三角形的外角定理
三角形三边关系、内角和、外角定理
三角形三边关系、三角形内角和定理定理：三角形两边的和大于第三边。
表达式：△ABC 中，设a ＞b ＞c 则b-c ＜a ＜b+ca-c ＜b ＜a+ca-b ＜c ＜a+b 给出三条线段的长度，判断它们能否构成三角形。
方法（设a 、b 、c 为三边的长）①若a+b ＞c ，a+c ＞b ，b+c ＞a 都成立，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形； ②若c 为最长边且a+b ＞c ，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形； ③若c 为最短边且c ＞|a-b|，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形。
④已知三角形两边长为a 、b ，求第三边x 的范围：|a-b|＜x ＜a+b 。
1、已知：如图△ABC 中AG 是BC 中线，AB=5cm AC=3cm ，则△ABG 和△ACG 的周长的差为多少？△ABG 和△ACG 的面积有何关系？2、三角形的角平分线、中线、高线都是（ ）A 、直线B 、线段C 、射线D 、以上都不对3、三角形三条高的交点一定在（ ）A 、三角形的内部B 、三角形的外部C 、顶点上D 、以上三种情况都有可能4、直角三角形中高线的条数是（ ）A 、3B 、2C 、1D 、05、现有10cm 的线段三条，15cm 的线段一条，20cm 的线段一条，将它们任意组合可以得到几种不同形状的三角形？6、下列各组里的三条线段组成什么形状的三角形？（1）3cm 4cm 6cm （2）4cm 4cm 6cm（3）7cm 7cm 7cm （4）3cm 3cm ７ｃｍ7、已知△ABC 中，a=6，b=14，则c 边的范围是专题检测1.指出下列每组线段能否组成三角形图形（1）a=5,b=4,c=3 （2）a=7,b=2,c=4（3）a=6,b=6,c=12 （4）a=5,b=5,c=62.已知等腰三角形的两边长分别为11cm 和5cm ，求它的周长。
3.已知等腰三角形的底边长为8cm ，一腰的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长2cm ，求这个三角形的腰长。
73. 如何在初中数学中掌握三角形外角定理？
73. 如何在初中数学中掌握三角形外角定理？一、关键信息1、三角形外角定理的定义及表述定义：＿___________________________表述：＿___________________________2、学习三角形外角定理的目标知识层面：＿___________________________应用层面：＿___________________________3、适用的初中数学教材版本版本名称：＿___________________________对应章节：＿___________________________4、学习方法与技巧理论学习：＿___________________________实践练习：＿___________________________5、考核与评估方式日常作业：＿___________________________阶段测试：＿___________________________二、协议内容11 三角形外角定理的详细阐述三角形外角定理是初中数学中的重要知识点，它对于解决与三角形相关的角度计算和证明问题具有关键作用。
其定义为：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
在表述上，可以用数学语言表示为：若∠ACD 是△ABC 的外角，则∠ACD ＝∠A ＋∠B。
111 理解定理的内涵为了更好地掌握这一定理，学生需要深入理解其内涵。
外角是三角形一边的延长线与另一边所形成的角，而不相邻的两个内角是指除了与外角相邻的内角之外的另外两个内角。
通过图形的直观展示和实例分析，能够帮助学生清晰地理解外角与内角之间的关系。
112 定理的推导过程了解定理的推导过程有助于学生从本质上把握其原理。
可以通过平行线的性质、内角和定理等已有知识来推导三角形外角定理，让学生体会数学知识之间的内在联系和逻辑推理的严谨性。
12 学习三角形外角定理的目标121 知识层面的目标学生应能够准确记忆和表述三角形外角定理的定义和表述，理解其推导过程和原理。
证明三角形外角判定方法
证明三角形外角判定方法证明三角形外角判定方法三角形内角和定理三角形三个内角的和等干180°已知：如图已知△abc 求证：∠a+∠b+∠c=180°。
