矩形、菱形、正方形、梯形
平行四边形的性质和判定 菱形梯形等腰梯形矩形正方形性质和判定
平行四边形的性质和判定菱形梯形等腰梯形矩形正方形性质和判定平行四边形的性质和判定定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分 .判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 .注意：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如：等腰梯形菱形是四边相等的四边形，属於特殊的平行四边形,除了这些图形的性质之外，它还具有以下性质：对角线互相垂直平分；四条边都相等；对角相等,邻角互补；每条对角线平分一组对角．判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形四边相等的四边形是菱形依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。
不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。
菱形的中点四边形是矩形。
菱形面积：对角线相乘后除二或边长乘高；菱形周界为边长的四倍:顺次连接菱形各边中点为矩形正方形是特殊的菱形梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。
平行的两边叫做梯形的底，其中长边叫下底；不平行的两边叫腰；两底间的距离叫梯形的高。
一腰垂直于底的梯形叫直角梯形，两腰相等的梯形叫等腰梯形。
梯形的性质及判定：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形，但要判断另一组对边不平行比较困难，一般用一组对边平行且不相等的四边形是梯形来判断。
等腰梯形性质:等腰梯形在同一底上的两个底角相等等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形判定：1两腰相等的梯形是等腰梯形；2同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3对角线相等的梯形是等腰梯形．梯形的体积计算公式：V=〔S1＋S2＋开根号（S1*S2）〕／3*H注：V：体积；S1：上表面积；S2：下表面积；H：高。
矩形、菱形、正方形的性质及判定(四边形)
矩形、菱形、正方形的性质及判定一、知识提要1.矩形定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；性质①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等.判定①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形.2.直角三角形斜边的中线等于斜边长的一半.3.菱形定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.性质①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.判定①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四边相等的四边形是菱形.4.菱形的面积等于对角线乘积的一半.5.正方形定义四条边都相等、四个角都是直角的四边形是正方形.性质正方形拥有平行四边形、矩形、菱形的所有性质；判定①由一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形.二、精讲精练1.矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则边与对角线组成的直角三角形的个数是________.2.（2011浙江）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB= 60°，AC=16，则图中长度为8的线段有( ) A．2条B．4条ODC BA60°C ．5条D ．6条3. 矩形ABCD 中，AB =2BC ，E 为CD 上一点，且AE =AB ，则∠BEC = ___.4. 已知矩形ABCD ，若它的宽扩大2倍，且它的长缩小四分之一，那么新矩形的面积等于原矩形ABCD 面积的__________．5. （2011四川）下列关于矩形的说法中正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直且平分D ．矩形的对角线相等且互相平分6. （2011江苏）在四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC .请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形.你添加的条件是_______________(写出一种即可) 7. （2011山东）如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∠A =30°，BC =2，AF =BF ，则四边形BCDE 的面积是（ ）A ．23B ．33C ．4D ．438. 如图，将□ABCD 的边DC 延长到点E ，使CE =DC ，连接AE ，交BC 于点F ．（1）求证：△ABF ≌△ECF（2）若∠AFC =2∠D ，连接AC 、BE ．求证：四边形ABEC 是矩形．9. （2011江苏）在菱形ABCD 中，AB=5cm ，则此菱形的周长为（ ）A. 5cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm10. （2011河北）如图，已知菱形ABCD ，其顶点A ，B 在数轴对应的数分别为-4和1，则BC =_______．EFDCBAD CBAHFGE ADBC11. 菱形的一边与两条对角线夹角的差是20°，则菱形的各角的度数为___________．12. (2011重庆)如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC =8，BD =6，过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离OH =_________．13. 已知菱形周长是24cm ，一个内角为60°，则菱形的面积为＿_____.14. 菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，若S 菱形ABCD =24cm 2，则AE =6cm ，则菱形ABCD的边长为_______.15. （2011山东）已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4:3，则这个菱形的面积是（ ）A ．12cm 2B ． 24cm 2C ． 48cm 2D ． 96cm 2 16. 菱形有____条对称轴，对称轴之间具有________的位置关系． 17. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A ．两组对边分别平行B ．两组对边分别相等C ．一组邻边相等D ．对角线相互平分18. （2011四川）如图，点E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 中AD 、BD 、BC 、CA 的中点，当四边形ABCD 的边至少满足__________条件时，四边形EFGH 是菱形.19. （2011浙江）如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，过点A 作AG ∥DB 交CB 的延长线于点G ． （1）求证：DE ∥BF ；（2）若∠G =90°，求证：四边形DEBF 是菱形．F E B C A D 20. （2011湖州）如图，已知E 、F 分别是□ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE =DF . （1）求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）若BC =10， BAC =90，且四边形AECF 是菱形，求BE 的长.21. （2011湖南）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（ ） A.平行四边形 B.正方形 C.等腰梯形 D.矩形22. 有一组邻边_______并且有一个角是________的平行四边形，叫做正方形． 23. （2010湖北）已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE ，则∠AED 的度数是 .24. 已知正方形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，OE ⊥BC 于E ，若OE =2，则正方形的面积为____．25. 如图，已知，正方形ABCD 的对角线交于O ，过O 点作OE ⊥OF ，分别交AB 、BC 于E 、F ，若AE =4，CF =3，则EF 等于（ ）A ．7B ．5C ．4D ．326. （2011贵州）如图，点E 是正方形ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连接EB 、EA ，延长BE 交边AD 于点F . （1）求证: △ADE ≌△BCE ； （2）求∠AFB 的度数.FED CBA FE ODCBA三、测试提高【板块一】菱形的性质1. 若菱形两邻角的比为1:2，周长为24 cm ，则较短对角线的长为_____． 【板块二】菱形的判定2. （2011湖南）如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是（ ） A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形 3. （2011湖北）顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD 一定是（ ） A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形【板块三】菱形余矩形的性质4. （2011江苏）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．对角互补 【板块四】特殊四边形的判定5. 下列命题中，正确命题是( )A ．两条对角线相等的四边形是平行四边形；B ．两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；C ．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形；D ．两条对角线平分且相等的四边形是正方形；四、课后作业1. 矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠AOB =60°，若BD =10 cm ，则AD =_____．2. 矩形周长为72cm ，一边中点与对边两个端点连线的夹角为直角，此矩形的长边为_______.3. 矩形的边长为10和15，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分的长度分别为_________.4. 过矩形ABCD 的顶点D ，作对角线AC 的平行线交BA 的延长线于E ，则△DEB 是( ).A ． 不等边三角形B ． 等腰三角形C ． 等边三角形D ． 等腰直角三角形BACD5. 矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD ，BC 分别交于E ，F ，则四边形AFCE 是___________．6. 菱形一个内角为120°，平分这个内角的一条对角线长12 cm ，则菱形的周长为_____．7. 若菱形两条对角线长分别为6 cm 和8 cm ，则它的周长是________，面积是_______．8. 菱形的一个角是60°，边长是8 cm ，那么菱形的两条对角线的长分别是_________．9. 已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为_____. 10. 在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ， AF ⊥CD ，且BE =EC ， CF =FD ，则∠AEF 等于_______.11. 如图，小华剪了两条宽为2的纸条，交叉叠放在一起，且它们交角为45°，则它们重叠部分的面积为（ ）. A.22 B.1 C.332 D.2 12. （2011广东）如图，两条笔直的公路1l 、2l 相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂A 、B 、D ，已知AB =BC =CD =DA =5公里，村庄C 到公路1l 的距离为4公里，则村庄C 到公路2l 的距离是（ ）. A ．3公里 B ．4公里C ．5公里D ．6公里13. 正方形的对角线__________且_________，每条对角线平分_____． 14. 如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE =AF ． 求证：△ACE ≌△ACF ．FE BCDA15. （2011山东）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，分别交AD 、BC 于点E 和点F ，求证：四边形BEDF 是菱形．OFEDCBA。
在小学数学教案中如何分类图形？
在小学数学教学中，图形分类是重要的一环，是其它数学内容的基础，一旦基础打牢了，学生对数学就会更加感兴趣和自信。
因此，对于教师来说，如何分类图形就格外重要。
下面，我们就来详细探讨一下小学数学教案中如何分类图形的方法和策略。
一、按照几何性质分类图形分类最常见的方法是按照几何性质进行分类。
主要有以下几种：1.按照角度分类钝角、直角和锐角是三种不同的角度类型，可以用来分类三角形。
那么对于四边形来说，如何分类呢？四边形可以分为平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等。
其中，平行四边形和矩形都有4个角度都为直角；而菱形、正方形的四个角度都为锐角或直角；梯形只有两个角度为锐角或直角。
2.按照边数分类在小学数学中，我们可以将图形按照边数分类。
主要有以下几种：三角形、四边形、五边形、六边形是常见的多边形，它们的边数不同，因此可以按照边数进行分类。
3.按照对称性分类对称性是一种重要的几何性质，也可以用来分类图形。
如下表所示：4.按照面积和周长分类在进行图形分类时，我们也可以按照图形的面积和周长进行分类。
比如说，将所有面积相等的图形分成一类，周长相等的图形分成一类。
二、按照用途分类另一种分类图形的方法是按照用途分类。
在教学中，我们常见的分类方法有：1.角度类图形此类图形中多是和直角或锐角有关，如传统房子的封顶部分就是锐角三角形，城市公园绿化带中常见几何形状树木的根基是由特定角度构成的。
2.径类图形此类图形中的形状都是由几个圆的半径构成的。
如各类车轱辘的构造等。
3.灯笼类图形这类图形主要是指和人们的生活有关，如传统的中秋节和春节当中常见的装饰品，多是圆锥、球体等等奇妙形态的图形，非常有趣。
三、实例分析了解了以上几种分类方法后，我们可以通过实例来加深认识。
例1：将以下图形进行分类分析：这是不规则图形，可以按照几何性质分类，也可以按照用途进行分类。
按照几何性质分类，可以将其分类为三角形、四边形、五边形和六边形四类。
按照用途分类，则可以将其分类为几何形状类、生活用品类、人工构造类等多个类别。
几何知识 四边形――正方形、长方形、菱形、梯形、平行四边形
尝试画一个四边形并测量它的内角。
内角的和应该是 360°长方形代表 "直角"和 代表等边长方形 有四边，而每个角都是直角 （90°）。
同时，相对的边平行并且等长。
菱形菱形 有四边，而所有的边有相同的长度。
同时，对边 平行 并且 对角 相等。
有趣的是，对角线（第二幅图的虚线）在正中点以直角交叉。
就是说，它们以直角 "对分"（切开一半）。
菱形的英语是 rhombus，有时也叫 rhomb 或 diamond。
正方形代表 "直角"代表等边正方形 的所有边长度相等，每个角都是直角（90°）对边平行。
正方形也符合 长方形（所有角是 90°） 和 菱形（所有边等长） 的定义。
平行四边形平行四边形 的对边平行并且等长。
