =2,此时的和式为55225P d ed e =++++;交换e 和2的位置以后,得到如图5的摆法,此时的和式为65210P e ed d =++++. ∵5625104(2)0P P e e e -=+--=->,∴56P P >.因此,交换e 和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小. 综上可知:1和2摆在5的两边(如图5)时,和式的值会变小. 当d =3,e =4时,和式的值为754126103P =++++=; 当d =4,e =3时,和式的值为853*******P =++++=. 因此,所求最小值为37.第二试(A )1. 解:将所给方程记为方程①,显然有2x m ≥且1x ≥.若0m <x >,此时方程①无解,不符合题意,故0m ≥.方程①变形得x两边平方后整理得2242x m +-=- 再平方,整理得228(2)(4)m x m -=-.显然,应该有02m ≤<,并且此时方程①只可能有解x =将x =1=-,化简整理得,于是有403m ≤≤,dddd e图1图2图3图4图5此时方程①有唯一解x =综上所述,所求实数m 的取值范围为403m ≤≤.2. 证明:(1)在BE 上取一点P ,使得∠BAP =∠DAC , 则△BAP ≌△CAD ,∴AP =AD .又AE ⊥PD ,∴△ADE ≌△APE ,∴∠P AE =∠DAE , ∴∠P AE =∠BAP =∠DAC ,∴∠BAD =3∠DAC .(2)设∠DAC =α,则∠BAC =2α,∠BAD =3α,∠NDM =90°-α. 在FB 上截取FQ =FD ,连接QD ,则BQ =BF -FQ =BF -FD . 又BF DF CD BD AC -=,∴BQ CDBD AC=. 又∠QBD =∠DCA ,∴△QBD ∽△DCA ,∴∠QDB =∠DAC .又∵∠DBC =∠DAC ,∴∠QDB =∠DBC ,∴QD ∥BC ,∴∠FQD =∠ABC . 又AB =AC ,∠BAC =2α,∴∠ABC =90°-α,∴∠FQD =90°-α. 又FQ =FD ,∴∠BFD =2α.∵FN 平分∠BFD ,∴∠AFM =α,∴∠NMD =∠AMF =∠BAD -∠AFM =3α-α=2α, ∴∠MND =180°-∠NMD -∠NDM =90°-α=∠MDN ,∴MN =MD . 3. 证明:方程即2(1)0x m n x mn m n ++-+--=①, 方程①的判别式222(1)4()()42()1()2()1m n mn m n m n mn m n m n m n ∆=+----=+-+++=-+++.不妨设m n ≥,由题设可知,整系数方程①至少有一个正整数解,∴∆应为完全平方数. 注意到222()2()1(1)4(1)m n m n m n n m n ∆=-+++=-++>-+,22()2()1(3)(488)m n m n m n m n ∆=-+++=-+--+,若4880m n -+>,即22m n >-,则2(3)m n ∆<-+,从而有22(1)(3)m n m n -+<∆<-+,故只可能2(2)m n ∆<-+, 即22()2()1(2)m n m n m n -+++=-+,整理得332m n =-, 这与m ,n 均为正整数矛盾.因此22m n ≤-,从而可得2m n <,∴2mn<. 又∵112m n >>,∴有1()(2)02m m n n --<,整理即得222()5m n mn +<.第二试(B )1. 解:∵1ab =,∴1b a=, ∴2111111211211211212321a a M a b a a a a a a a a=+=+=+=+-=-++++++++++. 设232a a N a++=,则22333N a a =++=+++当a =.∴103N <≤=-111(32M N=-≥--=.因此,当ab =时,11112M a b =+++取得最小值2.2. 证明:(1)在BE 上取一点P ,使得∠BAP =∠DAC ,则△BAP ≌△CAD ,∴AP =AD .