福州屏东中学2017-2018学年第二学期九年级联考数学试卷

2017-2018学年第二学期福州屏东中学与泉州七中联考试卷 数学(考试时间：120分钟，满分：150分)友情提示：所有答案都必须写在答题卷上，答在本试卷上无效一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分） 1．下列实数中的无理数是A． B ． C ．0 D ． 2. 下面的几何体中，主视图为圆的是A. B. C. D.3. 下列运算正确的是A . m 6÷m 2＝m 3 B. (x +1)2＝x 2+1 C. (3m 2)3＝9m 6 D. 2a 3•a 4＝2a 7 4. 将一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝55°，则∠2的度数是 A ．145° B ．135° C ．120° D ．115° 5. 关于x 的一元二次方程x 2+4x +q ＝0有两个不相等的实数根，则q 的取值范围是 A . q ＞4 B. q ＜4 C . q ≥4 D. q ≤4 6. 李华根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了如下表格：如果要去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是 A . 平均数 B . 众数 C . 中位数 D .方差7. 如图，四边形ABCD 是半径为2的⊙O 的内接四边形，∠B ＝135°，则⌒AC 的长是9 31A. 42 B . 22 C . 2π D . π8. 已知命题“关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x +1≤2x -3>k 的解集为无解”，说明这个命题是假命题的反例是A . k ＝-3B . k ＝-2 C. k ＝-1 D . k ＝09. 已知：不论n 为何值，点P （n , 4n -5）都在直线l 上，若Q （a ， b ）是直线l 上的点， 则4a -b 的值是 A ．-5B ．-1C ．4D ．510. 如图，已知△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝6，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°到△AB ′C ′的位置，连接C ′B ，则C ′B 的长是 A ．3-3B ． 32C ．3﹣1D ． 3二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分） 11. 计算： (2018)0+3-1＝ ．12. 不透明的布袋里有2个黄球、3个红球、4个白球，它们除颜色外其它都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是 .13.如图，为测量出湖边不可直接到达的A 、B 间的距离，测量人员选取一定点O ，使点A 、O 、C 和B 、O 、D 分别在同一直线上，且OB =3OD ，OA =3OC ，量得CD =120米，则AB ＝ 米. 14. 已知二次函数y =a x 2+bx +c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：的取值范围是 ．15. 如图，以正六边形ADHGFE 的一边AD 为边向外作正方形ABCD ，则∠BED ＝ ． 16.如图，在□ABCD 中，BC =2AB ．A ，B 两点的坐标分别是（-2，0），（0，4），C ，D 两点在反比例函数y ＝kx （k ＜0）的图象上，则k 等于 ． 三、解答题（共9小题，满分86分）17. （8分）先化简，再求值：a +1-a 2a -1，其中a ＝2+1.18. （8分）如图，点A 、F 、C 、E 在直线l 上，AB =DE ， BC =DF ，AF =CE ． 求证：∠B =∠D .19. （8分）求证：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.20. （8分）某商店欲购进一批跳绳，若购进A 种跳绳8根和B 种跳绳7根，则共需351元；若购进A 种跳绳4根和B 种跳绳3根，则共需163元. （Ⅰ）求A 、B 两种跳绳的单价各是多少？（Ⅱ）若该商店准备购进这两种跳绳共140根，且A 种跳绳的数量不少于跳绳总数量的25．若每根A 种、B 种跳绳的售价分别为27元、33元.问：该商店应如何进货才可获取最大利润，并求出最大利润．21. （8分）某校为组织代表队参加市“拜炎帝、诵经典”吟诵大赛，初赛后对选手成绩进行了整理，分成5个小组（x 表示成绩，单位：分）A 组：75≤x ＜80；B 组：80≤x ＜85；C 组：85≤x ＜90；D 组：90≤x ＜95；E 组：95≤x ＜100． 