第八章 角动量定理
角动量定理内容
角动量定理内容角动量定理是经典力学中的一条重要定理，描述了物体在外力作用下角动量的变化规律。
它是力学中的基本原理之一，对于研究刚体转动、角速度、角加速度等问题具有重要意义。
本文将从角动量定理的基本原理、相关概念以及应用等方面进行详细阐述。
一、角动量定理的基本原理角动量定理是从牛顿第二定律出发推导得到的。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用在物体上的力成正比，与物体的质量成反比。
而角动量定理则是在这个基础上对物体的角动量进行了推导和描述。
角动量是描述物体旋转状态的物理量，它与物体的质量、旋转轴和角速度有关。
对于一个质点，其角动量的大小等于质点与旋转轴之间的距离与质点的线速度的乘积。
角动量的方向则由旋转轴和质点的速度方向决定，符合右手定则。
角动量定理的表述可以简单地理解为：当物体受到外力作用时，物体的角动量随时间的变化率等于外力矩的大小。
外力矩是力对物体产生的转动效果，它与力的大小、作用点与旋转轴之间的距离有关。
根据角动量定理，当外力矩为零时，物体的角动量保持不变，即角动量守恒。
二、相关概念1. 角动量：角动量是描述物体转动状态的物理量，它与物体的质量、旋转轴和角速度有关。
角动量的大小等于质点与旋转轴之间的距离与质点的线速度的乘积，方向由右手定则确定。
2. 外力矩：外力矩是力对物体产生的转动效果，它与力的大小、作用点与旋转轴之间的距离有关。
外力矩的大小等于作用力的大小与力臂的乘积，方向垂直于力臂和力的平面。
3. 角动量守恒：当物体不受外力矩作用时，物体的角动量保持不变，即角动量守恒。
这意味着物体在旋转过程中，如果没有外力矩的干扰，角动量的大小和方向将保持不变。
三、角动量定理的应用角动量定理在物理学中有着广泛的应用。
下面将介绍一些常见的应用场景。
1. 刚体转动：对于刚体的转动，角动量定理可以用来描述刚体的旋转状态。
通过应用角动量定理，可以推导出刚体的角加速度与外力矩之间的关系，从而研究刚体的运动规律。
角动量定理.pdf
A M r o
x2
m
解：在地面参考系中， 在地面参考系中，建立如图 x 坐 标，设滑轮半径为 r 有： B
l = AA′ + AB + BB′ = x1 + x2 + πr
B′
s
s = x1 − x 2
mAA′ m = ⋅ x1 , l
mAB
m = ⋅ πr l
m = ⋅ x2 , l
A′
x1
x
mBB′
µ
m2
ro m
m1
m2 和滑轮为研究对 解：在地面参考系中， 在地面参考系中，选取 m1 、 象，分别运用牛顿定律 分别运用牛顿定律和 牛顿定律和刚体定轴转动定律得 刚体定轴转动定律得：
T1
N
aT2T2o向里+Ny
m1
a
m1 g
µm2 g
m2
m2 g
Nx
T1
列方程如下： 列方程如下：
m 1 g − T1 = m 1 a T2 − µ m 2 g = m 2 a 1 2 T1 r − T 2 r = m r β 2 a = rβ
用隔离法列方程: (以逆时针方向为正) A M r o
CA x2 x1
m
T1
T2 CB . m Bg T1
B
CB
. CA
m Ag
Jr T2
B′
s
A′
m A g − T1 = m A a
x
T2 − mB g = mB a
T1r − T2 r = Jβ 2 2 J = J M + J AB = 1 Mr + m r AB 2
T1
r a1
以向下为正方向
3.4 角动量定理 角动量守恒定律
L r P sin
r， P
S
P
r
O
特例：质点作圆周运动
方向：垂直
组成的平面
L M L2 T
L rp mr v
1
SI
k g m /s
2
量纲：
讨论
惯性参照系
(1) 质点的动量矩（角动量）与质点的动量及位矢(取决 于固定点的选择)有关； (2) 当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点 O 的动量矩也称为质点对过O 垂直于运动平面的轴的 动量矩 ； L
dr dt
二、力对定点的力矩
dL dt
d r p dt
dr dt
o
p r
dp dt
p v p 0
dL dt r dp dt rF M
M
F
O .