又AE ⊥PD ,∴△ADE ≌△APE ,∴∠P AE =∠DAE ,∴∠P AE =∠BAP =∠DAC ,∴∠BAD =3∠DAC .(2)设∠DAC =α,则∠BAC =2α,∠BAD =3α.∵AC ⊥BD ,∴∠NDM =90°-α.∵MN =MD ,∴∠MND =∠MDN =90°-α,∴∠NMD =180°-∠MND -∠NDM =2α,∴∠AMF =2α,∴∠AFM =∠BAD -∠AMF =3α-2α=α.∵FN 平分∠BFD ,∴∠BFD =2∠AFM =2α.在FB 上截取FQ =FD ,连接QD ,则∠FQD =90°-α.又AB =AC ,∠BAC =2α,∴∠ABC =90°-α,∴∠FQD =∠ABC ,∴QD ∥BC ,∴∠QDB =∠DBC .又∵∠DBC =∠DAC ,∴∠QDB =∠DAC .又∵DB =AC ,∠QBD =∠DCA ,∴△QBD ∽△DCA ,∴BQ =CD ,∴BF =BQ +FQ =CD +DF .3. 解:设方程的两个根为x 1,x 2,且x 1为正整数,则1234x x +=,12341x x k =-.由1234x x +=知2134x x =-,∴ x 2也是整数.由k 为正整数及12341x x k =-可知20x >,∴x 2是正整数.注意到121212(1)(1)134(1)x x x x x x k ++=+++=+,∴1217|(1)(1)x x ++,∴117|(1)x +或217|(1)x +. 若117|(1)x +,则由112134x x x +≤+=知:1117x +=或1134x +=. 当1117x +=时,116x =,218x =,此时3411618k -=⨯,k 无整数解; 当1134x +=时,133x =,21x =,此时341331k -=⨯,解得k =1. 若217|(1)x +,同样可得k =1.∴满足条件的正整数k =1.。

2015年全国初中数学邀请赛详解

2015年全国初中数学邀请赛详解

DAB CBA 360 ADC DCB 2 x y 120 ;
∴ CBA 120 . 10. 8
1 解: Sn n (n 1) , 对于 2015 的任意一个正约数 d ,易知在 1 2015 中, 2 2015 恰有一个 n 满足 n 是 d 的倍数,且 n 1是 的倍数. 即 2015 的每个约数都会 d
2
1 x2 x 5 21 4 1 21 1 ∴ 2x 1 2x 1 2x 1 4 2x 1 4 2x 1 ∴ x 可取 1,3,10;
3
x 1 x 3 验证得: n 2 或 n 2 ; p 3 p 7 ∴x n p 6 或 12. 13. 解:延长 I1 I 2 分别与 BD、AC 交于点 E、F ,设 BD、AC 相交于点 G ; 1 1 ∵ DI 1C 90 DAC 90 DAC DI 2C ; 2 2 ∴ D、 I1、I2、 C 四点共圆; ∴ DI 1E 180 DI1F DCI 2 , CI2 F 180 CI2 E CDI1 ; ∴ GEF EDI 1 DI 1E ADI1 ADB DCI 2 1 B ADC BCD ADB ; A 2 I3 GFE FCI 2 FI 2C G BCI 2 BCA CDI1 F E I 2 1 I1 ADC BCD ADB ; 2 D C ∴ GEF GFE ; ∴ GE GF ; ∵ GI 3 平分 AGB ; ∴ GI 3 EF 。 14. 解:如果一共有 13 个数,则可排列如下: a1 , a 2 , a 3 , , a8 , a 9 , a1 , a 2 , a 3 , , a8 , a 9 , a2 , a3 , a4 , , a9 , a10 , a2 , a3 , a4 , , a9 , a10 , a3 , a4 , a5 , , a10 , a11 , a3 , a4 , a5 , , a10 , a11 , a4 , a5 , a6 , , a11 , a12 , a4 , a5 , a6 , , a11 , a12 , a5 , a6 , a7 , , a12 , a13 . a5 , a6 , a7 , , a12 , a13 .