1、证法一:作bc的延长线cd，过点c作ce∥ba则∠1=∠a，∠2=∠b 又∵∠1+∠2+∠acb=180°∴∠a+∠b+∠acb=180°2、证法二:过点c作de∥ab则∠1=∠b，∠2=∠a 又∵∠1+∠acb+∠2=180°∴∠a+∠acb+∠b=180°3、证法三:在bc上任取一点d，作de∥ba交ac于e，df∥ca交ab于f则有∠2=∠b，∠3=∠c,∠1=∠4,∠4=∠a ∴∠1=∠a 又∵∠1+∠2+∠3=180° ∴∠a+∠b+∠c=180°4、证法四:作bc的延长线cd，在△abc的外部以ca为一边，ce为另一边画∠1=∠a，于是ce∥ba,∴∠b=∠2 又∵∠1+∠2+∠acb=180° ∴∠a+∠b+∠acb=180°5、证法五:作bc的延长线cd，在△abc的外部以ca为一边，ce为另一边画∠1=∠a，于是ce∥ba,∴∠b=∠2 又∵∠1+∠2+∠acb=180° ∴∠a+∠b+∠acb=180°6、证法六: 过点c作cd∥ba，则∠1=∠a ∵cd∥ba ∴∠1+∠acb+∠b=180°∴∠a+∠acb+∠b=180°证明三角形外角判定性质三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫做三角形的外角。
角形的外角性质三角形的外角具有以下性质：①顶点是三角形的一个顶点，一边是三角形的一边，另一边是三角形的一边的延长线。
②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。
③三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
④三角形的外角和是360° 三角形内角是两条线段的夹角三角形的内角和为180度;三角形的一个外角等于另外两个内角的和;三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。
三角形的外角和定理
三角形的外角和定理在三角形中，有一个有趣的性质：三角形的外角和等于360度。
这个性质被称为三角形的外角和定理。
在本文中，我们将深入探讨三角形的外角和定理，以及它的证明和应用。
1. 定义和性质：首先，让我们来定义什么是三角形的外角和。
三角形的外角是指一个三角形的两个相邻内角所对的外角。
如下图所示，对于三角形ABC，∠1，∠2和∠3是三个内角，而∠4，∠5和∠6是对应的外角。
[插入图片：三角形外角的示意图]根据三角形的外角和定理，∠4 + ∠5 + ∠6 = 360度。
这意味着三角形的三个外角之和总是等于360度。
除了这个定义，三角形的外角和还有以下一些性质：- 每个外角都是相邻内角的补角。
也就是说，∠4 = 180度 - ∠1，∠5 = 180度 - ∠2，∠6 = 180度 - ∠3。
- 任意两个非相邻外角的和等于一个内角。
例如，∠4 + ∠6 = ∠2。
2. 证明：接下来，让我们来证明三角形的外角和定理。
我们可以利用一些几何原理来证明这个性质。
首先，我们将三角形的一个内角延长，形成一个平行线。
如下图所示，我们延长∠1，使之与边BC形成一条平行线段。
[插入图片：三角形外角和的证明图1]根据平行线的性质，我们可以得到：∠4 = ∠1（对应角）∠3 + ∠1 = 180度（内角和为180度）∠5（外角） = ∠3 + ∠1（因为平行线所形成的锐角与外角互补）将以上两个等式结合起来得到：∠5 = ∠4∠5 + ∠4 = 2∠4我们可以使用同样的方法延长∠2，得到：∠6 = ∠5∠6 + ∠5 = 2∠5将∠5 + ∠6的结果相加，得到：∠5 + ∠6 + ∠4 = 2∠4 + 2∠5∠5 + ∠6 + ∠4 = 2(∠4 + ∠5)∠5 + ∠6 + ∠4 = 2(∠4 + ∠5 + ∠6)∠5 + ∠6 + ∠4 = 2(360度) （根据三角形的外角和定理，∠4 + ∠5 + ∠6 = 360度）∠5 + ∠6 + ∠4 = 720度由于角度的度数是有限的，所以我们只能得到以下结论：∠5 + ∠6 + ∠4 = 720度 = 360度因此，我们证明了三角形的外角和定理。
三角形外角定律
三角形外角定理
三角形外角定理：三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。
在△ABC中，∠1+∠2+∠3=180°。
三角形内角和定理：三角形的内角和等于18 0°。
也可以用全称命题表示为：∀△ABC，∠1+∠2+∠3=180°。
任意n边形的内角和公式为θ=180°·（n-2）。
其中θ是n边形内角和，n是该多边形的边数。
从多边形的一个顶点连其他的顶点可以将此多边形分成(n-2)个三角形，每个三角形内角和为180°。
三角形外角的性质
1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；
2、三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角；
3、三角形的外角和为360°。
外角正弦定理
外角正弦定理外角正弦定理是三角形中一个重要的几何定理，它描述了一个三角形的外角和它对应的两个内角正弦之间的关系。
这个定理在解决三角形相关问题时起到了重要的作用。
在介绍外角正弦定理之前，我们先来了解一下什么是外角。
一个三角形有三个内角，这三个内角的和是180度。
当我们将三角形的一个内角延长成一个外角时，这个外角和与它对应的内角之和也是180度。
例如，如果一个三角形的一个内角是x度，那么它对应的外角就是180度减去x度。
