2015届高中数学冲刺六大专题系列之深度几何专题

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2015年高考数学真题分类汇编：专题(10)立体几何(理科)及答案

专题十立体几何1.【2015高考安徽，理5】已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）（A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行（B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线（D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面【答案】D【解析】由A ，若α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A 不正确；由B ，若m ，n 平行于同一平面，则m ，n 可以平行、重合、相交、异面，故B 不正确；由C ，若α，β不平行，但α平面内会存在平行于β的直线，如α平面中平行于α，β交线的直线；由D 项，其逆否命题为“若m 与n 垂直于同一平面，则m ，n 平行”是真命题，故D 项正确.所以选D.【考点定位】1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.【名师点睛】空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.2.【2015高考北京，理4】设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．若“m β∥”，则平面、αβ可能相交也可能平行，不能推出//αβ，反过来若//αβ，m α⊂，则有m β∥，则“m β∥”是“αβ∥”的必要而不充分条件.考点定位：本题考点为空间直线与平面的位置关系，重点考察线面、面面平行问题和充要条件的有关知识.【名师点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系及充要条件，本题属于基础题，本题以空间线、面位置关系为载体，考查充要条件．考查学生对空间线、面的位置关系及空间面、面的位置关系的理解及空间想象能力，重点是线面平行和面面平行的有关判定和性质.3.【2015高考新课标1，理6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

2015年高考数学真题分类汇编-专题10-立体几何-文

2015年高考数学真题分类汇编专题10 立体几何文1.【2015高考浙江，文4】设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（）A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若//l β，则//αβD ．若//αβ，则//l m【答案】A【解析】采用排除法，选项A 中，平面与平面垂直的判定，故正确；选项B 中，当αβ⊥时，,l m 可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C 中，//l β时，,αβ可以相交；选项D 中，//αβ时，,l m 也可以异面.故选A.【考点定位】直线、平面的位置关系.【名师点睛】本题主要考查空间直线、平面的位置关系.解答本题时要根据空间直线、平面的位置关系，从定理、公理以及排除法等角度，对个选项的结论进行确认真假.本题属于容易题，重点考查学生的空间想象能力以及排除错误结论的能力.2.【2015高考新课标1，文6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（）（A ）14斛（B ）22斛（C ）36斛（D ）66斛【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯=，所以163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B. 【考点定位】圆锥的性质与圆锥的体积公式【名师点睛】本题以《九章算术》中的问题为材料，试题背景新颖，解答本题的关键应想到米堆是14圆锥，底面周长是两个底面半径与14圆的和，根据题中的条件列出关于底面半径的方程，解出底面半径，是基础题.3.【2015高考浙江，文2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（）A ．83cmB ．123cmC ．3233cm D ．4033cm【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个棱长为2的正方体与一个底面边长为2，高为2的正四棱锥的组合体，故其体积为32313222233V cm =+⨯⨯=.故选C. 【考点定位】1.三视图；2.空间几何体的体积.【名师点睛】本题主要考查空间几何体的体积.解答本题时要能够根据三视图确定该几何体的结构特征，并准确利用几何体的体积计算方法计算求得体积.本题属于中等题，重点考查空间想象能力和基本的运算能力.4.【2015高考重庆，文5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）(A) 123π+ (B) 136π (C) 73π (D) 52π【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱，再加上一个半圆锥：其底面半径为1，高也为1，构成的一个组合体，故其体积为61311612122πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯，故选B.【考点定位】三视图及柱体与锥体的体积.【名师点睛】本题考查三视图的概念和组合体体积的计算，采用三视图还原成直观图，再利用简单几何体的体积公式进行求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.5.【2015高考陕西，文5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（） A ．3π B ．4π C ．24π+ D ．34π+【答案】D 【解析】由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半，所以该几何体的表面积为21121222342πππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+，故答案选D【考点定位】1.空间几何体的三视图；2.空间几何体的表面积.【名师点睛】1.本题考查空间几何体的三视图及几何体的表面积，意在考查考生的识图能力、空间想象能力以及技术能力；2.先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体各个面的面积即可；3.本题属于基础题，是高考常考题型.6.【2015高考广东，文6】若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 与1l ，2l 都不相交【答案】A【解析】若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则l 至少与1l ，2l 中的一条相交，故选A ．【考点定位】空间点、线、面的位置关系．【名师点晴】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系，属于容易题．解题时一定要注意选项中的重要字眼“至少”、“至多”，否则很容易出现错误．解决空间点、线、面的位置关系这类试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊图形进行检验，也可作必要的合情推理．7.【2015高考浙江，文7】如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =，则点P 的轨迹是（）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支【答案】C【解析】由题可知，当P 点运动时，在空间中，满足条件的AP 绕AB 旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成60角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C.【考点定位】1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系.【名师点睛】本题主要考查圆锥曲线的定义以及空间线面的位置关系.解答本题时要能够根据给出的线面位置关系，通过空间想象能力，得到一个无限延展的圆锥被一个与之成60角的平面截得的图形是椭圆的结论.本题属于中等题，重点考查学生的空间想象能力以及对圆锥曲线的定义的理解.8.【2015高考湖北，文5】12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则（）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A .【解析】若p ：12,l l 是异面直线，由异面直线的定义知，12,l l 不相交，所以命题q ：12,l l 不相交成立，即p 是q 的充分条件；反过来，若q ：12,l l 不相交，则12,l l 可能平行，也可能异面，所以不能推出12,l l 是异面直线，即p 不是q 的必要条件，故应选A .【考点定位】本题考查充分条件与必要条件、异面直线，属基础题.【名师点睛】以命题与命题间的充分条件与必要条件为契机，重点考查空间中直线的位置关系，其解题的关键是弄清谁是谁的充分条件谁是谁的必要条件，正确理解异面直线的定义，注意考虑问题的全面性、准确性.9、【2015高考新课标1，文11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )（A ）1 （B ）2（C ）4 （D ）8【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为22142222r r r r r r πππ⨯+⨯++⨯=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B.【考点定位】简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式【名师点睛】本题考查简单组合体的三视图的识别，是常规提，对简单组合体三三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状，再根据“长对正，宽相等，高平齐”的法则组合体中的各个量.10.【2015高考福建，文9】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A．8+ B．11+．14+．15【答案】B【解析】由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为12，，直角腰长为1，．底面积为12332⨯⨯=，侧面积为所以该几何体的表面积为11+B．【考点定位】三视图和表面积．【名师点睛】本题考查三视图和表面积计算，关键在于根据三视图还原体，要掌握常见几何体的三视图，比如三棱柱、三棱锥、圆锥、四棱柱、四棱锥、圆锥、球、圆台以及其组合体，并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系；有时候还可以利用外部补形法，将几何体补成长方体或者正方体等常见几何体，属于中档题．11.【2015高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )（A（B（）（）【答案】B【解析】由题意知，该等腰直角三角形的斜边长为，所得旋转体为同底等高的全等圆锥，所以，其体积为213π⨯⨯=，故选B.【考点定位】1.旋转体的几何特征；2.几何体的体积.【名师点睛】本题考查了旋转体的几何特征及几何体的体积计算，解答本题的关键，是理解所得旋转体的几何特征，确定得到计算体积所需要的几何量.本题属于基础题，在考查旋转体的几何特征及几何体的体积计算方法的同时，考查了考生的空间想象能力及运算能力，是“无图考图”的一道好题.12.【2015高考湖南，文10】某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材1112料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（）A 、89πB 、827πC【答案】A【考点定位】三视图、基本不等式求最值、圆锥的内接长方体【名师点睛】运用基本不等式求最值要紧紧抓住“一正二定三相等”条件，本题“和为定”是解决问题的关键.空间想象能力是解决三视图的关键，可从长方体三个侧面进行想象几何体.求组合体的体积，关键是确定组合体的组成形式及各部分几何体的特征，再结合分割法、补体法、转化法等方法求体积.13.【2015高考北京，文7】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1 B C D．2【答案】C【解析】四棱锥的直观图如图所示：AB，S A是四棱锥最长的棱，由三视图可知，SC⊥平面CDSA===，故选C.【考点定位】三视图.【名师点晴】本题主要考查的是三视图，属于容易题．解题时一定要抓住三视图的特点，否则很容易出现错误．本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体中最长棱的棱长即可．14【2015高考安徽，文9】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）（A ）1+（B ）1+（C ）2+ （D ）【答案】C【解析】由该几何体的三视图可知，该几何体的直观图，如下图所示：其中侧面PAC ⊥底面ABC ，且PAC ∆≌ABC ∆，由三视图中所给数据可知：2====BC AB PC PA ,取AC 中点,O 连接BO PO ,，则POB Rt ∆中，1==BO PO ⇒2=PB ∴3222212432+=⋅⋅+⋅⋅=S ，故选C . 【考点定位】本题主要考查空间几何体的三视图、锥体表面积公式.【名师点睛】在利用空间几何体的三视图求几何体的体积或者表面积时，一定要正确还原几何体的直观图，然后再利用体积或表面积公式求之；本题主要考查了考生的空间想象力和基本运算能力.【2015高考上海，文6】若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为316，则=a .【答案】4【解析】依题意，3162321=⨯⨯⨯⨯a a a ，解得4=a . 【考点定位】等边三角形的性质，正三棱柱的性质.【名师点睛】正三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面.柱体的体积等于底面积乘以高.边长为a 的正三角形的面积为243a . 15.【2015高考天津，文10】一个几何体的三视图如图所示（单位:m ）,则该几何体的体积为 3m.【答案】8π3【解析】该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2的圆柱组合而成,所以该几何体的体积为318π2π1π2(m )33⨯⨯⨯+⨯= . 【考点定位】本题主要考查三视图及几何体体积的计算.【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键.16.【2015高考四川，文14】在三棱住ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M ，N ，P 分别是AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P －A 1MN 的体积是______. 【答案】124【解析】由题意，三棱柱是底面为直角边长为1的A 1 C 1B 1 P等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，底面积为12 如图，因为AA 1∥PN ，故AA 1∥面PMN ，故三棱锥P －A 1MN 与三棱锥P －AMN 体积相等，三棱锥P －AMN 的底面积是三棱锥底面积的14，高为1 故三棱锥P －A 1MN 的体积为111132424⨯⨯= 【考点定位】本题主要考查空间几何体的三视图、直观图及空间线面关系、三棱柱与三棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力、图形分割与转换的能力，考查基本运算能力.【名师点睛】解决本题，首先要正确画出三棱柱的直观图，包括各个点的对应字母所在位置，结合条件，三棱锥P －A 1MN 的体积可以直接计算，但转换为三棱锥P －AMN 的体积，使得计算更为简便，基本上可以根据条件直接得出结论.属于中档偏难题.17.【2015高考安徽，文19】如图，三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，1,1,2,60PA AB AC BAC ===∠=o .（Ⅰ）求三棱锥P -ABC 的体积；（Ⅱ）证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PM MC的值.【答案】（Ⅱ）13PM MC = 【解析】A BC M N（Ⅰ）解：由题设AB ＝1,,2=AC 60=∠BAC可得ABC S ∆︒⋅⋅⋅=60sin 21AC AB 23=. 由⊥PA 面ABC可知PA 是三棱锥ABC P -的高,又1=PA所以三棱锥ABC P -的体积6331=⋅⋅∆PA S V ABC ＝（Ⅱ）证：在平面ABC 内，过点B 作AC BN ⊥，垂足为N ，过N 作PA MN //交PC 于M ，连接BM .由⊥PA 面ABC 知AC PA ⊥，所以AC MN ⊥.由于N MN BN ＝⋂，故⊥AC 面MBN ，又⊂BM 面MBN ，所以BM AC ⊥.在直角BAN ∆中，21cos =∠⋅=BAC AB AN ，从而23=-=AN AC NC .由PA MN //，得31=NC AN MC PM ＝. 【考点定位】本题主要考查锥体的体积公式、线面垂直的判定定理和其性质定理.【名师点睛】本题将正弦定理求三角形的面积巧妙地结合到求锥体的体积之中，本题的第（Ⅱ）问需要学生构造出线面垂直，进而利用性质定理证明出面面垂直，本题考查了考生的空间想象能力、构造能力和运算能力.18.【2015高考北京，文18】（本小题满分14分）如图，在三棱锥V C -AB 中，平面V AB ⊥平面C AB ，V ∆AB 为等边三角形，C C A ⊥B 且C C A =B =，O ，M 分别为AB ，V A 的中点．（I ）求证：V //B 平面C MO ；（II ）求证：平面C MO ⊥平面V AB ；（III ）求三棱锥V C -AB 的体积．【答案】（I ）证明详见解析；（II ）证明详见解析；（III（Ⅱ）因为AC BC =，O 为AB 的中点，所以OC AB ⊥.又因为平面V AB ⊥平面C AB ，且OC ⊂平面C AB ，所以OC ⊥平面V AB .所以平面C MO ⊥平面V AB .（Ⅲ）在等腰直角三角形ACB 中，AC BC ==所以2,1AB OC ==.所以等边三角形V AB 的面积VAB S ∆=.又因为OC ⊥平面V AB ，所以三棱锥C V -AB 的体积等于13VAB OC S ∆⨯⨯=又因为三棱锥V C -AB 的体积与三棱锥C V -AB 的体积相等，所以三棱锥V C -AB 考点：线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公式.【名师点晴】本题主要考查的是线面平行、面面垂直和几何体的体积，属于中档题．证明线面平行的关键是证明线线平行，证明线线平行常用的方法是三角形的中位线和构造平行四边形．证明面面垂直的关键是证明线面垂直，证明线面垂直可由面面垂直得到，但由面面垂直得到线面垂直一定要注意找两个面的交线，否则很容易出现错误．求几何体的体积的方法主要有公式法、割补法、等积法等，本题求三棱锥的体积，采用了等积法．19.【2015高考福建，文20】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO =OB =．（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证C A ⊥平面D P O ；（Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值；（Ⅲ）若BC =E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）13；【解析】解法一：（I ）在C ∆AO 中，因为C OA =O ，D 为C A 的中点，所以C D A ⊥O ．又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以C PO ⊥A ．因为D O PO =O ，所以C A ⊥平面D P O ．（II ）因为点C 在圆O 上，所以当C O ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1．又2AB =，所以C ∆AB 面积的最大值为12112⨯⨯=．又因为三棱锥C P -AB 的高1PO =，故三棱锥C P -AB 体积的最大值为111133⨯⨯=．（III ）在∆POB 中，1PO =OB =，90∠POB =，所以PB ==．同理C P =C C PB =P =B ．在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C 'B P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C '共线时，C E +OE 取得最小值．又因为OP =OB ，C C ''P =B ，所以C 'O 垂直平分PB ，即E 为PB中点．从而C C ''O =OE +E =+= 亦即C E +OE．O A BP解法二：（I ）、（II ）同解法一．（III ）在∆POB 中，1PO =OB =，90∠POB =，所以45∠OPB =，PB ==．同理C P =所以C C PB =P =B ，所以C 60∠PB =．在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C 'B P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C '共线时，C E +OE 取得最小值．所以在C '∆O P 中，由余弦定理得：()2C 1221cos 4560'O =+-⨯+1122=+--2=+从而C 'O ==所以C E +OE ．【考点定位】1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积．【名师点睛】证明直线和平面垂直可以利用判定定理，即线线垂直到线面垂直；也可以利用面面垂直的性质定理，即面面垂直到线面垂直；决定棱锥体积的量有两个，即底面积和高，当研究其体积的最值问题时，若其中有一个量确定，则只需另一个量的最值；若两个量都不确定，可通过设变量法，将体积表示为变量的函数解析式，利用函数思想确定其最值；将空间问题转化为平面问题是转化思想的重要体现，通过旋转到一个平面内，利用两点之间距离最短求解．20.【2015高考广东，文18】（本小题满分14分）如图3，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =，C 3B =．（1）证明：C//B 平面D P A ；（2）证明：C D B ⊥P ；（3）求点C 到平面D P A 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3 【解析】试题分析：（1）由四边形CD AB 是长方形可证C//D B A ，进而可证C//B 平面D P A ；（2）先证C CD B ⊥，再证C B ⊥平面DC P ，进而可证C D B ⊥P ；（3）取CD 的中点E ，连结AE 和PE ，先证PE ⊥平面CD AB ，再设点C 到平面D P A 的距离为h ，利用C D CD V V -P A P-A =三棱锥三棱锥可得h 的值，进而可得点C 到平面D P A 的距离．试题解析：（1）因为四边形CD AB 是长方形，所以C//D B A ，因为C B ⊄平面D P A ，D A ⊂平面D P A ，所以C//B 平面D P A（2）因为四边形CD AB 是长方形，所以C CD B ⊥，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DC P 平面CD CD AB =，C B ⊂平面CD AB ，所以C B ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以C D B ⊥P（3）取CD 的中点E ，连结AE 和PE ，因为D C P =P ，所以CD PE ⊥，在Rt D ∆PE 中，PE ===，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DC P 平面CD CD AB =，PE ⊂平面DC P ，所以PE ⊥平面CD AB ，由（2）知：C B ⊥平面DC P ，由（1）知：C//D B A ，所以D A ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以D D A ⊥P ，设点C 到平面D P A 的距离为h ，因为C D CD V V -P A P-A =三棱锥三棱锥，所以D CD 1133S h S ∆P A ∆A ⋅=⋅PE ，即CD D 2S h S ∆A ∆P A ⋅PE ===，所以点C 到平面D P A【考点定位】1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离.【名师点晴】本题主要考查的是线面平行、线线垂直和点到平面的距离，属于中档题．证明线面平行的关键是证明线线平行，证明线线平行常用的方法是三角形的中位线和构造平行四边形．证明线线垂直的关键是证明线面垂直，证明线面垂直可由面面垂直得到，但由面面垂直得到线面垂直一定要注意找两个面的交线，否则很容易出现错误．点到平面的距离是转化为几何体的体积问题，借助等积法来解决．21.【2015高考湖北，文20】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接,,DE BD BE . （Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值．【答案】（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥. 由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =，所以BC ⊥平面PCD . DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PCBC C =，所以DE ⊥平面PBC .四面体EBCD 是一个鳖臑；（Ⅱ）124.V V = 【解析】（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥. 由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =，所以BC ⊥平面PCD . DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PCBC C =，所以DE ⊥平面PBC . 由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是,,,.BCD BCE DEC DEB ∠∠∠∠（Ⅱ）由已知，PD 是阳马P ABCD -的高，所以11133ABCD V S PD BC CD PD =⋅=⋅⋅；由（Ⅰ）知，DE 是鳖臑D BCE -的高， BC CE ⊥，所以21136BCE V S DE BC CE DE ∆=⋅=⋅⋅.在Rt △PDC中，因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE CE ==，于是 12123 4.16BC CD PD V CD PD V CE DEBC CE DE ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅ 【考点定位】本题考查直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的性质定理和简单几何体的体积，属中高档题.【名师点睛】以《九章算术》为背景，给予新定义，增添了试题的新颖性，但其实质仍然是考查线面垂直与简单几何体的体积计算，其解题思路：第一问通过线线、线面垂直相互之间的转化进行证明，第二问关键注意底面积和高之比，运用锥体的体积计算公式进行求解. 结合数学史料的给予新定义，不仅考查学生解题能力，也增强对数学的兴趣培养，为空间立体几何注入了新的活力.22.【2015高考湖南，文18】（本小题满分12分）如图4，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，,E F 分别是1,BC CC 的中点。

(名校名师精编)2015年高分必备——高考数学最后冲刺经典大题预测大汇编(含解析)

2
15 4 3 6 ． ……………………………………………12 分 8 10 2 3、设函数 f ( x) 2cos x sin 2 x a(a R) ．（Ⅰ）求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当 x [0, ] 时， f ( x ) 的最大值为 2，求 a 的值，并求出 y f ( x)( x R) 的对称轴方程． 6 2 解：（1） f ( x) 2 cos x sin 2 x a 1 cos 2 x sin 2 x a 2 sin(2 x ) 1 a … 2 分 4 2 ，则 f ( x ) 的最小正周期 T ……………………………………………………………4 c sin B 得 sin C b 3
分

2x

2 k

2x
分

4
k

2
x
k (k Z ) 为 f ( x) 的对称轴． 2 8
……………………………… 12
4、已知 f ( x) cos
3x x 3x x cos sin sin 2 sin x cos x ， 2 2 2 2
2 2 2
得 b 2 3 2 2 3
2 2 2
1 10 ，…………………………………………………4 分 4
b 10 ．……………………………………………………………………………6 分 a 2 b2 c 2 （2）方法 1：由余弦定理，得 cos C ，………………………………8 分 2ab 4 10 9 10 ，………………………10 分 8 2 2 10 ∵ C 是 ABC 的内角， 3 6 2 ∴ sin C 1 cos C ．………………………………………………………12 分 8 1 方法 2：∵ cos B ，且 B 是 ABC 的内角， 4 15 2 ∴ sin B 1 cos B ．………………………………………………………8 分 4 b c 根据正弦定理，，……………………………………………………10 分 sin B sin C

