勾股定理与方程
勾股定理的公式,勾股定理的公式是什么 怎么计算
勾股定理的公式，勾股定理的公式是什么怎么计算勾股定理的公式，勾股定理的公式是什么怎么计算?-华宇考试网在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。
假设设直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，既然如此那，可以用数学语言表达：勾股定理是余弦定理中的一个特例。
勾股定理的证明请看下方具体内容答：勾股定理公式：a的平方＋b的平方＝c的平方。
勾股定理：在任何一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方。
在△abc中，∠c=90°，则a²+b²=c²。
勾股定理是几何学中一颗光彩夺目标明珠，被称为“几何学的基石”，而且，在高等数学和其他学科中也有着非常广泛的应用。
1发展历程中国是发现和研究勾股定理古老的国家之一。
中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，故此，勾股定理也称为勾股弦定理。
在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。
既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。
两矩共长二十有五是谓积矩。
”因为这个原因，勾股定理在中国又称“商高定理”。
在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系：以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得斜至日。
2主要意义1、勾股定理是联系数学中基本也是原始的两个对象-数与形的第一定理。
2、勾股定理致使不可通约量的发现，以此深入透彻揭示了数与量的区别，即这里说的“无理数与有理数的差别，那就是这里说的首次数学危机。
3、勾股定理启动把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。
4、勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是早得出完整解答的不定方程，它一个方面引导到各式各样的不定方程，另外一个方面也为不定方程的解题程序培养了一个范式。
两条直角边的平方和等于斜边的平方勾股定理计算：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理
第1讲勾股定理第一部分知识梳理1．勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
若直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，则a²+b²=c²。
2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
3．满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。
若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck（k为正整数）也必然是一组勾股数。
常用的几组勾股数有3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,40,41等。
4．勾股定理的应用:①圆柱形物体表面上的两点间的最短距离；②长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题。
5．直角三角形的判别：①定义，判断一个三角形中有一个角是直角；②根据勾股定理的逆定理，三角形一边的平方等于另外两边的平方和，则该三角形是直角三角形。
6．勾股定理中的方程思想：勾股定理三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．对于一些几何问题，往往借助于勾股定理，利用代数方法来解决．把一条边的长设为未知数，根据勾股定理列出方程，解方程求出未知数的值，即使有时出现了二次方程，大多可通过抵消而去掉二次项。
7．勾股定理中的转化思想：在利用勾股定理计算时，常先利用转化的数学思想构造出直角三角形，比如立体图形上两点之间的最短距离的求解，解答时先把立体图形转化为平面图形，在平面图形中构造直角三角形求解。
8．拓展：特殊角的直角三角形相关性质定理。
第二部分精讲点拨考点1. 勾股定理【例1】在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为变式1 等腰三角形的两边长为10和12，则周长为______，底边上的高是________，面积是_________。
变式2 等边三角形的边长为6，则它的高是________变式3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，（1）已知c＝4，b＝3，求a；（2）若a:b=3:4，c=10cm，求a、b。
勾股定理解方程
勾股定理解方程
勾股定理解方程是数学中的一个经典问题，其主要思想是利用勾股定理来解决方程的求解问题。
勾股定理指出，在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
换句话说，如果三角形的直角边长度分别为 a 和 b，斜边长度为 c，那么有:
a2 + b2 = c2
这是一个关于 c 的二次方程，可以使用勾股定理解方程方法来解决。
具体来说，可以将方程变形为:
c2 = a2 + b2 - 2ab cosC
其中 C 是直角三角形的斜边与一条直角边之间的角度差，即 C =
arctan(b/a)。
然后将方程两边同时除以 a2 + b2，得到:
c = sqrt(a2 + b2) / (a2 + b2)
这意味着，如果我们有一个二次方程，其根为 c，那么我们可以使用勾股定理解方程方法来求解 c 的值。
例如，考虑以下方程:
x2 + 2x + 1 = 0
这个方程有一个解为 x = 1，我们可以使用勾股定理解方程方法来解决: c2 = x2 + 2x + 1
c2 = 1 + 2 + 1
c2 = 5
因此，c 的值为 sqrt(5)。
勾股定理解方程方法的主要思想是利用勾股定理将方程转化为一个关于 c
的二次方程，然后求解 c 的值。
这种方法可以用于解决许多不同类型的方程，特别是在解决线性方程组时非常有用。
巧用方程思想与勾股定理解决折叠问题
巧用方程思想与勾股定理解决折叠问题【内容提要】：数学思想是数学的灵魂，任何数学问题的解决都是数学思想作用的结果，因此正确理解和掌握数学思想是数学学习的关键。
今天所说的方程思想就是一种十分重要的数学思想。
本文对初中数学中方程思想在勾股定理中的应用作了探讨，并结合具体案例说明了方程的思想与勾股定理解决折叠问题的应用。
关键词：方程思想；勾股定理；折叠问题；方程思想在勾股定理中的应用案例一、方程思想是什么呢？从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。
通过方程里面的已知量求出未知量的过程就是解方程，用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。
二、勾股定理与方程思想的地位与作用勾股定理是几何中最重要的定理之一，它也是直角三角形的一条重要性质，同时由勾股定理及其逆定理，能够把形的特征转化成数量关系，它把形与数密切地联系起来，因此，它在理论上也有重要地位。
方程思想是初中数学中一种基本的数学思想方法，方程可以清晰的反应已知量和未知量之间的关系，架起沟通已知量和未知量的桥梁。
利用勾股定理作为相等关系建立方程可以解决许多相关问题。
三、初中数学中的折叠问题折叠问题（对称问题）在三大图形变换中是比较重要的，折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果。
折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用.在初中数学中经常涉及到折叠的典型问题，只要从中抽象出基本图形的基本规律，就能找到解决这类问题的常规方法。
1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换，折叠重合部分一定全等。
2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等。
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理） 是一个，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
是的一个特例。
约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的之一。
“”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a 2+b 2=c 2的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是。
也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1如果的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理命题2如果的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ），以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB.∵∠HAD+∠HAD=90o，∴∠EAB+∠HAD=90o，∴ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2.∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90o.∴EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴∴.【证法2】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b ，所以面积相等.即，整理得.【证法3】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC.∵∠AED+∠ADE=90o,∴∠AED+∠BEC=90o.∴∠DEC=180o―90o=90o.∴ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵∠DAE=90o,∠EBC=90o,∴AD∥BC.∴ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 ∴.∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
例析方程思想在勾股定理中的应用
例析方程思想在勾股定理中的应用数学思想是数学知识的精髓，它在学习和运用数学知识的过程中，起着观念性的指导作用。
方程思想在勾股定理这部分知识中有着广泛的应用，下面举例说明：一、 直接利用勾股定理列方程：例1：小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。
解析：设旗杆的高度AC 为x 米，那么绳子的长度AB 为(1+x )米，根据题意得到△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°，根据勾股定理得到：()22215+=+x x ，解得x ＝12。
答：旗杆的高度为12米。
【总结】在实际问题中，通常直接利用勾股定理建立相等关系列出方程。
二、 两次利用勾股定理列方程：例2：在锐角∆A BC 中，AB=15，AC=13，BC=14， A Ｄ⊥BC 垂足为D ，计算DA 的长度。
解析：设DB ＝x ，CD ＝x -14，在Rt ∆ABD 中，∠ADB ＝90°，根据勾股定理得：AD 2＝AB 2—BD 2,即AD 2＝；2215x -在Rt ∆ACD 中，∠ADC ＝90°，根据勾股定理得:AD 2＝AC 2—CD 2,即AD 2＝()；221413x -- ∴2215x -＝()；221413x -- 解得9=x在Rt ∆ABD 中，∠ADB ＝90°，根据勾股定理得：AD 2＝AB 2—BD 2,即AD 2＝，＝－＝222221291515x - ∴（负值舍去）。
＝12DA答：DA 的长度的长度为12。
【总结】如果题目中有三角形的高线时，可以在两个三角形中分别运用勾股定理表示同一个量，从而建立相等关系列方程求解。