2015年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案

2015年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案

2015年全国初中数学联合竞赛试题第一试〔A 〕一、选择题〔每题7分,共42分〕1.设实数a ,b ,c 满足:3a b c ++=,2224a b c ++=,则222222222a b b c c a c a b+++++=---〔 〕A. 0B. 3C. 6D. 92.假设抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点,且过点A 〔m ,n 〕,B 〔m -8,n 〕,则n =〔 〕A. 8B. 12C. 16D. 243.矩形ABCD 中,AD =5,AB =10,E 、F 分别为矩形外的两点,BE =DF =4,AF =CE =3,则EF =〔 〕 A. B .15 CD.4.已知O 为䝐标原点,位于第一象限的点A 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上,位于第二象限的瀹B 在反比例函数4(0)y x x=-<的图象上﬌且OA ⊥OB ,则tan ∠ABO 的值为〔 〕 A .12BC .1D .25.已知实数x 〔y 满足关系式1xy x y --=,则22x y +的最小值为〔 〕A.3-B.6-C .1 D.6+6.设n 是小于100的正整数且使2535n n +-是15的倍数,则符合条件的所有正整数n 的和是〔 〕A .285B .350C .540D .635 二、填空题〔每题7分,共28分〕7.设a ,b 是一元二次方程210x x --=的两根,则32234a b a ++的值为 . 8.从三边长均为整数且周长为24的三角形中任取一个,它是直角三角形 的概率为 .9.已知锐角△ABC 的外心为O ,AO 交BC 于D ,E 、F 分别为△ABD 、 △ACD 的外心,假设AB >AC ,EF =BC ,则∠C -∠B = .10.将数字1,2,3,…,34,35,36填在6×6的方格中,每个方格填一个数字,要求每行数字从左到右是从小到大的顺序,则第三列所填6个数字的和的最小值为 .第一试〔B 〕一、选择题〔每题7分,共42分〕1.设实数a ,b ,c 满足:3a b c ++=,2224a b c ++=,则222222222a b b c c a c a b+++++=---〔 〕A. 12B. 9C. 6D. 32.假设抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点,且过点A 〔m ,n 〕,B 〔m -8,n 〕,则n =〔 〕A. 8B. 12C. 16D. 243.矩形ABCD 中,AD =5,AB =10,E 、F 分别为矩形外的两点,BE =DF =4,AF =CE =3,则EF =〔 〕 A. B .15CD.4.已知实数x ,y 满足关系式223x xy y ++=,则2()x y -的最大值为〔 〕A .3B .6C .9D .125.已知O 为坐标原点,位于第一象限的点A 在反比例函数1(0)y x x=>的图象上,位于第二象限的点B 在反比例函数4(0)y x x=-<的图象上,且OA ⊥OB ,则tan ∠ABO 的值为〔 〕 A .12B.2C .1D .26.设n 是小于100的正整数且使2232n n --是6的倍数,则符合条件的所有正整数n 的和是〔 〕 A .784B .850C .1536D .1634二、填空题〔每题7分,共28分〕7.设a ,b 是一元二次方程210x x --=的两根,则32234a b a++的值为 . 8.三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为 .9.C 、D 两点在以AB 为直径的半圆周上,AD 平分∠BAC ,AB =20, AD=AC 的长为 .10.在圆周上按序摆放和为15的五个互不相等的正整数a ,b ,c ,d ,e ,使得ab +bc +cd +de +ea最小,则这个最小值为 .ABCD EFAOB第二试〔A 〕1.〔20分〕关于xx 有且仅有一个实数根,求实数m 的取值范围. 2.〔25分〕如图,圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ,且AC ⊥BD ,AB =AC . 过点D 作DF ⊥BD ,交BA 的延长线于点F ,∠BFD 的平分线分别交AD 、BD 于点M 、N . 〔1〕证明:∠BAD =3∠DAC ; 〔2〕如果BF DF CDBD AC-=,证明:MN =MD .3.