那么，外角正弦定理是如何描述这个关系的呢？外角正弦定理的表达式如下：sin(A) = sin(B+C)其中，A是一个三角形的外角，B和C是它对应的两个内角。
外角正弦定理的应用非常广泛。
在解决三角形相关问题时，我们经常需要求解未知的角度或边长。
通过应用外角正弦定理，我们可以根据已知的信息来求解未知的角度或边长。
这个定理在解决实际问题时非常有用。
下面，我们通过一个具体的例子来演示一下外角正弦定理的应用。
假设我们有一个三角形ABC，已知边长AB为5，边长AC为8，角B 为30度。
我们需要求解角A和角C。
我们可以利用三角形的内角和为180度的性质来求解角A和角C。
根据已知信息，我们可以得到角A和角C的和为150度（180度减去角B的30度）。
接下来，我们可以利用外角正弦定理来求解角A和角C的正弦值。
根据外角正弦定理，我们可以得到：sin(A) = sin(B+C) = sin(150度)通过查表或计算器，我们可以得到sin(150度)的值是0.5。
因此，我们可以得到：sin(A) = 0.5接下来，我们可以通过反正弦函数来求解角A的值。
通过计算，我们可以得到角A的值是30度。
由于角A和角B的和为180度，我们可以得到角C的值是150度。
通过应用外角正弦定理，我们成功地求解出了三角形ABC的角度。
外角正弦定理的应用不仅限于求解角度，它还可以用来求解三角形的边长。
例如，如果我们已知一个三角形的两个角度和一个边长，我们就可以利用外角正弦定理来求解未知的边长。
三角形的外角与内角和计算技巧
三角形的外角与内角和计算技巧一、三角形的外角1.定义：三角形的一个外角是指与三角形的一个内角不在同一直线上的角。
a)三角形的外角等于它不相邻的两个内角之和。
b)三角形的外角大于任何一个不相邻的内角。
c)外角与它相邻的内角互补（即外角加相邻内角等于180°）。
2.计算方法：a)已知三角形的两个内角，求第三个内角的外角：用180°减去这两个内角的和。
b)已知三角形的一个内角和一个外角，求另一个内角：用180°减去这个外角。
二、三角形的内角和1.定理：三角形的三个内角和等于180°。
a)画出任意一个三角形，将其分为两个三角形。
b)每个小三角形的内角和都是180°，因此，整个三角形的内角和是360°。
c)由于两个小三角形的公共角被计算了两次，所以将其减去一次，得到三角形的内角和为180°。
2.计算方法：a)已知三角形的两个内角，求第三个内角：用180°减去这两个内角的和。
b)已知三角形的三个内角，验证内角和是否等于180°。
三、外角与内角和的联系1.每个三角形的三个外角和等于360°。
2.三角形的外角与它相邻的内角互补，即外角加相邻内角等于180°。
3.利用外角可以转换求解内角，利用内角和定理可以验证外角的计算结果。
四、应用拓展1.利用三角形外角性质解决几何问题，如证明线段平行、求解三角形面积等。
2.利用内角和定理求解三角形的问题，如求解三角形的角度、边长等。
3.外角与内角和的知识在实际生活中的应用，如测量土地面积、建筑物的设计等。
通过以上知识点的学习，学生可以掌握三角形外角与内角和的计算技巧，并能运用到实际问题中。
习题及方法：1.习题：已知三角形ABC的内角A、B分别为90°和45°，求三角形ABC的外角D的度数。
答案：外角D的度数为180° - 90° - 45° = 45°。
初中几何证明口诀
初中几何证明口诀在初中几何中，证明是学习的重要内容之一、通过证明，可以巩固和提高自己对几何知识的理解和应用能力。
以下是一些常用的初中几何证明口诀：1.三角形的内角和定理：三角形内角和为180度。
可以通过绘制平行线、共线线段等方法证明。
2.外角定理：三角形的外角等于其余两个内角的和。
可以通过绘制平行线等方法证明。
3.垂直角定理：垂直角相等。
可以通过绘制平行线、共线线段等方法证明。
4.同位角定理：同位角相等。
可以通过平行线等方法证明。
5.三角形的相似性定理：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
可以通过AA、SSS、SAS等方法证明。
6.圆周角定理：圆周角是圆心角的两倍。
可以通过绘制弧、使用同位角等方法证明。
7.弦切角定理：弦切角等于其对应的弧的一半。
可以通过绘制切线、弧等方法证明。
8.正方形的特性：正方形的四条边相等，四个角为直角。
可以通过对角线等方法证明。
9.等腰三角形的特性：等腰三角形的两边相等，两个底角相等。
可以通过绘制高线等方法证明。
10.平行四边形的特性：平行四边形的对边相互平行，对角线相互平分。
可以通过角平分线等方法证明。
11.三角形的中线定理：三角形的三个中线交于一点，且这点距离三个顶点的距离是各边长的一半。
可以通过线段等方法证明。
12.直角三角形的勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
可以通过平行四边形等方法证明。
13.外切圆定理：三角形的外接圆的圆心是三个顶点的垂直平分线的交点。
可以通过角平分线、圆心角等方法证明。
14.圆的切线定理：切线与半径垂直。
可以通过绘制切线、使用垂直角等方法证明。
