静电学第5讲——有导体时的静电场
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2篇有导体时的静电场
第二章
有导体时的静电场
§2.1 静电场中的导体
2.1.1 静电平衡 当自由电子不做宏观运动时的状态
1.带电导体 中性导体 孤立导体
1)带电导体:总电荷不为零的导体
2)中性导体:总电荷为零的导体
3)孤立导体:与其他物体距离足够远的导体
物理上说孤立导体之外没有其他导体
2. 导体的静电平衡条件 E
静电感应:在电场的作用下,导体中的 自由电荷将发生移动,结果使导体的 一端带正电,另一端带负电.
2.1.2 带电导体所受的静电力
设 是S 导体表面含P点的小面元，则 所 S受的静电场力为：
FE(p) S
E ( p ) 是除 S外所有电荷在p点贡献的场强
P1 是 P 沿 表 面 法 向 稍 作 外 移 之 点 , 则
P1点场强为
E( p1) 0 en
P1 en
••
P
分成两部分为
enE (P 1)E S(P 1)E (P 1) 0
E
E
Ei 0
E
Ei EE
导体的静电平衡状态：
导体的内部和表面都 没有电荷作任何宏观 定向运动的状态.
FqEi eEi
导体静电平衡条件：
导体内任一点的电 场强度都等于零
推论 (静电平衡状态性质)
(1) 导体是等势体，导体表面是等势面
证： 在导体上任取两点 p , q
q
VpVq pEi dl 0
p1• p2• AB
故
1 4 2 3
又 q A 1 S 2 S ; q B 3 S 4 S
en
1 2 3 4
两式相减，并考虑到上两式得
p1• p2•
1
4
qA qB 2S
有导体时的静电场
§2.1 静电场中的导体
2.1.1 静电平衡 当自由电子不做宏观运动时的状态
1.带电导体 中性导体 孤立导体
1)带电导体:总电荷不为零的导体
2)中性导体:总电荷为零的导体
3)孤立导体:与其他物体距离足够远的导体
物理上说孤立导体之外没有其他导体
2. 导体的静电平衡条件 E
静电感应:在电场的作用下,导体中的 自由电荷将发生移动,结果使导体的 一端带正电,另一端带负电.
2.1.2 带电导体所受的静电力
设 是S 导体表面含P点的小面元，则 所 S受的静电场力为：
FE(p) S
E ( p ) 是除 S外所有电荷在p点贡献的场强
P1 是 P 沿 表 面 法 向 稍 作 外 移 之 点 , 则
P1点场强为
E( p1) 0 en
P1 en
••
P
分成两部分为
enE (P 1)E S(P 1)E (P 1) 0
E
E
Ei 0
E
Ei EE
导体的静电平衡状态：
导体的内部和表面都 没有电荷作任何宏观 定向运动的状态.
FqEi eEi
导体静电平衡条件：
导体内任一点的电 场强度都等于零
推论 (静电平衡状态性质)
(1) 导体是等势体，导体表面是等势面
证： 在导体上任取两点 p , q
q
VpVq pEi dl 0
p1• p2• AB
故
1 4 2 3
又 q A 1 S 2 S ; q B 3 S 4 S
en
1 2 3 4
两式相减，并考虑到上两式得
p1• p2•
1
4
qA qB 2S
大学物理学(上册)第5章 静电场
q ne (n 1,2,3, )
e 1.6021019C 量子性
电荷量e的数值最早由美国 科学家密立根用实验测得．
量子性始终不变
强子理论研究中提出所谓夸克模型,以四味夸克为例
夸克 U quark (上)
带电量 2/3 |e|
D quark(下) S quark(奇) C quark(粲)
-1/3 |e| -1/3 |e|
电量为Q
电量为Q
+
v
X′
X
⑵ 库仑定律
库仑（1736～1806)
库仑扭秤
① 库仑定律的内容主要内容 在真空中处于静止状态的两个点电荷的相互作用力的大 小,与每个点电荷的电量成正比，与两个点电荷间距离的 平方成反比，作用力的方向沿着两个点电荷的连线. 当 两个点电荷带同号电荷时，它们之间是排斥力，带异号 电荷时，它们之间是吸引力．
例1 长为L的均匀带电直杆，电荷线密度为 ,求它在空
解 d间q一点dPx产生d的E电场4强1度0 （rd2Px点到杆的垂直dy距Ey离为dEa).
dEx dE cos dEy dE sin
P
dEx
由图上的几何关系
x a tan(θ ) acotθ 2
r
1
a
2
dq O
x
dx a csc2θ dθ
dq
讨论
E
qx
q
4 0 (x2 R2 )3/ 2
R
1)环心处：x=0 E=0 表明环心处的电场强度为零
o
xP
Ex
2)当 x >> R，则
(x2 R2 )3/2 x3
E
1
4 0
q x2
dq '
e 1.6021019C 量子性
电荷量e的数值最早由美国 科学家密立根用实验测得．
量子性始终不变
强子理论研究中提出所谓夸克模型,以四味夸克为例
夸克 U quark (上)
带电量 2/3 |e|
D quark(下) S quark(奇) C quark(粲)
-1/3 |e| -1/3 |e|
电量为Q
电量为Q
+
v
X′
X
⑵ 库仑定律
库仑（1736～1806)
库仑扭秤
① 库仑定律的内容主要内容 在真空中处于静止状态的两个点电荷的相互作用力的大 小,与每个点电荷的电量成正比，与两个点电荷间距离的 平方成反比，作用力的方向沿着两个点电荷的连线. 当 两个点电荷带同号电荷时，它们之间是排斥力，带异号 电荷时，它们之间是吸引力．
例1 长为L的均匀带电直杆，电荷线密度为 ,求它在空
解 d间q一点dPx产生d的E电场4强1度0 （rd2Px点到杆的垂直dy距Ey离为dEa).