三、利用等积性建立方程：例3：在Rt ∆ABC 中，∠C ＝90°，，，68==BC AC CD 为斜边AB 边上的高，求CD 的长度。
解析：在Rt ∆ABC 中，∠C ＝90°，根据勾股定理得：222BC AC AB +=，∵S ∆ABC CD AB BC AC ⨯⨯=⨯⨯2121＝ ∴CD AB BC AC ⨯=⨯∴CD 1068=⨯101003664682222==+=+=+=BC AC AB∴8.4CD答：CD的长度的长度为4.8。
勾股定理
勾股定理、一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。
）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n的线段（一）结合三角形：1.已知∆ABC 的三边a 、b 、c 满足0)()(22=-+-c b b a ，则∆ABC 为 三角形2.在∆ABC 中，若2a =（b +c ）（b -c ），则∆ABC 是 三角形，且∠ ︒90 3.在∆ABC 中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC 的长为1.已知2512-++-y x x 与25102+-z z 互为相反数，试判断以x 、y 、z 为三边的三角形的形状。
勾股定理和方程相结合解决几何问题(含练习及答案)
勾股定理和方程相结合解决几何问题勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理的作用: ①已知直角三角形的两边长，求第三边长；②已知直角三角形的一边长，知道直角三角形的其余两个边长之间的关系，求第三边长；③在证明含平方问题时，有时就可以考虑构造直角三角形帮助解决问题.初中数学几何问题中，有许多求线段长度的问题，解决这些问题，需要充分利用条件，正确作出辅助线，运用勾股定理以及全等三角形的知识.例1：如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，将矩形沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE交AD于点F，求BF的长为．分析：由翻折的性质可知∠EBD＝∠CBD，由矩形的性质可知：AD∥BC，从而得到∠ADB＝∠DBC，于是∠EBD ＝∠ADB，故此BF＝DF，在△AFB中利用勾股定理可求得BF的长．解：由折叠的性质知，CD＝ED，BE＝BC．∵四边形ABCD是矩形，在△ABF和△EDF中，∵，∴△ABF≌△EDF（AAS），∴BF＝DF；设BF＝x，则DF＝x，AF＝8﹣x，在Rt△AFB中，可得：BF2＝AB2+AF2，即x2＝42+（8﹣x）2，解得：x＝5，故BF的长为5．例2：如图，折叠长方形的一边BC，折痕为CE，点B落在AD边的点F处，已知AB＝5cm，BC＝13cm，求AE的长．分析:根据翻折变换的性质得到FC＝BC，EF＝BE，根据勾股定理求出DF，得到AF的长，根据勾股定理计算即可．解：由翻折变换的性质可知，FC＝BC＝13cm，EF＝BE，由勾股定理得，DF＝＝12cm，∴AF＝AD﹣DF ＝1cm，设AE＝xcm，则BE＝（5﹣x）cm，EF＝（5﹣x）cm，由勾股定理得，EF2＝AE2+AF2，即（5﹣x）2＝x2+1，解得x＝2.4，即AE＝2.4cm．例3：如图，△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积.分析:设BD＝x，由CD＝BC﹣BD表示出CD，分别在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用勾股定理表示出AD2，列出关于x的方程，求出方程的解得到AD的长，即可求出三角形ABC面积．解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设BD＝x，则有CD＝14﹣x，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣x2，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣（14﹣x）2，∴152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，解之得：x＝9，∴AD＝12，∴S△ABC＝0.5 BC •AD＝5×14×12＝84．例4：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，BD＝2.5，求AC的长．分析:过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，再利用勾股定理列式求出BE，然后设AC＝AE＝x，根据勾股定理列式计算即可得解．解：如图，过D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝1.5，∴DE＝CD＝1.5，在Rt△DEB中，由勾股定理得：BE＝＝＝2，∵AD＝AD，CD＝DE，∠C＝∠AED，∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC＝AE，设AC＝AE＝x，则AB＝x+2，由勾股定理得：AB2＝AC2+CB2，即（x+2）2＝x2+42，解得x＝3，∴AC＝3．例5：如图，在正方形ABCD中，N是DC上的点，且DN:NC=3:4，M是AD上不同于D的点，且∠NMB=∠MBC，求AM：AB的值.分析：从点B处作BF⊥MN交MN于点F，根据题意可设DN＝3a，NC＝4a，则CD＝7a，首先证明△BFM≌△BAM 推出AM＝MF设AM＝x，再证明△BCN≌△BFN，推出CN＝NF，在Rt△DMN中利用勾股定理列出方程即可解决问题．解：从点B处作BF⊥MN交MN于点F，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝AD，AD∥BC，∠A＝∠C＝∠D＝90°，∴∠AMB＝∠MBC，∵∠NMB＝∠MBC，∴∠BMA＝∠BMF，∵BA⊥MA，BF⊥MN，∴AB＝BF，在Rt△BMA和Rt △BMF中，BM=BM，AB=BF，∴Rt△BMA≌Rt△BMF，∴AM＝MF，同理可证△BCN≌△BFN，∴CN＝NF，设DN＝3a，NC ＝4a，则CD＝7a，则NF＝4a，设AM＝MF＝x，在Rt△DMN中，∵MN2＝DM2+DN2，（3a）2+（7a﹣x）2＝（4a+x）2，解得x＝a，∴AM＝a，∵AB＝CD＝7a，∴AM：AB＝3：11.例6：如图，矩形ABCD中，AB＝9，AD＝4．E为CD边上一点，CE＝6．点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，△PAE为直角三角形？（2）是否存在这样的t，使EA恰好平分∠PED，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．分析:(1)分两种情形：①若∠PEA＝90°，过点P作PH⊥PH⊥CD于H，先利用勾股定理表示出PE2，在Rt △PAE中，根据勾股定理建立方程求解．②若∠EPA＝90°，t＝6；(2)利用角平分线的性质，平行线的性质以及等量代换推知：∠PEA＝∠EAP，则PE＝PA，由此列出关于t的方程，通过解方程求得相应的t的值即可．解：∵矩形ABCD中，AB＝9，AD＝4，∴CD＝AB＝9，∠D＝90°，∴DE＝9﹣6＝3，∴AE＝＝＝5．（1）①若∠PEA＝90°，如图，过点P作PH⊥PH⊥CD于H，∵四边形ABCD是矩形．∴∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCHP是矩形，∴CH＝BP＝t，PH＝BC＝4，∴HE＝CE﹣CH＝6﹣t，在Rt△PHE中，PE2＝HE2+PH2＝（6﹣t）2+42，∵∠PEA＝90°，在Rt△PEA中，根据勾股定理得，PE2+AE2＝AP2，∴（6﹣t）2+42+52＝（9﹣t）2，∴t＝．②若∠EPA＝90°，t＝6；综上所述，当t＝6或t＝时，△PAE为直角三角形；（2）存在．理由：∵EA平分∠PED，∴∠PEA＝∠DEA．∵CD∥AB，∴∠DEA＝∠EAP，∴∠PEA＝∠EAP，∴PE＝PA，∴（6﹣t）2+42＝（9﹣t）2，解得t＝．∴满足条件的t存在，此时t＝．例7：如图，AB是半圆O上的直径，E是的中点，半径OE交弦BC于点D，过点C作⊙O的切线交OE的延长线于点F．BC＝8，DE＝2．求⊙O的半径.分析：利用切线的性质，设出半径，再利用勾股定理列出方程即可得出半径.解：（1）∵OE⊥BC，∴CD＝BC＝4．设⊙O半径为r，则OD＝r﹣DE＝r﹣2，∵CF是⊙O的切线，∴OC⊥CF，在Rt△OCD中，有OC2＝OD2+CD2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5．例7：如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O交CA于点E，点G是AD的中点．（1）求证：GE是⊙O的切线；（2）若AC⊥BC，且AC＝8，BC＝6，求切线GE的长．分析：（1）作出半径并说明半径与GE垂直，所以需要再连接OG，只要证明△OEG≌△ODG就可以了；（2）根据上一问的结论，求出AD的长度也可以，而AD的长可以利用勾股定理在Rt△ADC和Rt△BCD中CD为公共边，列出方程求解．解：（1）证明：连接OE，OG；∵AG＝GD，CO＝OD，∴OG是△ACD的中位线，∴OG∥AC．∴∠OEC＝∠GOE，∠ACD＝∠GOD．∵OE＝OC，∴∠ACD＝∠OEC．∴∠GOD＝∠GOE．∵OE＝OD，OG＝OG，∴△OEG≌△ODG．∴∠OEG ＝∠ODG＝90°．∴GE是⊙O的切线．（2）∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10．∴OD⊥GD．∴GD也是圆O的切线．∴GD＝GE．设BD＝x，则AD＝10﹣x，在Rt△CDA和Rt△CDB中，由勾股定理得：CD2＝82﹣（10﹣x）2，CD2＝62﹣x2，∴82﹣（10﹣x）2＝62﹣x2，解得，∴AD＝10﹣＝．∴GE＝GD＝AD＝．即切线GE的长为．跟踪练习1.如图，折叠长方形的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，AD＝10cm，求EC的长．2.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，AD＝1，AB＝3，将△ABD沿直线BD翻折，点A恰好落在CD 边上点A'处，求BC的长．3.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在射线BC上运动，点P和点P′关于BD对称，当P′、P、D三点共线时运动停止，连接DP′、DP．设BP＝x．当x为何值时，P′落在AD上.4.如图，在□ABCD中，AB＝10，AD＝15，tanA＝，点P为AD边上任意一点，连接PB，过点P作PQ⊥PB，且PQ＝PB，若点Q恰好落在□ABCD的边AD所在的直线上，求AP的长.5.如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=10，E为AD边上的一点，DE=7，动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边CB向终点B运动，连接PE、BE，设点P运动的时间为t秒.(1)若△BPE为直角三角形，求t的值；(2)若点P在BE的垂直平分线上，求PE的长6.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（kǔn）一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开双门（AD和BC），门边缘D、C两点到门槛AB距离为1尺（1尺＝10寸），双门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）AB是多少?跟踪练习答案1.分析:想求得EC长，利用勾股定理计算，需求得FC长，那么就需求出BF的长，利用勾股定理即可求得BF长．解：设EC的长为xcm，则DE＝（8﹣x）cm．∵△ADE折叠后的图形是△AFE，∴AD＝AF，∠D＝∠AFE，DE＝EF．∵AD＝BC＝10cm，∴AF＝AD＝10cm．又∵AB＝8cm，在Rt△ABF中，根据勾股定理，得AB2+BF2＝AF2，∴82+BF2＝102，∴BF＝6cm．∴FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4cm．在Rt△EFC中，根据勾股定理，得：FC2+EC2＝EF2，∴42+x2＝（8﹣x）2，即16+x2＝64﹣16x+x2，化简，得16x＝48．