02第二章质点动力学

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二、质点的动能定理
用dr点乘牛顿第二定律等式的两边得：
dp 1 2 F dr dr d( mv ) v d( mv ) dt 2
将上式两边对一个有限过程积分得：
1 2 1 2 1 2 A F dr d( mv ) mvb mva a a 2 2 2
b b
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解：
dv m kv （式中负号表示力和速度的方向相反 ） dt dv dx dv mv kv 作如下变换 ： m dx dt dx
分离变量后两边积分，并设所能前进的最大距离为L：

即可解得：
0
v0
mdv kdx
0
L
m L v0 k
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例（ 教材习题2–16） 一质量为m的均匀细绳长度为l，将其一端固 定，另一端绕固定端在光滑水平面上以匀角速度旋转。设绳 子不可伸长，试求距离固定端半径为r处绳中的张力。 解： 在距离固定端x处取长度为dx的一段细绳，其质量为dm m d m dx l
1 2 显然， mv 是一个状态量。我们定义它为质点的动能： 2
1 2 Ek mv 2
质点的动能定理——作用在一个质点上的合力在一个过程中所做的 功（过程量）等于质点始末状态动能（状态量）的增量。
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三、几种常见力的功
万有引力的功 ：F G
Mm ˆ r 2 r
Mm Mm ˆ dl G 2 dl cos dA F dl G 2 r r r Mm G 2 dr r
d2r 解：由牛顿第二定律 F ma m 2 dt d2 F m 2 A sin(t )i B cos(t ) j dt 2 2 m A sin(t )i m B cos(t ) j
m 2 r
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第二类问题：已知作用于质点的力和初始条件，求质点的运动规 律。 这类问题情况比较复杂，须据受力情况来定：如果力是恒力，或是 时间、速度的函数，这时，或用“隔离体法”求解，或对动力学方程 分离变量后积分；如果力是坐标x的函数，则需先作变量变换，再 利用分离变量求积分的方法来解决。 例2 质量为m的轮船在停靠码头之前停机，这时轮船的速率为v0。 设水的阻力与轮船的速率成正比，比例系数为k，求轮船在发 动机停机后所能前进的最大距离。

M
M dm v dv (v u )dm Mv Mgdt M dM v dv (v u )dM Mv Mgdt
Mdv udM Mgdt
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设发射的一瞬间，火箭和燃料的总质量为M0，燃料喷射完后，火箭 的质量为Mf ，速度大小为vf，经历的时间为tf
冲力（impulsive force） ：
F
F
t2
t1
Fdt
t2 t1
p2 p1 t2 t1
F
平均冲力常用来估算碰撞、冲击过程 中的作用力。
t0
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t t
二、质点系的动量定理
由相互作用的若干个质点组成的系统称为质点系。 我们将牛顿第二 定律应用在由两个质点组成的质点系上：
第二章 质点动力学 Chap.2 Kinetics
本章要点
动量、冲量、动量定理与动量守恒定律 动能、势能、机械能 动能定理、功能原理与机械能守恒 质点的角动量、角动量定理与角动量守恒
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第一节 牛顿运动定律
一、牛顿运动三定律
牛顿第一定律（Newton's first law）： 任何物体都将保持静止或沿一直线作匀速运动的状态，除非有力加 于其上迫使它改变这种状态。 惯性(inertia)： 物体保持其运动状态不变的性质。 惯性参照系的概念 力(force)： 物体间相互作用，是改变速度的原因。
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三、动量守恒定律
如果质点系所受外力的矢量和为零 ，即：
N
F Fi 0
i 1
N
则：
p pi 常矢量
i 1
当一个质点系所受外力的矢量和为零时，该质点系的动量就保持不 变，这称为动量守恒定律。
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由于力和动量都是矢量，因此动量守恒定律在直角坐标系中可以表 示为：
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牛顿第二定律（Newton's second law）： “运动的改变和所加的动力成正比，并且发生在这力所沿直线的方 向上。” “运动的量是用速度和质量一起来度量的”。 动量(momentum)：p＝mv
d( mv ) dp F dt dt
理解牛顿第二定律的要点： （1） 质点 惯性系 （2） 瞬时性 矢量性 （3） m 不变时，F ma （4）力为合力， F F1 F2 Fn
d N Fi fij pi dt i 1 i 1 i 1 j i
N N
N N N
f ij 0
i 1 j i
d N Fi pi dt i 1 i 1
质点系动量定理的微分形式 ：
N i i 1 N i i 1
N
F dt d p
电磁力： 除万有引力外，几乎所有宏观力都是电磁力。长程力。 引力： 强力： 强度仅为电磁力的1/1037 原子核内的短程力，其强度是电磁力的百倍。力程约为 10-15m
弱力： 存在于基本粒子之间，强度只是强力的一百万亿分之 一。力程：约为10-17m
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三、牛顿定律的应用 动力学中的两类基本问题
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冲量和动量都是矢量，我们可以将动量定理在直角坐标系中进行分 解，得到的分量式为：
I t F dt p p mv mv x 0x x 0x x t0 x t I y t Fy dt p y p0 y mv y mv0 y 0 I t F dt p p mv mv z 0z z 0z z t0 z