15.纵横切割定理：两条平行线被一条截线切割，那么两个内角和为180度。
可以通过平行线等方法证明。
这些口诀可以帮助初中生记住一些重要的初中几何证明定理，并引导他们学习如何使用特定的几何性质进行证明。
同时，更重要的是理解定理的证明过程，培养逻辑思维能力和几何推理能力。
三角形外角定理
根据三角形的边长和角度，可以 将三角形分为等边三角形、等腰 三角形、直角三角形、锐角三角 形和钝角三角形等。
三角形内角和定理
三角形内角和定理
三角形的三个内角之和等于180度。这是三角形的一个基本性质，也是解决三 角形问题的重要定理之一。
三角形内角和定理的证明
可以通过平行线性质、辅助线方法等多种方式来证明三角形内角和定理。
三角形外角定理
contents
目录
• 三角形基本概念回顾 • 外角定理引入与表述 • 外角定理应用举例 • 相似三角形与外角定理关系探讨 • 误区提示与易错点分析 • 总结回顾与拓展延伸
01
三角形基本概念回顾
三角形的定义与分类
三角形的定义
由不在同一直线上的三条线段首 尾顺次相接所组成的图形叫做三 角形。
外角定理在相似三角形中的应用
外角定理
三角形的一个外角等于与它不相邻的两 个内角之和。
VS
在相似三角形中的应用
当两个三角形相似时，它们的外角也对应 相等。利用外角定理，可以在相似三角形 中找到更多的相等角或对应边，从而进一 步解决问题。例如，在求解相似三角形的 边长或角度时，可以利用外角定理来构建 方程或找到更多的已知条件。
证明角的和差关系
在复杂的几何图形中，利 用外角定理可以证明角的 和差关系，从而简化问题 。
辅助线构造
在解决几何问题时，通过 构造辅助线并利用外角定 理，可以更容易地找到问 题的突破口。
在实际问题解决中的应用
地图导航
在地图导航中，可以利用 外角定理来计算行进方向 和路线偏移角度，从而更 准确地规划路线。
判定条件
两角对应相等，则两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，则两个三角形相似；三边对应成比例，则两个 三角形相似。
初中三角形的定理
初中三角形的定理 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初中三角形的定理、公理和定义一. 三角形中的有关公理、定理：（1）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；③三角形的外角和等于360°.（2）三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.（3）三角形三条边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
（4）三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．二．多边形中的有关公理、定理：（1）多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（ n－2）×180°.（2）多边形的外角和定理：任意多边形的外角和都为360°.三.（1）如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分.（2）轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
四. 等腰三角形中的有关公理、定理：（1）等腰三角形的两个底角相等．（简写成“等边对等角”）（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”）（3）等腰三角形的“三线合一”定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”．（4）等边三角形的各个内角都相等，并且每一个内角都等于60°．（5）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（6）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
五. 直角三角形的有关公理、定理：（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；（3）勾股定理逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（5）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.六．相似三角形的判定：（1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似；（2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；（3）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似. （4）平行于三角形的一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似。