〔25分〕设正整数m ,n 满足:关于x 的方程()()x m x n x m n ++=++至少有一个正整数解,证明:222()5m n mn +<.第二试〔B 〕1.〔20分〕假设正数a ,b 满足ab =1,求11112M a b=+++的最小值. 2.〔25分〕如图,圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ,且AC ⊥BD ,AB =AC =BD . 过点D 作DF ⊥BD ,交BA 的延长线于点F ,∠BFD 的平分线分别交AD 、BD 于点M 、N . 〔1〕证明:∠BAD =3∠DAC ;〔2〕如果MN =MD ,证明:BF =CD +DF .3.〔25分〕假设关于x 的方程2343410x x k -+-=至少有一个正整数根,求满足条件的正整数k 的值.2015年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试〔A 〕1. 解:D. 提示:∵3a b c ++=,2224a b c ++=,∴222222222444(2)(2)(2)222222a b b c c a c a b c a b c a b c a b +++---++=++=+++++------6()9a b c =+++=.2. 解:C. 提示:依题意,有22(8)(8)n m bm c m b m c =++=-+-+,于是可得82b m =-. ∵抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点,∴240b c -=,∴221(4)4c b m ==-.因此222(82)(4)16n m bm c m m m m =++=+-+-=.3. 解:C. 提示:易知∠AFD =∠BEC =90°,△BEC ≌△DF A ,∴∠DAF =∠BCE . 延长F A ,EB 交于点G . ∵∠GAB =90°-∠DAF =∠ADF ,∠GBA =90°-∠CBE =∠BCE =∠DAF ,∴△BGA ∽△AFD ,且∠AGB =90°,∴AG =8,BG =6, ∴GF =11,GE =10,∴EF ==4. 解:A. 提示:过点A 、B 分别作AC ⊥x 轴,BD ⊥x 轴,垂足为C 、D . 由OA ⊥OB 得∠AOB =90°,于是可得△AOC ∽△OBD ,∴12OAABO OB∠===. 5. 解:B. 提示:设x y t +=,则由题设条件可知11xy x y t =++=+, ∴x ,y 是关于m 的一元二次方程210m tm t -++=的两个实数根, 于是有:24(1)0t t ∆=-+≥,解得2t ≥+2t ≤-又∵22222()22(1)(1)3x y x y xy t t t +=+-=-+=--,∴当2t =-1x y ==22x y +取得最小值,最小值为2(21)36--=-6. 解:D. 提示:∵2535n n +-是15的倍数, ∴25|(535)n n +-,∴5|3n ,∴5|n . 设5n m =〔m 是正整数〕,则2222535125155120155(1)n n m m m m m +-=+-=++-.∵2535n n +-是15的倍数,∴21m -是3的倍数,∴31m k =+或32m k =+,其中k 是非负整数.∴5(31)155n k k =+=+或5(32)1510n k k =+=+,其中k 是非负整数.∴符合条件的所有正整数n 的和是(5203550658095)(102540557085)635++++++++++++=. 7. 解:11. 提示:∵a ,b 是一元二次方程210x x --=的两根, ∴1ab =-,1a b +=,21a a =+,21b b =+, ∴332222343423(1)42(1)3362a b a b b a a b b a a b a++=++=++++=+++ 3(1)3626()511a a b a b =++++=++=.8. 解:112. 提示:设三角形的三边长为a ,b ,c 〔a b c ≥≥〕, 则324a a b c ≥++=,2()24a a b c <++=,∴812a ≤<,故a 的可能取值为8,9,10或11,满足题意的数组〔a ,b ,c 〕可以为: 〔8,8,8〕,〔9,9,6〕,〔9,8,7〕,〔10,10,4〕,〔10,9,5〕,〔10,8,6〕, 〔10,7,7〕,〔11,11,2〕,〔11,10,3〕,〔11,9,4〕,〔11,8,5〕,〔11,7,6〕. 共12组,其中,只有一组是直角三角形的三边长,∴所求概率为112. 9. 解:60°. 