2015年高考数学总复习(人教A版,理科)配套教案：第八章立体几何 8.3

§8.3直线、平面平行的判定与性质1.直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a∩α＝∅a⊂α，b⊄α，a∥b a∥αa∥α，a⊂β，α∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b 2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∩β＝∅a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝bα∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥b a∥α1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行. (×)(2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面. (√)(3)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α. (×)(4)空间四边形ABCD中，E、F分别是AB，AD的中点，则EF∥平面BCD. (√)(5)若α∥β，直线a∥α，则a∥β. (×)2.若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A.α内的所有直线与l异面B.α内不存在与l平行的直线C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内的直线与l都相交答案 B解析由题意知，直线l与平面α相交，则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B是正确的.3.下列命题中，错误的是()A.平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行B.平行于同一个平面的两个平面平行C.若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行D.若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面答案 C解析由面面平行的判定定理和性质知A、B、D正确.对于C，位于两个平行平面内的直线也可能异面.4.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________.答案 2解析因为直线EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC，又E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得EF＝12AC，又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝22，所以EF＝ 2.5.已知平面α∥平面β，直线a⊂α，有下列命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直.其中真命题的序号是________.答案②解析因为α∥β，a⊂α，所以a∥β，在平面β内存在无数条直线与直线a平行，但不是所有直线都与直线a平行，故命题②为真命题，命题①为假命题.在平面β内存在无数条直线与直线a垂直，故命题③为假命题.题型一直线与平面平行的判定与性质例1(2012·山东)如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求证：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.思维启迪(1)利用等腰△EDB底边中线和高重合的性质证明；(2)根据线面平行的判定或两个平面平行的性质证明线面平行.证明(1)如图，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD.又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC，因此BD⊥EO.又O为BD的中点，所以BE＝DE.(2)方法一如图，取AB的中点N，连接DM，DN，MN.因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，所以MN∥平面BEC.又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°.又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°.所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥平面BEC.又MN∩DN＝N，所以平面DMN∥平面BEC.又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.方法二如图，延长AD，BC交于点F，连接EF.因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD＝30°.因为△ABD为正三角形，所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，因为∠AFB＝30°，所以AB＝12AF.又AB＝AD，所以D为线段AF的中点.连接DM，由于点M是线段AE的中点，因此DM∥EF.又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，所以DM∥平面BEC.思维升华判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β).如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD1A1.证明因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，EH⊄平面BCC1B1，B1C1⊂平面BCC1B1，所以EH∥平面BCC1B1.又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，即FG∥A1D1.又FG⊄平面ADD1A1，A1D1⊂平面ADD1A1，所以FG∥平面ADD1A1.题型二平面与平面平行的判定与性质例2如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.思维启迪要证四点共面，只需证GH∥BC；要证面面平行，可证一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行.证明(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面.(2)∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.思维升华证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.证明(1)如图，连接SB，∵E、G分别是BC、SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD，∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD. 又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.题型三平行关系的综合应用例3 如图所示，在四面体ABCD 中，截面EFGH 平行于对棱AB 和 CD ，试问截面在什么位置时其截面面积最大？思维启迪利用线面平行的性质可以得到线线平行，可以先确定截面形状，再建立目标函数求最值. 解 ∵AB ∥平面EFGH ，平面EFGH 与平面ABC 和平面ABD 分别交于FG 、EH . ∴AB ∥FG ，AB ∥EH ，∴FG ∥EH ，同理可证EF ∥GH ， ∴截面EFGH 是平行四边形.设AB ＝a ，CD ＝b ，∠FGH ＝α (α即为异面直线AB 和CD 所成的角或其补角).又设FG ＝x ，GH ＝y ，则由平面几何知识可得x a ＝CG BC ，y b ＝BG BC ，两式相加得x a ＋yb ＝1，即y＝ba(a －x )， ∴S ▱EFGH ＝FG ·GH ·sin α＝x ·b a ·(a －x )·sin α＝b sin αa x (a －x ).∵x >0，a －x >0且x ＋(a －x )＝a 为定值，∴当且仅当x ＝a －x 时，b sin αa x (a －x )＝ab sin α4，此时x ＝a 2，y ＝b 2.即当截面EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 为棱AD 、AC 、BC 、BD 的中点时截面面积最大. 思维升华利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决.如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，在侧面PBC 内，有BE ⊥PC 于E ，且BE ＝63a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面P AD . 解在平面PCD 内，过E 作EG ∥CD 交PD 于G ，连接AG ，在AB 上取点F ，使AF ＝EG ，∵EG ∥CD ∥AF ，EG ＝AF ， ∴四边形FEGA 为平行四边形， ∴FE ∥AG .又AG ⊂平面P AD ，FE ⊄平面P AD ， ∴EF ∥平面P AD . ∴F 即为所求的点.又P A ⊥面ABCD ，∴P A ⊥BC ，又BC ⊥AB ，∴BC ⊥面P AB . ∴PB ⊥BC .∴PC 2＝BC 2＋PB 2＝BC 2＋AB 2＋P A 2. 设P A ＝x 则PC ＝2a 2＋x 2，由PB ·BC ＝BE ·PC 得： a 2＋x 2·a ＝2a 2＋x 2·63a ，∴x ＝a ，即P A ＝a ，∴PC ＝3a . 又CE ＝a 2－(63a )2＝33a ， ∴PE PC ＝23，∴GE CD ＝PE PC ＝23，即GE ＝23CD ＝23a ，∴AF ＝23a .立体几何中的探索性问题典例：(12分)如图，在四面体P ABC 中，PC ⊥AB ，P A ⊥BC ，点D ，E ，F ，G 分别是棱AP ， AC ，BC ，PB 的中点. (1)求证：DE ∥平面BCP ； (2)求证：四边形DEFG 为矩形；(3)是否存在点Q ，到四面体P ABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由. 思维启迪 (1)利用DE ∥PC 证明线面平行；(2)利用平行关系和已知PC⊥AB证明DE⊥DG；(3)Q应为EG中点.规范解答(1)证明因为D，E分别是AP，AC的中点，所以DE∥PC.又因为DE⊄平面BCP，所以DE∥平面BCP. [3分] (2)证明因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF.所以四边形DEFG为平行四边形.又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG.所以四边形DEFG为矩形. [7分] (3)解存在点Q满足条件，理由如下：[8分]连接DF，EG，设Q为EG的中点，由(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝12EG.分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN.与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM＝QN＝12EG，所以Q为满足条件的点.[12分]解决立体几何中的探索性问题的步骤：第一步：写出探求的最后结论.第二步：证明探求结论的正确性.第三步：给出明确答案.第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.温馨提醒(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设.(2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”，“只需使……成立”.方法与技巧1.平行问题的转化关系线∥线判定性质线∥面判定性质面∥性质判定面2.直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质.3.平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.失误与防范1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.3.解题中注意符号语言的规范应用.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是()A.a平行于α内的所有直线B.α内有无数条直线与a平行C.直线a上的点到平面α的距离相等D.α内存在无数条直线与a成90°角答案 A解析若直线a平行于平面α，则α内既存在无数条直线与a平行，也存在无数条直线与a异面且垂直，所以A不正确，B、D正确.又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等，所以C正确.2.若直线m⊂平面α，则条件甲：“直线l∥α”是条件乙：“l∥m”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 D3.已知a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是()A.a∥b，b⊂α，则a∥αB.a，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥βC.a⊥α，b∥α，则a⊥bD.当a⊂α，且b⊄α时，若b∥α，则a∥b答案 C解析A选项是易错项，由a∥b，b⊂α，也可能推出a⊂α；B中的直线a，b不一定相交，平面α，β也可能相交；C正确；D中的直线a，b也可能异面.4.在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则()A.BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形B.EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C.HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形D.EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形答案 B解析如图，由题意得，EF ∥BD ，且EF ＝15BD .HG ∥BD ，且HG ＝12BD .∴EF ∥HG ，且EF ≠HG . ∴四边形EFGH 是梯形.又EF ∥平面BCD ，而EH 与平面ADC 不平行. 故选B.5.下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是( )A.①③B.①④C.②③D.②④答案 B解析 ①中易知NP ∥AA ′，MN ∥A ′B ，∴平面MNP ∥平面AA ′B 可得出AB ∥平面MNP (如图). ④中，NP ∥AB ，能得出AB ∥平面MNP .二、填空题6.过三棱柱ABC —A 1B 1C 1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线有________条. 答案 6解析如图，E 、F 、G 、H 分别是A 1C 1、B 1C 1、BC 、AC 的中点，则与平面ABB 1A 1平行的直线有EF ，GH ，FG ，EH ，EG ，FH 共6条.7.如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________. 答案223a 解析 ∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，∴MN ∥PQ .∵M 、N 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点，AP ＝a3，∴CQ ＝a 3，从而DP ＝DQ ＝2a 3，∴PQ ＝223a .8.在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列结论中，错误的为________. ①AC ⊥BD ； ②AC ∥截面PQMN ； ③AC ＝BD ；④异面直线PM 与BD 所成的角为45°. 答案 ③解析 ∵PQMN 是正方形， ∴MN ∥QP ，则MN ∥平面ABC ，由线面平行的性质知MN ∥AC ，则AC ∥截面PQMN ，同理可得MQ ∥BD ，又MN ⊥QM ，则AC ⊥BD ，故①②正确.又∵BD ∥MQ ，∴异面直线PM 与BD 所成的角即为∠PMQ ＝45°，故④正确. 三、解答题9.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝5，BB 1＝BC ＝6，D ，E 分别是AA 1和B 1C 的中点.(1)求证：DE ∥平面ABC ； (2)求三棱锥E －BCD 的体积.(1)证明取BC 中点G ，连接AG ，EG .因为E 是B 1C 的中点，所以EG ∥BB 1，且EG ＝12BB 1.由直棱柱知，AA 1綊BB 1，而D 是AA 1的中点，所以EG 綊AD ，所以四边形EGAD 是平行四边形.所以ED ∥AG . 又DE ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，所以DE ∥平面ABC .(2)解因为AD ∥BB 1，所以AD ∥平面BCE ，所以V E －BCD ＝V D －BEC ＝V A －BCE ＝V E －ABC ，由(1)知，DE ∥平面ABC .所以V E －ABC ＝V D －ABC ＝13AD ·12BC ·AG＝16×3×6×4＝12. 10.如图E 、F 、G 、H 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BC 、CC 1、 C 1D 1、AA 1的中点.求证： (1)EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明 (1)取B 1D 1的中点O ，连接GO ，OB ，易证四边形BEGO 为平行四边形，故OB ∥GE ，由线面平行的判定定理即可证EG ∥平面BB 1D 1D . (2)由题意可知BD ∥B 1D 1. 如图，连接HB 、D 1F ，易证四边形HBFD 1是平行四边形，故HD 1∥BF .又B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ，所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .B 组专项能力提升 (时间：30分钟)1.设m ，n 是平面α内的两条不同直线；l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )A.m ∥β且l 1∥αB.m ∥l 1且n ∥l 2C.m ∥β且n ∥βD.m ∥β且n ∥l 2答案 B解析对于选项A ，不合题意；对于选项B ，由于l 1与l 2是相交直线，而且由l 1∥m 可得l 1∥α，同理可得l 2∥α，故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不一定能得到l 1∥m ，它们也可以异面，故必要性不成立，故选B ；对于选项C ，由于m ，n 不一定相交，故是必要非充分条件；对于选项D ，由于n ∥l 2可转化为n ∥β，同选项C ，故不符合题意.综上选B. 2.已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D 且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为________. 答案 24或245解析根据题意可得到以下如图两种情况：可求出BD 的长分别为245或24.3.空间四边形ABCD 的两条对棱AC 、BD 的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH 在平移过程中，周长的取值范围是 ________. 答案 (8,10)解析设DH DA ＝GHAC ＝k ，∴AH DA ＝EHBD＝1－k ，∴GH＝5k，EH＝4(1－k)，∴周长＝8＋2k.又∵0<k<1，∴周长的范围为(8,10).4.平面α内有△ABC ，AB ＝5，BC ＝8，AC ＝7，梯形BCDE 的底DE ＝2，过EB 的中点B 1的平面β∥α，若β分别交EA 、DC 于A 1、C 1，求△A 1B 1C 1 的面积. 解 ∵α∥β，∴A 1B 1∥AB ，B 1C 1∥BC ，又因∠A 1B 1C 1与∠ABC 同向. ∴∠A 1B 1C 1＝∠ABC .又∵cos ∠ABC ＝52＋82－722×5×8＝12，∴∠ABC ＝60°＝∠A 1B 1C 1.又∵B 1为EB 的中点，∴B 1A 1是△EAB 的中位线， ∴B 1A 1＝12AB ＝52，同理知B 1C 1为梯形BCDE 的中位线， ∴B 1C 1＝12(BC ＋DE )＝5.则S △A 1B 1C 1＝12A 1B 1·B 1C 1·sin 60°＝12·52·5·32＝258 3. 故△A 1B 1C 1的面积为2583.5.如图，四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形， PD ＝DC ＝4，AD ＝2，E 为PC 的中点. (1)求三棱锥A —PDE 的体积；(2)AC 边上是否存在一点M ，使得P A ∥平面EDM ？若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由.解 (1)因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD . 又因ABCD 是矩形，所以AD ⊥CD . 因PD ∩CD ＝D ，所以AD ⊥平面PCD ，所以AD 是三棱锥A —PDE 的高. 因为E 为PC 的中点，且PD ＝DC ＝4，所以S△PDE＝12S△PDC＝12×⎝⎛⎭⎫12×4×4＝4.又AD＝2，所以V A—PDE＝13AD·S△PDE＝13×2×4＝83.(2)取AC中点M，连接EM，DM，因为E为PC的中点，M是AC的中点，所以EM∥P A.又因为EM⊂平面EDM，P A⊄平面EDM，所以P A∥平面EDM.所以AM＝12AC＝ 5.即在AC边上存在一点M，使得P A∥平面EDM，AM的长为 5.。

2015年高考数学(理)一轮总复习课件：专题突破5+高考解析几何问题的求解策略(共34张PPT)

第二十九页，编辑于星期五：十一点五十四分。
【解】 (1)依题意知 F0，p2，圆心 Q 在线段 OF 的垂直平分线 y＝p4上，
因为抛物线 C 的准线方程为 y＝－p2，所以34p＝34，即 p＝1. 因此抛物线 C 的方程为 x2＝2y.
第三十页，编辑于星期五：十一点五十四分。
(2)假设存在点 M(x0，x220)(x0>0)满足条件，抛物线 C 在点 M 处的切线斜率为 y′|x＝x0＝x22′|x＝x0＝x0，
第三页，编辑于星期五：十一点五十四分。
【规范解答】 (1)椭圆中心在原点，焦点在 x 轴上．设椭圆的方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0) ，因为抛物线 x2＝4y 的焦点为(0,1)，所以 b＝1. 由离心率 e＝ac＝ 22，a2＝b2＋c2＝1＋c2，从而得 a＝ 2，∴椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.
A.x82＋y22＝1
B.1x22 ＋y62＝1
C.1x62 ＋y42＝1
D.2x02 ＋y52＝1
第七页，编辑于星期五：十一点五十四分。
【解析】 ∵椭圆的离心率为 23， ∴ac＝ a2a－b2＝ 23，∴a＝2b. ∴椭圆方程为 x2＋4y2＝4b2. ∵双曲线 x2－y2＝1 的渐近线方程为 x±y＝0， ∴渐近线 x－y＝0 与椭圆 x2＋4y2＝4b2 在第一象限的交点为(2 5 5b，2 5 5b)，
所以存在 A，B 满足O→A＝12O→B，此时直线 AB 的方程为 y
＝±
3 3 x.
第二十七页，编辑于星期五：十一点五十四分。
【反思启迪】 1.第(2)问求解的关键，依据 O，A，B 三点共线，利用向量相等，寻找坐标的关系，建立 k 的方程．

高中数学解析几何深度练习题及答案

高中数学解析几何深度练习题及答案1. 平面几何题目一：已知平面上三点A(1, -2)，B(3, 4)，C(7, 1)，求证：三角形ABC为等腰三角形。

解答：首先计算AB、AC、BC的长度，分别利用两点之间的距离公式：AB = √[(3-1)^2 + (4-(-2))^2] = √[4 + 36] = √40AC = √[(7-1)^2 + (1-(-2))^2] = √[36 + 9] = √45BC = √[(7-3)^2 + (1-4)^2] = √[16 + 9] = √25由于AB的平方等于BC的平方，即AB^2 = BC^2，可以得出AB = BC。

因此，三角形ABC为等腰三角形。

题目二：已知平面上直线L1过点A(2, -1)，斜率为k，与直线L2：3x + ky + 5 = 0 互相垂直，求k的值。

解答：首先计算直线L2的斜率：L2: 3x + ky + 5 = 0化简得：ky = -3x - 5因此，L2的斜率k2为 -3/k。

由于L1与L2互相垂直，根据垂直直线的特性可知斜率k1与k2之积为 -1。

即 k * (-3/k) = -1。

解上述方程可以得出：k^2 = 3，因此k的两个解为k = √3 和 k = -√3。

题目三：已知直线L1：4x + 3y - 2 = 0 与直线L2垂直，并且直线L2通过点A(5,-1)，求直线L2的方程式。

解答：由于L1与L2垂直，它们的斜率之积为 -1。

L1的斜率为 -4/3，所以L2的斜率为 3/4。

通过点斜式可以得到L2的方程式：y - (-1) = (3/4)(x - 5)化简得到：y = (3/4)x + 2因此，直线L2的方程式为：y = (3/4)x + 2。

2. 空间几何题目一：已知直线L1：x = 3 - 2t，y = 5 + 3t，z = -1 + 4t，求直线L1的参数方程。

解答：直线的参数方程为x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct，其中(a, b, c)为直线的方向向量。

2015年高考数学总复习(人教A版,理科)配套教案：第九章解析几何 9.6

§9.6双曲线1.双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a<2c)，则点P的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0：(1)当a<c时，P点的轨迹是双曲线；(2)当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；(3)当a>c时，P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( × ) (2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( × )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线).( √ )2.若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A. 5B.5C. 2D.2答案 A解析焦点(c,0)到渐近线y ＝ba x 的距离为bc a 2＋b 2＝2a ，解得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2，∴离心率e ＝ca＝ 5.3.(2013·福建)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.25B.45C.255D.455答案 C解析双曲线的顶点(2,0)到渐近线y ＝±12x 的距离d ＝25＝255.4.(2012·天津)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：x 24－y 216＝1有相同的渐近线，且C 1的右焦点为F (5，0)，则a ＝________，b ＝________. 答案 1 2解析与双曲线x 24－y 216＝1有共同渐近线的双曲线的方程可设为x 24－y 216＝λ，即x 24λ－y 216λ＝1.由题意知c ＝5，则4λ＋16λ＝5⇒λ＝14，则a 2＝1，b 2＝4.又a >0，b >0，故a ＝1，b ＝2.5.(2012·辽宁)已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________. 答案 2 3解析设P 在双曲线的右支上，|PF 2|＝x (x >0)，|PF 1|＝2＋x ，因为PF 1⊥PF 2，所以(x ＋2)2＋x 2＝(2c )2＝8，所以x ＝3－1，x ＋2＝3＋1，所以|PF 2|＋|PF 1|＝2 3.题型一双曲线的定义及标准方程例1 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________.(2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程为__________. (3)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________.思维启迪设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，求双曲线方程，即求a 、b ，为此需要关于a 、b 的两个方程，由题意易得关于a 、b 的两个方程；也可根据双曲线的定义直接确定a 、b 、c ；根据双曲线的定义求轨迹方程.(注意条件) 答案 (1)x 24－y 23＝1 (2)y 22－x 24＝1(3)x 2－y 28＝1(x ≤－1) 解析 (1)椭圆x 216＋y 29＝1的焦点坐标为F 1(－7，0)，F 2(7，0)，离心率为e ＝74.由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，因此a 2＋b 2＝7.又双曲线的离心率e ＝a 2＋b 2a ＝7a ，所以7a ＝274，所以a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线的方程为x 24－y 23＝1.(2)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝k ，将点(2，－2)代入得k ＝222－(－2)2＝－2.∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.(3)如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B . 根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |，因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8. 故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1). 思维升华求双曲线的标准方程的基本方法是定义法和待定系数法.待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值.如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ (λ≠0)，再由条件求出λ的值即可.利用定义时，要特别注意条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支.(1)(2012·湖南)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1(2)设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )A.x 242－y 232＝1 B.x 2132－y 252＝1 C.x 232－y 242＝1D.x 2132－y 2122＝1 答案 (1)A (2)A解析 (1)根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解. ∵x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，∴c ＝5＝a 2＋b 2.①又双曲线渐近线方程为y ＝±ba x ，且P (2,1)在渐近线上，∴2ba＝1，即a ＝2b .②由①②解得a ＝25，b ＝5，则C 的方程为x 220－y 25＝1，故应选A.(2)由题意知椭圆C 1的焦点坐标为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，设曲线C 2上的一点P ，则||PF 1|－|PF 2||＝8.由双曲线的定义知：a ＝4，b ＝3. 故曲线C 2的标准方程为x 242－y 232＝1.题型二双曲线的几何性质例2 (1)(2013·浙江)如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62(2)若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A.[3－23，＋∞)B.[3＋23，＋∞)C.[－74，＋∞)D.[74，＋∞) 思维启迪 (1)求圆锥曲线的离心率e ，可以求出a ，c 的关系式，进而求出e .(2)在圆锥曲线中求某一量的值或范围，一定要注意圆锥曲线本身的x ，y 的取值范围. 答案 (1)D (2)B解析 (1)|F 1F 2|＝2 3.设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1.∵|AF 2|＋|AF 1|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ， ∴|AF 2|＝2＋a ，|AF 1|＝2－a . 在Rt △F 1AF 2中，∠F 1AF 2＝90°， ∴|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，即(2－a )2＋(2＋a )2＝(23)2， ∴a ＝2，∴e ＝c a ＝32＝62.故选D.(2)由条件知a 2＋1＝22＝4，∴a 2＝3， ∴双曲线方程为x 23－y 2＝1，设P 点坐标为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋2，y )， ∵y 2＝x 23－1， ∴OP →·FP →＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1 ＝43x 2＋2x －1＝43(x ＋34)2－74. 又∵x ≥3(P 为右支上任意一点)， ∴OP →·FP →≥3＋2 3.故选B.思维升华在研究双曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e ＝c a 是一个比值，故只需根据条件得到关于a 、b 、c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形求e ，并且需注意e >1.同时注意双曲线方程中x ，y 的范围问题.(1)(2013·课标全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A.y ＝±14xB.y ＝±13xC.y ＝±12xD.y ＝±x(2)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2F A →，则此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.2D. 5答案 (1)C (2)C解析 (1)由e ＝c a ＝52知，a ＝2k ，c ＝5k (k ∈R ＋)，由b 2＝c 2－a 2＝k 2知b ＝k .所以b a ＝12.即渐近线方程为y ＝±12x .故选C.(2)如图，∵FB →＝2F A →， ∴A 为线段BF 的中点， ∴∠2＝∠3.又∠1＝∠2，∴∠2＝60°， ∴ba＝tan 60°＝3， ∴e 2＝1＋(ba )2＝4，∴e ＝2.题型三直线与双曲线的位置关系例3 已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值. 思维启迪本题主要考查直线与双曲线的位置关系，解题关键是联立方程用根与系数的关系求解.解 (1)双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)>0，解得－2<k <2且k ≠±1.双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2). (2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与y 轴交于点D (0，－1)，由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|>|x 2|时， S △OAB ＝S △OAD －S △OBD ＝12(|x 1|－|x 2|)＝12|x 1－x 2|；当A ，B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时， S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|.∴S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，∴(x 1－x 2)2＝(22)2，即(－2k1－k 2)2＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62.又∵－2<k <2，且k ≠±1，∴当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2.思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定. (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3.(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 左支交于A 、B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围. 解 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0).由已知得：a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )、B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得，(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝36(1－k 2)>0，x A＋x B＝62k1－3k2<0，x A x B＝－91－3k2>0，解得33<k <1. ∴当33<k <1时，l 与双曲线左支有两个交点. (3)由(2)得：x A ＋x B ＝62k1－3k 2， ∴y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2) ＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k 2.∴AB 的中点P 的坐标为(32k 1－3k 2，21－3k 2).设直线l 0的方程为：y ＝－1kx ＋m ，将P 点坐标代入直线l 0的方程，得m ＝421－3k 2.∵33<k <1，∴－2<1－3k 2<0. ∴m <－2 2.∴m 的取值范围为(－∞，－22).忽视“判别式”致误典例：(12分)已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A 、B 两点，且点P 是线段AB 的中点？易错分析由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误.规范解答解设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意.[2分]设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋1－k .[3分]由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0 (2－k 2≠0).① [6分] ∴x 0＝x 1＋x 22＝k (1－k )2－k 2. 由题意，得k (1－k )2－k 2＝1，解得k ＝2.[8分] 当k ＝2时，方程①成为2x 2－4x ＋3＝0.Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解.[11分]∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点.[12分]温馨提醒 (1)本题是以双曲线为背景，探究是否存在符合条件的直线，题目难度不大，思路也很清晰，但结论却不一定正确.错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断，从而导致错误，因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的.(2)本题属探索性问题.若存在，可用点差法求出AB 的斜率，进而求方程；也可以设斜率k ，利用待定系数法求方程.(3)求得的方程是否符合要求，一定要注意检验.方法与技巧1.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝t (t ≠0). 2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的两条渐近线方程.失误与防范1.区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 大小关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b2.2.双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0,1).3.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±a bx . 4.若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况.5.直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.A 组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.(2013·北京)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为 ( )A.y ＝±2xB.y ＝±2xC.y ＝±12x D.y ＝±22x 答案 B解析由e ＝3，知c ＝3a ，得b ＝2a .∴渐近线方程为y ＝±b ax ，y ＝±2x . 2.(2013·湖北)已知0＜θ<π4 ，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的( ) A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D.离心率相等答案 D解析双曲线C 1：e 21＝sin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝1cos 2θ，双曲线C 2：e 22＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin 2θ＝1＋tan 2θ＝1cos 2θ， ∴C 1，C 2离心率相等.3.设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3C.2D.3 答案 B解析设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为l ：x ＝c 或x ＝－c ，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 2＝b 2(c 2a 2－1)＝b 4a2，∴y ＝±b 2a ，故|AB |＝2b 2a ，依题意2b 2a ＝4a ，∴b 2a 2＝2，∴c 2－a 2a 2＝e 2－1＝2，∴e ＝ 3.4.以椭圆x 2169＋y 2144＝1的右焦点为圆心，且与双曲线x 29－y 216＝1的渐近线相切的圆的方程是 ( )A.x 2＋y 2－10x ＋9＝0B.x 2＋y 2－10x －9＝0C.x 2＋y 2＋10x ＋9＝0D.x 2＋y 2＋10x －9＝0答案 A解析由于右焦点(5,0)到渐近线4x －3y ＝0的距离d ＝205＝4，所以所求的圆是圆心坐标为(5,0)，半径为4的圆.即圆的方程为x 2＋y 2－10x ＋9＝0.5.已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A.(1，＋∞)B.(1,2)C.(1,1＋2)D.(2,1＋2)答案 B解析由题意易知点F 的坐标为(－c,0)，A (－c ，b 2a )，B (－c ，－b 2a)，E (a,0)，因为△ABE 是锐角三角形，所以EA →·EB →>0，即EA →·EB →＝(－c －a ，b 2a )·(－c －a ，－b 2a)>0，整理得3e 2＋2e >e 4，∴e (e 3－3e －3＋1)<0，∴e (e ＋1)2(e －2)<0，解得e ∈(0,2)，又e >1，∴e ∈(1,2)，故选B.二、填空题6.已知双曲线的渐近线方程为x ±2y ＝0，且双曲线过点M (4，3)，则双曲线的方程为________.答案 x 24－y 2＝1 解析 ∵双曲线过点M (4，3)，M 在y ＝x 2下方， ∴双曲线焦点在x 轴上，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，又b a ＝12，因此设a ＝2k ，b ＝k (k >0)，∴x 24k 2－y 2k 2＝1，代入M (4，3)解得k ＝1，a ＝2，b ＝1，∴方程为x 24－y 2＝1. 7.已知双曲线x 2n －y 212－n＝1的离心率是3，则n ＝________. 答案 4解析根据双曲线方程得n (12－n )>0，∴0<n <12，∴a 2＝n ，b 2＝12－n ，c 2＝a 2＋b 2＝12，则双曲线的离心率e ＝c a ＝12n＝3，∴n ＝4. 8.(2013·湖南)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a 且△PF 1F 2的最小内角为30°，则双曲线C 的离心率为________.答案 3解析不妨设|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又∵|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .又在△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，由正弦定理得，∠PF 2F 1＝90°，∴|F 1F 2|＝23a ，∴双曲线C 的离心率e ＝23a 2a＝ 3. 三、解答题9.已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10).(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上；(3)在(2)的条件下求△F 1MF 2的面积. (1)解 ∵离心率e ＝2，∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－10)在双曲线上，可得λ＝42－(－10)2＝6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明 ∵点M (3，m )在双曲线上，∴32－m 2＝6，∴m 2＝3，又双曲线x 2－y 2＝6的焦点为F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m )＝(－3)2－(23)2＋m 2＝9－12＋3＝0，∴MF 1⊥MF 2，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上.(3)解 21MF F S ＝12×43×|m |＝6.10.直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A 、B .(1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.解 (1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1后，整理得(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0. ① 依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，故⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－2≠0，Δ＝(2k )2－8(k 2－2)>0，－2kk 2－2>0，2k 2－2>0.解得k 的取值范围是－2<k <－ 2.(2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则由①式得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k2－k 2，x 1·x 2＝2k 2－2.② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F (c,0).则由F A ⊥FB 得：(x 1－c )(x 2－c )＋y 1y 2＝0.即(x 1－c )(x 2－c )＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0.整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(k －c )(x 1＋x 2)＋c 2＋1＝0. ③把②式及c ＝62代入③式化简得5k 2＋26k －6＝0.解得k ＝－6＋65或k ＝6－65∉(－2，－2)(舍去)，可知存在k ＝－6＋65使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点.B 组专项能力提升(时间：30分钟)1.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( ) A. 2B. 3C.3＋12D.5＋12答案 D解析设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，而k BF ＝－b c ， ∴b a ·(－b c)＝－1，整理得b 2＝ac .∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故选D. 2.(2013·重庆)设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤233，2 B.⎣⎡⎭⎫233，2 C.⎝⎛⎭⎫233，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫233，＋∞ 答案 A解析由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称.又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°且小于等于60°，即tan 30°<b a ≤tan 60°，∴13<b 2a 2≤3.又e 2＝(c a )2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，∴43<e 2≤4，∴233<e ≤2，故选A.3.已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率是( ) A.4＋2 3 B.3－1 C.3＋12 D.3＋1答案 D解析因为MF 1的中点P 在双曲线上，|PF 2|－|PF 1|＝2a ，△MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a ，所以e ＝c a ＝23－1＝3＋1，故选D. 4.(2013·辽宁)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点.若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________.答案 44解析由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5，∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点，且|PQ |＝|QA |＋|P A |＝4b ＝16，由双曲线定义，得|PF |－|P A |＝6，|QF |－|QA |＝6.∴|PF |＋|QF |＝12＋|P A |＋|QA |＝28，因此△PQF 的周长为|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.5.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________.答案 53解析由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a .又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2. 要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值，∴当cos ∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝53，即e 的最大值为53.6.已知离心率为45的椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为234.(1)求椭圆及双曲线的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，在第二象限内取双曲线上一点P ，连接BP 交椭圆于点M ，连接P A 并延长交椭圆于点N ，若BM →＝MP →，求四边形ANBM 的面积.解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则根据题意知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 且满足⎩⎨⎧ a 2－b 2a ＝45，2a 2＋b 2＝234，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝25，b 2＝9. ∴椭圆的方程为x 225＋y 29＝1，双曲线的方程为x 225－y 29＝1. (2)由(1)得A (－5,0)，B (5,0)，|AB |＝10，设M (x 0，y 0)，则由BM →＝MP →得M 为BP 的中点，所以P 点坐标为(2x 0－5,2y 0).将M 、P 坐标代入椭圆和双曲线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2025＋y 209＝1，(2x 0－5)225－4y 209＝1，消去y 0，得2x 20－5x 0－25＝0.解之，得x 0＝－52或x 0＝5(舍去).∴y 0＝332. 由此可得M (－52，332)，∴P (－10,33). 当P 为(－10,33)时，直线P A 的方程是y ＝33－10＋5(x ＋5)，即y ＝－335(x ＋5)，代入x 225＋y 29＝1，得2x 2＋15x ＋25＝0.所以x ＝－52或－5(舍去)， ∴x N ＝－52，x N ＝x M ，MN ⊥x 轴. ∴S 四边形ANBM ＝2S △AMB ＝2×12×10×332＝15 3.。

2015年高中数学立体几何解答题汇编(有答案)