∴x＝3．故EC的长为3cm．2.分析：由折叠的性质和平行线的性质可得∠ADB＝∠A'DB＝∠CBD，可得BC＝DC；由折叠的性质可得A'D＝AD ＝1，A'B＝AB＝3，∠CAB＝∠A＝90°，由勾股定理可求解．解：由翻折可知，∠ADB＝∠A'DB，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠CBD＝∠A'DB，∴BC＝DC；由翻折可知，A'D ＝AD＝1，A'B＝AB＝3，∠CAB＝∠A＝90°，设BC＝x，则CA'＝x﹣1，在Rt△A'BC中，A'B2+A'C2＝BC2，∴32+（x﹣1）2＝x2，解得x＝5，即BC的长是5．3.分析：如图所示：首先证明BP＝BP′＝P′D＝x，则AP′＝4﹣x．然后在Rt△AP′B中，依据勾股定理列方程求解即可.解：如图所示，∵点P′与点P关于BD对称，∴∠PBD＝∠P′BD，BP＝BP′．∵AD∥BC，∴∠PBD＝∠ADB．∴∠P′DB＝∠P′BD，∴P′D＝P′B．设BP＝x，则BP′＝P′D＝x，AP′＝4﹣x．在Rt△AP′B中，依据勾股定理可知：32+（4﹣x）2＝x2．解得：x＝．∴当x＝时，P′落在AD上.4.分析：点Q恰好落在□ABCD的边AD所在的直线上，∠APB＝90°，求出BP＝AP，由勾股定理得出方程102＝AP2+（AP）2，即可得出结果.解：点Q恰好落在□ABCD的边AD所在的直线上，如图所示，设Ap=x，∴∠APB＝90°，∵tanA＝，∴＝，∴BP＝AP=x，在Rt△ABP中，AB2＝AP2+BP2，即：102＝x2+（x）2，解得：x＝6，∴AP=6.5.解：∵CD＝10，DE＝7，∴CE＝10﹣7＝3，在Rt△CBE中，BE＝＝5；（1）当∠BPE＝90°时，AP ＝10﹣3＝7，则t＝7÷1＝7（秒），当∠BEP＝90°时，BE2+PE2＝BP2，即52+42+（7﹣t）2＝（10﹣t）2，解得，t＝，∴当t＝7或时，△BPE为直角三角形；（2）作EF⊥BC于F，则PE=PB=t，EF=4，PB=t，BF=AE=10-7=3，PF=t-3，根据勾股定理：PE2=PF2+EF2，有t2=（t-3）2+42，解得t=25／6，∴PE=25／66.分析:画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．解：设OA＝OB＝AD＝BC＝r，过D作DE⊥AB于E，则DE＝10，OE＝CD＝1，AE＝r﹣1．在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r-1）2+102＝r2，解得2r＝101．故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸．。
勾股定理
OA2
OA3
OA4
OA5
OA6
OA7
OA8
例6：2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么 的值为（）
2．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）
A．斜边长为25 B．三角形周长为25
C．斜边长为5 D．三角形面积为20
3．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
4．如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x2—10的立方根为（ ）
它取材于我国三国时期（公元3世纪）赵爽所著的《勾股圆方图注》.
类型之四：勾股定理的应用
（一）求边长
例1：已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长.
.
（二）求面积
例2：（1）观察图形思考并回答问题（图中每个小方格代表一个单位面积）
①观察图1－1.
（2）写出各数都大于30的两组商高数．
10、2002年8月20～28日在北京召开了第24届国际数学家大会．大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形拼成的（直角边长分别为2和3），则大正方形的面积是．
11、已知第一个等腰直角三角形的面积为1，以第一个等腰直角三角形的斜边为直角边画第二个等腰直角三角形，又以第二个等腰直角三角形的斜边为直角边画第三个等腰直角三角形，以此类推，第13个等腰直角三角形的面积是.
专题 方程思想在勾股定理中的应用(四大题型)(解析版)
（苏科版）八年级上册数学《第3章 勾股定理》专题 方程思想在勾股定理中的应用【例题1】（2022春•赣州月考）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ：b ＝5：12，c ＝26，则△ABC 的面积为（ ）A ．96B ．98C ．108D ．120【分析】根据勾股定理和三角形的面积求解即可．【解答】解：∵c＝26，a：b＝5：12，∴设a＝5x，则b＝12x，∵a2+b2＝c2，即（5x）2+（12x）2＝262，解得x＝2，∴a＝10，b＝24．∴12ab=12×10×24=120，故选：D．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．【变式1-1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a：b＝3：4，c＝10，其中a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则a的长为（ ）A．3B．6C．8D．12【分析】由a与b的比值，设a＝3k，b＝4k，再由c的长，利用勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出a的长．【解答】解：由a：b＝3：4，设a＝3k，b＝4k，在Rt△ABC中，a＝3k，b＝4k，c＝10，根据勾股定理得：a2+b2＝c2，即9k2+16k2＝100，解得：k＝2或k＝﹣2（舍去），则a＝3k＝6．故选：B．【点评】此题考查了勾股定理，以及比例的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．【变式1-2】直角三角形的斜边为20cm，两直角边之比为3：4，那么这个直角三角形的周长为（ ）A．27cm B．30cm C．40cm D．48cm【分析】根据两直角边之比，设出两直角边，再由已知的斜边，利用勾股定理求出两直角边，即可得到三角形的周长．【解答】解：根据题意设直角边分别为3xcm与4xcm，由斜边为20cm，根据勾股定理得：（3x）2+（4x）2＝202，整理得：x2＝16，解得：x＝4，∴两直角边分别为12cm，16cm，则这个直角三角形的周长为12+16+20＝48cm．故选：D．【点评】此题考查了勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．【变式1-3】在△ABC中，∠C＝90°，a+c＝32，a：c＝3：5，则△ABC的周长为 ．【分析】根据a+c＝32和a：c＝3：5可以准确计算a、c的长度，根据a、c的长度计算b的长度，即可求得a+b+c．【解答】解：△ABC中，∠C＝90°，∴△ABC为直角三角形，即c2＝b2+a2，∵a+c=32 a：c=3：5，∴a＝12，c＝20，∵c2＝b2+a2，∴b＝16．∴a+b+c＝12+16＝20＝48．故答案为：48．【点评】本题考查了勾股定理的灵活运用，本题中根据a、c的两个等量关系式计算a、c的长度是解题的关键．【变式1-4】（2022春•天门校级月考）一直角三角形的一直角边长为6，斜边长比另一直角边长大2，则该三角形的面积为（ ）A．8B．10C．24D．48【分析】设另一直角边长为x，根据勾股定理列出方程，解方程求出x，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：设另一直角边长为x，则斜边长为（x+2），由勾股定理得，x 2+62＝（x +2）2，解得，x ＝8，∴该三角形的面积=12×6×8＝24，故选：C ．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2＝c 2．【变式1-5】已知直角三角形的斜边为2，周长为2A ．12B ．1CD ．2【分析】根据已知可得到两直角边的和，根据完全平方公式即可求得两直角边的乘积，从而不难求得其面积．【解答】解：设两直角边分别为：a ，b ，斜边为c ，∵直角三角形的斜边为2，周长为2+∴a +b ∵（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ＝c 2+2ab ＝4+2ab ＝6，∴ab ＝1，∵三角形有面积=12ab =12，故选：A ．【点评】此题主要考查学生对勾股定理及完全平方和公式的运用．【变式1-6】（2021秋•重庆期中）如图，Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，△ABD 是等腰三角形，AB ＝BD ＝4，CB ⊥BD ，交AD 于E ，BE ＝1，则AC ＝ ．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAE ＝∠BDE ，根据等式的性质得到∠CAE ＝∠DEB ，求得AC ＝EC ，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵AB＝BD＝4，∴∠BAE＝∠BDE，∵CB⊥BD，∴∠DBE＝∠CAB＝90°，∴∠DEB＝90°﹣∠D，∠CAE＝90°﹣∠BAD，∴∠CAE＝∠DEB，∵∠AEC＝∠DEB，∴∠CAE＝∠CEA，∴AC＝EC，∵BE＝1，∴BC＝AC+1，∵AC2+AB2＝BC2，∴AC2+42＝（AC+1）2，∴AC=15 2，故答案为：15 2．【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，证得AC＝CE是解题的关键．【变式1-7】（2021春•盘龙区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（ ）A．3B．5C．2.4D．2.5【分析】连接CE，由矩形的性质可得∠CDE＝90°，AD＝BC＝8，AB＝DC＝4，AO＝OC，由OE⊥AC，AO＝OC，可知OE垂直平分AC，则可得AE＝CE；设DE＝x，则AE＝CE＝8﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得关于x的方程，求解即可．【解答】解：连接CE，如图：在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，∴∠CDE＝90°，AD＝BC＝8，AB＝DC＝4，AO＝OC，∵OE⊥AC，∴AE＝CE，设DE＝x，则AE＝CE＝8﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得：DE2+DC2＝CE2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3．∴DE的长为3．故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质及勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相相关性质及定理是解题的关键．【变式1-8】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c．（1）若a：b＝3：4，c＝15，求b；（2）若a＝6，b＝8，求c的长及斜边上的高．【分析】（1）根据已知的比用x表示边长，然后利用勾股定理列出方程求解即可；（2）根据勾股定理求出斜边，并用三角形的面积公式求斜边上的高即可．【解答】解：（1）∵a：b＝3：4，∴设b＝4x，a＝3x，∴c＝5x，又∵c＝15，∴5x＝15，∴x＝3，∴b＝4×3＝12．（2）∵b＝8，a＝6，∴c＝10，由三角形的面积公式得，ab＝c•CD，∴CD=abc=6×810=4.8．【点评】本题考查的是勾股定理即三角形的面积公式，解题关键是掌握勾股定理并灵活应用．【变式1-9】（2023春•荔城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．求AE的长．【分析】由勾股定理先求出BC＝6，连接BE，根据中垂线的性质设AE＝BE＝x，知CE＝8﹣x，在Rt△BCE 中由BC2+CE2＝BE2列出关于x的方程，解之可得答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC==6，连接BE，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x，在Rt△BCE中，∵BC2+CE2＝BE2，∴62+（8﹣x）2＝x2，解得x=25 4，∴AE=25 4．