定义
为力对定点O的力矩 M rF 力对O 点的力矩 大小： M r F sin
M
A
r Lo T
A
R T 0
R
r
mg
O
m gR sin m gr
LA R mv
r
对于O点：
M
g
M
A
r T
rT cos
LO r m v
r mg
m gr
质点作任何运动都可以用角动量来描述其运动状态。 例 质点对圆心的动量矩。 行星在椭圆轨道上的动量矩。
F 0 P 0
M 0 L 0
形式上完全相同，所以记忆上就可简化。从动量定理变换到 角动量定理，只需将相应的量变换一下，名称上改变一下。
角动量定理公式
角动量定理公式
牛顿第二定律描述了物体运动的基础定律，牛顿第二定律表明物体在受到力的作用下，它的运动对外界力具有相应的反应，即保持状态不变就是物体不会自动移动。
牛顿第二定律从另一个方面更好地描述了物体运动，即角动量定理：物体运动时，角动量是保持不变的，即角动量守恒定律。
角动量定理定义为：质点系统在任何时刻的角动量是一个守恒量，不会受外界的改变而改变，即不会由于内部及外部的力而改变。
用数学符号表示该定理就是：L=L0。
其中，L表示物体角动量的量，L0表示同一时刻物体的总的角动量的初始量。
角动量定理在实际应用中也具有重要的意义，可以说物体的角动量是物体运动的重要参数，在实际的机械应用中神经元行为被证明物体上外力对物体角动量的作用在该定理中得到了完整的描述和表现。
推广一下角动量定理，我们可以证明角动量定理从力学基础的角度阐述的不仅是物体的状态，也表明了在物体运动中，物体的局部运动状态会受到整体运动的限制，这也是物体的自身结构所决定的，角动量定理也完整地反映了这一点。
在实际应用中，角动量定理可以帮助我们快速解决物体运动的相关问题，有助于精确描述物体运动及其受外力影响时形成的物理参数变化，也可以提高计算机实现物体运动模拟的准确率。
总之，角动量定理是物体运动学中一个非常关键的定理，对于探究物体运动的机理和运动规律有重要的意义。
它的应用可以顺利解决很多实际中存在的问题，也可以提升模拟物体运动的精度。
角动量定理是物理定律研究中最为重要的一个定理，它更好地描述了物体运动，为研究物体运动提供了重要的线索。
角动量定律
由①、②解得:
M m 2π mM
M
m 2p mM
(2) 由机械能守恒定律得：
1 1 2 m( Rw m ) M ( Rw M ) 2 E0 2 2
R M m
wm M 将①式 代入上式，有 wM m
wM
2mE0 1 R M (m M )
小球从射出到碰撞经过的时间为:
M 2pm R (m M ) M t wM m M 2m E0
M
m 2p mM
质点在有心力场中的运动
• 有心力：方向始终指向或背 向一个固定中心的力，该固 定中心称为力心，记为O。 一般情况下，有心力的大小 仅与参考点到力心O的距离 有关，即
f
r
O
ˆ r m1m2 q1q2 f f (r )r0 ; 如 : f G 2 r0 , f k 2 r0 r r • 有心力场：有心力存在的空间，为保守力场
1 1 1 2 2 ( m m0 )v1 ( m m0 )v k ( l l0 )2 ( 3 ) 2 2 2
O
l
B
v
v0
l0
A
m
m0
2
m v k ( l l0 ) v 2 ( m m0 ) m m0
2 2 0
sin
1 2 2 0
2 1 Mdt 1 dL L2 L1 L 2 冲量矩： Mdt
2
1
质点所受合力矩的冲量等于质点角 动量的增量。
2、质点系角动量定理： 质点系的角动量 L Li ri pi ri mi vi
dLi dL d Li dt ri ( Fi fi ) M e M i dt dt 转动动力 dL Me 内力fi 对总力矩的贡献为零 学方程 dt
角动量及角动量定理
dL
vi
mivi
ri
L r p
Fi Mi
～角动量
dt
在惯性系中，作用于质点的合外力对某定点的力矩 等于质点对该点的角动量的时间变化率。
1
二、质点的角动量守恒定律
M 0 M
dL dt
t2
M
d
t
t
1
t2 t
d
L
0
L2
L1
1
在惯性系中，如果作用于质点的合外力对某定点的 力矩恒为零，则质点对于该点的角动量恒定。