同时对角相等（角 "a" 相等，角 "b" 相等）。
注意：正方形、长方形 和 菱形 全是 平行四边形！例子：一个有以下特征的 平行四边形：所有边等长 并且角 "a" 和 "b" 相等是一个 正方形！梯形梯形等腰梯形A 梯形 有一对 对边 平行。
不等边四边形 是个没有平行的边的四边形：梯形不等边四边形一对 对边 平行没有边平行(注意：当不平行的两边是 等长的，并且平行边两端的角是相等的，这种形状叫 等腰 梯形，如上图。
）筝形这个形状像个 风筝。
它有两组边缘。
每组由相等的邻边（连接的）组成。
两组的连接点的角也是相等的。
对角线（虚线）以直角交叉，其中一条对角线等分另一条。
特别的四边形就讲这么多。
不规则四边形唯一的正（所有边等长和所有角相等）四边形是正方形。
因此，所有其他的四边形是 不规则的。
"家谱"图四边形的定义是 包含的。
例子： 正方形也是长方形。
所以长方形的定义也 包括 正方形。
（我们 不会 这样说： "所有内角都是 90° 就是长方形，除非当所有边是同样长度时则是正方形。
四边形的分类和性质
四边形的分类和性质四边形是平面几何中常见的一种图形，它具有四条边和四个顶点。
本文将对四边形进行分类和介绍其性质。
一、四边形的分类四边形根据其边长和角度的不同可以分为以下几种类型：1. 矩形：矩形是一种具有四个直角（即内角为90度）的特殊四边形。
它的对边长度相等且平行，两条对角线长度相等。
2. 平行四边形：平行四边形是指具有两对相对边平行的四边形。
它的对边长度相等，对角线不一定相等。
3. 长方形：长方形是一种特殊的矩形，具有四个直角和相邻边长度不等的特点。
4. 正方形：正方形是一种特殊的长方形，具有四个直角和四条边长度相等的特点。
5. 菱形：菱形是一种具有四条边长度相等的四边形，对角线长度不一定相等。
6. 梯形：梯形是指具有一对平行边的四边形。
它的对边长度不一定相等，对角线长度也不一定相等。
7. 不规则四边形：不规则四边形是指四边形的边长和角度均不相等的图形。
二、四边形的性质除了各自特有的性质外，所有四边形都具有一些共同的性质，如下所述：1. 内角和定理：对于任意四边形，其内角和等于360度。
即四个内角之和等于360度。
2. 对角线性质：对于大部分四边形而言，其对角线相交于一点，并且这四条对角线的中点连线互相垂直并平分彼此。
但需要注意，梯形的对角线不一定相交于一点。
3. 边长和角度关系：对于矩形、长方形和正方形而言，相邻边的内角是直角（90度）。
这意味着这些四边形的边长和角度可以相互确定。
4. 周长和面积计算：对于任意四边形而言，可以通过计算各边长的和来确定其周长，而面积可以根据该四边形的类型使用相应的公式进行计算。
5. 对称性：部分四边形，如矩形、平行四边形和正方形，具有某种对称性。
例如，矩形和正方形关于其中心具有旋转对称性。
在应用中，四边形的分类和性质有助于我们解决各种几何问题。
通过了解四边形的特点和性质，我们能够更好地理解和分析各种几何形状。
总结起来，四边形的分类包括矩形、平行四边形、长方形、正方形、菱形、梯形和不规则四边形。
人教版中考数学专题课件：矩形、菱形、正方形、梯形
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矩形、菱形、正方形、梯形
延长梯形的两腰交于一点， 得到两 延长 个三角形，如果是等腰梯形，则得 到两个分别以梯形两底为底的等 两腰 腰三角形． 连接梯形一顶点与一腰的中点并 连接顶 延长与另一底边的延长线相交， 可 点与一 得一个三角形， 将梯形的面积转化 腰的中 为三角形的面积，将梯形的上、下 点并延长 底转移到同一直线上．
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考点6 等腰梯形的性质与判定
定 有两腰________ 相等 的梯形叫做等腰梯形. 义 性 1.等腰梯形在同一底边上的两个底角________ 相等 ； 质 2.等腰梯形的两条对角线________. 相等 1.定义法； 判 2.同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形； 定 3.对角线________ 相等 的梯形是等腰梯形.
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矩形、菱形、正方形、梯形
判定
面积
1.定义法； 相等 的四边形是菱形； 2.四条边________ 垂直 的平行四边形是菱形. 3.对角线互相________ 1.由于菱形是平行四边形，所以菱形的面积＝ 底×高； 一半 2.菱形的面积等于两对角线乘积的________.
定义 有一个角是________ 直角 的平行四边形叫做矩形.
1.矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的的等腰三角形； 2.矩形的面积等于两邻边的积． 1.定义法； 判定 2.有三个角是直角的四边形是矩形；
相等 的平行四边形是矩形. 3.对角线________
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图 22－1
四边形的分类与判定方法
四边形的分类与判定方法四边形是几何学中一种常见的图形，它由四条边和四个角组成。
在不同的边长和角度的组合下，四边形可以被划分为多个不同的类型。
本文将介绍四边形的分类以及判定方法，以帮助读者更好地理解和应用几何学知识。
一、四边形的分类四边形的分类主要根据其边长和角度来进行划分，常见的四边形类型包括正方形、矩形、菱形、平行四边形、梯形和不规则四边形。
1. 正方形正方形是一种特殊的矩形，它的四条边相等且四个角均为直角。
可以通过边长或对角线长相等来判定一个四边形是否为正方形。
2. 矩形矩形也是一种边长相等的四边形，但它的四个角并不一定都为直角。
判定一个四边形是否是矩形的方法是检查它的对角线是否相等。
3. 菱形菱形是一种具有边长相等但角度不一定相等的四边形。
一个四边形若两对相邻边相等，则可以被判定为菱形。
4. 平行四边形平行四边形具有两对相对平行的边，它的对边长度相等。
要判断一个四边形是否为平行四边形，可以检查它的对边是否平行。
5. 梯形梯形是只有一对对边平行的四边形，其余两条边不平行。
通过检查四边形的边是否满足其中两条边平行的条件，即可判定它是否为梯形。
6. 不规则四边形不规则四边形是指不属于上述任何一种特殊类型的四边形。
它的边和角都没有特殊的限制条件，因此可以被视为一般性的四边形。
二、四边形的判定方法判定一个四边形的类型有多种方法，下面将介绍针对常见四边形类型的判定方法。
1. 正方形的判定方法（描述正方形判定方法）2. 矩形的判定方法（描述矩形判定方法）3. 菱形的判定方法（描述菱形判定方法）4. 平行四边形的判定方法（描述平行四边形判定方法）5. 梯形的判定方法（描述梯形判定方法）6. 不规则四边形的判定方法（描述不规则四边形判定方法）三、四边形的应用四边形在几何学中具有广泛的应用。
它们的性质和特点可以用于解决各种几何问题，例如计算面积、判断形状等。
1. 面积计算根据不同类型的四边形，可以通过不同的公式计算其面积。
北师大版九年级数学上册知识点附常见题型解题技巧
北师大版九年级数学上册知识点附常见题型解题技巧第一章特殊平行四边形1、菱形的性质与判定①菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
②菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
③菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
2、矩形的性质与判定①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
矩形是特殊的平行四边形。
②矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。
（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）③矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
④推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3、正方形的性质与判定①正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
②正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）③正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。
④正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系⑤梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
⑥等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
夹在两条平行线间的平行线段相等。
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半第二章一元二次方程1、认识一元二次方程只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为ax 2 +bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。
把ax 2 +bx+c=0 （a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。
数学平行四边形、菱形、矩形、正方形的定理、性质、判定
1. 定义: 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.性质:⑴如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。
（简述为“平行四边形的对边相等”）⑵如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。
（简述为“平行四边形的对角相等”）⑶夹在两条平行线间的平行线段相等。
⑷如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。
（简述为“平行四边形的两条对角线互相平分”）⑸平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
3.判定：（1）如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”）（2）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”）（3）如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”）（4）如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”（5）如果一个四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形。
（简述为“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”）矩形的性质和判定定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.性质：①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等 .注意：矩形具有平行四边形的一切性质 .判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形 .菱形的性质和判定定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 .注意：菱形也具有平行四边形的一切性质 .判定：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形(4).有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形正方形的性质和判定定义：有一组邻边相等并且有一角是直角的平行四边形叫做正方形.性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等；②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 .判定：因为正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，所以我们判定正方形有三个途径①四条边都相等的平行四边形是正方形②有一组临边相等的矩形是正方形③有一个角是直角的菱形是正方形梯形及特殊梯形的定义梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.（一组对边平行且不相等的四边形叫做梯形.）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形. 直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.等腰梯形的性质1、等腰梯形两腰相等、两底平行；2、等腰梯形在同一底上的两个角相等；3、等腰梯形的对角线相等；4、等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴. 等腰梯形的判定1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等且平行平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角矩形性质定理2 矩形的对角线相等矩形判定定理1 有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角菱形性质定理1 菱形的四条边都相等菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形判定定理3是对称轴图形的平行四边形是菱形。
平行四边形,菱形,矩形,正方形,梯形
1 平行四边形拼一拼取出两张全等的三角形纸片拼四边形你能拼出几种不同的四边形？平行四边形相对的两边有怎样的位置关系？1、定义:有两组对边分别平行的四边形 ，叫做平行四边形。
2、记作: ABCD 读作：平行四边形ABCD3.作DE AB ⊥,垂足为E ，DE 叫做AB 边上的高.如图：5、平行四边形的面积计算公式：S =平行四边形⨯底高 . 6、平行四边形的性质：(1) 平行四边形的对边平行且相等.(2) 平行四边形的对角相等、相邻两角互补. (3) 平行四边形的对角线互相平分.评一评：一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动， 到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：B AC D图E当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？如图, ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O.量一量:拿出手中的平行四边形纸片，测量出四条线段的长度，线段OA 与OC 、OB 与OD 长度有何关系？ABCD 绕它的中心O 旋转180°后与自身重合，这时我们说 ABCD 是中心对称图形，点O 叫对称中心。
例1 平行四边形的两条对角线把它分成的三角形中，全等三角形定有( ).A 2对 .B 3对 .C 4对 .D 6对解:如图，全等三角形有△AOD ≌△COB , △AOB ≌△COD ,△ABD ≌△CDB , △ACD ≌△CAB ，共4对，因此选C .注 △AOB 与△AOD 只是面积。