三角形的全部定理
三角形的全部定理
三角形是几何学中最基本的形状之一，它具有丰富的性质和定理。
三角形的全部定理是一系列关于三角形边长、角度和面积的定理。
1. 三角形的内角和定理（角度定理）：任意三角形的三个内角之和等于180度。
这个定理有助于计算未知角度，或者判断给定角度是否构成三角形。
2. 三角形的外角和定理：任意三角形的一个外角等于其余两个内角
之和。
这个定理可以帮助我们计算外角的大小。
3. 三角形的边长关系定理（边长定理）：在任意三角形中，任意两边之和大于第三边。
这个定理可以用来判断给定的边长是否能够构成一个三角形。
4. 三角形的角边关系定理（角边定理）：在任意三角形中，两个角的夹边之比等于这两个角的正弦之比。
这个定理可以用来计算或比较三角形的边长和角度。
5. 三角形的正弦定理：在任意三角形中，三个角的正弦之比等于对
边的长度之比。
这个定理可以用来计算未知边长或角度。
6. 三角形的余弦定理：在任意三角形中，边的平方等于另外两边平方之和减去这两边与这个边所夹角的余弦乘积的两倍。
这个定理可以用来计算未知边长或角度。
除了上述定理外，还有许多其他与三角形相关的定理，如角平分线定理、中位线定理、高线定理等等。
这些定理在解决三角形相关问题、计算三角形的面积、判断三角形的形状等方面都有重要的应用。
掌握这些定理可以帮助我们更好地理解和分析三角形的性质。
三角形的所有判定定理
三角形的所有判定定理三角形是平面几何中最简单的图形之一，不仅常常出现在我们的生活中，而且在几何学的研究中也扮演着重要的角色。
在几何学中，我们有许多方法来判定一个三角形的性质和特点。
本文将介绍一些常见的三角形判定定理。
首先，我们来讨论三角形的基本属性。
一个三角形是由三条线段组成的，这三条线段被称为三角形的三边。
三个角是三角形的另外三个基本属性，它们位于线段的两个端点之间。
三角形也可以用边长来描述，我们将三角形的三边长度依次表示为a、b、c，三个角的度数依次用A、B、C表示。
1. 角的和为180度定理：在任何三角形中，三个角的度数之和等于180度。
这个定理可以通过直线与平行线判定定理来证明。
我们可以画一条线段与直线相交，形成两个相对的内角，它们的度数之和等于180度。
因此，对于任何三角形ABC，我们有∠A + ∠B + ∠C = 180度。
2. 角度对边长的判定定理：在一个三角形中，两个角的度数相等，则对应的两边长度相等。
这个定理也被称为对应边角相等定理。
例如，在一个等边三角形中，三个边的长度是相等的，因为三个角的度数都是60度。
由此可见，对于一个三角形ABC，如果∠A = ∠B，则 AB = AC。
3. 边长对角的判定定理：在一个三角形中，两个边的长度相等，则对应的两个角度度数相等。
这个定理也被称为对应角边相等定理。
例如，如果一个三角形的两个边的长度相等，则其对应的两个角的度数也相等。
对于一个三角形ABC，如果 AB = AC，则∠B = ∠C。
4. 外角定理：一个三角形的外角等于其余两个内角之和。
这个定理可以通过将外角延长形成两个相对的内角来证明。
例如，在一个三角形ABC中，外角∠CDE等于内角∠A和∠B的度数之和。
因此，∠CDE = ∠A + ∠B。
5. 直角三角形定理：在一个直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理也被称为勾股定理。
例如，在一个直角三角形ABC中，如果AC为斜边，AB和BC为直角边，我们有 AB² + BC² = AC²。
三角形的内角和外角
三角形的内角和外角三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条边组成。
在三角形内部，存在三个内角，而在三角形外部，也存在着三个外角。
本文将深入讨论三角形的内角和外角的性质和关系。
一、三角形内角的性质1. 内角定义：三角形内角是三角形的内部角度，具体可分为三个角度，分别记为∠A、∠B和∠C，对应于三角形的三个顶点A、B和C。
2. 内角和定理：在任意三角形ABC中，三个内角的和等于180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
3. 内角的大小：根据内角和定理可知，对于普通三角形，其中至少一个内角小于90度，至少一个内角大于90度。
4. 直角三角形内角：直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个内角为90度，另外两个内角之和必然为90度。
5. 三角形内角的分类：根据大小可将三角形的内角分为锐角、直角和钝角。
当三角形中的一个内角为锐角时，其余两个内角分别为钝角；当三角形中的一个内角为直角时，其余两个内角都为锐角；当三角形中的一个内角为钝角时，其余两个内角都为锐角。
二、三角形外角的性质1. 外角定义：三角形外角是指三角形的一个内角的补角，即等于360度减去该内角的度数。
2. 外角和定理：在任意三角形ABC中，三个外角的和等于360度，即∠D + ∠E + ∠F = 360°。