dEx dE cos dEy dE sin
P
dEx
由图上的几何关系
x a tan(θ ) acotθ 2
r
1
a
2
dq O
x
dx a csc2θ dθ
dq
讨论
E
qx
q
4 0 (x2 R2 )3/ 2
R
1)环心处：x=0 E=0 表明环心处的电场强度为零
o
xP
Ex
2)当 x >> R，则
(x2 R2 )3/2 x3
E
1
4 0
q x2
dq '
静电场中导体课件
-
C
2
B
设平行板电容器两板极上带有电荷±q, 铜板平行地两 表面上将分别产生感应电荷，面密度也为±σ ，如图 所示，此时空气中场强不变，铜板中场强为零。两 极板A 、B的电势差为
所以铜板插入后的电容C’ 为 2)由上式可见， C ’ 的值与d1 和d2 无关( d1 增大时， d2 减小。 d1 + d2 = d- d ' 不变)，所以铜板离极板的 距 离不影响C’ 的值
板极上带电±Q时所储的电能为
故两极板的间距拉开到2d后电容器中电场能量的 增量为
(2)设两极板之间的相互吸引力为F ，拉开两极板 时所加外力应等于F ，外力所作的功A=Fd ，所以
讨论：由
也可以求出F，请问此时的E=？
一个无限大平面附近的场。
例 9-11 平行板空气电容器每极+
板的面积 S = 3×10 -2 m 2 ，板极间
各自都是均匀的。设大球所带电荷量为Q，小球所带电荷 量为q，则两球的电势为
导体上的电荷分布
可见大球所带电量Q比小球所带电量q多。
两球的电荷密度分别为
可见电荷面密度和半径成反比，即曲率半径愈 小(或曲率愈大)，电荷面密度愈大。
三、静电屏蔽(electrostatic shielding)
导体放入静电场中，导体上的感应电荷只分布在导体表面， 导体内部没有净电荷，导体内部场强为零。如果导体内部挖一空腔， 空腔内无带电体时，电荷只分布在外表面， 导体内部及腔体的内表 面处处无净电荷。 下面我们简单证明一下这一结论。 假设内表面一部分带正电，另一部分带等量的负电，则必有电场线 从正电荷出发终止于负电荷。
由电容的定义可得，此球的电容为 二 、 电 容 器 的 电 容 ( capacitance of capacitor)
大学物理电磁学第二章 导体周围的静电场汇总
VO
q
4
0l
dS q 1 S 4 0R 4 ol 4 0R
dS 1 q Q
S
4 0 l R
例5 求金属球的感生电荷。
q
S R
仿上题解题技巧，可得
l
O
V0
1
4
0
q l
q/ R
0
q/
R l
q
q/
2.1.5 平行板导体组例题
解: 根据静电平衡条件有:
例1 求每板表面的电荷密度 在A内:
第二章 有导体时的静电场
本章主要内容：
导体的静电平衡及静电平衡条件，静电场中导体 的电学性质； 电容器及其联接； 电场的能量； 简单介绍静电的应用。
§2.1 静电场中的导体
2.1.1 静电平衡
本节讨论的导体主要是指金属导体，金属导体内部有大量 的自由电子，自由电子时刻作无规则的热运动。
导体刚放入电场
(2) 两球间的电势差(电压)绝
对值与球形电容器的电荷Q成正比，
证明如下。
球壳间
E
Q
4 0r 2
eˆr
-
-
+ + r+
-
-
R2
+ +
R1
-
+
+ +
-
-
-
U
Q R2
R1 4 0
dr r2
Q
4
0
1 R1
1 R2
2、平行板电容器
A
(1) 电荷在两平板相对面内 均匀分布，两面电荷等值异号。
(2) 两枝间的电压与板内壁的 B
+
+Q C -Q
静电场中的导体和电解质
Q + + + + ++ + + + + E= 0 S+ + + + + + + + ++
Q q + + + +++ + +-q + + - E= 0 S + 结论: 电荷分布在导体外表面, 导体 + q + + 内部和内表面没净电荷. + - - + + + + ++ 腔内有电荷q: E 0 q 0
i
结论: 电荷分布在导体内外两个表面,内表面感应电荷为-q. 外表面感应电荷为Q+q.
NIZQ
第 5页
大学物理学 静电场中的导体和电介质
结论: 在静电平衡下,导体所带的电荷只能分布在导体的 表面,导体内部没有净电荷. • 静电屏蔽 一个接地的空腔导体可以隔离内 外电场的影响. 1. 空腔导体, 腔内没有电荷 空腔导体起到屏蔽外电场的作用. 2. 空腔导体,腔内存在电荷 接地的空腔导 体可以屏蔽内、 外电场的影响.
NIZQ
第 3页
大学物理学 静电场中的导体和电介质
• 静电平衡时导体中的电场特性
E内 0
场强:
ΔVab
b
a
E dl 0
• 导体内部场强处处为零 E内 0 • 表面场强垂直于导体表面 E表面 // dS
• 导体为一等势体 V 常量 • 导体表面是一个等势面
S
0 E P dS qi
1.5 静电场中的导体
10
§5 静电场中的导体
5.2 导体上的电荷分布 尖端放电现象 尖端放电可以利用的一面——避雷针。 当带电的云层接近地表面时，由于静电感应使地面上 物体带异号电荷，这些电荷比较集中地分布在突出的 物体（如高大建筑物、烟囱、大树）上。当电荷积累 到一定程度，就会在云层和这些物体之间发生强大的 火花放电。这就是雷击现象。 为了避免雷击，如右图所示，可在高大建筑物上安装 尖端导体（避雷针），用粗铜缆将避雷针通地，通地 的一端埋在几尺深的潮湿泥土里或接到埋在地下的金 属板（或金属管）上，以保持避雷针与大地电接触良 好。当带电的云层接近时，放电就通过避雷针和通地 粗铜导体这条最易于导电的通路局部持续不断地进行 以免损坏建筑物。
2
§5 静电场中的导体
2.1.1 导体的静电平衡条件 导体从非平衡态趋于平衡态的过程：
把一个不带电的导体放在均匀电场中。在导体所占据的那部分空间 里本来是有电场的，各处电势不相等。在电场的作用下，导体中的自由 电荷将发生移动，结果使导体的一端带上正电，另一端带上负电，这就 是静电感应现象。 导体上的电荷达到什么程度时，电荷不再增加？ 导体内部： E E0 E 0， 达到平衡