【点评】本题主要考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理及线段中垂线的性质．【变式1-10】（2022秋•建湖县期末）如图，在△ABC中；AB＝AC，BC＝13，D是AB上一点，BD＝5，CD＝12．（1）求证：CD⊥AB；（2）求AC长．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；（2）根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】（1）证明：∵BC＝13，BD＝5，CD＝12，∴BD2+CD2＝52+122＝132＝BC2，∴△CDB是直角三角形，∠CDB＝90°，∴CD⊥AB；（2）解：∵AB＝AC，∴AC＝AB＝AD+BD＝AD+5，∵∠ADC＝90°，∴AC2＝AD2+CD2，∴（AD+5）2＝AD2+122，∴AD=119 10，∴AC=11910+5=16910．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．关性质及定理是解题的关键．【变式1-11】（2023春•沂水县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以B为圆心，BC为半径画弧，交线段AB于点D，以A为圆心，AD为半径画弧，交线段AC于点E，连接CD．（1）若∠A＝25°，求∠ACD的度数；（2）若BC＝4，CE＝3，求AD的长．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B，根据等腰三角形的性质求出∠BCD，计算即可；（2）根据线段的和差以及勾股定理可得结论．【解答】解：（1）根据作图可知BD＝BC．∵∠ACB＝90°，∠A＝25°，∴∠B＝65°．∵BD＝BC，∴∠BCD=∠BDC=180°65°2=57.5°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝90°﹣57.5°＝32.5°；（2）根据作图可知AD＝AE，BD＝BC．∵∠ACB＝90°，BC＝4，CE＝3，∴BD＝BC＝4∵AE＝AD，∴AC＝AD+3，AB＝AD+4．在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2．即（AD+4）2＝（AD+3）2+42．解得：AD＝4.5．【点评】本题考查的是勾股定理，三角形的内角和定理，掌握勾股定理是解题的关键．【例题2】（2022秋•南京期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，交BC于点D，AB＝17，AC＝10．（1）若CD＝6，则AD＝ ，BD＝ ；（2）若BC＝20，求CD的长．【分析】（1）由勾股定理可得出答案；（2）设CD＝x，则BD＝20﹣x，由勾股定理可得出102﹣x2＝172﹣（20﹣x）2，则可得出答案．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AB＝17，AC＝10，CD＝6，∴AD==8，∴BD=15．故答案为：8，15；（2）设CD＝x，则BD＝20﹣x，∵AC2﹣CD2＝AD2，AB2﹣BD2＝AD2，∴AC2﹣CD2＝AB2﹣BD2，∴102﹣x2＝172﹣（20﹣x）2，解得x=211 40，∴CD=211 40．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．【变式2-1】如图，在锐角△ABC中，已知AB＝15，BC＝14，AC＝13，AD⊥BC于D点，求AD的长．【分析】设BD＝x，则CD＝14﹣x，根据勾股定理得出方程，解方程求出x的值，再由勾股定理即可求出AD的长．【解答】解：设BD＝x，则CD＝14﹣x，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵△ADB与△ACD均为直角三角形，∴AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，解得x＝9，∴BD＝9，∴AD==12．【点评】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程求出BD是解决问题的关键．【变式2-2】已知在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣AE2＝AC2．（1）求∠A的度数；（2）若DE＝3，BD＝4，求AE的长．【分析】（1）连接CE，根据线段垂直平分线的性质转化线段BE到△AEC中，利用勾股定理的逆定理可求∠A度数；（2）设AE＝x，则AC可用x表示，在Rt△ABC中利用勾股定理得到关于x的方程求解AE值．【解答】解：（1）连接CE，∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴CE＝BE．∵BE2﹣AE2＝AC2，∴AE2+AC2＝CE2．∴△AEC是直角三角形，∠A＝90°；（2）在Rt△BDE中，BE=5．所以CE＝BE＝5．设AE＝x，则在Rt△AEC中，AC2＝CE2﹣AE2，所以AC2＝25﹣x2．∵BD＝4，∴BC＝2BD＝8．在Rt△ABC中，根据BC2＝AB2+AC2，即64＝（5+x）2+25﹣x2，解得x＝1.4．即AE＝1.4．【点评】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是利用勾股定理求解线段长度，选择直角三角形借助勾股定理构造方程是解这类问题通用方法．【变式2-3】如图，在△ABC中，AC BC＝13，AD、CE分别是△ABC的高线与中线，点F是线段CE的中点，连接DF，若DF⊥CE，则AB＝（ ）A．10B．11C．12D．13【分析】连接DE，根据直角三角形的性质得到AB＝2DE，根据线段垂直平分线的性质得到DE＝DC，得到AB＝2CD，根据勾股定理列式计算得到得到答案．【解答】解：连接DE，∵AD⊥BC，点E是AB的中点，∴AB＝2DE，∵DF⊥CE，点F是线段CE的中点，∴DE＝DC，∴AB＝2CD，在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣DC2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣DC2，即（2CD）2﹣（13﹣CD）22﹣DC2，解得，CD＝5，∴AB＝2CD＝10，故选：A．【点评】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．【变式2-4】如图，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AD＝24cm，BC+CD＝34cm，C是直线l上一动点，请你探索当C离B多远时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形？【分析】设BC＝xcm，则CD＝（34﹣x）cm，再根据勾股定理及勾股定理的逆定理列出方程，求出x的值即可．【解答】解：设BC＝xcm时，三角形ACD是以DC为斜边的直角三角形，∵BC+CD＝34，∴CD＝34﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝36+x2，在Rt△ACD中，AC2＝CD2﹣AD2＝（34﹣x）2﹣576，∴36+x2＝（34﹣x）2﹣576，解得x＝8．∴当C离点B8cm时，△ACD是以DC为斜边的直角三角形．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．【变式2-5】（2022秋•南海区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝AD⊥BC，垂足为D．（1）求证：∠B＝2∠CAD．（2）求BD的长度；（3）点P是边BC上一点，且点P到边AB和AC的距离相等，求点P到边AB距离．【分析】（1）由等腰三角形的性质，三角形内角和定理，即可证明；（2）设CD ＝x （x ＞0），由勾股定理得到AB 2﹣BD 2＝AC 2﹣DC 2，列出关于x 的方程，求出x 的值，即可得到答案；（3）由三角形面积公式得到12BC •AD =12AB •PM +12AC •PN ，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AB ＝AC ，∴∠BAC ＝∠C ，∵∠BAC +∠C +∠B ＝180°，∴∠B +2∠C ＝180°，∵AD ⊥BC ，∴∠CAD +∠C ＝90°，∴2∠C +2∠CAD ＝180°，∴∠B ＝2∠CAD ，（2）解：设CD ＝x （x ＞0），在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，∵AB 2﹣BD 2＝AC 2﹣DC 2＝AD 2，∴102﹣（10﹣x ）2=―x 2，∴x ＝2，∴BD ＝BC ﹣CD ＝10﹣2＝8；（3）解：作PM ⊥AB 于M ，PN ⊥AC 于N ，且PM ＝PN ，连接AP ，在Rt △ABD 中，AD 6，∵△ABC 的面积＝△PAB 的面积+△PAC 的面积，∴12BC •AD =12AB •PM +12AC •PN ，∴10×6＝（PM ，∴PM ＝10﹣∴P到AB的距离是10﹣【点评】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，关键是掌握由勾股定理列出关于CD的方程；由三角形面积公式得到12BC•AD=12AB•PM+12AC•PN．【变式2-6】（2023春•金安区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．（1）作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD，则CD＝ ；（2）请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；（3）利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．【分析】（1）直接利用BC的长表示出DC的长；（2）直接利用勾股定理进而得出x的值；（3）利用三角形面积求法得出答案．【解答】解：（1）∵BC＝14，BD＝x，∴DC＝14﹣x，故答案为：14﹣x；（2）∵AD⊥BC，∴AD2＝AC2﹣CD2，AD2＝AB2﹣BD2，∴132﹣（14﹣x）2＝152﹣x2，解得：x＝9；（3）由（2）得：AD==12，∴S△ABC =12•BC•AD=12×14×12＝84．【点评】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确得出AD的长是解题关键．【例题3】（2022秋•卧龙区校级月考）如图，在长方形ABCD 中，BC ＝4，CD ＝3，现将该长方形沿对角线BD 折叠，使点C 落在对点C '处，BC '交AD 于点E ．（1）试说明DE ＝BE ；（2）求AE 的长．【分析】（1）利用等角对等边解决问题即可；（2）设BE ＝DE ＝x ，在Rt △ABE 中，利用勾股定理构建方程求解，再根据AE ＝AD ﹣DE 即可解决问题．【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠DBC ，由翻折的性质可知∠DBE ＝∠DBC ，∴∠DBE ＝∠ADB ，∴DE ＝BE ．（2）设BE ＝DE ＝x ，在Rt △ABE 中，∵∠A ＝90°，∴BE2＝AB2+AE2，∴32+（4﹣x）2＝x2，解得x=25 8，∴BE=DE=25 8，∴AE=AD―DE=4―258=78．【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握翻折的性质．【变式3-1】如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B 与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（ ）A．154cm B．254cm C．74cm D．无法确定【分析】设CD＝xcm，则BD＝BC﹣CD＝（8﹣x）cm，再根据折叠的性质得AD＝BD＝8﹣x，然后在△ACD中根据勾股定理得到（8﹣x）2＝62+x2，再解方程即可．