高数第七章空间解析几何作业答案

第七章 空间解析几何与向量代数

1. 一边长为a 的立方体放置在xoy 面上，底面中心在坐标原点，底面的顶点在x 轴和y 轴上，求它的各顶点的坐标。 答案：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,22a 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,0,22a 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,,22,0a 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,,22,0a 、⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛a a ,0,22、 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a ,0,22、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a ,,22,0、⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-a a ,,22,0。

2. 求点()5,3,4-M 到各坐标轴的距离。 答案：34轴：x ，41轴：y ，5轴：z 。

3. 设, 3 , 2c b a v c b a u -+-=+-= 试用c b a 、、表示v u 32-。 答案：. 7115+-

4．若4=r ，它与轴u 的夹角为

3

π，求r 在轴u 上的投影。 答案：2.

5. 一向量的终点在)7,1,2(-B ，它在x 轴，y 轴和z 轴上的投影依次为4、4-和7，求此向量起点A 的坐标。

答案：)0,3,2(-A

6. 设已知两点)1,2,4(1M 和)2,0,3(2M ，计算21M M 的模、方向余弦、方向角以 及和21M M 方向一致的单位向量。

答案：模:2; 方向余弦:;2

1,22,21-- 方向角:;3,43,32πππ 和21M M 方向一致的单位向量: .21,22,21⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-

-

7. 设a 23--= 、b -+=2 ，求:

（1）b a b a ⨯⋅及 （2）()b a b a 232⨯⋅-及 （3）b a 、 的夹角的余弦。 答案：;75,3).1(++-;14210,18).2(++-.2123cos ).3(=

θ

8. 求{}4,3,4-=a 在{}1,2,2=b 上的投影。

答案：2.

9. 已知)2,1,1(1-M 、)1,3,3(2M 、)3,1,3(3M ，求与21M M 、32M M 同时垂直的单位向量。 答案：).223(17

1--±

10. 已知, 3 , 3+=+=求OAB ∆的面积。 答案：

192

1.

11. 一动点与两定点()1,3,2和()6,5,4等距离，求动点的轨迹方程。

答案：.0631044=-++z y x

12．方程02422

22=++-++z y x z y x 表示什么曲面？

答案：以点(1,-2,-1)为球心,半径等于6的球.

13. 将xoz 坐标面上的双曲线369422=-y x 分别绕x 轴及y 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。

答案：绕轴：x 36)(94222=+-z y x ;绕轴：y 369)(4222=-+y z x .

14. 求椭圆抛物面2

22y x z +=与抛物柱面22x z -=的交线关于xoy 面的投影柱面和在xoy 面上的投影曲线方程。

答案：关于xoy 面的投影柱面:122=+y x ;

在xoy 面上的投影曲线方程: .0122⎩

⎨⎧==+z y x

15. 求与坐标原点O 及点()4,3,2的距离之比为2:1的点的全体所组成的曲面的方程，它表

示怎样的曲面？ 答案：;911634)1(322

22=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+z y x 它表示一球面.

16. 求旋转抛物面)40( 2

2≤≤+=z y x z 在三个坐标面上的投影。

答案：.4;4;4 2222≤≤≤≤≤+z y z x y x

17. 求过点()1,0,3-且与平面012573=-+-z y x 平行的平面方程。 答案：04573=-+-z y x .

18. 求过点()1,1,1-、()2,2,2--和()2,1,1-的平面方程。

答案：023=--z y x

19. 一平面过点)1,0,1(-且平行于向量{}1,1,2=a ，{}0,1,1-=b , 试求此平面方程。

答案：043=--+z y x

20． 求与平面043=+-+z y x 平行，且在z 轴上截距等于2-的平面方程。 答案：023=--+z y x

21．试确定k 的值，使平面0=+++k z y kx 、0=+++k kz ky x ：

（1）互相垂直； （2）互相平行； （3）重合。

答案：.1).3(;1).2(;0).1(=±==k k k

22．求平面0522=++-z y x 与xoy 坐标面的夹角的余弦。 答案：.3

2,32,31

23．求点)1,2,1(到平面01022=-++z y x 的距离。

答案：1.

24． 求过点)4,2,0(且与两平面12=+z x 和23=-z y 平行的直线方程。 答案：

.14322-=-=-z y x

25． 求过点)2,1,3(-且通过直线

12354z y x =+=-的平面方程。 答案：0592298=---z y x

26． 求直线⎩⎨

⎧=--=++003z y x z y x 与平面01=+--z y x 的夹角ϕ。 答案：0=ϕ.

27． 证明直线 ⎩⎨⎧=++-=-+7272z y x z y x 与直线 ⎩

⎨⎧=--=-+028363z y x z y x 平行。