12
§5 静电场中的导体
5.3 导体壳（腔内无带电体情形） （2）法拉第圆筒 静电平衡时，导体壳内表面没有电荷的结论 可以通过如图所示的实验演示。
A、B是两个验电器，把一个差不多封闭的空心金 属圆筒C（圆筒内无带电体）固定在验电器B上。给圆 筒和验电器B以一定的电荷，则金箔张开。取一个装有 绝缘柄的小球D，使它和圆筒C外表面接触后再碰验电 器A（图a），则A上金箔张开，如果重复若干次，我们 就能使金属箔A张开的角度很显著，这证明圆筒C的外 表面是带上了电的。 如果把小球D插入圆筒上的小孔使之与圆筒的内 表面相接触后，再用验电器A检查（图b）,则发现A的 金属箔总不张开。这表明圆筒C的内表面不带电。这 就从实验上证实了上述结论。这实验称为法拉第圆筒 实验，实验中的圆筒C称为法拉第圆筒。
§5 静电场中的导体
5.2 导体上的电荷分布 尖端放电现象 尖端放电可以利用的一面——避雷针。 当带电的云层接近地表面时，由于静电感应使地面上 物体带异号电荷，这些电荷比较集中地分布在突出的 物体（如高大建筑物、烟囱、大树）上。当电荷积累 到一定程度，就会在云层和这些物体之间发生强大的 火花放电。这就是雷击现象。 为了避免雷击，如右图所示，可在高大建筑物上安装 尖端导体（避雷针），用粗铜缆将避雷针通地，通地 的一端埋在几尺深的潮湿泥土里或接到埋在地下的金 属板（或金属管）上，以保持避雷针与大地电接触良 好。当带电的云层接近时，放电就通过避雷针和通地 粗铜导体这条最易于导电的通路局部持续不断地进行 以免损坏建筑物。
2
§5 静电场中的导体
2.1.1 导体的静电平衡条件 导体从非平衡态趋于平衡态的过程：
把一个不带电的导体放在均匀电场中。在导体所占据的那部分空间 里本来是有电场的，各处电势不相等。在电场的作用下，导体中的自由 电荷将发生移动，结果使导体的一端带上正电，另一端带上负电，这就 是静电感应现象。 导体上的电荷达到什么程度时，电荷不再增加？ 导体内部： E E0 E 0， 达到平衡
12
§5 静电场中的导体
5.3 导体壳（腔内无带电体情形） （2）法拉第圆筒 静电平衡时，导体壳内表面没有电荷的结论 可以通过如图所示的实验演示。
A、B是两个验电器，把一个差不多封闭的空心金 属圆筒C（圆筒内无带电体）固定在验电器B上。给圆 筒和验电器B以一定的电荷，则金箔张开。取一个装有 绝缘柄的小球D，使它和圆筒C外表面接触后再碰验电 器A（图a），则A上金箔张开，如果重复若干次，我们 就能使金属箔A张开的角度很显著，这证明圆筒C的外 表面是带上了电的。 如果把小球D插入圆筒上的小孔使之与圆筒的内 表面相接触后，再用验电器A检查（图b）,则发现A的 金属箔总不张开。这表明圆筒C的内表面不带电。这 就从实验上证实了上述结论。这实验称为法拉第圆筒 实验，实验中的圆筒C称为法拉第圆筒。
大学物理电磁学第二章 导体周围的静电场
球壳间
+ + r + - R2 + + R1 + + + -
E
Q 4 0 r
R2 R1
2
ˆr e
U
Q dr Q 1 1 2 4 0 r 4 0 R1 R2
A S S +σ -σ d
2、平行板电容器
(1) 电荷在两平板相对面内 均匀分布，两面电荷等值异号。 (2) 两枝间的电压与板内壁的 B 电荷Q成正比，证明如下。 Q
C2
Q U C C
Ｕ
C1C2 C1 C2
串联电容器组等效电容的倒数等于电容器组中各电 容倒数之和，但每个电容器上的电压小于总电压。
练习：习题2.3.4. k A B
A/ （1）
A
B A/ B/
A/
A k B
C AB C Ak C Bk
0S
d AB
（2） A B
; 2C AB ; 2C AB
§2-2 封闭金属壳内外的静电场 2.2.1 壳内空间的场 1 壳内空间无带电体的情况
用反证法可以证明，不论壳外 (包括壳的外壁)带电情况如何，壳内 空间各点的电场强度处处为零，且壳 内壁处处有σ=0。
+
P
-
2 壳内空间有带电体的情况
壳内空间将因壳内带电体的存在 而出现电场，壳的内壁也会出现电荷分 布。但是可以证明，壳内电场只由壳内 带电体及壳的内壁形状决定而与壳外电 荷分布情况无关。
因此有
2 S ˆn F e 2 0
2 5
把上式沿导体表面作积分便可求得整个导体所受的静电力。
2.1.3 弧立导体形状对电荷分布的影响
+ + r + - R2 + + R1 + + + -
E
Q 4 0 r
R2 R1
2
ˆr e
U
Q dr Q 1 1 2 4 0 r 4 0 R1 R2
A S S +σ -σ d
2、平行板电容器
(1) 电荷在两平板相对面内 均匀分布，两面电荷等值异号。 (2) 两枝间的电压与板内壁的 B 电荷Q成正比，证明如下。 Q
C2
Q U C C
Ｕ
C1C2 C1 C2
串联电容器组等效电容的倒数等于电容器组中各电 容倒数之和，但每个电容器上的电压小于总电压。
练习：习题2.3.4. k A B
A/ （1）
A
B A/ B/
A/
A k B
C AB C Ak C Bk
0S
d AB
（2） A B
; 2C AB ; 2C AB
§2-2 封闭金属壳内外的静电场 2.2.1 壳内空间的场 1 壳内空间无带电体的情况
用反证法可以证明，不论壳外 (包括壳的外壁)带电情况如何，壳内 空间各点的电场强度处处为零，且壳 内壁处处有σ=0。
+
P
-
2 壳内空间有带电体的情况
壳内空间将因壳内带电体的存在 而出现电场，壳的内壁也会出现电荷分 布。但是可以证明，壳内电场只由壳内 带电体及壳的内壁形状决定而与壳外电 荷分布情况无关。
因此有
2 S ˆn F e 2 0
2 5
把上式沿导体表面作积分便可求得整个导体所受的静电力。
2.1.3 弧立导体形状对电荷分布的影响
