分析力学

分析力学的基本内容和基本研究方法
分析力学的研究手段和研究内容
分析力学是经典力学的一部分。

它应用纯粹数学分析方法研究质点组机械运动的普遍规律, 由法国数学家和力学家拉格朗日,英国数学家和天文学家哈密顿等人总结发而成。

分析力学使牛顿力学得到更广泛的应用。

在量子力学、统计物理、量子场论等部门中也都有重要应用。

学好这门课程,不但为以后学习专业课打下基础,而主要的是训练我们如何运用力学原理把一个实际问题加以分析、简化,然后借助于数学分析来解决这个问题,最后,再对所得结果加以讨论,并和实际情况相比较。

在“四化”建设中,经典力学仍然有它的重大作用,作为一个物理工作者,对这些知识和技能,应当熟练掌握才行。

根据自己过去学习的经验,把研究分析力学的方法介绍出来供大家参考。

由于笔者水平的限制,难免有错误之处, 欢迎读者批评指正。

研究分析力学的方法:(1)建立原理(虚功原理、达朗贝尔原理、哈密顿原理、最小作用量原理);(2)由原理推导方程(拉格朗日第二类方程、哈密顿正则方程)；（3）解方程即方程式积分(正则变换、泊松定理、哈密顿定理)。

分析力学研究的主要内容是：导出各种力学系统的动力方程，如完整系统的拉格朗日方程、正则方程，非完整系统的阿佩尔方程等；探求力学的普适原理，如汉密尔顿原理、最小作用量原理等；探讨力学系统的特性；研究求解运动微分方程的方法，例如，研究正则变换以求解正则方程；研究相空间代表点的轨迹，以判别系统的稳定性等。

分析力学解题法和牛顿力学的经典解题法不同，牛顿法把物体系拆成分离体，按反作用定律附以约束反力，然后列出运动方程。

分析力学中也可用变分原理(如汉密尔顿原理)导出运动微分方程。

它的优点是可以推广到新领域(如电动力学)和应用变分学中的近似法来解题。

从20世纪60年代开始，为了设计复杂的航天器和机器人的需要，发展多刚体系统，并且跳出了使用动力学函数求导的传统方法来建立动力学方程，所建立的方程能方便地应用电子计算机进行计算。

一、虚位移原理（虚功原理）
虚位移原理：对于具有理想约束的质点系，其平衡条件是：作用于质点系的主动力在任何虚位移中所做的虚功和等于零。

虚位移原理是应用功的概念分析系统的平衡问题，是研究静力学平衡问题的一种途径。

对于只有理想约束的物体系统，由于求知的约束反力不做功
二、动力力学普遍方程
虚功原理设某力学组处在平衡状态, 在组中任取一质点
p，并设作用在质点上的
i
主动力为i F 而约束反作用力为i N ，则i F 十i N =0()1,2......i n = （1）
使质点i P 产生一个虚位移i r δ 得(i F +i N )i
r δ =0()1,2......i n = （2） 将（2）式中各等式相加，就得到
(
)10i n i i r i F N δ=+=∑ 或 110i i n n i r i r i i F N δδ==+=∑
∑。

上式左边第一项为主动力所做的功, 第二项为约束反作用力听做功。

如为理想约束，则 10i n
i r i N δ==∑
如力学组处在平衡状态，则其平衡条件是 10i n
W i r i F δδ==
=∑ （3）
或 ()
10i i i n W i r i y i z i X
Y Z δδδδ==⋅+⋅+⋅=∑ （4） 上式就是虚功原理的数学表示式。

从公式可以看出，要使理想约束的力学组平衡, 则所有作用在此力学组上诸主动力在任意虚位移下所作的元功之和等于零。

上式只在不可解的约束下才能成立，无法求出约束反作用力。

这一原理在各种静力学问题中经常用到，在理论上也有很大价值。

三、 拉格朗日方程
达朗贝尔原理一动力学一般方程设由n 个质点组成力学组处在平衡状态，取组中任一质点i P ，并设作用在此质点上的主动力为i F
而约束反作用力为i N ，则该力
学组的运动方程可写为 22i i i i d r m F N dt =+ (1,2......)i n = （5）
或 220i i i i d r F N m dt
++= (1,2......)i n = （6） 上式左边第三项为惯性力。

上式就是达朗贝尔原理的数学表示式。

从公式可以看出，作用在一力学组中每个质点上的主动力，约束反作用力和惯性力，形成一平衡力系，这个关系叫做达朗贝尔原理。

达朗贝尔原理，把作用动力学基本规律的牛顿运动方程加以变换，而作为静力学来处理的原理。

四、哈密顿正则方程
经典力学中一组描写系统运动的一阶微分方程组。

是W.R.哈密顿于1834年提出的，又称哈密顿方程或正则方程。

哈密顿正则方程(1)
式中H称为哈密顿函数,是广义动量p i和广义坐标q i及时间t的函数。

H由式(2)
确定。

括号外边的角标表示式中的妜i应该用N个方程p i= 解出N个妜i 为(E1,E2,…,E N；q1,q2,…,q N；t)的N个函数，然后代入式(2)就得到哈密顿函数H。

对于直角坐标变换到广义坐标的变换式虽然显含时间t，但是动能的表示式不明显地包含t，此时H＝T2-T0+V,
式中T2和T0可说明如下：用(E1,E2,…,E N；q1,q2,…，q N；t)表示的动能式T ＝T2+T1+T0,式中T2、T1和T0分别表示广义动量的二次齐次式、一次齐次式和不含广义动量的项。

如果直角坐标变换到广义坐标的变换式不显含t,势函数V也不显含t，则T ＝T2，H＝T+V。

即对于保守系统，哈密顿函数是系统总机械能用广义动量表示的公式。

正则方程式(1)是2N个一阶微分方程组,而拉格朗日方程是N个二阶微分方程组,都只适用于完整系统（见约束）的动力学方程组。

由于式(1)的左边不再有变数q和p的导数,所以方程(1)成为如下形式的方程组保守系统的正则方程在天体力学和经典统计力学中有重要的应用。

在天体力学中从可解的二体问题出发，逐渐添加其他星球的引力，可以把所用的哈密顿函数H，从简单改变成较复杂的H┡。

这是天体力学中的摄动法，用来解决考虑太阳和各种行星、卫星的引力作用下的行星运动，由此可制定行星和月球的星历表，在统计力学中的刘维定理就是应用正则方程推导出来的。

五、变分原理
变分法（calculus of variations），是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。

譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。

变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。

有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。

在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。

变分法
变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。

它对应于泛函的临界点。

在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。

它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。

变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用原理在量子力学的应用中。

变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强有力工具。

它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。

而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄利克雷原理。