想一想面积相等的三角形有多少对？ 例2.如图，四边形ABCD 是平行四边形，AB=10，AD=8，AC ⊥BC ，求BC 、CD 、AC 、OA 的长以及 ABCD 的面积.BACD例1O例3.如图，在 ABCD 中4AB =cm ,7BC =cm ,ABC ∠的平分线交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ，求DF 的长. 解: 四边形ABCD 是平行四边形， ∴4AB CD ==cm ，7BC AD ==cm ，AB ∥CD , ∴ABF CFB ∠=∠，又ABF CBF ∠=∠， ∴CFB CBF ∠=∠，∴7CF BC ==cm ，∴743DF CF CD =-=-=cm .注 本题主要考查平行四边形的性质及三角形等角的特征，解答时应注意已知条件的给予.随堂1.如图，四边形ABCD 是平行四边形,求:(1)ADC ∠,BCD ∠的度数； (2) 边AB ，BC 的长度, (3)ABCD 的面积.2.如图，在ABC D 中，110B ∠= ，延长AD 到F ，延长CD 到E ,连接EF ，则E F ∠+∠=( ).A 110 .B 30 .C 50 .D 703.ABCD 的周长是28cm ，△ABC 的周长是22cm ，则AC 的长为( ).A 12cm .B 8cm .C 6cm .D 4cm4.下列说法中: ①平行四边形的一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形；②平行四边形的四条边都相等；③平行四边形的四个角都相等；④平行四边形的两组对边分别平行.其中正确的有( ).A ①② .B ①③ .C ①④ .D ②③5.已知：如图，ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的直线与AD 、BC 分别相交于点E 、F , 求证:OE OF =.FD EC AB第2题A B C30D4525第1题OFEDCBA第5题ABCD例2FE(1) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.(2) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. (3) 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. (4) 对角线互相平分的四边形是平行四边形.例4如图, 已知四边形ABCD 中，A C ∠=∠,B D ∠=∠,求证:四边形ABCD 是平行四边形.证明:∵A C ∠=∠,B D ∠=∠，且360A B C D ∠+∠+∠+∠= , ∴180A B ∠+∠=,0180=∠+∠D A , ∴AD ∥BC ,AB ∥CD . ∴四边形ABCD 是平行四边形.练习 已知：如图，E ，F 是□ABCD 的对角线BD 上的两点，且∠BAE=∠DCF 求证：四边形AECF 是平行四边形。
3几种特殊的平行四边形和梯形
几种特殊的平行四边形和梯形一、几种特殊的平行四边形本节分为三部分，分别介绍了三种特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形。
关于矩形，我们要从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性——一个内角是直角的平行四边形。
进一步研究其特有的性质——对角线相等、内角都为直角、是轴对称图形。
这里还要特别注意的是平行四边形的特征，矩形也都具有。
当然，识别矩形的方法也要从其特殊平行四边形的特殊性上去研究。
关于菱形，我们是通过折叠剪纸的趣味活动引入，当然也可以从平行四边形的边的变化上引入。
同矩形一样，同样注重对其特殊性进行研究，其特殊性表现在：四边都相等、对角线互相垂直且平分每一对对角、是轴对称图形。
正方形是矩形和菱形的混合体，既具有平行四边形的一般性质，又具有矩形和菱形的独特性质。
它本是大家早就熟悉的几何图形，因此在研究前面矩形和菱形的经验的基础上，对正方形特征性质的研究同学们也不难得出。
这里值得注意的是，要重视研究平行四边形、矩形、菱形和正方形各种图形之间的联系，并结合实际操作加深理解。
对于不同特殊平行四边形的不同特征与识别方式的区分与理解是本节的难点。
对于特征的理解都要通过边、角、对角线三方面进行分析：以上内容都能够通过图形自己观察出来，只要在研究时注重研究和记忆，就不至于混淆。
菱形的面积公式：S=(其中ab是菱形的两条对角线的长)（对角线将菱形分成的四个直角三角形，它们的面积和等于菱形的面积，由此很容易推出上面的公式。
）二、梯形梯形也是大家早已熟悉的几何图形，所以教材直接介绍梯形、等腰梯形、直角梯形的定义，这里要特别注意“只有”两个字的重要性，也就是说“一组对边平行，而另一组对边不平行的四边形是梯形”。
大家要认识等腰梯形的轴对称性，并由此推理得到等腰梯形的特征：“等腰梯形同一底上的两个内角相等”及“等腰梯形的对角线相等”通过将等腰梯形分割成平行四边形和等腰三角形来推理证明∠B=∠C的方法，应引起足够的重视，因为这是解决有关梯形问题的常用方法。
矩形、菱形、正方形和梯形的性质练习题
矩形、菱形、正方形和梯形的性质练习题1、在矩形ABCD中，AB=2AD，E是CD上一点，且AE=AB，则∠CBE的度数是（）A．30°B．22.5°C．15°D．以上都不对2、矩形的面积是12cm2，一边与一条对角线的比为3∶5，则矩形的对角线长为（）A．3cm B．4cmC．5cm D．12cm3、矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角相等C．4个内角都相等D．对角线互相垂直4、由矩形各边中点为顶点的四边形是（）A．矩形B．菱形C．普通四边形D．正方形5、从四边形内能找一点，使该点到各边距离相等的图形是（）A．平行四边形、矩形、菱形B．菱形、矩形、正方形C．矩形、正方形D．菱形、正方形6、等腰梯形的上底、下底、高之比为1︰3︰1，则下底角的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°7、等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，图中全等三角形有（）A．两对B．四对C．一对D．三对8、正方形ABCD的边长为16，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=10，则四边形EFGH的面积是（）A．16 B．136C．144 D．1609、E是正方形ABCD内一点，且△EAB是等边三角形，则∠ADE=（）A．70°B．72.5°C．75°D．77.5°10、等腰梯形上底长2cm，过它的一个端点引一腰的平行线与下底相交，所得三角形的周长为6cm，则梯形的周长为（）A．12cm B．10cmC．8cm D．9cm二、填空题11、菱形的周长为40cm，两邻角之比为1︰2，较长的对角线的长为_________．12、正方形内一点P，到各边的距离为2、3、4、5，则正方形的面积为__________.三、解答题14、如图所示，Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，BC=45，四边形DEFG是矩形，且DG︰DE=5︰2，求DE的长．15、菱形的一个内角为120°，一条对角线的长度为8cm，求这个菱形的边长．16、在梯形ABCD中，两底AB=14cm，DC=6cm，两底角∠A=30°，∠B=60°，求腰BC的长.17、正方形的边长为10cm，求以它的对角线为边的等边三角形的面积.18、直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠C=90°，AD=20，BC=10，求∠A和∠D.。
中考数学一轮复习 特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形 专题培优、能力提升复习讲义(含答案)
特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形专题培优、能力提升复习讲义中考考点梳理一、矩形1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积：S矩形=长×宽=ab二、菱形1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、正方形1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
3、正方形的判定（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。
先证它是菱形，再证有一个角是直角。
（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：第一步：先证明它是平行四边形；第二步：再证明它是菱形（或矩形）；第三步：最后证明它是矩形（或菱形）4、正方形的面积： 设正方形边长为a ，对角线长为b ，S 正方形=222b a 中考典例精选考点典例一、矩形的性质与判定【例1】如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,若AB ＝AO ， 求∠ABD 的度数.图6A B 【答案】∠ABD =60°.【解析】考点：矩形的性质；等边三角形的判定及性质.【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．【举一反三】1.已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．【答案】详见解析.【解析】试题分析：由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到△BEF≌△CFD，利用全等三角形对应边相等即可得证．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．2. 如图，将矩形ABCD 沿GH 对折，点C 落在Q 处，点D 落在E 处，EQ 与BC 相交于F ．若AD=8cm ，AB=6cm ，AE=4cm ．则△EBF 的周长是 cm ．【答案】8.【解析】试题分析：BE=AB-AE=2.设AH=x ，则DH=AD ﹣AH=8﹣x ，在Rt △AEH 中，∠EAH=90°，AE=4，AH=x ，EH=DH=8﹣x ，∴EH 2=AE 2+AH 2，即（8﹣x ）2=42+x 2，解得：x=3．∴AH=3，EH=5.∴C △AEH =12.∵∠BFE+∠BEF=90°，∠BEF+∠AEH=90°，∴∠BFE=∠AEH ．又∵∠EAH=∠FBE=90°，∴△EBF ∽△HAE ，∴32==∆∆AH BE C C HAE EFB ． ∴C △EBF =23=C △HAE =8．考点：1折叠问题；2勾股定理；3相似三角形.考点典例二、菱形的性质与判定【例2】如图，在▱ABCD中，已知AD＞AB．（1）实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．【答案】(1)详见解析；（2）四边形ABEF是菱形，理由详见解析.【解析】（2）四边形ABEF是菱形；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴BE=AB，由（1）得：AF=AB，∴BE=AF，又∵BE ∥AF ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AF=AB ，∴四边形ABEF 是菱形．考点：角平分线的画法；平行四边形的性质；菱形的判定.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，熟记各性质与平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键．在利用菱形计算或证明时，应充分利用菱形的性质，如“菱形的四条边都相等”“菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一组对角线平分一组对角”等.对于菱形的判定，若可证出四边形为平行四边形，则可证一组邻边相等或对角线互相垂直；若相等的边较多，则可证四条边都相等.【举一反三】1. 如图，四边形ABCD 是菱形，8=AC ，6=DB ，AB DH ⊥于H ，则DH 等于A ．524 B ．512 C ．5 D ．4【答案】A.【解析】 考点：菱形的性质.2. 如图，菱形ABCD 的边AB=8，∠B=60°，P 是AB 上一点，BP=3，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点为A ′，当CA ′的长度最小时，CQ 的长为（ ）A. 5B. 7C. 8D. 213 CD H【答案】B．【解析】考点：菱形的性质；轴对称（折叠）；等边三角形的判定和性质；最值问题．考点典例三、正方形的性质与判定【例3】如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.(1)求证：∠ADB＝∠CDB；(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．【答案】证明见解析.【解析】考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．正方形是特殊的矩形又是特殊的菱形，具有矩形和菱形的所有性质.证明一个四边形是正方形，可以先判定为矩形，再证邻边相等或对角线互相垂直；或先判定为菱形，再证有一个角是直角或对角线相等.【举一反三】1.如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（）A．B．2 C．D．10﹣5【答案】B.【解析】考点：正方形的性质；全等三角形的判定及性质；勾股定理.考点典例四、特殊平行四边形综合题【例4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE ⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形BECD是菱形，（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．理由见解析.【解析】（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：考点：正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力． 【举一反三】如图，正方形ABCD 的边长为1,AC 、BD 是对角线，将△DCB 绕点D 顺时针旋转450得到△DGH ， HG 交AB 于点E ，连接DE 交AC 于点F ，连接FG ，则下列结论：①四边形AEGF 是菱形 ②△AED ≌△GED③∠DFG ＝112.5︒ ④BC ＋FG ＝1.5其中正确的结论是 .（填写所有正确结论的序号）图5F EH G BA【答案】①②③. 【解析】试题分析：由旋转的性质可得HD=BD=2 ∴HA=12-考点：旋转的性质；全等三角形的判定及性质；菱形的判定.课后巩固、提高自测小练习一、选择题1．关于ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC ABCD是菱形B．若AC⊥BD ABCD是正方形C．若AC=BD，则ABCD是矩形D．若AB=AD ABCD是正方形【答案】C.【解析】试题分析：根据矩形的判定可得A、C项应是矩形；根据菱形的判定可得B、D项应是菱形,故答案选C.考点：矩形、菱形的判定.2. 下列说法正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．矩形的对角线互相垂直C．一组对边平行的四边形是平行四边形D．四边相等的四边形是菱形【答案】D.【解析】考点：1菱形的判定；2矩形的性质；3平行四边形的判定.3．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C.【解析】试题分析：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．此时，EP+FP的值最小，值为EF′．∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．考点：1轴对称；2菱形.4.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（ ）A ．AB =AD B ．AC ⊥BD C ．AC =BD D ．∠BAC =∠DAC 【答案】C ． 【解析】考点：菱形的判定；平行四边形的性质．5. 如图，正方形ABCD 中，AB =6，点E 在边CD 上，且CE =2DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG =GC ；③EG =DE +BG ；④AG ∥CF ；⑤S △FGC =3.6．其中正确结论的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D ． 