2014年12月28日高中数学立体几何一．解答题（共30小题）1．（2015•惠州模拟）如图所示的多面体中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，．（1）求证：平面BCF∥面AED；（2）若BF=BD=a，求四棱锥A﹣BDEF的体积．是菱形，，则∵∴2．（2015•赤峰模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形A1ABB1为菱形，∠A1AB=45°，四边形BCC1B1为矩形，若AC=5，AB=4，BC=3．（1）求证：AB1⊥平面A1BC；（2）求三棱锥C﹣A1B1C1的体积．=，3．（2015•重庆一模）如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB 为正三角形．（1）求证：DM∥平面APC；（2）求证：平面ABC⊥平面APC；（3）若BC=4，AB=20，求三棱锥D﹣BCM的体积．DM=5，PC==2=×=2∴4．（2015•开封模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，BC⊥CD，BC=CD=AD．（Ⅰ）若E为PD中点，证明：CE∥平面APB；（Ⅱ）若PA=PB，PC=PD，证明：平面APB⊥平面ABCD．EF，因为BC，EF5．（2015•兴国县一模）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=2，E为CD中点．（1）求证：B1E⊥AD1；（2）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长．若不存在，说明理由．平行且等于6．（2014•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M 为BC上一点，且BM=．（Ⅰ）证明：BC⊥平面POM；（Ⅱ）若MP⊥AP，求四棱锥P﹣ABMO的体积．BAD=，BM=BAD=，（BM=OBM=OBM=（，ABM===，，即PO=，•OM=V=S PO=7．（2014•辽宁）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F、G分别为AC、DC、AD的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCG；（Ⅱ）求三棱锥D﹣BCG的体积．附：锥体的体积公式V=Sh，其中S为底面面积，h为高．=，==8．（2014•上海）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．=9．（2014•湖南）如图，已知二面角α﹣MN﹣β的大小为60°，菱形ABCD在面β内，A、B两点在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O．（Ⅰ）证明：AB⊥平面ODE；（Ⅱ）求异面直线BC与OD所成角的余弦值．，，连ADO==所成角的余弦值为10．（2014•江西）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥BC，A1B⊥BB1，（1）求证：A1C⊥CC1；（2）若AB=2，AC=，BC=，问AA1为何值时，三棱柱ABC﹣A1B1C1体积最大，并求此最大值．BC= AO=O==，V==，即h=时棱柱的体积最大，最大值为：11．（2014•四川）在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形（Ⅰ）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）设D、E分别是线段BC、CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．MD=AC12．（2014•开封二模）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．．，则的面积，故三棱柱的体积13．（2014•安徽）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2，点G，E，F，H 分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH．（Ⅰ）证明：GH∥EF；（Ⅱ）若EB=2，求四边形GEFH的面积．∴KB=GK=PO，，PO==S==1814．（2014•江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．PA=3BC=415．（2014•北京）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥B1BCC1；（Ⅱ）求证：C1F∥平面ABE；（Ⅲ）求三棱锥E﹣ABC的体积．，可求三棱锥AB==16．（2011•江西）（1）如图，对于任一给定的四面体A1A2A3A4，找出依次排列的四个相互平行的α1，α2，α3，α4，使得A i∈αi（i=1，2，3，4），且其中每相邻两个平面间的距离都相等；（2）给定依次排列的四个相互平行的平面α1，α2，α3，α4，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体A1A2A3A4的四个顶点满足：A i∈αi（i=1，2，3，4），求该正四面体A1A2A3A4的体积．，，a，a，﹣，，﹣（﹣，，﹣，a a=（﹣a的法向量=即=，﹣，﹣的距离a=由此可得，边长为V=Sh=××a=17．（2013•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P﹣BDF的体积．的高的．求出，，∴的高的．BCD=．=×．18．（2011•福建）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，∠CDA=45°．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PAD；（Ⅱ）设AB=AP．（i）若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长；（ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由．=，得的一个法向量为=或19．（2011•扬州模拟）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E=λEO．（1）若λ=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；（2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值．为单位正交基底建立如图，以，cos=所成角的余弦值为=0=0E•=020．（2014•北京）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F 为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．（1）求证：AB∥FG；（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．n，即，|=|，所成的角为可设n，∴）PH=21．（2014•西藏一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1（Ⅰ）求证：CD=C1D；（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值；（Ⅲ）求点C到平面B1DP的距离．∴∴，的一个法向量为=⇒=∴x=；的一个法向量为＜的平面角的余弦值为）∵的一个法向量为⇒，∴d=22．（2014•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．的方向向量，根据•，求出向量∴，∵=0）∵=，的法向量，得，则=，所成角的正弦值为）∵===上，设λ===•=2，，，）=，得，则的法向量=23．（2014•湖南）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．（Ⅰ）证明：O1O⊥底面ABCD；（Ⅱ）若∠CBA=60°，求二面角C1﹣OB1﹣D的余弦值．OB=OD=，（=的一个法向量，则，即，则，所以，﹣），＞|=||=的余弦值为24．（2014•河南）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．为坐标原点，||为单位长度，轴的正方向，的为坐标原点，的方向为||轴的正方向，），，∴，，=，==，可取，=，﹣，＜，=25．（2014•广东）如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD 于点E．（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．PD=DF===，又∴EF=CD=，（（，，=，∴，∴=，=（，＞=26．（2014•广西）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．E=，DF=，arctan27．（2014•山东）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．，，，，，，，﹣）的法向量=的法向量=CDAM，），，∴，（﹣，，﹣的法向量，∴的法向量，==所成的角（锐角）的余弦值为28．（2014•浙江）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=．（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣E的大小．，BFG==BD=BC=，AC=AD=得；AD=，BAE=BG=，BFG=，二面角的大小为．29．（2014•河东区二模）在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD 的中点，PA=2AB=2．（Ⅰ）求四棱锥P﹣ABCD的体积V；（Ⅱ）若F为PC的中点，求证：平面PAC⊥平面AEF；（Ⅲ）求二面角E﹣AC﹣D的大小．∴∴∴∴，又∴30．（2014•河北模拟）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k（k＞0）．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ADD1A1；（Ⅱ）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值．为原点，，，所成角的正弦值为，建立方程，即可求为原点，，的方向为=，的法向量=，得，。

2015年广东省高考数学冲刺压轴理科试卷(二)(有答案)

2015年高考冲刺压轴卷·广东卷数学（理卷二）本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0．5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0．5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．参考公式：①体积公式：1=,=3V S h V S h ⋅⋅柱体锥体，其中V S h ，，分别是体积，底面积和高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2015·广东省佛山市二模·1）集合{}40 <<∈=x N x A 的子集个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．82．（2015·广东省肇庆市三模·1）设i 为虚数单位，则复数)1(i i z -=对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（2015·广东省广州市二模·2）已知0a b >>，则下列不等关系式中正确的是（）A ．sin sin a b >B ．22log log a b <C ．1122a b <D ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．（2015·广东省惠州市二模·5）在ABC ∆中，2=AB ，3=AC ，3AB AC ⋅=，则=BC ( )A BCD 5．（2015·广东省揭阳市二模·4）已知1sin()3πα+=，则cos2α=（）A.429B.89C.79-D.796．（2015·广东省深圳市二模·4）如图1，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸，则该墨水瓶的容积为（）（瓶壁厚度忽略不计）A ．π8+B ．π48+C ．π16+D ．π416+7．（2015·广东省湛江市二模·5）在右图所示的程序框图中，输出的i 和s 的值分别为（）．A ．3,21B ．3,22C ．4,21D ．4,228．（2015·广东省汕头市二模·7）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．（2015·广东省佛山市二模·9）不等式112<-x 的解集为．10．（2015·广东省肇庆市三模·10）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给图1 121221正视图侧视图俯视图4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有种（用数字作答）．11．（2015·广东省惠州市二模·9）设0,0a b >>，若1a b +=，则11a b +的最小值为__________．12．（2015·广东省茂名市二模·12）已知直线1y kx =+与曲线b ax x y ++=3相切于点(1，3)，则b 的值为．13．（2015·广东省深圳市二模·12）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知153=S ，1539=S ，则=6S ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（2015·广东省汕头市二模·14）15．（2015·广东省佛山市二模·15）（几何选讲）如图1，AB 是圆O 的直径，CD ⊥AB 于D ，且AD ＝2BD ，E 为AD 的中点，连接CE 并延长交圆O 于F ，若2=CD ，则EF ＝．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（2015·广东省肇庆市三模·16）（本小题满分12分）已知函数x x x x f 2cos )23sin()sin(3)(-++=ππ．（1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）若]0,2[πθ-∈，103)32(=+πθf ，求)42sin(πθ-的值．17．（2015·广东省广州市二模·17）（本小题满分12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了n 份，统计结果如下面的图表所示．组号年龄分组答对全卷的人数答对全卷的人数占本组的概率1 [20,30) 28 b2[30,40)270.9EAO BDCF 图13 [40,50) 5 0.5 4[50,60]a0.4（1）分别求出a ，b ，c ，n 的值；（2）从第3，4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人，在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”，记X 为第3组被授予“环保之星”的人数，求X 的分布列与数学期望．18．（2015·广东省惠州市二模·18）（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD AD ===，1BC =，3CD =．（1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）若二面角M BQ C --为 30，设PM t MC =⋅，试确定 t 的值．19．（2015·广东省揭阳市二模·18）(本小题满分14分)已知等比数列{}n a 满足：0n a >，15a =，n S 为年龄频率/组距 30 40 50 600.010c 0.0350.025 0 MPCABDQ其前n 项和，且13220S S S ，，7成等差数列．（1）求数列{n a }的通项公式；（2）设525452+2log log log n n b a a a =+++，求数列{1nb }的前n 项和n T ．20．（2015·广东省茂名市二模·20）（本小题满分14分）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点P ，离心率为12，过直线4:=x l 上一点M 引椭圆E 的两条切线，切点分别是A 、B ．（1）求椭圆E 的方程；（２）是否存在实数λ，使得BC AC BC AC ⋅=+λ恒成立？(点C 为直线AB 恒过的定点)若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．（2015·广东省深圳市二模·21）（本小题满分14分）已知函数xbax x x f +-=ln )(，对任意的),0(∞+∈x ，满足0)1()(=+xf x f ，其中b a ,为常数．（1）若)(x f 的图像在1=x 处切线过点)5,0(-，求a 的值；（2）已知10<<a ，求证：0)2(2>a f ；（3）当)(x f 存在三个不同的零点时，求a 的取值范围．2015年高考冲刺压轴卷·广东卷数学（理卷二）参考答案与解析1．D【命题立意】本题旨在考查集合的子集个数．【解析】集合A 的元素是自然数，所以A ＝｛1,2,3｝,共3个元素，其子集个数为23＝8个．故选:D 2．A【命题立意】本题考查复数的乘法运算法则、考查复数的几何意义．【解析】z=i （1-i ）=1+i 所以z 对应的点为（1，1）所以z 对应的点位于第一象限，故选A ． 3．D【命题立意】考查不等式的性质，容易题. 【解析】因为2ππ>，则sin sin2ππ<，所以选项A 错误；因为b a >，则22log log a b >，所以选项B错误；若0a b >>，则1122a b >，所以选项C 错误；若0a b >>，则1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以选项D 正确.4．B【命题立意】本题考查向量的数量积运算及余弦定理．【解析】13cos 2AB AC A ⋅=⇒=，又由余弦定理知7=BC ． 5．D【命题立意】考查诱导公式、二倍角公式，容易题. 【解析】由1sin()3πα+=得31sin -=α，∴97)31(21sin 212cos 22=⨯-=-=αα. 6．C【命题立意】本题考查了三视图和体积公式．【解析】几何体为圆柱体和长方体的组合体，∴24216V ππ=+⨯⨯=+．故选C ． 7．D【命题立意】本题考查程序框图．【解析】按程序框图的流水方向一步一步推到，或者寻找出规律即可，步骤略． 8．A【命题立意】本题考查的知识点是直方图和茎叶图．【解析】由频率分布直方图可知：第一组的频数为20×0.01×5=1个， [0，5）的频数为20×0.01×5=1个，[5，10）的频数为20×0.01×5=1个， [10，15）频数为20×0.04×5=4个， [15，20）频数为20×0.02×5=2个， [20，25）频数为20×0.04×5=4个， [25，30）频数为20×0.03×5=3个， [30，35）频数为20×0.03×5=3个， [35，40]频数为20×0.02×5=2个，则对应的茎叶图为A ，故选A 9．()0,1【命题立意】本题旨在考查绝对值不等式的解法．【解析】211,1211,01x x x -<∴-<-<∴<<，所以不等式的解集为()0,1故答案为：()0,1 10．10【命题立意】本题考查分类计数原理问题，关键是如何分类．【解析】由题意知本题是一个分类计数问题一是3本集邮册一本画册，让一个人拿本画册就行了4种另一种情况是2本画册2本集邮册，只要选两个人拿画册24C =6种根据分类计数原理知共10种，故答案为：10 11．4【命题立意】本题考查基本不等式,“1”的代换．【解析】1111()()1b a b a b a b a +=++=+124a b ++≥+=，当且仅当a b =时取等号，所以11a b +的最小值为4． 12．3【命题立意】考查导数的几何意义，容易题．【解析】 b ax x y ++=3，∴a x y +='23，切点为)3,1(，∴13+=k ，即2=k ，∴2132=+⨯a ，∴1-=a ，∴b +⨯-=11133，所以3b =．13．66【命题立意】本题考查等差数列的前n 项和的计算．【解析】在等差数列中，3S ，63S S -，96S S -也成等差数列，即15，615S -，6153S -成等差数列，则62(15)S -=615315S -+，即666S =．故答案为:66．14．【命题立意】本题旨在考查参极坐标方程．【解析】．故答案为．1523【命题立意】本题旨在考查相交弦定理和三角形的相似．【解析】在Rt ABC ∆中，CD ⊥AB 于D ，所以CD 2＝AD ·BD ＝2BD 2＝2， ∴DB ＝AE ＝ED ＝1∴223CE BC BD CD ==+=ACE ∽△FBE ，AE CEEF BE∴=，故23AE BE EF CE ⨯==2316．（1）π（2）312【命题立意】本题考查的是二倍角公式，辅助角公式以及和差公式进行化简求值．【解析】（1）x x x x f 2cos cos sin 3)(-=（2分）212cos 2sin 23+-=x x （4分） 21)62sin(--=πx （5分）所以函数)(x f 的最小正周期ππ==22T ．（6分）（2）由（1）得21cos 21)2sin(21]6)32(2sin[)32(-=-+=--+=+θπθππθπθf ，（7分）由10321cos =-θ，得54cos =θ．（8分）因为]0,2[πθ-∈，所以53sin -=θ．（9分）所以2524cos sin 22sin -==θθθ，2571cos 22cos 2=-=θθ，（11分）所以502314sin2cos 4cos2sin )42sin(-=-=-πθπθπθ．（12分） 17．（1）10=a ，8.0=b ，03.0=c ，100=n ；（2）32. 【命题立意】考查频率分布直方图，分层抽样，随机变量的分布列、期望，中等题. 【解析】（1）根据频率直方分布图，得()0.0100.0250.035101c +++⨯=，解得0.03c =．第3组人数为105.05=÷，所以1001.010=÷=n ．第1组人数为1000.3535⨯=，所以28350.8b =÷=．第4组人数为2525.0100=⨯，所以250.410a =⨯=．（2）因为第3，4组答对全卷的人的比为5:101:2=，所以第3，4组应依次抽取2人，4人. 依题意X 的取值为0，1，2．()022426C C 20C 5P X ===，()112426C C 81C 15P X ===，()202426C C 12C 15P X ===，所以X 的分布列为：X 0 12P25 815 115所以2812012515153EX =⨯+⨯+⨯=． 18．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）3【命题立意】本题考查平面与平面垂直的证明，求实数的取值．【解析】（Ⅰ）证法一：∵AD ∥BC ，BC=12AD ，Q 为AD 的中点， ∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD ∥BQ ． …………………1分 ∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB ⊥AD ． …………………2分又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD∩平面ABCD=AD ，…………………4分 ∴BQ ⊥平面PAD ． …………………5分 ∵BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面PAD ． …………………6分证法二：AD ∥BC ，BC=12AD ，Q 为AD 的中点，∴四边形BCDQ 为平行四边形， ∴CD ∥BQ ． …………………1分 ∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB ⊥AD ． …………………2分∵PA=PD ，∴PQ ⊥AD ． …………………3分 ∵PQ∩BQ=Q PBQ 平面、⊂BQ PQ ， …………………4分 ∴AD ⊥平面PBQ ． …………………5分 ∵AD ⊂平面PAD ，∴平面PQB ⊥平面PAD ． …………………6分（Ⅱ）法一：∵PA=PD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD ．∵面PAD ⊥面ABCD ，且面PAD∩面ABCD=AD ，∴PQ ⊥面ABCD ．……………7分如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC 的法向量为(0,0,1)n =；……8分(0,0,0)Q ，3)P ，3,0)B ，(3,0)C -．设(,,)M x y z ，则(,,3)PM x y z =，(13,)MC x y z =---……9分PM t MC =⋅,∴1(1)33)13()31t x t x t x t y t y y t z t z z t ⎧=-⎪+=--⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨+⎪⎪-=-⎩⎪=⎪+⎩，………10分在平面MBQ 中，(0,3,0)QB =，33,,111t t QM t t t ⎛⎫=- ⎪ ⎪+++⎝⎭，∴平面MBQ 法向量为(3,0,)m t =．……12分 ∵二面角M BQ C --为30°，∴23cos3030n m n mt ⋅︒===⋅++3t =……14分法二：过点M 作MO //PQ 交QC 于点O ，过O 作OE ⊥QB 交于点E ，连接ME ，因为PQ ⊥面ABCD ,所以MO ⊥面ABCD ，由三垂线定理知ME ⊥QB ，则MEO ∠为二面角M BQ C --的平面角。

2015高考数学第二轮复习专题讲解解析几何 (含试题及答案)

a
2
）
D．与 P 点位置有关解： A 记 △P F 1 F 2 的内切圆圆心为 C ，边 P F 1 、 P F 2 、、 D ，易见点 C 、 D 的横坐标相等，如图，
c
F1 F2
上的切点分别为
M
、
N
可得 |P M | = |P N | ，|F 1 M | = |F 1 D| ，|F 2 N | = |F 2 D| ．由 |P F 1 | − |P F 2 | = 2a ，即
|P M | + |M F 1 | − (|P N | + |N F 2 |) = 2a,
得 |M F 1 | − |N F 2 | = 2a ，即记点 C 的横坐标为 x 0 ，则练习 1. 已知椭圆 C
x : 9
2
|F 1 D| − |F 2 D| = 2a D (x 0 , 0)
．，得
圆锥曲线定义挖掘描述锥曲线问题可以从曲线的几何性质和代数计算两个角度考虑，圆锥曲线的几何性质中首先需圆要关注的是圆锥曲线的定义．对椭圆来说，是椭圆上任意一点到两个焦点的距离和为定值；对双曲线来说，是双曲线上任意一点到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值为定值；对抛物线来说是，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离．本小节主要关注如何利用这些定义去解决圆锥曲线的一些选择填空题．一般来说，涉及到与焦点相关的问题或与准线（抛物线）相关问题，优先考虑定义，避免直接代数计算．而一般圆锥曲线的解答题或是小题与焦点、准线无关时，才会考虑去做代数计算．已知
易知线段 M F 的中点在抛物线内，且线段 M F 的垂直平分线斜率存在且不为零，故其与抛物线有两个交点，从而满足条件的圆共有 2 个．设双曲线

2015届高考数学(理·湖北)二轮专题复习课件【4】解析几何

【问题引领】 1. 已知椭圆的中心在原点, 离心率 e= , 且它的一个焦点与抛
��
物线 y2=- 4x 的焦点重合, 则此椭圆方程为( A . + =1 C . +y =1 D . +y2= 1
2
) .
��
【答案】 C
| ��| | ��'| ��
| ��| ��
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3. 设点 F 1, F 2 是双曲线 x - = 1 的两个焦点, 点 P 是双曲
2
��
��
P F 1F 2 为直角三角形, 所以△P F 1F 2 的面积 S= ³6³8= 24. ��
【答案】C
��
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4. 已知椭圆 ��+ �� = 1( a>b>0) , M 、N 分别是椭圆的左、右
��
��
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义求解, 变量问题要尽量减少变量, 最值问题要联系均值不等式, 函数的方法或数形结合找到特殊位置. 解题过程中数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想、函数与方程思想都会得以体现 . 在复习中多掌握运算技巧, 有利于提高解题的速度和准确率.
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【课堂新坐标】2015届高考数学(文、理)新一轮专题复习：专题七平面解析几何

专题七平面解析几何1.设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.452.已知双曲线C 1：x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y3.直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于( ) A ．2 5 B ．2 3 C. 3 D ．14.如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A ．3B ．2 C. 3 D. 25.已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－86.椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为( )A.14B.55C.12D.5－2 7.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．8.过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是__________．9.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点P ⎝⎛⎭⎫5a 5，22a 在椭圆上． (Ⅰ)求椭圆的离心率；(Ⅱ)设A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点，若点Q 在椭圆上且满足|AQ |＝|AO |，求直线OQ 的斜率的值．10.(2012·高考江苏卷)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120²(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．11.如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(Ⅰ)求椭圆C 的离心率；(Ⅱ)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．12.已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(Ⅰ)求椭圆C 2的方程；(Ⅱ)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．13.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x2－y2＝1.(1)设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若|MF|＝22，求点M的坐标；(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；(3)设斜率为k(|k|<2)的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥OQ.14.如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程；(Ⅱ)过B1作直线交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面积．专题七平面解析几何1.C 由题意可知∠PF 2x ＝60°，|PF 2|＝（3a2－c ）cos60°＝3a －2c ，由|PF 2|＝|F 1F 2|，得3a －2c ＝2c ，∴e ＝34，故选C.2.D ⎩⎪⎨⎪⎧c a＝2a ·p 2a 2＋b 2＝2，可得p ＝8，故选D.3.B 圆心到直线的距离d ＝|0＋0－2|2＝1，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－1＝2 3.4.B 设椭圆、双曲线的长轴和实轴分别为2a 1，2a 2，则易得a 1＝2a 2，又∵焦距相等， ∴e 2∶e 1＝2.5.C P A 方程为：y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8，同理QA 为：y ＝－2x －2，解得x ＝1，∴y ＝－4.6.B 如图|AF 1|＝a －c ， |F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ， ∴4c 2＝a 2－c 2，∴e ＝c a ＝55.7.43根据题意，x 2＋y 2－8x ＋15＝0，将此化成标准形式为(x －4)2＋y 2＝1，得到该圆的圆心为M (4，0)，半径为1，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需要圆心M (4，0)到直线y ＝kx －2的距离d ≤1＋1＝2即可，所以有d ：|4k －2|k 2＋1≤2，化简得k (3k －4)≤0，解得0≤k ≤43，所以k 的最大值为43.8.(2，2) 设P (x 0，y 0)如图 |PO |＝2.∴⎩⎨⎧x 20＋y 20＝4x 0＋y 0－22＝0. 则x 20＋(x 0－22)2＝4， ∴x 20－22x 0＋2＝0.∴(x 0－2)2＝0，∴x 0＝2，y 0＝ 2.9.解：(Ⅰ)因为点P ⎝⎛⎭⎫55a ，22a 在椭圆上，故a 25a 2＋a 22b 2＝1，可得b 2a 2＝58. 于是e 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝38，所以椭圆的离心率e ＝64.(Ⅱ)设直线OQ 的斜率为k ，则其方程为y ＝kx ，设点Q 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b2＝1. 消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2.①由|AQ |＝|AO |，A (－a ，0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，而x 0≠0，故x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2²a 2b2＋4.由(Ⅰ)知a 2b 2＝85，故(1＋k 2)2＝325k 2＋4，即5k 4－22k 2－15＝0，可得k 2＝5. 所以直线OQ 的斜率k ＝±5.10.解：(1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝20k 1＋k2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根 ⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0 ⇔a ≤6.所以当a 不超过6(千米)时，可击中目标．11.解：(Ⅰ)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(Ⅱ)法一：因为a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，所以bc＝3，直线AB 的方程可为：y ＝－3(x －c )，将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B (85c ，－335c )，所以|AB |＝1＋3²⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1|²|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ²165c ²32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3. 法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a ，由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ，再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos60°可得，t ＝85a ，由S △AF 1B ＝12a ²85a ²32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.12.解：(Ⅰ)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a ＞2)．其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x24＝1.(Ⅱ)法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(Ⅰ)知，O 、A 、B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2，将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k 2，又由OB →＝2OA →得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(Ⅰ)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2，由OB →＝2OA →得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k 2，将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k 2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .13.解：(1)双曲线C ：x 212－y 2＝1，左焦点F ⎝⎛⎭⎫－62，0.设M (x ，y )，则|MF |2＝⎝⎛⎭⎫x ＋622＋y 2＝⎝⎛⎭⎫3x ＋222，由M 点是右支上一点，知x ≥22，所以|MF |＝3x ＋22＝22，得x ＝62.所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫62，±2.(2)由(1)知，左顶点A ⎝⎛⎭⎫－22，0，渐近线方程：y ＝±2x .过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为：y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.解方程组⎩⎨⎧y ＝－2xy ＝2x ＋1，得⎩⎨⎧x ＝－24，y ＝12.所求平行四边形的面积为S ＝|OA ||y |＝24. (3)设直线PQ 的方程是y ＝kx ＋b ，因直线PQ 与已知圆相切，故|b |k 2＋1＝1，即b 2＝k 2＋1(*)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b2x 2－y 2＝1，得(2－k 2)x 2－2kbx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2kb2－k 2，x 1x 2＝－1－b 22－k 2.又y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )，所以OP →²OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2 ＝（1＋k 2）（－1－b 2）2－k 2＋2k 2b 22－k 2＋b 2 ＝－1＋b 2－k 22－k 2.由(*)知，OP →²OQ →＝0，所以OP ⊥OQ .14.解：(Ⅰ)如图，设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c ，0)．因△AB 1B 2是直角三角形且|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，从而|OA |＝|OB 2|，即b ＝c2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12²|B 1B 2|²|OA |＝|OB 2|²|OA |＝c2²b ＝b 2，由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知B 1(－2，0)、B 2(2，0)．由题意，直线PQ 的倾斜角不为0，故可设直线PQ 的方程为：x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0. (*) 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4mm 2＋5，y 1²y 2＝－16m 2＋5.又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以B 2P →²B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16（m 2＋1）m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，知B 2P →²B 2Q →＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.当m ＝2时，方程(*)化为：9y 2－8y －16＝0，故y 1＝4＋4109，y 2＝4－4109， |y 1－y 2|＝8910，△PB 2Q 的面积S ＝12|B 1B 2|²|y 1－y 2|＝16910.当m ＝－2时，同理可得(或由对称性可得)△PB 2Q 的面积S ＝16910，综上所述，△PB 2Q 的面积为16910.。