大学物理静电场中的导体(大学出版社【PPT】
解：(1) 当球和壳接触后，球上的电 荷全部移至外球壳，两者成为一等势 体。
A
B
4 0 R2
B q
A
q o
R2 R1 R0
17
(2) 若壳接地，则 B 0 ，但是壳上的电荷不等
于零。由高斯定理可证：
QB内 q
等效：在真空中两个均 匀带电的球面。
由叠加原理得:
A
3. 处于静电平衡的孤立导体，其表面各处的面电荷密 度与各处表面的曲率有关，曲率越大的地方，面电荷 密度也越大。
B
A
孤立 导体
C
A B C
孤 立 带 电
导 体 球
c +++++++++++++++++++
在表面凸出的尖锐部分电荷面密度较大，在比较平坦部
分电荷面密度较小，在表面凹进部分电荷面密度最小。
求：导体上感应电荷的电量。
பைடு நூலகம்
解: 接地， 即 0
由于导体是个等势体 O点的电势为0， 设：感应电量为Q，则
l
R
o
q
Q q 0
4 0R 4 0l
QRq l
21
有导体存在时静电场的计算方法
1. 静电平衡的条件
E内 0 E表面 表面
2. 基本性质方程
E dS
尖端放电 (尖端上电荷过多时)
尖端放电会损耗电能, 还会干扰精密测量和对通讯 产生危害；然而尖端放电也有很广泛的应用。
< 避雷针 >
第2章有导体时的静电场
2.1.3 导体静电平衡问题的讨论方法
对于静电问题，正确的讨论必须遵从静电
学的两个基本规律（高斯定理和环路定 理），而应用它们往往涉及过多的数学知 识，人们创造了许多非常巧妙的解题技巧， 如电像法，复变函数法，以及工程中的图 解法，但适用范围不广泛，并同样要有较 好的数学知识，这些方法不是本书介绍的 范围，而是电动力学的内容。本小节利用 高斯定理和环路定理和电场线这一形象工 具定性讨论几个静电平衡问题。
匀分布，在A、B板内分别取点M和N，
(1 2)S qA
(3 4)S qB
M
N
1 2 3 4
EM
1 2 0
2 2 0
3 2 0
4 2 0
0
EN
1 2 0
2 2 0
3 2 0
4 2 0
0
1 2 3 4 0
1 2 3 4 0
1 2 qA / S 3 4 1 2 qB / S 1 (qA qB ) /(2S) 4
又壳为中性，所以外壁总电荷为 q
也可以用高斯定理求解，作如图 中高斯面（虚线
），由于内部场强为零， E dS 0 qi 0
S
内
故有内壁电荷为 q
例3：金属平板A和B的长宽对应相等, 在真空中 对齐平行放置，板间距比长宽小得多,分别让每 板带qA 及qB 的电荷，求每板表面的电荷密度。
解：可以把板看成是无限大，两板四壁的电荷均
§ 2.1 静电场中的导体
例1 ：在图中的静电感应现象中，A是带正电 的点电荷，B是中性导体，试证B左端的感生 负电荷绝对值小于或等于施感电荷。
• 解：导体B左端的负电 荷处一定有电场线终止， 来源有三种：A 上的正 电荷，B右端的正电荷， 无限远。但可以用反证 法排除后面两种可能性。
对于静电问题，正确的讨论必须遵从静电
学的两个基本规律（高斯定理和环路定 理），而应用它们往往涉及过多的数学知 识，人们创造了许多非常巧妙的解题技巧， 如电像法，复变函数法，以及工程中的图 解法，但适用范围不广泛，并同样要有较 好的数学知识，这些方法不是本书介绍的 范围，而是电动力学的内容。本小节利用 高斯定理和环路定理和电场线这一形象工 具定性讨论几个静电平衡问题。
匀分布，在A、B板内分别取点M和N，
(1 2)S qA
(3 4)S qB
M
N
1 2 3 4
EM
1 2 0
2 2 0
3 2 0
4 2 0
0
EN
1 2 0
2 2 0
3 2 0
4 2 0
0
1 2 3 4 0
1 2 3 4 0
1 2 qA / S 3 4 1 2 qB / S 1 (qA qB ) /(2S) 4
又壳为中性，所以外壁总电荷为 q
也可以用高斯定理求解，作如图 中高斯面（虚线
），由于内部场强为零， E dS 0 qi 0
S
内
故有内壁电荷为 q
例3：金属平板A和B的长宽对应相等, 在真空中 对齐平行放置，板间距比长宽小得多,分别让每 板带qA 及qB 的电荷，求每板表面的电荷密度。
解：可以把板看成是无限大，两板四壁的电荷均
§ 2.1 静电场中的导体
例1 ：在图中的静电感应现象中，A是带正电 的点电荷，B是中性导体，试证B左端的感生 负电荷绝对值小于或等于施感电荷。
• 解：导体B左端的负电 荷处一定有电场线终止， 来源有三种：A 上的正 电荷，B右端的正电荷， 无限远。但可以用反证 法排除后面两种可能性。
电磁学第二章
2 3 法3，作如图高斯面有：
最后， qA 1 S 2 S
qB 3 S 4 S
q A qB q A qB 1 4 、 2 3 2S 2S
en
（1）此时，平行板表面可看成无限大平面。 结论：
（2）无论A或B是否接地，总是有，
2 3、 1 4
（3）接地时 1 4 0 。 （？） （4）（2）、（3）的结论在解复杂问题时可 直接引用
静电场中的导体
例2、在上例两板间插入长宽相 同的中性金属平板C，求六个壁 PA 的电荷面密度。 2 3、 4 5 解：利用例1的结论有： 对于 PA 点有：
封闭金属壳内外的静电场
2、壳外有带电体的情况
无论壳接地与否或外壁电荷密度不一定处处为 零；可以证明壳外电场不受壳内电荷（包括壳内壁 电荷）影响。
【思考】移动腔内带电体或改变腔内带电体电 量，是否影响内、外表面电荷分布？
【思考题解答】
+
+ +
+
+ + + + +
+ + + + +
S
+
+
带电体
移动金属腔内带电体，或改变腔内带电体 的电量，不影响外表面电荷分布，只影响内表 面电荷分布。
例4、半径为R、电荷为Q的金属球外有一与球 心距离为 l 的点电荷 q ，求金属球的电势 （参考点在无穷远）。若球接地，求球面上 的电荷 q 。