【解答】解：设CD＝xcm，则BD＝BC﹣CD＝（8﹣x）cm，∵△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，∴AD＝BD＝8﹣x，在△ACD中，∠C＝90°，∴AD2＝AC2+CD2，∴（8﹣x）2＝62+x2，解得x=7 4，即CD的长为74 cm．故选：C．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．【变式3-2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，延长BC至E，使得CE＝BC，将△ABC 沿AC翻折，使点B落点D处，连接DE，则DE的长为（ ）A．95B．125C．165D．185【分析】连接BD交AC于点F，由折叠的性质得出AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，由勾股定理求出CF的长，则可由中位线定理求出DE的长．【解答】解：连接BD交AC于点F，∵将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，∴BF＝DF，∠BFC＝90°，∵AB＝4，BC＝3，∴AC=5，设CF＝x，则AF＝5﹣x，∵AB2﹣AF2＝BF2，BC2﹣CF2＝BF2，∴42﹣（5﹣x）2＝32﹣x2，∴x=9 5，∴CF=9 5，∵CE＝BC，∴CF=12 DE，∴DE=18 5．故选：D．【点评】本题考查了折叠的性质，勾股定理，中位线定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．【变式3-3】（2023春•米东区期末）如图，将矩形ABCD沿对角线BD所在直线折叠，点C落在同一平面内，落点记为F，BF与AD交于点E，若BC＝2AB＝8，求DE的长．【分析】设DE＝x，则AE＝8﹣x，依据∠EBD＝∠EDB，即可得到ED＝BE＝x．Rt△ABE中，利用勾股定理即可得到DE的长．【解答】解：∵BC＝2AB＝8，∴AB＝4，设DE＝x，则AE＝8﹣x，由题可得，∠CBD＝∠EBD，∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB，∴ED＝BE＝x，Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，即42+（8﹣x）2＝x2，解得x＝5，∴DE＝5．【点评】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理的运用，解题时，常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．【变式3-4】（2022秋•沙坪坝区期末）如图，△AB'C是将长方形ABCD沿着AC折叠得到的．若AB＝4，BC＝6，则OD的长为 ．【分析】由矩形的性质可得AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，AD∥BC，根据平行线的性质和折叠的性质可得∠EAC＝∠ACE＝∠ACB，即AE＝EC，根据勾股定理可求AE的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝8，AD∥BC，∴∠OAC＝∠ACB，由折叠可得∠ACO＝∠ACB，∴∠OAC＝∠ACO，∴AO＝CO，在Rt△DOC中，CO2＝DO2+CD2，即（6﹣OD）2＝DO2+16，解得OD=5 3，故答案为：5 3．【点评】本题考查了翻折变换，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．【变式3-5】（2023春•东莞市校级月考）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且BE＝3．（1）求CF的长；（2）求AB的长．【分析】（1）根据题意可得CE＝5，根据折叠的性质可得，∠B＝∠AFE＝90°，BE＝EF＝3，AB＝AF，在Rt△CEF中，利用勾股定理即可求出CF；（2）设AB ＝AF ＝x ，则AC ＝x +4，在Rt △ABC 中，利用勾股定理建立方程求解即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD 为矩形，AD ＝8，∴∠B ＝90°，AD ＝BC ＝8，∵BE ＝3，∴CE ＝BC ﹣BE ＝8﹣3＝5，根据折叠的性质可得，∠B ＝∠AFE ＝90°，BE ＝EF ＝3，AB ＝AF ，∴∠CFE ＝90°，在Rt △CEF 中，CF ==4；（2）设AB ＝AF ＝x ，则AC ＝AF +CF ＝x +4，在Rt △ABC 中，AB 2+BC 2＝AC 2，∴x 2+82＝（x +4）2，解得：x ＝6，∴AB ＝6．【点评】本题主要考查折叠的性质、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质，利用勾股定理解决问题是解题关键．【变式3-6】（2022秋•卧龙区校级月考）将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上的F 点处，若AD ＝10cm ，AB ＝8cm ，求图中阴影部分的面积．【分析】由折叠的性质得AF ＝AD ＝10cm ，EF ＝DE ，由勾股定理求出BF ＝6cm ，则CF ＝4cm ，设CE ＝x ，则DE ＝EF ＝8﹣x ，由勾股定理得CE 2+FC 2＝EF 2，代入求出x ＝3cm ，由S 阴影＝S △ABF +S △CEF =12AB •BF +12CF •CE 即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ＝10cm ，AB ＝CD ＝8cm ，∠B ＝∠C ＝90°，∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF＝AD＝10cm，EF＝DE，在Rt△ABF中，由勾股定理得：BF==6（cm），∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4（cm），设CE＝xcm，则DE＝EF＝（8﹣x）cm，在Rt△ECF中，由勾股定理得：CE2+FC2＝EF2，即：x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴CE＝3cm，∴S阴影＝S△ABF+S△CEF=12AB•BF+12CF•CE=12×8×6+12×4×3＝30（cm2）．【点评】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识；熟练掌握折叠的性质是解题的关键．【变式3-7】（2022春•平邑县校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E分别是AB和CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是点B'．（1）如图1，如果点B'恰好与顶点A重合，求CE的长；（2）如图2，如果点B'恰好落在直角边AC的中点上，求CE的长．【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长，再利用翻折得到AE＝BE，在Rt△ACE中利用勾股定理即可求出CE的长；（2）点B'是直角边AC的中点，可以得到B'C的长度，再利用翻折得到B′E＝BE，在Rt△B'CE中利用勾股定理即可求出CE的长．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB=10，根据折叠的性质，∴△ADE ≌△BDE ，∴AE ＝BE ，设CE 为x ，则：AE ＝BE ＝8﹣x ，在Rt △ACE 中：x 2+62＝（8﹣x ）2，解得：x =74，即CE 的长为：74；（2）∵点B '是直角边AC 的中点，∴B 'C =12AC =3，根据折叠的性质，∴△B 'DE ≌△BDE ，∴B ′E ＝BE ，设CE 为x ，则：B ′E ＝BE ＝8﹣x ，在Rt △B 'CE 中：x 2+32＝（8﹣x ）2，解得：x =5516，即CE 的长为：5516．【点评】本题考查勾股定理以及图形的变换中的折叠问题．在折叠过程中，对应角和对应边相等是解题的关键；在直角三角形中，知道一条边长以及另外两条边的关系时，通常采用方程思想来解题．【例题4】（2023秋•文山市月考）如图，有一个池塘，其底边长为10尺，一根芦苇AB 生长在它的中央，高出水面部分BC 为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B 恰好碰到岸边的B '．请你计算这个池塘水的深度和这根芦苇的长度各是多少？【分析】设池塘水的深度是x尺，则这根芦苇的长度是（x+1）尺，在Rt△CAB′中，由勾股定理得得出方程，解方程即可．【解答】解：设池塘水的深度是x尺，则这根芦苇的长度是（x+1）尺，由题意得：∠ACB'＝90°，B'C=102=5（尺），在Rt△CAB′中，由勾股定理得：AC2+B′C2＝AB′2，即x2+52＝（x+1）2，解得：x＝12，∴x+1＝12+1＝13，答：池塘水的深度是12尺，这根芦苇的长度是13尺．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．【变式4-1】（2023春•余干县期中）如图是某小区为迎接十四运，方便群众活动健身设计的秋千示意图，秋千AB在静止位置时，下端B离地面0.6m，当秋千到AB′的位置时，下端B′距静止位置的水平距离DB′等于1.2m，距地面1m，求秋千AB的长．【分析】利用已知表示出AD的长，再利用勾股定理得出即可．【解答】解：设AB＝xm，则AB′＝xm，由题意可得出：DB＝1﹣0.6＝0.4（m），则AD＝AB﹣DB＝（x﹣0.4）m，在Rt△AB′D中，AD2+B′D2＝AB′2，则（x﹣0.4）2+1.22＝x2，解得：x＝2．答：秋千AB的长为2m．【点评】本题考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．【变式4-2】（2022秋•运城期末）如图，∠AOB=90°，OA＝18cm，OB＝6cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC 是多少？【分析】由题意可知，若设BC＝xcm，则AC＝xcm，OC＝OA﹣AC＝（18﹣x）cm，这样在Rt△BOC中，利用勾股定理就可建立一个关于“x”的方程，解方程即可求得结果．【解答】解：小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即BC＝CA，设BC＝xcm，则AC＝xcm，OC＝OA﹣AC＝（18﹣x）cm，∵∠AOB＝90°，∴由勾股定理可知OB2+OC2＝BC2，又∵OC＝（18﹣x）cm，OB＝6cm，∴62+（18﹣x）2＝x2，解方程得出x＝10（cm）．答：机器人行走的路程BC是10cm．【点评】本题考查了勾股定理，解题的关键是，抓住“机器人与小球同时出发，速度相等”这两个条件，得到BC＝AC，从而将已知量和未知量集中到Rt△BOC中，就可利用勾股定理建立方程来求解．【变式4-3】（2021春•绥宁县期末）如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经过的路程都是15m，求树高AB．【分析】Rt△ABC中，∠B＝90°，则满足AB2+BC2＝AC2，BC＝a（m），AC＝b（m），AD＝x（m），根据两只猴子经过的路程一样可得10+a＝x+b＝15解方程组可以求x的值，即可计算树高＝10+x．【解答】解：Rt△ABC中，∠B＝90°，设BC＝a（m），AC＝b（m），AD＝x（m）则10+a＝x+b＝15（m）．∴a＝5（m），b＝15﹣x（m）又在Rt△ABC中，由勾股定理得：（10+x）2+a2＝b2，∴（10+x）2+52＝（15﹣x）2，解得，x＝2，即AD＝2（米）∴AB＝AD+DB＝2+10＝12（米）答：树高AB为12米．【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到两只猴子行走路程相等的等量关系，并且正确地运用勾股定理求AD的值是解题的关键．【变式4-4】（2023•湘乡市校级开学）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢的直线距离是10米，求两树相隔的距离．【分析】由题意知，AB＝10米，CD＝4米，AD＝10米，在Rt△AED中，利用勾股定理求出DE的长即可．【解答】解：如图，由题意知，AB＝10米，CD＝4米，AD＝10米，∴AE＝10﹣4＝6（米），在Rt△AED中，由勾股定理得，DE==8（米），∴BC＝DE＝8米，即两树相隔的距离为8米．