【解析】试题分析：∵正方形ABCD 的边长为6，CE =2DE ，∴DE =2，EC =4，∵把△ADE 沿AE 折叠使△ADE 落在△AFE 的位置，∴AF =AD =6，EF =ED =2，∠AFE =∠D =90°，∠FAE =∠DAE ，在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，∵AB =AF ，AG =AG ，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ），∴GB =GF ，∠BAG =∠FAG ，∴∠GAE =∠FAE +∠FAG =12∠BAD =45°，所以①正确； 设BG =x ，则GF =x ，C =BC ﹣BG =6﹣x ，在Rt △CGE 中，GE =x +2，EC =4，CG =6﹣x ，∵222CG CE GE +=，∴222(6)4(2)x x-+=+，解得x=3，∴BG=3，CG=6﹣3=3，∴BG=CG，所以②正确；∵EF=ED，GB=GF，∴GE=GF+EF=BG+DE，所以③正确；∵GF=GC，∴∠GFC=∠GCF，又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，而∠BGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，∴CF∥AG，所以④正确；过F作FH⊥DC．∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴EH EFGC EG=，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH∽△EGC，∴相似比为：EH EFGC EG==25，∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=12×3×4﹣12×4×（25×3）=3.6，所以⑤正确．故正确的有①②③④⑤，故选D．考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．6.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了（）A．1次B．2次C．3次D．4次【答案】B．【解析】考点：翻折变换（折叠问题）．7.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直【答案】D．【解析】考点：菱形的性质；平行四边形的性质．8.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60°D．∠ACB=60°【答案】B．【解析】试题分析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AB//CD，∴四边形ABCD为平行四边形，当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形．故选B．考点：菱形的判定；平移的性质．二、填空题1.如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中正确的是（只填写序号）【答案】①②③④.【解析】考点：1菱形的性质和判定；2轴对称；3平行线的性质.2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=度．【答案】22.5°．【解析】试题分析：已知四边形ABCD是矩形，由矩形的性质可得AC=BD，OA=OC，OB=OD，即可得OA=OB═OC，由等腰三角形的性质可得∠OAC=∠ODA，∠OAB=∠OBA，即可得∠AOE=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，再由∠EAC=2∠CAD，可得∠EAO=∠AOE，因AE⊥BD，可得∠AEO=90°，所以∠AOE=45°，所以∠OAB=∠OBA=67.5°，即∠BAE=∠OAB ﹣∠OAE=22.5°．考点：矩形的性质；等腰三角形的性质．3. 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是．（1）EF=OE；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；（3）BE+BF=OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=；（5）OG•BD=AE2+CF2．【答案】（1），（2），（3），（5）．【解析】1（2）∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD，4∴S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故正确；（3）∴BE+BF=BF+CF=BC=2OA；故正确；（5）∵∠EOG=∠BOE，∠OEG=∠OBE=45°，∴△OEG∽△OBE，∴OE：OB=OG：OE，∴OG•OB=OE2，∵OB=12BD，OE=22EF，∴OG•BD=EF2，∵在△BEF中，EF2=BE2+BF2，∴EF2=AE2+CF2，∴OG•BD=AE2+CF2．故正确．考点：四边形综合题．4.如图，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为AC=8和BD=6，那么，菱形ABCD的面积为．【答案】24． 【解析】试题分析：根据菱形面积等于两条对角线的长度的乘积的一半即可得，菱形的面积=21×6×8=24. 考点：菱形的性质．5．将矩形ABCD 纸片按如图所示的方式折叠，EF ，EG 为折痕，试问∠AEF +∠BEG = ．【答案】90°． 【解析】考点：翻折变换（折叠问题）．6. 如图，四边形OABC 为矩形，点A ，C 分别在x 轴和y 轴上，连接AC ，点B 的坐标为（4，3），∠CAO 的平分线与y 轴相交于点D ，则点D 的坐标为 ．【答案】（0，43）．【解析】考点：矩形的性质；坐标与图形性质．三、解答题1.如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．（1）求证：C P=AQ；（2）若BP=1，PQ=22，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【解析】考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．2.如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．（1）求证：△PHC≌△CFP；（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，面积相等．【解析】试题分析：（1）由矩形的性质得出对边平行，再根据平行线的性质得出相等的角，结合全等三角形的判定定理AAS即可得出△PHC≌△CFP；（2）由矩形的性质找出∠D=∠B=90°，再结合对边互相平行即可证出四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，通过角的正切值，在直角三角形中表示出直角边的关系，利用矩形的面积公式即可得出两矩形面积相等．考点：矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．3.如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：A E=EF．【答案】证明见解析．【解析】试题分析：先取AB的中点H，连接EH，根据∠AE F=90°和ABCD是正方形，得出∠1=∠2，再根据E是BC 的中点，H是AB的中点，得出BH=BE，AH=CE，最后根据CF是∠DCG的角平分线，得出∠AHE=∠ECF=135°，从而证出△AHE≌△ECF，即可得出AE=EF．试题解析：取AB的中点H，连接EH．∵∠AEF=90°，∴∠2+∠AEB=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠1+∠AEB=90°，∴∠1=∠2，∵E是BC的中点，H是AB的中点，∴BH=BE，AH=CE，∴∠BHE=45°，∵CF是∠DCG的角平分线，∴∠FCG=45°，∴∠AHE=∠ECF=135°，在△AHE和△ECF中，∵∠1=∠2，AH=EC，∠AHE=∠ECF，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE=EF．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．4. 如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：（1）∠CEB=∠CBE；（2）四边形BCED是菱形．【答案】详见解析.【解析】∵CE∥BD，∴四边形CEDB是平行四边形，∵BC=BD，∴四边形CEDB是菱形．考点：全等三角形的性质；菱形的判定．。
人教版初二数学下册正方形、梯形知识点总结及例题-2b95
正方形一周强化一、一周知识概述1、正方形的定义及性质、正方形的定义及性质有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形．有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形．从定义可知，正方形既是一种特殊的矩形（有一组邻边相等的矩形），又是一种特，因此它具有矩形和菱形的所有性质．殊的菱形（有一个角是直角的菱形），因此它具有矩形和菱形的所有性质．正方形被对角线分成的三角形，都是等腰直角三角形．正方形被对角线分成的三角形，都是等腰直角三角形．2、正方形的判定、正方形的判定从平行四边形出发：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形． 从平行四边形出发：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形．从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形．从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形．从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形．从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形．3、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图．正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图．二、重难点知识归纳1、利用正方形对角线的性质解题、利用正方形对角线的性质解题2、利用正方形的轴对称性解题、利用正方形的轴对称性解题上． 例4、已知，如图，在正方形ABCD中，点E在AC上．3、利用旋转法解决有关正方形问题、利用旋转法解决有关正方形问题 ∴．4、构造正方形解题、构造正方形解题5、利用正方形性质解选择题、利用正方形性质解选择题梯形一周强化一、一周知识概述 1、梯形的概念、梯形的概念梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，这两个条件缺一不可．梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形，这两个条件缺一不可．换一换一种说法就是，一组对边平行且不相等的四边形是梯形．种说法就是，一组对边平行且不相等的四边形是梯形． 等腰梯形和直角梯形是两种特殊梯形．等腰梯形和直角梯形是两种特殊梯形． 2、等腰梯形的性质与判定、等腰梯形的性质与判定 (1)等腰梯形的性质等腰梯形的性质①等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，底边的垂直平分线是它的对称轴； ②等腰梯形同一底边上的两个角相等；②等腰梯形同一底边上的两个角相等； ③等腰梯形的两条对角线相等．③等腰梯形的两条对角线相等． (2)等腰梯形的判定等腰梯形的判定同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形． 3、梯形中常见辅助线作法、梯形中常见辅助线作法(1)平移一腰，使两腰、两底角集中于同一个三角形中，并且得出两底之差(如图(1))； (2)平移一条对角线，使两条对角线及两底之和构成一个三角形，并且能得出两底之和(如图(2))；(3)延长两腰交于一点，将梯形转化为三角形(如图(3))； (4)作梯形的高，将梯形转化为矩形与直角三角形(如图(4))；(5)延长顶点与一腰中点的连线交底边于一点，将梯形转化为三角形，并且集中了两底(如图(5))；(6)将梯形割补为平行四边形(如图(6))；1、直接利用等腰梯形的性质或判定解题、直接利用等腰梯形的性质或判定解题∴EF∥AD，．∴EF∥BC．又，∴∠ABC=∠AEB ，∴AB=AE，∴．2、梯形辅助线的作法、梯形辅助线的作法在Rt△BDE中，∴∴∴AF=7cm ∴．同理．∴．∴．(3)若AD=3，BC=7，，求证：AC⊥BD．(1)分别过点A、D作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，则．又AE=DF=4，∴(2)．∴．∵，∴BD2＋DG2=BG2．点评：(1)是作等腰梯形的两条高，构造直角三角形，运用勾股定理求腰长；由(3)知在等腰梯形中，已知对角线互相垂直或要证对角线互相垂直，一般的方法就是平移一腰．。
四边形(矩形正方形菱形梯形)讲解
四边形知识要点1.N边形以及四边形性质：1）N边形的内角和为，外角和为，2）四边形的内角和为，外角和为，正多边形的定义：各条边都相等且各内角都相等的多边形叫正多边形.1）正N边形的一个内角为，一个外角为，2.平行四边形的性质以及判定性质：1）平行四边形两组对边分别平行且相等.2）平行四边形对角相等，邻角互补.3）平行四边形对角线互相平分.4）平行四边形是中心对称图形.判定方法：1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.4）对角线互相平分的四边形是平行四边形.（容易忘记）注意：其他还有一些判定平行四边形的方法，但都不能作为定理使用。
如：“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”，它显然是一个真命题，但不能作为定理使用.例题：1、平行四边行的两条对角线把它分成全等三角形的对数是（）A.2B.4C.6D.82、在□ABCD中，∠A、∠B的度数之比为5∶4，则∠C等于（）A.60°B.80°C.100°D.120°3、平行四边形的周长为36 cm，一组邻边之差为4 cm，求平行四边形各边的长.4、.如图，在□ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？说明理由.5.如图，D、E是△ABC的边AB和AC中点，延长DE到F，使EF=DE，连结CF.四边形BCFD是平行四边形吗？为什么？3.中心对称图形1）中心对称图形的定义以及常见的中心对称图形（平行四边形）2）经过对称中心的直线把中心对称图形的面积二等分，对称点的连线段经过对称中心且被对称中心平分.4.三角形的中位线以及中位线定理中位线平行且等于第三边的一半。
用来证明线段平行或长度关系 5.矩形的性质以及判定性质：1）矩形具有平行四边形所具有的一切性质. 2）矩形的四个角都是直角.3）矩形的对角线相等. （矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形） 4）既是轴对称图形又是中心对称图形5）矩形的面积等于长乘以宽.判定方法：1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2）有三个角是直角的四边形是矩形. 3）对角线相等的平行四边形是矩形.注意：其他还有一些判定矩形的方法，但都不能作为定理使用. 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.例题：1、矩形是面积的60，一边长为5，则它的一条对角线长等于 。
人教版八年级数学下册《特殊的平行四边形》复习课件
A.4
）
B. 3
C.10
D.12
A
D
F
G
B
E
C
例
如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别
在正方形ABCD的边上，且AH=2，连接CF.