例六：对于质量为 m 的质点的匀速直线运动的情形。
解①：如图选择惯性系中的定点，
r
M 0 L r mvsin mvh o
解②：如图选择惯性系中的定点，
mv
h
M 0 L r mvsin 0
r
mv
2
三、质点系的角动量定理及其守恒定律 i fij
1. 角动量定理：
ri
Mi ri(Fi
i j
fij
)
d Li dt
f ji
o
rj
j
ri f ij
M
rj f ji Mi
ri f ij r j ri Fi
f ij
d Li dt
( ri d
dt
(
r j)
Li)
f ij
0 dL dt
在惯性系中，作用于质点系的诸外力对某定点的力 矩和等于各质点对该点的角动量和的时间变化率。
§2.3 角动量定理及角动量守恒定律
一、质点的角动量定理
对于标量，定义了第一质量矩： miri M rc
对于矢量，有力矩：Mi
ri F
第八章 角动量定理 PPT
人沿盘的边缘跑， 盘却反方向转动
当直升飞机机翼旋转 起来时，由角动量守 恒知机身将发生反向 的旋转，为了稳定机 身，常在直升飞机的 尾部加上一尾翼。还 可在直升飞机上加双 重反向旋转的机翼。 其目的之一都是为了 保持机身的稳定。
直升 飞机 的旋 转机
翼
在跳水运动员的跳水过程， 运动员从跳板向前跃起时， 绕一通过质心的水平轴有 一角速度，从而具有绕通 过质心的水平轴的角动量。
在空中时，他把手和腿都收
缩到靠近身体质心的位置， 使转动惯量迅速减小，由 于角动量守恒，使角速度 迅速增加，以便在空中多 翻几圈。快接近水面时， 他把身体伸直，以便加大 转动惯量，减小角速度， 从而平稳地入水。
1-支架，2-可转动的
1 外环，3-可相对外环
2
转动的内环，4 -装在 内环中的回转仪转子。
宇宙中天体运动遵守角动量守恒
在宇宙中天体间的作用是引力。 引力是有心力，其力矩等于零。 在宇宙中天体的运动都遵守角动量守恒。
开普勒第二定律
行星对太阳的矢径在相同的时间内扫过的 面积相等。
开普勒第二定律的实质是角动量守恒。
宇宙中角动量守恒的表现 ——涡旋的星系m74
§8-2 角动量守恒定律与空间 旋转对称性
3 转轴光滑，无外力矩。
4 由于角动量守恒，回 转仪的转轴方向将固 定不变。因此它被广 泛地安装在飞船、飞
机、轮船导弹上，起 导航的作用。
由于地球自转时，不受外力矩的作用， 满足角动量守恒，其转轴总是指向同一 方向——北极星。地球还绕太阳以一定 轨道公转，其自转轴和公转轴方向不一 致，自转轴与公转平面的垂线成23.50。 由于地球自转轴方向恒定不变，地球的 北极有时偏向太阳。六个月以后，它又 偏离太阳，故地球上出现明显的四季。 夏天，阳光几乎与北半球球面垂直，而 冬天的阳光倾斜厉害，故夏热冬冷。
大学物理-角动量定理和角动量守恒定律
系统内物体之间的相互作用力矩不会改变系统的 总角动量。
角动量守恒的应用举例
天体运动
行星绕太阳公转、卫星绕地球运 行等天体运动中，角动量守恒定
律是重要的理论基础。
陀螺仪
陀螺仪利用角动量守恒原理，通过 高速旋转来保持方向稳定，广泛应 用于导航、制导和控制系统。
机械系统
在机械系统中，如旋转机械、齿轮 传动等，角动量守恒定律用于分析 系统的动态平衡和稳定性。
04 角动量定理与守恒定律的 实际意义
在天文学中的应用
描述行星和卫星的运动
角动量定理和守恒定律在天文学中用于描述行星和卫星围绕中心天体的运动。 这些定律帮助科学家理解天体的旋转和轨道运动，以及它们之间的相互作用。
预测天文现象
通过应用角动量定理和守恒定律，科学家可以预测天文现象，如行星的轨道变 化、卫星的旋转等。这些预测有助于更好地理解宇宙的演化。
在航天工程中的应用
航天器姿态控制
角动量定理和守恒定律在航天工程中用于控制航天器的姿态 。通过合理地布置航天器上的动量轮，可以调整航天器的角 动量，实现姿态的稳定和控制。
L = m × v × r，其中L是 角动量，m是质量，v是 速度，r是转动半径。
角动量单位
在国际单位制中，角动量 的单位是千克·米²/秒 (kg·m²/s)。
角动量定理表述
角动量定理
01
对于一个封闭系统，其总角动量保持不变，即系统内力的力矩
之和为零。
表述形式
02