提示:作EM ⊥BC 于点M ,FN ⊥BC 于点N ,FP ⊥EM 于点P . ∵E 、F 分别为△ABD 、△ACD 的外心, ∴M 、N 分别为BD 、CD 的中点.又EF =BC ,∴PF =MN =12BC =12EF ,∴∠PEF =30°.又EF ⊥AD ,EM ⊥BC ,∴∠ADC =∠PEF =30°. 又∠ADC =∠B +∠BAD =∠B +12(180°-2∠C )=90°+∠B -∠C ,∴∠C -∠B =90°-∠ADC =60°.10. 解:63. 提示:设第三列所填6个数字按从小到大的顺序排列后依次为A ,B ,C ,D ,E ,F .∵A 所在行前面需要填两个比A 小的数字,∴A 不小于3; ∵B 所在行前面需要填两个比B 小的数字,且A 及A 所在行前面两个数字都比B 小,∴B 不小于6.同理可知:C 不小于9,D 不小于12,E 不小于15,F 不小于18.因此,第三列所填6个数字之和A +B +C +D +E +F ≥3+6+9+12+15+18=63.如图即为使得第三列所填6个数字之和取得最小值的一种填法〔后三列的数字填法不唯一〕.ABCD E F G第一试〔B 〕1. 解:B. 提示:∵3a b c ++=,2224a b c ++=,∴222222222444(2)(2)(2)222222a b b c c a c a b c a b c a b c a b +++---++=++=+++++------6()9a b c =+++=.2. 解:C. 提示:依题意,有22(8)(8)n m bm c m b m c =++=-+-+,于是可得82b m =-. ∵抛物线2y x bx c =++与x 轴只有一个公共点,∴240b c -=,∴221(4)4c b m ==-.因此222(82)(4)16n m bm c m m m m =++=+-+-=.3. 解:C. 提示:易知∠AFD =∠BEC =90°,△BEC ≌△DF A ,∴∠DAF =∠BCE . 延长F A ,EB 交于点G . ∵∠GAB =90°-∠DAF =∠ADF ,∠GBA =90°-∠CBE =∠BCE =∠DAF ,∴△BGA ∽△AFD ,且∠AGB =90°,∴AG =8,BG =6, ∴GF =11,GE =10,∴EF ==4. 解:D. 提示:设x y t -=,则x y t =+,代入题设等式得22()()3y t y t y y +++++=,整理得223330y ty t ++-=. 由判别式22(3)12(3)3t t ∆=--≥得t -≤≤22()12x y t -=≤. 5. 解:A. 提示:过点A 、B 分别作AC ⊥x 轴,BD ⊥x 轴,垂足为C 、D . 由OA ⊥OB 得∠AOB =90°,于是可得△AOC ∽△OBD ,∴12OAABO OB∠===. 6. 解:D. 提示:∵2232n n --是6的倍数, ∴22|(232)n n --,∴2|3n ,∴2|n .设2n m =〔m 是正整数〕,则2222232862662(1)n n m m m m m --=--=-+-. ∵2232n n --是6的倍数,∴21m -是3的倍数,∴31m k =+或32m k =+,其中k 是非负整数.∴2(31)62n k k =+=+或2(32)64n k k =+=+,其中k 是非负整数. ∴符合条件的所有正整数n 的和是(2814869298)(41016828894)1634++++++++++++=.7. 解:11. 提示:∵a ,b 是一元二次方程210x x --=的两根, ∴1ab =-,1a b +=,21a a =+,21b b =+, ∴332222343423(1)42(1)3362a b a b b a a b b a a b a++=++=++++=+++ 3(1)3626()511a a b a b =++++=++=.8. 解:12. 提示:设三角形的三边长为a ,b ,c 〔a b c ≥≥〕, 则324a a b c ≥++=,2()24a a b c <++=,∴812a ≤<,故a 的可能取值为8,9,10或11, 满足题意的数组〔a ,b ,c 〕可以为: 〔8,8,8〕,〔9,9,6〕,〔9,8,7〕,〔10,10,4〕,〔10,9,5〕,〔10,8,6〕, 〔10,7,7〕,〔11,11,2〕,〔11,10,3〕,〔11,9,4〕,〔11,8,5〕,〔11,7,6〕. 共12组,∴三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为12. 9. 解:4. 提示:连接OD 、OC ,作DE ⊥AB 于E ,OF ⊥AC 于F .∵AD 平分∠BAC ,∴∠DOB =2∠BAD =∠OAC .