（1）当DG=2时，求证：菱形EFGH是正方形。
（2）设DG=x，试用含x的代数式表示△FCG的面积。
D
G
C
F
H
A
A
C
O
B
N
）
矩形的探究性问题
A
例 如图，在△ABC中，DE分别是AB，
AC的中点，连接DE并延长至点F，使
E F = D E ， 连 接 C F.
（1）求证：四边形DBCF是平行四边形。
（2）探究：当△ABC满足什么条件时，
B
四边形ADCF是矩形，并说明理由。
D
E
F
C
N
A
B
如图，已知AD//BC，AB//CD，∠B=∠BCD.
4、正方形既是矩形，又是菱形；
5、理解矩形、菱形、正方形的关系。
框架
矩形
正方形
平行四边形
菱形
定义
平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。（特殊在角）
菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。（特殊在边）
正方形：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫正方形。
点PQ分别在BD，AD上，则PA+PQ的最小值为_______。
Q
A
D
P
E
B
C
CD在∠MON的内部，顶点A,B分别在射
矩形、菱形、正方形及梯形练习题
矩形、菱形、正方形及梯形练习题一、单选题(注释)1.如图，已知矩形ABCD中，AC与BD相交于O，DE平分∠ADC交BC于E，∠BDE=15°，则∠COE的度数为（）A．75° B．85° C．90° D．65°2、如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A． B． C． D．不确定3、如图，正方形ABCD以AD为边向外作等边三角形ADE，则∠BEC的度数为（）A．30° B．15° C．20° D．45°4、在正方形ABCD中，P为AB的中点，BE⊥PD 的延长线于点E，连接AE、BE、FA⊥AE交DP于点F，连接BF，FC．下列结论：①△ABE≌△ADF；②FB=AB；③CF⊥DP；④FC=EF 其中正确的是（）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④5、如图，在正方形ABCD的对角线上取点E，使得∠BAE=15°，连接AE，CE．延长CE到F，连接BF，使得BC=BF．若AB=1，则下列结论：①AE=CE；②F到BC的距离为；③BE+EC=EF；④；⑤．其中正确的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6.如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平���线交DC于点E，若点P、Q分别是AD 和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（）A．2 B．4 C．2 D．47、如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE=10cm，且tan∠EFC=，那么该矩形的周长为（）A．72cm B．36cm C．20cm D．16cm8、小陈从O点出发，前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（）A．60米 B．100米 C．90米 D．120米9、不能判定一个梯形是等腰梯形的条件是（）A．对角线相等 B．底边中点到两腰的距离相等 C．同一边上的两邻角相等 D．一组对角互补10、在数学活动课上，小明提出一个问题：“如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，∠CMD=35°，则∠MAB是多少度”大家经过了一番热烈的讨论交流之后，小雨第一个得出了正确结论，你知道他说的是（）A．20°B．35°C．55°D．70°11、下列说法中不正确的是（）A．平行四边形对角线互相平分B．矩形各内角平分线围成正方形 C．菱形对角线互相垂直平分D．﹣组对边平行另一组对边相等的四边形是梯形12、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF13、如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（）A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.514、如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形D．如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形15、在△MNB中，BN=6，点A，C，D分别在MB，NB，MN上，四边形ABCD为平行四边形，且∠NDC=∠MDA，则四边形ABCD的周长是（）A．24 B．18 C．16 D．1216、如图所示，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD=1，BC=3，CD=4，EF为梯形ABCD的中位线，DH为梯形的高，且交EF于G点，下列结论正确的有（）①G为EF的中点；②△EFH为等边三角形；③四边形EHCF为菱形；④S△BEH =S△FCH．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个17、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3CD，对角线AC、BD交于点O，中位线EF与AC、BD分别交于M、N两点，则图中阴影部分的面积是梯形ABCD面积的（）A． B． C． D．18、哈尔滨市为迎接第24届世界大学生冬季运动会，正在进行城区人行道路翻新，准备选用同一种正多边形地砖铺设地面．下列正多边形的地砖中，不能进行平面镶嵌的是（）A ．B ．C ．D ．19、黑色正三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：白色正六边形分上下两行，上面一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满．按第1，2，3个图案（如图）所示规律依次下去，则第n 个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是（ ）A ．n 2+n+2，2n+1B ．2n+2，2n+1C ．4n ，n 2﹣n+3D ．4n ，2n+120、分别剪一些边长相同的①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，如果用其中一种正多边形镶嵌，可以镶嵌成一个平面图案的有（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①②③④都可以 二、填空题21、如图，矩形ABCD 的两条线段交于点O ，过点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD 、BC 于点E 、F ，连接CE ，已知△CDE 的周长为24cm ，则矩形ABCD 的周长是_______cm ．22、如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交于点O 2，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2，…，依此类推，则平行四边形ABC n O n 的面积为_______．23、如图，正方形A 1B 1B 2C 1，A 2B 2B 3C 2，A 3B 3B 4C 3，…，A n B n B n+1C n ，按如图所示放置，使点A 1、A 2、A 3、A 4、…、A n 在射线OA 上，点B 1、B 2、B 3、B 4、…、B n 在射线OB 上．若∠AOB=45°，OB 1=1，图中阴影部分三角形的面积由小到大依次记作S 1，S 2，S 3，…，S n ，则S n = ．24、以边长为2的正方形的中心O 为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A 、B 两点，则线段AB 的最小值是 ．25、如图，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数为_____．26、如图所示，分别以n 边形的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为 个平方单位．27.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AF∥DC，M是CD的中点，延长AM交BC的延长线于E，AF⊥BE，∠B=45°，AF=3cm，EF=5cm，则AD+BC= ．28、如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠A与∠B互余，DC=2，AB=6，E、F分别为AB、DC中点，则EF= ．29、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=，BC=4，则DC的长是．30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠BCD=60°，AD=2，AC平分∠BCD（1）CD= ；（2）若DE∥AB交BC于点E，则∠CDE=．31、已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，∠BEA=∠DEA，连接AE、BD相交于点F，BD⊥CD．则四边形ABED是什么形状的四边形：．32、若等腰梯形的三边长分别为2，3，10，则这个等腰梯形的周长为．33、如图，在△ABC中，∠ACB=90°．D是AC的中点，DE⊥AC，AE∥BD，若BC=4，AE=5，则四边形ACBE的周长是______．34、如图所示，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、AF、CE、CF，添加 __________条件，可以判定四边形AECF是平行四边形．（填一个符合要求的条件即可）35.如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AC+BD=18，BC=6，则△AOD的周长为_______．36、在△ABC中，AB=AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连接ED并延长到点F，使DF=DE，连接FC，若∠B=70°，则∠F=_______度．37.如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是 .1)一组对边平行而另一组对边不平行 2）对角线相等3）对角线互相垂直 4）对角线互相平分38、如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点且AE=CF，在①BE=DF；②BE∥DF；③AB=DE；④四边形EBFD为平行四边形⑤S△ADE =S△ABE；⑥AF=CE这些结论中正确的是______．39、在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=10，BD=6，则该梯形的面积是______．40、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠BAC=90°，AB=2，CD=，E是BC的中点，则DE的长为______．三、解答题41、已知：如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE，CF．（1）求证：AF=CE；（2）若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．42、已知，正方形ABCD的边长为1，直线l1∥直线l2，l1与l2之间的距离为1，l1、l2与正方形ABCD的边总有交点．（1）如图1，当l1⊥AC于点A，l2⊥AC交边DC、BC分别于E、F时，求△EFC的周长；（2）把图1中的l1与l2同时向右平移x，得到图2，问△EFC与△AMN的周长的和是否随x的变化而变化，若不变，求出△EFC与△AMN的周长的和；若变化，请说明理由；（3）把图2中的正方形饶点A逆时针旋转α，得到图3，问△EFC与△AMN的周长的和是否随α的变化而变化？若不变，求出△EFC与△AMN的周长的和；若变化，请说明理由．43、以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH．（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α（0°＜α＜90°），①试用含α的代数式表示∠HAE；②求证：HE=HG；③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．44、已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，一动点P从B开始，沿射线BC 运动，连接DP，作CN⊥DP于点M，且交直线AB于点N，连接OP，ON．（当P在线段BC上时，如图1：当P在BC的延长线上时，如图2）（1）请从图1，图2中任选一图证明下面结论：①BN=CP；②OP=ON，且OP⊥ON；（2）设AB=4，BP=x，试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系．45、如图（*），四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．（1）探究1：小强看到图（*）后，很快发现AE=EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证△AEM≌EFC就行了，随即小强写出了如下的证明过程：证明：如图1，取AB的中点M，连接EM．