dL/dt = ΣM = 0，其中dL/dt表示角动量的时间变化率，ΣM表
角动量守恒的应用
角动量守恒定律在许多物理现 象中都有应用，如行星运动、 陀螺仪等。
大学物理课件：刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
r
l 2
mv R l mv R l
1
1
2
2
R l
v 2
R
1 v
l 1
2
R
o
l 1
2.刚体的角动量定理及守恒定律
刚体所受合外力矩与角加速度关系为
M J J d
dt
利用角动量表示 M
dJ
dL
dt dt
刚体绕定轴转动时，作用于刚体的合外力矩等于刚 体绕此轴的角动量对时间的变化率。这是刚体角动 量定理的一种形式。
械能守恒。
1 (1 ML2 ma2 ) 2 mga(1 cos60) Mg L (1 cos60)
23
2
3(2ma ML)g 2(3ma2 ML2 )
6(2ma ML)(3ma2 ML2 )
v0
6ma
课后习题 3-9 3-10 3-18
刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
一、冲量矩 角动量
1.冲量矩
定义：力矩与力矩作用时间的乘积称为冲量矩。
数学表达： 2.角动量
t
0 M dt
整个刚体的角动量就是刚体上每一个质元的角动 量——即每个质元的动量对转轴之矩的和。
2.1质点的角动量
v
o
r
m
定义质点 m 相对原点的
角L动 量r定义p为 rmvsin
光滑转轴自由转动。今有一质量为m，速度为v0的子弹， 沿水平方向距水平转轴距离为a射入竖直、静止的杆内。
杆能摆起的最大角度θmax=60°，求v0。 解：把子弹与杆作系统。由于子弹入射杆的瞬间，系统合外力
矩为零故角动量守恒。
设子弹射入后杆起摆的角速度为ω，则有：
m
v0
角动量定理
解：r1 = R + h1 = 6.64 × 10 km
3
h1
r2 = R + h2 = 8.20 × 10 3 km
角动量守恒：1 mv1 = r2 mv 2 r r1 v 2 = v1 = 6.58km ⋅ s −1 r2
作用于杆的力有重力及 轴对杆的支承力 N , N 过 O 点 , l 其力矩为零 .重力矩为 mg cos θ . 2 θ l l A = ∫ mg cos θ dθ = mg sin θ 0 2 2
由转动动能定理得 1 1 2 mgl sin θ = Iω − 0 2 2
还可以用机械能守恒
ω = ( mgl sin θ ) / I = ( 3 g sin θ ) l
1 2 dω dθ 1 2 dω = ml = ml ω 3 dθ dt 3 dθ θ g ω l 分离变量积分 ∫0 2 cosθ dθ = ∫0 3 ω dω 3g ω = (3 g sin θ ) l θ = 300 , ω = 2l 2 3 dt
θ = 900 , ω =
3g l
12
也可以用动能定理
0
θ
∫ ω
0
Idω
I IM θ = ωm = 2 K K
m
10
三、刚体定轴转动的功能关系
dω 将M = Iβ = I 两边同乘以 dθ 并积分 dt ω θ dω ∫θ Md θ = ∫ I dt d θ = ∫ω I ω d ω 1 2 1 2 刚体的动能定理 A = Iω − Iω 0 = Ek − Ek 0 2 2
10 1
∫ Mdt
t0
t
是合力矩对时间的积分，称为冲量矩。
2
（三）刚体对定轴的角动量
角动量定理
m g T ma 解 T m g m a 2 T ( 2 r ) Tr 9 m r 2 a r a ( 2 r )
转动惯量三要素：质量、转轴、质量分布
5
0
m
二、刚体定轴转动的转动定律 取刚体内任一质元i，它所受合外力为Fi，内力为fi。
Fi f i mi ai 切向: Fi f i mi ai
z
fi
o
ai ri Fi fi mi ri
上式两端同乘以 ri再求和
T T
A
mg
m, r
o
T T
B
mg
m, r
a
10.3rad s
2
(2) 设 为组合轮转过的角度 , 则 : h r 2 2 (2 h r )1 2 9.08rad s1
8