【步步高】(广东专用)2015届高考数学二轮复习专题训练八第1讲几何证明选讲理

第1讲几何证明选讲考情解读本讲主要考查相似三角形与射影定理，圆的切线及圆内接四边形的性质与判定定理，圆周角定理及弦切角定理，相交弦、切割线、割线定理等，本部分内容多数涉及圆，并且多是以圆为背景设计的综合性考题，考查逻辑推理能力．1．(1)相似三角形的判定定理判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．(2)相似三角形的性质①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方．(3)直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．2．(1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．3．(1)圆内接四边形的性质定理①圆的内接四边形的对角互补；②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(2)圆内接四边形判定定理如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．4．(1)圆的切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径．(2)圆的切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3)弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． (4)相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． (5)切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 5．证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换．6．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比．由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．热点一相似三角形及射影定理例1 如图所示，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，且AD ∶BD ＝9∶4，则AC ∶BC 的值为________．答案 3∶2解析方法一因为∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，所以由射影定理，得AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB . 所以(AC BC)2＝AD ·AB BD ·AB ＝ADBD.又AD ∶BD ＝9∶4，所以AC ∶BC ＝3∶2.方法二因为AD ∶BD ＝9∶4，所以可设AD ＝9k ，BD ＝4k ，k ∈R ＋. 又∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，由射影定理，得CD 2＝AD ·BD ，所以CD ＝6k .由勾股定理，得AC ＝313k 和BC ＝213k ，所以AC ∶BC ＝3∶2.思维升华含斜边上的高的直角三角形是相似三角形中的基本图形，本题中出现多对相似三角形，这为解决问题提供了许多可以利用的有效信息．另外，直角三角形的射影定理是相似三角形的性质在直角三角形中的一个经典应用，在类似问题中应用射影定理十分简捷．如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD＝12，BE 的长为________．答案 4 2解析 ∵AC ＝4，AD ＝12，∠ACD ＝90°， ∴CD 2＝AD 2－AC 2＝128， ∴CD ＝8 2.又∵AE ⊥BC ，∠B ＝∠D ，∴△ABE ∽△ADC ， ∴AB AD ＝BE CD ，∴BE ＝AB ·CD AD ＝6×8212＝4 2. 热点二相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理的应用例2 如图所示，AB 为⊙O 的直径，P 为BA 的延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ，且PA ＝4，PC ＝8，则tan∠ACD 和sin P 的值为________．答案 12，35解析连接OC ，BC .因为PC 为⊙O 的切线，所以PC 2＝PA ·PB . 故82＝4·PB ，所以PB ＝16.所以AB ＝16－4＝12. 由条件，得∠PCA ＝∠PBC ，又∠P ＝∠P ，所以△PCA ∽△PBC . 所以AC BC ＝PCPB.因为AB 为⊙O 的直径，所以∠ACB ＝90°. 又CD ⊥AB ，所以∠ACD ＝∠B . 所以tan∠ACD ＝tan B ＝AC BC ＝PC PB ＝816＝12. 因为PC 为⊙O 的切线，所以∠PCO ＝90°. 又⊙O 直径为AB ＝12，所以OC ＝9，PO ＝10.所以sin P ＝OC PO ＝610＝35.思维升华 (1)求非特殊角的函数值的关键是将这些角归结到直角三角形中，利用直角三角形的边之比表示出角的三角函数值，然后根据已知条件将这些比值转化为已知线段的比值． (2)线段成比例的证明，一般利用三角形相似进行转化，在圆中的相关问题，应注意灵活利用圆中的切割线定理、相交弦定理等求解相关线段的长度或构造比例关系．(2013·某某)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝____________.答案 2 3解析 C 为BD 中点，且AC ⊥BC ，故△ABD 为等腰三角形．AB ＝AD ＝6，∴AE ＝4，DE ＝2，又AE AC＝AC AD⇒AC 2＝AE ·AD ＝4×6＝24，AC ＝26，在△ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝36－24＝2 3.热点三圆的有关性质的综合应用例3 如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E . 若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，则∠BAC 的大小为________．答案 90°解析由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD . 因为∠AEB 与∠ACD 是同弧所对的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD .故△ABE ∽△ADC .所以AB AE ＝ADAC，即AB ·AC ＝AD ·AE .又S ＝12AB ·AC sin∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ，故AB ·AC sin∠BAC ＝AD ·AE ，则sin∠BAC ＝1.又∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝90°.思维升华高考中对几何证明的命题集中在圆和三角形、四边形相结合的综合性题目上，这类试题往往要综合运用多个定理和添加一定的辅助线才能解决．已知圆的切线时，第一要考虑过切点和圆心的连线得直角；第二应考虑弦切角定理；第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理．同时注意四点共圆的判定及性质的应用．(2013·某某)如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D在半径OC 上的射影为E ，若AB ＝3AD ，则CE EO的值为________．答案 8解析易知△CDO ∽△CED ， ∴CD CE ＝CO CD，设圆O 半径为R ，则AD ＝23R ，OD ＝13R ，∴CD 2＝R 2－(13R )2＝89R 2，∴CE ＝CD 2CO ＝89R ，EO ＝19R ，故CEEO＝8.1．证明两角相等，关键是确定两角之间的关系，多利用中间量进行转化，可以通过证明三角形相似或全等，利用平行线的有关定理，如同位角相等、内错角相等等，也可利用特殊平面图形的性质，如利用等腰三角形的两个底角相等、圆中同弧或等弧所对的圆周角相等寻找中间量进行过渡．2．证明或寻找圆内接图形中的角之间的关系，除了注意平面图形中的垂直、平行关系之外，还应注意弦切角、同弧所对角等性质的灵活运用．真题感悟1．(2014·某某)如图，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．答案 32解析如图，延长AO 交圆O 于点D ，连接BD ，则AB ⊥BD . 在Rt△ABD 中，AB 2＝AE ·AD . ∵BC ＝22，AO ⊥BC ，∴BE ＝ 2. ∵AB ＝3，∴AE ＝1， ∴AD ＝3，∴r ＝32.2．(2014·某某)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的面积△AEF 的面积＝_________________________.答案 9解析在平行四边形ABCD 中，因为EB ＝2AE ，所以AE AB ＝13＝AE CD ，故CDAE＝3.因为AE ∥CD ，所以△AEF ∽△CDF ，所以S △CDF S △AEF ＝(CD AE)2＝9. 押题精练1.如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F分别为线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________. 答案 a2解析连接DE ，由于E 是AB 的中点，故BE ＝a 2.又CD ＝a2，AB ∥DC ，CB ⊥AB ，∴四边形EBCD 是矩形．在Rt△ADE 中，AD ＝a ，F 是AD 的中点，故EF ＝a2.2．(2014·某某)如图，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝____________. 答案 3解析 ∵∠A ＝∠A ，∠AEF ＝∠ACB ，∴△AEF ∽△ACB ，∴AC AE ＝BC EF ，∴2＝BC EF，∴EF ＝3.3．(2014·某某改编)如图，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分∠CBF ；②FB 2＝FD ·FA ；③AE ·CE ＝BE ·DE ；④AF ·BD ＝AB ·BF .则所有正确结论的序号是________．答案 ①②④解析对于①，∵BF 是圆的切线， ∴∠CBF ＝∠BAC ，∠4＝∠1. 又∵AD 平分∠BAC ， ∴∠1＝∠2.又∠2＝∠3，∴∠3＝∠4，即BD 平分∠CBF ，故①正确；对于②，根据切割线定理有FB 2＝FD ·FA ，故②正确；对于③，∵∠3＝∠2，∠BED ＝∠AEC ， ∴△BDE ∽△ACE .∴AE BE ＝CE DE，即AE ·DE ＝BE ·CE ，故③错误；对于④，∵∠4＝∠1，∠BFD ＝∠AFB ， ∴△BFD ∽△AFB ，∴BF AF ＝BD AB，即AF ·BD ＝AB ·BF ，故④正确．(推荐时间：40分钟)1．(2014·某某)如图，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B .过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点．若QC ＝1，CD ＝3，则PB ＝________.答案 4解析由切割线定理得QA 2＝QC ·QD ＝4，解得QA ＝2.则PB ＝PA ＝2QA ＝4.2．(2014·某某)过圆外一点P 作圆的切线PA (A 为切点)，再作割线PBC 依次交圆于B ，C .若PA ＝6，AC ＝8，BC ＝9，则AB ＝________.答案 4解析由切割线定理得PA 2＝PB ·PC ＝PB ·(PB ＋BC )，即62＝PB ·(PB ＋9)，解得PB ＝3(负值舍去)．由弦切角定理知∠PAB ＝∠PCA ，又∠APB ＝∠CPA ，故△APB ∽△CPA ，则AB CA ＝AP CP ，即AB8＝63＋9，解得AB ＝4.3．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P .若PB PA＝12，PC PD ＝13，则BCAD 的值为________．答案66解析 ∵∠P ＝∠P ，∠PCB ＝∠PAD ，∴△PCB ∽△PAD .∴PB PD ＝PC PA ＝BC AD .∵PB PA ＝12，PC PD ＝13， ∴BC AD ＝66. 4．如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．答案 43解析因为AF ·BF ＝EF ·CF ，解得CF ＝2，所以34＝2BD ，即BD ＝83.设CD ＝x ，AD ＝4x ，所以4x 2＝649，所以x ＝43.5.如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，则BF FC的值为______．答案 12解析过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M . ∵点E 是BD 的中点， ∴在△BDM 中，BF ＝FM ，又点D 是AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM ＝MF ， ∴BF FC ＝BF FM ＋MC ＝12.6．(2013·某某)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝________.答案 2 3解析 C 为BD 中点，且AC ⊥BC ，故△ABD 为等腰三角形．AB ＝AD ＝6，∴AE ＝4，DE ＝2，又AE AC＝AC AD⇒AC 2＝AE ·AD ＝4×6＝24，AC ＝26，在△ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝36－24＝2 3.7.如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PA ＝2，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，PB ＝1，则圆O 的半径R ＝________. 答案3解析由切割线定理可得PA 2＝PB ·PC ，即PC ＝PA 2PB ＝41＝4，所以BC ＝PC －PB ＝3，因为AC 是圆O 的直径，所以∠ABC ＝90°，所以AB 2＝BC ·BP ＝3，所以AC 2＝BC 2＋AB 2＝9＋3＝12，即AC ＝12＝23，所以2R ＝23，即R ＝ 3.8．如图，AB ，CD 是圆O 内的两条平行弦，BF ∥AC ，BF 交CD 于点E ，交圆O 于点F ，过A 点的切线交DC 的延长线于点P ，若PC ＝ED ＝1，PA ＝2，则AC 的长为________．答案2解析 ∵PA 是⊙O 的切线， ∴由切割线定理得PA 2＝PC ·PD . ∵PA ＝2，PC ＝1， ∴PD ＝4. 又∵PC ＝ED ＝1，∴CE ＝2，由题意知四边形ABEC 为平行四边形， ∴AB ＝CE ＝2，连接BC ，如图， ∵PA 是⊙O 的切线，∴∠PAC ＝∠CBA .∵AB ，CD 是圆的两条平行弦， ∴∠PCA ＝∠CAB ，∴△PAC ∽△CBA ，∴PC CA ＝CA AB， ∴AC 2＝PC ·AB ＝2，∴AC ＝ 2.9．如图，已知AD ＝5，DB ＝8，AO ＝310，则圆O 的半径OC 的长为________．答案 5解析由圆的割线定理得，AE ·AC ＝AD ·AB ，即(AO －OE )·(AO ＋OC )＝AD ·(AD ＋DB )，即(310－OC )·(310＋OC )＝5×(5＋8)，解得OC ＝5.10．如图，PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB ＝PB ＝1，OA 绕点O 逆时针旋转60°得到OD ，则PD 的长为________．答案7解析 ∵PA 切⊙O 于点A ，B 为PO 的中点，∴∠AOB ＝60°，∴∠POD ＝120°.在△POD 中，由余弦定理，得PD 2＝PO 2＋DO 2－2PO ·DO ·cos∠POD ＝4＋1－4×(－12)＝7，故PD ＝7.11．如图，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，它们相交于点P ，连接AD ，BD ，已知AD ＝BD ＝4，PC ＝6，则PA ·PB ＝________.答案 12解析由AD ＝BD ＝4，得∠PAD ＝∠B ，又∠B ＝∠C ，所以∠PAD ＝∠C ，又∠ADP ＝∠CDA ，所以△ADP ∽△CDA .又PC ＝6，设PD ＝x ，由CD AD ＝AD PD ，得6＋x 4＝4x，解得x ＝2或x ＝－8(舍去)，即PD ＝2，由相交弦定理，得PA ·PB ＝PC ·PD ＝6×2＝12.12.如图，Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，若AB ∶AC ＝2∶1，则AD ∶BC ＝________. 答案 2∶5解析设AC ＝k ，则AB ＝2k ，BC ＝5k ，∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，∴AC 2＝CD ·BC ，∴k 2＝CD ·5k ，∴CD ＝55k ，又BD ＝BC －CD ＝455k ， ∴AD 2＝CD ·BD ＝55k ·455k ＝45k 2， ∴AD ＝255k ，∴AD ∶BC ＝2∶5. 13.如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连接BD ，EC .若BD ∥EC ，则四边形ABCD 的面积为________．答案 6解析过点E 作EN ⊥DB 交DB 的延长线于点N ，在Rt△DFB 中，DF ＝3，FB ＝1，则BD ＝10，由Rt△DFB ∽Rt△ENB ，知EN DF ＝BE BD，所以EN ＝31010，又BD ∥EC ，所以EN 为△BCD 底边BD 上的高，故S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12AB ·DF ＋12BD ·EN ＝12×3×3＋12×10×31010＝6. 14.如图，AB 是圆O 的直径，CD ⊥AB 于D ，且AD ＝2BD ，E 为AD 的中点，连接CE 并延长交圆O 于F .若CD ＝2，则AB ＝________， EF ＝________.答案 3 233解析 ∵AB 为圆O 的直径，∴AC ⊥BC .∵CD ⊥AB 于D ，∴由射影定理得CD 2＝AD ·BD .∵AD ＝2BD ，CD ＝2，∴(2)2＝2BD ·BD ，解得BD ＝1，∴AD ＝2BD ＝2，∴AB ＝AD ＋BD ＝2＋1＝3.在Rt△CDE 中，∵E 为AD 的中点，∴DE ＝12AD ＝1，又CD ＝2， ∴CE ＝CD 2＋DE 2＝3，又AE ＝DE ＝1，EB ＝2，由相交弦定理得EF ＝AE ·EB CE ＝233. 15.如图，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于点C ，AD ⊥CE 于点D ，若AD ＝1，∠ABC ＝30°，则圆O 的面积是________．答案 4π解析 ∠ACD ＝∠ABC ＝30°，AC ＝ADsin∠ACD ＝2，AB ＝ACsin∠ABC ＝4，故圆O 的面积为π·22＝4π.。

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习平面解析几何阶段性测试题九北师大版

阶段性测试题九(平面解析几何)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(文) (2014·某某模拟)若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．－13C ．－23D ．－2[答案]D[解析]直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率k 1＝－a2，直线x ＋y －2＝0的斜率k 2＝－1，因为两直线相互垂直，所以k 1·k 2＝－1，即(－a2)·(－1)＝－1，∴a ＝－2，所以选D.(理) (2014·模拟)设a ∈R ，则“直线y ＝a 2x ＋1与直线y ＝x ＋1平行”是“a ＝1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案]B[解析]由直线y ＝a 2x ＋1与y ＝x －1平行，得a 2＝1，解得a ＝±1，则它是a ＝1的必要不充分条件．2．(文) (2014·黄冈市期末)直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则实数m 等于( )A ．－33或3B ．－33或3 3 C.3或－3D ．－3或3 3 [答案]A[解析]由圆x 2＋y 2－2x －2＝0可得标准方程为(x －1)2＋y 2＝3，知圆心为(1,0)，半径为3，由直线与圆相切可得圆心到直线的距离d ＝|3－0＋m |2＝3，解得m ＝3，或m ＝－3 3.故选A.(理)(2014·黄冈市期末)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值X 围是( ) A ．[0，π4] B ．[3π4，π)C ．[0，π4]∪(π2，π)D ．[π4，π2)∪[3π4，π)[答案]B[解析]直线可化为：y ＝－1a 2＋1x －1a 2＋1，倾斜角θ，θ∈[0，π)，则tan θ＝－1a 2＋1，因为a 2＋1≥1，∴0<1a 2＋1≤1，∴－1≤－1a 2＋1<0，即－1≤tan θ<0，所以θ∈[3π4，π)，所以选B.3．(2014·某某模拟) 过点P (1,3)且在x 轴上的截距和在y 轴上的截距相等的直线方程为( )A ．x ＋y －4＝0B ．3x －y ＝0C ．x ＋y －4＝0或3x ＋y ＝0D ．x ＋y －4＝0或3x －y ＝0 [答案]D[解析]若直线过原点，设直线方程为y ＝kx ，把点P (1,3)代入得k ＝3，此时直线为y ＝3x ，即3x －y ＝0，若直线不经过原点，在设直线方程为x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a ，把点P (1,3)代入得a ＝4，所以直线方程x ＋y ＝4，即x ＋y －4＝0，所以选D.4．(文)过点P (1,2)的直线l 平分圆C ：x 2＋y 2＋4x ＋6y ＋1＝0的周长，则直线l 的斜率为( )A.53B ．1 C.85D.43 [答案]A[解析]圆的方程可化为(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝12因为l 平分圆C 的周长，所以l 过圆C 的圆心(－2，－3)，又l 过P (1,2)，所以k l ＝－3－2－2－1＝53，故选A.(理)(2014·潍坊模拟)已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，P A 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值是( )A.2B ．2 2 C.3D ．2 3 [答案]C[解析]如图S四边形P ACB ＝S △PCA ＋S △PCB ＝2S △PCA ＝12×|P A |×|AC |＝|P A |，所以四边形P ACB 面积的最小值就是|P A |的最小值，而|P A |＝|PC |2－1.本题要求出最小的|PC |的值，即为圆心C (1,1)到直线l ：3x －4y ＋11＝0的最短距离|PC |min ＝|3－4＋11|5＝2，所以|P A |＝3，即四边形P ACB 面积的最小值是3，所以选C.5．(文)(2014·某某月考)已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝20y 的焦点重合，且其渐近线的方程为3x ±4y ＝0，则该双曲线的标准方程为( )A.y 216－x 29＝1B.x 216－y 29＝1 C.y 29－x 216＝1 D.x 29－y 216＝1 [答案]C[解析]因为双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝20y 的焦点重合，所以双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝5，又因为双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0，所以a b ＝34，所以a ＝3，b ＝4，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(理)(2014·日照模拟)已知双曲线x 29－y 2m ＝1的一个焦点在圆x 2＋y 2－4x －5＝0上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±34xB ．y ＝±43xC ．y ＝±223xD ．y ＝±324x[答案]B[解析]圆x 2＋y 2－4x －5＝0与x 轴的交点为(5,0)和(－1,0)，因为双曲线x 29－y 2m＝1的一个焦点在圆x 2＋y 2－4x －5＝0上，且a ＝3，所以c ＝5，所以b ＝4，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .6．(2014·某某模拟)如果点P (2，y 0)在以点F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上，则|PF |＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案]C[解析]根据抛物线的定义点P 到点F 的距离等于点P 到其准线x ＝－1的距离d ＝|2－(－1)|＝3，故C 正确．7．(2014·某某模拟)设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1、F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|:|F 1F 2|:|PF 2|＝4:3:2，则曲线C 的离心率等于( )A.23或32B.23或2C.12或2D.12或32 [答案]D[解析]因为|PF 1|：|F 1F 2|：|PF 2|＝4：3:2，所以设|PF 1|＝4x ，|F 1F 2|＝3x ，|PF 2|＝2x ，x >0. 因为|F 1F 2|＝3x ＝2c ，所以x ＝23c .若曲线为椭圆，则有2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝6x ，即a ＝3x ，所以离心率e ＝c a ＝c 3x ＝c 3×23c ＝12.若曲线为双曲线，则有2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝2x ，即a ＝x ，所以离心率e ＝c a ＝c x ＝c 23c ＝32，所以选D.8．(文)(2014·某某质检)已知双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的离心率为( )A.95B.32C.53D.355[答案]D[解析]因为双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，所以c ＝3，所以a 2＋4＝9即a ＝5，所以该双曲线的离心率为c a ＝35＝355.(理)(2014·某某质检)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，则双曲线的离心率为( )A.2B ．2 C.3D ．3 [答案]B[解析]易知双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，因为渐近线方程与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，所以|0－2a |a 2＋b2＝1，整理得：b 2a 2＝3.所以双曲线的离心率为e ＝ca＝1＋b 2a2＝2. 9．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点．若在双曲线右支上存在一点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为( )A.53B.43C.54D.52 [答案]A[解析]由双曲线的定义得到|PF 1|＝|PF 2|＋2a ＝2a ＋2c ，在等腰△F 1F 2P 中|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|＝2a ＋2c ，则PF 1边上的高F 2到PF 1的距离等于2a ，故(2c )2＝(2a )2＋(2a ＋2c2)2化简得3c 2＝5a 2＋2ac ，两边同除a 2得3e 2＝5＋2e 解得：e ＝－1，e ＝53.10．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F 1、F 2是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当∠F 1PF 2＝60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是( )A.3B. 2C.233D ．2 [答案]A[解析]设椭圆的半长轴为a 1，椭圆的离心率为e 1，则e 1＝c a 1，a 1＝ce 1.双曲线的实半轴为a ，双曲线的离心率为e ，e ＝c a ，a ＝ce.设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，(x >y >0)，则由余弦定理得4c 2＝x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ，当点P 看做是椭圆上的点时，有 4c 2＝(x ＋y )2－3xy ＝4a 21－3xy ，当点P 看做是双曲线上的点时，有 4c 2＝(x －y )2＋xy ＝4a 2＋xy ，两式联立消去xy 得4c 2＝a 21＋3a 2，即4c 2＝(c e 1)2＋3(c e )2，所以(1e 1)2＋3(1e)2＝4，又因为1e 1＝e ，所以e 2＋3e 2＝4，整理得e 4－4e 2＋3＝0，解得e 2＝3，所以e ＝3，即双曲线的离心率为 3.选A.第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．(2014·某某一模)直线(a ＋1)x －(2a ＋5)y －6＝0必过一定点，定点的坐标为________． [答案](－4，－2)[解析]直线方程可化为a (x －2y )＋x －5y －6＝0，因为直线过一定点，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0x －5y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝－2，定点的坐标为(－4，－2)．12．(2014·某某田阳高中月考)设若圆x 2＋y 2＝4与圆y 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦长为23，则a ＝________.[答案]1[解析]由圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)得两圆的公共弦所在直线方程为：ay ＝1，则圆心(0,0)到公共弦的距离d ＝1a ，由(1a)2＋(3)2＝4得a ＝1.13．(文) (2014·某某调研) 在平面直角坐标系中，O 是原点，OA →＝(1,0)，P 是平面内的动点，若|OP →－OA →|＝|OP →·OA →|，则P 点的轨迹方程是________．[答案]y 2＝2x －1[解析]设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，又因为|OP →－OA →|＝|OP →·OA →|，所以(x －1)2＋y 2＝x 2，整理得y 2＝2x －1.(理)(2014·某某调研)圆心在曲线y ＝－3x (x >0)上，且与直线3x －4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程是________．[答案](x －2)2＋(y ＋32)2＝9[解析]设圆心坐标为(x ，－3x )，则R ＝3x ＋12x＋35≥3，当且仅当x ＝2时取等号，此时圆心坐标为(2，－32)，故圆方程为(x －2)2＋(y ＋32)2＝9.14．(文)直线x －2y ＋2＝0过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左焦点F 1和一个顶点B ，则椭圆的方程为________．[答案]x 25＋y 2＝1[解析]直线x －2y ＋2＝0与x 轴交点为(－2,0)，此即为椭圆左焦点，说明c ＝2，与y 轴交点为(0,1)，此为顶点，说明b ＝1，故a 2＝b 2＋c 2＝5，椭圆方程为x 25＋y 2＝1. (理)设某抛物线y 2＝mx 的准线与直线x ＝1之间的距离为3，则该抛物线的方程为________．[答案]y 2＝8x 或y 2＝－16x[解析]与直线x ＝1之间的距离为3的直线有x ＝4和x ＝－2，而抛物线y 2＝mx 的准线方程是x ＝－m 4，因此有－m 4＝－2或－m4＝4，即m ＝8或m ＝－16.15．(2014·某某月考)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点分成53两段，则此双曲线的离心率为________．[答案]233[解析]根据题意，作图如下，抛物线y 2＝2bx 的焦点F (b 2，0)，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >b >0)的焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则|F 1F |＝b 2＋c ，|F 2F |＝c －b 2，故|F 1F ||F 2F |＝b2＋cc －b 2＝53，解得：c ＝2b ，所以e ＝ca＝c c 2－b 2＝c 32c ＝233.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)根据下列条件，分别求直线方程： (1)经过点A (3,0)且与直线2x ＋y －5＝0垂直；(2)求经过直线x －y －1＝0与2x ＋y －2＝0的交点，且平行于直线x ＋2y －3＝0的直线方程．[解析](1)与直线2x ＋y －5＝0垂直的直线的斜率为12，又直线经过点A (3,0)，所以直线为y ＝12(x －3)，即x －2y －3＝0.(2)因为直线x －y －1＝0与2x ＋y －2＝0的交点为(1,0)．因为与直线x ＋2y －3＝0平行的直线的斜率为－12，所以所求的直线方程为y ＝－12(x －1)，即x ＋2y －1＝0.17．(本小题满分12分)已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0，(m ∈R)．(1)证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； (2)求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程．[解析](1)证法1：l 的方程(x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0(m ∈R)∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.即l 恒过定点A (3,1)，圆心坐标为C (1,2)，半径r ＝5，|AC |＝5<r ， ∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点．证明2：圆心到直线l 的距离d ＝|3m ＋1|5m 2＋6m ＋2，d 2－5＝－(4m ＋3)25m 2＋6m ＋2<0，∴d <5<5＝r ，所以直线l 恒与圆C 相交于两点． (2)弦长最小时，l ⊥AC ，∵k AC ＝1－23－1＝－12，∴k l ＝2，∴－2m ＋1m ＋1＝2⇒m ＝－34，代入(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0，得l 的方程为2x －y －5＝0.18．(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为B (0,4)，离心率e ＝55，直线l 交椭圆于M ，N 两点．(1) 若直线l 的方程为y ＝x －4，求弦MN 的长；(2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式． [解析](1)由已知b ＝4，且c a ＝55，即c 2a 2＝15＝a 2－b2a2⇒a 2＝20， ∴椭圆方程为x 220＋y 216＝1，由4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立，消去y 得9x 2－40x ＝0， ∴x 1＝0，x 2＝409，∴所求弦长|MN |＝1＋12|x 2－x 1|＝4029. (2)椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)，设线段MN 的中点为Q (x 0，y 0)由三角形重心的性质知BF →＝2FQ →，又B (0,4) ∴(2，－4)＝2(x 0－2，y 0)，故得x 0＝3，y 0＝－2，所以得Q 的坐标为(3，－2)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4且x 2120＋y 2116＝1，x 2220＋y 2216＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)20＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)16＝0，∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－45·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－45·6－4＝65.故直线MN 的方程为y ＋2＝65(x －3)，即6x －5y －28＝0.19．(本小题满分12分)(文)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2(a >b >0)的离心率为32，右焦点为(3，0)．(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆的右焦点且斜率为k 的直线与椭圆交于点A (x 1 ，y 1)，B (x 2，y 2)，若x 1x 2a 2＋y 1y 2b 2＝0, 求斜率k 的值．[解析](1)因为右焦点为(3，0)，所以c ＝ 3.因为e ＝c a ＝32，所以a ＝2. 因为a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝1.故椭圆方程为x 24＋y 2＝1. (2)因为直线AB 过右焦点(3，0)，设直线AB 的方程为y ＝k (x －3)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －3)消去y 并整理得(4k 2＋1)x 2－83k 2x ＋12k 2－4＝0.(*)故x 1＋x 2＝83k 24k 2＋1，x 1x 2＝12k 2－44k 2＋1. y 1y 2＝k (x 1－3)·k (x 2－3)＝－k 24k 2＋1. 又x 1x 2a 2＋y 1y 2b 2＝0，即x 1x 24＋y 1y 2＝0. 所以3k 2－14k 2＋1＋－k 24k 2＋1＝0，可得k 2＝12，即k ＝±22. (理)已知中心在原点O 的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1的一个焦点为F 1(0,3)，M (x,4)(x ＞0)为椭圆C 上一点，△MOF 1的面积为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OM 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．[解析](1)因为椭圆C 的一个焦点为F 2(0,3)，所以b 2＝a 2＋9，则椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2＋9＝1. 因为x >0，所以S △MOF 1＝12×3×x ＝32，解得x ＝1. 故点M 的坐标为(1,4)．因为M (1,4)在椭圆上，所以1a 2＋16a 2＋9＝1，得a 4－8a 2－9＝0，解得a 2＝9或a 2＝－1(不合题意，舍去)，则b 2＝9＋9＝18，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 218＝1. (2)假设存在符合题意的直线l 与椭圆C 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，其方程为y ＝4x ＋m (因为直线OM 的斜率k ＝4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ＋m ，x 29＋y 218＝1，消去y 化简得18x 2＋8mx ＋m 2－18＝0. 进而得到x 1＋x 2＝－4m 9，x 1x 1＝m 2－1818. 因为直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，所以Δ＝(8m )2－4×18×(m 2－18)>0，化简得m 2<162，解得－92<m <9 2.因为以线段AB 为直径的圆恰好经过原点，所以OA →·OB →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1y 2＝(4x 1＋m )(4x 2＋m )＝16x 1x 2＋4m (x 1＋x 2)＋m 2，x 1x 2＋y 1y 2＝17x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋m 2＝17(m 2－18)18－16m 9＋m 2＝0. 解得m ＝±102.由于±102∈(－92，92)．所以符合题意的直线l 存在，且所求的直线l 的方程为y ＝4x ＋102或y ＝4x －102.20．(本小题满分13分)(文)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (2,1)，离心率为22，过点B (3,0)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)求BM →·BN →的取值X 围．[解析](1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋1b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，c a ＝22解得a ＝6， b ＝3，∴椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1. (2)由题意显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)x 26＋y 23＝1，得(1＋2k 2)x 2－12k 2x ＋18k 2－6＝0. ∵直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N .∴Δ＝144k 4－4(1＋2k 2)(18k 2－6)＝24(1－k 2)>0，解得－1<k <1，设M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12k 21＋2k 2，x 1x 2＝18k 2－61＋2k 2， y 1＝k (x 1－3)，y 2＝k (x 2－3)．BM →·BN →＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝(1＋k 2)[x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋9]＝3＋3k 21＋2k 2＝32＋32(1＋2k 2)∵－1<k <1，∴2<32＋32(1＋2k 2)≤3， ∴BM →·BN →的取值X 围为(2,3]．(理)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 经过A (－7,5)，B (－1，－1)两点．(1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l ：y ＝x ＋m 交双曲线C 于M ，N 两点，且线段MN 被圆E ：x 2＋y 2－12x ＋n＝0(n ∈R)三等分，某某数m ，n 的值．[解析](1)设双曲线C 的方程是λx 2＋μy 2＝1，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧49λ＋25μ＝1λ＋μ＝1 解得λ＝－1，μ＝2，所以所求双曲线的方程是2y 2－x 2＝1.(2)将l ：y ＝x ＋m 代入2y 2－x 2＝1，得x 2＋4mx ＋(2m 2－1)＝0(*)Δ＝(4m )2－4(2m 2－1)＝8m 2＋4>0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝－4m ，x 1x 2＝2m 2－1则x 0＝x 1＋x 22＝－2m ，y 0＝x 0＋m ＝－m ， ∴P (－2m ，－m )．又圆心E (6,0)，依题意k PE ＝－1，故m 6＋2m＝－1，即m ＝－2.将m ＝－2代入(*)得x 2－8x ＋7＝0，解得x 1＝1，x 2＝7.∴|MN |＝1＋12|x 1－x 2|＝6 2. 故直线l 截圆E 所得弦长为13|MN |＝22，又E (6,0)到直线l 的距离d ＝22，所以圆E 的半径R ＝(22)2＋(2)2＝10.所以圆E 的方程是(x －6)2＋y 2＝10，∴m ＝－2，n ＝26.21．(本小题满分14分)(文) 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点M (2,0)的直线与椭圆C 交于两点A 和B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝t ·OP →(O 为坐标原点)，当|P A →－PB →|<253时，某某数t 的取值X 围． [解析](1)由题意知，短半轴长为：b ＝|0－0＋2|12＋12＝1， ∵e ＝c a ＝22， ∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2，∴a 2＝2，故椭圆C 的方程为：x 22＋y 2＝1. (2)由题意知，直线AB 的斜率存在，设直线AB ：y ＝k (x －2)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，x 22＋y 2＝1，得，(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0， Δ＝64k 4－4(1＋2k 2)(8k 2－2)>0，解得k 2<12. ∴x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2. ∵OA →＋OB →＝tOP →，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，解得x ＝x 1＋x 2t ＝8k 2t (1＋2k 2)， y ＝y 1＋y 2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4k t (1＋2k 2). ∵点P 在椭圆上，∴(8k 2)2t 2(1＋2k 2)2＋2(－4k )2t 2(1＋2k 2)2＝2，∴16k 2＝t 2(1＋2k 2)．∵|P A →－PB →|<253，∴1＋k 2|x 1－x 2|<253， ∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]<209， ∴(1＋k 2)[64k 4(1＋2k 2)2－4×8k 2－21＋2k 2]<209， ∴(4k 2－1)(14k 2＋13)>0，∴k 2>14， ∴14<k 2<12. ∵16k 2＝t 2(1＋2k 2)，∴t 2＝16k 21＋2k 2＝8－81＋2k 2， ∴－2<t <－263或263<t <2. ∴实数t 的取值X 围是(－2，－263)∪(263，2)． (理) 已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F 2，点F 1与F 2关于坐标原点对称，以F 1，F 2为焦点的椭圆C 过点(1，22)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设点T (2,0)，过点F 2作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且F 2A →＝λF 2B →，若λ∈[－2，－1]，求|TA →＋TB →|的取值X 围．[解析](1)设椭圆的半焦距为c ，由题意得c ＝1，设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则1a 2＋12b2① a 2＝b 2＋1 ②将②代入①，解得b 2＝1或b 2＝－12(舍去) 所以a 2＝b 2＋1＝2，故椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)方法一：容易验证直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝ky ＋1将直线l 的方程代入x 22＋y 2＝1中得： (k 2＋2)y 2＋2ky －1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1≠0且y 2≠0，则由根与系数的关系，可得：y 1＋y 2＝－2k k 2＋2③ y 1y 2＝－1k 2＋2④ 因为F 2A →＝λF 2B →，所以y 1y 2＝λ，且λ<0. 将③式平方除以④式，得：y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－4k 2k 2＋2⇒λ＋1λ＋2＝－4k 2k 2＋2，由λ∈[－2，－1]⇒－52≤λ＋1λ≤－2 ⇒－12≤λ＋1λ＋2≤0⇒－12≤－4k 2k 2＋2≤0，所以0≤k 2≤27，因为TA →＝(x 1－2，y 1)，TB →＝(x 2－2，y 2)，所以TA →＋TB →＝(x 1＋x 2－4，y 1＋y 2)，又y 1＋y 2＝－2k k 2＋2，所以x 1＋x 2－4＝k (y 1＋y 2)－2＝－4(k 2＋1)k 2＋2，故|TA →＋TB →|2＝(x 1＋x 2－4)2＋(y 1＋y 2)2＝16(k 2＋1)2(k 2＋2)2＋4k 2(k 2＋2)2＝16(k 2＋2)2－28(k 2＋2)＋8(k 2＋2)2 ＝16－28k 2＋2＋8(k 2＋2)2，令t ＝1k 2＋2，因为0≤k 2≤27，所以716≤1k 2＋2≤12，即t ∈[716，12]，所以|TA →＋TB →|2＝f (t )＝8t 2－28t ＋16＝8(t －74)2－172，而t ∈[716，12]，所以f (t )∈[4，16932]．所以|TA →＋TB →|∈[2，1328]．方法二：①当直线l 的斜率不存在时，即λ＝－1时，A (1，22)，B (1，－22)，又T (2,0)，所以|TA →＋TB →|＝|(－1，22)＋(－1，－22)|＝2. ②当直线l 的斜率存在时，即λ∈[－2，－1)时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －kx 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，显然y 1≠0，y 2≠0，则由根与系数的关系可得：x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－2k 1＋2k 2⑤ y 1y 2＝k 2(x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1)＝－k 21＋2k 2⑥ 因为F 2A →＝λF 2B →，所以y 1y 2＝λ，且λ<0，将⑤式平方除以⑥式得：λ＋1λ＋2＝－41＋2k 2. 由λ∈[－2，－1)得λ＋1λ∈[－52，－2)，即λ＋1λ＋2∈[－12，0)．故－12≤－41＋2k 2<0，解得k 2≥72，因为TA →＝(x 1－2，y 1)，TB →＝(x 2－2，y 2)，所以TA →＋TB →＝(x 1＋x 2－4，y 1＋y 2)，又x 1＋x 2－4＝－4(1＋k 2)1＋2k 2，故|TA →＋TB →|2＝(x 1＋x 2－4)2＋(y 1＋y 2)2＝16(1＋k 2)2(1＋2k 2)2＋4k 2(1＋2k 2)2＝4(1＋2k 2)2＋10(1＋2k 2)＋2(1＋2k 2)2＝4＋101＋2k 2＋2(1＋2k 2)2，令t ＝11＋2k 2，因为k 2≥72，所以0<11＋2k 2≤18，即t ∈(0，18]，所以|TA →＋TB →|2＝2t 2＋10t ＋4＝2(t ＋52)2－172∈(4，16932]．所以|TA ＋TB |∈(2，1328]．综上所述：|TA →＋TB →|∈[2，1328]．。