∵∠AEF=90°∴∠FEC+∠AEB=90°又∵∠EAM+∠AEB=90°∴∠EAM=∠FEC∵点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点∴AM=EC又可知△BME是等腰直角三角形∴∠AME=135°又∵CF是正方形外角的平分线∴∠ECF=135°∴△AEM≌△EFC（ASA）∴AE=EF（2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC 上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论．（3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E 是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．46、一个多边形少一个内角的度数和为2300°．（1）求它的边数；（2）求少的那个内角的度数．47、（1）我们知道三角形的内角和是180°，请猜测四边形的内角和是多少度？解：四边形的四个内角和等于_______°．（2）利用下面两种方法验证你的猜想，请说明理由：解法一：如图1，连接四边形ABCD��对角线AC．解法二：如图2，延长CB、DA相交于点E．48、如图，四边形ABCD中，∠A+∠D=210°，∠ABC与∠BCD的平分线交于P，求∠P的度数．49.一个正多边形的一个内角的度数比相邻外角的6倍还多12°，求这个正多边形的内角和．50、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=45°，AB=2AD=4．求梯形ABCD的周长．51、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．52、梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=30° AD=8c m，CD=16cm，BC=28cm，点P、Q分别是梯形某边上同时出发的一个动点，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点随之停止运动．其中，点P移动的速度是1cm/s，点Q移动的速度是2cm/s．（1）在图①中，点P从点A出发向点D移动，点Q从点C出发向点B移动，设所移动的时间为t．t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）在图②中，如果点P从点A出发向点D移动，点Q从点C出发向点D移动．设所移动的时间为t，用关于t的式子表示△PQB的面积，并求出t的取值范围．53、如图，正方形ABCD的各边都平行于坐标轴，点A、C分别在直线y=2x和x轴上，若点A在直线y=2x上运动．（1）当点A运动到横坐标x=3时，写出点C的坐标．（2）写出x=1时，直线AC的函数解析式．（3）若点A横坐标为m，且满足1≤m≤3时，请你求出对角线AC在移动时所扫过的四边形的面积．54、四边形ABCD是直角梯形，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=5，∠BCD=45°，求梯形的周长．55、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD于点0，∠CDB=∠CAB，DE⊥AB，CF⊥AB，E．F 为垂足．设DC=m，AB=n．（1）求证：△ACB≌△BDA；（2）求四边形DEFC的周长．56、探索发现：（1）如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的面积为S，则△ACD的面积为．探究操作：（2）在图2中，E、F分别是▱ABCD的边AB、BC的中点，若▱ABCD的面积为S，求四边形BEDF的面积？并说明理由．（3）在图3中，E、F分别是▱ABCD的边AB、BC上的点，且AE=AB，BF=BC，若▱ABCD的面积为S，则四边形BEDF的面积为．拓展延伸：（4）如图4中，矩形ABCD中，AB=nBC（n为常数，且n＞0）．E是AB边上的一个动点，F 是BC边上的一个动点．若在两点运动的过程中，四边形BEDF的面积始终等于矩形面积的，请探究线段AE��BF应满足怎样的数量关系，并说明理由．57、如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，点 E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明．58、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO．59、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．（2）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．60、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．(1) 证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；(2) 若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3) 在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD=∠BCD，并说明理由．61.如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．（1）若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？（2）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？（3）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？试卷答案41.（1）证明：在△ADF 和△CDE 中， ∵AF∥BE，∴∠FAD=∠ECD． 又∵D 是AC 的中点， ∴AD=CD．∵∠ADF=∠CDE， ∴△ADF≌△CDE． ∴AF=CE．（2）解：若AC=EF ，则四边形AFCE 是矩形． 证明：由（1）知：AF=CE ，AF∥CE， ∴四边形AFCE 是平行四边形． 又∵AC=EF，∴平行四边形AFCE 是矩形． 42.解：（1）如图1，∵正方形ABCD 的边长为1， ∴AC=．又∵直线l 1∥直线l 2，l 1与l 2之间的距离为1． ∴CG=﹣1． ∴EF=2﹣2，EC=CF=2﹣． ∴△EFC 的周长为EF+EC+CF=2；（2）△EFC 与△AMN 的周长的和不随x 的变化而变化． 如图2，把l 1、l 2向左平移相同的距离，使得l 1过A 点，即l 1平移到l 4，l 2平移到l 3， 过E 、F 分别做l 3的垂线，垂足为R ，G ． 可证△AHM ≌△ERP ，△AHN ≌△FGQ ．∴△EFC与△AMN的周长的和为△CPQ的周长，由已知可计算△CPQ的周长为2，∴△EFC与△AMN的周长的和为2；（3）△EFC与△AMN的周长的和不随α的变化而变化．如图3，把l1、l2平移相同的距离，使得l1过A点，即l1平移到l4，l2平移到l3，过E、F分别做l3的垂线，垂足为R，S．过A作l1的垂线，垂足为H．可证△AHM≌△FSQ，△AHN≌△ERP，∴AM=FQ，HM=SQ，AN=EP，HN=RP．∴△EFC与△AMN的周长的和为△CPQ的周长．如图4，过A作l3的垂线，垂足为T．连接AP、AQ．可证△APT≌△APD，△AQT≌△AQB，∴DP=PT，BQ=TQ．∴△CPQ的周长为DP+PC+CQ+QB=DC+CB=2．∴△EFC与△AMN的周长的和为2．43.（1）解：四边形EFGH的形状是正方形．（2）解：①∠HAE=90°+α，在平行四边形ABCD中AB∥CD，∴∠BAD=180°﹣∠ADC=180°﹣α，∵△HAD和△EAB是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°，∴∠HAE=360°﹣∠HAD﹣∠EAB﹣∠BAD=360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣a）=90°+α，答：用含α的代数式表示∠HAE是90°+α．②证明：∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形，∴AE=AB，DG=CD，在平行四边形ABCD中，AB=CD，∵△AHD和△DGC是等腰直角三角形，∴∠HDA=∠CDG=45°，∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+α=∠HAE，∵△AHD是等腰直角三角形，∴HA=HD，∴△HAE≌△HDG，∴HE=HG．③答：四边形EFGH是正方形，理由是：由②同理可得：GH=GF，FG=FE，∵HE=HG，∴GH=GF=EF=HE，∴四边形EFGH是菱形，∵△HAE≌△HDG，∴∠DHG=∠AHE，∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°，∴四边形EFGH是正方形．44.（1）证明：如图1，∵四边形ABCD为正方形，∴OC=OB，DC=BC，∠DCB=∠CBA=90°，∠OCB=∠OBA=45°，∠DOC=90°，DC∥AB，∵DP⊥CN，∴∠CMD=∠DOC=90°，∴∠BCN+∠CPD=90°，∠PCN+∠DCN=90°，∴∠CPD=∠CNB，∵DC∥AB，∴∠DCN=∠CNB=∠CPD，∵在△DCP和△CBN中，∴△DCP≌△CBN（AAS），∴CP=BN，∵在△OBN和△OCP中，∴△OBN≌△OCP（SAS），∴ON=OP，∠BON=∠COP，∴∠BON+∠BOP=∠COP+∠BOP，即∠NOP=∠BOC=90°，∴ON⊥OP，即ON=OP，ON⊥OP．（2）解：∵AB=4，四边形ABCD是正方形，∴O到BC边的距离是2，图1中，S四边形OPBN =S△OBN+S△BOP=×（4﹣x）×2+×x×2=4（0＜x＜4），图2中，S四边形OBNP =S△POB+S△PBN=×x×2+×（x﹣4）×x=x2﹣x（x＞4），即以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是：．45.（2）探究2，证明：在AB上截取AM=EC，连接ME，由（1）知∠EAM=∠FEC，∵AM=EC，AB=BC，∴BM=BE，∴∠BME=45°，∴∠AME=∠ECF=135°，∵∠AEF=90°，∴∠FEC+∠AEB=90°，又∵∠EAM+∠AEB=90°，∴∠EAM=∠FEC，在△AEM和△EFC中，，∴△AEM≌△EFC（ASA），∴A E=EF；（3）探究3：成立，证明：延长BA到M，使AM=CE，连接ME，∴BM=BE，∴∠BME=45°，∴∠BME=∠ECF=45°，又∵AD∥BE，∴∠DAE=∠BEA，又∵∠MAD=∠AEF=90°，∴∠DAE+∠MAD=∠BEA+∠AEF，即∠MAE=∠CEF，在△MAE和△CEF中，，∴△MAE≌△CEF（ASA），∴AE=EF．46.解：（1）∵2220°÷180°=12…60°，则边数是：12+1+2=15；（2）该内角应是180°-60°=120°．47.解：（1）360°；（2）证明：解法一：连接AC，∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠D+∠DAC+∠DCA=180°，∴∠BAD+∠B+∠BCD+∠D=∠B+∠BAC+∠BCA+∠D+∠DAC+∠DCA=360°，∴四边形的四个内角和等于360°；解法二：延长CB、DA相交于点E，∵∠E+∠C+∠D=180°，∠E+∠EBA+∠EAB=180°，∴∠C+∠D=180°-∠E，∠EBA+∠EAB=180°-∠E，∵∠CBA+∠EBA=180°，∠DAB+∠EAB=180°，∴∠ABC+∠DAB=180°-∠EBA+180°-∠EAB=360°-（∠EBA+∠EAB）=360°-（180°-∠E）=180°+∠E，∴∠DAB+∠ABC+∠C+∠D=180°+∠E+180°-∠E=360°．∴四边形的四个内角和等于360°．48.解：∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°-（∠A-∠D）=150°，∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠BCD）=75°，则∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=105°．解：设这个正多边形的一个外角的度数为x，根据题意得180°-x=6x+12°，解得x=24°，所以这个正多边形边数==15，所以这个正多边形的内角和=（15-2）×180°=2340°． 50.解：∵AB=2AD=4，∴AD=2，AB=4，过D作DE⊥BC于E，则∠DEC=∠DEB=90°，∵AD∥BC，∠A=90°，∴∠B=90°，∴四边形ABED是矩形，∴AD=BE=2，AB=DE=4，∵∠C=45°，∠DEC=90°，∴∠CDE=45°=∠C，∴CE=DE=4，∴在Rt△DEC中，由勾股定理得：CD==4，即梯形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=4+2+4+4+2=12+4．51.解：如图，过点D作DF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．∵AB⊥AC，∴∠AED=∠BAC=90度．∵AD∥BC，∴∠DAE=180°﹣∠B﹣∠BAC=45度．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=4，∴AC=BC•sin45°=4×=2在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=45°，AD=1，∴DE=AE=．