例题：设电风扇的电机力矩恒定为M，风叶所受空气阻 力矩为Mf=－Kω，风叶转动惯量为I 求（1）通电后t时刻的角速度ω；(2)稳定转动时的角速度； （3）稳定转动时断开电源，风叶还能继续转多少角度？
6
例题一均匀圆盘质量为m0，半径为R,可绕其圆心转动。 圆盘边缘绕有一轻绳，受到向下的张力T,求圆盘的角加速 度，以及圆盘边缘的切向加速度。若轻绳下挂一质量为m 的物体时加速度将为多少？ 2T 1 2 T 2 解： a R M TR I1 m0 R 1 1 1 1 m0 2 mR
d 解： M K I dt
K t I
0
t dt d M K 0 I
M (1 e ) K M t m 或M K m 0时.为电扇的稳定速度。 K d d d (3)： K I I dt d d
角动量守恒原理及讲解
角动量守恒原理及讲解一、角动量的基本概念1. 定义- 对于一个质点，角动量→L=→r×→p，其中→r是质点相对于某参考点的位置矢量，→p = m→v是质点的动量（m为质点质量，→v为质点的速度）。
- 在直角坐标系中，如果→r=(x,y,z)，→p=(p_x,p_y,p_z)，那么L_x = yp_z - zp_y，L_y=zp_x - xp_z，L_z = xp_y - yp_x。
2. 单位- 在国际单位制中，角动量的单位是千克·米²/秒（kg· m^2/s）。
二、角动量定理1. 表达式- 对单个质点，→M=(d→L)/(dt)，其中→M是作用在质点上的合外力矩。
- 对于质点系，→M_{外}=(d→L)/(dt)，这里→M_{外}是系统所受的合外力矩，→L是系统的总角动量。
2. 物理意义- 角动量定理表明，作用于质点（系）的合外力矩等于质点（系）角动量对时间的变化率。
三、角动量守恒定律1. 内容- 当系统所受合外力矩→M_{外} = 0时，系统的角动量→L保持不变，即→L=text{常量}。
2. 条件- 合外力矩为零是角动量守恒的条件。
这可能有多种情况，例如：- 系统不受外力矩作用。
- 系统所受外力矩的矢量和为零。
在有心力场（如地球绕太阳的运动，太阳对地球的引力是有心力，力的作用线始终通过太阳中心）中，物体所受的力矩为零，角动量守恒。
3. 举例说明- 花样滑冰运动员的旋转- 当花样滑冰运动员双臂伸展时开始旋转，此时他具有一定的角动量。
由于冰面的摩擦力矩很小可以忽略不计，运动员所受合外力矩近似为零。
- 当他将双臂收拢时，他的转动惯量I减小（转动惯量I=∑ m_ir_i^2，双臂收拢时，身体各部分到转轴的距离r_i减小）。
根据角动量守恒定律L = Iω=text{常量}（ω为角速度），转动惯量I减小，则角速度ω增大，运动员的旋转速度加快。
- 行星绕太阳的运动- 行星受到太阳的引力是有心力，引力对太阳中心的力矩为零。
角动量定理角动量守恒定律
在系统整体上应用牛顿第二定律，得到系统受到的合外力矩为零时 的角动量守恒条件。
推导角动量守恒定律
根据系统总角动量和角动量守恒的条件，推导出角动量守恒定律， 即在合外力矩为零时，系统总角动量保持不变。
推导过程中的注意事项与难点解析
注意事项
在推导过程中，需要注意定义和计算过程中的符号约定，以及正确应用牛顿第二 定律。
角动量定理与守恒定律的适用范围
角动量定理适用于描述物体在受到外 力矩作用下的旋转运动，特别是需要 分析力矩对旋转运动的影响时。
角动量守恒定律适用于描述某些特定 条件下物体的旋转运动，如系统不受 外力矩作用或系统内力的力矩相互抵 消等。
04
角动量定理与守恒定律的 推导过程
角动量定理的推导过程
定义角动量
03
角动量守恒定律则是在一定条件下，物体的角动量保持不变 。
角动量定理与守恒定律的区别
角动量定理是一个运动方程，用于描 述旋转运动的物体在外力矩作用下的 运动规律，而角动量守恒定律则是一 个守恒条件，用于描述某些特定情况 下旋转运动的物体角动量的保持。
VS
角动量定理是一个瞬时规律，关注的 是物体在某一时刻的运动状态，而角 动量守恒定律则是一个时间平均规律， 关注的是物体在一段时间内的平均运 动状态。
矩作用会导致旋转物体角动量的增加或减少。
02
揭示旋转运动的本质
角动量定理阐明了旋转运动的本质特征，即旋转物体的角动量是守恒的，