又OA =OD ,∴△AOF ≌△ODE ,∴OE =AF ,∴AC =2OF =2OE .设AC =2x ,则OE =AF =x . 在Rt △ODE中,由勾股定理得DE ==在Rt △ADE 中,AD 2=DE 2+AE 2,即222(100)(10)x x =-++,解得x =2.∴AC =2x =4.10. 解:37. 提示:和为15的五个互不相等的正整数只能是1,2,3,4,5.注意到五个数在圆周上是按序摆放的,且考虑的是和式ab bc cd de ea ++++,不妨设a =5.如果1和5的位置不相邻,不妨设c =1〔如图2〕,此时的和式为155P b b d ed e =++++; 交换1和b 的位置后,得到如图3的摆法, 此时的和式为255P b bd ed e =++++.∵1255(5)(1)0P P b d bdd b -=+--=-->,∴12P P >.因此,交换1和b 的位置使得1和5相邻〔如图3〕以后,和式的值会变小. 如图3,如果d =2,此时的和式为35225P b b e e =++++;交换e 和2的位置以后,得到如图4的摆法,此时的和式为45210P b be e =++++. ∵342510(5)(2)0P P b e be b e -=+--=-->,∴34P P >. 因此,交换e 和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小. 如果b =2,此时的和式为55225P d ed e =++++;交换e 和2的位置以后,得到如图5的摆法,此时的和式为65210P e ed d =++++. ∵5625104(2)0P P e e e -=+--=->,∴56P P >.因此,交换e 和2的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小. 综上可知:1和2摆在5的两边〔如图5〕时,和式的值会变小.AB CD E F Gd d d de 图1 图2 图3 图4 图5当d =3,e =4时,和式的值为754126103P =++++=; 当d =4,e =3时,和式的值为853*******P =++++=. 因此,所求最小值为37.第二试〔A 〕1. 解:将所给方程记为方程①,显然有2x m ≥且1x ≥.假设0m <x >,此时方程①无解,不符合题意,故0m ≥.方程①变形得x两边平方后整理得2242x m +-=- 再平方,整理得228(2)(4)m x m -=-.显然,应该有02m ≤<,并且此时方程①只可能有解x =.将x =1=-,化简整理得???,于是有403m ≤≤,此时方程①有唯一解x =.综上所述,所求实数m 的取值范围为403m ≤≤. 2. 证明:〔1〕在BE 上取一点P ,使得∠BAP =∠DAC , 则△BAP ≌△CAD ,∴AP =AD . 又AE ⊥PD ,∴△ADE ≌△APE ,∴∠P AE =∠DAE ,∴∠P AE =∠BAP =∠DAC ,∴∠BAD =3∠DAC .〔2〕设∠DAC =α,则∠BAC =2α,∠BAD =3α,∠NDM =90°-α. 在FB 上截取FQ =FD ,连接QD ,则BQ =BF -FQ =BF -FD .又BF DF CD BD AC -=,∴BQ CD BD AC=. 又∠QBD =∠DCA ,∴△QBD ∽△DCA ,∴∠QDB =∠DAC .又∵∠DBC =∠DAC ,∴∠QDB =∠DBC ,∴QD ∥BC ,∴∠FQD =∠ABC . 又AB =AC ,∠BAC =2α,∴∠ABC =90°-α,∴∠FQD =90°-α. 又FQ =FD ,∴∠BFD =2α.∵FN 平分∠BFD ,∴∠AFM =α,∴∠NMD =∠AMF =∠BAD -∠AFM =3α-α=2α, ∴∠MND =180°-∠NMD -∠NDM =90°-α=∠MDN ,∴MN =MD .3. 证明:方程即2(1)0x m n x mn m n ++-+--= ①,方程①的判别式222(1)4()()42()1()2()1m n mn m n m n mn m n m n m n ∆=+----=+-+++=-+++.不妨设m n ≥,由题设可知,整系数方程①至少有一个正整数解,∴∆应为完全平方数. 注意到222()2()1(1)4(1)m n m n m n n m n ∆=-+++=-++>-+,22()2()1(3)(488)m n m n m n m n ∆=-+++=-+--+,假设4880m n -+>,即22m n >-,则2(3)m n ∆<-+, 从而有22(1)(3)m n m n -+<∆<-+,故只可能2(2)m n ∆<-+, 即22()2()1(2)m n m n m n -+++=-+,整理得332m n =-, 这与m ,n 均为正整数矛盾.