并绘制出如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：（Ⅰ）参加初赛的选手共有 名； 扇形统计图中，E 组对应的圆心角是 °；（Ⅱ）现要从D 组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．22. （10分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线．（Ⅰ）作一个⊙O 使它经过A 、D 两点，且圆心O 在AB 边上（不写作法，保留作图痕迹）；判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）若AC ＝5,BC ＝12,求⊙O 的半径.23. （10分）小明在学习直角三角形的三角函数时发现：如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，∵sin A ＝a c ，sin B ＝bc （sin 90°＝1）∴a sin A ＝b sin B ＝csin C .小明猜想：在锐角三角形中也有相同的结论．（Ⅰ）如图2，在锐角三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，请你运用直角三角形的三角函数的有关知识验证a sin A ＝b sin B ＝c sin C ；（Ⅱ）请你运用（Ⅰ）中的结论完成下题：如图3，在南海某海域一货轮在B 处测得灯塔A 在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以80海里/小时的速度按北偏东30°的方向航行，两小时后到达C 处，此时又测得灯塔A 在货轮的北偏西75°的方向上，求此时货轮与灯塔A 的距离．图1A图2图3第22题图24.（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，动点Q在边AB上，连接CQ，将△BQC 沿CQ所在的直线对折得到△CQN，延长QN交直线CD于点M．（Ⅰ）当BQ＝1时，求DM的长；（Ⅱ）过点D作DP⊥CQ于点E，交直线BC于点P，直线QN与直线DP交于点F．当DFDE＝13时，求BQ的长.25.（14分）已知：点A(a，b)在抛物线y＝x2-4x＋5上，一次函数y＝mx＋n的图象l经过点A. （Ⅰ）当a＝3时，求6m＋2n-1的值；（Ⅱ）若直线l与抛物线只有一个公共点.②求m关于a的函数关系式；②如果直线l与抛物线的对称轴相交于点B，点P在对称轴上．当P A＝PB时，求点P的坐标.2017-2018学年福州屏东中学—泉州七中九年级数学联考答案一、选择题1、B2、C3、D4、A5、B6、C7、A8、D9、D 10、A 二、填空题11、43 12、13 13、360 14、-1＜x ＜5 15、45° 16、-48 三、解答题 17、解：原式==--==当a =2+1时，原式=18、证明：∵CE =AF ，∴CE +CF =AF +CE∴AC =EF ， 又∵AB =DE ，BC =DF ， ∴△ABC≌△DEF ． ∴∠B =∠D ．19、已知：如图，点D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 的中点，连接DE .求证：DE ∥BC ，且DE =12BC . 证明：如图，延长DE 到F ，使EF =DE ，连接FC ，DC ，AF .………………………2分………………………3分………………………5分………………………6分………………………3分 ………………………6分 ………………………8分………………………1分………………2分 ………………………8分l∵AE =EC ，DE =EF ，∴四边形ADCF 是平行四边形， ∴CF ∥AD ，CF =AD . ∵AD =BD ，∴CF ∥BD ，CF =BD ， ∴四边形BDFC 为平行四边形， ∴DF ∥BC ，DF =BC ，∴DE ∥BC ，DE =12BC . 20、（Ⅰ）解：设A 种跳绳的单价为x 元，B 种跳绳的单价为y 元，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧8x+7y=3514x+3y=163， 解得22{25x y==，答：A 种跳绳的单价为22元，B 种跳绳的单价为25元（Ⅱ）设购进A 种跳绳a 根，则B 种跳绳（100－a ）根，该商店的利润为w 元，则w=（27－22）a ＋（33－25）（100－a ）＝－3a ＋1200， 又∵a ≥140×25＝56，且a 为整数， ∵－3< 0 ，∴w 随a 的增大而减小∴当a ＝56时，w 最大＝952（元）所以该商店购进A 种跳绳56根，B 种跳绳84根时可获得最大利润，最大利润为952元． 21、解：（Ⅰ）40 54 （Ⅱ）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男生和一女生的有8种结果，………………3分………………………5分 ………………………7分 ………………………8分 ………………2分 ………………3分 ………………4分………………5分………………6分 ………………8分………………8分 ………………2分………………5分 ………………6分………………1分∴P (恰好是一男生和一女生)=812=23． 