但可以通过力矩作用进行改变。
03
指导设计旋转机械
角动量定理在旋转机械设计和运行中具有指导意义，例如在电动机、发
电机、陀螺仪等设备的设计中，需要考虑力矩作用和角动量的变化。
角动量守恒定律的物理意义
角动量定理的推导
角动量定理的推导角动量定理是物理学中非常重要的一个定理，它描述了物体的角动量在运动过程中的变化规律。
本文将从角动量定理的推导入手，详细介绍角动量定理的含义和应用。
我们需要了解什么是角动量。
角动量是一个物体在绕着某个轴旋转时所具有的动量，它的大小等于物体的质量乘以它到轴的距离乘以它的角速度。
角动量的方向垂直于旋转平面，并且遵循右手定则。
接下来，我们来推导角动量定理。
假设一个物体在绕着某个轴旋转，它的角动量为L，它的角速度为ω。
如果物体受到一个力矩M，那么根据牛顿第二定律，物体的角加速度α等于力矩M除以物体的转动惯量I，即α=M/I。
根据角动量的定义，物体的角动量L等于物体的转动惯量I乘以物体的角速度ω，即L=Iω。
因此，物体的角动量的变化率等于物体的转动惯量I乘以物体的角加速度α，即dL/dt=Iα。
将α=M/I代入上式，得到dL/dt=M。
这就是角动量定理的表达式。
角动量定理告诉我们，当物体受到一个力矩时，它的角动量会发生变化。
如果力矩为零，那么物体的角动量将保持不变。
这个定理在很多物理学问题中都有着重要的应用，例如旋转的刚体、陀螺等。
除了角动量定理，还有一个相关的定理叫做角动量守恒定理。
它指出，在一个封闭系统中，如果没有外力矩作用，那么系统的总角动量将保持不变。
这个定理在很多物理学问题中也有着重要的应用，例如行星绕太阳的运动、原子核的自旋等。
角动量定理是物理学中非常重要的一个定理，它描述了物体的角动量在运动过程中的变化规律。
通过角动量定理，我们可以更好地理解物体的旋转运动，并且在实际应用中也有着广泛的应用。
角动量定理
Li ri pi ri mi vi
质点系的角动量
L Li ri pi ri mi vi
i i
21
i
质点系的角动量
i
L ri mi vi
dri mi dvi dL mi vi ri dt dt i dt i vi mi vi ri mi ai
0
的三种情形
1. 不受外力（孤立系统） Fi 0
M i ri Fi 0 M Mi 0
M Mi 0 M i ri Fi 0
2. 外力都通过固定参考点 3.
F
i
0
M i ri Fi 0 M Mi 0
26
两人质量相等
既忽略 滑轮质量 终点线
ri Fi
i
i
i
dL ri Fi内 ri Fi外 dt i i
22
dL ri Fi内 ri Fi外 ri Fi外 dt i i i
M1对 2 Fl M 2 对1 Fl
dL M i外 dt i
（质点系的）角动量定理： 质点系的角动量的时间变 化率等于作用于其上的外 力矩的矢量和
11
dL Mdt （质点角动量定理的微分形式）
合外力矩的微元冲量矩
12
角动量定理注意： 合外力矩是引起角动量变化的原因 合外力矩的时间积累效果（冲量矩）可用角动量的 增量来量度 仅在惯性系中才适用
13
dL M （质点角动量定理） dt M 0 时 L constant （质点角动量守恒定律）
23
dL M i外 （质点系的角动量定理） dt i dL M i外 dt （质点系的角动量定理的微分形式）
角动量定理公式推导过程
角动量定理公式推导过程角动量定理是物理学中非常重要的概念，它描述了物体围绕一个定点旋转时的角动量守恒。
在本文中，我们将介绍角动量定理的公式推导过程。
首先，我们需要了解角动量的定义。
角动量是一个物体在旋转时所具有的物理量，它等于物体的质量乘以它的自转角速度和它离定点的距离的乘积。
这可以表示为以下公式：L = Iωr其中，L是角动量，I是物体的转动惯量，ω是物体的自转角速度，r是物体离定点的距离。
接下来，我们需要了解角动量定理的表述。
角动量定理表明，当物体受到一个外力矩时，物体的角动量会发生改变，改变的大小等于外力矩在一定时间内对物体造成的角动量。
这可以表示为以下公式：ΔL = τΔt其中，ΔL是角动量的变化量，τ是外力矩，Δt是时间。