3. 外角与内角的关系：三角形内角与其对应的外角之和为180度，即∠A + ∠D = 180°，∠B + ∠E = 180°，∠C + ∠F = 180°。
4. 外角的分类：根据大小可将三角形的外角分为锐角和钝角。
当三角形中的一个内角为锐角时，其对应的外角也为锐角；当三角形中的一个内角为钝角时，其对应的外角也为钝角。
三、三角形内角和外角的关系1. 内角和外角的关系：在任意三角形ABC中，三角形内角和其对应的外角之和等于180度，即∠A + ∠D = 180°，∠B + ∠E = 180°，∠C + ∠F = 180°。
初中三角形的定理
初中三角形的定理、公理和定义一. 三角形中的有关公理、定理：（1）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；③三角形的外角和等于360°.（2）三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.（3）三角形三条边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
（4）三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．二．多边形中的有关公理、定理：（1）多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（ n－2）×180°.（2）多边形的外角和定理：任意多边形的外角和都为360°.三.（1）如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分.（2）轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
四. 等腰三角形中的有关公理、定理：（1）等腰三角形的两个底角相等．（简写成“等边对等角”）（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”）（3）等腰三角形的“三线合一”定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”．（4）等边三角形的各个内角都相等，并且每一个内角都等于60°．（5）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（6）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
五. 直角三角形的有关公理、定理：（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；（3）勾股定理逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（5）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.六．相似三角形的判定：（1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似；（2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；（3）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.（4）平行于三角形的一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似。
三角形外角和定理证明
目 录
• 引言 • 基础知识 • 定理证明方法 • 具体证明过程 • 定理应用举例 • 总结与拓展
01
引言
定理介绍
三角形外角和定理
三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角之和。
定理描述
在三角形ABC中，角A的外角等于角B 和角C之和，即∠A外=∠B+∠C。
定理重要性
1 2 3
第三步，通过计算得出三角形的一个外角等于相邻两个内角的和，从而证 明了三角形外角和定理。
间接证明法
01
第一步，假设三角形外角和定理不成立，即存在一 个三角形的外角和不等于相邻两个内角的和。
02
第二步，利用反证法的思想，通过逻辑推理和计算 ，找出与假设相矛盾的结论或事实。
03
第三步，根据矛盾的存在，推翻原假设，从而间接 证明了三角形外角和定理的正确性。
输标02入题
第二步，根据向量加法的性质，向量AB与向量BC的 和等于向量AC。
01
03
第四步，根据向量数量积的性质，向量AB与向量BC 的数量积等于|AB|×|BC|×cos(α+β)，由此可推出三角
形的外角等于与它不相邻的两个内角之和。
04
第三步，将向量AB与向量BC的夹角表示为α和β，则 三角形的外角等于α+β。
外角性质是三角形的基本性质之一，它可以 帮助我们更好地理解三角形的结构和性质。
通过利用外角性质，我们可以推导 出三角形外角和定理，即一个三角 形的三个外角之和等于360度。
03
定理证明方法