静电场中的导体
六、平行扳导体组例题
例1、长宽相等的金属平板A和B在真空 中平行放置，如图，板间距离比长宽小 的多。分别令每板带 q A 及 qB的电荷， 求每板表面的电荷密度。 解： 法1 ，在导体A、B内取两点 P1 、 P2 1 2 3 4 则： E e e e e 0 n P n
最后， qA 1 S 2 S
qB 3 S 4 S
q A qB q A qB 1 4 、 2 3 2S 2S
en
（1）此时，平行板表面可看成无限大平面。 结论：
（2）无论A或B是否接地，总是有，
2 3、 1 4
（3）接地时 1 4 0 。 （？） （4）（2）、（3）的结论在解复杂问题时可 直接引用
静电场中的导体
例2、在上例两板间插入长宽相 同的中性金属平板C，求六个壁 PA 的电荷面密度。 2 3、 4 5 解：利用例1的结论有： 对于 PA 点有：
封闭金属壳内外的静电场
2、壳外有带电体的情况
无论壳接地与否或外壁电荷密度不一定处处为 零；可以证明壳外电场不受壳内电荷（包括壳内壁 电荷）影响。
【思考】移动腔内带电体或改变腔内带电体电 量，是否影响内、外表面电荷分布？
【思考题解答】
+
+ +
+
+ + + + +
+ + + + +
S
+
+
带电体
移动金属腔内带电体，或改变腔内带电体 的电量，不影响外表面电荷分布，只影响内表 面电荷分布。
例4、半径为R、电荷为Q的金属球外有一与球 心距离为 l 的点电荷 q ，求金属球的电势 （参考点在无穷远）。若球接地，求球面上 的电荷 q 。
静电场中的导体
六、平行扳导体组例题
例1、长宽相等的金属平板A和B在真空 中平行放置，如图，板间距离比长宽小 的多。分别令每板带 q A 及 qB的电荷， 求每板表面的电荷密度。 解： 法1 ，在导体A、B内取两点 P1 、 P2 1 2 3 4 则： E e e e e 0 n P n
第二章有导体时的静电场讲解
Q 2h C U A U A ln RB RA
§4 带电体系的静电能
一、带电体系的静电能 在引力场中，两物体相互靠近时，引力作正功， 势能减少；反之势能增加。类似地，对静电体系， 也可引入静电势能的概念。如，q1、q2构成的静电 体系，体系从状态 1 变化到状态 2 ，则电场力在这 一过程中做的功可定义为体系在新旧两种状态中 静电（势）能之差。进一步约定q1、q2处于无限远 离时的静电能为 0，则它们处于任意状态时的静电 能便有了明确值。对多个点电荷构成的静电电系 也可类似地定义静电能。
q
i
i
0
s
E 0
2.面电荷密度 和场强E 关系:
E dS ES S / 0
侧 上
下
E 0
E
S
注意: E 仅在导体表面附近适用 0
3.导体表面曲率和电荷密度的关系
U2
U1 4 0r Q1
4 0 R
1 2 3
1 EB ( 1 2 3 4 ) 0 2 0
A 1 2 B 3 4
§ 2.2 封闭金属壳内的静电场 1.腔内无电荷(无论导体是否带电) (a) 导体内场强为零； (b) 腔内空间场强处处为零； (c) 导体、空腔为等势体； (d) 内表面处处没有电荷，电荷只分布在外表面。 2. 腔内有电荷 q q (a)导体内场强处处为零； (b)腔内表面感应电荷为 - q,腔外壁总电荷为Q+q； (c)腔内电场不再为零，具体分布与腔内电荷有关； (d)导体外表面上的电荷分布与无空腔的导体相同。
而平行板电容器内部为体积V的均匀电场, 很明显,单位体积内能量,(电场能量密度):
1 2 w E 2
§4 带电体系的静电能
一、带电体系的静电能 在引力场中，两物体相互靠近时，引力作正功， 势能减少；反之势能增加。类似地，对静电体系， 也可引入静电势能的概念。如，q1、q2构成的静电 体系，体系从状态 1 变化到状态 2 ，则电场力在这 一过程中做的功可定义为体系在新旧两种状态中 静电（势）能之差。进一步约定q1、q2处于无限远 离时的静电能为 0，则它们处于任意状态时的静电 能便有了明确值。对多个点电荷构成的静电电系 也可类似地定义静电能。
q
i
i
0
s
E 0
2.面电荷密度 和场强E 关系:
E dS ES S / 0
侧 上
下
E 0
E
S
注意: E 仅在导体表面附近适用 0
3.导体表面曲率和电荷密度的关系
U2
U1 4 0r Q1
4 0 R
1 2 3
1 EB ( 1 2 3 4 ) 0 2 0
A 1 2 B 3 4
§ 2.2 封闭金属壳内的静电场 1.腔内无电荷(无论导体是否带电) (a) 导体内场强为零； (b) 腔内空间场强处处为零； (c) 导体、空腔为等势体； (d) 内表面处处没有电荷，电荷只分布在外表面。 2. 腔内有电荷 q q (a)导体内场强处处为零； (b)腔内表面感应电荷为 - q,腔外壁总电荷为Q+q； (c)腔内电场不再为零，具体分布与腔内电荷有关； (d)导体外表面上的电荷分布与无空腔的导体相同。
而平行板电容器内部为体积V的均匀电场, 很明显,单位体积内能量,(电场能量密度):
1 2 w E 2
5-1 导体的静电平衡性质概要1.
0
+
+
高斯面是任意作出的
导体中各处 q 0
+ + + + + E= 0 q0 + +
+
+ +
结论：静电平衡时，净电荷只分布在实 心导体的表面，导体内部没有净电荷。
+ + + ++ +
2、有空腔导体 空腔内无电荷
+
+
+ S+ + + +
E 0
由高斯定理
S
q E dS
i
0
=0
处于电场中的导体，由于 静电感应(电子在电场力的作用 下做定向运动)，导体上出现感 应电荷，感应电荷（电场）的 出现又要影响原电场的分布。
电荷积累到一定程度 E E 电荷不动
E内 0
达到静电平衡
感应电荷电场与外 电场叠加使导体内 电场为零，电子不 再定向运动. 导体球外电场为外 电场和感应电荷电 场的叠加. 导体球放入电场后电力线发生弯曲.