因此22m n ≤-,从而可得2m n <,∴2mn<. 又∵112m n >>,∴有1()(2)02m m n n --<,整理即得222()5m n mn +<.第二试〔B 〕1. 解:∵1ab =,∴1b a=, ∴2111111211211211212321a aM a b a a a a a a a a =+=+=+=+-=-++++++++++. 设232a a N a++=,则22333N a a =++=+++当a 时取得等号.∴103N <≤=-111(32M N=-≥--=.因此,当a =2b =时,11112M a b=+++取得最小值2. 2. 证明:〔1〕在BE 上取一点P ,使得∠BAP =∠DAC , 则△BAP ≌△CAD ,∴AP =AD .又AE ⊥PD ,∴△ADE ≌△APE ,∴∠P AE =∠DAE , ∴∠P AE =∠BAP =∠DAC ,∴∠BAD =3∠DAC . 〔2〕设∠DAC =α,则∠BAC =2α,∠BAD =3α. ∵AC ⊥BD ,∴∠NDM =90°-α.∵MN =MD ,∴∠MND =∠MDN =90°-α, ∴∠NMD =180°-∠MND -∠NDM =2α,∴∠AMF =2α, ∴∠AFM =∠BAD -∠AMF =3α-2α=α.∵FN 平分∠BFD ,∴∠BFD =2∠AFM =2α.在FB 上截取FQ =FD ,连接QD ,则∠FQD =90°-α. 又AB =AC ,∠BAC =2α,∴∠ABC =90°-α,∴∠FQD =∠ABC , ∴QD ∥BC ,∴∠QDB =∠DBC .又∵∠DBC =∠DAC ,∴∠QDB =∠DAC .又∵DB =AC ,∠QBD =∠DCA ,∴△QBD ∽△DCA ,∴BQ =CD , ∴BF =BQ +FQ =CD +DF .3. 解:设方程的两个根为x 1,x 2,且x 1为正整数, 则1234x x +=,12341x x k =-.由1234x x +=知2134x x =-,∴ x 2也是整数.由k 为正整数及12341x x k =-可知20x >,∴x 2是正整数. 注意到121212(1)(1)134(1)x x x x x x k ++=+++=+, ∴1217|(1)(1)x x ++,∴117|(1)x +或217|(1)x +.假设117|(1)x +,则由112134x x x +≤+=知:1117x +=或1134x +=. 当1117x +=时,116x =,218x =,此时3411618k -=⨯,k 无整数解; 当1134x +=时,133x =,21x =,此时341331k -=⨯,解得k =1. 假设217|(1)x +,同样可得k =1. ∴满足条件的正整数k =1.。

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1
6.
3 2 2 解: an n 3n n 1 3 n 1 3n 3n 2; 3 2
1 1 1 1 1 1 2 ; an 2 3n 3n 3n n 1 3 n n 1
1 1 1 1 1 1 1 1007 原式= . 3 2 3 3 4 2015 2016 6048
x 2 ∴ y 5 ,∴ x y z 0. z 3
9. 120 解:∵ AD CD BC ; ∴设 DAC DCA x , CDB CBD y ; 则 ADC 180 2x , DCB 180 2y ; ∵ ADB ACB 180 2x y 180 2y x 180 ; ∴ x y 60 ;
3 4 8 解:设 GH x ,则 HB x , FG 2 x , AF FG x . 故 4 3 3 8 3 77 60 5 AB AF FG GH HB x 2x x x x ,解得 x . 3 4 12 77
5. D 解:共 9 个,可能值分别为:5、7、9、11、13、17、19、21、23.
DAB CBA 360 ADC DCB 2 x y 120 ;
∴ CBA 120 . 10. 8
1 解: Sn n (n 1) , 对于 2015 的任意一个正约数 d ,易知在 1 2015 中, 2 2015 恰有一个 n 满足 n 是 d 的倍数,且 n 1是 的倍数. 即 2015 的每个约数都会 d
由已知,其中每行数之和为正,从而表中所有数之和为正;另一方面,表中 每列数之和为负,从而表中所有数之和为负,矛盾。这说明满足要求的数串至多 有 12 项。
考察如下的一串数字:
4、 4 、 4 、 15 、 4 、 4、 4、 4 、 15 、 4、 4 、 4
这一串数满足题中要求且有 12 项,故知满足题中要求的 n 的最大值为 12.
