2 天津大学化工数学第二章 1 插值法

T(℃)
10
20
30
40
ρ Kg/m3
999.7 998.2
995.7 992.2
求25℃时H2O的密度。 解： ρ（25℃）＝ 998.2 ＋
995.7 998.2 10
×(25-20)
=996.95
ρ（T）＝
1

2
T2
1
T1
T
T1

➢插值法定义：寻求函数近似表达式的一种方法 ➢应用对象：列表函数
与
f [x0 , x1, x2 ]
f [x1, x2 ] f [x0 , x1] x2 x0
的区别。
这样，有了k-1阶差商就可定义k阶差商
f [x0 , x1, , xk ]
f [x1, x2 ,
xk ] f [x0 , x1, , xk 1 ] xk x0
称 f [x0 , x1,L , xk ] 为f(x)关于x0 ,x1 … xk 的k阶差商。
yk (kn)(x)
k 0
l(n) k
(
x)

(x x0 ) (x (xk x0 ) (xk

xk 1)(x xk 1 ) (x xk 1 )(xk xk 1 ) (xk
xn ) xn )
(k 0,1, n)
优点：直观，计算机程序简明。
缺点：当精度不满足要求，需要增加插值节点时， 原来计算出的数据不能用，每项都要重新计算新的 值。
求25℃时H2O的密度、焓、比热。
例2问题 真实气体的逸度 f 可用下式进行计算
lg f lg P A 2.303RT
其中， A 0PdP
－＝V－ RT
P
已知0℃时氢气的有关数据，试求1000atm下的 逸度f 。
P
0 100 200 300 400 500 600 700
－ 15.46 15.46 15.46 15.61 15.85 15.93 16.09 16.13
例3问题 假设一化学反应速率方程可用下式表示：

dCA dt

k CA n
这里k及n为化学反应速率常数及反应级数。 K与温
度有关，其可用如下关系式表示：k k0eEa / RT
实验测得以下数据，确定k0 及Ea 。
T1 T2
. Tm
t： * * *
*
*
*
*
*
CA ： *
*
*
*
*
*
*
*
t： * * *
f [x0 , x1, x2 ] f [x0 , x2 , x1] f [x1, x0 , x2 ] f [x1, x2 , x0 ] f [x2 , x0 , x1] f [x2 , x1, x0 ]
第二章 数据处理
例1问题 已知H2O在不同温度下物性数据如下：
温度
℃
10
密度
Kg/m3
999.7
焓
kJ/kg
42.04
比热容
kJ/kg. ℃
4.191
20
998.2 83.90 4.183
30
995.7 125.69 4.174
40
992.2 167.51 4.174
50
988.1 209.30 4.174
K) 0.0848
T（K）
379
P(kN/m2)
×10-3
9.7981
λ(W/(m ．
K) 0.0696
13.324
0.0897
14.277
0.0752
360
9.0078
0.0762
413
9.6563
0.0611
13.355
0.0807
12.463
0.0651
四、插值余项
定理：设 f (n) (x) 在 [a, b] 上连续，f (n1) (x)在 (a, b) 内存 在， a x0 x1 xn b 节点是满足插值多项式的条件， 则对任何 x [a, b] ，插值余项

xk 1)(x xk 1 ) (x xk 1 )(xk xk 1 ) (xk
xn ) xn )
(k 0,1, n)
优点：式子简单、易记
缺点：每增加一个节点，每项都要重新计算新的值
暂停：休息
Lagrange 插值多项式优缺点：
n
l Ln (x)

xk 1)(x xk 1 ) (x xk 1 )(xk xk 1 ) (xk
xn ) xn )
(k 0,1, n)
称为n次插值基函数
例1：用线性插值及二次插值计算sin0.3367的值。 已 知 sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.35227 。
取节点：3.1，3.2，3.3 取节点：3.0，3.1，3.2
f(3.27)＝1.484282 f(3.27)＝1.484272
Lagrange 插值多项式优缺点：
n
l Ln (x)
yk (kn)(x)
k 0
l(n) k
(
x)

(x x0 ) (x (xk x0 ) (xk
➢差商性质 （1）差商是其函数的线性组合，即：
f [x0, x1,
, xk ]
k j0
(xj
x0 )...(x j

f (xj) x j1)(x j
x j1 )
(xj
xk )
（2）差商具有对称性
f [x0 , x1, , xi , , x j , , xk ] f [x0 , x1, , x j , , xi , , xk ]
为插值节点， a,b 为插值区间。
代数插值的几何意义：
n
插 值 余 项 ：Rn (x) f (x) Pn (x) 插值多项式是唯一的！
1.2 拉格朗日（Lagrange）插值
一、Lagrange线性插值
已知区间 [xk , xk 1] 端点处的函数值
yk f (xk ), yk 1 f (xk 1)
让 L2 (x) 满足定义，则有
1 A yk1 (xk1 xk )( xk1 xk1 )
B

yk
(xk
1 xk1 )( xk
xk1 )
C

yk 1
(xk 1

1 xk ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 )( xk 1

xk
)
L2 (x)

yk 1
(x xk )(x xk1 ) (xk1 xk )(xk1 xk1 )
为 f (x) 关于 x0与 x1 的一阶差商
依次称：
f [x0 , x1, x2 ]
f [x1, x2 ] f [x0 , x1 ] x2 x0
为 f (x) 关于 x0，x1 ，x2的二阶差商 二阶差商就是一阶差商的差商。
注意：
f [x0 , x2 ]
f (x2 ) f (x0 ) x2 x0
k
1
(
x)
三、Lagrange n次插值
已知插值节点 x0 , x1, x2 xn 处的函数值
y0 , y1, y2 , yn
求n次插值多项式 Ln (x)
n
l Ln (x)
yk (kn)(x)
k 0
l(n) k
(
x)

(x x0 ) (x (xk x0 ) (xk
例 3 ：已知函数 y f (x) 的数值如下：
x 3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
y 1.442250 1.458100 1.473613 1.488806 1.503695
用二次插值求f ( 3.27 )之值。
解： 取节点：3.2，3.3，3.4 f(3.27)＝1.484280 y f (x) x1/ 3 准确值： f (3.27)＝1.484280

yk
(x (xk
xk1 )(x xk1 ) xk1 )(xk xk1 )
y k 1
(x xk1)(x xk ) (xk1 xk1 )(xk1 xk )
l
( k
2) 1
(
x)

(x (xk 1

xk xk
)( x xk1 ) )( xk 1 xk 1 )

yk
1
(
x)l
(1) k 1
(
x)
Lagrange线性插值的几何意义
二、Lagrange二次插值
已知插值节点 xk1, xk , xk1 处的函数值 yk1 f (xk1 ), yk f (xk ), yk1 f (xk1 )
求2次插值多项式 L2 (x)
解：
L1 (x)
*
*
*
*
*
CA： *
*
*
*
*
*
*
*
.
.
t： * * *
*
*
*
*
*
CA： *
*
*
*
*
*
*
*
数据处理包括： • 插值法 （3.0学时） • 数值微分（1.0学时） • 数值积分 （ 2.0学时） • 最小二乘曲线拟合（2.0学时）
§1 插值法
1.1 插值法概述
问题：已知H2O在不同温度下的密度数据如下：
➢应用对象的特点： 1. 自变量与函数值一一对应； 2. 函数值具有相当可靠的精确度。