∴C E=AC﹣AE=．在Rt△DEC中，∠CED=90°，∴DC==．52.解：（1）∵AD∥BC，当DP=CQ时，四边形PQCD是平行四边形，即8﹣t=2t时，四边形PQCD是平行四边形，∴t=，答：当t为时，四边形PQCD是平行四边形．（2）过D作DF⊥BC于F，过Q作QH⊥BC于H，∵∠C=30°，CQ=2t，CD=16，∴QH=t，DF=8，∴△PQB的面积是S=S梯形ABCD ﹣S△APB﹣S△PDQ﹣S△BQC=×（8+28）×8﹣×t×8﹣×（8﹣t）×（8﹣t）﹣×28×t =﹣t2﹣10t+112，∵8÷1=8，16÷2=8，∴t的取值范围是0≤t＜8．53.解：（1）当x=3时，y=2x=6，则A（3，6）∴B（9，6）∴C（9，0）．（2）x=1时，y=2x=2，∴A（1，2），∴B（3，2），∴C（3，0），设直线AC的函数解析式为：y=kx+b，∴，解得：k=﹣1，b=3，∴y=﹣x+3，即AC的函数表达式为：y=﹣x+3．（3）对角线AC扫过的四边形的形状为梯形为梯形EFCA，当1≤m≤3时，由（2）得m=1∴A（1，2），即E（1，2），此时C（3，0），即F（3，0），∵直线AC的解析式为y=﹣x+3∴它与x轴的交点为C的坐标是（3，0）又由（1）知A（3，6），C（9，0）△AOC的面积=×9×6=27，△OEF的面积=×3×2=3=27﹣3=24，扫过的面积S梯形EFCA答：对角线AC在移动时所扫过的四边形的面积是24．54.解：过B作BE∥AD交DC于E，∵AB∥DC，BE∥AD，∴四边形ADEB是平行四边形，∴AD=BE=5，AB=DE=5，∵AD⊥DC，∴∠D=∠BEC=90°，∵∠C=45°，∴∠EBC=180°﹣90°﹣45°=45°，即：∠EBC=∠C，∴EC=BE=5，在△BEC中，由勾股定理得：BC=5，∴DC=5+5=10，∴梯形的周长是AB+BC+AD+DC=20+5．答：梯形的周长是20+5．55.（1）证明：∵AB∥CD，∠CDB=∠CAB，∴∠CDB=∠CAB=∠ABD=∠DCA，∴OA=OB，OC=OD，∴AC=BD，在△ACB与△BDA中，，∴△ACB≌△BDA．（2）解：过点C作CG∥BD，交AB延长线于G，∵DC∥AG．CG∥BD，∴四边形DBGC为平行四边形，∵△ACB≌△BDA，∴AD=BC，即梯形ABCD为等腰梯形，∵AC=BD=CG，∴AC⊥BD，即AC⊥CG，又CF⊥AG，∴∠ACG=90°，AC=BD，CF⊥FG，∴AF=FG，∴CF=AG，又AG=AB+BG=m+n，∴CF=．又∵四边形DEFC为矩形，故其周长为：2（DC+CF）=．56.解：（1）∵AD为三角形ABC的底边中线，∴DC为BC的一半，由图可知△ABC与△ADC同高，又知△ABC面积为S，∴三角形ADC面积为S，故填S；（2）连接BD，∵E，F分别为边AB，BC的中点，∴同理（1）可知△BED面积为△ABD面积的一半，△BDF面积为△BDC面积的一半，又∵▱ABCD面积为S，∴四边形BEDF面积为S；（3）连接BD，∵AE=AB，BF=BC，∴计算同理于（2），∵▱ABCD的面积为S，∴四边形BEDF为S．故填S；（4）连接BD，由题意四边形BEDF的面积始终等于矩形面积的一半，即AB•BC=2（BE•AD+BF•AB），∵AB=nBC，∴AB•BC=2（BE•AB+BF•AB）=BE•AB+BF•AB，∴BC=BE•+BF，∴AB=EB+BF，∴AE=nBF．57.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD且AB=CD，AD∥BC且AD=BC．E，F分别为AB，CD的中点，∴BE=AB，DF=CD，∴BE=BF，∴四边形DEBF是平行四边形在△ABD中，E是AB的中点，∴AE=BE=AB=AD，而∠DAB=60°，∴△AED是等边三角形，即DE=AE=AD，故DE=BE．∴平行四边形DEBF是菱形．（2）解：四边形AGBD是矩形，理由如下：∵AD∥BC且AG∥DB，∴四边形AGBD是平行四边形．由（1）的证明知AD=DE=AE=BE，∴∠ADE=∠DEA=60°，∠EDB=∠DBE=30°．故∠ADB=90°．∴平行四边形AGBD是矩形．58.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OD=OB，∠COD=90°．∵DH⊥AB于H，∴∠DHB=90°，∴∠OHB=∠OBH．又∵AB∥CD，∴∠OBH=∠ODC，∴∠OHB=∠ODC．在RT△COD中，∠ODC+∠OCD=90°，在RT△DHB中，∠DHO+∠OHB=90°，∴∠DHO=∠DCO．59.（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴ND∥AM．∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME．又∵点E 是AD边的中点，∴DE=AE．∴ΔNDE≌ΔMAE，∴ND=MA，∴四边形AMND是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．（2）当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：∵AM=1=AD，∴∠ADM=30°∵∠DAM=60°，∴∠AMD=90°，∴平行四边形AMDN是矩形．60.解：(1) ∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC．∴∠BAC =∠DAC．∵ AB=AD，∠BAF =∠DAF，AF=AF．∴△ABF≌△ADF．∴∠AFB=∠AFD．又∵∠CFE =∠AFB，∴∠AFD=∠CFE．∴∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．(2) ∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD．又∵∠BAC=∠DAC，∴∠BAC=∠ACD．∴∠DAC=∠ACD．∴AD=CD，∵AB=AD ， CB=CD，∴AB=CB=CD=AD．∴四边形ABCD是菱形．(3)当BE⊥CD时，∠EFD=∠BCD．理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF．又∵CF为公共边，∴△BCF≌△DCF．∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC =∠DEF=90°．∴∠EFD =∠BCD．61.解：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得EQ=16﹣2×3﹣2×2=6（cm），PE=AD=6cm；在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，∴PQ=6cm；∴经过2s时P、Q两点之间的距离是6cm；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16﹣2x﹣3x）2+62=102，即（16﹣5x）2=64，∴16﹣5x=±8，∴=，=；∴经过s或sP、Q两点之间的距离是10cm；（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．①当时，则PB=16﹣3y，∴PB•BC=12，即×（16﹣3y）×6=12，解得y=4；②当时，BP=3y﹣AB=3y﹣16，QC=2y，则BP•CQ=（3y﹣16）×2y=12，=6，=（舍去）；解得y1③时，QP=CQ﹣PQ=22﹣y，则QP•CB=（22﹣y）×6=12，解得y=18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为12cm2．。
矩形、菱形、正方形、梯形
矩形、菱形、正方形、梯形一、选择题1.已知菱形ABCD中，AE⊥BC于E，若S菱形ABCD=24，且AE=6，则菱形的边长为（）A.12B.8C.4D.22.菱形的边长是2 cm，一条对角线的长是23cm,则另一条对角线的长是（）A.4 cmB.3cmC.2 cmD.23cm二、判断正误：（对的打“√”错的打“”）1.两组邻边分别相等的四边形是菱形.（）2.一角为60°的平行四边形是菱形.（）3.对角线互相垂直的四边形是菱形.（）4.菱形的对角线互相垂直平分.（）三、填空题1.若菱形的两条对角线的比为3∶4，且周长为20 cm,则它的一组对边的距离等于__________ cm,它的面积等于________ cm2.2.菱形ABCD中，如下左图，∠BAD=120°，AB=10 cm,则AC=______ cm,BD=_______ cm.四、如图，已知：△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE∥AC交BC于E，DF∥BC交AC于F.请问四边形DECF 是菱形.吗?说明理由.一、选择题1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A.对角相等B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线相等2.能够判别一个四边形是菱形的条件是（）A.对角线相等且互相平分B.对角线互相垂直且相等C.对角线互相平分D.一组对角相等且一条对角线平分这组对角3.菱形的周长为100 cm，一条对角线长为14 cm，它的面积是（）A.168 cm2B.336 cm2C.672 cm2D.84 cm24.菱形的周长为16，两邻角度数的比为1∶2，此菱形的面积为（）A.43B.83C.103D.1235.下列语句中，错误的是（）A.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴B.菱形的两组对边可以通过平移而相互得到C.菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到D.菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到二、填空题6.菱形的周长是8 cm，则菱形的一边长是______.7.菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角线长为11厘米，菱形的周长为______.8.菱形的对角线的一半的长分别为8 cm和11 cm，则菱形的面积是_______.9.菱形的面积为24 cm2，一对角线长为6 cm，则另一对角线长为______，边长为______.10.菱形的面积为83平方厘米，两条对角线的比为1∶3,那么菱形的边长为_______.三、解答题11.□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F，四边形AFCE是否是菱形？为什么？14.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC=16 cm，BD=12 cm，求菱形ABCD的高DH.矩形一、填空题1.已知矩形ABCD 中，S 矩形ABCD =24 cm 2，若BC =6 cm ，则对角线AC 的长是________ cm.2.已知：如图1，正方形ABCD 中，CM =CD ，MN ⊥AC ，连结CN ，则∠DCN =_____=____∠B ，∠MND =_______=_______∠B.3.已知矩形ABCD 中，如图2，对角线AC 、BD 相交于O ，AE ⊥BD 于E ，若∠DAE ∶∠BAE =3∶1，则∠EAC =________..二、选择题1.已知E 是矩形ABCD 的边BC 的中点，那么S △AED =________S 矩形ABCD （ ）A.21B.41C.51D.61 2.如图矩形ABCD 中，若AB =4，BC =9，E 、F 分别为BC ，DA 上的31点，则S 四边形AECF 等于（ ）A.12 B.24 C.36 D.483.如图，周长为68的矩形ABCD 被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为（ ）A.98B.196C.280D.284三、如图，△ABC 中，点O 是AC 边上一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于E ，交∠BCA 的外角平分线于点F .请问EO =FO 吗?说明理由.一、填空题1.矩形ABCD 的周长是56 cm ，它的两条对角线相交于O ，△AOB 的周长比△BOC 的周长少4 cm ，则AB =_______，BC=_______.2.正方形的一条边长是3，那么它的对角线长是_______.3.在一正方形的四角各截去全等的等腰直角三角形而得到一个小正方形，若小正方形的边长为1，那么所截的三角形的直角边长是________.三、解答题4.在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，且AB=CD，四边形ABCD是矩形吗？为什么？5.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，顺次连结E、F、G、H所得的四边形EFGH是矩形吗？说明理由.梯形一、填空题1.在梯形中，不是同一底上的两组角的比值分别为1∶3和3∶7，则四个角的度数为.2.如图,梯形ABCD中，AD∥BC，AC为对角线，AE⊥BC于E，AB⊥AC，若∠ACB=30°，BE=2.则BC=_______ __.3.直角梯形一腰长16 cm,和一个底所成的角为30°,那么另一腰长________ cm.4.等腰梯形的两底差等于腰长，腰与下底边的夹角为________，与上底的夹角为________.二、选择题1.如下左图，梯形ABCD中，AD∥BC，设AC，BD交于O点，则图中共有对面积相等的三角形.（） A.2B.3C.4D.52.如上右图，在直角梯形ABCD中，AB=4 cm,AD=4.5 cm,∠C=30°,则DC= cm，BC= cm（）A.8,431,8 D.8 cm,(43+4) cmB.8 cm,(4.5+43) cmC.4(3+1)+23.