2015届高三数学冲刺六大专题系列6份

目录2015届高三数学冲刺六大专题系列之不等式2015届高三数学冲刺六大专题系列之函数与导函数专题 2015届高三数学冲刺六大专题系列之求极值和值域专题 2015届高三数学冲刺六大专题系列之深度几何专题 2015届高三数学冲刺六大专题系列之数列专题 2015届高三数学冲刺六大专题系列之圆锥曲线专题1、证明：2221111+...223n +++<； 2、若：332a b +=，求证：2a b +≤ ； 3、若：n N +∈，求证：1111...12122n n n≤+++<++； 4、若：,0a b >，且3ab a b =++，求：a b +的取值范围；5、若：,,a b c 是ABC ∆的三边，求证：111a b ca b c+>+++ ； 6、当2n ≥时，求证：222111111...12123n n n-<+++<-+ ； 7、若x R ∈，求2211y x x x x =++--+的值域； 8、求函数3sin 2cos y θθ=-的最大值和最小值；9、若,,0a b c >，求证：2229a b b c c a a b c++>+++++ ； 10、若,,a b c R ∈，且22225a b c ++=，试求：22a b c -+的取值范围 11、若,,a b c R ∈，且226a b c --=，求222a b c ++的最小值12、若,,a b c R ∈，且222(1)(2)(3)11654a b c -+-++=，求a b c ++的最大值和最小值；13、若,,0a b c >，,,0x y z >，且满足22225a b c ++=，22236x y z ++=，30ax by cz ++=，求：a b cx y z++++的值；14、求证：21153nk k =<∑； 15、当2n ≥时，求证：12(1)3n n<+<；16、求证：113135135 (21)...21224246246 (2)n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-++++<+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ；17、求证：1112(11)1...2(211)23n n n+-<++++<+- ； 18、已知：0x >,求证：ln(1)1xx x x <+<+ ； 19、已知：n N +∈，求证：11111...ln(1)1...2312x n n+++<+<++++ ； 20、已知：2n ≥，求证：2(1)n n n >- ；21、已知：n N +∈，求证：1111 (23212)nn++++>- ； 22、设：1223...(1)n S n n =⋅+⋅+++，求证：2(1)2(1)n n n S n +<<+ ； 23、已知：n N +∈，求证：1111 (21231)n n n <+++<+++ .【解答】 1. 证明：2221111+...223n+++< ； 1、证明：221222111111111112(1)1nn n n k k k k k k k k k k n ====⎡⎤⎛⎫=+<+=+-=+-< ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭∑∑∑∑.从第二项开始放缩后，进行裂项求和.另：本题也可以采用积分法证明.构建函数：1()2f x x =，则()f x 在x R +∈区间为单调递减函数.于是：222112111111111111()221nnn n k k dx k kx x n n ===+<+=-=--=-<∑∑⎰ 从第二项开始用积分，当函数是减函数时，积分项大于求和项时，积分限为[1,]n ；积分项小于求和项时，积分限为[2,1]n +.2. 若：332a b +=，求证：2a b +≤；2、证明：3322()()()a b a b a b ab ab a b +=++-≥+，即：()2ab a b +≤则：3()6ab a b +≤，333()8a b ab a b +++≤，即：3()8a b +≤，即：2a b +≤. 立方和公式以及均值不等式配合.另：本题也可以采用琴生不等式证明.构建函数：3()f x x =，则在在x R +∈区间为单调递增函数，且是下凸函数. 对于此类函数，琴生不等式表述为：函数值得平均值不小于平均值的函数值.即：()()...() (1212)()f x f x f x x x xn n f n n++++++≥ 对于本题：()()()22f a f b a b f ++≥ 即：33322a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭即：33321222a b a b ++⎛⎫≤== ⎪⎝⎭，即：12a b +≤，即：2a b +≤ 琴生不等式可秒此题.3. 若：n N +∈，求证：1111...12122n n n≤+++<++； 3、由：n n n k n +≥+> (1,2,...,)k n =得：1112n n k n≤<+ ，则：1111112nn nk k k n n k n===≤<+∑∑∑，即：111...212n n n n n n n n ≤+++<+++ 故：1111...12122n n n ≤+++<++ . 从一开始就放缩，然后求和.另：本题也可以采用不等式性质证明.所证不等式中的任何一项如第k 项，均满足1112n n k n≤<+，当有n 项累加时，不等式两个边界项乘以n 倍，则不等式依然成立. 即：大于最小值得n 倍，小于最大值的n 倍.另外，111...122n n n+++++的最大值是ln 20.693147...≈，本题有些松. 4.若：,0a b >，且3ab a b =++，求：a b +的取值范围； 4、解：222()244(3)4()12a b a b ab ab a b a b +=++≥=++=++，令：t a b =+，则上式为：24120t t --≥. 解之得：6t ≥.均值不等式和二次不等式. 5. 若：,,a b c 是ABC ∆的三边，求证：111a b c a b c+>+++ ； 5、证明：构造函数()1xf x x=+，则在0x >时，()f x 为增函数. 所以，对于三角形来说，两边之和大于第三边，即：a b c +>，那么，()()f a b f c +>，即：11a b ca b c+>+++ .111111a b a b a b c a b a b a b a b c ++>+=>+++++++++. 构造函数法，利用单调性，再放缩，得到结果.另：不等式的入门证法就是“作差法”和“作商法”. “作差法”即两项相减得差与0比较；作商法”即同号两项相除得商与1比较.本题亦可以采用“作差法”.6. 当2n ≥时，求证：222111111...12123n n n-<+++<-+ ； 6. 证明：当2n ≥时，11n n n -<<+，都扩大n 倍得：2(1)(1)n n n n n -<<+，取倒数得：2111(1)(1)n n n n n >>-+，裂项：21111111n n n n n ->>--+，求和：222211111()()11nn nk k k k k k k k ===->>--+∑∑∑，即： 2221111111 (2321)n n n ->+++>-+ 先放缩，裂项求和，再放缩. 另：本题也可以采用积分证明.构建函数：1()2f x x =，则()f x 在x R +∈区间为单调递减函数. 由面积关系得到：111()122k k dx f k dx k kx x +>>⎰⎰- 即：111121k k x x kk k +->>--即：11111211k kkk k ->>--+OAAB DC EF G H本式实际上是放缩法得到的基本不等式，同前面裂项式. 后面的证法同前.7、若x R ∈，求2211y x x x x =++--+的值域；7、解：22221313112424y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++--+=++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设：13(,)22m x =+，13(,)22n x =-，则：21324m x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，21324n x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，(1,0)m n -=代入向量不等式：m n m n -<-得：1y m n m n =-<-=，故：11y -<<.这回用绝对值不等式.本题另解.求函数2211y x x x x =++--+的极值，从而得到不等式. 求导得：222121'02121x x y x x x x +-=-=++-+则：x =±∞，故函数2211y x x x x =++--+的极值出现在x =±∞. 函数为奇函数，故我们仅讨论正半轴就可以了，即在[0,)x ∈+∞.222211221111111122xy x x x x x x x x x x x x =++--+==+++-++++-+222lim ()1111111m x y x x x x→+∞==+++-+由于是奇函数，故在(,0)x ∈-∞，222222221111111111xy x x x x x x x x x x x x-=++--+==-+++-++++-+222lim ()1111111m x y x x x x→-∞=-=-+++-+故：(1,1)y ∈-. 8、求函数3sin 2cos y θθ=-的最大值和最小值；8、解：将函数稍作变形为：0(sin )332cos MN M Ny y y x x θθ---==-- ，设点(,)M M M x y ，点(,)N N N x y ，则(2,0)M ，(cos ,sin )N θθ-，而点N 在单位圆上，y 就是一条直线的斜率，是过点M 和圆上点N 直线斜率的3倍，关键是直线过圆上的N 点.直线与单位圆的交点的纵坐标范围就是：11y -≤≤ .故y 的最大值是1，最小值是-1.原本要计算一番，这用分析法，免计算了.另：如果要计算. 先变形：3sin 2cos y θθ=-变形为：2cos 3sin 3sin cos y y y θθθθ-==+；即：2222323(sin cos )3sin()33y y y y y y θθθϕ=++=++++；即：22sin()3y yθϕ=++，即：221sin()13y yθϕ-≤=+≤+；即：22413y y ≤+，即：2243y y ≤+，即：21y ≤，即：11y -≤≤ 如果要计算，需要用到辅助角公式.9、若,,0a b c >，求证：2229a b b c c a a b c++≥+++++ 9、证明：由柯西不等式：()()()2111a b b c c a a b b c c a a b b c c a a bb c c a ⎛⎫+++⎛⎫++⋅+++++≥++⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭ 即：()()2111239a b c a b b c c a ⎛⎫++⋅++≥=⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭即：()2229a b b c c a a b c ⎛⎫++≥ ⎪+++++⎝⎭ 柯西不等式.本题也可以采用排序不等式证明.首先将不等式变形：92a b c a b c a b c a b b c c a ++++++++≥+++；即：932c a b a b b c c a +++≥+++，即：32c a b a b b c c a ++≥+++. 由于对称性，不妨设：a b c ≥≥，则：a b a c b c +≥+≥+；即：111b c a c a b≥≥+++. 有排序不等式得：正序和a b c a b cb c a c a b a c a b b c ++≥++++++++乱序和；正序和a b ca b cb c a c a ba b b c a c++≥++++++++乱序和；上两式相加得：23a b c a b b c a cb ca ca b a bb ca c+++⎛⎫++≥++= ⎪++++++⎝⎭即：32c a b a b b c c a ++≥+++ 证毕. 排序不等式.10、若,,a b c R ∈，且22225a b c ++=，试求：22a b c -+的取值范围； 10、解：柯西不等式：()()()222222212222a b c a b c ⎡⎤+-+++≥-+⎣⎦；即：()292522a b c ⨯≥-+，故：2215a b c -+≤；所以：152215a b c -≤-+≤.柯西不等式.另：本题亦可采用求极值的方法证明. 构建拉格朗日函数：1222(,,)22(25)L a b c a b c a b c λ=-++++-由在极值点的导数为0得：210L aa λ∂=+=∂，则：2a λ=-，即：2a λ=-；220L b a λ∂=-+=∂，则：b λ=，即：b λ=； 220L b a λ∂=+=∂，则：c λ=-，即：c λ=-. 代入22225a b c ++=得：103λ=±极值点为：523a λ=-=，103b λ==±，103c λ=-= 则：2215ya b c m=-+=，即：152215a b c -≤-+≤11、若,,a b c R ∈，且226a b c --=，求222a b c ++的最小值； 11、解：设：(2,1,2)m =--，(,,)n x y z =，则：22222(1)(2)9m =+-+-=；2222n a b c =++；22m n a b c ⋅=--；代入m n m n ≥⋅得：()()222292236a b c a b c ++≥--=；即：2224a b c ++≥，故：最小值为4.向量不等式.向量不等式是柯西不等式的特殊形式，本题当然可用柯西不等式.2222222[2(1)(2)]()(22)a b c a b c +-+-++≥--，即：22222222(22)6()4[2(1)(2)]9a b c a b c --++≥==+-+-用拉格朗日乘数法也行.构建拉氏函数：222(,,)(226)L a b c a b c a b c λ=+++--- 在极值点的导数为0，即： 220La a λ∂=+=∂，即：a λ=-； 20Lb b λ∂=-=∂，即：2b λ=； 220Lc cλ∂=-=∂，即：c λ=. 代入226a b c --=得：43λ=-则：43a =，23b =-，43c =-故：2222224243643339a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≤+-+-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求极值时，要判断是极大值还是极小值，只需用赋值法代一下.12、若,,a b c R ∈，且222(1)(2)(3)11654a b c -+-++=，求a b c ++的最大值和最小值；12、解：柯西不等式：()()()()2222222123452123425a b c a b c ⎡⎤-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤++++≥-+++-⎡⎤⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即：()22512a b c ⨯≥++-；故：()525a b c -≤++-≤；于是：()37a b c -≤++≤. 柯西不等式.另：本题也可以采用换元法求解.有人说：222(1)(2)(3)11654a b c -+-++=是一个椭球面，没错. 它是一个不等轴的椭球. 它的三个半轴长分别为：4A =，5B =，2C = 设：1x a =-，2y b =+，3z c =-，则这个椭球的方程为：2221222x y z A B C++= ① 现在来求a b c ++的最大值和最小值. 采用三角换元法：令：sin cos x A θϕ=，sin sin y B θϕ=，cos z C θ= 代入方程①检验，可知它满足方程. 采用辅助角公式化简：sin cos sin sin cos f x y z A B C θϕθϕθ=++=++4sin cos 5sin sin 2cos θϕθϕθ=++45245sin (cos sin )2cos 224545θϕϕθ=+++++ 245sin()sin 2cos αϕθθ=+++21sin()22221sin ()2[sin cos ]222221sin ()221sin ()2αϕαϕθθαϕαϕ+=+++++++2221sin ()2sin()αϕθφ=+++故：f x y z =++的峰值是：当2sin ()1αϕ+=时，22221sin ()22125f mαϕ=++=+=即：55x y z -≤++≤而1232x y z a b c a b c ++=-+++-=++-，故：525a b c -≤++-≤，即：37a b c -≤++≤.13、若,,0a b c >，,,0x y z >，且满足22225a b c ++=，22236x y z ++=，30ax by cz ++=，求：a b cx y z++++的值；13、解：本题满足：()()()2222222a b c x y z ax by cz ++++=++即柯西不等式中等号成立的条件. 故有：0a b cx y zλ===>，即：a x λ=，b y λ=，c z λ=. 则：2222222()a b c x y z λ++=++；即：22222222536a b c x y z λ++==++，即：56λ= 故：56a b c a b c x y z x y z λ++=====++ . 柯西不等式中等号成立. 14、求证：21153nk k=<∑ ； 14、证明：222212222114411111124412121nn n n nk k k k k k k k k k k =====⎛⎫=+=+<+=+- ⎪--+⎝⎭∑∑∑∑∑ 1115121232133n ⎛⎫=+⨯-<+⨯= ⎪+⎝⎭注意变形为不等式的方法，虽然仍是放缩法.另：本题也可以采用积分法证明. 构建函数：1()2f x x =，则()f x 在x R +∈区间为单调递减函数. 2222313311151511444nn n n k k k dx kk k x ====++=+≤+∑∑∑⎰3515111541192054431212123nx n n +⎛⎫=-=--=-<== ⎪⎝⎭ 15、当2n ≥时，求证：12(1)3n n<+< ；15、证明：① 由二项式定理得：1212011111111...12nnk n n n n n n k n k C C C C C n n n n n n =⎛⎫+=⋅=+⋅+⋅++⋅+⋅= ⎪⎝⎭>∑ ② 由二项式定理得：11111!11!1111!()!!()!nn n nkn k k kk k k n n C n n k n k n k n k n ===⎛⎫+=+⋅=+⋅=+ ⎪--⎝⎭∑∑∑ 1121(1)(2)(1)111...111!!!nn nk k k n n n n k k n n n n k k ===---+⎡⎤=+⋅⋅⋅⋅⋅<+=++⎢⎥⎣⎦∑∑∑ 22211111222213!(1)1n n nk k k k k k k k n ===⎛⎫=+<+=+-=+-< ⎪--⎝⎭∑∑∑本题①由二项式中，保留前两项进行放缩得到：1(1)2n n+>；本题②由二项式中，分子由从n 开始的k 个递减数连乘，分母由k 个n 连乘，得到的分数必定小于1. 于是得到：1(1)3n n+<.另：本题也可以利用函数的基本性质证明.构建函数：1()1x f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则在1x ≥时，函数为单调递增函数.故：在2x ≥时，1()(1)(11)2f x f ≥=+= 利用基本不等式：ln(1)x x +<，即：1x x e +<则：()111()11()3x y yf x y e e y x ⎛⎫=+=+<=< ⎪⎝⎭.本方法需要运用ln(1)x x +<，该不等式成立的条件是：0x >.16、求证：113135135 (21)...21224246246 (2)n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-++++<+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ； 16、证明：()()22221(21)(21)n n n n >-=-+，故：212221n nn n -<+；令：135(21)...246(2)n n S n -=⋅⋅⋅⋅， 246(2)...357(21)n n T n =⋅⋅⋅⋅+ ；则：n n S T <，即：2135(21)246(2)1......246(2)357(21)21n n n n n S S T n n n -<⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++ ；故：121n S n <+ ① 由2212121n n n +>++-得：12212121n n n <+++-，即：1(2121)21n n n <+--+，故：代入①式得：2121n S n n <+-- 则：原式=1211...(2121)21121nnn k k k S S S S k k n n ==+++=<+--=+-<+∑∑本题的关键在于把根式或其他式子换成两个相邻的根式差，然后利用求和来消去中间部分，只剩两头. 17、求证：1112(11)1...2(211)23n n n+-<++++<+- ； 17、证明：由21n n n <++得：()12211n n n n n>=+-++；即：1112(1)2(11)nnk k k k n k ==>+-=+-∑∑ ① 由：()()()22222281811882n n n n ->--=-得：()()()2222281882244122(21)2(21)n n n n n n n n n ->-=-=+- 即：2822(21)2(21)1n n n n n -+->，即：2(21)2(21)22(21)2(21)1n n n n n n n n ++--+->，即：()22(21)2(21)1n n n n +-->，即：()221211nn n +-->故：()122121n n n<+--，多项求和：()()111221212211nnk k k k n k ==<+--=+-∑∑ ②由①②，本题得证.本题还是采用级数求和的放缩法.18、已知：0x >,求证：ln(1)1xx x x<+<+ ; 18、证明：(1)构造函数：()ln(1)f x x x =-+，则：(0)0f =.当0x >时，函数的导数为：1'()101f x x=->+，即当0x >时，函数()f x 为增函数. 即：()(0)0f x f >=；故：()ln(1)0f x x x =-+>，即：ln(1)x x +<. (2) 构造函数：()ln(1)1xg x x x=+-+，则：(0)0g =. 当0x >时，其导数为：()()2211'()01111x x g x x x x x ⎡⎤=--=>⎢⎥++++⎢⎥⎣⎦. 即当0x >时，函数()g x 为增函数. 即：()(0)0g x g >=；故：()ln(1)01x g x x x =+->+，即：ln(1)1x x x<++. 由(1)和(2)，本题证毕.本题采用构造函数法，利用函数单调性来证题.19、已知：n N +∈，求证：11111...ln(1)1...2312x n n +++<+<++++ ； 19、证明：先构造函数：1()f x x=，在函数图象上分别取三点A,B,C ，即：1(,)A k k ,1(1,)1B k k --,1(1,)1C k k ++, 我们来看一下这几个图形的面积关系：AEFC AEFH AEDG AEDB S S S S <=<；即：1111()1k kkk dx f k dx xx +-⋅<⋅<⋅⎰⎰ ；即：11ln ()ln k kk k x f k x +-<< ；OAABDC EFG H即：1ln(1)ln ln ln(1)k k k k k +-<<-- ； (1) 1ln(1)ln k k k+-<求和：11111(ln(1)ln )1...2nnk k k k kn ==+-<=+++∑∑；即：11ln(1)1...2n n+<+++； (2)1ln ln(1)k k k<--求和：；即：121111...ln(1)231n k n k n +==+++<++∑; 由(1)和(2)证毕.本题采用构造函数法，利用函数的面积积分来证题. 20、已知：当2n ≥时，求证：2(1)n n n >- ；20、证明：当21r n ≤≤-时，1r n n C C n >=.由二项式定理得：11112(11)(1)nn n nnkk nnk k k C C n n n --====+=>>=-∑∑∑证毕.本题利用二项式定理进行放缩得证.21、已知：n N +∈，求证：1111 (23212)nn++++>- ； 21、证明：设：1111 (2321)n n S =++++-，则：111111111111111()()()...(...)234567*********n n n n n nS --=++++++++++++-++-2233331111111111111()()()...(...)222222222222n n n n n >++++++++++++-11111111()()()...()1(1)2222222222n n n n n n =+++++-=+-=+->证毕.将1以后的项数，按2的次方个数划分成n 组，每组都大于12，这样放缩得证.22、设：1223...(1)n S n n =⋅+⋅+++，求证：2(1)2(1)n n n S n +<<+ ；22、证明：由(1)1(1)22k k k k k k ++<+<=+得：1(1)2k k k k <+<+，求和得：1111(1)2nnnk k k k k k k ===⎛⎫<+<+ ⎪⎝⎭∑∑∑即：2(1)(1)(2)(1)22222n n n n n n n n n S ++++<<+=< 即：2(1)2(1)n n n S n +<<+.本题首先构建含有(1)k k +的不等式，构建成功，本题得证.23、已知：n N +∈，求证：1111 (21231)n n n <+++<+++ . 23、证明：设：111 (1231)n S n n n =++++++ ；采用倒序相加得：111111112...131********n S n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；各括号内通分得：()()()()()()()()424242422...131********n n n n n S n n n n n n n n ++++=++++++++-++；即：()()()()()()()()1111(21)...131********n S n n n n n n n n n ⎡⎤=+++++⎢⎥++++-++⎣⎦①；由：()()()()222(1)(31)21212121n n n n n n n n n ++=+-++=+-<+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦； ()()()()()222(2)(3)21(1)21(1)21121n n n n n n n n n +=+--++-=+--<+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；()()()()()222(3)(31)21(2)21(2)21221n n n n n n n n n +-=+--++-=+--<+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；……()()()()()222(31)(1)21(2)21(2)21221n n n n n n n n n n n n ++=+--++-=+--<+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦共有：(31)(1)121n n n +-++=+项. 