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【变式4-5】（2022秋•双塔区校级期中）如图所示的是一个拉箱的示意图，箱体长AB＝65cm，拉杆最大伸长距离BC＝35cm，在箱体的底端装有一圆形滚轮，其直径为6cm．当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm到A′处．请求点C离地面的距离（假设点C的位置保持不变）【分析】过C作CE⊥DN于E，延长AA'交CE于F，根据勾股定理即可得到方程652﹣x2＝1002﹣（55+x）2，求得A'F的长，即可利用勾股定理得到CF的长，进而得出CE的长．【解答】解：如图所示，过点C作CE⊥DN于点E，延长AA′交CE于F，则∠AFC＝90°．设A′F＝xcm，则AF＝（55+x）cm，由题可得，AC＝AB+BC＝65+35＝100（cm），A′C＝65cm．∵Rt△A′CF中，CF2＝652﹣x2，Rt△ACF中，CF2＝1002﹣（55+x）2，∴652﹣x2＝1002﹣（55+x）2，解得x＝25，∴A'F＝25（cm），∴CF=60（cm）．又∵EF＝AD＝3cm，∴CE＝60+3＝63（cm），∴点C离地面的距离为63cm．【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．【变式4-6】（2023春•德州期末）如图1，同学们想测量旗杆的高度．他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余1.5米，如图1；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部6米，如图2．小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点D处．（1）请你按小明的方案求出旗杆的高度；（2）已知小亮举起绳结离旗杆6.75米远，此时绳结离地面多高？【分析】（1）由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答；（2）由题可知，BD＝BC＝11.25米，DE＝6.75米．在Rt△BDE中根据勾股定理列出方程BE2+6.752＝11.252，求出BE＝9，进而求解即可．【解答】解：（1）如图2，设旗杆的长度为x米，则绳子的长度为（x+1.5）米，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+62＝（x+1.5）2，解得：x＝11.25，故旗杆的高度为11.25米；（2）由题可知，BD＝BC＝11.25米，DE＝6.75米．在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+6.752＝11.252，解得：BE＝9，∴EC＝BC﹣BE＝11.25﹣9＝2.25（米），∴DF＝EC＝2.25米．故绳结离地面2.25米高．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键．【变式4-7】（2022秋•抚州期末）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．（1）求风筝的垂直高度CE；（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；（2）根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400，所以，CD＝20（负值舍去），所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米），答：风筝的高度CE为21.6米；（2）由题意得，CM＝12米，∴DM＝8米，∴BM=17（米），∴BC﹣BM＝25﹣17＝8（米），∴他应该往回收线8米．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．【变式4-8】（2022秋•佛山校级期末）铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距25km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图），已知DA＝10km，CB＝15km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请求出收购站E到A站的距离．【分析】由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在直角三角形DAE和直角三角形CBE 中，DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，得出AD2+AE2＝BE2+BC2，设AE为xkm，则BE＝（25﹣x）km，将BC＝10代入关系式即可求得．【解答】解：∵C、D两村到E站距离相等，∴CE＝DE，在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，∴AD2+AE2＝BE2+BC2．设AE为xkm，则BE＝（25﹣x）km，将BC＝10，DA＝15代入关系式为x2+102＝（25﹣x）2+152，解得x＝15，∴E站应建在距A站15km处．【点评】此题考查勾股定理的应用，基础知识要熟练掌握．【变式4-9】（2022秋•叙州区期末）“村村通”公路是我国的一项重要的民生工程，如图，A，B，C三个村都分别修建了一条互通公路，其中AB＝BC，现要在公路BC边修建一个景点M（B，C，M在同一条直线上），为方便A村村民到达景点M，又修建了一条公路AM，测得AC＝13千米，CM＝5千米，AM＝12千米．（1）判断△ACM的形状，并说明理由；（2）求公路AB的长．【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出结论；（2）设AB＝BC＝x千米，则BM＝（x﹣5）千米，在Rt△ABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：（1）△ACM是直角三角形，理由如下：∵AC＝13千米，CM＝5千米，AM＝12千米，∴CM2+AM2＝AC2，∴△ACM是直角三角形，∠AMC＝90°；（2）设AB＝BC＝x千米，则BM＝（x﹣5）千米，由（1）可知，∠AMC＝90°，∴∠AMB＝180°﹣∠AMC＝90°，在Rt△ABM中，由勾股定理得：122+（x﹣5）2＝x2，解得：x＝16.9，答：公路AB的长为16.9千米．【点评】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．【变式4-10】（2022春•江津区期中）中菲黄岩岛争端持续，我海监船加大黄岩岛附近海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA＝36海里，OB＝12海里，黄岩岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向黄岩岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；（2）求我国海监船行驶的航程BC的长．【分析】（1）由题意得，我海监船与不明渔船行驶距离相等，即在OA上找到一点，使其到A点与B点的距离相等，所以连接AB，作AB的垂直平分线即可．（2）连接BC，利用第（1）题中作图，可得BC＝AC．在直角三角形BOC中，利用勾股定理列出方程122+（36﹣BC）2＝BC2，解方程即可．【解答】解：（1）作AB的垂直平分线与OA交于点C；（2）连接BC，由作图可得：CD为AB的中垂线，则CB＝CA．由题意可得：OC＝36﹣CA＝36﹣CB．∵OA⊥OB，∴在Rt△BOC中，BO2+OC2＝BC2，即：122+（36﹣BC）2＝BC2，解得BC＝20．答：我国海监船行驶的航程BC的长为20海里．【点评】本题考查了勾股定理的应用以及线段垂直平分线的性质，利用勾股定理不仅仅能求直角三角形的边长，而且它也是直角三角形中一个重要的等量关系．【变式4-11】（2022秋•广陵区校级期末）如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为。
勾股定理
第四讲 勾股定理知识梳理一、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方二、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。
三、常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13四、勾股定理的作用（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段。
例题讲解1、在ABC ∆中，o90=∠C（1）若25c 20b ==，，则=a （2）若4:3:=b a ，20=c ，则=a （3）若b a 3=，10=c ，则=∆ABC S2、已知一个Rt △的两直角边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A ．25 B ．7 C ．7或25 D ．无法确定3、已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A ．25 B ．7 C ．7或25 D ．无法确定4、已知一个△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A ．25 B ．7C ．7或25D ．无法确定5、Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则AB 2＋AC 2＋BC 2的值为( ) A ．8 B ．4C ．6D ．无法计算6、如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是AC 边上的高线，DC ＝2，则BD 等于( ) A ．4B ．6C ．8D ．102勾股数树1、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中正方形A ，B ，C ，D 的边和长分别为2cm 、1cm 、2cm 、4cm ，则最大的正方形的面积之和为___________cm 2.2、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都 是直角三角形，其中最大的正方形的边长为6cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为__________cm 2。
勾股定理的方程式
勾股定理的方程式勾股定理，也称直角三角形定理，是数学中的一个重要定理，用于解决与直角三角形有关的计算问题。
勾股定理的方程式为a² + b² = c²，其中a、b和c分别代表直角三角形的两条直角边和斜边的长度。
勾股定理最早出现在中国古代《周髀算经》中，但被称为勾股定理的是公元前6世纪的古希腊数学家毕达哥拉斯提出的。
他发现了一个有趣的数学关系：在一个直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方。
这个关系被称为勾股定理，是毕达哥拉斯学派的基础之一。
勾股定理的应用十分广泛，可以解决很多与直角三角形相关的计算问题。
其中最常见的就是通过已知两条直角边的长度来求解斜边的长度。
例如，如果已知一个直角三角形的两条直角边分别是3cm和4cm，我们可以使用勾股定理来计算斜边的长度。
根据勾股定理的方程式，将已知的直角边长度代入，得到3² + 4² = c²，即9 + 16 = c²，进一步计算可得c² = 25，再开平方根得到c = 5。
因此，斜边的长度为5cm。
除了求解斜边长度外，勾股定理还可以用于判断一个三角形是否为直角三角形。
根据勾股定理，如果一个三角形的三条边满足a² + b² = c²，那么这个三角形就是直角三角形。
通过测量三角形的三条边的长度，并代入勾股定理的方程式进行计算，可以判断这个三角形是否为直角三角形。
勾股定理还可以应用于解决实际问题。
例如，在建筑设计中，勾股定理可以用来计算墙角是否为直角，从而确保建筑结构的稳定性。
在导航和航海中，勾股定理可以用来计算两个地点之间的距离或角度。
在物理学中，勾股定理可以用来计算力的合成与分解，以及描述物体在斜面上滑动的问题。
总结来说，勾股定理是直角三角形中的一个基本定理，通过方程式a² + b² = c²描述了两个直角边的平方和等于斜边的平方的关系。