直接证明法
第一步，根据三角形外角的定义，延长三角形的一条边，与相邻的外角构 成一个新的三角形。
第二步，利用三角形内角和定理，即三角形内角和等于180度，计算新三 角形的内角和。
三角形的外角和定理
三角形的外角和定理在几何学中，三角形是最基本的图形之一，是由三个线段相连而构成的多边形。
三角形具有许多独特的性质和定理，其中外角和定理是三角形中一个重要的概念。
定义：在三角形ABC中，将角A的外角点命名为D，角B的外角点命名为E，角C的外角点命名为F。
则我们可以得到以下结论，即外角和定理：定理：三角形的外角和等于360度。
证明：我们以角A的外角点D为例进行证明。
首先，我们可以得出角D是由线段AB和线段AC所围成的内角，而角A是由线段BC和线段AC所围成的内角。
根据角的定义，我们知道内角的和等于180度，即角A+角D=180度。
然后，我们可以推导出角D和角B之间的关系。
根据三角形内角之和定理，我们知道三角形ABC的内角之和等于180度，即角A+角B+角C=180度。
由此可得，角B=180度-角A-角C。
接下来，我们将角B的度数带入到角D和角B的关系等式中，即角D+角B=角D+180度-角A-角C=180度。
我们可以得到，角D=360度-角A-角C。
根据上述推导，我们可以得出结论：三角形的外角和等于360度。
同样的推理也可以用于角E和角F。
因此，我们可以得出三角形的外角和定理。
应用：外角和定理在解决各种与三角形相关的几何问题时非常有用。
通过了解外角和的特性，我们可以更好地理解和计算三角形的角度关系。
例如，当我们已知一个三角形的两个内角的度数时，我们可以通过外角和定理计算出第三个内角的度数。
如果我们已知两个内角分别为60度和80度，则第三个内角的度数为：180度 - 60度 - 80度 = 40度。
此外，该定理还可以应用于解决三角形边长和角度的问题，以及解决与多边形的角度关系有关的题目。
总结：三角形的外角和定理是三角形的基本性质之一。
它指出了三角形的外角之和等于360度。
通过运用这个定理，我们可以更好地理解三角形的角度关系，并解决与三角形相关的各种几何问题。
值得注意的是，在使用该定理时需要注意计算角度时的单位一致性，并且我们可以根据已知条件灵活应用该定理来解决具体问题。
三角形的性质定理
三角形的性质定理三角形作为几何学的基本概念之一，在数学中扮演着重要角色。
对于三角形的性质定理的研究，可以帮助我们更好地理解和应用三角形的相关知识。
本文将介绍一些常见的三角形的性质定理，并通过举例说明其应用。
一、角度定理1. 三角形内角和定理三角形的三个内角之和等于180度。
即对于任意三角形ABC，我们有∠A + ∠B + ∠C = 180°。
这一定理可以通过对三角形的内角进行求和来验证。
例如，考虑一个直角三角形，其中∠A是90度，∠B是45度，那么根据内角和定理，∠C必须是180度减去90度加45度，即45度。
验证了定理的成立。
2. 外角和定理三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角之和。
具体而言，对于三角形ABC，以BC为边所成外角∠D，我们有∠D = ∠B + ∠C。
考虑一个等边三角形ABC，其中三个内角均为60度。
根据外角和定理，三个外角将分别等于180度，这验证了定理的正确性。
二、边长定理1. 直角三角形的勾股定理直角三角形的两个边长a和b的平方和等于斜边c的平方。
即对于直角三角形ABC，我们有a^2 + b^2 = c^2。
以3、4、5三角形为例，边长分别为3、4、5，可以验证3^2 + 4^2 = 5^2，这符合勾股定理。
2. 等腰三角形的边长关系等腰三角形的两个底边（等边）长度相等。
即对于等腰三角形ABC，如果AB = AC，则称之为等腰三角形。
考虑一个等腰三角形ABC，其中AB = AC = 5，BC = 6，可以验证等腰三角形的底边相等。
三、角边定理在三角形中，两个角的对边是它们对应的两条边成比例。
即对于三角形ABC，如果∠A/∠B = AB/BC = AC/BC，则称之为角边定理。
四、高度定理对于三角形ABC与它的高CD，我们有以下高度定理：1. 高度与底边关系高度CD将底边AB分成两部分，这两部分的长度与相应的边成比例。
具体而言，我们有AD/BD = CD/BC。
2. 高度与斜边关系高度CD与斜边AC和斜边BC之间也有一定的关系。
三角形的外角定理
三角形的三个性质
①三角形的一个外角与它相邻的内角
② 三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个与它 不相邻的内角。
编辑ppt
AD
F C
B 编辑E ppt
3.如图所示,∠1=___1_2__0_.°
80 °
1
140 °
4.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的 底角为__3_0__或__7_5_°.
5.如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,
则∠BDC=_1_2_0__°___.