将上述不等式代入①式得：()()()()2222111(21)(21)...(21)121212121n n S n n n n n n ⎡⎤+>++++=+⋅=⎢⎥++++⎢⎥⎣⎦；即：1n S > ② 另：1111112122 (2123111111)n n n S n n n n n n n n ++=+++<+++=<=++++++++；即： 2n S < ③ 由②和③，本题得证.本题中n S 有(21)n +项，将其放缩为同分母的分式是解题关键.函数与导函数专题1、函数第1题已知函数ln ()x 1f x x 1x =++，若x 0>，且x 1≠，ln ()x kf x x 1x>+-，求k 的取值范围.解析：⑴ 将不等式化成()(*)k >=<模式由ln ()x k f x x 1x >+-得：ln ln x 1x k x 1x x 1x +>++-，化简得：ln 22x xk 1x 1<-- ①⑵ 构建含变量的新函数()g x构建函数：ln ()22x x g x x 1=- （x 0>，且x 1≠）其导函数由'''2u u v uv v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭求得：'()(ln ln )()22222g x x x x x 1x 1=---- 即：'()[()()ln ]()22222g x x 1x 1x x 1=--+-()ln ()222222x 1x 1x x 1x 1⎛⎫+-=- ⎪ ⎪-+⎝⎭② ⑶ 确定()g x 的增减性先求()g x 的极值点，由'()0g x 0=得：ln 20020x 1x 0x 1--=+即：ln 20020x 1x x 1-=+ ③满足③式的0x 1= 即：()g x 的极值点0x 1= 在0x x 1≥≥时，由于22x 11x 1-<+有界，而ln x 0>无界故：ln 22x 1x 0x 1--<+即：在0x x 1≥≥时，'()g x 0≤，()g x 单调递减；那么，在00x x <<时，()g x 单调递增. 满足③式得0x 恰好是0x 1=⑷ 在(,)x 1∈+∞由增减性化成不等式在(,)x 1∈+∞区间，由于()h x 为单调递减函数，故：()lim ()x 1g x g x →+≤ln lim 2x 12x x x 1→+⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 应用不等式：ln x x 1<-得：ln ()lim lim lim 22x 1x 1x 12x x 2x x 12x 1x 1x 1x 1→+→+→+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫<== ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭--⎝⎭⎝⎭ 即：()()g x g 11<=，即：()g x 的最大值是()g 1代入①式得：()k 1g x <-，即：()k 1g 1≤-，即：k 0≤ ④ ⑸ 在(,)x 01∈由增减性化成不等式在(,)x 01∈区间，由于()g x 为单调递增函数，故：()lim ()x 0g x g x →+≥ln lim 2x 02x x x 1→+⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 由于极限()lim ln x 0x x 0→+=，故：()g x 0≥，代入①式得：k 1≤ ⑤ ⑹ 总结结论综合④和⑤式得：k 0≤. 故：k 的取值范围是(,]k 0∈-∞ 本题的要点：求出ln 22x x 1x 1--的最小值或最小极限值.特刊：数值解析由①式ln 22x x k 1x 1<--，设函数ln ()22x x K x 1x 1=--当x 1→时，用洛必达法则得：ln (ln )'(ln )limlimlim()22x 1x 1x 12x x 2x x 2x 112x x 1x 1→→→+===--，则()K 10= 用数值解如下：x0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0()K x 0.2062 0.1273 0.0758 0.0422 0.0209 0.0083 0.0018 0.0000x1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8()K x 0.0015 0.0055 0.0114 0.0186 0.0269 0.0359 0.0454 0.0553其中，()K x 的最小值是()K 10=，即()()K x K 1>，所以本题结果是k 0≤.2、函数第2题已知函数()ln 2f x x ax =-，a 0>，x 0>，()f x 连续，若存在均属于区间[,]13的,αβ，且1βα-≥，使()()f f αβ=，证明：ln ln ln 322a 53-≤≤ 解析：⑴ 求出函数()f x 的导函数函数：()ln 2f x x ax =- ①其导函数：'()2112ax f x 2ax x x-=-=()()12a x 12a x x +-=②⑵ 给出函数()f x 的单调区间由于x 0>，由②式知：'()f x 的符号由()12ax -的符号决定. 当12ax 0->，即：1x 2a<时，'()f x 0>，函数()f x 单调递增；当12ax 0-<，即：1x 2a >时，'()f x 0<，函数()f x 单调递减；当12ax 0-=，即：1x 2a =时，'()f x 0=，函数()f x 达到极大值.⑶ 由区间的增减性给出不等式由,αβ均属于区间[,]13，且1βα-≥，得到：[,]12α∈，[,]23β∈ 若()()f f αβ=，则,αβ分属于峰值点1x 2a=的两侧即：12aα<，12aβ>.所以：α所在的区间为单调递增区间，β所在的区间为单调递减区间.故，依据函数单调性，在单调递增区间有：()()()f 1f f 2α≤≤ ③ 在单调递减区间有：()()()f 2f f 3β≥≥ ④ ⑷ 将数据代入不等式由①式得：()f 1a =-；()ln f 224a =-；()ln f 339a =- 代入③得：()ln a f 24a α-≤≤-，即：ln a 24a -≤-，即：ln 2a 3≤⑤代入④式得：ln ()ln 24a f 39a β-≥≥-，即：ln ln 24a 39a -≥-，即：ln ln 32a 5-≥⑥ ⑸ 总结结论结合⑤和⑥式得：ln ln ln 322a 53-≤≤. 证毕. 本题的要点：用导数来确定函数的单调区间，利用单调性来证明本题.特刊：特值解析由⑶已得：[,]12α∈，[,]23β∈，且：()ln 2f a ααα=-⋅，()ln 2f a βββ=-⋅若：()()f f αβ=，则：ln ln 22a a ααββ-⋅=-⋅即：()ln ln 22a βαβα-=-，故：ln ln 22a βαβα-=- 当：2β=，1α=时，ln 2a 3= 当：3β=，2α=时，ln ln 32a 5-=故：a 处于这两个特值之间，即：ln ln ln 322a 53-≤≤ 3、函数第3题已知函数()ln ()2f x x ax 2a x =-+-.若函数()y f x =的图像与x 轴交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，试证明：01x a>. 解析：⑴ 求出函数()f x 导函数函数()f x 的定义域由ln x 可得：x 0>.导函数为：'()()1f x 2ax 2a x =-+-()()112x a x =+- ① ⑵ 确定函数的单调区间当1a 0x ->，即(,)1x 0a∈时，'()f x 0>，函数()f x 单调递增；当1a 0x -<，即(,)1x a ∈+∞时，'()f x 0<，函数()f x 单调递减；当1a 0x -=，即1x a =时，'()f x 0=，函数()f x 达到极大值()1f a . ()ln ()()21111f a 2a a a a a =-⋅+-⋅ln 111a a=+- ② ⑶ 分析图像与x 轴的交点，求出a 区间由于lim ()x f x 0→+∞<，lim ()x 0f x 0→+< 若()f x 与x 轴交于,A B 两点，则其极值点必须()1f 0a>.即：ln 1110a a +->，即：ln 111a a>- ③ 考虑到基本不等式ln 111a a ≤-及③式得：ln 11111a a a -<≤- 即：1111a a -<-，即：22a>，即：a 1< 结合ln 1a，即：a 0>得：(,)a 01∈ ④ ⑷ 求出,A B 点以及A 关于极值点的对称点C,A B 两点分居于极值点两侧，即：A 1x a <，B 1x a > 设：A 11x x a =-，B 21x x a =+，则,12x x 0>，且11x a<（因x 0>）设：C 11x x a =+，则C x 与B x 处于相同得单调递减区间(,)1x a∈+∞. 于是：()()A B f x f x 0==，即：()11f x 0a-= 故：()ln()()()()2A 111111f x x a x 2a x a a a=---+-- ln()()()2111121112a x a 2x x 2a x a a a a-=---⋅⋅++-- ln()ln 211111ax a 1ax ax 0a=--+-+-= ⑤ 将1x 替换成1x -代入()A f x 就得到()C f x ：()()ln()ln 2C 111111f x f x 1ax a 1ax ax a a=+=+-+--- ⑥ ⑸ 比较,,A B C 点的函数值，以增减性确定其位置构造函数：()()()()()1C A 1111g x f x f x f x f x a a=-=+-- 将⑤⑥式代入上式得：()ln()ln()1111g x 1ax 1ax 2ax =+--- ⑦ 其对1x 的导函数为：'()111a a g x 2a 1ax 1ax -=--+-2212a 2a 1a x =--221221a x 2a 1a x =⋅- ⑧ 由于④式(,)a 01∈及11x a<，所以'()1g x 0>. 即：()1g x 是随1x 的增函数，其最小值是在1x 0=时，即：()()1g x g 0≥由⑦式得：()g 00=，故：()()1g x g 00≥=.当1x 0≠时，()()()1C A g x f x f x 0=->，即：()()()C A B f x f x f x >= 由于C x 和B x 同在单调递减区间，所以由()()C B f x f x >得：C B x x < 即：C 1B 211x x x x a a =+<=+，即：12x x <或21x x 0-> ⑨ ⑹ 得出结论那么，由⑨式得：()0A B 1x x x 2=+()12111x x 2a a =-++()21111x x a 2a=+-> 即：01x a> . 证毕. 本题的关键：首先求得极值点m 1x a =，以m x 为对称轴看,A B 的对称点就可以得到结论. 具体措施是：设C 点，利用函数的单调性得到C B x x <4、函数第4题已知函数()'()()x 121f x f 1e f 0x x 2-=-+.若()21f x x ax b 2≥++，求()a 1b +的最大值. 解析：⑴ 求出函数()f x 的解析式由于'()f 1和()f 0都是常数，所以设'()f 1A =，()f 0B =，利用待定系数法求出函数()f x 的解析式.设：()x 121f x Ae Bx x 2-=-+，则：()A f 0B e == 其导函数为：'()x 1f x Ae B x -=-+，则：'()f 1A B 1A =-+= 所以：B 1=，A e =，函数()f x 的解析式为：()x 21f x e x x 2=-+ ①⑵ 化简不等式()21f x x ax b 2≥++ 即：()x 2211f x e x x x ax b 22=-+≥++，故：()x e a 1x b 0-+-≥ ②⑶ 构建新函数()g x ，并求其极值点构建函数()()x g x e a 1x b =-+- ③其导函数：'()()x g x e a 1=-+ ④要使②式得到满足，必须()g x 0≥.即：'()g x 0≥，或()g x 的最小值等于0故当()g x 取得极值时有：'()M g x 0=，由④式得极值点：ln()M x a 1=+此时的()g x 由③得：()()()ln()M g x a 1a 1a 1b 0=+-++-≥ ⑤⑷ 求()a 1b +的最大值由⑤式得：()[ln()]b a 11a 1≤+-+，则：()()[ln()]2a 1b a 11a 1+≤+-+ ⑥令：y a 1=+，则⑥式右边为：()(ln )2h y y 1y =- （y 0>）其导函数为：'()(ln )()(ln )21h y 2y 1y y y 12y y=-+-=- ⑦ 当ln 12y 0->，即：(,)y 0e ∈时，'()h y 0>，()h y 单调递增；当ln 12y 0-<，即：(,)y e ∈+∞时，'()h y 0<，()h y 单调递减；当ln 12y 0-=，即：y e =时，'()h y 0=，()h y 达到极大值. 此时，()h y 的极大值为：()()(ln )2e h e e 1e 2=-= ⑧ ⑸ 得出结论将⑧代入⑥式得：()()e a 1b h y 2+≤≤，故：()a 1b +的最大值为e 2 本题的关键：利用已知的不等式()21f x x ax b 2≥++得到关于()a 1b +的不等式即⑥式，然后求不等式⑥式的极值.5、函数第5题已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中a 0>.若对任意的[,)x 0∈+∞，有()2f x kx ≤成立，求实数k 的最小值. 解析：⑴ 利用基本不等式求出a利用基本不等式x e 1x ≥+或ln y y 1≤-，得：ln()()x a 1x a -+≥-+即：ln()()x x a x 1x a 1a -+≥+-+=-，即：()ln()f x x x a 1a =-+≥-已知()f x 的最小值为0，故1a 0-=，即：a 1=或者，将[,)x 0∈+∞的端点值代入()f x ，利用最小值为0，求得a 1=⑵ 用导数法求出a函数()f x 的导函数为：'()1f x 1x a=-+ ① 当x a 1+<，即x 1a <-时，'()f x 0<，函数()f x 单调递减；当x a 1+>，即x 1a >-时，'()f x 0>，函数()f x 单调递增；当x a 1+=，即x 1a =-时，'()f x 0=，函数()f x 达到极小值. 依题意，()f x 的最小值为0，故当x 1a =-时，()f 1a 0-= 即：()ln()f 1a 1a 1a a 1a 0-=---+=-=，故：a 1= 函数的解析式为：()ln()f x x x 1=-+ ② ⑶ 构建新函数()g x当[,)x 0∈+∞时，有()2f x kx ≤，即：()ln()2f x x x 1kx =-+≤ 构建函数：()()ln()22g x f x kx x x 1kx =-=-+- ③ 则函数()g x 0≤，即()g x 的最大值为0. 实数k 的最小值对应于()g x 的最大值点. ⑷ 确定()g x 的单调区间和极值于是由③式得导函数为：'()()11g x 12kx x 2k x 1x 1=--=-++ ④ 当x 0=时，由③式得函数()g x 0=；则x 0=是极值点，同时x 0=也是区间的端点. 当x 0≠时，即：(,)x 0∈+∞当12k x 1>+，即1x 12k <-时，'()g x 0>，函数()g x 单调递增；当12k x 1<+，即1x 12k>-时，'()g x 0<，函数()g x 单调递减；当12k x 1=+，即m 1x x 12k ==-时，'()m g x 0=，函数()g x 达到极大值()m g x .故：()g x 从x 0=开始单调递增，直到m x x =达到()g x 的极大值，再单调递减，所以()g 0是个极小值. ()m g x 是个极大值，也是最大值.⑸ 求出最大值点m x将最值点m x x =代入③式得：（m 1x x 12k ==-） ()ln()()2m 111g x 1k 12k 2k 2k =----()[()]ln()1111k 12k 2k 2k=---+ ()()ln()1111k 2k 2k 2=--++()()ln()12k 12k 2k 2k 2-+=+ ()()ln()12k 12k 2k 4k+-=+ 由()g x 的最大值为0得：()()()ln()m 12k 12k g x 2k 04k +-=+= 即：2k 1=，即：1k 2=，此时m 1x 12k =-，即：m 12k 1x 1==+，即：m x 0= ⑹ 给出结论由于m x 0=，也是端点，结合⑷的结论，所以： ()g x 在[,)x 0∈+∞区间单调递减，()()m g x g 0=是个极大值，也是最大值. 由m 1x 102k =-=得出实数k 的最小值为：1k 2= 故：实数k 的最小值1k 2=. 本题关键：用构建新函数()g x 代替不等式()2f x kx ≤，通过求导得到极值点.特刊：特值解析由③式()()ln()22g x f x kx x x 1kx =-=-+-，要求函数()g x 0≤. 由③式可看出x 0=时，()g x 0=由()g x 0=得：ln()2x x 1k x -+=，令ln()()2x x 1K x x -+=我们只要求出ln()()2x x 1K x x -+=在极值点的值就好.用洛必达法则：ln()lim ()lim lim 2x 0x 0x 011x x 1x 1K x 2x x →+→+→+--++== lim lim ()x 0x 0x11x 12x 2x 12→+→++===+ 对应于()g x 0=的1k 2=，即：实数k 的最小值1k 2=. 6、函数第6题已知函数()x 2f x e ax ex =+-，（a R ∈），当a 在一定范围时，曲线()y f x =上存在唯一的点P ，曲线在P 点的切线与曲线只有一个公共点，就是P 点，求P 点的坐标.解析：⑴ 确定曲线的切线方程曲线：()x 2f x e ax ex =+- ①其导函数：'()x f x e 2ax e =+- ②设P 点的坐标为：(,())P P x f x ，则切线方程为： ()()'()()P P P y x f x f x x x =+- ③⑵ 构建新函数()g x ，并求导构建函数()()()g x f x y x =-，则切线与曲线的交点就是()g x 的零点.则：()()()'()()P P P g x f x f x f x x x =--- ④ 其导函数：'()'()'()P g x f x f x =- ⑤ 由②得：'()x f x e 2ax e =+-，'()P x P P f x e 2ax e =+-，代入⑤式得：'()()()()()P P x x x x P P g x e 2ax e 2ax e e 2a x x =+-+=-+- ⑥ ⑶ 分析a 0≥时函数()g x 的单调性和极值当a 0≥时：若P x x >，则P x x e e >，P 2ax 2ax ≥，故：'()g x 0>，()g x 单调递增；若P x x <，则P x x e e <，P 2ax 2ax ≤，故：'()g x 0<，()g x 单调递减；若P x x =，则P x x e e =，P 2ax 2ax =，故：'()g x 0=，()g x 达到极小值.由④式得：()g x 的极小值()P g x 0=.此时，()g x 的零点与P 点的取值有关，因此P 点的取值不唯一，所以()g x 的零点就不唯一.故当a 0≥时，不满足P 点唯一的条件.⑷ 分析a 0<时函数()g x 的切线当a 0<时：由⑥式，'()g x 0=的情况分两种：a> ()P x x P e e 02a x x 0⎧-=⎪⎨-=⎪⎩即：P x x =，此时与⑵的情形相同，P 点的取值不唯一.b> ()P x x P e e 2a x x 0-=--≠，即：P x x ≠，'()g x 0= 此时，()()P P x x x P e e 12a x x --=--，即：()P P x x x P e 12ae x x --=-- ⑦ ⑦式的解是曲线P x x y e -=与直线()P x P y 12ae x x -=--的交点. 曲线P x x y e -=恒过点(,)P x 1，直线()P x P y 12ae x x -=--也恒过点(,)P x 1，当曲线P x x y e -=过点(,)P x 1的切线斜率等于P x 2ae --时，其这个切线就是曲线的切线. 故：曲线P x x y e -=过点(,)P x 1的切线斜率为：()'P P x x x x k e 1-===于是：P x 2ae 1--=，即：P x e 2a =-，即：ln()P x 2a =- ⑸ 得到切点P 的坐标当a 0<时，ln()P x 2a =-就存在. 由于P x x y e -=在其定义域内是凸函数，所以与其切线的交点是唯一的.将ln()P x 2a =-代入①式得：()()ln ()ln()P x 22P P P f x e ax ex 2a a 2a e 2a =+-=-+--- 得到ln()P x 2a =-和()P f x ，这就是P 点的唯一坐标. ⑹ 结论切点P 的坐标：ln()P x 2a =-，()()ln ()ln()2P f x 2a a 2a e 2a =-+--- 本题要点：利用图象法解超越方程⑦. 7、函数第7题已知函数()ax f x e x =-，其中a 0≠. 在函数()y f x =的图象上取定两点(,())11A x f x ，(,())22B x f x ，且12x x <，而直线AB 的斜率为k .存在(,)012x x x ∈，使'()0f x k ≥成立，求0x 的取值范围.解析：⑴ AB 的斜率与()f x 的导函数由A 、B 两点的坐标得到直线AB 的斜率k ：()()()()21ax ax 21212121f x f x e x e x k x x x x ----==-- ()()()2121ax ax ax ax 212121e e x x e e 1x x x x ----==--- ① 函数()axf x e x =-的导函数为：'()ax f x ae 1=- ②⑵ 构建新函数()g x ，并求导判断'()0f x k ≥是否成立，即判断'()0f x k -是否不小于0.所以，构建函数：()'()g x f x k =-，若()g x 0≥，则'()0f x k ≥成立.则：()()21ax ax ax 21e e g x ae x x -=-- ③ 导函数：'()2ax g x a e = ④⑶ 求()g x 在区间端点的函数值由③式得：()()211ax ax ax 121e e g x ae x x -=--()[()]121ax a x x 2121e a x x e 1x x -=--+- ()[()]121ax a x x 2121e e a x x 1x x -=----- ⑤()()212ax ax ax 221e e g x ae x x -=--()[()]212ax a x x 2121e a x x 1e x x -=--+- ()[()]212ax a x x 1221e e a x x 1x x -=---- ⑥ ⑷ 确定()g x 的零点存在利用基本不等式：x e 1x ≥+，当且仅当x 0=时取等号.即：x e x 10--≥ ⑦将⑦式应用于⑤式得：()1g x 0< （21x x 0-≠）将⑦式应用于⑥式得：()2g x 0> （21x x 0-≠）则()()12g x g x 0⋅<，证明其存在性.函数()g x 在(,)12x x 区间是连续的，其导函数也存在.由④式得：'()2ax g x a e 0=>，即函数()g x 为单调递增函数. ()g x 是单调函数，则证明其唯一性.由()1g x 0<和()2g x 0>以及函数零点存在定理得，函数()g x 必过零点，且是唯一零点.⑸ 求()g x 在(,)12x x 区间的零点位置设函数()g x 在(,)12x x 区间的零点位置在3x ，则有()3g x 0= 由③式得：()()213ax ax ax 321e e g x ae 0x x -=-=- （a 0≠）即：ln ()21ax ax 3211e e x a a x x -=- ⑦ 且：(,)312x x x ∈ ⑹ 求()g x 在(,)12x x 区间的0x由④式'()2ax g x a e 0=>得：函数()g x 为单调递增函数，故：在(,)013x x x ∈区间，()()03g x g x 0<=；在(,)032x x x ∈区间，()()03g x g x 0>=；在03x x =时，()()03g x g x 0==.故，()0g x 0≥的区间为[,)032x x x ∈，即：[ln ,)()21ax ax 02211e e x x a a x x -∈- 本题要点：构建函数关系式③，由其导数得出单调性、增减性，得出零点. 8、函数第8题已知函数()ln()f x x 1x 11=+++-.证明：当0x 2<<时，()9x f x x 6<+ 证明：⑴ 构建新函数()g x ，并求导构建函数()ln()9x g x x 1x 11x 6=+++--+ ① 导函数'()()21154g x x 12x 1x 6=+-+++ ② 即：'()()()22x 154g x 2x 1x 6++=-++ ③ 函数()g x 满足()g 00=，'()g 00=，现在只要证明，当0x 2<<时，()g x 0<，则()9x f x x 6<+. ⑵ 化掉②式中的根号项. 要保持不等号的方向不变，只有(*)12x 1≤+即：(*)x 1+≥ 或(*)x 1+≤. （(*)代表某个不含根号的式子）由于有(*)x 1+≥和(*)x 1+≤的两种选项，所以采用化掉x 1+的方法.由均值不等式：()2221x 11x 1x 2⋅⋅+≤++=+得：x x 112+≤+ 代入③式得：'()()()()()22x 2154x 6542g x 2x 14x 1x 6x 6+++≤-=-++++ 即：()()'()()()32x 6454x 1g x 4x 1x 6+-⋅⋅+≤++()()()()332x 66x 14x 1x 6+-⋅+=++ ④⑶ 求函数()g x 的极值点当()g x 取极值时，'()g x 0=.故由④式得：()()33x 66x 10+-⋅+=，即：3x 66x 1+=+ ⑤ 令3t x 1=+，（31t 3<<）则⑤式为：3t 56t +=，即：3t 6t 50-+= ⑥分解因式法：()()33t 6t 5t 16t 1-+=---()()2t 1t t 16=-++-()()2t 1t t 50=-+-=故有：1t 1=，及()2t t 50+-=，即：,231120t 2-±+=由于31t 3<<，所以舍掉负值，故取2211t 2-= 所以有：1t 1=，2211t 2-=，即：1x 0=，32211x 12⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭ 由于()()()=3321121121122221288⎛⎫----= ⎪ ⎪⎝⎭ ()()161112536444--⨯>=> 所以2x 3> 函数在两个相邻极值点之间[,]03是单调的.。