勾股定理折叠问题,方程思想
第一讲 勾股定理本章知识要点导航 ：（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．（2）勾股定理公式a 2+b 2=c 2 的变形有：;;222222b a c a c b b c a +=-=-=及（3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．（4）勾股数：满足a 2+b 2=c 2 的三个正整数，称为勾股数．说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a 2+b 2=c 2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．（5）平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．课堂笔记：_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________➢ 知识考点1☆☆☆：在Rt △中，已知两边求第三边；(1)在ABC Rt ∆中，已知ο90=∠C ，8,6==b a ，则c=______________；(2)在ABC Rt ∆中，12,5==b a ，则c=______________；变式1：直角三角形的两直角边分别为5,12，则斜边上的高为______________；变式2：若一个直角三角形两直角边之比为4:3，斜边的长为20，则这个三角形的周长是___________； 变式3：已知在ABC Rt ∆中，ο90=∠C ，4,12==+b c a ，则ABC ∆的面积为___________；➢ 知识考点2☆☆☆：利用勾股定理求面积；思考：“问号正方形”的面积是多少？这个类型的问题还有哪些拓展呢？【经典例题1】有一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形D C B A 、、、的边长分别是3,2,5,3，则最大正方形E 的面积是（ ）A.13B.26C.47D.94【变式1】如图，直线l 上依次放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形面积分别是3,2,1，正放置的四个正方形的面积是4321,,,S S S S ，则=+++4321S S S S _________________【变式2】如图，已知直角△ABC 的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积是_____________.（例1） （变1） （变2）➢ 知识考点3☆☆☆：应用勾股定理，求等腰三角形底边上的高；1、一个等腰三角形的腰长为cm 13,底边长为cm 10,这个三角形的面积为_________；2、一个等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，以底边为边长的正方形的面积为_________；3、等腰中，，是底边上的高，若，求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积．➢ 知识考点4☆☆☆：利用方程思想求线段长（含双勾股）1、在ABC ∆中，AD 是高线，若4=AB ，2=AD ，3=AC ，则BC 的长为_____________;2、在ABC ∆中，17=AB ，10=AC ，9=BC ，则BC 边上的高为_____________;3、如图，小溪边有两棵树隔岸相望，一棵树高m 9，另一棵树高m 6，两棵树之间的距离是m 15，在两棵树顶上各停着一只水鸟，两只鸟同时看到水面上有一条小鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，结果同时到达目标，求小鱼离较高那棵树有多远？4、如图，点P 是长方形ABCD 内一点，7,5,1===PC PB PA ，求PD 的长。
勾股定理
勾股定理勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。
勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。
在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
[1]中文名勾股定理外文名Pythagoras theorem 别称商高定理、毕达哥拉斯定理、百牛定理表达式a²+b²=c²提出者毕达哥拉斯赵爽商高提出时间公元前551年应用学科几何学适用领域范围数学，几何学适用领域范围数学，几何学中国记载著作《周髀算经》《九章算术》外国记载著作《几何原本》限制条件直角三角形在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。
如果设直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，那么可以用数学语言表达：勾股定理是余弦定理中的一个特例。
推导赵爽弦图《九章算术》中，赵爽描述此图：“勾股各自乘，并之为玄实。
开方除之，即玄。
案玄图有可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四。
以勾股之差自相乘为中黄实。
加差实亦成玄实。
以差实减玄实，半其余。
以差为从法，开方除之，复得勾矣。
加差于勾即股。
凡并勾股之实，即成玄实。
或矩于内，或方于外。
形诡而量均，体殊而数齐。
勾实之矩以股玄差为广，股玄并为袤。
而股实方其里。
减矩勾之实于玄实，开其余即股。
倍股在两边为从法，开矩勾之角即股玄差。
加股为玄。
以差除勾实得股玄并。
以并除勾实亦得股玄差。
令并自乘与勾实为实。
倍并为法。
所得亦玄。
勾实减并自乘，如法为股。
数学勾股定理
勾股定理在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）。
数学公式中常写作a²+b²=c²内容勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。
这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”。
目前初二学生学，教材的证明方法采用赵爽弦图。
勾股定理（又称商高定理，毕达哥拉斯定理）是一个基本的几何定理，早在中国周朝由商高发现。
据说毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。
勾股定理指出：直角三角形两直角边（即“勾”“股”短的为勾，长的为股）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。
也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a的平方+b的平方=c的平方a^2＋b^2＝c^2勾股定理现发现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
勾股定理其实是余弦定理的一种特殊形式。
我国古代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五。
”它被记录在了《九章算术》中。
勾股数组满足勾股定理方程 a^2＋b^2＝c^2;的正整勾股定理数组(a,b,c)。
例如(3,4,5)就是一组勾股数组。
由于方程中含有3个未知数，故勾股数组有无数多组。
勾股数组的通式：a=√M^2-N^2b=√M²＋N²c=√M^2+N^2(M>N,M,N为正整数）推广1、如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两直角边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。
即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。
2、勾股定理是余弦定理的特殊情况。
编辑本段勾股定理定理如果直角三角形两直角边分别为A，B，斜边为C，那么 A^2+B^2=C^2;；即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。
勾股定理及方程思想的综合应用
典型问题分析与解决策略
典型问题一
已知直角三角形两条直角边，求 斜边。
解决策略
直接应用勾股定理，建立方程并 求解。
典型问题二
已知直角三角形一条直角边和斜 边，求另一条直角边。
解决策略
验证三边是否满足勾股定理条件 。
典型问题三
判断一个三角形是否为直角三角 形。
解决策略
通过勾股定理建立方程，并化简 求解。
XX
PART 02
方程思想在勾股定理中应 用
REPORTING
方程建模与求解过程
勾股定理描述
求解过程
在直角三角形中，直角边的平方和等 于斜边的平方，即$a^2 + b^2 = c^2$。
通过代入已知数值，解三角形两条边时，可建立 方程求解第三边。例如，已知直角边 $a$和$b$，求斜边$c$，则方程为 $a^2 + b^2 = c^2$。
• 方程思想在复杂问题中的应用：对于更复杂的数学问题，如多元函数、微分方 程等，方程思想仍然具有重要的应用价值。通过建立适当的方程或方程组，可 以将复杂问题转化为相对简单的求解问题。
• 勾股定理与方程思想的跨学科应用：除了在数学领域中的应用外，勾股定理和 方程思想还可以在其他学科中找到广泛的应用。例如，在物理学中，勾股定理 可以用于计算物体的位移、速度等；在化学中，方程思想可以用于解决化学反 应中的平衡问题；在经济学中，方程思想可以用于分析市场供需关系等。因此 ，掌握勾股定理和方程思想对于提高跨学科解决问题的能力具有重要意义。
结合勾股定理和方程思想，可以建立化学反应中物质质量、 物质的量和反应速率等物理量之间的关系式，进而进行化学 计算。
经济问题中价格、数量和总收入关系分析
价格与数量关系
勾股定理
勾股定理编辑[gōu gǔ dìng lǐ]勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
勾股定理是余弦定理的一个特例。
勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a2+b2=c2的正整数组(a,b,c)。
(3,4,5)就是勾股数。
也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2。
中文名勾股定理、勾股弦定理外文名Pythagorean theorem1基本定理编辑勾三股四弦五文字表述：在任何一个的直角三角形中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方（也可以理解成两个长边的平方相减与最短边的平方相等）。
数学表达：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
[1]推广定理：勾股定理的逆定理。
如果 (a,b,c) 是勾股数，它们的正整数倍数，也是勾股数，即∀n∈Z*，(na,nb,nc) 也是勾股数。
若a,b,c三者互质（它们的最大公约数是 1），它们就称为素勾股数。
2历史编辑毕达哥拉斯定理是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。
在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理，三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明。
埃及称为埃及三角形。
早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且古巴比伦、古埃及、古中国、古印度等的发现都有真凭实据，有案可查。
相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的种种传说都是后人辗转传播的。
可以说真伪难辨。
这个现象的确不太公平，之所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上。
勾股定理的应用举例
米的油桶的下底边沿Ａ处，发现油桶的另一侧的中 点处有一只萤火虫，便决定捕捉它，于是它小心翼 翼地向萤火虫爬去，若壁虎要在最短时间里获得一 顿美餐，问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到萤火 虫？
Ｃ Ｂ
Ａ
例：如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张
村Ａ和李庄Ｂ送水，已知张村Ａ、李庄Ｂ到河 边的距离分别为２km和７km，且张、李二村 庄距13km。
.Ｂ
Ａ.