导体的电结构(无外加电场时) 导体 —— 导电性能很好的材料 (金属、电解质溶液）
正离子——通常的金属导体都是以金属键结 合的晶体，处于晶格结点上的原子很容易失 去外层的价电子，而成为正离子。
自由电子——脱离原子核束缚的价电子以在 整个金属中自由运动，称自由电子。
金属导体特征：存在大量的自由电子。 • 正离子以一定方式有规则排列成晶格点阵。
若内表面带电
矛U 盾 AB
S
+
A
+
+
B -
+ +
有导体时的静电场资料课件
有导体时的静电 场资料课件
• 静电场的基本知识 • 有导体时的静电场 • 静电场的计算方法 • 静电场的实际应用 • 静电场的未来发展
01
CATALOGUE
静电场的基本知识
静电场的定义
静电场是由静止电荷在其周围空间产生的电场 电荷是产生静电场的源
静电场的特点
01
静电场是保守场，即电场力做功 与路径无关
02
静电场是有源场，即电场线起于 正电荷，终止于负电荷
静电场的类型
01
02
03
匀强电场
电场强度大小相等、方向 相同的电场
非匀强电场
电场强度大小和方向都变 化的电场
静电场中导体
导体在静电场中会产生感 应电荷，从而改变原来的 电场分布
02
CATALOGUE
有导体时的静电场
导体的特性
导电性
导体能够传导电流，是因为导体 内部存在许多可以自由移动的电子。
屏蔽作用
导体可以屏蔽静电场，减少静电 场对周围环境的影响。
电荷转移
导体在静电场中会发生电荷转移， 导致导体带电。
电场改变
导体的存在会改变静电场的分布 和强度，影响静电场的性质和行
为。
03
CATALOGUE
静电场的计算方法
解析法
边界条件法
根据不同导体边界条件，求解静电场分布。
分离变量法
将电势和电流密度作为变量，对各个变量进行分 离，然后求解。
景。
03
多物理场耦合
研究静电场与其他物理场的耦合效应，如磁场、热场等，探索多物理场
相互作用下的新现象和规律。
THANKS
感谢观看
元胞自动机法
利用元胞自动机模拟电荷分布与运动轨迹，求解静电场分布。
• 静电场的基本知识 • 有导体时的静电场 • 静电场的计算方法 • 静电场的实际应用 • 静电场的未来发展
01
CATALOGUE
静电场的基本知识
静电场的定义
静电场是由静止电荷在其周围空间产生的电场 电荷是产生静电场的源
静电场的特点
01
静电场是保守场，即电场力做功 与路径无关
02
静电场是有源场，即电场线起于 正电荷，终止于负电荷
静电场的类型
01
02
03
匀强电场
电场强度大小相等、方向 相同的电场
非匀强电场
电场强度大小和方向都变 化的电场
静电场中导体
导体在静电场中会产生感 应电荷，从而改变原来的 电场分布
02
CATALOGUE
有导体时的静电场
导体的特性
导电性
导体能够传导电流，是因为导体 内部存在许多可以自由移动的电子。
屏蔽作用
导体可以屏蔽静电场，减少静电 场对周围环境的影响。
电荷转移
导体在静电场中会发生电荷转移， 导致导体带电。
电场改变
导体的存在会改变静电场的分布 和强度，影响静电场的性质和行
为。
03
CATALOGUE
静电场的计算方法
解析法
边界条件法
根据不同导体边界条件，求解静电场分布。
分离变量法
将电势和电流密度作为变量，对各个变量进行分 离，然后求解。
景。
03
多物理场耦合
研究静电场与其他物理场的耦合效应，如磁场、热场等，探索多物理场
相互作用下的新现象和规律。
THANKS
感谢观看
元胞自动机法
利用元胞自动机模拟电荷分布与运动轨迹，求解静电场分布。
静电学有导体时的静电场
矛
盾
U AB AB E dl 0
+
+A
+ S ++
+
B--
+
+ +
+
+
+
导体是等势体
U AB AB E dl 0 所以内表面不带电
结论 电荷分布在外表面上（内表面无电荷）
第七页，共28页。
空腔内有电荷
E dS 0， S1
qi 0
电荷分布在表面上
内表面上有电荷吗？
E dS 0， S2
+ +
E0
与该表面电荷面密度成
+
正比
第九页，共28页。
4 导体表面电荷分布
, E ; E
++
+ ++
++++
E 0
注意 导体表面电荷分布与导体形状以及周围环境有关.
第十页，共28页。
尖端放电现象
E
带电导体尖端附近电场最强
带电导体尖端附近的电场特别大， 可使尖端附近的空气发生电离而成为
静电学有导体时的静电场
第一页，共28页。
导体的结构特征：内部有大量的可以自由移动的电子。
一、静电感应
+
+ ++++ + + +
感应电荷
第二页，共28页。
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
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(2) 把外球壳接地后再绝缘，求外球壳上的电荷分布 及球壳内外的电势分布； 外球壳接地后，Q3 与大地电荷中和； Q2 不变 以保持球壳体内 E 0 , 即 Q2 q , Q3 0 这时的场强分布为
0, 1 E
r R1 , r R2 q 0 r , R1 r R2 2 4 0 r
+ + + +
+
++ ++
E 0
注意 导体表面电荷分布与导体形状以及周围环境有关.
尖端放电现象
E
带电导体尖端附近电场最强 带电导体尖端附近的电场特 别大，可使尖端附近的空气发生 电离而成为导体产生放电现象， 即尖端放电 . 尖端放电现象的利与弊 尖端放电会损耗电能, 还会干扰精密测量和对通 讯产生危害 . 然而尖端放电也有很广泛的应用 .
E3 0
q E2 ( R3 r R2 ) 2 4π 0 r
(r R3 )
q
2q
R3 2q E4 ( R1 r ) 2 4π 0 r R2 R1 VO E dl 0 R2 R1 R3 E1 dl E2 dl E3 dl E4 dl
结论 电荷分布在外表面上（内表面无电荷）
空腔内有电荷
E dS 0， qi 0
S1
Qq
电荷分布在表面上
E dS 0， qi 0
S2
内表面上有电荷吗？
S2
q
q
S1
q内 q
结论 当空腔内有电荷 q 时,内表面因静电感应出 现等值异号的电荷 q ，外表面有感应电荷 q （电荷 守恒）
两式联立解出：
a(b r ) q, q1 r (b a)
例4： 带电量为 q 、 半径为 R1 的导体球外，同心地
放置一个内、外半径分别为 R2 和 R3 的金属球壳。 (1) 求外球壳上的电荷及电势分布； (2) 把外球壳接 地后再绝缘，求外球壳上的电荷分布及球壳内外的 电势分布；(3) 再把内球接地，求内球上的电荷分布 及外球壳的电势。 解：(1) 设外球壳内、外表面上的电量为 Q2 和 Q3 , 则 Q3 Q2 ;
3
导体表面电场强度与电荷面密度的关系
S E dS
S
S E S 0 E 0
表面电场强度的大 小与该表面电荷面密度 成正比
0
为表面电荷面密度
作钱币形高斯面 S
E
+
+ +
+
+
E 0
+ + + + + +
4
导体表面电荷分布
, E ; E
+ +
导体表面是等势面
en
+
E
dl +
+
+
eτ
U AB
AB
E dl 0
A
B
二、静电平衡时导体上电荷的分布
E 0
1
实心导体
S
+ + +
+ + +
q E dS 0
+
S
q 0
2 有空腔导体
空腔内无电荷
0
+ + +
结论 导体内部无电荷
＇ E E0 E 0
导体内电场强度 外电场强度 感应电荷电场强度
静电平衡条件
（1）导体内部任何一点处的电场强度为零；
（2）导体表面处的电场强度的方向,都与导体表面垂直.