贵州省兴义市第八中学2015届高三(高素班)冲刺强化训数学试题

兴义八中2015届高素班冲刺强化训练1．已知函数231()1()32mx m n x f x x +++=+的两个极值点分别为12,x x ，且1(0,1),x ∈2x ∈()1,+∞，点(,)P m n 表示的平面区域为D ，若函数log (4),(1)a y x a =+>的图像上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围是（）A ．(]1,3B ． ()3,+∞C ．()1,3D ．[)3,+∞ 2．已知函数222,(04)()23,(46)-⎧--≤<=⎨-≤≤⎩x x x f x x ，若存在12,x x ，当12046x x ≤<≤≤时，12()()f x f x =，则12()x f x ⋅的取值范围是（）A ．[0,1)B ．[1,4]C ．[1,6]D ．[0,1][3,8] 3．函数||ln 2sin )(x e x x f +=的图象的大致形状是（）4．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知12,F F 是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当1260F PF ∠=︒时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为（）（A （B （C ）2（D ）125．已知函数()y f x =是定义在R 上的增函数，函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，若任意的,x y R ∈,不等式22(6x 21)(8)0f x f y y -++-<恒成立，则当3x >时，22x y +的取值范围是（）A ．(3,7)B ．(9,25)C ．(13,49)D ．(9,49)6．设函数()f x 的定义域为D ，若函数()f x 满足条件：存在[,]a b D ⊆，使()f x 在[,]a b 上的值域是[,]22a b，则称()f x 为“倍缩函数”，若函数2()log (2)x f x t =+为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是（）A ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-41, C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0 D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-41,7．已知函数()f x 的定义域是R ，()f x '是()f x 的导数，()1f e =，()()()g x f x f x '=-，()10g =，()g x 的导数恒大于零，函数()()x h x f x e =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）的最小值是．8．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，E 在CD 延长线上，且DE CD =．动点P 从点A出发沿正方形ABCD 的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP AB AE λμ=+，则下列命题正确．．的是．（填上所有正确命题的序号）①0,0λμ≥≥；②当点P 为AD 中点时，1λμ+=； ③若2λμ+=，则点P 有且只有一个； ④λμ+的最大值为3；⑤AP AE ⋅的最大值为1．9．设,x y 满足约束条件：32020,0,0x y x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥≥⎩若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为2，则a bab+的最小值为． 10．中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为1F 、2F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F △是以2PF 为底边的等腰三角形．若210PF =，双曲线离心率的取值范围为()1,2，则椭圆离心率的取值范围是．11．（本小题满分l4分）已知函数1()(1)ln ,()f x ax a x a R x=+-+∈．（Ⅰ）当a=0时，求 ()f x 的极值；（Ⅱ）当a<0时，求 ()f x 的单调区间；（Ⅲ）方程()0f x =的根的个数能否达到3，若能请求出此时a 的范围，若不能，请说明理由，12．（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和记为 11,2,n n n S a a S n +==+，等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且39T =，又 112233,,a b a b a b +++成等比数列．（Ⅰ）求 {}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求证：当n ≥2时，2221211145nb b b ++⋅⋅⋅+< 13．（本小题满分12分）已知函数27()sin 22sin 1()6f x x x x π⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭R ，（Ⅰ）求函数()f x 的周期及单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，已知函数()f x 的图象经过点1,,,,2A b a c ⎛⎫⎪⎝⎭成等差数列，且9AB AC ⋅= ，求a 的值． 14．在ABC ∆中，角A 、B 、C的对边分别为,,a b c ，已知向量33(cos ,sin ),22A A m = (cos ,sin ),22A A n =且满足m n +=（1）求角A 的大小；（2）若,b c +=试判断ABC ∆的形状．15．（本小题满分12分）已知函数 ()sin (0)f x x ωω=->在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；如图，四边形OACB 中，a ，b ，c 为△ABC 的内角以B ， C 的对边，且满足sin sin tan 4cos cos 3B c A BC ω+=--．（Ⅰ）证明：b+c =2a ：（Ⅱ）若b=c ，设 AOB θ∠=．(0),22OA OB θπ<<==，求四边形OACB 面积的最大值． 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，3B π=．（Ⅰ）若3b =，2sin sin()3A A π=+，求A 和,a c ；（Ⅱ）若1sin sin 2A C =，且ABC ∆的面积为b 的大小． 17．（本小题满分12分）（Ⅰ）已知等差数列{}n a ,12()nn a a a b n n++++=∈N ，求证：{}n b 仍然为等差数列；（Ⅱ）已知等比数列{}n c ，0()n c n +>∈N ，类比上述性质，写出命题并证明． 18．已知公差0≠d 的等差数列{}n a 满足32=a ，且1a 、3a 、7a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）数列{}n b 满足nn n n n a aa ab 11+++=，求数列{}n b 的前n 项的和n S ；（3）设⎪⎭⎫⎝⎛-=+λn a c n nn 12，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数λ的取值范围． 19．在各项为正的数列{}n a 中，数列的前n 项和n S 满足⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n a a S 121，（1）求321,,a a a ；（2）由（1）猜想数列{}n a 的通项公式；（3）求n S20．（本题满分15分）如图，四棱锥ABCD E -中，面EBA ⊥面ABCD ，侧面ABE 是等腰直角三角形，EB EA =，CD AB //，BC AB ⊥，222===BC CD AB ．（Ⅰ）求证：ED AB ⊥；（Ⅱ）求直线CE 与面DBE 的所成角的正弦值． 21．（本题满分15分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，E AM AD DAB ,1,2,600===∠是AB 的中点．（1）求证：AN ∥平面MEC ；（2）在线段AM 上是否存在点P ，使二面角D EC P --的大小为6π？若存在，求出AP 的长；若不存在，请说明理由．22．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形，120BCD ∠= ，2AB PC ==，AP BP ==（Ⅰ）求证：AB PC ⊥；（Ⅱ）在线段AD 上是否存在点Q ，使得直线CQ 和平面BCP 所成角θ？若存在，请说明点Q 位置；若不存在，请说明不存在的理由.23．（本小题满分14 分）如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，DE AB ⊥于ADCBP点E ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D DC ⊥ ，如图 2．（1）求证：1A E ⊥平面BCDE ；（2）求二面角1E A B C --的余弦值；（3）判断在线段EB 上是否存在一点P ，使平面1A DP ⊥平面1A BC ？若存在，求出EPPB 的值；若不存在，说明理由．24．一个商场经销某种商品，根据以往资料统计，每位顾客采用的分期付款次数ξ的分布列为：商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；采用2期或3期付款，其利润为250元；采用4期或5期付款，其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润. （1）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位采用1期付款的概率；（2）求η的分布列及期望()E η．25．（本小题满分12分）某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如下表所示：（Ⅰ）如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率是多少?（Ⅱ）若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取两名学生参加某项活动，问两名学生中有1名男生的概率是多少？（Ⅲ）学生的积极性与对待班级工作的态度是否有关系? 请说明理由．附：()()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=2226．某个海边旅游景点，有小型游艇出租供游客出海游玩，收费标准如下：租用时间不超过2小时收费100，超过2小时的部分按每小时100收取（不足一小时按一小时计算）．现甲、乙两人独立来该景点租用小型游艇，各租一次．设甲、乙租用不超过两小时的概率分别为13，12；租用2小时以上且不超过3小时的概率分别为12，13，且两人租用的时间都不超过4小时．（Ⅰ）求甲、乙两人所付费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．27．（本小题满分12分）为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12．（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数；（Ⅱ）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X 表示体重超过60公斤的学生人数，求X 的分布列和数学期望． 28．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x y O 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线1C :452x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线2C :26cos 10sin 90ρρθρθ--+=．（Ⅰ）将曲线1C 化成普通方程，将曲线2C 化成参数方程；（Ⅱ）判断曲线1C 和曲线2C 的位置关系． 29．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x y O 中，直线l的参数方程为3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为ρθ=．（1）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）若点P坐标为(，圆C 与直线l 交于A ，B 两点，求PA +PB 的值． 30．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，,E F 两点的坐标分别为()0,1、()0,1-，动点G 满足:直线EG 与直线FG 的斜率之积为14-．（1）求动点G 的轨迹方程；（2）设,A B 为动点G 的轨迹的左右顶点，P 为直线4=x l ：上的一动点（点P 不在x 轴上），连[AP 交G 的轨迹于C 点，连PB 并延长交G 的轨迹于D 点，试问直线CD 是否过定点？若成立，请求出该定点坐标，若不成立，请说明理由．31．（本小题满分12分）已知抛物线1:C 22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上存在一点G 到焦点的距离为3，且点G 在圆:C 229x y +=上．（Ⅰ）求抛物线1C 的方程；（Ⅱ）已知椭圆2:C 22221 (0)x y m n m n +=>>的一个焦点与抛物线1C 的焦点重合，且离心率为12．直线:4l y kx =-交椭圆2C 于A 、B 两个不同的点，若原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，求k 的取值范围．32．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，右准线为l ，l 与x 轴相交于点T ，且F 是AT 的中点．（1）求椭圆的离心率；（2）过点T 的直线与椭圆相交于,M N 两点，,M N 都在x 轴上方，并且M 在,N T 之间，且2NF MF =．①记,NFM NFA ∆∆的面积分别为12,S S ，求12S S ； ②若原点O 到直线TMN的距离为41，求椭圆方程． 33．已知曲线32()228f x x x ax =--++在(1,(1))f 处的切线与直线310x y -+=垂直．（Ⅰ）求()f x 解析式；（Ⅱ）求()f x 的单调区间并画出()y f x =的大致图象；（Ⅲ）已知函数2()()2g x f x x mx =+-，若对任意12,[1,2]x x ∈，总有121()[()x x g x --2()]0,g x >求实数m 的取值范围．34．（12分）设函数()()21ln 12a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为0．（1）求b ；（2）若存在01,x ≥使得1)(0-<a ax f ，求a 的取值范围。