现在，我们将结合以上两个公式来推导角动量定理的公式。
首先，我们可以将角动量的定义公式中的ω表示为角位移的导数，即：ω = dθ/dt然后，我们可以将该式代入角动量的定义公式中，得到：L = I(dθ/dt)r接着，我们对该式求导数，得到角动量的变化率，即：dL/dt = I(dω/dt)r + Iω(dr/dt)我们可以发现，第一个式子中的dω/dt是物体的角加速度，即α，第二个式子中的dr/dt是物体的速度，即v，所以我们可以将上式重写为：dL/dt = Iαr + Iωv根据牛顿第二定律和力矩的定义，我们可以将力矩表示为：τ = Frsinθ其中，F是外力的大小，r是物体离定点的距离，θ是外力和物体之间的夹角。
我们将该式代入角动量的变化率公式中，得到：dL/dt = Frsinθ + Iαr + Iωv根据叉乘的定义，我们可以将Frsinθ表示为向量的叉乘形式：τ = r × F再将该式代入上式中，得到：dL/dt = τ + Iαr + Iωv这就是角动量定理的公式，也可以表示为：ΔL = τΔt + IΔω其中，Δω是物体在一定时间内的角加速度变化量。
第八讲 角动量守恒定律-上传
F
F
M rF
r
大小： M rF sin
X
方向: 右手螺旋法则确定。
Y
§5-2 力矩 角动量定理
本节内容： 一 力矩 质点的角动量定理 二 质点系的角动量定理
一、质点的角动量定理：
仿照平动：dP
F
dt
dL
d
(r
P)
d
ar
微br 分公ar 式d：br
r 力在r的延长线 r
F 0 （有心力场） M 0
对质点系：
r F
0,
r
与 M外i 0是不同的条件！
思考：判断下列情况角动量是否守恒：
圆锥摆运动中,做水平匀速圆周运 动的小球m。 (1)对C点的角动量是否守恒？
(2)对O点的角动量是否守恒？
C T
O
运行轨道地近地点和远地点到
说明：1. 适用于惯性系 2. 角动量和力矩都是相对于同一点
例4. x轴沿水平方向，y轴竖直向下，在t＝0时刻
将质量为m的质点由a处静止释放，让它自由下
落，求在任意时刻t，质点所受的对原点o的力矩
和对原点o的角动量。
解：
r M
rr
r r F
r
ro
ai r yj mgj mgak
例8 质量为m的小球系在绳的一端，另一端通过
圆孔向下，水平面光滑，开始小球作圆周运
动（r1,v1)然后向下拉绳，使小球的运动轨迹
为r2的圆周
求：v2=？
v2
解： 作用在小球的力 v1
始终通过O点
r r O
1
2
（有心力）由质
8第八讲 质点角动量,角动量守恒定律
解： L r p r mv d mv LA d1mv sin 1 2 LB d2 mv sin
d2 mv sin(
A
d1 d2
m
v
d2 mv cos d1mv
LC 0
2
)
B
d3
C
例2：（P80例5-2）质量为2.0kg的质点位于 1 v ( 1 . 0 i 3 . 0 j ) m s x=2.0m,y=1.0m处时，速度为 ， 作用在质点上的力为 F (2.0i 3.0 j ) N ，求质点对 原点O角动量和力 F 对原点的力矩。 解：该质点的位置矢量 r xi yj (2.0i 1.0 j )m 质点的动量 p mv 2.0(1.0i 3.0 j )kg m s1
i
j
k
例题：（P80例5-2）质量为2.0kg的质点位于 1 v ( 1 . 0 i 3 . 0 j ) m s x=2.0m,y=1.0m处时，速度为 ， 作用在质点上的力为 F (2.0i 3.0 j ) N ，求质点对 原点O角动量和力 F 对原点的力矩。
M x yFz zFy
力矩在各坐标轴的分量为： M y zFx xFz
i
j
k
M z xFy yF
如：力对O点的力矩 M 在通过O点的任一轴线（如 z 轴）上的分量，叫做力对 z 轴的力矩，用 M z表示。
2、质点的角动量（动量矩） 质点对定点O的角动量 质量为 m 的质点在t时刻 以速度 v 运动，质点相对于原 点的角动量定义为：
Mdt 角冲量：
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直升 飞机 的旋 转机
翼