vf
0
dv u
Mf
M0
tf dM g dt 0 M
M0 v f u ln gt f Mf
如何提高火箭的末态速度？
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第三节 机械能守恒定律
一、功（Work） 功率（Power）
我们再从力对质点作用的空间过程考虑问题。 考察其中一个元过程，由于在此元过程 中，位移趋于0，因而此元过程经历的时 间也必然趋于0。 因此，可以认为该元过程的运动为一直 线，此元过程中的力也可以看做恒力。 元功——任一元过程中力的功。它定义为：
a
( Fx dx Fy dy Fz dz )
a
b
合力 F Fi 的功：
i
A F dr
a
b
b
a
F
i
i
dr Fi dr Ai
i a i
b
功率——功对时间的变化率，表示做功的快慢，单位为瓦特（W） dA F dr P F v dt dt
当链条落在地面上的长度为L3时：
2h L F mg L
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例4 不考虑空气的阻力并将重力看作恒力，分析火箭上升过程中速 度大小的变化。 解：令竖直向上方向为正方向，考虑某一时刻， 火箭和燃料的总质量及速度分别为：M，v，燃料 相对火箭的喷射速度为u，经dt时间后，火箭喷射 dm的燃料，同时火箭速度为v＋dv。对该元过程 应用动量定理得：
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牛顿第三定律（Newton's third law）： “每一个作用总有一个相等的反作用与它对抗；或者说，两个物体 之间的相互作用永远相等，并且指向对方。”
F12 F21
（1）作用力和反作用力同时存在。 （2）分别作用于两个物体上，不能抵消。 （3）属于同一种性质的力。
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二、基本力简介
dp1 F1 f12 dt F2 f21 dp2 dt
F2
由于： f12 f21 0 ，容易得：
F1 F2 dp1 dp2 d ( p1 p2 ) dt dt dt
f12
m1
f 21
F1
m2
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很容易将上式推广到N个质点所组成的质点系的情况 ：
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N
令： p pi ，为质点系内所有质点动量的和
i 1 N
令： F Fi ，为系统所受合外力
i 1
则： Fdt dp

t
t0
Fdt dp p p0
p0
p
质点系的动量定理：系统所受的合外力的冲量等于系统总动量 的增量。 显然，外力可以改变系统的总动量，而内力不会影响系统的总 动量，但是内力可以使系统内部各质点之间进行动量交换。
N
Fx 0, Fy 0, Fz 0,
px pix 常量
i N
p y piy 常量
i N
p x piz 常量
i
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例3 质量为m的匀质柔软链条，全长为L，手持一端，使下端离地面 的高度为h，然后由静止释放，让其自由下落到地面。求链条 落在地面上的长度为L3时，地面所受链条的作用力大小 。 解：链条落到地上l 后，其速度大小为 v，考虑此时的元过程：在dt时间 内，落下一小段dl，其速度大小由 v变为0。设此时地面对下落链条冲 力的大小为f，向下的方向为正方 向，由动量定理得： m 0 ( d l ) v fd t L
第一类问题：已知质点的运动规律，即已知质点的运动学方程 r=r (t)，求作用于质点的力。 将运动学方程对时间求二阶导数，算出质点的加速度，进而便可求 得作用于质点的力。 例1 一个质量为m的质点在xy平面上运动，运动方程为：
r A sin(t )i B cos(t ) j