导 体 是 等 势 体
E dl U E dl 0
导体内部电势相等
< 电风实验 >
+++ ++
+
+
+++
< 避雷针 > 尖端放电现象的利用
三、静电屏蔽
1 屏蔽外电场
E
E
外电场
空腔导体屏蔽外电场
空腔导体可以屏蔽外电场, 使空腔内物体不受 外电场影响.这时,整个空腔导体和腔内的电势也必 处处相等.
2
屏蔽腔内电场 接地空腔导体
+
+ +
将使外部空间不受
空腔内的电场影响.
E dS 0， qi 0
S
电荷分布在表面上
S
内表面上有电荷吗？
E dS ， qi 0
S
若内表面带电 矛 盾
+
A
+ +
+
+
U AB
AB
E dl 0
+
S
+
B+ +
+ +
+
导体是等势体
U AB
AB
E dl 0 所以内表面不带电
q Q2 当 R2 r R3 时，场强 E 0, 2 40 r 则 Q2 q
即
Q2 q , Q3 q ;
场强分布： E
q 0 r , R1 r R2 , r R3 2 4 0 r 电势分布： q 1 1 q r R3 时，U r r 2 dr 40 r , 4 0 1 q R2 r R3 时，U , 4 0 R3
电势分布
r R2 时， U 0 dr 0 ,
r
R1 r R2 时，
U 1 4
0
R2 r
q 1 1 1 dr , 2 r 4 0 r R 2
q 1 1 r R1 时，U . 4 0 R1 R2
(3) 再把内球接地，求内球上的电荷分布及外球壳的 电势。 设内球上带电为 q , 则 Q2 q 0 , Q2 Q3 q ,
静电学第5讲
——有导体时的静电场
主要内容
一、静电感应 二、静电平衡时导体上电荷的分布 三、静电屏蔽
导体的结构特征： 内部有大量的可以自由移动的电子。 一、静电感应
+
+ ++ + + +
+
+
感应电荷
+
+
+
+
+
+
+
+
+
E0
+
+
+
E0 ＇ E E0
+ + + + + + + +
E0
E 2 /0
例3：两个同心的薄导体球壳均接地，内球壳的半径
为 a , 外球壳的半径为 b . 另有一电量为 q 的点电荷 置于两球壳之间距球心为 r ( a r b) 处。 q2 q1 和 q 2 则内、外球壳上的感应电荷 分别是多少？ 解： 内球壳里面无电荷，不存在电 场，且内球壳接地，所以内球 壳及其以内为电势等于零的等 势区。 中心点电势：
q R3 r R2 , E2 dS S2 0 q E2 2 4π 0 r
E1 0 (r R3 ) 作球形高斯面 S 2
r
q S2 q S1 R3
R2
R1
E1 0 (r R3 ) 2q q q E2 ( R3 r R2 ) S3 q 2 4π 0 r S4
即
Q2 q , Q3 q q ,
这时的场强分布
r R1 , R2 r R3 1 q 0 r , R1 r R2 2 E 4 0 r 1 q q 0 r , r R3 2 4 0 r
0,
外球壳的电势
1 q q 1 1 q q U2 2 R3 r 2 dr 4 0 R3 , 4 0 r 1 q R 2 1 dr U 2 内球的电势 U 1 2 R 2 4 0 r 1 r 1 q q q q 4 0 R3 R1 R 2 由于 U 1 0 , 所以 R1 R2 q q, R1 R2 R2 R3 R3 R1 1 R1 R2 q. U2 4 0 R1 R2 R2 R3 R3 R1
q
+
接地导体电势为零 问：空间各部
分的电场强度如何 分布 ？
q
+
+
+
q
+
例1 有一外半径 R1 10cm 和内半径 R2 7cm 的 金属球壳，在球壳内放一半径 R3 5cm 的同心金属 8 球，若使球壳和金属球均带有 q 10 C 的正电荷， 问 两球体上的电荷如何分布？球心的电势为多少？ 解 根据静电平衡的条件求电荷分布 作球形高斯面 S1
作 业 题：习题11.7、11.10 预习内容： 11.3, 11.4 复习内容：本讲
根据静电平衡条件
r
E3 0 ( R1 r R2 ) R2 R1 S3 E3 dS qi 0 0 i r R1, E4 dS qi 0 2q 0
S4
r
R3
2q E4 ( R1 r ) 2 4π 0 r
i
E1 0
2
P
1
P
S
闭合圆柱面可分成三部分： 导体球内部分，各点处场强为零； 球面外侧面，各点场强垂直于面元法向；P P 点所在的底，各点场强大小相等，方 向一致。 所以，电通量为
0, 1 E
r R1 , r R2 q 0 r , R1 r R2 2 4 0 r
+ + + +
+
++ ++
E 0
注意 导体表面电荷分布与导体形状以及周围环境有关.
尖端放电现象
E
带电导体尖端附近电场最强 带电导体尖端附近的电场特 别大，可使尖端附近的空气发生 电离而成为导体产生放电现象， 即尖端放电 . 尖端放电现象的利与弊 尖端放电会损耗电能, 还会干扰精密测量和对通 讯产生危害 . 然而尖端放电也有很广泛的应用 .