7. 3 解:由题意可得原方程若仅有唯一的实数解,则 x 0 ;. 将x 0 代入原方程可得 a 3 ;其中 a 3 不符合题意,故舍去; ∴ a 3 . 8. 0
2 2 2 解:原式= 2 x 2 3 y 5 4 3 z 3 5 60 .
2
产生一个 n ,使得 S n 是 2015 的倍数. 由于 2015 5 13 31 ,因此 2015 共有 8 个 约数,故所求结果为 8.
11. 解:(1)当 PQ∥x 轴时,点 P 与点 Q 关于 y 轴对称;
OPQ 为等腰直角三角形, OM MQ ;
y
设Q m, m ,代入 y x2 可得, m 1; ∴ OM m 1; ∴ O 点到 PQ 的距离为 1; (2)设 P a, a 2 ,Q b , b2 ; 则直线 PQ 的解析式为 y a b x ab ; 直线 OP 的解析式为 y ax ; 直线 OQ 的解析式为 y bx ;
平方整理得
a 2b 2 a 2b ab 2 2ab 0; 4
∵ a ,b , c 均为正整数; ∴
ab a b 2 0 ,即 a 4 b 4 8; 4
符合条件的 a ,b , c 为 6,8,10 和 5,12,13 ; 故共有 2 个符合条件的直角三角形. 4. C
P O
M Q
x
y
M
Q
∵ OP OQ ; ∴ ab 1; ∴直线 PQ 的解析式为 y a b x 1; ∴直线 PQ 必过定点 M 0,1 ;
P O
x
∴当 PQ∥ x 轴时, O 点到 PQ 的距离的最大值为 1。 12. 解: x2 5 2x 1 2 p n 显示 x 2 5>2 x 1, 2 x 1 为奇数; ∴ x2 5 为整数; 2x 1 21 1 ∴ 2x 1 2x 1 2x 1 4 2x 1 4 2x 1 ∴ x 可取 1,3,10;
3
x 1 x 3 验证得: n 2 或 n 2 ; p 3 p 7 ∴x n p 6 或 12. 13. 解:延长 I1 I 2 分别与 BD、AC 交于点 E、F ,设 BD、AC 相交于点 G ; 1 1 ∵ DI 1C 90 DAC 90 DAC DI 2C ; 2 2 ∴ D、 I1、I2、 C 四点共圆; ∴ DI 1E 180 DI1F DCI 2 , CI2 F 180 CI2 E CDI1 ; ∴ GEF EDI 1 DI 1E ADI1 ADB DCI 2 1 B ADC BCD ADB ; A 2 I3 GFE FCI 2 FI 2C G BCI 2 BCA CDI1 F E I 2 1 I1 ADC BCD ADB ; 2 D C ∴ GEF GFE ; ∴ GE GF ; ∵ GI 3 平分 AGB ; ∴ GI 3 EF 。 14. 解:如果一共有 13 个数,则可排列如下: a1 , a 2 , a 3 , , a8 , a 9 , a1 , a 2 , a 3 , , a8 , a 9 , a2 , a3 , a4 , , a9 , a10 , a2 , a3 , a4 , , a9 , a10 , a3 , a4 , a5 , , a10 , a11 , a3 , a4 , a5 , , a10 , a11 , a4 , a5 , a6 , , a11 , a12 , a4 , a5 , a6 , , a11 , a12 , a5 , a6 , a7 , , a12 , a13 . a5 , a6 , a7 , , a12 , a13 .
2015 年初中数学邀请赛— 正式试卷答案
1. C
5 < a 3 . 2
解: 0 < x < 2 a 2 ,由题意的 3 < 2a 2 4 ,解得 2.B 解:如图,15 个.
y
O
x
3.
B
解:设三角形三边分别为 a ,b , c ,其中 c 为斜边;
ab a2 b2 c2 , a b c ; 2 ab 2 2 a b a b ; 2
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