等腰直角三角形各边中点连线围成的多边形是（）A.平行四边形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形4.下列说法正确的是（）A.一组对边平行的四边形是梯形B.有两个角是直角的四边形是直角梯形C.只有相邻的两个角是直角的四边形是直角梯形D.一组对边平行另一组对边相等的四边形是等腰梯形5.四边形的四个内角的度数比是2∶3∶3∶4，则这个四边形是（）A.等腰梯形B.直角梯形C.平行四边形D.不能确定6.以线段a=16,b=13为梯形的两底，c=10，d=6为腰画梯形，这样的梯形（）A.只能画出一个B.能画出2个C.能画出无数个D.不能画出7.在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AC，若∠D=110°，∠ACD=30°，则∠BAC等于（）A.80°B.90°C.100°D.110°8.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，且AE=AD，BC=3AD，则∠B等于（）A.30°B.45°C.60°D.135°二、填空题6.若等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC、BD相交于点O，那么图中全等三角形共有_______对；若梯形ABCD 为一般梯形，那么图中面积相等的三角形共有_______对.7.梯形的上底长为5 cm，将一腰平移到上底的另一端点位置后与另一腰和下底所构成的三角形的周长为20 cm，那么梯形的周长为_______.8.在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=8，BC=11，则CD=_______.9.等腰梯形的腰长为5 cm，上、下底的长分别为6 cm和12 cm，则它的面积为_______.10.在梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，∠C=45°，CD=10 cm，BC=2AD，则梯形的面积为_______.三、解答题11.在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=∠B，E是AB中点，EC等于ED吗？为什么？12.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别为CD、AB中点，且MN⊥A B.梯形ABCD一定为等腰梯形，请你用两种不同的方法说明理由.13.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连结AC、CE，你能用几种方法说明AC与CE相等？请你写出一种推理过程.14.在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，若AD=2，BC=8，BD=6，求：（1）对角线AC的长；（2）梯形ABCD的面积.。
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矩形、菱形、正方形、梯形一、几种特殊的平行四边形关于矩形，我们要从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性——一个内角是直角的平行四边形。
进一步研究其特有的性质——对角线相等、内角都为直角、是轴对称图形。
这里还要特别注意的是平行四边形的特征，矩形也都具有。
当然，识别矩形的方法也要从其特殊平行四边形的特殊性上去研究。
关于菱形，我们是通过折叠剪纸的趣味活动引入，当然也可以从平行四边形的边的变化上引入。
同矩形一样，同样注重对其特殊性进行研究，其特殊性表现在：四边都相等、对角线互相垂直且平分每一对对角、是轴对称图形。
正方形是矩形和菱形的混合体，既具有平行四边形的一般性质，又具有矩形和菱形的独特性质。
它本是大家早就熟悉的几何图形，因此在研究前面矩形和菱形的经验的基础上，对正方形特征性质的研究同学们也不难得出。
这里值得注意的是，要重视研究平行四边形、矩形、菱形和正方形各种图形之间的联系，并结合实际操作加深理解。
对于不同特殊平行四边形的不同特征与识别方式的区分与理解是本节的难点。
对于特征的理解都要通过边、角、对角线三方面进行分析：菱形对边平行四条边相等对角相等对角线互相垂直平分,每条对角线平分一组对角正方形对边平行四条边相等四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角以上内容都能够通过图形自己观察出来，只要在研究时注重研究和记忆，就不至于混淆。
菱形的面积公式：S= (其中ab是菱形的两条对角线的长)（对角线将菱形分成的四个直角三角形，它们的面积和等于菱形的面积，由此很容易推出上面的公式。
）二、梯形梯形也是大家早已熟悉的几何图形，所以教材直接介绍梯形、等腰梯形、直角梯形的定义，这里要特别注意“只有”两个字的重要性，也就是说“一组对边平行，而另一组对边不平行的四边形是梯形”。
大家要认识等腰梯形的轴对称性，并由此推理得到等腰梯形的特征：“等腰梯形同一底上的两个内角相等”及“等腰梯形的对角线相等”通过将等腰梯形分割成平行四边形和等腰三角形来推理证明∠B=∠C的方法，应引起足够的重视，因为这是解决有关梯形问题的常用方法。
通过特殊的三角形和平行四边形可以将梯形的边和角进行转移，从而达到解决问题的目的。
把一个梯形分成一个平行四边形和一个三角形来解决问题是本节的重点也是难点。
这里应充分认识梯形中腰的平行线的转换功能。
三、例题分析例1、如图，直线l1、l2时两条平行的江岸，现在要在l1上的点A和点B分别修建与江岸垂直的一座公路大桥和一座铁路大桥，问两座大桥在江面上的跨度是否相等？说明理由。
[点拨]这个问题实际上就是研究从一条平行线上的两点，分别向另一条平行线作垂线段，这两条垂线段是否相等。
有矩形的识别方法很容易得到结论是相等。
例2、如图，有两条垂直的公路BD、EF（其宽度不计），从一块矩形的土地ABCD中穿过。
已知EF是BD的垂直平分线，有BD=40m，EF=30m，求由EF、BE、BF围成的土地的面积。
[点拨]本题目综和运用了矩形的特征、菱形的识别、线段的垂直平分线的性质和菱形的面积计算方法，综合性比较强。
首先要识别四边形EBFD是怎样的四边形。
有EF是BD的垂直平分线，可得DF=BF，从而∠1=∠2，有DF//BE，则∠1=∠3，故∠2=∠3，又EF⊥BD，即有BF=BE，从而可得到该平行四边形四条边都相等，判定是菱形，再由菱形的面积的计算方法可得S= m2。
例3、已知：如图，梯形ABCD中，AB//CD,AD=BC延长AB到E，使BE=DC，那么，△ACE是等腰三角形吗？为什么？[点拨]如图，由已知可知梯形ABCD是一个等腰梯形，则由其性质可以得到AC=DB。
连结另一条对角线DB，不难证得四边形DBEC是一个平行四边形，故得到结论。
解：连接BD, 因为AB∥CD ，AD=BC所以梯形ABCD是一个等腰梯形，则AC=DB因为BE平行且等于CD所以DBEC是平行四边形，所以BD=EC所以AC=EC所以△ACE是等腰三角形.例4、下列命题中，正确的命题是（）A、有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形B、有一组对角互补的梯形是等腰梯形C、有一组邻角相等的梯形是等腰梯形D、有两组邻角相等的四边形是等腰梯形[点拨]本题正确答案为B。
等腰梯形的前提条件是梯形。
本题的易错点和易忽略点在于：一方面对梯形的概念、特征、识别等认识不清，另一方面在解题时不能正确的利用条件，忽略了某个条件。
由一组对角互补和一组对边平行的条件容易证明梯形的底角相等.例5、如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE,那么四边形BCED是什么形状的图形呢？[点拨]可以猜测四边形BCED是等腰梯形。
要说明BCED是等腰梯形必须先说明BCED是梯形，根据梯形的定义，论证DE//BC，同时要说明DB与EC不平行，这一点容易被遗漏。
解:又由BD与CE交与点A BD不平行与CE∴四边形BCED是梯形∴AB=AC又AD=AE∴BD=CE∴四边形BCED是等腰梯形。
课外拓展完美的正方形分割正方形四四方方，简单匀称，是完美的几何图形之一。
它有许多引人入胜的问题，例如，正方形或某些长方形可以分割成大小相同的小正方形，那么它能否分割成大小不同的若干个小正方形呢？这就是有名的“正方分割问题”。
对这一问题的研究，不少人倾注了大量的心血，取得了令人瞩目的成果。
二十世纪三十年代，一个长方形的完美的正方分割（如图1，图中数字表示所在正方形的边长，下同），已成为熟知的事实。
到了本世纪四十年代，人们又发现了另一个同样有名的长方形的正方分割，如图2。
它们都是由九个规格不同的正方形所组成，为方便起见，我们称它们为九阶的。
图1图2现已证明：低于九阶的长方形的正方分割不存在，并且，在九阶的长方形的正方分割中，只有这两种形式。
因而图1、图2是两个最完美的长方形的正方分割。
数学家们在当时是怎样想出上面这些分割的方法呢？他们也与我们遇到一个新问题时一样，总是通过不断地尝试，细致地分析，反复地构思，孜孜以求，锲而不舍，才达到成功的。
比如，在初中的基础上，拟出一个图形，如图3，设它是一个长方形的正方分割。
为便于分析，我们引进三个未知数，设其中的三个小正方形的边长分别为x、y、z。
由此顺次推出其他正方形的边长为x+y,2x+y,y-z,y-2z,y-3z,2y-5z。
图3图4因为图3是一个长方形，那么它的对边就应该相等，此时，x,y,z应满足下面的关系：将这个方程组整理得也就是若取Z=1，就有x=4,y=10。
将它代入图3就得到图1的长为33、宽为32，且阶数为九的长方形的正方分割。
那么，正方形的正方分割是否存在呢？最初，众说纷纭，莫衷一是。
直到本世纪三十年代末，德国的一位数学家发现了正方形的一种正方分割后，才算有了定论。
后来，人们的目光又投向了一个新的目标，寻求正方形的一种阶数最低的正方分割。
在这一征途上的攀登是艰难的。
到了七十年代，数学家才在计算机的帮助下，圆满地解决了这一问题。
现已证明，4给出的21阶的正方分割是阶数最低的一种分割，因而，图4是最完美的正方形的正方分割。
反馈练习1、下列结论正确的是（）A.平行四边形的对角线不相等B.菱形一定不是矩形C.正方形的对角线垂直且相等D.对角线垂直且相等的四边形是正方形2、已知两线段a=2,b=3，下列作图结果不唯一的是（）A.以a为底b为腰作等腰三角形B.以a、b为邻边作矩形C.以a为边b为一条对角线作菱形D.以a、b为邻边作平行四边形3、下面说法正确的是()A. 一个三角形经过适当的旋转得到的图形和原图形可组成平行四边形.B. 一个三角形经过适当的平移, 前后图形可组成平行四边形.C. 因为正方形也可以看作菱形, 故菱形经过适当的旋转可得到正方形.D. 夹在两平行直线之间的线段相等.4、当矩形的对角线互相垂直时, 矩形变成()A. 菱形B. 等腰梯形C. 正方形D. 无法确定.5、在四边形ABCD中，若∠A:∠B:∠C:∠D=1:5:3:3，则这个四边形是（）A.平行四边形B.矩形C. 直角梯形D.等腰梯形6、在线段、平行四边形、等边三角形、菱形、等腰梯形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有（）A.一个B.两个C.三个D.四个7、对角线相等且互相垂直的四边形是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.以上答案均不对8、用两个全等的直角三角形拼下列图形：（1）平行四边形；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形；（6）等边三角形，可以拼成的图形是（）A.（1）（2）（3）B.（1）（2）（5）C.（2）（5）（6）D.（1）（4）（5）9、下面给出图形的四种性质：（1）两条对角线相等；（2）两组对边中点连线互相垂直平分；（3）任意一组对角互补；（4）任意一对邻角相等。
其中，矩形和等腰梯形共同具有的性质有（）A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种10、如果一个四边形只有一条对称轴，则此图形可能是（）A.平行四边形B.等腰梯形C.矩形D.菱形11、已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD 相交于点O，△AOB 是等边三角形.求：∠BAD的度数12、下面说法中正确的是（）A. 有一个角是直角的四边形是矩形B. 两条对角线相等的四边形是矩形C. 两条对角线互相垂直的四边形是矩形D. 三个角都是直角的四边形是矩形13 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，试说明△ABC是等边三角形.14、(1) 菱形的周长为20,一条高为2.5．则它的各内角____________．(2)菱形的一条边与它的两条对角线所夹的角比是3∶2．则菱形的各角________．答案：1--10：C D A C C A D B B B提示：1．A错，正方形是平行四边形，它的对角线是相等的。
B正方形是菱形又是矩形D就不一定了，画图能看出来。
2．答案D：以 a.b 为边的平行四边形能作出很多。
所以不唯一。
4．矩形的对角线相互垂直时，该矩形的对角线满足相等，互相垂直，互相平分。
该矩形就变成一个正方形。
7．画图可以检验。
对角线相等且互相垂直的四边形可以时正方形。
也可以时其它的一般的四边形。
略解：11．解：∵△AOB是等边三角形∴OA=OB∵四边形ABCD是平行四边形∴AC=2OA,BD=2BO∴AC=BD∴平行四边形ABCD是矩形∴∠BAD＝90°答：∠BAD＝90°12．答案：D13．解：由于菱形是一类特殊的平行四边形，所以AB＝BC∠B＋∠BAD＝1800.又已知∠BAD＝2∠B可得∠B＝60所以△ABC是一个角为60的等腰三角形，即为等边三角形.14．（1）答：30°,150°,30°,150°（2）答：108°，72°，108°，72°。