E3 0
q E2 ( R3 r R2 ) 2 4π 0 r
(r R3 )
q
2q
R3 2q E4 ( R1 r ) 2 4π 0 r R2 R1 VO E dl 0 R2 R1 R3 E1 dl E2 dl E3 dl E4 dl
结论 电荷分布在外表面上（内表面无电荷）
空腔内有电荷
E dS 0， qi 0
S1
电荷分布在表面上
E dS 0， qi 0
S2
内表面上有电荷吗？
S2
q
q
S1
q内 q
结论 当空腔内有电荷 q 时,内表面因静电感应出 现等值异号的电荷 q ，外表面有感应电荷 q （电荷 守恒）
两式联立解出：
a(b r ) q, q1 r (b a)
例4： 带电量为 q 、 半径为 R1 的导体球外，同心地
放置一个内、外半径分别为 R2 和 R3 的金属球壳。 (1) 求外球壳上的电荷及电势分布； (2) 把外球壳接 地后再绝缘，求外球壳上的电荷分布及球壳内外的 电势分布；(3) 再把内球接地，求内球上的电荷分布 及外球壳的电势。 解：(1) 设外球壳内、外表面上的电量为 Q2 和 Q3 , 则 Q3 Q2 ;
3
导体表面电场强度与电荷面密度的关系
S E dS
S
S E S 0 E 0
表面电场强度的大 小与该表面电荷面密度 成正比
0
为表面电荷面密度
作钱币形高斯面 S
E
+
+ +
+
+
E 0
+ + + + + +
4
导体表面电荷分布
, E ; E
+ +
导体表面是等势面
en
+
E
dl +
+
+
eτ
U AB
AB
E dl 0
A
B
二、静电平衡时导体上电荷的分布
E 0
1
实心导体
S
+ + +
+ + +
q E dS 0
+
S
q 0
2 有空腔导体
空腔内无电荷
0
+ + +
结论 导体内部无电荷
＇ E E0 E 0
导体内电场强度 外电场强度 感应电荷电场强度
静电平衡条件
（1）导体内部任何一点处的电场强度为零；
（2）导体表面处的电场强度的方向,都与导体表面垂直.
导 体 是 等 势 体
E dl U E dl 0
导体内部电势相等
< 电风实验 >
+++ ++
+
+
+++
< 避雷针 > 尖端放电现象的利用
三、静电屏蔽
1 屏蔽外电场
E
E
外电场
空腔导体屏蔽外电场
空腔导体可以屏蔽外电场, 使空腔内物体不受 外电场影响.这时,整个空腔导体和腔内的电势也必 处处相等.
2
屏蔽腔内电场 接地空腔导体
+
+ +
将使外部空间不受
空腔内的电场影响.
E dS 0， qi 0
S
电荷分布在表面上
S
内表面上有电荷吗？
E dS ， qi 0
S
若内表面带电 矛 盾
+
A
+ +
+
+
U AB
AB
E dl 0
+
S
+
B+ +
+ +
+
导体是等势体
U AB
AB
E dl 0 所以内表面不带电
q Q2 当 R2 r R3 时，场强 E 0, 2 40 r 则 Q2 q
即
Q2 q , Q3 q ;
场强分布： E
q 0 r , R1 r R2 , r R3 2 4 0 r 电势分布： q 1 1 q r R3 时，U r r 2 dr 40 r , 4 0 1 q R2 r R3 时，U , 4 0 R3
电势分布
r R2 时， U 0 dr 0 ,
r
R1 r R2 时，
U 1 4
0
R2 r
q 1 1 1 dr , 2 r 4 0 r R 2
q 1 1 r R1 时，U . 4 0 R1 R2
(3) 再把内球接地，求内球上的电荷分布及外球壳的 电势。 设内球上带电为 q , 则 Q2 q 0 , Q2 Q3 q ,
静电学第5讲
——有导体时的静电场
主要内容
一、静电感应 二、静电平衡时导体上电荷的分布 三、静电屏蔽
导体的结构特征： 内部有大量的可以自由移动的电子。 一、静电感应
+
+ ++ + + +
+
+
感应电荷
+
+
+
+
+
+
+
+
+
E0
+
+
+
E0 ＇ E E0
+ + + + + + + +
E0
E 2 /0
例3：两个同心的薄导体球壳均接地，内球壳的半径
为 a , 外球壳的半径为 b . 另有一电量为 q 的点电荷 置于两球壳之间距球心为 r ( a r b) 处。 q2 q1 和 q 2 则内、外球壳上的感应电荷 分别是多少？ 解： 内球壳里面无电荷，不存在电 场，且内球壳接地，所以内球 壳及其以内为电势等于零的等 势区。 中心点电势：
q R3 r R2 , E2 dS S2 0 q E2 2 4π 0 r
E1 0 (r R3 ) 作球形高斯面 S 2
r
q S2 q S1 R3
R2
R1
E1 0 (r R3 ) 2q q q E2 ( R3 r R2 ) S3 q 2 4π 0 r S4
即
Q2 q , Q3 q q ,
这时的场强分布
r R1 , R2 r R3 1 q 0 r , R1 r R2 2 E 4 0 r 1 q q 0 r , r R3 2 4 0 r
0,
外球壳的电势
1 q q 1 1 q q U2 2 R3 r 2 dr 4 0 R3 , 4 0 r 1 q R 2 1 dr U 2 内球的电势 U 1 2 R 2 4 0 r 1 r 1 q q q q 4 0 R3 R1 R 2 由于 U 1 0 , 所以 R1 R2 q q, R1 R2 R2 R3 R3 R1 1 R1 R2 q. U2 4 0 R1 R2 R2 R3 R3 R1
q
+
接地导体电势为零 问：空间各部
分的电场强度如何 分布 ？
q
+
+
+
q
+
例1 有一外半径 R1 10cm 和内半径 R2 7cm 的 金属球壳，在球壳内放一半径 R3 5cm 的同心金属 8 球，若使球壳和金属球均带有 q 10 C 的正电荷， 问 两球体上的电荷如何分布？球心的电势为多少？ 解 根据静电平衡的条件求电荷分布 作球形高斯面 S1
作 业 题：习题11.7、11.10 预习内容： 11.3, 11.4 复习内容：本讲
根据静电平衡条件
r
E3 0 ( R1 r R2 ) R2 R1 S3 E3 dS qi 0 0 i r R1, E4 dS qi 0 2q 0
S4
r
R3
2q E4 ( R1 r ) 2 4π 0 r
i
E1 0
2
P
1
P
S
闭合圆柱面可分成三部分： 导体球内部分，各点处场强为零； 球面外侧面，各点场强垂直于面元法向；P P 点所在的底，各点场强大小相等，方 向一致。 所以，电通量为