河边
L
1、水泵站应建在什么地方，可使所用的水管最
短？请在图中设计出水泵站的位置；
２、如果铺设水管的工程费用为每千米1500元，为
使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管 的费用为多少元？
例：如图：公路AB和公路CD在点P处交会，且 ∠APC=45°，点Ｑ处有一所小学，PQ＝ 120 2 m，假设拖拉机行驶时，周围130m以内会受到 噪声的影响，那么拖拉机在公路AB上沿PA方向行驶 时，学校是否会受到噪音影响？若受影响，已知拖 拉机的速度为36km/h，那么学校受影响的时间为多 少秒？
A
E
∟
B
C D
二、勾股定理与辅助线的应用 例３、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ １ ＝ ∠ ２，ＣＤ＝１.５，ＢＤ＝２.５，求ＡＣ 的长。
C D A
1 2
B
练习： 如图，在△ABC中，∠Ａ＝90°， DE垂直平分BC，求证：
2 2 － AC AE BE ＝
2
A
E B
C
D
三、勾股定理与最值问题：
一、勾股定理与方程相结合
例 1 、如图，在矩形纸片 ABCD 中， AB＝ 12， BC
＝ 5 ，点 E 在 AB 上，将 △ DAE 沿 DE 折叠，使点
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5
A
X
X+1
小结：
B
解决与勾股定理有关的实际问题时，先 要抽象出几何图形，从中找出直角三角形，再 设未知数，找出各边的数量关系，最后根据勾 股定理求解.
感受新知2
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°, AC=1， BC=3. AB的中垂线DE交BC于点D, 连结AD， 则AD的长为——.
A
AB的中垂线DE交BC于点D AD=BD BC=3
A
B
经历对几何图形的观察、分析，初步掌握 利用分割图形构造直角三角形的方法，了解特 殊与一般的转化思想;
例3. 已知：如图，△ABC中，AB=16，AC=14，BC=6 ，求△ABC的面积.
C
方法一： A 解：作CD AB于D，设DB=x， 则AD=16-x，由勾股定理得，
AC 2 AD 2 CD 2 BC 2 DB 2 142 (16 x ) 2 6 2 x 2 x 3 CD 62 32 3 3 1 1 S ABC AB CD 16 3 3 24 3 2 2 答：ABC的面积为24 3.
C
小结：
A
D
B
1.题目中既没有直角三角形，也没有直角，可 考虑利用作垂线段，分割图形的方法，构造直 角三角形; 2. ―斜化直”即：斜三角形化为直角三角形求解.
例3. 已知：如图，△ABC中，AB=16，AC=14，BC=6 ，求△ABC的面积.
C
A D 注意： 1.本题可选择列方程或方程组求解，当列方程 组求解时，要注意开平方时，是两种情况，要 舍去负值；当列方程求解CD时，最好写“ ”，可以省去后面的讨论 ; CD 2.本题也可以过A或B作对边的高. E F C C
A E
B
思考1
解：
C 10 25-x B
设AE= x km，则 BE=（25-x）km 根据勾股定理，得 D AD2+AE2=DE2 15 BC2+BE2=CE2 又 DE=CE A x E 2 2 2 2 ∴ AD +AE = BC +BE 即：152+x2=102+（25-x）2 ∴ x=10 答：E站应建在离A站10km处。
2.从结论上看，三角形的边长由具体的数变成了字 母，结论具有普遍性，它也是本章第18.1小节勾股 定理的推广，体现了特殊与一般的转化思想.
2 42 +（8-x） =x 2
x=5 答：DE长为5.
方法二
解： 四边形ABCD为矩形 A CD AB 4，A C 90 BCD沿BD折叠得到BC D BCD BC D C D CD 4，C C =90 B 在AEB和C ED中 A C 90 4=5 AB C D AEB C ED BE DE
思考2
在一棵树BD的5m高A处有两只 小猴子，其中一只猴子爬到树顶D 后跳到离树10m的地面C处，另外 一只猴子爬下树后恰好也走到地 面C处，如果两个猴子经过的距离 相等，问这棵树有多高？
D
A
5m
C
10m
B
思考2
解：如图，D为树顶，AB=5 m,BC=10 m. 设AD长为x m，则树高为(x+5)m. ∵AD + DC = AB + BC, ∴ DC = 10 + 5 – x = 15 - x. 在Rt△ABC中，根据勾股定理得 10
D C
5
A
X
X+1
B
解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺， 由勾股定理，得
2 x 2 +52 =（x+1）
x=12 芦苇长：12+1=13 答：水深12尺，芦苇长为13尺.
解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺， 由勾股定理，得
2 x 2 +52 =（x+1）
x=12 芦苇长：12+1=13 答：水深12尺，芦苇长为13尺.
E
D A B
C
A
2 1 B CD
A B
G
A
H B
D
C
ED
C
例4.一块四边形的土地，其中ABC 120， AB AD，BC CD，AB 3 3， CD 5 3，求这块土地的面积.
E
A B
D
A G B A H B
C
A
2 1 B C
D
D
C
E
D
C
小结： 题目中没有直角三角形，但存在直角 ，可以考虑“补”出直角三角形求解.实际 上，本题利用“割”也有多种做法.
6
【问题2】如果一道题目中有多个直角三角形，我们如 何选择在哪个直角三角形中利用勾股定理求解呢？ 例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在 同一平面内C'处，B C'与AD交于点E，AD=8， AB=4，求DE的长.
C' A E D
B
C
例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C'处，B C'与 AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长.
B
C
1.如果一道题目中有多个直角三角形，要选择能够用 一个未知数表示出三条边的直角三角形（边也可为常 数），在这个三角形中利用勾股定理求解. 2.解决折叠问题的关键：在动、静的转化中找出不变量.
例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一 平面内C'处，B C'与AD交于点E，AD=8，AB=4，求 A DE的长.
y 2 =27
（1） （2）
142 (16 x ) 2 62 +x 2 =0 x =3
y =3 3或y = 3 （舍去） 3 1 SABC AB CD 2 1 16 3 3 24 3 2 答：ABC的面积为24 3.
例3. 已知：如图，△ABC中，AB=16，AC=14，BC=6 ，求△ABC的面积.
C' E 5 4 D
C
设DE为x，则BE=x，AE=8-x, 在RtABE中，由勾股定理得，
2 42 +（8-x） =x 2 x=5
答：DE长为5.
例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一 平面内C'处，B C'与AD交于点E，AD=8，AB=4，求 A DE的长.
C' E D
小结：
C' E D
注意：
B
C
1.基本图形：“平行、角平分线、等腰三角形‖知二推一 2.折叠问题：折叠图形前后两个图形全等，最好 在图中标出相等的线段和角.
练习
思考1
1、如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为 两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知 DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上 建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到 E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km D 处？ C
方法一
C' A 8-X E 4 2 B X 3 X 1 D
解：
四边形ABCD为矩形
AD / / BC 1 3 BCD沿BD折叠得到BC D BCD BC D 2 3 1=2
BE DE C 设DE为x，则BE=x，AE=8-x, 在RtABE中，由勾股定理得，
6
A
B
E
6
例1
解：在Rt△ABC中
C D
6
A
AC=6cm，BC=8cm B E ∴ AB=10cm 由折叠可知AE＝AC＝6cm，CD＝DE, ∠C= ∠AED=90° ∴BE＝10-6＝4cm, ∠BED=90° 设CD＝DE＝xcm，则BD＝（8-x）cm 在Rt△BDE中
由勾股定理可得（8-x）2 ＝x2+42 解得x＝3 ∴ CD=DE=3cm
思考题：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90 a 2 °，如图①，根据 b 2 =c 2 勾股定理，则 ，若△ABC不是直角三角形，如图②和图③，请你 类比勾股定理，试猜想 的关系，并证明你的结论.
a 2 b 2与c 2
设计意图： 1.从证明方法角度看，通过利用“割”、“补” 图形构造直角三角形的方法，得出类似勾股定理 的结论，它是本节课所学知识的综合应用；
Hale Waihona Puke DB例3. 已知：如图，△ABC中，AB=16，AC=14，BC=6 ，求△ABC的面积.
C
方法二：
A
D
B
把x =3代入（2）得， 解：作CD AB于D， 设DB=x，CD=y，则AD=16-x， 62 32 =y 2
由勾股定理得，
2 2 2 14 (16 x ) = y 2 2 2 6 x = y （1） （2），得
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
A
b
C
c
a
2 2
B
2
a b c
勾股定理的常见表达式和变形式
在直角三角中，如果已知两边的长， 利用勾股定理就可以求第三边的长； 那么如果已知一条边长及另两边的 数量关系，能否求各边长呢？
感受新知1
（二）例题
【问题1】如何在实际问题中，利用勾股定理解决问题呢？
2+
D
(5 + x
)2=
(15 –
x)2
A
5m
解得x=2.5 ∴ x+5=2.5+5=7.5 答：树高为7.5米。
C
10m
B
【问题3】如果题目中既没有直角三角形，也没有 直角，怎么利用勾股定理求解？ 例3. 已知：如图，△ABC中，AB=16，AC=14， BC=6，求△ABC的面积. C
设计意图：