2015届高中数学冲刺六大专题系列之深度几何专题

几何类专题1、如图已知ABC ∆中，BC a =，CA b =,AB c =,D 是BC 边上的中点，中线a AD m =，求a a m m a b c (,,)=的解析式.2、如图已知ABC ∆中，BC a =，CA b =,AB c =,AD 是BAC ∠的平分线，a AD t =，求a a t t a b c (,,)=的解析式.3、如图已知ABC ∆中，BC a =，CA b =,AB c =,AD 是BC的高，a AD h =，求a a h h a b c (,,)=的解析式.4、如图已知ABC ∆中，BC a =，CA b =,AB c =,D 是BC边上的点，AD y =，BD x =，求y y x ()=的解析式.5、如图已知，在直角坐标系xOy 中，A B C D ,,,点的坐标分别为：A a 0(,)-，B 0b (,)-，C c 0(,)，D 0d (,).求证：a c b d ()()++≤6、如图已知ABC ∆中，BC a =，CA b =,AB c =,AE3EC=，CD 1DB 2=，求BF ?=ABCD ABCDABCDABCD ABC DEF7、如图已知ABC ∆的三个边长为BC a =，CA b =AB c =，P是ABC ∆的任意内点，连接AP 延线交BC 于D ，连接BP 延线交CA 于E ，连接CP 延线交AB 于F . 求证：⑴ AF BD CE 1FB DC EA ⋅⋅=；⑵ AP BP CP2AD BE CF++=8、如图已知锐角ABC ∆的三个边长为BC a =，CA b =，AB c =，D E F,,分别是BC CA AB ,,边上的点，求：DEF ∆的周长S DE EF FD =++的最小值.9、如图已知锐角ABC ∆的三个边长为BC a =，CA b =，AB c =，P是ABC ∆的内点，求P 点到ABC ∆三个顶点的距离之和L PA PB PC =++的最小值.10、如图已知，G 为ABC ∆的重心，GA 3=，GB 4=，GC 5=，求ABC ∆的面积.11、如图已知，P 是等边ABC ∆的一个内点，满足PA 3=，PB 4=，PC 5=，求ABC ∆的周长.A BCDEFABCPA BCGACP12、如图已知正方形ABCD 内有一点P ，若PA a =，PB 2a =，PC 3a =，求正方形ABCD 的周长.13、如图已知正方形ABCD 内有一点P ，若P 到A B C,,三点的距离之和有最小值，当最小值为时，求此正方形ABCD 的周长14、设等边ABC ∆的外接圆圆心为O ，圆半径为R ，P是圆外一点，OP D R =>，求由线段PA ，PB ，PC 所构成的三角形的面积S ?=15、如图已知，半径为R =的圆O圆O 与x 轴相交于A B ,，与y 轴相交于CD . 过A 的任意一直线交圆O 于E ，交y 轴于F ，求AE AF ?⋅=16、如图已知ABC ∆的三个边长为BC a =，CA b =，AB c=，其三个内角平分线长分别为a AD t =，b BE t =，c CF t =，求证：a b c t t t abc <PABCOA BCDEF17、如图所示，P是ABC∆的一个内点. 延长AP BP CP,,分别与对边相交于D E F,,，设AP a=，BP b=，CP c=，而PD PE PF d===.已知a b c43++=，d3=，求abc?=18、已知ABC∆的三个边长分别为BC3=，CA4=，AB5=，P为ABC∆的一个内点，设P到这三边的距离PD x=，PE y=，PF z=，求这三数乘积xyz 的最大值.19、已知P是ABC∆的一个内点，在ABC∆的周界上求找一点Q，使得折线APQ平分ABC∆的面积.如何找到Q点.20、如图已知P是ABC∆的一个内点，D E F,,分别是P到BC CA AB,,所引垂线的垂足，若P点使BC CA ABSPD PE PF=++为最小值，求这个最小值. 21、设O I,分别为ABC∆的外心与内心，R r,分别是ABC∆外接圆与内切圆的半径，外心与内心之距记为OI d=，求证：22d R2Rr=-A BCPDEFA BCPQBCPDEF22、如图所示，从圆O 外的一点A ，引两条圆O 的切线AB 、AC ，其中，A B ,为切点，连结BC . 从A 引圆O 的任意一条割线交圆O 于P Q ,，交BC 于R .求证：211AR AP AQ=+23、如图所示，设O 为ABC ∆的外心，外接圆半径为R. 若AO BO CO,,的延长线分别交BC CA AB ,,于点D E F ,,.求证：1112AD BE CF R++=几何类专题解析1、如图已知ABC ∆中，BC a =，CA b =,AB c =,D 是BC 边上的中点，中线a AD m =，求a a m m a b c (,,)=的解析式. 解析：⑴本几何题作辅助线的方法：“三角形中有中线，延长中线等中线.”将AD 延长至E ，使DE AD =. 连结BE CE ,. 如图1-2 ⑵依据平行四边形判定法则： “三对一组平分线” 三对：两组对边分别平行；两组对边分别相等；两组对角分别相等.ABCOP QREFABC DEFOABCDABCDE图1-2一组：一组对边平行且相等. 平分线：对角线互相平分.满足上述条件之一的四边形为平行四边形.本题，BD DC = (D 是BC 的中点)，DE AD =，满足对角线互相平分，所以，四边形ABEC 是平行四边形.故：AB CE =，AC BE =，o BAC ACE 180∠+∠= 则：BAC ACE 0cos cos ∠+∠=⑶对ABC ∆，由余弦定理得：222BC AB AC 2AB AC BAC cos =+-⋅⋅∠ ① 对ACE ∆，由余弦定理得：222AE AC CE 2AC CE ACE cos =+-⋅⋅∠22AC AB 2AC AB ACE cos =+-⋅⋅∠ ②由①+②得：2222BC AE 2AB 2AC 2AB AC BAC ACE (cos cos )+=+-⋅∠+∠222AB 2AC =+即：2222a a 2m 2b 2c ()+=+ ③③式表明：平行四边形两条对角线的平方和等于其四条边的平方和. 由③得：2222a 1m 2b 2c a 4()=+-即：a m =这就是三角形的中线长定理. 本题使用余弦定理即可解题，属中学数学范畴.2、如图已知ABC ∆中，BC a =，CA b =,AB c =,AD 是BAC ∠的平分线，a AD t =，求a a t t a b c (,,)=的解析式.解析：⑴几何题作辅助线确定BDDC，方法：ABCD“图中有角平分线，垂线、对称、平行线” A> 垂线过D 点分别作AB 、AC 的垂线，垂足为E F ,.则：DE DF =于是：ABD ADC 1AB DE S AB21S ACAC DF 2∆∆⋅⋅==⋅⋅ ① 又：ABD ADC 1BD AD ADB S BD 21S DC DC AD ADC 2sin sin ∆∆⋅⋅⋅∠==⋅⋅⋅∠ ② 由①②得：BD ABDC AC= ③ ③式就是三角形的角平分线定理. B> 平行线过B 点作BG AC //，交AD 得延长线于G . 则：BGD ADC ∆∆∽ 于是：BCD CAD BAD ∠=∠=∠，则：BG AB =，BD BG ABDC AC AC== 同样得到③式 ⑵在ABD ∆中，由余弦定理得：222AB AD BD 2AD BD ADB cos =+-⋅⋅∠即：222AB DC AD DC BD DC 2AD BD DC ADB cos ⋅=⋅+⋅-⋅⋅⋅∠ ④在ACD ∆中，由余弦定理得：222AC AD DC 2AD DC ADC cos =+-⋅⋅∠ 即：222AC BD AD BD DC BD 2AD BD DC ADC cos ⋅=⋅+⋅-⋅⋅⋅∠ ⑤ 由④+⑤及ADB ADC 0cos cos ∠+∠=得：22AB DC AC BD ⋅+⋅2222AD DC BD DC AD BD DC BD =⋅+⋅+⋅+⋅ 2AD BC BD DC BC =⋅+⋅⋅ABCDE FABCDG该式称为斯特瓦尔特定理. 故：222DC BDAD AB AC BD DC BC BC=⋅+⋅-⋅ ⑥ 由③式得：BD AB DC BD AC AB =++，即：BD ABBC AC AB=+及：BD DC AB AC DC AC ++=，即：DC AC BC AB AC=+ 代入⑥式后化简得：2AD AB AC BD DC =⋅-⋅ ⑦⑦式是角平分线定理的一个推论，或者说是角平分线定理另一种形式.叫做斯库顿定理. 于是：2AD AB AC BD DC =⋅-⋅AB BC AC BCAB AC AB AC AB AC⋅⋅=⋅-⋅++2BC AB AC 1AB AC ⎡⎤⎛⎫=⋅-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦22a bc 1b c ()⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦故：a t =这就是角平分线长的公式. 本题解法属中学内容. 3、如图已知ABC ∆中，BC a =，CA b =,AB c =,AD 是BC 的高，a AD h =，求a a h h a b c (,,)=的解析式.解析：⑴已知三边的面积由海伦公式得出. 首先推导海伦公式.由余弦定理得：2222ab C a b c cos =+-平方后得：22222224a b C a b c cos ()=+-，即：22222224a b 1C a b c (sin )()-=+- 则：2222222224a b C 4a b a b c sin ()=-+-ABCD2222222ab a b c 2ab a b c [()][()]=-+-++- 2222c a b a b c [()][()]=--+-c a b c a b a b c a b c [][][][]=+--++++-于是：2221c a b c a b a b c a b ca b C 42222sin [][][][]+--++++-= c a b c b a a b c a b cb ac 2222[][][][]++++++++=--- p b p a p p c ()()()=---上式中，a b cp 2++=，为三角形的半周长. 上式开平方并代入ABC 1S ab C 2sin ∆=得：ABC 1S ab C 2sin ∆==①这就是计算三角形面积的海伦公式. ⑵由三角形面积ABC a 1S a h 2∆=⋅得：ABCa 2S h a∆=将①式代入得：ABC a 2S h a ∆==本题由海伦公式得到答案，海伦公式由余弦定理推出. 4、如图已知ABC ∆中，BC a =，CA b =,AB c =,D 是BC 边上的点，AD y =，BD x =，求y y x ()=的解析式. 解析：对ABD ∆应用余弦定理得：222AB AD BD 2AD BD ADB cos =+-⋅⋅∠两边同乘以DC 得：222AB DC AD DC BD DC 2AD BD DC ADB cos ⋅=⋅+⋅-⋅⋅⋅∠ ①ABCD对ACD ∆应用余弦定理得：222AC AD DC 2AD DC ADC cos =+-⋅⋅∠ 两边同乘以BD 得：222AC BD AD BD DC BD 2AD DC BD ADC cos ⋅=⋅+⋅-⋅⋅⋅∠ ②由于o ADB ADC 180∠+∠=，所以ADB ADC 0cos cos ∠+∠= 由①+②得：22AB DC AC BD ⋅+⋅22AD DC BD DC 2AD BD DC ADB cos =⋅+⋅-⋅⋅⋅∠ 22AD BD DC BD 2AD DC BD ADC cos +⋅+⋅-⋅⋅⋅∠222AD DC BD BD DC DC BD ()=++⋅+⋅ 2AD DC BD BD DC BD DC ()()=++⋅+2AD BC BD DC BC =⋅+⋅⋅该式称为斯特瓦尔特定理. 所以：222DC BDAD AB AC BD DC BC BC=⋅+⋅-⋅ 22BC BD BDAB AC BD BC BD BC BC()-=⋅+⋅-⋅- 2222222BD BD BD BD AB AB AC BC BC BC BC BC BC =-⋅+⋅-⋅+⋅ 2222222BD BD AB AB BC AC BC BC BC()=-+-⋅+⋅ 故：22222222x x y c c a b a a a()=-+-⋅+⋅y =当x 0=时，y c =，就是AB 边长；当1x a 2=时，y =当x a =时，y b =，就是AC 边长. 本题是上面3题的一个普遍解.5、如图已知，在直角坐标系xOy 中，A B C D ,,,点的坐标分别为：A a 0(,)-，B 0b (,)-，C c 0(,)，D 0d (,).求证：a c b d ()()++≤证明：⑴首先对A B C D ,,,四点共圆的情况过A 点作直线AE 交纵轴于E (如图5-1)，使得BAE CAD ∠=∠.此时因ABE ACD ∠=∠(同弧上的圆周角) 所以ABE ACD ∆∆∽ 则：BE ABCD AC= （对应边成比例）即：BE AC AB CD ⋅=⋅ ① 且：AD ACAE AB= （对应边成比例）即：AD AEAC AB=，而：BAE CAD ∠=∠ 故：AED ABC ∆∆∽ （两边夹一角）相似三角形判定五法则：“相似图形要判定，边成比例角相等” “直线平行于一边，构成相似三角形” “两角对应各相等，三组对边比相同” “两组对边比不足，还要夹角也相等”上面最后一行就是“两边夹一角” 那么，BC ACED AD=，即：ED AC BC AD ⋅=⋅ ② 由①+②得：AC BE ED AB CD BC AD ()⋅+=⋅+⋅ ③对于A B C D ,,,四点共圆，有BE ED BD += 则③式为：AC BD AB CD BC AD ⋅=⋅+⋅ 这就是托勒密定理的一个特例. ⑵对于一般情况，有BE ED BD +≥则：AC BD AC BE ED AB CD BC AD ()⋅≤⋅+=⋅+⋅ ④对于本题，AC a c =+，BD b d =+，AB =CD =BC =AD =.本题就是广义托勒密定理的一个特例. 6、如图已知ABC ∆中，BC a =，CA b =,AB c =,AE3EC=，CD 1DB 2=，求BF ?= 解析：过B 点作BG AC //交EF 于G ，如图6-1.则：EDC GDB ∆∆∽于是：BD BGDC CE= ① 同样，因为BG AC //，则：BFG AFE ∆∆∽ 于是：AF AEBF BG= ② ①②两式相乘得：ABC DEFABC DEFG图6-1BD AF BG AE AEDC BF CE BG CE⋅=⋅= 即：BD CE AF1DC AE BF⋅⋅= ③ 直线与三角形的三边相交，所分割的三边比例的乘积是1. ③式就是梅捏劳斯定理. 由③式得：BF BD CE AF DC AE =⋅，即：BF BD CEAB BF DC AE⋅=+⋅ 故：BF BD CE 1DC AE AB DC AE BD CE1BD CE⋅==⋅-⋅⋅-即：AB cBF 2c DC AE 1131BD CE 2===⋅-⋅-7、如图已知ABC ∆的三个边长为BC a =，CA b =，AB c =，P是ABC ∆的任意内点，连接AP 延线交BC 于D ，连接BP 延线交CA 于E ，连接CP 延线交AB 于F . 求证：⑴AF BD CE 1FB DC EA ⋅⋅=；⑵ AP BP CP 2AD BE CF++= 证明：⑴将边长比换成面积比CAF CAF PAF CAPPAF CFB PFB CFB PFB CPBS S S S S AF FB S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆-====- ① ABD PBD ABD PBD ABPADC PDC ADC PDC APCS S S S S BD DC S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆-====- ② BCE PCE BCE PCE BPCBEA PEA BEA PEA BPAS S S S S CE EA S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆-====- ③ 将①②③三式相乘得：CAP BPCABP CPB APC BPAS S S AF BD CE 1FB DC EA S S S ∆∆∆∆∆∆⋅⋅=⋅⋅= 该式就是赛瓦定理. ⑵同样将边长比换成面积比ACP ABP ACP ABP ACPABP ABD ACD ABD ACD ABC S S S S S S AP AD S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆++====+ BCP BCP ABP BCP ABPABP BCE ABE BCE ABE ABC S S S S S S BP BD S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆++====+ BCP ACP BCP ACP BCP ACPBCF ACF BCF ACF ABCS S S S S S CP CF S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆++====+ 上面三式相加得：AP BP CPAD BE CF++ ABP ACP BCP ABP BCP ACPABC ABC ABC S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆+++=++ABP ACP BCP ABP BCP ACPABC ABC S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆++++=+ABC ABC ABC ABCS S 2S S ∆∆∆∆=+= 证毕. 采用面积的方法是几何中最常用的方法之一. 8、如图已知锐角ABC ∆的三个边长为BC a =，CA b =，AB c=，D E F ,,分别是BC CA AB ,,边上的点，求：S DE EF FD =++的最小值.解析：⑴首先以AB AC ,为对称轴做对称图形如下：B ’,H 分别是B,D 关于AC 的对称点； C ’,G 分别是C,D 关于AB 的对称点. 则：GF FD =，EH EC = ①A BCDEFBFD GFB AFE 3∠=∠=∠=∠DEC CEH FEA 2∠=∠=∠=∠同理：BDF EDC 1∠=∠=∠当G F E H ,,,四点共线时，S 值最小. ⑵在AFE ∆中，三角形的内角和：o 23A 180∠+∠+= ②在BDF ∆中：o 13B 180∠+∠+= ③ 在CED ∆中：o 12C 180∠+∠+= ④ 以及DEF ∆的内角和o DEF 180∠∆=；于是：o BDC 21FDE 180∠=∠+∠=，o CEA 22DEF 180∠=∠+∠=，o AFB 23EFD 180∠=∠+∠=将上面三式相加得：o 212223DEF 3180∠+∠+∠+∠∆=⨯ 故：o 123180∠+∠+∠= ⑤由②⑤得：1A ∠=；由③⑤得：2B ∠=；由④⑤得：3C ∠=ABCDEF B ’C ’GHA BCDEFB ’C ’G H1∠1∠1∠2∠2∠2∠3∠3∠3∠所以：AFE BDF CED ABC ∆∆∆∆∽∽∽⑶设BD x =，CE y =，AF z =. 则由相似三角形对应边成比例得：由BDF ABC ∆∆∽得：BF BDBC AB= (1A ∠=对应边之比=3C ∠=对应边之比) 即：c z xa c-=，即：2ax cz c += 同理得：a x yb a -=，即：2by ax a += 同理得：b y zc b-=，即：2cz by b += 将上面三式代入余弦定理：222a b c 2bc A cos =+-得：by ax cz by ax cz 2bc A cos +=+++-，即：z b A cos = ⑥将上面三式代入余弦定理：222b a c 2ac B cos =+-得：x c B cos = ⑦ 将上面三式代入余弦定理：222c a b 2ab C cos =+-得：y a C cos = ⑧ 由⑥⑦⑧三式结合图形知：D E F ,,是ABC ∆三条高线的垂足. ⑷现在来求S DE EF FD =++的最小值前面已经求出G F E H ,,,四点共线时的各个角度.现在，连接AD 、AG 、AH ，由对称性知：AG AD =，AH AD =，故：AG AH h == （设AD h =）且因为AD BC ⊥，所以AG BC '⊥，AH B C '⊥ 因此AGB AHB '∆∆≌，则GAH 2A ∠= 则在AGH ∆中，由余弦定理得：22222GH AH AG 2AH AG 2A 2h 2h 2A cos()cos()=+-⋅⋅=-即：22222GH 2h 12A 2h 2A 2h A (cos )sin (sin )=-=⋅=故：GH 2h A sin =，即S DE EF FD =++的最小值是2h A sin由三角形的面积公式：ABC 1S bc A 2sin ∆=和 ABC 1S ah 2∆=得：ABC 2S A bc sin ∆=，ABC 2S h a∆=以及ABC S ∆=a b cp 2++=）代入可得S DE EF FD =++的最小值GH ：2ABC ABC ABC2S 2S 8S GH 2h A 2a bc abcsin ∆∆∆==⋅⋅=本题思路是沿对称线展开使DEF ∆的三边处于同一条直线上，达到周长最短.9、如图已知锐角ABC ∆的三个边长为BC a =，CA b =，AB c =，P是ABC ∆的内点，求P 点到ABC ∆三个顶点的距离之和L PA PB PC =++的最小值. 解析：⑴将ABP ∆绕A 点顺时针旋转o 60得到的图象如图9-1. 则：B 转到D ，P转到E ，AP 转到AE，BP 转到ED .则：PB DE =那么，APE ∆是正三角形，ABD ∆是正三角形. 连结DC ，则PA EP AE ==，AB AD BD == 于是：L PA PB PC EP DE PC DC =++=++≥ ① 当E P ,两点都在直线DC 上时，L DC =达到最小值. 此时的P 点称为费马点. ⑵当D E P C ,,,四点共线时：o o o o APC 180APE 18060120∠=-∠=-=ABCPABCPDE图9-1o o o o APB AED 180AEP 18060120∠=∠=-∠=-= o o BPC 360APC APB 120∠=-∠-∠=即，当PA PB PC ,,互成o 120时，D E P C ,,,四点共线，此时L PA PB PC =++达到最小值. 费马点P 与三个顶点的连线平分P 点的角度. ⑶在ABC ∆中，由余弦定理得：222BC AB AC 2AB AC A cos =+-⋅⋅即：222c b a 2bc A cos +=+ ②222222AB AC BC c b a A 2AB AC 2bccos +-+-==⋅ ③由ABC ∆的面积公式得：ABC2S A bcsin ∆=④ 其中ABC S ∆是ABC ∆的面积，由海伦公式可求. 在ADC ∆中，由余弦定理得：222DC AD AC 2AD AC DAC cos =+-⋅⋅∠22AB AC 2AB AC DAB BAC cos()=+-⋅⋅∠+∠ 22o c b 2bc 60A cos()=+-+将②式代入上式得：22o DC a 2bc A 2bc 60A cos cos()=+-+ 2o a 2bc A 60A [cos cos()]=+-+ 2o o a 2bc 23030A [sin sin()]=++ 2o o a 2bc 30A 30A (sin cos cos sin )=++2a bc A A cos sin =++故：DC =⑤ 将③和④两式代入⑤式，得到结果.ABCPDE图9-1本题采用旋转方法使所求的线段处于一条直线上，即四点共线法求最小值. 10、如图已知，G 为ABC ∆的重心，GA 3=，GB 4=，GC 5=，求ABC ∆的面积.解析：延长CG 到CD 2CG =，连结AD 、BD ，则G 为CD中点.因为GA 3=，GB 4=，GC 5=，满足勾股定理，所以AGB ∆为直角三角形，AGBD 为矩形.故：ACG AGD AGBD 1S S S 2∆∆==CGB BDG AGBD 1S S S 2∆∆==AGBAGBD 1S S 2∆= 这三者之和就是ABC ∆的面积.故：ABC ACG CGB AGB S S S S ∆∆∆∆=++AGBD 33S 341822==⨯⨯=本题利用“勾三股四”构成直角三角形，以及中线平分三角形面积来计算出答案.另：根据重心的性质，重心与三角形顶点的连线平分三角形的面积.由此可知：ACG CGB AGB ABC 1S =S =S =S 3∆∆∆∆，进而得到答案. 11、如图已知，P 是等边ABC ∆的一个内点，满足PA 3=，PB 4=，PC 5=，求ABC ∆的周长.解析：⑴设P 关于AB BC CA ,,的对称点为E F G ,,，如图11-1,连结EF FG GE ,,，连结AE EB BF FC CG GA ,,,,,,由于对称性可知：A BCGACPA BCGD 图10-1EA PA GA ==，EB PB FB ==，FC PC GC ==同样由于对称性：EAG 2A ∠=∠，FBE 2B ∠=∠，GCF 2C ∠=∠， AEB APB ∠=∠，BFC BPC ∠=∠，CGA CPA ∠=∠⑵在AEG ∆中，由余弦定理得：222EG EA GA 2EA GA EAG cos =+-⋅⋅∠222PA 2PA 2A cos()=- 22PA 12A [cos()]=-222PA 2A sin =⋅故：EG 2PA A sin = ①同样，在BFE ∆中，由余弦定理得： FE 2PB B sin = ② 同样，在CGF ∆中，由余弦定理得： GF 2PC C sin = ③ ⑶由于ABC ∆是等边三角形，所以有：o A B C 60=== 于是由①②③式得：EG FE GF PA PB PC 345::::::== ④所以EFG ∆是直角三角形.即：o GEF 90∠= ⑷在AEG ∆中，o o 11AEG 180EAG 1802A 22()()∠=-∠=-∠o o o o 90A 906030=-∠=-= 在BFE ∆中，o o 11BEF 180FBE 1802B 22()()∠=-∠=-∠o o o o 90B 906030=-∠=-= 所以：APB AEB AEG GEF BEF ∠=∠=∠+∠+∠o o o 309030=++o 150= 故：o APB 150∠=ABCPEFG图11-1⑸在APB ∆中，由余弦定理得：222AB EA EB 2EA EB AEB cos =+-⋅⋅∠22PA PB 2PA PB APB cos =+-⋅⋅∠ 22o 34234150cos =+-⋅⋅⋅25242(=-⨯-25=+故：AB =所以，ABC ∆的周长为：AB BC CA 3AB ++==本题找P 点对三边的对称点，由此构成的三角形. 12、如图已知正方形ABCD 内有一点P ，若PA a =，PB 2a =，PC 3a =，求正方形ABCD 的周长.解析：“正三角形正方形，几何变换有旋转”对于具有等边共点性质得图形，如正三角形正方形，作辅助线的方法是“几何变换”. 几何变换包括：“平移”、“对称”、“旋转”、“相似”、“位似”.将APB ∆绕B 点顺时针旋转o90后，得到图形图12-1.其中A 点转到C 点，P 点转到T 点. 故：APB CTB ∆∆≌则：TC PA a ==，TB PB 2a ==，o PBT 90∠=于是,PBT ∆是一个等腰直角三角形，PT ==，o PTB 45∠=.ABCDPT图12-1在PTC ∆中，PC 3a =，TC a =，PT =，则PC TC PT ,,满足勾股定理，所以PTC ∆是直角三角形，o PTC 90∠=，于是o o o BTC 9045135∠=+=. 在BTC ∆中，由余弦定理得：222BC TC TB 2TC TB BTC cos =+-⋅⋅∠ 22o PA PB 2PA PB 135cos =+-⋅⋅22a 4a 2a 2a (=+-⋅⋅⋅-225a =+所以，正方形ABCD的边长为：BC =AB BC CD DA 4BC +++==本题采用了几何变换法，即旋转，利用勾股定理和余弦定理得到答案. 13、如图已知正方形ABCD 内有一点P ，若P 到A B C,,三点的距离之和L时，求此正方形ABCD 的周长.解析：连接AC ，则P 点就是ABC ∆内的费马点.依据上面第9题的结论，很容易得到答案.设正方形ABCD 的边长为x，则AC =，o ABC 90∠= 利用第9题的结论，L PA PB PC =++===1x )==x2=x2=故：x 2=，因此，正方形ABCD 的周长为8 本题直接应用第9题的结论，不再赘述. 14、设等边ABC ∆的外接圆圆心为O ，圆半径为R ，P是圆外一点，OP D R =>，求由线段PA ，PB ，PC 所构成的三角形的面积S ?=解析：⑴由PA ，PB ，PC 所构成的三角形将APC ∆绕A 点顺时针旋转o 60，则C 转到B ，P转到E ，结果如图14-1.于是AEP ∆为等边三角形，PE PA =，BE PC =，BEP ∆就是由线段PA ，PB ，PC所构成的三角形.⑵设POC θ∠=，则o POA 120θ∠=-，o POB 120θ∠=+，OP D =，OA OB OC R ===由余弦定理得：222PA OA OP 2OA OP POA cos =+-⋅⋅∠22o R D 2RD 120cos()θ=+-- ① 222PB OB OP 2OB OP POB cos =+-⋅⋅∠22o R D 2RD 120cos()θ=+-+ ②222PC OC OP 2OC OP POC cos =+-⋅⋅∠22R D 2RD cos θ=+- ③⑶在BEP ∆中，由余弦定理得：2222PB PE BPE PB PE BE cos ⋅⋅∠=+-，即：2222PB PA BPE PB PA PC cos ⋅⋅∠=+-PABCOAE 图14-1即：22222211PB PA BPE PB PA PC 24(cos )()⋅⋅⋅∠=+- ④ 由于222211PB PA BPE PB PA 1BPE 22()cos ()(sin )⋅⋅⋅∠=⋅⋅-∠2211PB PA PB PA BPE 22()(sin )=⋅⋅-⋅⋅⋅∠ 22BEP 1PB PA S 2()()∆=⋅⋅- 代入④式得：222222BEP 211PB PA S PB PA PC 24()()()∆⋅⋅-=+- 即：222222BEP 211S PB PA PB PA PC 24()()()∆=⋅⋅-+- 则：2222222BEP 21S 4PB PA PB PA PC 4()()∆⎡⎤=⋅-+-⎣⎦ 222224222214PB PA PB PA PC 2PC PB PA 4()()⎡⎤=⋅-+-+⋅+⎣⎦ 2224222212PC PB PA PC PB PA 4()()⎡⎤=⋅+---⎣⎦ 222222221PC 2PB 2PA PC PB PA 4()()⎡⎤=⋅+---⎣⎦ ⑤ 由①②③得：22222o o2PB 2PA PC 3R D 2RD 21202120()cos()cos()cos θθθ⎡⎤+-=+-++--⎣⎦ 22o 3R D 2RD 4120()cos cos cos θθ⎡⎤=+--⎣⎦223R D 2RD 2()(cos cos )θθ=+--- 223R D 6RD ()cos θ=++22222222PC 2PB 2PA PC R D 2RD 3R D 6RD ()(cos )[()cos ]θθ⋅+-=+-⋅++ 22223R D 2RD R D 2RD (cos )(cos )θθ=+-⋅++ 2222223R D 4R D [()cos )]θ=+- ⑥同样由①②③得：22222o 22o 2PB PA R D 2RD 120R D 2RD 120(){[cos()][cos()]}θθ-=+-+-+-- 22o o 24R D 120120[cos()cos()]θθ=+-- 22o 24R D 2120[sin sin ]θ=-22212R D sin θ= ⑦⑷将⑥⑦代入⑤得：22222222BEP 21S PC 2PB 2PA PC PB PA 4()()()∆⎡⎤=⋅+---⎣⎦ 222222222213R D 4R D 12R D 4{[()cos ]sin }θθ=+-- 22222213R D 12R D 4[()]=+-22223D R 4()=-故：22BEP S D R 4)∆=-. 另：本题也可以采用特值法得到答案. 本题由旋转构成三角形，由余弦定理得到答案. 15、如图已知，半径为R =的圆O 其圆心在原点，圆O 与x 轴相交于A B ,，与y 轴相交于CD . 过A 的任意一直线交圆O 于E ，交y 轴于F ，求AE AF ?⋅=解析：连结EB ，则因o AEB 90∠=，o AOF 90∠=故：AOF AEB ∆∆∽由相似三角形对应边成比例，或者由FAO ∠的余弦值得： AE AOAB AF=即：AE AF AB AO 4⋅=⋅==本题涉及到了圆. 关于圆方面的定理记忆口诀是：16、如图已知ABC ∆的三个边长为BCa =，CAb =，AB c =，其三个内角平分线长分别为a AD t =，b BE t =，c CF t =，求证：a b c t t t abc <解析：根据第2题的结果得：a t =<b t =c t =上面三式相乘得到结果.本题利用内角平分线公式直接秒杀.17、如图所示，P 是ABC ∆的一个内点. 延长AP BP CP ,,分别与对边相交于D E F ,,，设AP a =，BP b =，CP c =，而PD PE PF d ===.已知a b c 43++=，d 3=，求abc ?=A CDEF解析：本题由于已知数据是P 点到顶点的距离，和相应延长到对边点的距离，就是说是P 点位置的数据，然后所求的也是这些数据的关系，因此，要紧紧围绕这些数据来做题.d与a b c ,,的关系可以由三角形的面积比得到：BPC ABC S BC PD PD dS BC AD AD d a ∆∆⋅===⋅+ APB ABC S AB PF PF dS AB CF CF d c ∆∆⋅===⋅+ CPA ABC S CA PE PE dS CA BE BE d b∆∆⋅===⋅+ 上面三式相加得：BPC APB CPA ABCS S S d d d1d a d b d c S ∆∆∆∆++++==+++ ① 由①式得：d d b d c d d c d a d d a d b d a d b d c ()()()()()()()()()++++++++=+++ ②左边展开得：222LHS d d b c d bc d d c a d ca d d a b d ab [()][()][()]=+++++++++++ 2d 3d 2a b c d ab bc ca [()()]=++++++ 323d 2a b c d ab bc ca d ()()=++++++ ③右边展开得：RHS d a d b d c ()()()=+++32d a b c d ab bc ca d abc ()()=+++++++ ④将③④代入②式得：323d 2a b c d ab bc ca d ()()++++++32d a b c d ab bc ca d abc ()()=+++++++故：32abc 2d a b c d ()=+++2d 2d a b c [()]=+++ ⑤ 将a b c 43++=，d 3=代入⑤式得：222abc 3234334921441()=⨯⨯+=⨯==本题采用传统的面积比方法，通过推导，得到答案. 18、已知ABC ∆的三个边长分别为BC 3=，CA 4=，AB 5=，P为ABC ∆的一个内点，设P 到这三边的距离PD x =，PE y =，PF z =，求这三数乘积xyz 的最大值.解析：因为ABC ∆的三边长满足“勾股定理”，所以ABC ∆为直角三角形. 即：o ACB 90∠=.连结PA PB PC ,,，则PD BC ⊥，PE CA ⊥，PF AB ⊥.(如图18-1) 我们计算三角形的面积关系：由ABC PAB PBC PCA S S S S ∆∆∆∆=++得：1111BC CA AB PF BC PD CA PE 2222⋅=⋅+⋅+⋅ 即：AB PF BC PD CA PE BC CA ⋅+⋅+⋅=⋅ 即：3x 4y 5z 12++= ①由于3x 4y 5z ,,都是正数，且其和为定值.根据“一正二定三相等”，当3x 4y 5z ==时，其积3x 4y 5z ()()()达到极大值. 故：当123x 4y 5z 43====时，其积3x 4y 5z 444()()()=⨯⨯为最大值. 最大值：M 44416xyz 34515()⨯⨯==⨯⨯ 本题利用“一正二定三相等”的知识点来解题.ABC PDEFA BC PDEF图18-119、已知P 是ABC ∆的一个内点，在ABC ∆的周界上求找一点Q ，使得折线APQ 平分ABC ∆的面积. 如何找到Q 点.解析：设D E F ,,分别为BC CA AB ,,的中点，连结AD DF ,，则ABC ∆的区域分成3部分. ⑴ P 点在AD 上，如图19-1. 此时，由于D 是BC 中点，则ABD ACDABC 1S S S 2∆∆∆== 故：Q D =，即D 点就是要找的Q 点. ⑵ P 点在AFD ∆内，如图19-2. 连结AP ，延长线交BC 于G .连结PD PK ,，过A 作AK PD //交BC 于K则由于APD ∆与KPD ∆同底(PD 为底)等高(AK PD //间距为高)，故APD KPD S S ∆∆=则：ABG KPG ABG PGD KPD S S S S S ∆∆∆∆∆+=++ABG PGD APD S S S ∆∆∆=++ABD ABC 1S S 2∆∆==故：Q K =，即K 点就是要找的Q 点.另：本题实际上是要使K N AP N D S S ∆∆=，用割补法交换面积，这是思路.⑶ P 点在BFD ∆内，如图19-3.连结AP ，交DF 于H ，AP 延长线交BC 于G . 连结PC ，过H 点作HM PC //，交CA 于M .ABCPQABC PDEF图19-1ABC PD EF图19-2KGABCPD FG HM A图19-3ABF图19-2于是PMH ∆与CMH ∆为同底(底为MH )等高(HM PC //间距为高) 则：PMH CMH S S ∆∆=所以：APM AHM PMH S S S ∆∆∆=+AHM CMH AHC S S S ∆∆∆=+=由于AHC ∆与ABC ∆同底(底为CA )，因DF 为ABC ∆的中位线而高度相差一半，故：APM AHC ABC 1S S S 2∆∆∆== 故：Q M =，即M 点就是要找的Q 点.另：这里实际上是交换PMH S ∆与CMH S ∆，还是面积割补法. 最终，当P 点在AD 上时，Q D =；当P 点在AFD ∆内时，Q 点在CD 上；当P 点在BFD ∆内时，Q 点在CE 上.本题实际上就是计算面积，将图中的面积凑成ABC ∆的一半. 20、如图已知P 是ABC ∆的一个内点，D E F ,,分别是P到BC CA AB ,,所引垂线的垂足，若P 点使BC CA ABS PD PE PF=++为最小值，求这个最小值. 解析：为了方便解题，设BC a =，CA b =，AB c =；设PD x =，PE y =，PF z =；设ABC ∆的半周长为a b cp 2++=；设ABC ∆的内切圆半径为r ，面积为S ∆，则S pr ∆=则：PAB PBC PCA S S S S ∆∆∆∆=++1AB PF BC PD CA PE 2()=⋅+⋅+⋅1ax by cz 2()=++ 即：ax by cz 2S 2pr ()∆++== ① 则：BC CA AB a b cS PD PE PF x y z=++=++ ②BC PDEF由柯西不等式得：222222⎡⎤⎡⎤⎢⎥++⋅++⎣⎦⎢⎥⎣⎦2a b c ()≥++ 即：()2a b c ax by cz a b c x y z()⎛⎫++++≥++ ⎪⎝⎭③将①②式代入得：2S 2pr 2p ()()⋅≥，即：2pS r≥ ④==时，③和④式取等号.即：当且仅当x y z ==时，BC CA ABS PD PE PF=++取最小值，即：当且仅当x y z r ===时，2p S rmin =. 故：当BC CA AB 2pS PD PE PF r=++=为最小值时，P 点为ABC ∆的内心. 本题将柯西不等式的条件应用于几何，并求得结果. 21、设O I ,分别为ABC ∆的外心与内心，R r ,分别是ABC ∆外接圆与内切圆的半径，外心与内心之距记为OI d =，求证：22d R 2Rr =- 解析：⑴连结AI 延长线交圆O 于P ；连结PO 延长线交圆O 于S ；连结BS 、BI ；连结OI 延长线交圆O 于M N ,.由I 点向AB 作垂线，垂足为T ，如图21-1.⑵由相交弦定理，22AI PI MI NI R d R d R d ()()⋅=⋅=+-=- ①∆∆∽相似比得.)⑶由于I是内心，即∆内角平分线交点，故：∠=∠②∠=∠，ABI IBCBAI IAC在ABI∆中，由外角定理得：BIP BAI ABI∠=∠+∠=∠+∠ (由②得)IAC IBCPAC IBC=∠+∠=∠+∠ (由圆周角定理)PBC IBC=∠PBI即：PBI∆是等腰三角形，故：BP PI=③⑷在Rt BSP∠=∠∆和Rt TAI∆中，由圆周角定理得：BSP TAI即：BSP TAI∽∆∆所以：AI TI TI==SP BP PI故：AI PI TI SP r2R2Rr⋅=⋅=⋅=④⑸由①和④得：22R d2Rr-=，即：22=-⑤d R2Rr⑤式称为欧拉公式.另：22d R2Rr=-也可以写成：222=--d R r r()即：222+=-d r R r()这就是欧拉公式的“勾股定理”，它将三角形的外接圆半径R、内切圆半径r和两心之距d，以“勾股定理”的形式联系了起来.本题用到了相交弦定理、圆周角定理等关于圆的基本定理.22、如图所示，从圆O 外的一点A ，引两条圆O 的切线AB 、AC ，其中，A B ,为切点，连结BC . 从A 引圆O 的任意一条割线交圆O 于P Q ,，交BC 于R .求证：211AR AP AQ=+解析：连结OP 、OB 、OQ ，过O 作AQ 的垂线，垂足为T .设：AO a =，圆O 的半径OP OB OQ R === ⑴由切割线定理得：(由ABP ABQ ∆∆∽得)222AB AP AQ AE AF a R a R a R ()()=⋅=⋅=-+=-即：AB =①⑵由Rt ABO Rt ADB ∆∆∽得：2AB AD AO a AD =⋅=⋅即：222AB a R AD a a-== ② ⑶在Rt ADB ∆中，由勾股定理得：222BD AB AD =-22222a R a R a ()⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭2222R a R a ()=-即：BD =③ ⑷设OAP θ∠=，则在ADR ∆中，ADARcos θ= 则：221a AR AD a Rcos cos θθ==- ④ ⑸在AOP ∆中，由余弦定理得：222OP AP AO 2AP AO cos θ=+-⋅⋅ 即：222R AP a 2a AP cos θ=+-⋅⋅ABCOP QREFAB COP QDEFT R即：222a R 2a AP AP AP 2a AP cos (cos )θθ-=⋅⋅-=- 故：2212a AP AP a R cos θ-=- ⑤ 同理在AOQ ∆中，由余弦定理得：2212a AQAQ a R cos θ-=- ⑥ ⑹由垂径定理知：PT QT =则：AP AQ 2AT 2AO 2a cos cos θθ+==⋅= ⑦ 于是，由⑤+⑥得：2222112a AP 2a AQ AP AQ a R a R cos cos θθ--+=+--224a AP AQ a R cos ()θ-+=- 224a 2a a R cos cos θθ-=-222a a Rcos θ=- ⑧ 由④和⑧得：211AR AP AQ=+⑨ 上式表明，AR 是AP 与AQ 的调和平均值. 证毕. 本题采用解析的方法证明了几何证明题. 23、如图所示，设O 为ABC ∆的外心，外接圆半径为R . 若AO BO CO ,,的延长线分别交BC CA AB ,,于点D E F ,,. 求证：1112AD BE CF R ++= 解析：欲证1112AD BE CF R++= 须证：R R R 2AD BE CF ++=，即：R R R 3321AD BE CF()-++=-=；即：R R R 1111AD BE CF ()()()-+-+-=；即：OA OB OC1111AD BE CF()()()-+-+-=ABC DEFO即：AD OA BE OB CF OC 1AD BE CF ---++=；即：OD OE OF1AD BE CF++=. 由同底异高的三角形面积之比等于高之比得：OBCABC1BC OD ODC S OD 21S AD BC AD ODC 2sin sin ∆∆⋅⋅∠==⋅⋅∠ 同理：OCA ABC S OE S BE ∆∆=，OAB ABC S OFS CF∆∆= 三式相加得：OBC OCA OABABC ABC ABCS S S OD OE OF 1AD BE CF S S S ∆∆∆∆∆∆++=++= 即：OD OE OF1AD BE CF++=. 证毕. 本题采用分析法及面积法，这是几何中最常用的方法之一.。

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