在跳水运动员的跳水过程， 运动员从跳板向前跃起时， 绕一通过质心的水平轴有 一角速度，从而具有绕通 过质心的水平轴的角动量。
在空中时，他把手和腿都收
缩到靠近身体质心的位置， 使转动惯量迅速减小，由 于角动量守恒，使角速度 迅速增加，以便在空中多 翻几圈。快接近水面时， 他把身体伸直，以便加大 转动惯量，减小角速度， 从而平稳地入水。
§8-1 角动量定理和 角动量守恒定律
8.1.1 角动量、 角动量定理 8.1.2 角动量守恒定律 8.1.3 自然界中的角动量守恒现象
谈谈角动量
人们对角动量这个物理量的认识和应用比较 晚，18世纪在力学中才开始定义和应用它， 直到19世纪才把它看成力学中最基本的概念 之一。
角动量与动量、能量一起成为力学中最重要 的概念之一的原因是：角动量的概念与自然 界中普遍存在的物体的转动有关，大到星系， 小到粒子如：电子、中微子等都具有转动的 特性；更重要的原因在于很多情况下角动量 服从守恒定律。角动量守恒定律是自然界中 最基本、最普遍的规律之一。
宇宙中角动量守恒的表现 ——涡旋的星云m33
§8-2 角动量守恒定律与空间 旋转对称性
8.2.1 空间旋转对称性 8.2.2 角动量守恒与空间 旋转对称性
角动量守恒与空间旋转对称性
用一套实验装置做实验， 把实验装置旋转某一角度， 所得的实验结果是不会改 变的，这就是空间的各向 同性，或说空间的旋转对 称性。
宇宙中天体运动遵守角动量守恒
在宇宙中天体间的作用是引力。 引力是有心力，其力矩等于零。பைடு நூலகம் 在宇宙中天体的运动都遵守角动量守恒。
开普勒第二定律
行星对太阳的矢径在相同的时间内扫过的 面积相等。
开普勒第二定律的实质是角动量守恒。
宇宙中角动量守恒的表现 ——涡旋的仙女座星云
宇宙中角动量守恒的表现 ——涡旋的星系m74
惯性导航装置——回转仪
1-支架，2-可转动的
1 外环，3-可相对外环
2
转动的内环，4 -装在 内环中的回转仪转子。
3 转轴光滑，无外力矩。
4 由于角动量守恒，回 转仪的转轴方向将固 定不变。因此它被广 泛地安装在飞船、飞
机、轮船导弹上，起 导航的作用。
角动量守恒与地球的四季
角动量守恒与地球的四季
由于地球自转时，不受外力矩的作用， 满足角动量守恒，其转轴总是指向同一 方向——北极星。地球还绕太阳以一定 轨道公转，其自转轴和公转轴方向不一 致，自转轴与公转平面的垂线成23.50。 由于地球自转轴方向恒定不变，地球的 北极有时偏向太阳。六个月以后，它又 偏离太阳，故地球上出现明显的四季。 夏天，阳光几乎与北半球球面垂直，而 冬天的阳光倾斜厉害，故夏热冬冷。
与空间各向同性相对应的 守恒定律是角动量守恒定 律，它也是自然界中的基 本规律之一。
思考题
8-1、简述角动量守恒定律，举出你所观 察到的现象，并给以说明。
8-2、试用角动量守恒说明地球上有春夏 秋冬之分的原因。
8-3、举出在天体运动中角动量守恒的表 现。
8-4、试解释宇宙中星云的旋转盘状结构 的成因。
角动量守恒的表现
为什么当把哑铃收 拢在胸前时，女孩 的旋转速度加快？ 你在冰上运动和芭 蕾舞表演中看到过 类似的现象吗？
人沿盘的边缘跑， 盘却反方向转动
直升飞机加尾翼的作用
当直升飞机机翼旋转 起来时，由角动量守 恒知机身将发生反向 的旋转，为了稳定机 身，常在直升飞机的 尾部加上一尾翼。还 可在直升飞机上加双 重反向旋转的机翼。 其目的之一都是为了 保持机身的稳定。
是什么使角动量改变？是力矩
力矩M的定义： 力矩等于力f 和力的作用点相对
一固定点的位矢r 的叉乘。
刚体转动力矩
力矩M的大小等 于力f 和力臂d的 乘积，它的方向 由右手定则决定。
角动量定理
物体（系）的角 动量对时间的变 化率等于它（们） 所受到的外力矩
角动量守恒定律
当系统不受外力矩或所受的合外力矩 为零时，系统的总角动量保持不变。
质点绕定点转动的角动量
设有一个质量为m的质点位于A点， 该点相对空间一定点O的位置矢量为r， 质点的速度为v，动量为mv，定义质点 对O点的角动量L为
质点绕定点转动的角动量
质点作圆周运动的角动量
刚体绕定轴转动的角动量
刚体定轴转动的角 动量L等于刚体对 定轴的转动惯量J和 角速度ω的乘积
L = Jω