答：抽取的两人恰好是一男生和一女生的概率为23． 22. （Ⅰ）如图所示：直线BC 与⊙O 相切， 理由如下： 连结OD ，∵OA =OD ，∴∠OAD =∠ODA ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠OAD =∠DAC ，∴∠ODA =∠DAC ，∴OD ∥AC ， ∴∠ODB =∠C =90°， 即半径OD ⊥BC ，∴BC 为⊙O 的切线． （Ⅱ）设半径为r∵OD ∥AC ∴△ODB ∽△ACB ∴OD BDAC BC=∴13513r r -=∴r =651823、解：（Ⅰ）如图（2），过点A 作AD ⊥BC 于点D ，过点B 作BH ⊥AC 于D 点H 在Rt △ABH 中，∵sin A =，∴BH =c sin A ，同理∴BH =a sin C ，∴c sin A =a sin C ，………………8分 ………………2分………………3分………………4分………………6分………………7分………………8分………………9分 答：⊙O 的半径6518………………10分………………1分………………3分………………2分………………5分∴a sin A ＝c sin C ，同理可得b sin B ＝csin C ∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C ；（Ⅱ）如图（3），由题意可得∠ABC =60°，∠ACB =45°∴∠A =180°﹣60°﹣75°=45°， ∵BC =80×3=240， ∴AC sin ∠ABC=BCsin A ，∴AC sin 60°=160sin 45°，∴AC =80 ，此时货轮距灯塔A 的距离为80 海里． 24. 解：（Ⅰ）∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，AB ＝DC ＝6．DC ∥AB ∴∠MCQ =∠CQB ∵折叠 ∴△CBQ ≌△CNQ∴CB=CN ＝4, NQ ＝BQ ＝1, ∠CNQ =∠B ＝90°,∠CQN =∠CQB ∴∠CNM =90°, ∠MCQ =∠CQN ∴MC =MQ 设DM =x ，则MQ =MC =6+x ，MN =5+x 在Rt △CNM 中，MB 2＝BN 2＋MN 2，即(x +6)2＝42＋(x +5)2．解得：x ＝2.5， ∴DM 的长2.5；………………………1分………………………2分 ………………………3分………………………4分………………………5分 ………………5分………………4分………………6分 ………………7分………………8分 ………………10分………………9分（Ⅱ）分两种情况：①当点M 在CD 延长线上时，如图所示： 由（Ⅰ）得∠MCQ =∠CQM ，∵DP ⊥CQ ，∴∠CDE ＝∠F ，又∵∠CDE ＝∠FDM ，∴∠FDM ＝∠F ，∴MD ＝MF ， 过M 点作MH ⊥DF 于H ，则DF ＝2AH ， 又DF DE ＝13，∴DH DE ＝16，∵DP ⊥CQ MH ⊥DF ，∴∠MHD ＝∠DEC =90° ∴△MHD ∽△CED ∴MD DC ＝DH DE ＝16，∴DM ＝1，∴MC ＝MQ ＝7， ∴MN = = = ∴BQ =NQ =7- ②当M 点在CD 边上时，如图所示，类似可求得BQ =2.综上所述，CQ 的长为7- 或2.……………………………………………………12分25.解：（Ⅰ）当a ＝3时，b=2∴A (3，2)把A (3，2)代入y ＝mx ＋n 得 3m ＋n=2BBA………………………6分………………………7分………………………8分………………………9分………………………3分∴6m ＋2n -1=3（Ⅱ）①∵x 2-4x ＋5＝mx ＋n ∴x 2-(4+m)x ＋5-n=0 ∵直线l 与抛物线只有一个公共点A (a ，b )， ∴∴n=5-∴a 2-(4+m) a ＋=0 ∴∴m=2a-4② 由①得m=2a-4，n=5- ∴n =5- a 2 ∴直线l 的解析式为y ＝（2a-4）x ＋（5- a 2） ∴点A （a ，a 2-4a ＋5） ∵直线l 与抛物线的对称轴相交于点B设点B （2， ）把x ＝2代入y ＝（2a-4）x ＋（5- a 2）得 =- a 2+4a -3 ∴B （2，- a 2+4a -3） 设P （2，t ）∴PB =|- a 2+4a -3-t |，P A =………………………6分 ………………………7分………………………8分 ………………………9分………………………10分 ………………………11分∵P A＝PB ∴P A2＝PB2∴(- a2+4a-3-t)2=∴(- a2+4a-3-t)2=∴=0………………………13分∵∴5-4t=0∴t=∴P (2，) ………………………14分。