A
编辑ppt
B
D C
生活应用
而∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=180°
∴ ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝360°
结论：三角形的外编角辑pp和t 等于360°
练一练 判断题： 1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（ ） 2、三角形的外角和等于它内角和的2倍。（ ） 3、三角形的一个外角等于两个内角的和。（ ） 4、三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和。（ ） 5、三角形的一个外角大于任何一个内角。（ ） 6、三角形的一个内角小于任何一个与它 不相邻的外角。（ ）
∴∠A+ ∠B= ∠ACD
编辑ppt
(等量代换)
方法二：作直线CE//BA
A E
B
C
D
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内
角的和 编辑ppt
针对性训练：
1. 求下列各图中∠1的度数。
30°
1
60°
∠1= 90º
1
120°
35°
1
45°
50°
∠1= 85º ∠1= 95º
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E A
A
5
4
3
6 12
B
7
8
9
C
E A
B
F
外角
D C
FB
C D
外角
归纳：
1、每一个三角形都有_6___个外角; 2、每一个顶点相对应的外角都有_2__个。 3、这6个外角中有_3____对外角相等。
4、一个三角形的每一个外角对应一个
_相___邻__的___内__角__和两个__不___相__邻___的__内__.角
课堂反馈:
1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内
角,则这个三角形是( c)
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
2.如图所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则 ∠DFE等于( ) B A.120° B.115° C.110° D.105°
AD
F C
BE
3.如图所示,∠1=___1_2__0_.°
∠1=25°, ∠2=62°, ∠3=118°
3、三角形的一个外角与它不相邻的任意一 个内角有怎样的大小关系?
∵∠ACD= ∠A+ ∠B
A
∴∠ACD﹥∠A ∠ACD﹥ ∠B
结论：
B
C
D
三角形的一个外角大于任何一个与 它不相邻的内角。
4.把图中∠1、 ∠2、 ∠3按由大到 小的顺序排列
∠1 ＞ ∠2 ＞ ∠3
看一看： 图中哪些角是三角形的内角，
哪些角是三角形的外角？
E A
125°
算一算：
若∠ A＝ 55º， ∠ B=60º,
55°
试求∠ ACB, ∠ACD, ∠CAE
的度数．并说出你的理由．
60°
65° 115°
D
B
C
三角形内角和定理的推论：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角的和。
已知：如图：△ＡＢＣ中，点D在BC的延长线上， 求证：∠ACD=∠A+∠B
A
B
C
D
方法一:
A
证明： B
C
D
∵∠ACD+ ∠ACB=180° （邻补角的定义）
∴∠ACD =180 ° －∠ACB
又∵∠A+ ∠B+ ∠ACB=180° （三角形内角和定理 ° ）
∴∠A+ ∠B =180 ° －∠ACB
∴∠A+ ∠B= ∠ACD
(等量代换)
方法二：作直线CE//BA
A E
B
80 °
1
140 °
4.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的 底角为__3_0__或__7_5_°.
5.如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,
则∠BDC=_1_2_0__°___.
A
D
B
C
生活应用
在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯 的地方都转了一个角度（∠ 1， ∠ 2，∠ 3）， 那么回到原来位置时，一共转了几度？
练一练 判断题： 1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（ ） 2、三角形的外角和等于它内角和的2倍。（ ） 3、三角形的一个外角等于两个内角的和。（ ） 4、三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和。（ ） 5、三角形的一个外角大于任何一个内角。（ ） 6、三角形的一个内角小于任何一个与它 不相邻的外角。（ ）
∠1＋∠2 ＋∠3 ＝ ? 2
1
3
证明：
∵∠1＋ ∠BAC=180°
A 1
∠2＋ ∠ABC=180°
3Leabharlann ∠3＋ ∠ACB=180° B
C
三个式子相加得到
2
∠1＋ ∠2＋ ∠3＋ ∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=540°
而∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=180°
∴ ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝360°
结论：三角形的外角和等于360°
三角形的三个性质
①三角形的一个外角与它相邻的内角
② 三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个与它 不相邻的内角。
C
D
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内
角的和
针对性训练：
1. 求下列各图中∠1的度数。
30°
1
60°
∠1= 90º
1
120°
35°
1
45°
50°
∠1= 85º ∠1= 95º
2. 如图所示, ∠A=37°, ∠CBE=155°,
求∠1, ∠2, ∠3的度数.
D
C 3
2
A 37°
155°
1B
E
13.2三角形的外角定理
三角形的外角：
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，
叫做三角形的外角． A
B
C
三角形的外角的三个特征:
D
1.顶点在三角形的一个顶点上;
2.一条边是三角形的一条边;
3.另一条边是三角形的某条边的延长线
画一个三角形，再画出它所有的外角。
想一想: 1、每一个三角形有几个外角？ 2、每一个顶点处相对应的外角有几个？ 3、这些外角中有几个外角相等？ 4、三角形的每一个外角与三角形的三个内 角有什么位置关系?